Cote n° 149, pages 61–80

Cote n° 149 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
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61la phrase commence sur la page précédente, hors de ce lot.

[…] tous nos beaux énoncés devraient être valables, non seulement pour un corps de base $K$ doté de type fini sur $\mathbb{Q}$, mais dès que $K$ est ext. de type fini d'un corps cyclotomique (pas néc. fini sur $\mathbb{Q}$).

Nous pourrions définir les courbes de Poincaré sur un corps alg. clos $\overline{K}$ de car. $0$ comme étant les courbes isomorphes à des rev. universels de courbes alg. anabéliennes sur $\overline{K}$ (deux courbes anabéliennes $\overline{\mathcal{U}}, \overline{\mathcal{V}}$ sur $\overline{K}$ définissant des rev. de Poincaré isomorphes, ssi $\exists$ un revêtement fini étale de l'une, isomorphe à un rev. fini étale de l'autre…). Étant donné une courbe de Poincaré $\widetilde{\overline{\mathcal{U}}}$ sur $\overline{K}$, telle on définit canoniquement sa complétion $\widehat{\mathcal{U}}$, de telle façon que les automorphismes de $(\widetilde{\overline{\mathcal{U}}}, \overline{K})$ (premiers, induisant l'identité sur $\overline{K}$) induisent une action de $\widehat{\mathcal{U}}$. Ceci posé :

62p. 31 de l'auteur.

Conjecture B$'$. Soient $K$ un corps de type fini sur $\mathbb{Q}$ (ou sur un corps cyclotomique, cela simplifie peut-être), $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$, $\mathcal{U}$ une courbe de Poincaré sur $\overline{K}$, de complétion $\widehat{\mathcal{U}} = \mathcal{X}$. Considérons une action de $\Gamma = \Gamma_{\overline{K}/K}$ sur $\mathcal{U}$, compatible avec son action sur $\overline{K}$, d'où une action de $\Gamma$ sur $\mathcal{X}$. Ceci posé : il existe un point fixe et un seul de $\Gamma^{0}$ opérant sur $\mathcal{X}$

($\Gamma^{0}$, noyau du caractère cyclotomique $\Gamma \xrightarrow{\chi} \widehat{\mathbb{Z}}^{*}$).

La différence avec la conjecture B, pour celle-ci sous forme relative, c'est qu'ici on ne suppose pas que l'action de $\Gamma$ sur $\mathcal{U}$ normalise l'action d'un groupe profini $\pi$, opérant librement sur $\mathcal{U}$ de façon que $\mathcal{V} = \mathcal{U}/\pi$ soit une courbe alg. anabélienne sur $\overline{K}$.

63Une circonstance […] les conjectures précédentes, quand on les applique : une situation où $K$ est engendré par un modèle $S$ de $K$ (disons, élémentaire anabélien), quand $\mathcal{U}_K$ provient d'une courbe relative $\mathcal{U}_S$ sur $S$ — de sorte qu'on a un hom. de groupes \[(4)\qquad \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S} \longrightarrow \mathcal{E}_S\] de noyau $\pi_{\mathcal{U}}$, dont $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K} \to \mathcal{E}_K$ se déduit par chgt de base i.e. par produit fibré

(5)

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\begin{tikzcd}
\pi \arrow[d] \arrow[r, no head, "\sim"] & \pi \arrow[d] \\
\mathcal{E}_{\mathcal{U}_S} \arrow[d] & \mathcal{E}_{\mathcal{U}_K} \arrow[l] \arrow[d] \\
\mathcal{E}_S & \mathcal{E}_K \arrow[l, "\text{surj}"']
\end{tikzcd}

au centre du carré, un petit signe $\varphi$ accompagné d'une flèche pointillée ; la flèche du bas porte « surj » en dessous.

Ainsi, les sections de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ correspondent aux certaines sections de ⌜relèvements continus⌝ $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ de l'hom. surjectif $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$, et parmi ces relèvements, ceux qui sont […] ⌜triviaux⌝ sur le noyau de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$ correspondent exactement aux sections

64p. 32 de l'auteur.

de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ sur $\mathcal{U}_S$. Nos conjectures impliquent donc qu'il y a exactement deux sortes de telles sections : 1°) celles qui correspondent à des pts de $\mathcal{U}_K/K$ i.e. à des sections rationnelles de $\mathcal{U}_S$ sur $S$ — mais on va vérifier sans mal, sans doute, qu'une telle section rationnelle ne correspond effectivement à une section de ⌜l'extension⌝ (4), que si c'est une section rationnelle régulière (à vérifier tantôt). 2°) Celles correspondant à des $i \in I(\mathcal{U}_{\overline{K}})$ rationnels sur $K$, i.e. à une section de $\widehat{\mathcal{U}}_S \smallsetminus \mathcal{U}_S = S'$ (étale fini sur $S$) sur $S$. Et il faudrait étudier encore : quelle condition une telle section définit un paquet non vide de scindages de (4) — et comment déterminer exactement tous ces scindages.

Avant d'élucider ces deux points, un peu techniques, je voudrais voir

65dans quelle mesure la conjecture A (ou B) faite dans le §, permet de reconstruire la catégorie des modèles élém. anabéliens sur $\mathbb{Q}$, ⌜et⌝ celle des extensions de type fini de $\mathbb{Q}$ et des modèles élém. anabéliens sur ceux-ci, en termes des groupes extérieurs ⌜(ou topos galoisiens)⌝ associés à partir bien sûr de la donnée fondamentale de $\Gamma_{\mathbb{Q}} = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}_0}$, opérant extérieurement sur $\widehat{\pi}_{0,3}$, d'où déjà l'extension $\mathcal{E}_{0,3} = \mathcal{E}_{\mathcal{U}_{0,3}/\mathbb{Q}}$, où $\mathcal{U}_{0,3} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} - \{0, 1, \infty\}$. l'indice de $\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}_0$ est lu tel qu'écrit ; la lecture du second facteur est douteuse.

Prenons les ⌜donnée de $\widehat{\pi}_{0,3}$-conj. de⌝ sections de $\mathcal{E}_{0,3}$ sur $\Gamma_{\mathbb{Q}} = \Gamma$, ⌜telles que la centralisateur du $\Gamma^{0}$ soit trivial (sections « admissibles »)⌝ ⌜([…] […])⌝, i.e. les « points » des ⌜topos⌝ $B_{\widehat{\pi}_{0,3}, \Gamma_{\mathbb{Q}}}$ […] sur $B_{\Gamma}$ — on trouve un ensemble sur lequel $\Gamma$ opère (qui […] […] que $\mathcal{U}_{0,3}(\overline{\mathbb{Q}}_0)$, à un ens. près). Pour tout ens. fini $I$ de sections, ⌜stable par $\Gamma$⌝, le foncteur

66p. 33 de l'auteur.

« forage des trous » doit nous fournir un groupe extérieur $\pi_{0,3}(I)$, ⌜du type $(0, 3 + \operatorname{card} I)$⌝, sur lequel $\Gamma$ opère (il vaut mieux peut-être utiliser le yoga introduit par Ihara des groupoïdes rigides — donc on prend deux ou trois bouts entrant en trous $0, 1, \infty$ — […] donc l'équivalent groupoïdal de la sphère […] droite projective $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}$, on l'appelle la sphère arithmétique — qui correspond à un groupe ⌜ext⌝ à lacets non-fini sur lequel $\Gamma$ opère — en fait, ce n'est autre que $\mathcal{E}_{K_1}$, où \[(6)\qquad K_1 = \mathbb{Q}(\text{\struck{$X$}}\, T_1)\] est l'extension transcendante pure ⌜type⌝ de degré $1$ de $\mathbb{Q}$.

Partant de (6), on construit de nouveau l'équivalent groupoïdal de […] $\mathcal{U}_{0,3}$ ([…] et on retrouve comme

67précédemment, pour savoir, tant des courbes de type $(0, \nu_2)$ sur $K_1$ (ou sur une extension finie de $K_1$) tant des courbes relatives de type $(0, \nu_2)$ sur une courbe sur $\mathbb{Q}$ de type (ou une extension finie de $\mathbb{Q}$, ou un rev. étale étale fini d'une telle $\mathcal{U}_{0,\nu_1}$). On procède de proche en proche pour construire finalement tous les $\mathcal{E}_K$ sur $\mathcal{E}_{\mathbb{Q}}$ (car tt corps ext. de type fini de $\mathbb{Q}$, est ext. finie d'une ext. transcendante pure) et tous les modèles élémentaires, où à chaque cran la fibration est soit une courbe de genre $0$, soit un rev. étale fini d'une telle fibration particulière. Sauf erreur, ça fait assez pour avoir un syst. fondamental de voisinages de tt point d'une $X$ lisse sur un $K$

68p. 34 de l'auteur.

et de reconstituer en principe les schémas lisses sur des $K$, par recollements de tels morceaux avec des « immersions ouvertes ». Mais je suis certain que pour faire une telle description, il me faudra développer un langage géométrique qui colle mieux à l'intuition géométrique, que les sempiternelles extensions de groupes profinis… ou actions extérieures, et où les points rigides (ou cuspidaux dans des clôtures algébriques de corps) jouent un rôle prépondérant. Il me faudra y revenir dessus — et en même temps, expliciter les topos étales (pas seulement le « morceau $K(\pi,1)$ ») tout entiers des schémas décrits ici par des extensions.

69Reprenons le cas de $\mathcal{U} = \mathcal{U}_S$ schéma relatif sur $S$, « élémentaire » sur $S$ — à fibres successives anabéliennes (s'il le faut) ou du moins à $\pi_1$ non nul, $S$ étant lui-même (pour fixer les idées) lisse sur $\mathbb{Q}$, irréductible, corps de fonctions $K$, et reprenons le diagramme 5. Considérons une section rationnelle ⌜$f$⌝ de $\mathcal{U}$ sur $S$, définissant une section de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ — ou, ce qui revient au même, un relèvement ⌜de section⌝ de l'hom. surjectif $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$ en $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ ⌜(composé de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ avec $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K} \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$)⌝. Je veux montrer que $f$ est partout définie, i.e. une section partout définie section de $\mathcal{U}_S$ sur $S$, ssi la section de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ provient d'une section de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ sur $\mathcal{E}_S$, i.e. ssi le relèvement $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ s'annule sur

70p. 35 de l'auteur.

le noyau de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$.

Notons que cette dernière condition est une condition « de codimension 1 sur $S$ » — de façon plus précise, si $Z$ est un sous-schéma fermé de $S$ de codim $\geqslant 2$, alors alors, posant $S' = S \smallsetminus Z$, on a $\pi_1(S') \xrightarrow{\sim} \pi_1(S) = \mathcal{E}_S$ par le « théorème de pureté » — donc le noyau de $\pi_1$ $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$ est le même que celui de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{S'}$, or, si on prend (comme $S'$ n'est pas un « modèle ») que le sous-groupe fermé engendré par les noyaux des $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{S'_i}$, où les $S'_i$ sont des ouverts « modèles » qui recouvrent $S'$. Si donc la condition envisagée est remplie relativement aux $S'_i$ (qui pourraient […] ne pas recouvrir $S$, seulement $S'$) — ce qui est aussi signifie que la section

71rationnelle envisagée est morphique sur les $S'_i$, i.e. sur $S'$ — alors elle est vérifiée relativement à $S$ — ce qui est aussi signifier que la section est morphique sur $S$. Donc, pour se rassurer, il faudrait s'assurer a priori qu'une section de $\mathcal{U}_S$, sur $S'$ se prolonge automatiquement en $\mathcal{U}$ en une section de $\mathcal{U}_S$ sur $S$. De De proche en proche, on est ramené au cas d'une courbe relative $\mathcal{U}_S = X_S - T$, $X$ lisse ⌜sur $S$⌝ de dim. relative $1$, $T$ fini étale sur $S$, […] ou $T$ décomposé sur $S$. Si $X$ de genre relatif $\geqslant 1$, on sait (th. de Weil) que la section se prolonge en une section de $X$, soit $D$ l'image inverse de $T$, c'est un diviseur sur $S$, dont la trace sur $S' = S \smallsetminus Z$ est nul, donc (comme $\operatorname{codim}(Z, S) \geqslant 2$) il est nul, OK.

72p. 36 de l'auteur.

(9)

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
\mathcal{U}_S \arrow[d, no head] & \mathcal{U}_{\mathcal{O}_x} \arrow[l, no head] \arrow[d, no head] & \mathcal{U}_K \arrow[l, no head] \arrow[d, no head] & \mathcal{U}_{\overline{K}} \arrow[l, no head] \arrow[d, no head] & \widetilde{\mathcal{U}}_S \arrow[l, no head] \\
S & \mathcal{O}_x \arrow[l, no head] & K \arrow[l, no head] & \overline{K} \arrow[l, no head] &
\end{tikzcd}

(10)

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\begin{tikzcd}
\mathcal{E}_{\mathcal{U}_S} \arrow[d] & \mathcal{E}_{\mathcal{U}_{\mathcal{O}_x}} \arrow[l] \arrow[d] & \mathcal{E}_{\mathcal{U}_K} \arrow[l] \arrow[d] \\
\mathcal{E}_S & \mathcal{E}_{\mathcal{O}_x} \arrow[l] & \mathcal{E}_K \arrow[l] \arrow[ul, dashed, "\varphi_x"']
\end{tikzcd}

dans (9), les traits sont sans flèches ; $\mathcal{O}_x$ est souligné sur la page (anneau local en $x$).

avec des carrés cartésiens, et des flèches horizontales surjectives. L'hom. $\mathcal{E}_K \leftarrow \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ sic : sens de la flèche tel qu'écrit. est composé d'un relèvement $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_{\mathcal{O}_x}}$ de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{O}_x}$, avec l'hom. dernier canonique $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_{\mathcal{O}_x}} \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$. (Les Les relèvements $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_{\mathcal{O}_x}}$ correspondent biunivoquement aux sections de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ sur $\mathcal{E}_K$, comme aux relèvements de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$ en $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$…)

NB La quantité de $\mathcal{E}_K$ par le […] engendré par $I_x$ n'est autre que $\mathcal{E}_{\mathcal{O}_x} = \pi_1(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_x)$. note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, en bas de page ; lecture en grande partie douteuse.

Ceci dit, j'ai envie de prouver que $\varphi_x : \mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}_{\mathcal{O}_x}}$ s'annule sur sur $I_x$, i.e. provient d'une section de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_{\mathcal{O}_x}}$ sur $\mathcal{O}_x$ ssi la section rationnelle correspondante de $\mathcal{U}_S/S$ est définie en $x$. Ceci impliquera

73l'assertion précédente (que la la section $\varphi$ de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ provient d'une section de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_S}$ sur $\mathcal{E}_S$, ssi la section rationnelle correspondante est morphique).

Mais il s'agit ici d'un énoncé en fait purement géométrique, que j'ai envie de reformuler sous forme plus générale :

Théorème […]1). Soit $T$ un trait (spectre d'un anneau de valuation discrète), $\mathcal{U}$ un schéma relatif « élémentaire » sur $T$, anabélien$^{*}$, $K$ le corps des fonctions de $T$. On choisit un rev. universel $\widetilde{\mathcal{U}}$ de $\mathcal{U}$, d'où une clôture alg. $\overline{K}$ de $K$, et on considère l'extension $\mathcal{E}_{\mathcal{U}} = \pi_1(\mathcal{U}; \widetilde{\mathcal{U}})$ de $\mathcal{E}_K = \pi_1(K, \overline{K}) \simeq \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$ par $\pi = \pi_1(\mathcal{U}_{\overline{K}}, \widetilde{\mathcal{U}})$. Considérons ⌜On a donc⌝ une section pt $K$-rationnel de $\mathcal{U}_K$ une ⌜suite⌝ extension de groupes profinis

$^{*}$ anabéliennement inutile — il suffit que les fibres des fibrations élémentaires de $\mathcal{U}$ ne soient pas du type $(0,0)$ ou $(0,1)$, de dimension relative $1$ et à $\pi_1$ nul. note marginale en oblique dans la marge gauche, renvoyée par l'astérisque après « anabélien » ; lecture en partie douteuse.

d'où

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\begin{tikzcd}
\mathcal{E}_{\mathcal{U}} \arrow[d, "\text{surj}"'] & \mathcal{E}_{\mathcal{U}_K} \arrow[l, "\text{surj}"'] \arrow[d, "\text{surj}"] \\
\mathcal{E}_S & \mathcal{E}_K = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) \arrow[l, "\text{surj}"]
\end{tikzcd}

où $\mathcal{E}_S$ s'identifie au quotient de $\mathcal{E}_K$ par le sous-groupe normal fermé engendré par un groupe

dans le diagramme, $\mathcal{E}_S$ (et non $\mathcal{E}_T$) est tel qu'écrit.

74p. 37 de l'auteur.

d'inertie $I_{x} \simeq T_{\infty}(\overline{K})$, cf. plus haut. Soit $f_K$ $\in$ $K$ un pt de $\mathcal{U}_K$ rat./$K$, d'où une section $\psi = \psi_{f_K}$ de $\mathcal{E}_K$ sur $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$. Ceci posé, les conditions suivantes sont équivalentes

a)$f_K$ se prolonge en une section de $\mathcal{U}$ sur $S$
b)$\psi$ provient d'une section de $\mathcal{E}_{\mathcal{U}}$ sur $\mathcal{E}_S$
b$'$)le composé $\mathcal{E}_K \xrightarrow{\psi} \mathcal{E}_{\mathcal{U}_K} \to \mathcal{E}_{\mathcal{U}}$ s'annule sur $I_x$

[…]

« section $\psi$ de $\mathcal{E}_K$ sur $\mathcal{E}_{\mathcal{U}_K}$ » : ordre des termes tel qu'écrit ; $S$ et $T$ désignent ici le même trait.

L'équivalence de b) et b$'$), et qu'elles soient impliquées par a), est claire. C'est l'implication b) $\Longrightarrow$ a) qui demande une démonstration. On est ramené aisément, par descente, au cas […] où $T$ est strictement local (donc $\mathcal{E}_K = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$ est réduit à son ss-groupe d'inertie⌜, et $\mathcal{E}_S = (1)$⌝). On est ramené de proche en proche au cas où $\mathcal{U}/S$ est une courbe relative élémentaire, de genre $g \geqslant 1$, $\mathcal{U} = X \smallsetminus T$, $X$ lisse ⌜et propre⌝. Alors $f$ se prolonge en une section $f$ ⌜de⌝ rationnelle $X$ sur $S$, et la conclusion signifie que $f(S) \subset \mathcal{U}$. Donc on est ramené finalement à –

Lemme. Soit $X$ schéma projectif lisse de dim. relative $1$ connexe sur $S$ trait strictement local,

75Soit $T \subset X$ sous schéma fini étale sur $S$, donc $T \simeq I_S$, $I$ ensemble fini, et soit $\mathcal{U} = X \smallsetminus T$ (donc $T$ est défini par une famille $(g_i)_{i \in I}$ de sections disjointes de $X$ sur $S$)⌜. Si $g$ est le genre relatif, $\nu = \operatorname{card} I$, on suppose $(g, \nu) \neq (0,1)$⌝. Soit fixé $i_0 \in I$, $f$ une section ⌜de $X/S$⌝ disjointe distincte des $g_i$, et telle que $f \mid k(s) = g_{i_0}$ $f$ et $g_{i_0}$ coïncident en $s$ (pt fermé de $S$). Considérons ⌜Donc⌝ ⌜si $\mathcal{Y} = S \smallsetminus \{s\}$,⌝ […] […] morphisme on a donc un morphisme $\mathcal{Y} \to \mathcal{U}$, d'où \[\pi_1(\mathcal{Y}) \longrightarrow \pi_1(\mathcal{U}).\] Je dis que cet hom. ⌜si $\nu \geqslant 2$⌝, n'est pas trivial, […] et même, que pour ⌜$\ell$ donné⌝ \[T_\ell(\widehat{K}^{*}) \simeq H_1(\mathcal{Y}, \mathbb{Z}_\ell) \longrightarrow H_1(\mathcal{U}, \mathbb{Z}_\ell) \;\bigl[\simeq H_1(\mathcal{U}_s, \mathbb{Z}_\ell)\bigr]\] n'est pas trivial (pour […] $\ell$ nombre premier distinct de la caractéristique résiduelle).

« $T_\ell(\widehat{K}^{*})$ » est écrit dans la marge gauche, devant $H_1(\mathcal{Y}, \mathbb{Z}_\ell)$ ; $[H_1(\mathcal{U}_s, \mathbb{Z}_\ell)]$ est écrit sous $H_1(\mathcal{U}, \mathbb{Z}_\ell)$, relié par une flèche verticale.

Comme la section rationnelle de $J^{1}_{X/S}$ définie par $f$ est régulière, on voit que le composé de l'hom. envisagé avec $H_1(\mathcal{U}, \mathbb{Z}_\ell) \to H_1(\widehat{J}^{1}_{X/S}, \mathbb{Z}_\ell)$ est nul — i.e. le $H_1(\mathcal{Y}, \mathbb{Z}_\ell)$ s'envoie dans la partie torique de $H_1(\mathcal{U}, \mathbb{Z}_\ell)$ ($\xleftarrow{\sim} H_1(\mathcal{U}_s, \mathbb{Z}_\ell)$), qui est canoniquement isomorphe à $\mathbb{T}_\ell^{I} / \mathbb{T}_\ell$. [NB cette partie est nulle si $\operatorname{card} I = 1$, et

la lettre notée ici $J^{1}_{X/S}$ (Jacobienne, ou torseur de degré $1$) est une lecture douteuse d'un $J$ cursif ; de même $\mathbb{T}_\ell$, écrit en gras, pour le module de Tate de $\mathbb{G}_m$.

76p. 38 de l'auteur.

dans ce cas le critère homologique serait insuffisant…) Il faudrait donc calculer cet élément de ⌜homomorphisme⌝ \[(11)\qquad T_\ell\,(\simeq H_1(\mathcal{Y}, \mathbb{Z}_\ell)) \longrightarrow \mathbb{T}_\ell^{I} / T_\ell\] pour constater qu'il n'est pas nul dans le cas envisagé, ⌜$\nu \geqslant 2$⌝ (et traiter séparément le cas $\nu = 1$).

le passage qui suit, jusqu'à « isogénies », est barré de trois grands traits obliques sur la page.

[On va faire des calculs intrinsèques, avec \[\text{\struck{$\operatorname{Ker}\bigl(J^{1}_{\mathcal{U}/S} \to J^{1}_{X/S}\bigr) \simeq \mathbb{G}_m^{I} / \mathbb{G}_m$}}\] \[\text{\struck{$H_1(\mathcal{U}, \mathbb{Z}_\ell) \xrightarrow{\sim} H_1(J^{1}_{\mathcal{U}/S}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \varprojlim {}_{\ell^n}(J^{0}_{\mathcal{U}/S})$}}\] (isom. de Kummer). On considère donc l'image inverse par $\mathcal{Y} \to J^{1}_{\mathcal{U}/S}$ (composé de $\mathcal{Y} \to \mathcal{U} \to J^{1}_{\mathcal{U}/S}$) des isogénies

Je vais deviner le résultat : Soit […] $x = g_{i_0}(s)$, $A = \mathcal{O}_{X,x}$, $V$ l'anneau de $S$, $J_{i_0}$ l'idéal de l'hom. $A \xrightarrow{g_{i_0}^{*}} V$ associé à $g_{i_0}$, c'est donc un idéal inversible de $A$ — soit de même $J_f$ l'idéal associé à $f^{*} : A \to V$, et considérons $g_{i_0}^{*}(J_f)$, c'est un idéal de $V$ engendré par un générateur, et comme $g_{i_0} \neq f$, on voit que cet idéal n'est pas nul. Soit $n = \operatorname{long} V / g_{i_0}^{*}(J_f)$ $=$, est entier

77et dépend pas que intrinsèquement des valeurs de $g_{i_0}$ et $f$, car \[V / g_{i_0}^{*}(J_f) \simeq A / (J_{g_{i_0}} + J_f)\] — donc $n$ est la longueur du schéma artinien local, intersection des ⌜sous-schémas⌝ $f(S)$ et $g_{i_0}(S)$ de $X$ — on peut aussi l'interpréter comme une multiplicité d'intersection. Ceci posé, je présume que l'hom. \[T_\ell \longrightarrow T_\ell^{I} / T_\ell\] est le produit par $n$ de l'injection canonique $T_\ell \to T_\ell^{I}$, correspondant à l'indice $i_0$. Il faudrait que je demande à Carlos de me le confirmer.

Reste le cas $\nu = 1$, qui semble demander un traitement séparé. Il ⌜Il⌝ suffit à vérifier (pour les groupes fondamentaux premiers à $p$) c'est que l'hom. ext. $\pi_1(\mathcal{Y}) \to \pi_1(\mathcal{U}) \simeq \pi_1(\mathcal{U}_s)$ est égal à […] $k_{i_0} \circ (n \cdot \mathrm{id}_T)$, où $k_{i_0}$ est

Ceci dit, sans indépendant de la valeur de $\nu$ ! note marginale en oblique, à gauche du paragraphe sur le cas $\nu = 1$ ; lecture largement douteuse. « Carlos » : prénom tel qu'écrit.

78p. 39 de l'auteur.

l'hom. « local » \[(12)\qquad k_{i_0} : T \;(= T_{\infty}(k)) \longrightarrow \pi_1(\mathcal{U}_k)\] associé à l'indice $i_0$. Je vais admettre ce point, qui ne peut guère être difficile.

Pour terminer ce n°, je veux encore étudier, dans la situation d'une $\mathcal{U}$ élémentaire ⌜courbe⌝ relative sur un $S$ avec […] $\mathcal{U} = X \smallsetminus T$, ⌜$X$ lisse et propre sur $S$,⌝ $T$ fini étale, une section $g_i$ donnée de $T$ sur $S$, les « sections de 2ème espèce » de l'extension \[1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \mathcal{E}_{\mathcal{U}} \longrightarrow \mathcal{E}_S \longrightarrow 1\] associées à $i = i_0$ — qui dépend ⌜d'une classe de $\pi$-conj. de⌝ un ⌜(ss-)⌝groupe de lacets Lie dans $\pi$. (On suppose ici qu'on a bien une telle suite exacte, i.e. que $\pi_2(S) \to \pi_1(\text{fibre})$ est nul, ce qui sera le cas si $\pi_2(S) = 0$, p. ex. (je présume) si on est dans le cas d'un modèle élémentaire au-dessus d'un corps de car. zéro (la restriction de car. nulle étant sans doute inutile, si on a bien

$^{*}$ En fait, on n'a pas besoin que le centre de $\pi$ soit trivial pour cette construction — c'est un fait général pour toute situation fibrée, qui fournit une ext. des $\pi_1$ de la base par le $\pi_1$ de la fibre, comme en tous cas, il suffit que $\pi_1(S) \to \pi$ triviale […] $\mathcal{E}_S = \pi_1(S)$ opère extérieurement sur $\pi = \pi_1(\text{fibre géom.})$, d'où une extension […] $\pi$ associée à cette triviale… celle […] $\pi_1(\mathcal{U})$ […]… Il faudrait regarder ceci de plus près ! longue note marginale en oblique dans la marge gauche, dont un premier bloc est barré de traits obliques ; lecture très incertaine, et la place de l'astérisque de renvoi dans le texte n'a pas été retrouvée.

79aux groupes fondamentaux premiers aux car. résiduelles…) Par un argument général, le normalisateur de $L_i$ dans $\mathcal{E}_{\mathcal{U}}$ s'envoie sur $\mathcal{E}_S$, on trouve donc des scindages par cette extension, qu'on peut regarder comme une extension \[(13)\qquad 1 \longrightarrow T \longrightarrow N(L_i) \longrightarrow \mathcal{E}_S \longrightarrow 1 .\] La classe d'isomorphie est un élément […] \[(14)\qquad c_i \in H^2(\mathcal{E}_S, T), \qquad T = \varprojlim \mu_n ,\] que je me propose d'étudier. On a, si $S$ est un $K(\pi, 1)$ \[(15)\qquad H^2(\mathcal{E}_S, T) \simeq H^2(S, T) \simeq \varprojlim_n H^2(S, \mu_n) ;\] d'ailleurs on a une suite exacte de Kummer (où $\operatorname{Pic}(S) = H^1(S, \mathbb{G}_m)$) \[(16)\qquad 0 \to \operatorname{Pic}(S)/n \to H^2(S, \mu_n) \to {}_nH^2(S, \mathbb{G}_m) \to 0\] d'où par passage à la limite \[(17)\qquad 0 \to \operatorname{Pic}(S)^{\wedge} \to H^2(S, T) \to \varprojlim {}_nH^2(S, \mathbb{G}_m)\] sous $\operatorname{Pic}(S)^{\wedge}$ : « $\overset{\text{déf}}{=} \varprojlim \operatorname{Pic}/n\operatorname{Pic}$ ».

Dans le cas où $S$ est un schéma élémentaire sur un corps de car. 0 […]

dans (14), le « $T$ » est relié par un signe d'égalité vertical à $\varprojlim \mu_n$ écrit dessous.

80p. 40 de l'auteur.

de type fini sur $\mathbb{Q}$, $\operatorname{Pic}(S)$ est un $\mathbb{Z}$-groupe ⌜module⌝ de type fini ⌜(par Mordell–Weil–Néron)⌝, donc l'hom. \[(18)\qquad \operatorname{Pic}(S) \longrightarrow \operatorname{Pic}(S)^{\wedge} \hookrightarrow H^2(S, T)\] est injectif.

Sans nous soucier de cette condition, pour considérons le cas général — je dis que la classe […] $c$ ⌜(14)⌝ est dans l'image de (18), de façon précise que c'est l'image de l'élément \[(19)\qquad \xi_i \in \operatorname{Pic}(S)\] classe du faisceau conormal (ou normal, le diable sait) de $X$ le long de $g_i$. Principe d'une vérification : on prend le complété formel de $X$ le long de $g_i(S)$ […] — géométriquement — un voisinage tubulaire de $g_i(S)$, et on interprète la suite exacte (13) comme la suite exacte d'homotopie de ce schéma topos fibré, au-dessus de […] $S$. On est donc à préciser une histoire d'orbites…

la page s'arrête ici ; la vérification esquissée se poursuit vraisemblablement dans le lot suivant.