Fonds Grothendieck, cote n° 149, pages 41–60

la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot : il s'agit de reconstruire les plongements de corps à partir des groupes fondamentaux profinis munis de l'opération de \Gamma. des groupes profinis extérieurs avec opération de \Gamma dessus. Et on pressent que le th. 3 du § précédent (« appliqué » notamment à \mathbf{P}^1_K convenablement troué …) pourrait donner la clef d'une telle construction.

Bien sûr, des homomorphismes extérieurs quelconques \pi^{\wedge}_{K'} \to \pi^{\wedge}_{K} n'auront pas de sens géométrique — l'idée est que les opérations du groupe \Gamma = \Gamma_{\overline{\mathbf{Q}}/k} dessus sont si draconiennes, qu'il n'est possible de trouver un hom. extérieur qui y commute que par voie géométrique — par des plongements de corps.le signe de complétion \wedge est porté au-dessus de l'indice ; sur le second K il est peut-être doublé d'une barre. Donc il est essentiel ici que le corps de base ne soit pas quelconque, mais un corps tel que \mathbf{Q} (ou, ce qui revient manifestement au même, une extension de type fini de \mathbf{Q}). Encore faut-il se borner aux hom. \pi_{K'} \to \pi_K dont on décrète d'avance que l'image soit ouverte — sinon,

p. 21 de l'auteur. prenant pour \pi_{K'} le groupe unité (i.e. K' = k), on trouverait un hom. K \to k correspondant ! Il faut pour le moins, pour travailler à l'aise à partir d'homomorphismes \pi_{K'} \to \pi_K (au lieu de E_{K'} \to E_K) supposer que le centralisateur dans \pi_K de l'image de tout sous-groupe ouvert de \pi_{K'} soit réduit à (1) — on dira que l'homomorphisme en question est admissible. de telle façon qu'à partir des hom. extérieurs (commutant à \Gamma) on reconstitue les classes d'extensions E_K et E_{K'}, qui est l'objet vraiment essentiel. P. ex. si justement K' = k, donc E_{K'} = \Gamma, ce qui nous intéressera, ce ne seront pas les \Gamma-hom. de \pi_{K'} = (1) (!) dans \pi_K, mais bien les sections de E_K sur \Gamma.

Question-conjecture. Soient K, K' deux corps, extensions de type finies de \mathbf{Q}, ~~considérons~~ un morphisme B_{K'} \to B_K de topos sur B_{\mathbf{Q}}.

Les conditions suivantes sont-elles bien équivalentes :

a) L'hom. provient d'un plongement de corps K \subset K'.

b) L'image de l'hom. ext. E_{K'} \to E_K a une image ouverte.

[c) L'hom. extérieur E_{K'} \to E_K est admissible.] c) n'est pas juste, cf. plus bas …

NB On sait que a \Rightarrow b \Rightarrow c, et que b) équivaut à \pi_{K'} \to \pi_K a une image ouverte.l'auteur écrit ici \pi_K \to \pi_{K'} ; le sens des autres flèches de la page est K' \to K.

Une réponse affirmative impliquerait que si \operatorname{degtr} K'/\mathbf{Q} < \operatorname{degtr} K/\mathbf{Q}, il n'y a pas de tel hom. E_{K'} \to E_K, compatible avec les projections sur E_{\mathbf{Q}} = \Gamma_{\mathbf{Q}} ; en particulier, ~~toute section de~~ il en résulterait que pour toute section de E_K sur \Gamma = \operatorname{Im}(E_K \to \Gamma_{\mathbf{Q}}), ou sur un sous-groupe \Gamma' ouvert de \Gamma, a un centralisateur non trivial dans E_K — et comme son centralisateur dans \Gamma' est réduit à (1), cela impliquerait (si \pi_K \neq 1) que pour une telle section, on aurait \pi_K^{\Gamma'} \neq (1). Or je n'aperçois que

p. 22 de l'auteur. ceci est sans doute faux (cf. plus bas n° 3) — il faudrait ~~dans~~ renforcer c) ci-dessus en

c') L'hom. E^{o}_{K'} \to E_K induit par E_{K'} \to E_K est admissible (où E^{o}_{K'} est le noyau de l'hom. composé E_{K'} \longrightarrow \Gamma_{\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q}} \xrightarrow{\ \text{caractère cyclotomique}\ } \widehat{\mathbf{Z}}^{*}\ ).

Mais pour voir que cette condition est nécessaire pour que l'hom. soit géométrique, il faudrait ~~savoir~~ vérifier que pour tout sous-groupe ouvert E' d'un E_K, le centralisateur dans E_K (non seulement de E' lui-même, mais même de E'^{o}) est réduit à 1 — ce qui résulte de la démonstration du th. 1, et du fait* que pour tout sous-groupe ouvert \Gamma' de \Gamma = \Gamma_{\mathbf{Q}}, le centralisateur (non seulement de \Gamma', mais même) de \Gamma'^{o} dans \Gamma est réduit à (1). * à vérifier !

Donc, la conjecture initiale devrait être corrigée dans la

Conséquence (conjecturale). Pour toute section d'un sous-groupe ouvert \Gamma' de \Gamma_{\mathbf{Q}}, de E_K sur \Gamma_{\mathbf{Q}}, ~~un sous-groupe ouvert~~ de sorte que \Gamma' opère (effectivement) sur \pi_K, on a (si K pas alg. sur \mathbf{Q}, i.e. \pi_K \neq (1)) \pi_K^{\Gamma'^{o}} \neq (1).

À vrai dire, à certains égards les \Gamma_K sont des groupes trop gros pour pouvoir travailler directement avec, et il y a lieu de regarder \Gamma_K comme une limite de groupes \Gamma_{U/\mathbf{Q}} associés à des modèles affines de K — et on s'intéressera plus particulièrement à des modèles affines qui sont des variétés élémentaires — plus généralement, qui sont des K(\pi,1) (au sens profini …). Il est possible qu'il faille d'ailleurs, dans l'énoncé de la conjecture, exiger, pour un hom. ext E_{K'} \to E_K donné, (en plus de l'hyp. d'admissibilité et de la compatibilité avec les hom. dans \Gamma_{\mathbf{Q}}) qu'il soit compatible avec les filtrations de ces groupes, associées à ces modèles (« filtrations modéliques » (grossières)).

Nous allons alors, en même temps que des extensions de t.f. de \mathbf{Q}, les hom. entre elles, et

p. 23 de l'auteur. homomorphismes de groupes profinis associés, ~~regarder~~ étudier la situation analogue pour des « modèles » élémentaires admissibles, voire des modèles K(\pi,1) généraux. (On peut aussi regarder de tels modèles sur un corps K ext. de type fini de \mathbf{Q}, — mais pour le moment cette situation mixte me paraît un peu bâtarde …) Si U, V sont de tels modèles, tout morphisme V \to Ula première lettre est surchargée. définit un morphisme de topos galoisiens sur B_{\mathbf{Q}}, B_U \to B_V, et si est ~~admissible~~ élémentaire admissible, est connu quand on connaît seulement H_1(B_{\overline{U}}, \mathbf{Z}_\ell) \longrightarrow H_1(B_{\overline{V}}, \mathbf{Z}_\ell) — ce qui est beaucoup moins que la classe d'iso. de hom. de B_{\mathbf{Q}}-topos. (En fait, ~~il suffit~~ sur V, dès que V se plonge dans une VA, f est connu quand on connaît sa restriction sur les topos …). Mais quels sont les hom. B_U \to B_V, ou E_U \to E_Vle sens des flèches B_U \to B_V, E_U \to E_V est celui de la page, inverse de celui de V \to U.

qui correspondent à des morphismes de modèles ? Avec un peu de culot, on dirait

Conjecture fondamentale : Soient U, V deux schémas de t.f. sur \mathbf{Q}, réguliers, U une ~~modèle~~ variété élémentaire admissible sur une extension finie de \mathbf{Q}. ~~Alors~~ Considérons ~~tout hom.~~ un hom. B_V \to B_U des topos étales sur \mathbf{Q} — ou ce qui revient au même, un hom. de groupes extérieur f : E_V = \pi_1(V) \to E_U = \pi_1(U), compatible avec les hom. ext dans \Gamma_{\mathbf{Q}} = \pi_1(\mathbf{Q}). NB pour l'unicité, il suffit que V lui-même soit un modèle élémentaire admissible, d'un corps de …

Conditions équivalentes

a) Cet hom. provient (à isom. près) d'un morphisme V \to U sur les modèles (qui est alors uniquement déterminé !)

b) f \mid E_V^{o} est admissible, i.e. l'image par f de tout sous-groupe ouvert de E_V^{o} a un centralisateur réduit à 1

p. 24 de l'auteur. Pour la nécessité de b), on est ramené aussitôt au cas où V est réduit à un pt, où cela se réduit à la ~~conséquence conjecturale de la conjecture-question préliminaire~~. et il vaut même mieux se borner à l'équivalence de a) et b) — la condition c) sur les centralisateurs risque de …aucune condition c) n'est écrite en p. 47 ; la marge vise peut-être la condition c) des pages 43–44.

Conséquence conjecturale. Soit \Gamma' \subset \operatorname{Im}(E_U \to \Gamma_{\mathbf{Q}}) un sous-groupe ouvert, correspondant à un corps k fini sur \mathbf{Q}, considérons un k-point de U, d'où un relèvement \Gamma' \to E_U, de sorte que \Gamma' opère sur \pi_U. Ceci posé, on a \pi_U^{\Gamma'^{o}} = \{1\}. énoncé encadré d'un trait vertical dans la marge gauche.

On étudiera par la suite les relations entre cette cons. « conjecturale », et la précédente (d'apparence opposée !) concernant les E_K.

La conjecture fondamentale, sur les modèles, implique la conjecture fondamentale sur les corps, à condition de prendre soin, dans cette dernière, de se limiter aux hom. compatibles aux filtrations modéliques, importantes pour U. Plus généralement, prenant des schémas qui sont des \varprojlim de ~~schémas~~ modèles élém. admissibles, des immersions ouvertes morphismes de transition affines

(qui ne proviennent pas : la \varprojlim dans la catégorie des schémas), soit V un schéma \varprojlim de schémas séparés réguliers de t.f. sur \mathbf{Q} (morphismes de transition affines immersions ouvertes sans plus). Alors les morphismes dominants de schémas V \to U doivent correspondre aux hom. ext. E_V \to E_U, compatibles avec les projections dans E_{\mathbf{Q}} = \Gamma_{\mathbf{Q}}, et tels que l'image soit ouverte.

P. ex. on pourrait prendre (~~U, \operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}~~) pour V les spectres d'anneaux locaux réguliers \mathcal{O}_{X,x} de schémas de type fini sur \mathbf{Q}.

Cette conjecture fondamentale (éventuellement revue et corrigée en cours de route !) étant admise, la question qui se pose ensuite est de déterminer les topos (pro)galoisiens sur B_{\mathbf{Q}} qui proviennent de modèles élémentaires admissibles — ou encore, les \pi_U = \pi_1(\overline{U}) de tels modèles étant connus, de déterminer quelles sont

p. 25 de l'auteur. les opérations extérieures possibles de sous-groupes ouverts \Gamma' de \Gamma_{\mathbf{Q}} sur de tels groupes fondamentaux — et éventuellement question analogue pour d'autres types de groupes profinis, correspondant à des K(\pi,1) qui se réaliseraient par des variétés algébriques (sur \mathbf{C}, disons), mais pas par des variétés élémentaires. (J'ai en vue ~~surtout~~ des ~~topos~~ variétés modulaires, telles que, notamment, des variétés modulaires pour les courbes algébriques …) À partir de là, on reconstruirait par recollement, en termes profinis, tous les schémas lisses sur un corps de type fini sur \mathbf{Q} (ou plutôt, la catégorie de ceux-ci …), et plus gén. sur un corps quelconque — puis, sans doute, par « recollement », la catégorie des schémas loc. de type fini sur un K — ou du moins la cat. des fractions qui s'en déduit en rendant inv. les

homéomorphismes universels …

Les réflexions précédentes suggèrent aussi des énoncés comme le suivant : Pour un schéma de base S loc. noeth. donné, le foncteur X \mapsto X_{\text{et}}, allant de la catégorie des schémas réduits ~~réduits~~ loc. de prés. finie sur S, vers la 2-catégorie des topos au-dessus de S_{\text{et}}, est ~~pleinement~~ 1-fidèle (donc hom. f, g : X \rightrightarrows Y tels que les morphismes de topos X_{\text{et}} \rightrightarrows Y_{\text{et}} f_{\text{et}}, g_{\text{et}} au-dessus de S_{\text{et}} soient isomorphes, sont égaux) et est peut-être pleinement fidèle, quand on passe à la catégorie de fractions de (\mathrm{Sch}_{\text{l.t.f}})/S obtenue en rendant inv. les homéom. universels … S de car. 0 ? Exprimant ceci p. ex. par les automorphismes d'une courbe alg. propre sur une ext. finie de \mathbf{Q}, on retrouverait le « fait » que tout automorphisme ext. de E_K (K le corps des fonctions de X) qui respecte la structure : et qui commute à l'action de \Gamma, provient d'un automorphisme de X.

p. 26 de l'auteur.

3. Étude des sections de E_U sur \Gamma.

Soit U un ~~variété élémentaire sur~~ schéma géom. connexe lisse de t.f. le corps K, d'où E_U \to E_K, et on se propose d'étudier les sections mod \pi_{U/K}-conjugaison — plus généralement, en même temps, regarder les sections E'_K \to E_U, où E'_K est un sous-groupe ouvert de E_K (ce qui signifie qu'on fait une extension de base K' de type fini sur le corps \mathbf{Q} et finie sur K). On a choisi un rev. universel \widetilde{U} de U pour définir \overline{K}, et E_U, E_K, et E_U \to E_K. (1)\qquad 1 \longrightarrow \pi_{U/K} \longrightarrow E_U \longrightarrow E_K \longrightarrow 1 . la suite (1) est écrite verticalement dans la marge gauche, à côté de ce passage ; les renvois à (1) des pages suivantes la visent. Si U se plonge dans un schéma en groupes commutatif rigides, l'application U(K) \longrightarrow \begin{array}{l} \text{classes d'isomorphie de sections de } B_U \text{ sur } B_K,\\ \text{i.e.\ classes de } \pi_{\overline{U}/K}\text{-conjugaison}\\ \text{de sections de } E_U \text{ sur } E_K \end{array} est injective. On va examiner d'autres façons « géométriques » de trouver des sections.

Supposons d'abord que U est une courbe algébrique, ~~qu'il ne soit pas~~ type (0,0) ou (0,1) i.e. \pi_1(\overline{U}) = \pi_{U/K} \neq \{0\} ; on a vu que pour i \in \widehat{U} \setminus U (« pts à l'infini », ), le groupe de lacets L_i fournit un ( si i rat./K, i.e. fixé

par E_{\overline{K},K}) en prenant son centralisateur Z(L_i) dans E, d'où (2)\qquad 1 \longrightarrow L_i \longrightarrow Z(L_i) \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1, \qquad L_i \simeq T_\infty(\overline{K}^{*}) = T, et on prend les scindages de cette extension. Il en existe, p. ex. définis par une uniformisante de \mathcal{O}_{\widehat{U},i}. L'ens. des classes de conjugaison des scindages de (2) est un torseur sous ~~H^1(\Gamma,T)~~ (3)\qquad H^1(\Gamma, T) \simeq \varprojlim_n H^1(K, {}_n\mu) \simeq \widehat{K^{*}} = \varprojlim_n K^{*}/K^{*n} et s'envoie injectivement dans l'ens. des classes de \pi-conj. de scindages.le numéro (3) servira de nouveau en p. 54 pour une autre relation.

Proposition. On suppose (g,\nu) \neq (0,0), (0,1) i.e. \pi_{-} = \pi_{U/K} \neq (1). Alors les classes de \pi-conjugaison ~~associées~~ de scindages de (1) définis par les scindages de (2) sont distinctes de celles associées aux pts de U(K). ~~De plus~~, (de plus, si dans le cas anabélien, (g,\nu) \neq (0,2), i.e. si ) alors les classes de \pi-conjugaison de scindages de (1), associés à des scindages de (2) pour deux indices i = i_1 et i = i_2 distincts, sont distinctes. C'est démontré sauf peut-être pour le type (0,3), qui mérite un examen approfondi.

p. 27 de l'auteur. La première assertion s'obtient en « bouchant » le trou i, donc la section envisagée devient la section de U \cup \{i\} = U' associée au pt i, et elle est donc distincte de celles associées aux pt autres pts de U', i.e. aux pts de U — à fortiori aussi quotient par le s-groupe inv. engendré par L_i. On raisonne de même pour voir que les classes de conj. de scindages associés à un L_{i_1} et un L_{i_2}, i_1 \neq i_2, sont distincts — au moins dans tous les cas sauf le cas du type (0,3), — en bouchant deux trous, on tombe sur le type (0,1), où on ne dispose pas du résultat d'injectivité. Mais on peut s'en tirer autrement, à condition d'établir que pour un scindage de (2), faisant opérer \Gamma sur \pi, on a (3)\qquad \pi^{\Gamma^{o}} = L_i (donc \pi^{\Gamma} = (1), d'ailleurs) — résultat qui me paraît hautement plausible. À énoncer parmi les conjectures-clefs … Cela

montrerait que la classe de conjugaison de section détermine la classe de conjugaison de L_i, donc i.

Conjecture A. Soit U courbe alg. anabélienne géom. connexe sur un corps K de type fini sur \mathbf{Q}. Alors toute section de (1) est ~~définie~~ d'un des deux types précédents, i.e. soit définie par un pt de U(K), soit par une section d'une extension (2), avec i \in I(\overline{K})^{\Gamma}, i.e. i un pt de \widehat{U} \setminus U, rationnel sur K. Il y a plus : des précisions : \pi^{\Gamma^{o}} = (1) (premier cas), \pi^{\Gamma^{o}} = L_i (deux. cas).

Si on admet cette conjecture, alors on en conclurait, par passage à la limite, en considérant le corps des fonctions L de U et E_L \to E_K (E_L pro- considéré comme un groupe à lacets « infini » (avec une infinité de classes de sous-groupes L_i de lacets …)) que tout scindage de cette extension provient d'un scindage d'une extension du type (2), avec i \in I^{\Gamma} = X(K) (X = \widehat{U}). Les classes de tels scindages

p. 28 de l'auteur. se groupent donc classes de paquets (en regardant les centralisateurs des s-groupes images de \Gamma^{o} par ces sections), et on mettre ensemble les scindages qui ont des \operatorname{Centr}(\Gamma^{o}) conjugués (même s'ils ne sont pas eux-mêmes conjugués). Donc on retrouverait une description de X(K) (comme aussi des X(K') pour K' ext. finie de K) en termes de l'extension E_L de E_K par \pi_{L/K}, en même temps qu'une façon de reconstituer les U = X \setminus I …

Donc en fait c'est la structure E_L \to E_K qui est la plus riche a priori, et de loin plus commode pour le genre 0 et 1, vu que la considération des U de type (g,\nu) (2g+\nu \geq 3) casse le groupe « continu » d'automorphismes … La forme « modélique » de la conjecture précédente revient à la forme « birationnelle », quand on y précise cette dernière en disant que

les scindages de E_U \to E_K se remontent en un scindage de E_L \to E_K (ou aussi, pour un scindage de E_V \to E_K, si V est un modèle \subset U).

On va mettre les conjectures précédentes (sous forme modélique, disons) sous une forme plus géométrique, en introduisant, en même temps que un revêtement universel \widetilde{U} de U, la normalisation X' de X dans \widetilde{U} (où X = \widehat{U}). (NB je m'abstiens de la noter \widetilde{X}, vu que justement il n'est pas étale sur X …). Notons que pour l'un des i \in I = \overline{X} - \overline{U}, les L_i dans \overline{\pi} = \pi(\overline{U}) sont en corr. 1-1 avec ~~l'ens.~~ les fibres X'_i de X' au-dessus de i

\begin{tikzcd} X \arrow[r, no head] & \overline{X} \arrow[r, no head] & X' \\ U \arrow[r, no head] \arrow[u, no head, "\cup" description] \arrow[d, no head] & \overline{U} \arrow[r, no head] \arrow[u, no head, "\cup" description] \arrow[d, no head] & \widetilde{U} \arrow[u, no head, "\cup" description] \\ K \arrow[r, no head] & \overline{K} & \end{tikzcd}

Donc X' peut être considéré comme la réunion de \widetilde{U}, et de X' \mid I = ensemble des sous-groupes lacets de \overline{\pi}, qui joueraient ainsi comme des « pts à l'infini » du rev. universel \widetilde{U}. D'ailleurs E_U s'interprète

p. 29 de l'auteur. comme le groupe des K-automorphismes du schéma \widetilde{U} compatibles avec, et E_U \to E_K comme l'hom. de passage au quotient évident (NB \overline{K} s'identifie à la clôture alg. de K dans H^0(\widetilde{U}, \mathcal{O}_{\widetilde{U}}), donc E_U opère sur \operatorname{Spec}\overline{K} de façon naturelle …). Une section de E_U sur E_K est donc une action de E_K sur \widetilde{U}, compatible avec son action sur \overline{K}, et continue dans un sens convenable (sans doute la conv. simple-discrète sur les U_i finis sur \overline{U} entre \overline{U} et \widetilde{U} …).

Considérons donc la

Conjecture B. Toute telle action de \Gamma sur \widetilde{U} admet dans X' = \widehat{\widetilde{U}} un pt fixe et un seul. énoncé encadré d'un trait vertical dans la marge gauche. et l'action induite de \Gamma^{o} doit avoir un pt fixe et un seul — cf. plus bas.

Ceci signifie donc

a) S'il y a un pt fixe à distance finie, i.e. \tilde{x} \in \widetilde{U}^{\Gamma}, alors 1°) L'image de \tilde{x} dans U est uniquement déterminée — c'est essentiellement le th. 3 du § 1 (deux pts distincts de U(K) définissent des classes de conj. de scindages distinctes) et

2°) \pi^{\Gamma} = (1) (i.e. il n'y a pas d'autre pt fixe dans \widetilde{U} au-dessus de x \in U(K)), et enfin

3°) il n'y a pas en même temps un pt fixe \tilde{x} à l'infini — i.e. il n'existe pas de L_i normalisé par \Gamma, i.e. un scindage du premier type n'est pas en même temps du deuxième (fait que nous avons établi directement, précédemment). C'est un cas particulier d'une conjecture « conjecturale » des conjectures ; il faudrait écrire \pi^{\Gamma^{o}} = (1).

D'autre part, dans le cas de pts fixes à l'\infty, l'unicité de l'image dans X signifie qu'une même action effective ne peut normaliser à la fois un L_i et un L_j (i \neq j) — fait également établi sauf dans le cas (g,\nu) = (0,3) — et l'unicité au-dessus d'un i \in I fixé (i fixé) signifie que le L_i normalisé par \Gamma est unique, ce qui est un affaiblissement de la relation L_i = \pi^{\Gamma^{o}} pour ces opérations, conjecturée plus haut.

p. 30 de l'auteur. En fait, je conjecture que dans la conj. B, il est même vrai que \Gamma^{o} agissant sur X' = \widehat{\widetilde{U}} a un pt fixe et un seul (ce qui est plus fort, car ce fixe serait nécessairement fixe par \Gamma). Ceci ~~signifie~~ implique, dans le cas de pts fixes à distance finie, que \pi^{\Gamma^{o}} = (1), comme il se devrait en général — et dans le cas de pt fixe à l'infini, que \pi^{\Gamma^{o}} \subset \operatorname{Norm}_{\pi}(L_i) = L_i donc la relation \pi^{\Gamma^{o}} = L_i « hautement plausible » de tantôt !

Du coup je me demande d'ailleurs si ces énoncés ne devraient pas être valables sans partir d'un relèvement de \Gamma tout entier, mais seulement de \Gamma^{o} (ou d'un sous-groupe contenant un sous-groupe ouvert de \Gamma^{o}, plus gén.) — ce qui signifierait plus ou moins que la phrase continue au-delà de ce lot.