Cote n° 149, pages 1–20

Cote n° 149 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

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1. Résultats de fidélité

2p. 1 de l'auteur À tout corps \(K\), associons son topos étale \(B_K\), qui est un topos (pro⌜fini⌝) galoisien. Le groupoïde des points de \(B_K\) est noté \(\Pi_K\), il est antiéquivalent canoniquement à la catégorie des clôtures alg. séparables de \(K\). Si \(\overline{K}\) est une telle clôture, son groupe des ⌜\(K\)-⌝automorphismes \(\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\) ou \(E_{\overline{K}/K}\) s'identifie au groupe des \(K\)-automorphismes du pt ⌜de \(B_K\)⌝ associé à \(\overline{K}/K\) (il vaut peut-être mieux de dire : à l'opposé de ce groupe – \(\overline{K}\) la variance des clôtures alg. de \(K\) est comme celle des foncteurs fibres, i.e. l'opposée de celle des points…)

Bien entendu, \(B_K\) se reconstitue : à partir de \(\Pi_K\), comme le topos des systèmes locaux (continus) sur \(\Pi_K\) – et en termes de \(E_{\overline{K}/K}\), comme le topos des ensembles discrets à action continue de \(E_{\overline{K}/K}\).

Pour un hom de corps \(K \to K'\),

3i.e. un hom de schémas \(\operatorname{Spec} K' \to \operatorname{Spec} K\), on a un morphisme de topos correspondant \[(1)\qquad B_{K'} \longrightarrow B_{K^{*}}\] associé à un hom de groupoïdes fond. \[(\uncertain{2})\qquad \Pi_{K'} \longrightarrow \Pi_{K^{*}} .\] les deux numéros se ressemblent sur la page ; le second est lu « (2) » sous réserve. L'astérisque en exposant de \(K\) est une petite marque que nous rendons par \(K^{*}\) ; elle semble ne désigner que \(K\) lui-même. Ceci s'explicite en disant qu'un clôture objet de \(\Pi_{K'}\) (i.e. pt. de \(B_{K'}\), ou rev. universel de \(B_{K'}\), ou clôture sép. ⌜\(\overline{K}'\)⌝ de \(K'\)) en définit un de \(\Pi_{K^{*}}\) (ainsi, on prend \(\overline{K}^{*}\) = clôture ⌜alg.⌝ sép. de \(K\) dans \(\overline{K}'\)) et pour deux pts correspondants, on a un hom de groupes fondamentaux correspondants, qui s'interprète p.ex. comme \[(3)\qquad E_{\overline{K}'/K'} \longrightarrow E_{\overline{K}^{*}/K^{*}}\] et qui permet de reconstituer l'hom. de topos comme une « restriction des scalaires ».

L'image de (3) est le sous-groupe fermé de \(E_{\overline{K}/K}\) qui correspond à la sous-extension

4p. 2 de l'auteur

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
K_1 \arrow[r, no head] \arrow[dr, no head] & K' \arrow[dr, no head] & \\
 & \overline{K} \arrow[r, no head] & \overline{K}'
\end{tikzcd}

\(K_1\) de \(\overline{K}/K\), clôture ⌜alg.⌝ sép. de \(K\) dans \(K'\), i.e. \(K_1 = \overline{K} \cap K'\). Quand \(K'\) est une extension de type fini de \(K\), \(K_1\) est une ext. finie de \(K\), et on en conclut que l'image de (3) est alors un sous-groupe d'indice fini, égal à \(E_{\overline{K}/K}\) sss ⌜\(K_1 = K\) i.e.⌝ \(K\) est séparablement alg. clos dans \(K'\). D'ailleurs, on montre sans mal que ⌜(si \(K'\) est ext. de type fini)⌝ l'hom (3) est injectif sss \(K'\) est une extension algébrique de \(K\). Donc il est bijectif sss \(K'\) est une extension radicielle de \(K\). Dans la suite nous nous bornons (provisoirement) aux corps de car. 0, et la condition précédente signifie ⌜alors⌝ que \(K \to K'\) est un isomorphisme.

Ainsi, le foncteur \(K \mapsto B_K\) ou \(K \mapsto \Pi_K\), ou \((K, \overline{K}) \mapsto E_{\overline{K}/K}\), est conservatif quand on se limite aux morphismes de corps ⌜\(K \to K'\) (de car. 0)⌝ à ceux pour lesquels \(K'\) est une ext. de type fini de \(K\),

5P.ex. il suffit de se limiter aux extensions de type fini du corps premier \(\mathbb{Q}\) – on trouve un foncteur conservatif de la cat. de ces corps, vers celle des groupoïdes ⌜(ou des topos)⌝, au sens : un morphisme de corps qui donne une équivalence de groupoïdes (ou de topos) est un iso.

[…] est conservatif […] catégorie quotient de celle des corps où une extension radicielle finie est considérée comme triviale… (le foncteur \(K \mapsto B_K\) ou \(K \mapsto \Pi_K\) se factorise par cette cat. quotient…) note écrite en diagonale dans le coin supérieur gauche ; elle concerne vraisemblablement la caractéristique \(p\), où l'énoncé de conservativité du texte doit être corrigé des extensions radicielles.

Quand on prend des corps quelconques, le 2-foncteur \(K \mapsto B_K\) ou \(K \mapsto \Pi_K\) ⌜ou \((K,\overline{K}) \mapsto E_{\overline{K}/K}\)⌝ est cependant loin d'être fidèle. Ainsi, si \(K\) est sép. clos, \(B_K\) est le « topos ponctuel », \(\Pi_K\) le groupoïde ponctuel, \(E_{\overline{K}/K} \simeq (1)\) – il est clair que les morphismes entre corps sép. clos ne sont pas décrits par les morphismes entre leurs topos étales, ou groupoïdes fondamentaux ! Pour cette raison, il y a lieu d'associer à un corps \(K\) un objet plus fin que \(B_K\) ou \(\Pi_K\),

6p. 3 de l'auteur à savoir le système projectif des \(B_{K_i}\), ou des \(\Pi_{K_i}\), pour \(K_i\) sous-corps de \(K\) de type fini sur le corps premier, et à un syst. \((K, \overline{K})\), le système projectif des \(E_{\overline{K}_i/K_i}\), où \(\overline{K}_i\) est la clôture alg. sép. de \(K_i\) dans \(\overline{K}\). On aura \[(\uncertain{4})\qquad \begin{cases} \Pi_K \simeq \varprojlim \Pi_{K_i} \\ B_K \simeq \varprojlim B_{K_i} \\ E_{\overline{K}/K} \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim E_{\overline{K}_i/K_i} \end{cases}\] i.e. on reconstitue les objets \(B_K\), \(\Pi_K\), \(E_{\overline{K}/K}\) à partir des syst. proj. correspondants – mais l'inverse n'est pas vrai.

En fait, comme le foncteur \[\operatorname{Ind}(\text{corps t.f.}) \longrightarrow \text{corps}\] de la catégorie des syst. inductifs de corps de type fini, vers celle des corps, est une équivalence de catégories (pour des raisons triviales), il s'ensuit que le foncteur \(K \mapsto \mathbb{B}_K\), ou \(K \mapsto \boldsymbol{\Pi}_K\), ou \((K, \overline{K}) \mapsto \mathbb{E}_{\overline{K}/K}\), allant ici les lettres \(B\), \(\Pi\), \(E\) sont tracées doublées ou grasses : elles désignent les systèmes projectifs (pro-objets) qui viennent d'être introduits, par opposition aux \(B_K\), \(\Pi_K\), \(E_{\overline{K}/K}\) ordinaires.

7des corps vers les […] idoines, vont avoir toutes les propriétés de fidélité des foncteurs \(K \mapsto B_K\), \(K \mapsto \Pi_K\), \((K, \overline{K}) \mapsto \Gamma_{\overline{K}/K}\), restreints aux corps ⌜absolument⌝ de type fini, auxquels nous allons par la suite nous borner, le plus souvent du temps. Mais il sera nécessaire, en cours du travail, de donner une description ⌜précisément⌝ algébrique, p.ex., des pro-groupes profinis associés p.ex. à \(\mathbb{C}\) (plus précisément, à \((\mathbb{C}, \mathbb{C})\) !).

Le rôle dominant sera joué par le corps premier de car. 0, \(\mathbb{Q}\), dont le \(B_{\mathbb{Q}}\) et \(\Pi_{\mathbb{Q}}\), qui a un objet canonique, noté \(\overline{\mathbb{Q}}_0\) – la clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\). On posera \[(5)\qquad \Gamma_{\mathbb{Q}} = E_{\overline{\mathbb{Q}}_0/\mathbb{Q}}\] et on écrira souvent \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) au lieu de \(E_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\), pour une clôture alg. quelconque \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(\mathbb{Q}\) Pour tt corps \(K\) de car. 0 – en particulier pour les corps \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), aux-

8p. 4 de l'auteur quels nous allons nous borner par la suite – on a donc des homom. canoniques \[(6)\qquad B_K \longrightarrow B_{\mathbb{Q}}, \qquad \Pi_K \longrightarrow \Pi_{\mathbb{Q}}\] qui s'explicitent, quand on a choisi un objet de \(\Pi_K\) i.e. un \(\overline{K}/K\), disons un \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\), par un homom. de groupes profinis \[(7)\qquad E_{\overline{K}/K} \longrightarrow \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} .\] Par la suite, on regardera toujours \(B_K\), \(\Pi_K\) et \(E\) comme munis de cette structure supplémentaire – en tant que les morphismes (de topos, de groupoïdes, de groupes profinis) « arithmétiques » dominant la situation.

Un intérêt particulier s'attache au noyau de (7), que je note \(\pi_{\overline{K}/K}\) – je l'appelle « partie géométrique » du groupe de Galois \(E_{\overline{K}/K}\), par opposition au quotient \(E/\pi = \Gamma'_{\overline{K}/K} \hookrightarrow \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\), que j'appelle sa on le notera aussi \(\Gamma = \Gamma_{\overline{K}/K}\)

9partie « arithmétique » – celle-ci est un sous-groupe ouvert de \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\), qui, via la th. de Galois, correspond au sous-corps \(k_0\) de \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\), extension finie\(/\mathbb{Q}\) de \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\), clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\), de sorte qu'on a une suite exacte NB \(\pi = (1)\) ssi \(K\) alg. sur \(\mathbb{Q}\), i.e. fini sur \(\mathbb{Q}\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
(8)\qquad 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] & E \arrow[r] & \Gamma_{\overline{K}/K} \arrow[r] \arrow[d, hook] & 1 \\
 & & & \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} &
\end{tikzcd}

On va donner une interprétation de ce noyau, et de la suite exacte (8), en écrivant \[(9)\qquad K = \varinjlim A_i\] où les \(A_i\) sont les sous-\(\mathbb{Q}\)-algèbres de type fini de \(K\), correspondant à un syst. projectif des « modèles affines » \(U_i = \operatorname{Spec}(A_i)\) de \(K/\mathbb{Q}\). Parmi les \(A_i\), il y a d'ailleurs un syst. cofinal formé de \(A_i\) réguliers, i.e. les \(U_i\) lisses\(/\mathbb{Q}\), avec comme morphismes de transition des morphismes de localisation \(A_i \to A_j = (A_i)_{f_{ij}}\) (\(f_{ij} \in A_i \setminus \{0\}\)) – donc les \(U_j \hookrightarrow U_i\) des immersions ouvertes, \(U_j = (U_i)_{f_{ij}}\). On peut

10p. 5 de l'auteur même, d'après Mike Artin, prendre pour \(U_i\) des schémas « élémentaires » sur \(k\), se dévissant en fibrations successives de courbes. ⌜(Notons que \(\operatorname{Spec} K = \eta\) est le pt générique⌝ Ceci dit, le […] commun des \(U_i\), qui sont géométriquement ⌜(est \(\Leftrightarrow\) géom. intègres)⌝ sur […] \(k\) (clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\)). la parenthèse ouverte par l'ajout « Notons que » n'est pas refermée sur la page. Le choix de \(\overline{K}\) définit un pt géom. \(\bar\eta\) sur les \(U_i\), d'où des groupes \(\pi_1(U_i, \bar\eta) = E_i\), et on a, en vertu de résultats bien connus, \[\operatorname{Spec} K = \varprojlim U_i\] \[(10)\qquad E_{\overline{K}/K} = \pi_1(\eta, \bar\eta) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_i E_i \qquad (\Gamma_i = \pi_1(U_i, \bar\eta))\] la parenthèse de droite écrit \(\Gamma_i\) là où le texte écrit \(E_i\) ; nous laissons l'écart tel quel. D'autre part, si on pose \[(11)\qquad \overline{U}_i = U_i \otimes_k \overline{\mathbb{Q}}\] on a ⌜pour tt \(i\)⌝ une suite exacte d'homotopie \[(12)\qquad 1 \to \underbrace{\pi_1(\overline{U}_i, \bar\eta)}_{\pi_i} \to \underset{\substack{\| \\ E_i}}{\pi_1(U_i, \bar\eta)} \to \underset{\substack{\| \\ \Gamma_{\overline{K}/K} = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/k}}}{\pi_1(k, \bar\eta)} \to 1\] le dernier membre de l'égalité sous \(\pi_1(k,\bar\eta)\) est surchargé et illisible.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \operatorname{Spec}(K) = \eta \arrow[r] \arrow[d] & \eta_{\overline{\mathbb{Q}}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \bar\eta = \operatorname{Spec}(\overline{K}) \\
 & U_i \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & U_{i,\overline{\mathbb{Q}}} = \overline{U}_i \arrow[d, no head] & \\
\mathbb{Q} \arrow[r, no head] & k \arrow[r, no head] & \overline{\mathbb{Q}} &
\end{tikzcd}

qui forment un syst. projectif de suites exactes, ou d'extensions ayant toutes même quotient \(\Gamma'\), et dont les noyaux \[\pi_i = \pi_1(\overline{U}_i, \bar\eta)\]

11sont des groupes fondamentaux « géométriques » – qui peuvent d'ailleurs se calculer par voie transcendante, en utilisant un plongement de \(\overline{K}\) dans \(\mathbb{C}\) (d'où un isom \(\overline{\mathbb{Q}} \simeq \overline{\mathbb{Q}}_0\)), comme les complétés profinis des \(\pi_1(U_i(\mathbb{C}), \bar\eta)\), en interprétant maintenant \(\bar\eta\) comme un pt complexe commun des espaces top. sous-jacents aux variétés complexes \(U_i(\mathbb{C})\). La suite exacte (8) est donc la limite projective des suites exactes d'homotopie, ce qui donne en particulier \[\pi_{\overline{K}/K} \simeq \varprojlim_i \underbrace{\pi_1(\overline{U}_i, \bar\eta)}_{\pi_i} \simeq \varprojlim_i \pi_1(U_i(\mathbb{C}), \bar\eta)^{\wedge}\] Cette interprétation […] (12) […] en particulier […] (13) […] ext. […] \(K/k_0\) note en diagonale, à gauche de la formule, très pâle ; seuls les renvois (12), (13) et « \(K/k_0\) » se lisent avec quelque sûreté. Utilisant les fibrations des \(U_i\) (dans le cas où on s'astreint à prendre des variétés élémentaires d'Artin), on trouve que tout \(\pi_i\) est un groupe pr extension successive de ⌜\(n\)⌝ groupes profinis libres (où \(n = \dim U_i = \text{deg.tr.}\ K/\mathbb{Q}\)). Ceci redonne

12p. 6 de l'auteur p.ex. que la dim. coh. de \(\pi_i\) est égale à \(n\), celle de \(E_i\) est \(\leq n+2\) (pour des coeff. […] de \(m\)-torsion, quand \(m\) est impair) – et par passage à la limite, des majorations correspondantes pour les dim. coh. de \(\pi_{\overline{K}/K}\) et de \(E_{\overline{K}/K}\) \[(\uncertain{14})\qquad \operatorname{dim\,coh} \pi_{\overline{K}/K} \leq n, \qquad \operatorname{dim\,coh}_\ell E_{\overline{K}/K} \leq n+2 \ \text{si}\ \ell \neq 2 \quad (\ell\ \text{nb premier})\] le numéro ressemble à « (K) » ; nous lisons « (14) » sous réserve, après (12) et (13). qui sont en fait même des égalités (s.f. erreur), et donnant donc une description cohomologique simple du degré de transcendance absolu de \(K\).

Théorème 1 Soit \(K\) un corps ⌜extension⌝ de type fini de \(\mathbb{Q}\). Alors \(\overline{K}\) une clôture algébrique de \(K\). Alors pour tout sous-groupe ouvert \(E'\) de \(E_{\overline{K}/K}\), son centralisateur dans \(E_{\overline{K}/K}\) est réduit au groupe unité. Itou pour \(\pi_{\overline{K}/K}\).

Démonstration. Soit […] \(\Gamma'\) ⌜\(\Gamma' \subset \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\)⌝ l'image de \(E'\) dans \(\Gamma\) ⌜\(= \Gamma_{\overline{K}/K}\)⌝, qui est donc un ss-groupe ouvert. L'image dans \(\Gamma\) du centralisateur de \(E'\) […] \(E'\) est […] si \(g \in \Gamma_{\overline{K}/K}\) centralise \(E'\), son image \(g\) dans […] ⌜[…] centralisateur de \(\Gamma'\) dans \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\)⌝ \(\Gamma\) centralise \(\Gamma'\) […] Je dis qu'il est trois lignes biffées et une addition interlinéaire pâle, enchevêtrées ; seul le sens général se lit : on passe à l'image dans \(\Gamma\) du centralisateur.

13égale à 1, ce qui équivaut donc au

Corollaire Dans \(\Gamma_{\mathbb{Q}} = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}_0/\mathbb{Q}}\), le centralisateur de tout sous-groupe ouvert est réduit à \((1)\).

OPS le sous-groupe ouvert \(\Gamma'\) invariant. Il est bien connu (?) que son centre est réduit à 1 donc si \(Z\) est son centralisateur dans \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\), l'hom \(Z \to \Gamma_{\mathbb{Q}}/\Gamma'\) est injectif donc \(Z\) est fini. Mais on sait que les seuls éléments \(\neq 1\) de \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\) d'ordre fini sont les conjugués de \(\tau\), conjugaison complexe. Mais le centralisateur de \(\tau\) dans \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}}\) est réduit à \((1, \tau)\), donc ne peut contenir \(\Gamma'\), donc \(\tau \notin Z\), donc \(Z = (1)\). ? à vérifier « OPS » : on peut supposer.

Revenant à \(E' \subset E_{\overline{K}/K}\), on sait donc que son centralisateur \(Z\) dans \(E\) a une image dans \(\Gamma\) réduite à \(\{1\}\), donc \(Z \subset \pi_{\overline{K}/K}\). Soit \(\pi' \subset \pi = \pi_{\overline{K}/K}\) la trace de \(E'\) sur \(\pi\), c'est un sous-groupe ouvert de \(\pi\), et on est ramené à

14p. 7 de l'auteur voir que \(\operatorname{Centr}_\pi(\pi') = \{1\}\), i.e. le

Corollaire Soit \(\pi\) un groupe profini, extension successive de groupes profinis libres. Alors le centralisateur ⌜\(Z\) dans \(\pi\)⌝ de tout sous-groupe ouvert \(\pi'\) de \(\pi\) est réduit à \(\{1\}\).

Par dévissage on est ramené au cas d'un groupe ⌜profini⌝ libre. ⌜On sait que \(\pi'\) est donc libre.⌝ OPS \(\pi'\) invariant, et on admet que ? le centre d'un groupe profini libre est réduit à 1. à vérifier Donc \(Z \to \pi/\pi'\) est injectif, donc \(Z\) est fini, et on admet que dans un groupe profini libre, il n'y a pas d'élément d'ordre fini \(\neq 1\) à vérifier – ce qui achève la démonstration.

Scholie Le fait que \(E_{\overline{K}/K}\) soit sans ⌜à⌝ […] ⌜centre⌝ trivial peut s'exploiter en disant que le groupoïde \(\Pi_{\overline{K}/K}\) ⌜(associé type \(B_K\))⌝ est connu à équivalence près, […] ⌜défini à isom unique près⌝, quand on connaît le groupe extérieur associé à \(E_{\overline{K}/K}\). Les hom

15\(E_{\overline{K}'/K'} \to E_{\overline{K}/K}\) associés à des hom ⌜\(K \to K'\)⌝ d'extensions de type fini de \(\mathbb{Q}\), ayant une image ouverte donc un centralisateur réduit à 1, on sait de même que l'hom de topos \(B_{K'} \to B_K\) et de groupoïdes \(\Pi_{K'} \to \Pi_K\), sont déterminés à isomorphisme […] près (définis à isom unique près) par l'hom correspondant des groupes extérieurs. Il en est en particulier ainsi des morphismes structurels \(B_K \to B_{\mathbb{Q}}\) et \(\Pi_K \to \Pi_{\mathbb{Q}}\), qu'on peut interpréter ⌜intrinsèquement⌝ comme un hom de groupes ⌜profinis⌝ extérieurs \(E_K \to E_{\mathbb{Q}}\). Mais nous préférons suivre un point de vue un peu différent, en exploitant le fait que \(\pi_{\overline{K}/K}\) est lui aussi à centre trivial. Cela signifie que l'extension de \(\Gamma = \Gamma_{\overline{K}/K}\) par \(\pi_{\overline{K}/K}\) est entièrement connue, ⌜à isom unique près,⌝ (pour \(\pi_{\overline{K}/K}\) ⌜et \(\Gamma\)⌝ fixés)

16p. 8 de l'auteur en termes de […] l'action extérieure correspondante de \(\Gamma\) sur \(\pi\), comme l'image inverse de l'extension universelle

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
(15)\qquad 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] & \operatorname{Aut}(\pi) \arrow[r] & \operatorname{Autext}(\pi) \arrow[r] & 1 \\
 & & & \Gamma \arrow[u, "\varphi"'] &
\end{tikzcd}

Pour \(K\) fixé, donc \(k\) fixé, dire qu'on fixe un \(\Gamma = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/k}\) revient à dire qu'on fixe une clôture alg. de \(k\), dire qu'on fixe ⌜un⌝ \(\pi_{\overline{K}/K} = \pi_1(K \otimes_k \bar k)\) signifie qu'⌜on⌝ fixe un rev. universel de \(\operatorname{Spec}(K \otimes_k \bar k) = \eta \otimes_k \bar k\), compte tenu les deux ensembles reviennent à se donner le rev. universel \(\operatorname{Spec} K\) \(\bar\eta = \operatorname{Spec}(\overline{K})\) de \(K\). Par la suite, nous décrivons (avec une fidélité qui reste à examiner) les couples \((K, \overline{K})\) d'une ext. ⌜\(K\)⌝ de \(\mathbb{Q}\) de type fini, et d'une clôture algébrique \(\overline{K}\) de \(K\), par les triples \((\pi, \Gamma, \varphi)\), où \(\pi = \pi_{\overline{K}/K}\) et \(\Gamma = \Gamma_{\overline{K}/K}\) ⌜sont des⌝ groupes profinis, et \(\varphi : \Gamma \to \operatorname{Autext}(\pi)\) une action extérieure de \(\Gamma\) sur \(\pi\) – ce qui

17permet de reconstituer l'extension \(E_{\overline{K}/K}\) de \(\Gamma_{\overline{K}/K}\) par \(\pi_{\overline{K}/K}\). J'ai oublié de préciser qu'il faut de plus se donner \(\Gamma\) comme sous-groupe d'un \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) bien déterminé, i.e. qu'il faut se donner un objet de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\) et une action fidèle de \(\Gamma\) dessus – pour reconstruire par l'ensemble de ces données un hom de groupoïdes profinis \(\Pi_K \to \Pi_{\mathbb{Q}}\), plus un objet de \(\Pi_K\) – ou encore, un morphisme de topos pro-galoisiens \(B_K \to B_{\mathbb{Q}}\), plus un pt de \(B_K\).

On peut aussi fixer un objet de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\), i.e. un pt de \(B_{\mathbb{Q}}\), i.e. un \(\overline{\mathbb{Q}}\), et étudier les \(K\), tels que \(k\) ⌜avec⌝ un plongement de \(k\) (clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\)) dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) – ils sont mais sans se donner une clôture alg. \(\overline{K}\) de \(K\) qui induise \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\). Ils sont décrits

18p. 9 de l'auteur On a ainsi plusieurs points de vue essentiellement équivalents, pour décrire par voie profinie une ⌜\(K\)⌝ extension de type fini de \(\mathbb{Q}\) :

Par le topos étale \(B_K\), en tant que topos pro-galoisien sur \(B_{\mathbb{Q}}\).
Par le groupoïde fondamental \(\Pi_K\) de ce topos (le groupoïde de ses pts, ou de ses rev. universels) – en tant que groupoïde au-dessus de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\).
Par le groupe extérieur \(E_K\), au-dessus du groupe extérieur \(E_{\mathbb{Q}} \simeq \Gamma_{\mathbb{Q}}\) (pro-groupe).
En termes d'une clôture algébrique \(\overline{K}/K\) (i.e. en décrivant des couples \((K, \overline{K})\) plutôt que \(K\)), par un objet \(\overline{\mathbb{Q}} \in \operatorname{Ob} \Pi_{\mathbb{Q}}\), et un hom de groupes profinis \(E \to \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\). un sous-groupe ouvert \(\Gamma\) de
En termes d'une clôture alg. ⌜fixe⌝ \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(\mathbb{Q}\), et si \(\Gamma = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\), par le groupe en considérant les couples \((K, i)\) où \(i : k \to \overline{\mathbb{Q}}\) est un plongement de la clôture alg. ⌜\(k\)⌝ de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\) dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) : […] par le groupe extérieur \(\pi_K = \pi_1(K)\), sur lequel un sous-groupe ouvert \(\Gamma_K \subset \Gamma\) opère extérieurement.

la numérotation est de l'auteur, de 1) à 5) ; un premier « 2) » est biffé. 6) En termes d'un \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) : par le groupoïde \(\Pi_{K \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}}}\) ([…]) sur lequel \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) opère – ou […] le topos galoisien \(B_{K \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}}}\), […] profinis, […] \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) opérant dessus… note verticale dans la marge gauche, en partie illisible.

19par des groupes ⌜profinis⌝ extérieurs \(\pi_1(K) = \Gamma_K\), sur lesquels ⌜un sous-groupe ouvert \(\Gamma\) (non précisé d'avance) de⌝ \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) opère extérieurement. la phrase reprend la fin de la p. 17 (« Ils sont décrits »). Le \(\Gamma_K\) de « \(\pi_1(K) = \Gamma_K\) » est tel sur la page, là où l'on attendrait \(\pi_K\).

Un hom de corps \(K \to K'\) donne lieu à un hom de groupes extérieurs, […] \(\pi' \to \pi\), où l'image de \(\pi'\) dans \(\pi\) est ouverte donc de centralisateur réduit à \((1)\), ce qui signifie ⌜implique⌝ encore que le morphisme de topos \(B_{K' \otimes_k \overline{\mathbb{Q}}} \to B_{K \otimes_k \overline{\mathbb{Q}}}\) est déterminé (à isom unique près) par cet hom extérieur. De plus on a des actions extérieures de \(\Gamma = \Gamma_K \subset \Gamma_{K'}\) ⌜sur⌝ \(\pi'\) et \(\pi\), de façon que \(\pi' \to \pi\) y commute – et ceci suffit pour reconstituer, d'une part les groupes extérieurs \(E\), \(E'\) extensions ⌜(« extérieures »)⌝ de \(\Gamma\) par \(\pi\), \(\pi'\) (et, à équivalence rigide près, les \(B_K\), \(B_{K'}\) et \(B_K \to B_{\mathbb{Q}}\), \(B_{K'} \to B_{\mathbb{Q}}\)) et de plus l'hom d'extensions ⌜(extérieures)⌝ \(E \to E'\) de \(\Gamma\). […] \(k \subset \overline{\mathbb{Q}}\) […]

20p. 10 de l'auteur Remarques Quand \(\pi \neq (1)\), ⌜i.e. \(K\) pas fini sur \(\mathbb{Q}\),⌝ le théorème 1 peut se renforcer, ⌜sauf erreur,⌝ en écrivant que pour tout sous-groupe ⌜\(\pi' \subset \pi\)⌝ ouvert dans \(\pi\), \(\operatorname{Centr}_E(\pi') = \{1\}\). Si \(Z\) est ce centralisateur, on a \(Z \cap \pi = (1)\) d'après le Th. 1, et ⌜prouvons que⌝ l'image de \(Z\) dans \(\Gamma_{\overline{K}/K} \subset \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) est contenue dans ⌜finie⌝ […] (ce qui prouvera ⌜déjà⌝, dans, que \(Z\) est d'ordre 1 ou 2, et dans le deuxième cas que son image dans \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) est […] engendrée par un \(\tau\) de conjugaison complexe).

Quitte à remplacer \(E\) par un sous-groupe ouvert assez petit (ce qui revient à passer à une extension finie de \(K\)) OPS \(\pi' = \pi\), alors l'image \(Z'\) de \(Z\) dans \(\Gamma\) est contenue dans le noyau de l'hom. \[\varphi : \Gamma \longrightarrow \operatorname{Autext}(\pi) .\] Or (sauf erreur) je sais prouver que cet hom. est injectif (on est ramené aussitôt au cas où \(K\) est de degré de transc. 1, et on est ramené au cas ⌜du \(\pi_1\)⌝ d'une courbe algébrique…) la page s'achève ici ; la remarque se poursuit peut-être au-delà du lot.