Cote n° 149 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

41la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot : il s'agit de reconstruire les plongements de corps à partir des groupes fondamentaux profinis munis de l'opération de \(\Gamma\). des groupes ⌜profinis⌝ extérieurs avec opération de \(\Gamma\) dessus. Et on pressent que le th. 3 du § précédent (« appliqué » notamment à \(\mathbf{P}^1_K\) convenablement troué …) pourrait donner la clef d'une telle construction.

Bien […] sûr, des homomorphismes extérieurs quelconques \(\pi^{\wedge}_{K'} \to \pi^{\wedge}_{K}\) n'auront pas de sens géométrique — l'idée est que les opérations du groupe \(\Gamma = \Gamma_{\overline{\mathbf{Q}}/k}\) dessus sont si draconiennes, qu'il n'est possible de trouver un hom. extérieur qui y commute que par voie géométrique — par des plongements de corps.le signe de complétion \(\wedge\) est porté au-dessus de l'indice ; sur le second \(K\) il est peut-être doublé d'une barre. Donc il est essentiel ici que le corps de base ne soit pas quelconque, mais un corps tel que \(\mathbf{Q}\) (ou, ce qui revient manifestement au même, une extension de type fini de \(\mathbf{Q}\)). Encore faut-il se borner aux hom. \(\pi_{K'} \to \pi_K\) dont on décrète d'avance que l'image soit ouverte — sinon,

42p. 21 de l'auteur. prenant pour \(\pi_{K'}\) le groupe unité (i.e. \(K' = k\)), on trouverait un hom. \(K \to k\) correspondant ! Il faut pour le moins, pour travailler à l'aise à partir d'homomorphismes \(\pi_{K'} \to \pi_K\) (au lieu de \(E_{K'} \to E_K\)) supposer que le centralisateur dans \(\pi_K\) de l'image de tout sous-groupe ouvert de \(\pi_{K'}\) soit réduit à \((1)\) — on dira que l'homomorphisme en question est admissible. […] de telle façon qu'à partir des [hom.] extérieurs (commutant à \(\Gamma\)) on reconstitue les classes d'extensions \(E_K\) et \(E_{K'}\), qui est l'objet vraiment essentiel. P. ex. si justement \(K' = k\), donc \(E_{K'} = \Gamma\), ce qui nous intéressera, ce ne seront pas les \(\Gamma\)-hom. de \(\pi_{K'} = (1)\) (!) dans \(\pi_K\), mais bien les sections de \(E_K\) sur \(\Gamma\).

Question-conjecture. Soient \(K\), \(K'\) deux corps, extensions ⌜de type⌝ finies de \(\mathbf{Q}\), considérons un morphisme \(B_{K'} \to B_K\) de topos sur \(B_{\mathbf{Q}}\).

43Les conditions suivantes sont-elles bien équivalentes :

a) L'hom. provient d'un plongement de corps \(K \subset K'\).

b) L'image ⌜de l'hom. ext.⌝ \(E_{K'} \to E_K\) a une image ouverte.

[c) L'hom. extérieur \(E_{K'} \to E_K\) est admissible.] c) n'est pas juste, cf. plus bas …

NB On sait que a \(\Rightarrow\) b \(\Rightarrow\) c, et que b) équivaut à \(\pi_{K'} \to \pi_K\) a une image ouverte.l'auteur écrit ici \(\pi_K \to \pi_{K'}\) ; le sens des autres flèches de la page est \(K' \to K\).

Une réponse affirmative impliquerait que si \(\operatorname{degtr} K'/\mathbf{Q} < \operatorname{degtr} K/\mathbf{Q}\), il n'y a pas de tel hom. \(E_{K'} \to E_K\), compatible avec les projections sur \(E_{\mathbf{Q}} = \Gamma_{\mathbf{Q}}\) ; en particulier, toute section de ⌜il en résulterait⌝ que pour toute section de \(E_K\) sur \(\Gamma = \operatorname{Im}(E_K \to \Gamma_{\mathbf{Q}})\), ou sur un sous-groupe ⌜\(\Gamma'\)⌝ ouvert de \(\Gamma\), a un centralisateur ⌜non⌝ trivial dans \(E_K\) — et comme son centralisateur dans \(\Gamma'\) est réduit à \((1)\), cela impliquerait (si \(\pi_K \neq 1\)) que pour une telle section, on aurait \(\pi_K^{\Gamma'} \neq (1)\). Or je n'aperçois que

44p. 22 de l'auteur. ceci est sans doute faux (cf. plus bas ⌜n° 3⌝) — il faudrait dans ⌜renforcer⌝ c) ci-dessus en

c') L'hom. \(E^{o}_{K'} \to E_K\) induit par \(E_{K'} \to E_K\) est admissible (où \(E^{o}_{K'}\) est le noyau de l'hom. composé \[ E_{K'} \longrightarrow \Gamma_{\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q}} \xrightarrow{\ \text{caractère cyclotomique}\ } \widehat{\mathbf{Z}}^{*}\ ). \]

Mais pour voir que cette condition est nécessaire pour que l'hom. soit géométrique, il faudrait savoir vérifier que ⌜pour⌝ tout sous-groupe ouvert \(E'\) d'un \(E_K\), le centralisateur dans \(E_K\) (non seulement de \(E'\) lui-même, mais même de \(E'^{o}\)) est réduit à \(1\) — ce qui résulte de la démonstration du th. 1, et du fait* que pour tout sous-groupe ouvert \(\Gamma'\) de \(\Gamma = \Gamma_{\mathbf{Q}}\), le centralisateur (non seulement de \(\Gamma'\), mais même) de \(\Gamma'^{o}\) dans \(\Gamma\) est réduit à \((1)\). * à vérifier !

Donc, la conjecture initiale devrait être corrigée dans la

Conséquence (conjecturale). Pour toute ⌜[…]⌝ section ⌜d'un sous-groupe⌝ ouvert \(\Gamma'\) de \(\Gamma_{\mathbf{Q}}\), […] de \(E_K\) sur \(\Gamma_{\mathbf{Q}}\), un sous-groupe ouvert de sorte que \(\Gamma'\) opère (effectivement) sur \(\pi_K\), on a (si \(K\) pas alg. sur \(\mathbf{Q}\), i.e. \(\pi_K \neq (1)\)) \(\pi_K^{\Gamma'^{o}} \neq (1)\).

45À vrai dire, à certains égards les \(\Gamma_K\) sont des groupes trop gros pour pouvoir travailler directement avec, et il y a lieu de regarder \(\Gamma_K\) comme une limite de groupes \(\Gamma_{U/\mathbf{Q}}\) associés à des modèles affines de \(K\) — et on s'intéressera plus particulièrement à des modèles affines qui sont des variétés élémentaires — plus généralement, qui sont des \(K(\pi,1)\) (au sens profini …). Il est possible qu'il faille d'ailleurs, dans l'énoncé de la conjecture, exiger, […] pour un hom. ⌜ext⌝ \(E_{K'} \to E_K\) donné, […] (en plus de l'hyp. d'admissibilité et de la compatibilité avec les hom. dans \(\Gamma_{\mathbf{Q}}\)) qu'il soit compatible avec les filtrations de ces groupes, associées à ces modèles (« filtrations modéliques » (grossières)).

Nous allons alors, en même temps que des extensions de t.f. de \(\mathbf{Q}\), les hom. entre elles, et

46p. 23 de l'auteur. homomorphismes de groupes profinis associés, regarder ⌜étudier⌝ la situation analogue pour des « modèles » élémentaires ⌜admissibles⌝, voire des modèles \(K(\pi,1)\) généraux. (On peut aussi regarder de tels modèles sur un corps ⌜\(K\) ext.⌝ […] de type fini de \(\mathbf{Q}\), — mais pour le moment cette situation mixte me paraît un peu bâtarde …) Si \(U\), \(V\) sont de tels modèles, tout morphisme \(V \to U\)la première lettre est surchargée. définit un morphisme de topos galoisiens sur \(B_{\mathbf{Q}}\), \(B_U \to B_V\), […] et si […] est admissible élémentaire admissible, […] est connu quand on connaît seulement \[ H_1(B_{\overline{U}}, \mathbf{Z}_\ell) \longrightarrow H_1(B_{\overline{V}}, \mathbf{Z}_\ell) \] — ce qui est beaucoup moins que la classe d'iso. de hom. de \(B_{\mathbf{Q}}\)-topos. (En fait, il suffit […] […] sur \(V\), dès que \(V\) se plonge dans une VA, \(f\) est connu quand on connaît sa restriction sur les topos […] …). Mais quels sont les hom. \(B_U \to B_V\), ou \(E_U \to E_V\)le sens des flèches \(B_U \to B_V\), \(E_U \to E_V\) est celui de la page, inverse de celui de \(V \to U\).

47qui correspondent à des morphismes de modèles ? Avec un peu de culot, on dirait

Conjecture fondamentale : Soient \(U\), \(V\) deux schémas de t.f. sur \(\mathbf{Q}\), […] ⌜[…]⌝ réguliers, \(U\) une modèle ⌜variété⌝ élémentaire admissible sur une extension finie de \(\mathbf{Q}\). Alors ⌜Considérons⌝ tout hom. un hom. \(B_V \to B_U\) des topos étales sur \(\mathbf{Q}\) — ou ce qui revient au même, un hom. de groupes extérieur \(f : E_V = \pi_1(V) \to E_U = \pi_1(U)\), compatible avec les hom. ⌜ext⌝ dans \(\Gamma_{\mathbf{Q}} = \pi_1(\mathbf{Q})\). NB pour l'unicité, il suffit […] que \(V\) lui-même soit un modèle élémentaire admissible, […] d'un corps de […] …

Conditions équivalentes

a) Cet hom. provient (à isom. près) d'un morphisme \(V \to U\) sur les modèles (qui est alors uniquement déterminé !)

b) \(f \mid E_V^{o}\) est admissible, i.e. l'image par \(f\) de tout sous-groupe ouvert de \(E_V^{o}\) a un centralisateur réduit à \(1\)

48p. 24 de l'auteur. Pour la nécessité de b), on est ramené aussitôt au cas où \(V\) est réduit à un pt, où cela se réduit à la conséquence conjecturale de la conjecture-question préliminaire. et il vaut même mieux se borner à l'équivalence de a) et b) — la condition c) sur les centralisateurs risque de […] […] …aucune condition c) n'est écrite en p. 47 ; la marge vise peut-être la condition c) des pages 43–44.

Conséquence conjecturale. Soit \(\Gamma' \subset \operatorname{Im}(E_U \to \Gamma_{\mathbf{Q}})\) un sous-groupe ouvert, correspondant à un corps \(k\) fini sur \(\mathbf{Q}\), considérons un \(k\)-point de \(U\), d'où un relèvement \(\Gamma' \to E_U\), de sorte que \(\Gamma'\) opère sur \(\pi_U\). Ceci posé, on a \[ \pi_U^{\Gamma'^{o}} = \{1\}. \] énoncé encadré d'un trait vertical dans la marge gauche.

On étudiera par la suite les relations entre cette ⌜cons.⌝ « conjecturale », et la précédente (d'apparence opposée !) concernant les \(E_K\).

La conjecture fondamentale, sur les modèles, implique la conjecture fondamentale sur les corps, à condition de prendre soin, dans cette dernière, de se limiter aux hom. compatibles aux filtrations modéliques, ⌜importantes⌝ pour \(U\). Plus généralement, prenant des schémas qui sont des \(\varprojlim\) de schémas ⌜modèles élém.⌝ […] admissibles, […] ⌜des immersions ouvertes⌝ morphismes de transition affines

49(qui ne proviennent pas : la \(\varprojlim\) dans la catégorie des schémas), […] ⌜soit⌝ \(V\) un schéma \(\varprojlim\) de schémas séparés réguliers de t.f. sur \(\mathbf{Q}\) (morphismes de transition affines ⌜immersions ouvertes⌝ sans plus). Alors les morphismes dominants de schémas \(V \to U\) doivent correspondre aux hom. ext. \(E_V \to E_U\), compatibles avec les projections dans \(E_{\mathbf{Q}} = \Gamma_{\mathbf{Q}}\), et tels que l'image soit ouverte.

P. ex. on pourrait prendre (\(U\), \(\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}\)) ⌜pour⌝ \(V\) les spectres d'anneaux locaux ⌜réguliers⌝ \(\mathcal{O}_{X,x}\) de schémas de type fini sur \(\mathbf{Q}\).

Cette conjecture fondamentale (éventuellement revue et corrigée en cours de route !) étant admise, la question qui se pose ensuite est de déterminer les topos (pro)galoisiens sur \(B_{\mathbf{Q}}\) qui proviennent de modèles élémentaires admissibles — ou encore, les \(\pi_U = \pi_1(\overline{U})\) de tels modèles étant connus, de déterminer quelles sont

50p. 25 de l'auteur. [les opér]ations extérieures possibles de sous-groupes ⌜ouverts⌝ \(\Gamma'\) de \(\Gamma_{\mathbf{Q}}\) sur de tels groupes fondamentaux — et éventuellement question analogue pour d'autres types de groupes profinis, correspondant à des \(K(\pi,1)\) qui se réaliseraient par des variétés algébriques (sur \(\mathbf{C}\), disons), mais pas par des variétés élémentaires. (J'ai en vue surtout des topos ⌜variétés⌝ modulaires, telles que, notamment, des variétés modulaires pour les courbes algébriques …) À partir de là, on reconstruirait par recollement, en termes profinis, tous les schémas lisses sur un corps de type fini sur \(\mathbf{Q}\) (ou plutôt, la catégorie de ceux-ci …), et plus gén. sur un corps quelconque — puis, sans doute, par « recollement », la catégorie des schémas loc. de type fini sur un \(K\) — ou du moins la cat. des […] ⌜fractions⌝ qui s'en déduit en rendant inv. les

51homéomorphismes universels …

Les réflexions précédentes suggèrent aussi des énoncés comme le suivant : Pour un schéma de base \(S\) loc. noeth. donné, le foncteur \(X \mapsto X_{\text{et}}\), allant de la catégorie des schémas ⌜réduits⌝ réduits loc. de prés. finie sur \(S\), vers la 2-catégorie des topos au-dessus de \(S_{\text{et}}\), est pleinement 1-fidèle (donc hom. \(f, g : X \rightrightarrows Y\) tels que les morphismes de topos \(X_{\text{et}} \rightrightarrows Y_{\text{et}}\) ⌜\(f_{\text{et}}, g_{\text{et}}\)⌝ au-dessus de \(S_{\text{et}}\) soient isomorphes, sont égaux) et est peut-être pleinement fidèle, quand on passe à la catégorie de fractions de \((\mathrm{Sch}_{\text{l.t.f}})/S\) obtenue en rendant inv. les homéom. universels … \(S\) de car. \(0\) ? Exprimant […] ceci p. ex. par les automorphismes d'une courbe alg. propre sur une ext. finie de \(\mathbf{Q}\), on retrouverait le « fait » que tout automorphisme ext. de \(E_K\) (\(K\) le corps des fonctions de \(X\)) qui respecte la structure : […] et qui commute à l'action de \(\Gamma\), provient d'un automorphisme de \(X\).

52p. 26 de l'auteur.

3. Étude des sections de \(E_U\) sur \(\Gamma\).

Soit \(U\) un variété élémentaire sur ⌜schéma géom. connexe lisse de t.f.⌝ le corps \(K\), d'où \(E_U \to E_K\), et on se propose d'étudier les sections mod \(\pi_{U/K}\)-conjugaison — plus généralement, en même temps, regarder les sections \(E'_K \to E_U\), où \(E'_K\) est un sous-groupe ouvert de \(E_K\) (ce qui signifie qu'on fait une extension de base \(K'\) de type fini sur le corps \(\mathbf{Q}\) et finie sur \(K\)). On a choisi un rev. universel \(\widetilde{U}\) de \(U\) pour définir \(\overline{K}\), et \(E_U\), \(E_K\), et \(E_U \to E_K\). \[ (1)\qquad 1 \longrightarrow \pi_{U/K} \longrightarrow E_U \longrightarrow E_K \longrightarrow 1 . \] la suite (1) est écrite verticalement dans la marge gauche, à côté de ce passage ; les renvois à (1) des pages suivantes la visent. Si \(U\) se plonge dans un schéma en groupes commutatif […] ⌜[…]⌝ rigides, […] l'application \[ U(K) \longrightarrow \begin{array}{l} \text{classes d'isomorphie de sections de } B_U \text{ sur } B_K,\\ \text{i.e.\ classes de } \pi_{\overline{U}/K}\text{-conjugaison}\\ \text{de sections de } E_U \text{ sur } E_K \end{array} \] est injective. On va examiner d'autres façons ⌜« géométriques »⌝ de trouver des sections.

Supposons d'abord que \(U\) est une courbe algébrique, qu'il ne soit pas […] ⌜[…]⌝ type \((0,0)\) ou \((0,1)\) i.e. \(\pi_1(\overline{U}) = \pi_{U/K} \neq \{0\}\) ; on a vu que pour […] \(i \in \widehat{U} \setminus U\) (« pts à l'infini », […]), le groupe de lacets \(L_i\) fournit un […] ([…] […] si \(i\) rat./\(K\), i.e. fixé

53par \(E_{\overline{K},K}\)) en prenant son centralisateur \(Z(L_i)\) dans \(E\), d'où \[ (2)\qquad 1 \longrightarrow L_i \longrightarrow Z(L_i) \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1, \qquad L_i \simeq T_\infty(\overline{K}^{*}) = T, \] et on prend les scindages de cette extension. Il en existe, p. ex. définis par une uniformisante de \(\mathcal{O}_{\widehat{U},i}\). L'ens. des classes de conjugaison […] des scindages de (2) est un torseur sous \(H^1(\Gamma,T)\) \[ (3)\qquad H^1(\Gamma, T) \simeq \varprojlim_n H^1(K, {}_n\mu) \simeq \widehat{K^{*}} = \varprojlim_n K^{*}/K^{*n} \] et […] s'envoie injectivement dans l'ens. des classes de \(\pi\)-conj. de scindages.le numéro (3) servira de nouveau en p. 54 pour une autre relation.

Proposition. On suppose \((g,\nu) \neq (0,0), (0,1)\) i.e. \(\pi_{-} = \pi_{U/K} \neq (1)\). Alors les classes de \(\pi\)-conjugaison associées ⌜de⌝ scindages de (1) définis par les scindages de (2) sont distinctes de celles associées aux pts de \(U(K)\). De plus, ⌜(de plus,⌝ si […] dans le cas anabélien, \((g,\nu) \neq (0,2)\), […] ⌜i.e. si […]⌝) alors les classes de \(\pi\)-conjugaison de scindages de (1), associés à des scindages de (2) pour deux indices \(i = i_1\) et \(i = i_2\) distincts, sont distinctes. C'est démontré sauf peut-être pour le type \((0,3)\), qui mérite un examen approfondi.

54p. 27 de l'auteur. La première assertion s'obtient en « bouchant » le trou \(i\), donc la section envisagée devient la section de \(U \cup \{i\} = U'\) associée au pt \(i\), et elle est donc distincte de celles associées aux pt autres pts de \(U'\), i.e. aux pts de \(U\) — à fortiori aussi […] quotient par le s-groupe inv. engendré par \(L_i\). On raisonne de même pour voir que les classes de conj. de scindages associés à un \(L_{i_1}\) et un \(L_{i_2}\), \(i_1 \neq i_2\), sont distincts — […] au moins dans tous les cas sauf le cas du type \((0,3)\), — en bouchant deux trous, on tombe sur le type \((0,1)\), où on ne dispose pas du résultat d'injectivité. Mais on peut s'en tirer autrement, à condition d'établir que pour un scindage de (2), faisant opérer \(\Gamma\) sur \(\pi\), on a \[ (3)\qquad \pi^{\Gamma^{o}} = L_i \] (donc \(\pi^{\Gamma} = (1)\), d'ailleurs) — résultat qui me paraît hautement plausible. À énoncer parmi les conjectures-clefs … Cela

55montrerait que la classe de conjugaison de section détermine la classe de conjugaison de \(L_i\), donc \(i\).

Conjecture A. Soit \(U\) courbe alg. anabélienne géom. connexe sur un corps \(K\) de type fini sur \(\mathbf{Q}\). Alors toute section de (1) est définie d'un des deux types précédents, i.e. soit définie par un pt de \(U(K)\), soit par une section d'une extension (2), avec \(i \in I(\overline{K})^{\Gamma}\), i.e. \(i\) un pt de \(\widehat{U} \setminus U\), rationnel sur \(K\). Il y a plus : des précisions : \(\pi^{\Gamma^{o}} = (1)\) (premier cas), \(\pi^{\Gamma^{o}} = L_i\) (deux. cas).

Si on admet cette conjecture, alors on en conclurait, par passage à la limite, en considérant le corps des fonctions \(L\) de \(U\) et \(E_L \to E_K\) (\(E_L\) pro-[…] considéré comme un groupe à lacets « infini » (avec une infinité de ⌜classes de⌝ sous-groupes \(L_i\) de lacets …)) que tout scindage de cette extension provient d'un scindage d'une extension du type (2), avec \(i \in I^{\Gamma} = X(K)\) \((X = \widehat{U})\). Les classes ⌜de⌝ tels scindages

56p. 28 de l'auteur. se groupent donc […] ⌜classes de⌝ paquets (en regardant les centralisateurs des s-groupes images de \(\Gamma^{o}\) par ces sections), et on […] mettre ensemble les scindages qui ont des \(\operatorname{Centr}(\Gamma^{o})\) conjugués (même s'ils ne sont pas eux-mêmes conjugués). Donc on retrouverait une description de \(X(K)\) (comme aussi des \(X(K')\) pour \(K'\) ext. finie de \(K\)) en termes de l'extension \(E_L\) de \(E_K\) par \(\pi_{L/K}\), en même temps qu'une façon de reconstituer les \(U = X \setminus I\) …

Donc en fait c'est la structure \(E_L \to E_K\) qui est la plus riche a priori, et de loin plus commode pour le genre \(0\) et \(1\), vu que la considération des \(U\) de type \((g,\nu)\) \((2g+\nu \geq 3)\) casse le groupe « continu » d'automorphismes … La forme « modélique » de la conjecture précédente revient à la forme « birationnelle », quand on y précise cette dernière en disant que

57les scindages de \(E_U \to E_K\) se […] remontent en un scindage de \(E_L \to E_K\) (ou aussi, pour un scindage de \(E_V \to E_K\), si \(V\) est un modèle \(\subset U\)).

On va mettre les conjectures précédentes (sous forme modélique, disons) sous une forme plus géométrique, en introduisant, en même temps que un revêtement universel \(\widetilde{U}\) de \(U\), la normalisation \(X'\) ⌜[…]⌝ de \(X\) ⌜dans \(\widetilde{U}\)⌝ (où \(X = \widehat{U}\)). (NB je m'abstiens de la noter \(\widetilde{X}\), vu que justement il n'est pas étale sur \(X\) …). Notons que pour ⌜l'un des⌝ \(i \in I = \overline{X} - \overline{U}\), les \(L_i\) dans \(\overline{\pi} = \pi(\overline{U})\) sont en corr. 1-1 avec l'ens. les fibres \(X'_i\) de \(X'\) au-dessus de \(i\)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, no head] & \overline{X} \arrow[r, no head] & X' \\
U \arrow[r, no head] \arrow[u, no head, "\cup" description] \arrow[d, no head]
 & \overline{U} \arrow[r, no head] \arrow[u, no head, "\cup" description] \arrow[d, no head]
 & \widetilde{U} \arrow[u, no head, "\cup" description] \\
K \arrow[r, no head] & \overline{K} &
\end{tikzcd}

Donc \(X'\) peut être considéré comme la réunion de \(\widetilde{U}\), et de \(X' \mid I\) = ensemble des sous-groupes lacets de \(\overline{\pi}\), qui joueraient ainsi comme des « pts à l'infini » du rev. universel \(\widetilde{U}\). D'ailleurs \(E_U\) s'interprète

58p. 29 de l'auteur. comme le groupe des \(K\)-automorphismes du schéma \(\widetilde{U}\) ⌜compatibles avec⌝, et \(E_U \to E_K\) comme l'hom. de passage au quotient évident (NB \(\overline{K}\) s'identifie à la clôture alg. de \(K\) dans \(H^0(\widetilde{U}, \mathcal{O}_{\widetilde{U}})\), donc \(E_U\) opère sur \(\operatorname{Spec}\overline{K}\) de façon naturelle …). Une section de \(E_U\) sur \(E_K\) est donc une action de \(E_K\) sur \(\widetilde{U}\), compatible avec son action sur \(\overline{K}\), et continue dans un sens convenable (sans doute la conv. simple-discrète sur les […] \(U_i\) finis sur \(\overline{U}\) entre \(\overline{U}\) et \(\widetilde{U}\) …).

Considérons donc la

Conjecture B. Toute telle action de \(\Gamma\) sur \(\widetilde{U}\) admet dans \(X' = \widehat{\widetilde{U}}\) un pt fixe et un seul. énoncé encadré d'un trait vertical dans la marge gauche. et l'action induite de \(\Gamma^{o}\) doit avoir un pt fixe et un seul — cf. plus bas.

Ceci signifie donc

a) S'il y a un pt fixe à distance finie, i.e. \(\tilde{x} \in \widetilde{U}^{\Gamma}\), alors 1°) L'image de \(\tilde{x}\) dans \(U\) est uniquement déterminée — c'est essentiellement le th. 3 du § 1 (deux pts distincts de \(U(K)\) définissent des classes de conj. de scindages distinctes) et

592°) \(\pi^{\Gamma} = (1)\) (i.e. il n'y a pas d'autre pt fixe dans \(\widetilde{U}\) au-dessus de \(x \in U(K)\)), et enfin

3°) il n'y a pas en même temps un pt fixe […] \(\tilde{x}\) à l'infini — i.e. il n'existe pas de \(L_i\) normalisé par \(\Gamma\), i.e. un scindage du premier type n'est pas en même temps du deuxième (fait que nous avons établi directement, précédemment). C'est un cas particulier d'une conjecture « conjecturale » des conjectures […] ; il faudrait écrire \(\pi^{\Gamma^{o}} = (1)\).

D'autre part, dans le cas de pts fixes à l'\(\infty\), l'unicité de l'image dans \(X\) signifie qu'une même action effective ne peut normaliser à la fois un \(L_i\) et un \(L_j\) \((i \neq j)\) — fait également établi sauf dans le cas \((g,\nu) = (0,3)\) — et l'unicité au-dessus d'un \(i \in I\) fixé ⌜(\(i\) fixé)⌝ signifie que le \(L_i\) normalisé par \(\Gamma\) est unique, ce qui est un affaiblissement de la relation \[ L_i = \pi^{\Gamma^{o}} \] pour ces opérations, conjecturée plus haut.

60p. 30 de l'auteur. En fait, je conjecture que dans la conj. B, il est même vrai que \(\Gamma^{o}\) agissant sur \(X' = \widehat{\widetilde{U}}\) a un pt fixe et un seul (ce qui est plus fort, car ce ⌜fixe⌝ serait nécessairement fixe par \(\Gamma\)). Ceci signifie ⌜implique⌝, dans le cas de pts fixes à distance finie, que \(\pi^{\Gamma^{o}} = (1)\), comme il se devrait en général — et dans le cas de pt fixe à l'infini, que \[ \pi^{\Gamma^{o}} \subset \operatorname{Norm}_{\pi}(L_i) = L_i \] donc la relation \(\pi^{\Gamma^{o}} = L_i\) « hautement plausible » de tantôt !

Du coup je me demande d'ailleurs si ces énoncés ne devraient pas être valables sans partir d'un relèvement de \(\Gamma\) tout entier, mais seulement de \(\Gamma^{o}\) (ou d'un sous-groupe contenant un sous-groupe ouvert de \(\Gamma^{o}\), plus gén.) — ce qui signifierait plus ou moins que la phrase continue au-delà de ce lot.