Cote n° 149 · pages 1–135 · Lecture modernisée · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–135

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

• §1, « Résultats de fidélité » (pages 2 à 39, ses pages 1 à 19). Le topos étale, le groupoïde fondamental et le groupe de Galois d'un corps de type fini sur \(\mathbb{Q}\) ; partie géométrique et partie arithmétique (pages 2 à 11) ; dimension cohomologique (11-12) ; théorème 1, centralisateurs triviaux (12-14) ; scholie et descriptions équivalentes (14-19) ; un renforcement (20) ; théorème 2, fidélité, avec les corollaires 1 à 3 et le théorème 3 (21-35) ; un « Complément » géométrique (36-39).
• §2, « La question de pleine fidélité » (pages 40 à 51, ses pages 20 à 26). Les homomorphismes « admissibles » ; la question-conjecture sur les corps (40-44) ; les modèles et la « conjecture fondamentale » (45-49) ; un programme de reconstruction (49-51).
• §3, « Étude des sections de \(\pi_1(U)\) sur \(G_K\) » (pages 52 à 103, ses pages 26 à 51). Points et pointes, conjecture A (52-57) ; la forme « point fixe », conjectures B et B\('\) (57-62) ; courbes relatives et reconstruction (63-68) ; sections rationnelles et sections partout définies (69-78, avec le feuillet 82-83) ; la classe de l'extension de seconde espèce (78-84) ; spécialisation des sections (84-98) ; mauvaise réduction (98-103).
• §4, « Sections d'extensions, et anneaux de valuation généraux » (pages 104 à 135, ses pages 52 à 67). Révision des notations (104-114) ; modèles et inertie (114-120) ; l'espace de Riemann–Zariski (120-123) ; germes de sections, une conjecture birationnelle (123-127) ; l'inertie le long du bord (127-131) ; strates du bord (131-135). Le dossier s'arrête là, sur un paragraphe barré.

L'ordre des feuillets. Grothendieck numérote une page sur deux (ses pages 1 à 67 sont les pages paires 2 à 134 des archivistes) ; les pages impaires continuent le texte sans rupture. Une seule exception : les pages 82 et 83 (sa page 41) ne prolongent pas la page 81 ; elles portent les formules numérotées (7) et (8), qui s'insèrent entre la formule (6) de la page 66 et la formule (9) de la page 72, et elles poursuivent l'argument des pages 69 à 71. On les lit là. La page 84 reprend exactement où s'arrête la page 81. Cette remise en ordre est la nôtre ; la numérotation des formules est ce qui la fonde.

Ce qui n'est pas établi. Le dossier démontre les énoncés du §1, à quelques points près que les notes signalent. Tout ce qui suit est conjectural, et Grothendieck le dit à chaque pas ; quelques présomptions des §§3 et 4 sont fausses telles qu'écrites, et les notes le montrent par un exemple.

Les conventions

Corps et groupes de Galois. \(K\) est un corps de type fini sur \(\mathbb{Q}\), de degré de transcendance \(n\) ; \(\overline{K}\) une clôture algébrique ; \(G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)\)¹ . On note \(k\) la fermeture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\), extension finie de \(\mathbb{Q}\), et \(\overline{\mathbb{Q}}\) celle de \(\mathbb{Q}\) dans \(\overline{K}\). Le caractère cyclotomique est \(\chi : G_K \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), et \(G_K^{\circ} = \ker \chi = G_{K(\mu_\infty)}\)² . On écrit \(\widehat{\mathbb{Z}}(1) = \varprojlim_n \mu_n\), module de Tate du groupe multiplicatif³ .

Groupes fondamentaux. Pour un \(K\)-schéma \(X\) géométriquement connexe, \(\pi_1(X)\) est son groupe fondamental étale (arithmétique), et \(\Delta_X = \pi_1(X_{\overline{K}})\) sa partie géométrique, d'où la suite exacte fondamentale \[ 1 \longrightarrow \Delta_X \longrightarrow \pi_1(X) \longrightarrow G_K \longrightarrow 1 . \] Pour \(X = \operatorname{Spec} K\) on écrit \(\Delta_K = \mathrm{Gal}(\overline{K} / K\overline{\mathbb{Q}})\)⁴ . Les groupes « extérieurs » sont les groupes définis à automorphisme intérieur près ; \(\mathrm{Out}(\Delta) = \mathrm{Aut}(\Delta)/\mathrm{Int}(\Delta)\)⁵ . \(B_K\) est le topos étale de \(\operatorname{Spec} K\), \(\Pi_K\) son groupoïde fondamental : ses objets sont les clôtures séparables de \(K\).

Courbes. Une courbe de type \((g, \nu)\) est une courbe lisse géométriquement connexe, complémentaire de \(\nu\) points dans une courbe propre \(X = \widehat{U}\) de genre \(g\) ; elle est hyperbolique si \(2g - 2 + \nu > 0\)⁶ . Les points de \(X \setminus U\) sont ses pointes ; à chaque pointe \(i\) et à chaque point de \(\widetilde{U}\) au-dessus correspond un sous-groupe d'inertie \(L_i \subset \Delta_U\), isomorphe à \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)\), bien défini à conjugaison près — le « sous-groupe de lacets » de Grothendieck, noté \(L_i\) comme dans le dossier 145.

Variétés élémentaires. Une variété élémentaire (d'Artin) est un schéma lisse qui se dévisse en fibrations successives de courbes lisses (fibrations élémentaires de SGA 4, exposé XI) ; elle est hyperbolique si toutes les fibres le sont — on dit aujourd'hui polycourbe hyperbolique⁷ .

Sections. Une section de \(\pi_1(U) \to G_K\) est un homomorphisme continu \(s : G_K \to \pi_1(U)\) relevant l'identité ; on la considère à conjugaison par \(\Delta_U\) près. Un point \(x \in U(K)\) en donne une classe : ce sont les sections de première espèce. Une pointe rationnelle en donne d'autres, par le normalisateur de \(L_i\) : ce sont les sections de seconde espèce, aujourd'hui sections cuspidales⁸ .

Hensélisés. Pour un point \(s\) d'un schéma normal, \(K^{h}_s\) et \(K^{sh}_s\) sont les corps des fractions de l'hensélisé et de l'hensélisé strict de l'anneau local⁹ .

2–39

§1. Résultats de fidélité (pages 2 à 39)

2–11

Le groupe de Galois d'un corps, partie géométrique et partie arithmétique (pages 2 à 11)

À tout corps \(K\) on associe son topos étale \(B_K\), topos galoisien profini, et le groupoïde \(\Pi_K\) de ses points : ce groupoïde est canoniquement anti-équivalent à celui des clôtures séparables de \(K\). Pour une telle clôture \(\overline{K}\), le groupe d'automorphismes du point correspondant s'identifie à \(G_K\), ou plutôt à son opposé¹⁰ . On retrouve \(B_K\) soit comme le topos des systèmes locaux sur \(\Pi_K\), soit comme celui des ensembles discrets munis d'une action continue de \(G_K\).

Un plongement \(K \to K'\) définit un morphisme de topos \(B_{K'} \to B_K\) et un morphisme de groupoïdes \(\Pi_{K'} \to \Pi_K\) : une clôture \(\overline{K'}\) de \(K'\) en définit une de \(K\), la fermeture algébrique de \(K\) dans \(\overline{K'}\), et l'on obtient un homomorphisme \[ G_{K'} \longrightarrow G_K \] dont l'image est le sous-groupe fermé qui fixe \(K_1 = \overline{K} \cap K'\), fermeture algébrique de \(K\) dans \(K'\)¹¹ . Si \(K'\) est de type fini sur \(K\), \(K_1\) est fini sur \(K\) : l'image est ouverte, et égale à \(G_K\) si et seulement si \(K\) est séparablement clos dans \(K'\). L'homomorphisme est injectif si et seulement si \(K'\) est algébrique sur \(K\), donc bijectif si et seulement si \(K'/K\) est radicielle — en caractéristique \(0\), si et seulement si \(K \to K'\) est un isomorphisme. Ainsi les foncteurs \(K \mapsto B_K\), \(K \mapsto \Pi_K\), \(K \mapsto G_K\) sont conservatifs sur la catégorie des corps de caractéristique \(0\) et des extensions de type fini¹² .

Pour des corps quelconques, ces foncteurs sont loin d'être fidèles : tous les corps séparablement clos ont le même topos, le topos ponctuel. On associe donc à \(K\) un objet plus fin, le système projectif \(\mathbb{B}_K = (B_{K_i})\), où \(K_i\) parcourt les sous-corps de \(K\) de type fini sur le corps premier, et de même \(\boldsymbol{\Pi}_K\) et \(\mathbb{G}_K\). On a \(B_K \simeq \varprojlim B_{K_i}\), \(\Pi_K \simeq \varprojlim \Pi_{K_i}\), \(G_K \simeq \varprojlim G_{K_i}\) ; la réciproque ne vaut pas, mais comme le foncteur \(\mathrm{Ind}(\text{corps de type fini}) \to \text{corps}\) est une équivalence, les foncteurs pro-objets \(K \mapsto \mathbb{B}_K\), etc., ont exactement les propriétés de fidélité de leurs restrictions aux corps de type fini, auxquels on se borne désormais. Il faudra pourtant, en cours de route, une description algébrique des pro-groupes attachés par exemple à \(\mathbb{C}\).

Le rôle dominant est tenu par \(\mathbb{Q}\), et par \(G_{\mathbb{Q}} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_0/\mathbb{Q})\), où \(\overline{\mathbb{Q}}_0\) est la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\). Tout corps \(K\) de caractéristique \(0\) est muni de \(B_K \to B_{\mathbb{Q}}\), \(\Pi_K \to \Pi_{\mathbb{Q}}\), c'est-à-dire, une clôture \(\overline{K}\) étant choisie, d'un homomorphisme \(G_K \to G_{\mathbb{Q}}\), et l'on regarde désormais \(B_K\), \(\Pi_K\), \(G_K\) comme munis de cette structure. Son noyau est la partie géométrique \(\Delta_K\) ; son image, la partie arithmétique, est le sous-groupe ouvert \(G_k \subset G_{\mathbb{Q}}\), où \(k\) est la fermeture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\) : \[ 1 \longrightarrow \Delta_K \longrightarrow G_K \longrightarrow G_k \longrightarrow 1 . \] On a \(\Delta_K = 1\) si et seulement si \(K\) est fini sur \(\mathbb{Q}\).

Pour interpréter \(\Delta_K\), on écrit \(K = \varinjlim A_i\), où \(A_i\) parcourt les sous-\(\mathbb{Q}\)-algèbres de type fini de \(K\) ; les \(U_i = \operatorname{Spec} A_i\) sont les modèles affines de \(K\). On peut se borner à des \(A_i\) réguliers, reliés par des localisations \(A_j = (A_i)_{f}\), donc à des \(U_i\) lisses sur \(k\) et géométriquement intègres, reliés par des immersions ouvertes ; et même, d'après Artin, à des variétés élémentaires. Le choix de \(\overline{K}\) définit un point géométrique \(\bar\eta\) commun aux \(U_i\), et l'on a \[ G_K = \pi_1(\operatorname{Spec} K, \bar\eta) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_i \pi_1(U_i, \bar\eta), \qquad \Delta_K \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_i \Delta_{U_i}, \qquad \Delta_{U_i} = \pi_1(U_i \otimes_k \overline{\mathbb{Q}}, \bar\eta), \] la seconde égalité parce que la suite exacte de \(K\) est la limite projective des suites exactes d'homotopie \[ 1 \longrightarrow \Delta_{U_i} \longrightarrow \pi_1(U_i) \longrightarrow G_k \longrightarrow 1 . \] Par un plongement \(\overline{K} \subset \mathbb{C}\), \(\Delta_{U_i}\) est le complété profini du groupe fondamental de la variété complexe \(U_i(\mathbb{C})\) (théorème d'existence de Riemann)¹³ .

11–12

Dimension cohomologique (pages 11 et 12)

Si \(U_i\) est une variété élémentaire de dimension \(n\), les fibrations successives font de \(\Delta_{U_i}\) une extension successive de \(n\) groupes profinis libres (ceux des fibres, courbes affines). D'où \(\mathrm{cd}\, \Delta_{U_i} = n\), \(\mathrm{cd}_\ell\, \pi_1(U_i) \le n+2\) pour \(\ell\) impair, et à la limite \[ \mathrm{cd}\, \Delta_K \le n, \qquad \mathrm{cd}_\ell\, G_K \le n + 2 \quad (\ell \ne 2), \] qui sont en fait des égalités¹⁴ : le degré de transcendance absolu de \(K\) se lit sur la cohomologie de \(G_K\).

12–14

Théorème 1 : centralisateurs triviaux (pages 12 à 14)

Théorème 1. Soit \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\). Le centralisateur dans \(G_K\) de tout sous-groupe ouvert de \(G_K\) est trivial ; de même dans \(\Delta_K\).

La démonstration passe par deux corollaires, qui en sont les deux cas extrêmes.

Corollaire (le cas arithmétique). Dans \(G_{\mathbb{Q}}\), le centralisateur de tout sous-groupe ouvert est trivial. Soit \(\Gamma'\) ouvert, qu'on peut supposer distingué, et \(Z\) son centralisateur. Le centre de \(\Gamma'\) est trivial¹⁵ , donc \(Z \cap \Gamma' = 1\), \(Z\) s'injecte dans \(G_{\mathbb{Q}}/\Gamma'\) et est fini. Or les seuls éléments d'ordre fini non triviaux de \(G_{\mathbb{Q}}\) sont les conjugués de la conjugaison complexe \(\tau\) (Artin–Schreier), et le centralisateur de \(\tau\) est \(\{1, \tau\}\), qui ne contient pas \(\Gamma'\). Donc \(Z = 1\).

Corollaire (le cas géométrique). Soit \(\Delta\) un groupe profini, extension successive de groupes profinis libres non abéliens. Le centralisateur dans \(\Delta\) de tout sous-groupe ouvert est trivial.¹⁶ Par récurrence : si \(N \subset \Delta\) est le premier facteur libre et \(Z\) centralise \(\Delta'\) ouvert, l'image de \(Z\) dans \(\Delta/N\) centralise l'image, ouverte, de \(\Delta'\), donc est triviale ; ainsi \(Z \subset N\) et \(Z\) centralise \(\Delta' \cap N\), ouvert dans \(N\). On est ramené à un groupe libre \(F\) de rang \(\ge 2\) et à \(\Delta'\) ouvert distingué : \(\Delta'\) est libre de rang \(\ge 2\), donc de centre trivial, \(Z\) s'injecte dans \(F/\Delta'\) et est fini, et un groupe profini libre est sans torsion¹⁷ . Le cas d'une limite projective \(\Delta_K = \varprojlim \Delta_{U_i}\), à applications de transition surjectives, s'en déduit aussitôt.

Démonstration du théorème. Si \(Z\) centralise \(E' \subset G_K\) ouvert, son image dans \(G_k\) centralise l'image de \(E'\), ouverte, donc est triviale par le premier corollaire : \(Z \subset \Delta_K\), et \(Z\) centralise \(E' \cap \Delta_K\), ouvert dans \(\Delta_K\), donc \(Z = 1\) par le second¹⁸ .

14–19

Scholie : ce que voit le groupe extérieur (pages 14 à 19)

Parce que \(G_K\) est de centre trivial, le groupoïde \(\Pi_K\) — et donc \(B_K\) — est connu à isomorphisme unique près dès qu'on connaît le groupe extérieur sous-jacent à \(G_K\). Les homomorphismes \(G_{K'} \to G_K\) associés aux extensions de type fini ont une image ouverte, donc de centralisateur trivial ; par suite les morphismes \(B_{K'} \to B_K\) et \(\Pi_{K'} \to \Pi_K\) sont déterminés, à isomorphisme unique près, par l'homomorphisme extérieur correspondant. Il en va ainsi des morphismes structuraux \(B_K \to B_{\mathbb{Q}}\).

Grothendieck préfère un point de vue voisin, qui exploite le fait que \(\Delta_K\) est lui aussi de centre trivial : l'extension de \(G_k\) par \(\Delta_K\) est alors entièrement déterminée, à isomorphisme unique près, par l'action extérieure \[ \varphi : G_k \longrightarrow \mathrm{Out}(\Delta_K), \] comme image inverse par \(\varphi\) de l'extension universelle

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \Delta_K \arrow[r] & \mathrm{Aut}(\Delta_K) \arrow[r] & \mathrm{Out}(\Delta_K) \arrow[r] & 1 \\
 & & & G_k \arrow[u, "\varphi"'] &
\end{tikzcd}

Un couple \((K, \overline{K})\) est donc décrit, avec une fidélité qui reste à examiner, par un triple \((\Delta, \Gamma, \varphi)\) — groupe profini \(\Delta\), sous-groupe ouvert \(\Gamma\) d'un \(G_{\mathbb{Q}}\) bien déterminé, action extérieure \(\varphi\) — d'où l'on reconstruit l'extension \(G_K\) et l'homomorphisme \(\Pi_K \to \Pi_{\mathbb{Q}}\) avec un objet de \(\Pi_K\)¹⁹ . On obtient ainsi plusieurs descriptions essentiellement équivalentes d'une extension \(K\) de type fini de \(\mathbb{Q}\) :

1. le topos \(B_K\), comme topos pro-galoisien sur \(B_{\mathbb{Q}}\) ;
2. son groupoïde fondamental \(\Pi_K\), au-dessus de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\) ;
3. le groupe extérieur \(G_K\), au-dessus du groupe extérieur \(G_{\mathbb{Q}}\) ;
4. pour un couple \((K, \overline{K})\) : un objet \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\) et un homomorphisme \(G_K \to \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) ;
5. une clôture \(\overline{\mathbb{Q}}\) étant fixée, pour un couple \((K, i)\) où \(i : k \to \overline{\mathbb{Q}}\) : le groupe extérieur \(\Delta_K\) sur lequel un sous-groupe ouvert de \(G_{\mathbb{Q}}\) opère extérieurement ;
6. (en marge) le groupoïde de \(K \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}}\), ou son topos galoisien, sur lequel \(G_{\mathbb{Q}}\) opère²⁰ .

Dans la description 5, un plongement \(K \to K'\) donne un homomorphisme extérieur \(\Delta_{K'} \to \Delta_K\) d'image ouverte, donc de centralisateur trivial, commutant aux actions extérieures de \(G_{k'}\) ; ces données suffisent à reconstituer les extensions \(G_K\), \(G_{K'}\), les topos à équivalence près, et l'homomorphisme d'extensions.

20–20

Remarque : un renforcement (page 20)

Si \(K\) n'est pas fini sur \(\mathbb{Q}\), le théorème 1 se renforce : pour tout \(\Delta' \subset \Delta_K\) ouvert dans \(\Delta_K\), on a \(\mathrm{Centr}_{G_K}(\Delta') = 1\), pourvu que l'action extérieure \(\varphi : G_k \to \mathrm{Out}(\Delta_K)\) soit injective. En effet, si \(Z\) est ce centralisateur, \(Z \cap \Delta_K = 1\) par le théorème 1 ; quitte à remplacer \(K\) par une extension finie, on peut supposer \(\Delta' = \Delta_K\), et alors l'image de \(Z\) dans \(G_k\) agit trivialement sur \(\Delta_K\), à automorphisme intérieur près, donc est dans \(\ker \varphi = 1\), et \(Z = 1\). Grothendieck écrit : « sauf erreur je sais prouver que cet homomorphisme est injectif (on est ramené aussitôt au cas où \(K\) est de degré de transcendance 1, et au cas du \(\pi_1\) d'une courbe algébrique…) », et la page s'arrête lಹ .

21–39

Théorème 2 : fidélité (pages 21 à 39)

21–23

L'énoncé, et sa réduction à la géométrie (pages 21 à 23)

Théorème 2. Le foncteur \(K \mapsto (\Pi_K \to \Pi_{\mathbb{Q}})\), des extensions de type fini de \(\mathbb{Q}\) vers les groupoïdes profinis au-dessus de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\), est fidèle.

Autrement dit, si deux plongements \(f, g : K \rightrightarrows K'\) induisent des morphismes isomorphes au-dessus de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\), alors \(f = g\). En termes de groupes : une clôture \(\overline{K'}\) étant choisie, \(f\) et \(g\) en déduisent deux clôtures de \(K\), et l'hypothèse dit qu'on peut les identifier de sorte que \(f^{*} = g^{*} : G_{K'} \to G_K\) ; une clôture \(\overline{\mathbb{Q}}\) étant fixée, que les deux homomorphismes extérieurs \(\Delta_{K'} \rightrightarrows \Delta_K\), compatibles à l'action de \(G_{\mathbb{Q}}\), sont égaux²² .

Réduction. Écrivons \(\operatorname{Spec} K = \varprojlim U_i\), d'où \(\Delta_K = \varprojlim \Delta_{U_i}\). Il suffit de voir que \(f_i = f|_{A_i}\) et \(g_i = g|_{A_i}\) coïncident pour tout \(i\). Pour \(i\) fixé, \(K' = \varinjlim A'_j\) avec \(A'_j \supset f(A_i) \cup g(A_i)\), et \(\Delta_{K'} = \varprojlim \Delta_{V_j}\), \(V_j = \operatorname{Spec} A'_j\). Les \(V_j\) étant réguliers, les applications \(\Delta_{K'} \to \Delta_{V_j}\) sont surjectives : l'égalité des homomorphismes extérieurs \(\Delta_{K'} \to \Delta_{U_i}\) entraîne donc celle de \(\Delta_{V_j} \to \Delta_{U_i}\). Les morphismes \(f_i, g_i : V_j \rightrightarrows U_i\) sont dominants, puisque \(f\) et \(g\) sont des plongements de corps ; et l'on est ramené à un énoncé « purement géométrique », sur un corps algébriquement clos.

Corollaire 1. Soient \(X\), \(Y\) des schémas de type fini sur un corps algébriquement clos \(k\), \(X\) normal et connexe, et \(f, g : X \rightrightarrows Y\) tels que \(\pi_1(f) = \pi_1(g)\) comme homomorphismes extérieurs.

1. a)Si \(Y\) se plonge, par \(i\), dans un groupe algébrique commutatif \(G\), extension d'une variété abélienne par un tore, il existe un unique \(a \in G(k)\) tel que \(i \circ g = \tau_a \circ i \circ f\), où \(\tau_a\) est la translation par \(a\).
2. b)Si \(Y\) est une polycourbe hyperbolique et si \(f\) ou \(g\) est dominant, alors \(f = g\).

²³

23–24

Le cas abélien (pages 23 et 24)

L'unicité de \(a\) est claire : \(a = g(x) - f(x)\) pour tout \(x\). Pour l'existence, on remplace \(Y\) par \(G\), on choisit une origine \(x_0 \in X(k)\) et l'on se ramène à \(f(x_0) = g(x_0) = 0\) ; il s'agit alors de prouver \(f = g\), et l'on peut affaiblir l'hypothèse en \(H_1(f, \mathbb{Z}_\ell) = H_1(g, \mathbb{Z}_\ell)\) pour un \(\ell\) premier à la caractéristique. Soit \(J\) la jacobienne généralisée de \(X\) (sa variété d'Albanese généralisée, extension d'une variété abélienne par un tore). On sait que

1. 1°)tout morphisme \(f : X \to G\) tel que \(f(x_0) = 0\) se factorise de façon unique en \(X \xrightarrow{\mathrm{can}} J \xrightarrow{\varphi} G\), avec \(\varphi\) un homomorphisme de groupes algébriques ;
2. 2°)un tel \(\varphi\) est déterminé par son action sur \(H_1(-, \mathbb{Z}_\ell) = T_\ell\), c'est-à-dire sur les points de torsion \(\ell\)-primaire, qui sont denses ;
3. 3°)\(H_1(X, \mathbb{Z}_\ell) \to H_1(J, \mathbb{Z}_\ell)\) est surjectif²⁴ .

Si \(f = \varphi \circ \mathrm{can}\) et \(g = \psi \circ \mathrm{can}\), l'égalité \(H_1(f) = H_1(g)\) et 3°) donnent \(H_1(\varphi) = H_1(\psi)\), donc \(\varphi = \psi\) par 2°), et \(f = g\).

L'hypothèse de a) ne peut donner \(f = g\) sans normalisation : pour \(X = Y = G\), les translations induisent l'identité sur \(\pi_1(G)\) sans être l'identité.

24–27

Le cas hyperbolique : réduction à un énoncé sur les translations (pages 24 à 27)

L'hypothèse de dominance n'est pas superflue : deux applications constantes distinctes induisent la même application (triviale) sur les \(\pi_1\).

Supposons d'abord \(Y\) plongé par \(i\) dans une extension \(G\) d'une variété abélienne par un tore²⁵ . Par a), \(i \circ g = \tau_u \circ i \circ f\) pour un \(u \in G(k)\). Comme \(f\) est dominant, il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) contenu dans l'image de \(f\) et tel que \(V + u \subset Y\) ; quitte à remplacer \(X\) par un ouvert dense, \(f\) se factorise par \(j : V \hookrightarrow Y\), et \(g\) par \(j' : V \to Y\), \(y \mapsto y + u\). L'image de \(\pi_1(X) \to \pi_1(V)\) est un sous-groupe ouvert (c'est vrai pour un morphisme dominant entre variétés normales). L'hypothèse dit donc que \(\pi_1(j)\) et \(\pi_1(j')\) coïncident, à automorphisme intérieur de \(\pi_1(Y)\) près, sur un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(V)\), et l'on est ramené à :

(\(\ast\)) Soient \(V \subset Y\) un ouvert non vide et \(u \in G\) tels que \(V + u \subset Y\), et que \(\pi_1(j)\), \(\pi_1(j')\) coïncident extérieurement sur un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(V)\). Alors \(u = 0\).

²⁶ « Finalement, je n'arrive pas à le prouver par voie géométrique — pour ceci je me rabats sur une méthode arithmétique » : ce sont les corollaires 2 et 3 et le théorème 3. La démonstration géométrique viendra quand même, dans le « Complément » des pages 36 à 39.

27–33

Le détour arithmétique : corollaires 2 et 3, théorème 3 (pages 27 à 33)

Corollaire 2. La conclusion \(f = g\) de 1 b) reste vraie si, au lieu de supposer \(f\) ou \(g\) dominant, on suppose \(k\) de caractéristique \(0\), \(X\) normal, et l'une des hypothèses suivantes :

1. c)l'image de \(\pi_1(f)\) est ouverte dans \(\pi_1(Y)\), et \(Y\) est une polycourbe hyperbolique ;
2. d)l'image de \(\pi_1(f)\) a un centralisateur trivial dans \(\pi_1(Y)\), et \(Y\) se plonge dans une extension d'une variété abélienne par un tore.

²⁷ Le cas c) est un cas particulier de d), puisque le centralisateur d'un sous-groupe ouvert du \(\pi_1\) d'une polycourbe hyperbolique est trivial (corollaire géométrique de la page 14)²⁸ . Dans le cas d), on peut remplacer \(X\) par un ouvert, la normalité assurant que \(\pi_1(X') \to \pi_1(X)\) reste surjectif.

Démonstration. La situation \((X, Y, f, g)\) provient, par extension des scalaires, d'une situation analogue sur un corps \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), avec \(k \supset \overline{K}\). Les groupes \(\pi_1\) de \(X_K\), \(Y_K\) sont des extensions de \(G_K\) par \(\Delta_X\), \(\Delta_Y\) ; et comme l'image de \(\Delta_X\) a un centralisateur trivial, ces extensions et les homomorphismes \(\pi_1(f_K)\), \(\pi_1(g_K)\) sont reconstruits à partir de leurs parties géométriques et des actions extérieures de \(G_K\) (c'est l'argument de la scholie). Ils sont donc égaux, et tout revient au

Corollaire 3. Soient \(X\), \(Y\) de type fini sur un corps \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), géométriquement connexes, \(X\) réduit, \(Y\) plongé dans une extension d'une variété abélienne par un tore ; soient \(f, g : X \rightrightarrows Y\) tels que \(\pi_1(f) = \pi_1(g)\) comme homomorphismes d'extensions de \(G_K\), à conjugaison par \(\Delta_Y\) près. Alors \(f = g\).

Il suffit même que les homomorphismes induits sur les extensions « abélianisées » — de \(G_K\) par \(\Delta_X^{\mathrm{ab}}\), \(\Delta_Y^{\mathrm{ab}}\) — soient égaux. Une fois les hypothèses anabéliennes ramenées, dit-il, à des hypothèses « arithmético-géométriques », on peut laisser tomber l'anabélien et jouer sur l'abélien, mais dans un contexte arithmétique : au lieu de l'égalité des \(H_1(\overline{f})\), \(H_1(\overline{g})\) du corollaire 1 a), on a celle de deux homomorphismes d'extensions de \(G_K\) par les \(H_1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)\), pour tout \(\ell\).

Démonstration. Il suffit de voir que \(f(x) = g(x)\) pour \(x \in X(K)\), car on peut faire une extension finie de \(K\) et les points fermés sont denses dans \(X\) réduit. Un point \(x\) définit une classe de conjugaison de sections de \(\pi_1(X) \to G_K\), et a fortiori de l'extension abélianisée ; l'hypothèse dit que \(f(x)\) et \(g(x)\) définissent la même classe de sections de \(\pi_1(Y)\). Tout revient donc au

Théorème 3. Soit \(X\) un schéma de type fini, géométriquement connexe, sur un corps \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), qui se plonge dans une extension \(G\) d'une variété abélienne par un tore. Alors les applications canoniques \[ (\ast)\qquad X(K) \longrightarrow \bigl\{\text{sections de } \pi_1(X) \to G_K\bigr\}/\Delta_X , \] \[ (\ast\ast)\qquad X(K) \longrightarrow \bigl\{\text{sections de } \pi_1(X)^{(\mathrm{ab})} \to G_K\bigr\}/\text{conj.} \] sont injectives, où \(\pi_1(X)^{(\mathrm{ab})}\) est l'extension de \(G_K\) par \(\Delta_X^{\mathrm{ab}} = H_1(\overline{X}, \widehat{\mathbb{Z}})\) déduite de \(\pi_1(X)\)²⁹ .

Démonstration. Il suffit de traiter \((\ast\ast)\), et l'on se ramène à \(X = G\). L'application est alors un homomorphisme \[ G(K) = H^0(K, G) \longrightarrow H^1\bigl(K, T(G)\bigr), \qquad T(G) = H_1(\overline{G}, \widehat{\mathbb{Z}}) = \varprojlim_n {}_nG . \] La suite de Kummer \(0 \to {}_nG \to G \xrightarrow{n} G \to 0\) donne \[ 0 \longrightarrow G(K)/n \longrightarrow H^1(K, {}_nG) \longrightarrow {}_nH^1(K, G) \longrightarrow 0, \] et à la limite, l'application \(G(K) \to \varprojlim_n H^1(K, {}_nG)\) — composée de la précédente avec \(H^1(K, T(G)) \to \varprojlim H^1(K, {}_nG)\) — a pour noyau \(\bigcap_n nG(K)\), les éléments infiniment divisibles de \(G(K)\)³⁰ . Or il n'y en a pas d'autre que \(0\)³¹ , d'où l'injectivité.

Remarque (page 33). Il ne suffisait pas de prendre l'extension par \(H_1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)\) pour un seul \(\ell\) : la translation par un point d'ordre \(p \ne \ell\) donne un contre-exemple. L'énoncé dit ceci : pour \(x \in G(K)\), le torseur sous \(T(G)\) image inverse de \(x\) dans le « revêtement universel abélien » \(\widetilde{G} = \varprojlim (G \xrightarrow{n} G)\) est trivial — c'est-à-dire que \(x\) est divisible par tout \(n\) — seulement si \(x = 0\).

33–35

En caractéristique \(p\) (pages 33 à 35)

L'énoncé reste vrai en caractéristique \(p > 0\) si l'on remplace les \({}_pG\), non étales, par des quotients convenables, dans une catégorie de « quasi-variétés » où les morphismes finis radiciels surjectifs sont inversés. Mais cette forme « me fait une belle jambe » : il faudrait la version première à \(p\) ; or déjà pour une courbe elliptique, l'injectivité de \((\ast\ast)\) est fausse en version première à \(p\) (translation par un point d'ordre \(p\)). Il est possible, ajoute-t-il, que \((\ast)\) reste injective sans hypothèse de caractéristique — « à examiner de plus près »³² .

Revenant au corollaire 1 b) en caractéristique \(p\), avec les groupes fondamentaux premiers à \(p\), la démonstration arithmétique montre que le \(u\) de la page 25 est un point de \(p\)-torsion de \(G(K)\) ; si \(G\) est un tore (fibres de genre \(0\)), \(u = 0\). Dans le cas général elle donne seulement : si \(P = f(x)\) et \(Q = g(x)\), \(Q - P\) est de \(p\)-torsion dans la jacobienne généralisée de \(Y\), et de même au-dessus de tout revêtement étale galoisien fini ; « il se pourrait qu'on puisse en déduire \(P = Q\) ». En marge : le théorème 2 reste certainement vrai en caractéristique \(p\) pour les groupes premiers à \(p\), la réduction géométrique ramenant au cas d'un produit de courbes de genre zéro.

36–39

Complément : une démonstration géométrique (pages 36 à 39)

Grothendieck revient au corollaire 1 b) par voie géométrique, en prenant pour \(G\) la jacobienne généralisée de \(Y\), et énonce :

Lemme. Soient \(Y\) une polycourbe hyperbolique sur \(k\) algébriquement clos, \(Y \hookrightarrow J^1_Y\) son plongement dans sa jacobienne généralisée, \(u \in J^0_Y(k)\), et \(V \subset Y\) un ouvert non vide tel que \(V + u \subset Y\). Alors \(u = 0\).

Tel quel, sans hypothèse sur les \(\pi_1\), le lemme est faux pour les courbes de types \((1,1)\) et \((1,2)\)³³ ; il est vrai pour les autres types de courbes hyperboliques, et pour tous si l'on garde l'hypothèse de (\(\ast\)). C'est ce que l'argument de la page donne, une fois remis en ordre. Par dévissage on se ramène au cas d'une courbe, \(Y = X \setminus I\), \(X\) propre de genre \(g\), \(I\) fini, \(V = X \setminus J\) avec \(J \supset I\)³⁴ .

Genre \(g \ge 2\). Si \(Y\) est complète, \(V + u \subset Y\) entraîne \(Y + u = Y\), et \(\tau_u\) induit un automorphisme de \(Y\) qui agit trivialement sur la cohomologie (il est homotope à l'identité dans \(J^1_Y\), dont la cohomologie s'envoie isomorphiquement sur celle de \(Y\) en degré \(1\)). Par la formule des points fixes de Lefschetz il a \(2 - 2g \ne 0\) points fixes comptés avec multiplicité, alors qu'une translation non nulle n'en a aucun : \(u = 0\). En général on obtient ainsi que l'image \(\bar u\) de \(u\) dans \(J^0_X\) est nulle ; et alors \(x + u = y\) avec \(x, y \in Y\) force \(x\) et \(y\) à avoir même image dans \(J^1_X\), donc \(x = y\) dès que \(g \ge 1\), et \(u = 0\)³⁵ .

Forme cohomologique. Soient \(i, j : V \rightrightarrows Y\) l'inclusion et \(y \mapsto y + u\). On a \(H_1(i) = H_1(j)\) : composées avec l'isomorphisme \(H_1(Y) \simeq H_1(J^1_Y)\), elles diffèrent par \(H_1(\tau_u) = \mathrm{id}\). Soit \(f : X \xrightarrow{\sim} X\) le prolongement de \(j\) aux complétées ; on a \(f(V) \subset Y\), donc \(J \supset f^{-1}(I)\). Dans \(H_1(V) \) les sous-groupes de lacets \(L_p\), \(p \in J\), engendrent \(\widehat{\mathbb{Z}}^J/\widehat{\mathbb{Z}}\) (quotient par la diagonale) ; le noyau de \(H_1(i)\) est engendré par les \(L_p\), \(p \in J \setminus I\), celui de \(H_1(j)\) par les \(L_p\), \(p \in J \setminus f^{-1}(I)\)³⁶ . Or dans \(\widehat{\mathbb{Z}}^J/\widehat{\mathbb{Z}}\), deux parties propres de \(J\) engendrent le même sous-module si et seulement si elles sont égales ou toutes deux de cardinal \(\operatorname{card} J - 1\). Si \(\operatorname{card} I \ge 2\), les parties \(J \setminus I\) et \(J \setminus f^{-1}(I)\) sont de cardinal \(\le \operatorname{card} J - 2\), donc égales : \(f^{-1}(I) = I\), et \(\tau_u\) induit un automorphisme de \(Y\)³⁷ . Appliquant le même argument à \(Y' = X \setminus (I \setminus \{i\})\) pour chaque \(i \in I\) — possible si \(\operatorname{card} I \ge 3\) —, \(f\) fixe chaque point de \(I\). En genre \(0\) (\(\operatorname{card} I \ge 3\) par hyperbolicité) \(f\) fixe trois points, donc est l'identité. En genre \(1\) avec \(\operatorname{card} I \ge 3\), \(f\) est une translation ayant un point fixe, donc \(\bar u = 0\), et l'on conclut comme plus haut. « Ouf ! »

Restent les types \((1,1)\) et \((1,2)\), où l'hypothèse de (\(\ast\)) est nécessaire. Elle suffit : si \(\pi_1(i)\) et \(\pi_1(j)\) coïncident extérieurement sur un sous-groupe ouvert, un lacet autour de \(p \in J\) (ou l'une de ses puissances) est envoyé par \(i\) et par \(j\) sur des lacets conjugués ; comme les sous-groupes d'inertie de deux pointes distinctes de \(Y\) n'ont pas de conjugués commensurables, et que \(L_q\) est non trivial dans \(\pi_1(Y)\), \(f\) fixe chaque pointe ; en genre \(1\) c'est une translation à point fixe, \(\bar u = 0\), et \(u = 0\)³⁸ .

40–51

§2. La question de pleine fidélité (pages 40 à 51)

40–44

Homomorphismes admissibles, et la question sur les corps (pages 40 à 44)

Soient \(K\), \(K'\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\). Tout homomorphisme \(\Pi_{K'} \to \Pi_K\) au-dessus de \(\Pi_{\mathbb{Q}}\) provient-il d'un plongement \(K \to K'\) ? On se ramène au cas où \(K\) et \(K'\) ont la même fermeture algébrique \(k\) de \(\mathbb{Q}\), plongée dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) ; la question est alors de savoir si tout homomorphisme \(\Delta_{K'} \to \Delta_K\) qui commute à l'action de \(G_k\) est induit par un plongement. Il faudrait, pour en construire un, savoir reconstruire \(K\) à partir de l'extension \(G_K\), et l'on « pressent » que le théorème 3, appliqué à \(\mathbb{P}^1_K\) convenablement troué, pourrait en donner la clé. L'idée : les opérations de \(G_k\) sont « si draconiennes » qu'un homomorphisme qui les respecte ne peut être que géométrique — et cela exige que le corps de base soit \(\mathbb{Q}\), ou de type fini sur \(\mathbb{Q}\), et non quelconque.

Il faut se borner aux homomorphismes d'image ouverte : sinon \(K' = k\), \(\Delta_{K'} = 1\), donnerait un plongement \(K \to k\). Pour travailler avec les \(\Delta\) plutôt qu'avec les \(G\), il faut au moins que le centralisateur dans \(\Delta_K\) de l'image de tout sous-groupe ouvert soit trivial ; un tel homomorphisme est dit admissible. Pour \(K' = k\), ce qui comptera n'est pas l'homomorphisme trivial \(1 \to \Delta_K\), mais les sections de \(G_K \to G_k\).

Question-conjecture. Pour un morphisme \(B_{K'} \to B_K\) de topos au-dessus de \(B_{\mathbb{Q}}\), les conditions suivantes sont-elles équivalentes : a) il provient d'un plongement \(K \subset K'\) ; b) l'homomorphisme extérieur \(G_{K'} \to G_K\) a une image ouverte ; [c) il est admissible] ?

On a a) \(\Rightarrow\) b) \(\Rightarrow\) c), et b) équivaut à ce que \(\Delta_{K'} \to \Delta_K\) ait une image ouverte³⁹ . Une réponse affirmative avec c) impliquerait, pour \(\operatorname{degtr} K' < \operatorname{degtr} K\), qu'aucun homomorphisme admissible \(G_{K'} \to G_K\) n'existe ; en particulier qu'une section de \(G_K\) au-dessus d'un ouvert \(\Gamma'\) de \(G_k\) a toujours un centralisateur non trivial, donc (le centralisateur de \(\Gamma'\) dans \(G_k\) étant trivial) que \(\Delta_K^{\Gamma'} \ne 1\). Or cela est « sans doute faux » (le §3 dira pourquoi : pour les sections venant de points, on attend des invariants triviaux). D'où la correction :

1. c\('\))l'homomorphisme \(G_{K'}^{\circ} \to G_K\) induit est admissible.

Pour voir que c\('\)) est nécessaire, il faudrait savoir que pour tout ouvert \(E' \subset G_K\), le centralisateur de \(E'^{\circ}\) est trivial ; cela résulterait de la démonstration du théorème 1 et du fait que, pour \(\Gamma'\) ouvert dans \(G_{\mathbb{Q}}\), le centralisateur de \(\Gamma'^{\circ}\) dans \(G_{\mathbb{Q}}\) est trivial⁴⁰ .

Conséquence (conjecturale). Si \(K\) n'est pas algébrique sur \(\mathbb{Q}\), pour toute section de \(G_K\) au-dessus d'un ouvert \(\Gamma'\) de \(G_{\mathbb{Q}}\), on a \(\Delta_K^{\Gamma'^{\circ}} \ne 1\).

Ce n'est pas contradictoire avec ce qu'on attendra des modèles (page 48) : une section du groupe d'un corps normalise, d'après les conjectures du §3, un sous-groupe d'inertie \(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1)\), sur lequel \(G^{\circ}\) agit trivialement — c'est ce que les pages 55 et 60 rendront explicite⁴¹ .

45–49

Modèles, et la conjecture fondamentale (pages 45 à 49)

Les \(G_K\) sont, à certains égards, trop gros ; il faut les regarder comme limites des \(\pi_1(U)\) de leurs modèles affines, et particulièrement de modèles élémentaires — ou plus généralement de modèles qui sont des \(K(\pi, 1)\) au sens profini. Peut-être faut-il exiger, dans la conjecture, qu'un homomorphisme \(G_{K'} \to G_K\) respecte les « filtrations modéliques » de ces groupes. On étudie donc la situation analogue pour les modèles, sur \(\mathbb{Q}\) (la situation « mixte », sur un corps de type fini, lui paraît « un peu bâtarde »). Un morphisme \(V \to U\) donne un morphisme de topos galoisiens \(B_V \to B_U\) ; si \(U\) est élémentaire hyperbolique, il est connu dès qu'on connaît son effet sur les \(H_1(\overline{V}, \mathbb{Z}_\ell) \to H_1(\overline{U}, \mathbb{Z}_\ell)\), ce qui est bien moins que la classe du morphisme de topos⁴² . Mais quels homomorphismes viennent de morphismes ? « Avec un peu de culot, on dirait » :

Conjecture fondamentale. Soient \(U\), \(V\) des schémas réguliers de type fini sur \(\mathbb{Q}\), \(U\) une polycourbe hyperbolique sur une extension finie de \(\mathbb{Q}\), et \(f : \pi_1(V) \to \pi_1(U)\) un homomorphisme extérieur compatible aux projections sur \(G_{\mathbb{Q}}\). Équivalence de : a) \(f\) provient (à isomorphisme près) d'un morphisme \(V \to U\), alors unique ; b) \(f|_{\pi_1(V)^{\circ}}\) est admissible.

La nécessité de b) se ramène au cas où \(V\) est un point, et c'est la

Conséquence conjecturale. Si \(\Gamma' \subset G_{\mathbb{Q}}\) est ouvert, de corps fixe \(k'\), et \(x\) un \(k'\)-point de \(U\), d'où une section \(\Gamma' \to \pi_1(U)\) et une action de \(\Gamma'\) sur \(\Delta_U\), alors \(\Delta_U^{\Gamma'^{\circ}} = 1\).

La conjecture sur les modèles implique celle sur les corps, si l'on s'y borne aux homomorphismes compatibles aux filtrations modéliques⁴³ . Plus généralement, pour des schémas \(V\) qui sont limites projectives de schémas réguliers de type fini, à transitions affines (des immersions ouvertes), par exemple les spectres d'anneaux locaux réguliers \(\mathcal{O}_{X,x}\), les morphismes dominants \(V \to U\) devraient correspondre exactement aux homomorphismes extérieurs compatibles à \(G_{\mathbb{Q}}\) et d'image ouverte⁴⁴ .

49–51

Un programme de reconstruction (pages 49 à 51)

La conjecture admise, la question suivante est de déterminer quels topos galoisiens sur \(B_{\mathbb{Q}}\) viennent de modèles élémentaires hyperboliques — c'est-à-dire, les groupes \(\Delta_U\) étant connus, quelles actions extérieures d'ouverts de \(G_{\mathbb{Q}}\) sur eux sont géométriques ; et la même question pour d'autres \(K(\pi, 1)\) réalisés par des variétés qui ne sont pas élémentaires, au premier chef les variétés modulaires des courbes algébriques. À partir de là on reconstruirait, par recollement et en termes profinis, la catégorie des schémas lisses sur un corps de type fini, puis celle des schémas localement de type fini, au moins à homéomorphisme universel près.

D'où un énoncé : pour \(S\) localement noethérien, le foncteur \(X \mapsto X_{\mathrm{ét}}\), des schémas réduits localement de présentation finie sur \(S\) vers les topos au-dessus de \(S_{\mathrm{ét}}\), serait fidèle (deux morphismes \(f, g\) tels que \(f_{\mathrm{ét}}\) et \(g_{\mathrm{ét}}\) soient isomorphes sont égaux), et peut-être pleinement fidèle après inversion des homéomorphismes universels⁴⁵ . Pour une courbe propre sur un corps de nombres, on retrouverait que tout automorphisme extérieur de \(G_K\) (\(K\) son corps de fonctions) qui respecte la structure et commute à \(G_k\) provient d'un automorphisme de la courbe.

52–103

§3. Étude des sections de \(\pi_1(U)\) sur \(G_K\) (pages 52 à 103)

52–55

Points et pointes (pages 52 à 55)

Soit \(U\) un schéma lisse de type fini géométriquement connexe sur \(K\), et la suite exacte \(1 \to \Delta_U \to \pi_1(U) \to G_K \to 1\), définie par le choix d'un revêtement universel \(\widetilde{U}\). On étudie ses sections à \(\Delta_U\)-conjugaison près, et en même temps les sections au-dessus d'ouverts \(G_{K'}\) de \(G_K\) (\(K'\) fini sur \(K\)). Si \(U\) se plonge dans un schéma en groupes commutatif convenable, \(U(K) \to \{\text{sections}\}/\Delta_U\) est injective (théorème 3). Il y a d'autres sections, « géométriques » elles aussi.

Soit \(U\) une courbe de type \((g, \nu) \ne (0,0), (0,1)\), et \(i \in X \setminus U\) une pointe rationnelle sur \(K\). Le sous-groupe de lacets \(L_i \simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1)\) a pour normalisateur dans \(\pi_1(U)\) le groupe de décomposition de la pointe, extension \[ 1 \longrightarrow L_i \longrightarrow N_{\pi_1(U)}(L_i) \longrightarrow G_K \longrightarrow 1 , \] et ses scindages donnent des sections de \(\pi_1(U)\)⁴⁶ . Il en existe : une uniformisante en \(i\) en définit une — c'est aujourd'hui un point base tangentiel (Deligne, 1989). Les classes de scindages forment un torseur sous \[ H^1\bigl(G_K, \widehat{\mathbb{Z}}(1)\bigr) \simeq \varprojlim_n H^1(K, \mu_n) \simeq \varprojlim_n K^{*}/K^{*n} = \widehat{K^{*}}, \] et s'envoient injectivement dans les classes de sections de \(\pi_1(U)\)⁴⁷ .

Proposition. Soit \(U\) hyperbolique. Les classes de sections issues des scindages des groupes de décomposition des pointes sont distinctes de celles des points de \(U(K)\) ; et, sauf peut-être pour le type \((0,3)\), deux pointes distinctes donnent des classes distinctes.⁴⁸

Pour la première assertion on « bouche » le trou \(i\) : la section devient, dans \(U' = U \cup \{i\}\), celle du point \(i\), distincte de celles des autres points de \(U'\) par le théorème 3 (appliqué à \(U'\), de type \((g, \nu - 1)\), qui se plonge dans sa jacobienne généralisée), a fortiori distincte de celles des points de \(U\). On raisonne de même pour deux pointes en bouchant les deux trous, sauf pour le type \((0,3)\) qui tombe sur le type \((0,1)\), où l'on n'a pas l'injectivité. On s'en tirerait si l'on savait que, pour un scindage du groupe de décomposition de \(i\), faisant agir \(G_K\) sur \(\Delta_U\), \[ (\dagger)\qquad \Delta_U^{\,G_K^{\circ}} = L_i \qquad (\text{donc } \Delta_U^{\,G_K} = 1), \] « résultat qui me paraît hautement plausible » ; en marge : « à énoncer parmi les conjectures-clefs »⁴⁹ . La classe de la section déterminerait alors celle de \(L_i\), donc \(i\).

55–57

La conjecture A, et le passage au corps de fonctions (pages 55 à 57)

Conjecture A. Soit \(U\) une courbe hyperbolique géométriquement connexe sur un corps \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\). Toute section de \(\pi_1(U) \to G_K\) est de l'un des deux types précédents : définie par un point de \(U(K)\), ou par un scindage du groupe de décomposition d'une pointe \(i \in X(K) \setminus U(K)\).

En marge, une précision : \(\Delta_U^{G^{\circ}} = 1\) dans le premier cas, \(= L_i\) dans le second. C'est la conjecture des sections de Grothendieck, dans sa forme pour les courbes affines⁵⁰ .

Passant à la limite sur les modèles — au corps de fonctions \(L\) de \(U\), et à \(G_L \to G_K\), groupe « à lacets infini » où chaque point de \(X\) est une pointe —, on obtiendrait que toute section de \(G_L \to G_K\) provient d'un scindage du groupe de décomposition d'un point \(x \in X(K)\) : c'est la conjecture des sections birationnelle. Les sections se groupent en paquets, selon la classe de conjugaison du centralisateur de l'image de \(G_K^{\circ}\), et l'on retrouve \(X(K)\) — et les \(X(K')\), \(K'\) fini sur \(K\) — à partir de l'extension \(G_L\) de \(G_K\), en même temps qu'une façon de reconstruire les ouverts \(U = X \setminus I\). La structure \(G_L \to G_K\) est donc la plus riche, et de loin la plus commode en genre \(0\) et \(1\), où se borner aux \(U\) de type \((g, \nu)\) hyperboliques « casse le groupe continu d'automorphismes ». La forme « modélique » revient à la birationnelle si l'on précise que toute section de \(\pi_1(U) \to G_K\) se relève en une section de \(G_L \to G_K\).

57–62

Forme géométrique : un point fixe et un seul (pages 57 à 62)

Soit \(\widetilde{U}\) un revêtement universel de \(U\), et \(X'\) la normalisée de \(X\) dans \(\widetilde{U}\) — que Grothendieck s'abstient de noter \(\widetilde{X}\), « vu que justement il n'est pas étale sur \(X\) ». Les fibres de \(X'\) au-dessus d'une pointe \(i\) sont en bijection avec les sous-groupes de lacets conjugués à \(L_i\) ; \(X'\) est donc la réunion de \(\widetilde{U}\) et de l'ensemble des sous-groupes de lacets, qui jouent le rôle de « points à l'infini » du revêtement universel.

\begin{tikzcd}
U \arrow[r, hook] & X \\
\widetilde{U} \arrow[r, hook] \arrow[u] & X' \arrow[u]
\end{tikzcd}

⁵¹ Le groupe \(\pi_1(U)\) s'interprète comme groupe d'automorphismes du schéma \(\widetilde{U}\) compatibles à son action sur \(\overline{K}\) (la fermeture algébrique de \(K\) dans \(H^0(\widetilde{U}, \mathcal{O})\)). Une section de \(\pi_1(U) \to G_K\) est donc une action de \(G_K\) sur \(\widetilde{U}\), compatible à son action sur \(\overline{K}\) et continue en un sens convenable.

Conjecture B. Toute telle action de \(G_K\) sur \(\widetilde{U}\) a, dans \(X'\), un point fixe et un seul.

Cela signifie : s'il y a un point fixe \(\tilde x\) « à distance finie », son image dans \(U\) est déterminée (théorème 3), il n'y en a pas d'autre au-dessus (\(\Delta_U^{G_K} = 1\)), et il n'y a pas en même temps de point fixe à l'infini (établi plus haut) ; s'il y a un point fixe à l'infini, une même action ne normalise pas deux \(L_i\), \(L_j\) distincts (établi sauf pour le type \((0,3)\)), et le \(L_i\) normalisé est unique — affaiblissement de (\(\dagger\)). Grothendieck conjecture davantage : \(G_K^{\circ}\) a déjà, dans \(X'\), un point fixe et un seul (nécessairement fixe par \(G_K\)). À distance finie, cela donne \(\Delta_U^{G^{\circ}} = 1\) ; à l'infini, \(\Delta_U^{G^{\circ}} \subset N_{\Delta_U}(L_i) = L_i\), d'où la relation (\(\dagger\)).

Il se demande alors si ces énoncés ne vaudraient pas en partant seulement d'un relèvement de \(G_K^{\circ}\), ou d'un sous-groupe contenant un ouvert de \(G_K^{\circ}\) ; et s'ils ne vaudraient pas dès que \(K\) est de type fini sur un corps cyclotomique, fini ou non sur \(\mathbb{Q}\).

Il appelle courbe de Poincaré sur \(\overline{K}\) algébriquement clos de caractéristique \(0\) un schéma isomorphe au revêtement universel d'une courbe hyperbolique sur \(\overline{K}\) (deux courbes donnent des courbes de Poincaré isomorphes si et seulement si elles ont des revêtements finis étales isomorphes) ; une telle courbe a une complétion canonique, sur laquelle ses automorphismes agissent.

Conjecture B\('\). Soient \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\) (ou sur un corps cyclotomique), \(\mathcal{U}\) une courbe de Poincaré sur \(\overline{K}\), de complétion \(\mathcal{X}\), et une action de \(G_K\) sur \(\mathcal{U}\) compatible à son action sur \(\overline{K}\). Alors \(G_K^{\circ}\) a dans \(\mathcal{X}\) un point fixe et un seul.

La différence avec B : on ne suppose pas que l'action normalise celle d'un groupe profini \(\Delta\) agissant librement avec quotient une courbe algébrique.

63–68

Courbes relatives, et un programme de reconstruction (pages 63 à 68)

Les conjectures s'appliquent quand \(K\) est le corps de fonctions d'un modèle \(S\) (une polycourbe hyperbolique, disons) et que \(U_K\) provient d'une courbe relative \(U_S \to S\). On a alors \(\pi_1(U_S) \to \pi_1(S)\) de noyau \(\Delta\), et \(\pi_1(U_K) \to G_K\) s'en déduit par produit fibré le long de la surjection \(G_K \to \pi_1(S)\) :

\begin{tikzcd}
\pi_1(U_K) \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(U_S) \arrow[d] \\
G_K \arrow[r] & \pi_1(S)
\end{tikzcd}

Les sections de \(\pi_1(U_K)\) sur \(G_K\) sont donc les relèvements continus \(G_K \to \pi_1(U_S)\) de \(G_K \to \pi_1(S)\), et ceux qui sont triviaux sur le noyau de \(G_K \to \pi_1(S)\) sont exactement les sections de \(\pi_1(U_S)\) sur \(\pi_1(S)\). Les conjectures prédisent qu'elles sont de deux sortes : 1°) celles des sections rationnelles de \(U_S\) sur \(S\) — et l'on vérifiera (pages 69 à 78) qu'une telle section rationnelle ne donne une section de \(\pi_1(U_S)\) que si elle est régulière ; 2°) celles des sections sur \(S\) du revêtement fini étale \(S' = X_S \setminus U_S\) des pointes. Restent deux points « un peu techniques » : à quelle condition une telle section définit-elle des scindages, et lesquels.

Avant, il veut voir dans quelle mesure la conjecture A permettrait de reconstruire la catégorie des modèles élémentaires hyperboliques sur \(\mathbb{Q}\) et de leurs corps de fonctions, en termes de groupes extérieurs, à partir de la donnée fondamentale : \(G_{\mathbb{Q}}\) opérant extérieurement sur \(\widehat{\pi}_{0,3}\), groupe fondamental de \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \setminus \{0, 1, \infty\}\), d'où l'extension \(\pi_1(\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\})\) de \(G_{\mathbb{Q}}\)⁵² . Les classes de sections « admissibles » (centralisateur de l'image de \(G^{\circ}\) trivial) de cette extension forment un ensemble sur lequel \(G_{\mathbb{Q}}\) opère, qui devrait être \((\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\})(\overline{\mathbb{Q}})\) à un ensemble près. Pour tout ensemble fini \(I\) de telles sections, stable par \(G_{\mathbb{Q}}\), un foncteur de « forage des trous » doit fournir un groupe extérieur de type \((0, 3 + \operatorname{card} I)\) sur lequel \(G_{\mathbb{Q}}\) opère. Il vaudrait mieux, dit-il, utiliser « le yoga introduit par Ihara des groupoïdes rigides »⁵³ , et construire l'équivalent groupoïdal de \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}\), la « sphère arithmétique », qui correspond à un groupe à lacets infini — c'est \(G_{K_1}\), \(K_1 = \mathbb{Q}(T)\). De proche en proche, par des fibrations dont chaque cran est une courbe de genre \(0\) ou un revêtement étale fini d'une telle, on construirait tous les \(G_K\) au-dessus de \(G_{\mathbb{Q}}\) (tout corps de type fini est fini sur une extension transcendante pure) et tous les modèles élémentaires, assez pour avoir un système fondamental de voisinages de tout point d'une variété lisse, et reconstituer celle-ci par recollement.

« Mais je suis certain que pour faire une telle description, il me faudra développer un langage géométrique qui colle mieux à l'intuition géométrique, que les sempiternelles extensions de groupes profinis… ou actions extérieures, et où les points rigides (ou cuspidaux) dans des clôtures algébriques de corps jouent un rôle prépondérant. »

69–71

Sections rationnelles et sections partout définies (pages 69 à 71, et 82-83)

Soient \(S\) lisse et irréductible sur \(\mathbb{Q}\), de corps de fonctions \(K\), \(U_S \to S\) élémentaire à fibres de \(\pi_1\) non nul, et \(f\) une section rationnelle de \(U_S\) sur \(S\), d'où une section de \(\pi_1(U_K)\) sur \(G_K\), c'est-à-dire un relèvement \(G_K \to \pi_1(U_S)\). Il veut montrer : \(f\) est partout définie si et seulement si ce relèvement s'annule sur le noyau de \(G_K \to \pi_1(S)\).

La condition est « de codimension \(1\) » : si \(Z \subset S\) est fermé de codimension \(\ge 2\) et \(S' = S \setminus Z\), on a \(\pi_1(S') \xrightarrow{\sim} \pi_1(S)\) (pureté de Zariski–Nagata), donc les noyaux de \(G_K \to \pi_1(S)\) et \(G_K \to \pi_1(S')\) coïncident. Il faut donc s'assurer qu'une section de \(U_S\) définie sur \(S'\) se prolonge à \(S\). De proche en proche, on est ramené à une courbe relative \(U_S = X_S \setminus T\), \(X_S\) lisse et propre de dimension relative \(1\), \(T\) fini étale sur \(S\). Si le genre est \(\ge 1\), la section se prolonge en une section de \(X_S\) (théorème de Weil sur le prolongement des applications rationnelles vers les schémas abéliens), et l'image inverse de \(T\) est un diviseur de \(S\) dont la trace sur \(S'\) est nulle, donc nul.

82–83Le feuillet des pages 82 et 83⁵⁴ traite le genre \(0\) : prenant une section de \(T\) pour section à l'infini, on peut supposer (en localisant) \(U_S = \mathbb{A}^1_S \setminus T'\), et \(f\) est une fonction sur \(S'\), qui se prolonge à \(S\) normal. Puis il introduit les groupes de décomposition et d'inertie aux points de codimension \(1\) : si \(x\) est le point générique d'un diviseur irréductible \(D\) de \(S\)⁵⁵ , \(\mathcal{O}_{S,x}\) est un anneau de valuation discrète ; on choisit un point \(\tilde x\) au-dessus dans la normalisée de \(S\) dans \(\overline{K}\), et son stabilisateur \(N_{\tilde x} \subset G_K\) s'envoie sur \(\mathrm{Gal}(\overline{k(x)}/k(x))\), avec pour noyau le groupe d'inertie : \[ 1 \longrightarrow I_{\tilde x} \longrightarrow N_{\tilde x} \longrightarrow G_{k(x)} \longrightarrow 1, \qquad I_{\tilde x} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1), \] la dernière identification par Kummer, « à cause de l'hypothèse de caractéristique \(0\) » : l'inertie est alors modérée⁵⁶ . Ici \(k(x)\), corps des fonctions de \(D\), est de type fini sur \(\mathbb{Q}\). Le noyau de \(G_K \to \pi_1(S)\) est le sous-groupe distingué fermé engendré par les \(I_{\tilde x}\) (pureté), et la condition envisagée revient à ce que le relèvement s'annule sur chacun d'eux⁵⁷ .

72–78

Le critère local (pages 72 à 78)

On passe à l'anneau local \(\mathcal{O}_x\) en un tel \(x\) : le relèvement \(G_K \to \pi_1(U_S)\) se factorise par un relèvement \(\varphi_x : G_K \to \pi_1(U_{\mathcal{O}_x})\) de \(G_K \to \pi_1(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_x)\), et il s'agit de prouver que \(\varphi_x\) s'annule sur \(I_{\tilde x}\) si et seulement si \(f\) est définie en \(x\)⁵⁸ . C'est un énoncé purement géométrique, qu'il formule en général :

Théorème (page 73). Soient \(S\) un trait (spectre d'un anneau de valuation discrète) de corps des fractions \(K\) et de point fermé \(s\), et \(U \to S\) une courbe relative élémentaire (plus généralement un schéma élémentaire dont les fibrations n'ont pas de fibres de type \((0,0)\) ou \((0,1)\)). Soit \(f_K \in U(K)\), d'où une section \(\psi\) de \(\pi_1(U_K)\) sur \(G_K\). Équivalence de : a) \(f_K\) se prolonge en une section de \(U\) sur \(S\) ; b) \(\psi\) provient d'une section de \(\pi_1(U)\) sur \(\pi_1(S)\) ; b\('\)) le composé \(G_K \to \pi_1(U_K) \to \pi_1(U)\) s'annule sur l'inertie \(I_s\).⁵⁹

b) \(\Leftrightarrow\) b\('\)) et a) \(\Rightarrow\) b) sont clairs ; reste b) \(\Rightarrow\) a). Par descente on suppose \(S\) strictement local (alors \(G_K = I_s\) et \(\pi_1(S) = 1\)) ; de proche en proche \(U = X \setminus T\) est une courbe, \(X\) lisse et propre, et \(f\) se prolonge en une section de \(X\). Il faut voir que \(f(S) \subset U\). D'où le

Lemme. Soient \(S\) un trait strictement local, \(X \to S\) propre et lisse de dimension relative \(1\), à fibres connexes, \(T = \bigsqcup_{i \in I} g_i(S)\) réunion de sections disjointes, \(U = X \setminus T\), de type \((g, \nu) \ne (0,1)\). Soient \(i_0 \in I\) et \(f\) une section de \(X\), distincte des \(g_i\), avec \(f(s) = g_{i_0}(s)\). Si \(Y = S \setminus \{s\}\), l'homomorphisme \(\pi_1(Y) \to \pi_1(U)\) induit par \(f\) n'est pas trivial ; et même, pour \(\nu \ge 2\) et \(\ell\) premier à la caractéristique résiduelle, \[ \mathbb{Z}_\ell(1) \simeq H_1(Y, \mathbb{Z}_\ell) \longrightarrow H_1(U, \mathbb{Z}_\ell) \simeq H_1(U_s, \mathbb{Z}_\ell) \] n'est pas nul.

Comme \(f\) définit une section régulière du torseur jacobien \(J^1_{X/S}\), l'image tombe dans la partie torique de \(H_1(U, \mathbb{Z}_\ell)\), isomorphe à \(\mathbb{Z}_\ell(1)^I/\mathbb{Z}_\ell(1)\) (nulle si \(\nu = 1\), auquel cas le critère homologique ne suffit pas). Il faut calculer \[ \mathbb{Z}_\ell(1) \longrightarrow \mathbb{Z}_\ell(1)^I/\mathbb{Z}_\ell(1), \] et il « devine » le résultat⁶⁰ : soient \(A = \mathcal{O}_{X, g_{i_0}(s)}\), \(V\) l'anneau de \(S\), \(J_{i_0}\) et \(J_f\) les idéaux (inversibles) des sections \(g_{i_0}\) et \(f\), et \[ n = \operatorname{long}\, V/g_{i_0}^{*}(J_f) = \operatorname{long}\, A/(J_{i_0} + J_f), \] la multiplicité d'intersection de \(f(S)\) et \(g_{i_0}(S)\), finie puisque \(f \ne g_{i_0}\). L'homomorphisme serait \(n\) fois l'injection canonique d'indice \(i_0\). « Il faudrait que je demande à Carlos de me le confirmer. »⁶¹

Pour \(\nu = 1\) il faut vérifier au niveau des \(\pi_1\) (premiers à \(p\)) que \(\pi_1(Y) \to \pi_1(U_s)\) est \(k_{i_0} \circ (n \cdot \mathrm{id})\), où \(k_{i_0} : \widehat{\mathbb{Z}}(1) \to \pi_1(U_s)\) est l'homomorphisme de lacets local de la pointe \(i_0\) — « je vais admettre ce point, qui ne peut guère être difficile » ; c'est le même calcul local que pour \(\nu \ge 2\), et l'énoncé, comme le dit une note en marge, est indépendant de \(\nu\). Comme \(L_{i_0}\) est non trivial et sans torsion dans \(\Delta_U\), b) \(\Rightarrow\) a) en résulte.

78–84

Sections de seconde espèce, et la classe conormale (pages 78 à 81, puis 84)

Soient toujours \(U = X \setminus T\) sur \(S\), \(X\) propre et lisse, \(T\) fini étale, et \(g_i\) une section de \(T\). On suppose la suite \(1 \to \Delta \to \pi_1(U) \to \pi_1(S) \to 1\) exacte — ce qui demande que \(\pi_2(S) \to \pi_1(\text{fibre})\) soit nul, vrai par exemple si \(S\) est un modèle élémentaire en caractéristique \(0\)⁶² . Le normalisateur de \(L_i\) dans \(\pi_1(U)\) s'envoie sur \(\pi_1(S)\) et donne une extension \[ 1 \longrightarrow \widehat{\mathbb{Z}}(1) \longrightarrow N(L_i) \longrightarrow \pi_1(S) \longrightarrow 1, \] dont la classe est un élément \(c_i \in H^2(\pi_1(S), \widehat{\mathbb{Z}}(1)) \simeq H^2(S, \widehat{\mathbb{Z}}(1))\) si \(S\) est un \(K(\pi, 1)\). La suite de Kummer \[ 0 \to \operatorname{Pic}(S)/n \to H^2(S, \mu_n) \to {}_nH^2(S, \mathbb{G}_m) \to 0 \] donne à la limite \(0 \to \widehat{\operatorname{Pic}(S)} \to H^2(S, \widehat{\mathbb{Z}}(1)) \to \varprojlim_n {}_n\mathrm{Br}(S)\). Si \(S\) est élémentaire sur un corps de type fini sur \(\mathbb{Q}\), \(\operatorname{Pic}(S)\) est de type fini (Mordell–Weil–Néron), et \(\operatorname{Pic}(S) \to H^2(S, \widehat{\mathbb{Z}}(1))\) est injectif.

Il affirme que \(c_i\) est l'image de la classe \(\xi_i \in \operatorname{Pic}(S)\) du fibré conormal — « ou normal, le diable sait » — de \(g_i(S)\) dans \(X\), et esquisse la vérification : sur le complété formel de \(X\) le long de \(g_i(S)\) — un voisinage tubulaire —, l'extension est la suite d'homotopie de ce « fibré en disques épointés » au-dessus de \(S\)⁶³ . Dans le cas « arithmétique », l'extension est donc scindée si et seulement si \(\xi_i = 0\), c'est-à-dire s'il existe globalement sur \(S\) une uniformisante de \(X\) le long de \(g_i(S)\) — condition toujours satisfaite localement, et suffisante en général.

Quand \(\xi_i = 0\), parmi les scindages il y a ceux qui proviennent d'une base de \(J_i/J_i^2\) ; leur indétermination est dans \(\mathbb{G}_m(S)\), celle de tous les scindages dans \[ H^1(S, \widehat{\mathbb{Z}}(1)), \qquad 0 \to \widehat{\mathbb{G}_m(S)} \to H^1(S, \widehat{\mathbb{Z}}(1)) \to \varprojlim_n {}_n\operatorname{Pic}(S), \] et dans le cas arithmétique le dernier terme est nul (module de Tate d'un groupe de type fini), de sorte que \(H^1(S, \widehat{\mathbb{Z}}(1)) \simeq \widehat{\mathbb{G}_m(S)}\)⁶⁴ . Comme \(\mathbb{G}_m(S)\) n'a pas d'élément infiniment divisible autre que \(1\) (page 84), \(\mathbb{G}_m(S) \to \widehat{\mathbb{G}_m(S)}\) est injectif : les scindages « géométriques » forment un torseur sous \(\mathbb{G}_m(S)\), sous-torseur du torseur sous \(\widehat{\mathbb{G}_m(S)}\) de tous les scindages. « Pour que la description profinie de la géométrie algébrique absolue sur \(\mathbb{Q}\) soit complète, il y faudrait également caractériser » ce sous-ensemble remarquable — ce qui n'est pas fait.

84–98

Spécialisation : d'une section de première espèce à une de seconde (pages 84 à 98)

Comment une section de première espèce peut-elle se « spécialiser » en une de seconde espèce ? Soit \(f\) une section rationnelle de \(U\) sur \(S\), qui en un point \(s\) de codimension \(1\) coïncide, comme section de \(X\), avec une \(g_i\) : \(f(s) = g_i(s)\). Alors \(G_K \to \pi_1(U_K) \to \pi_1(U)\) est non trivial sur l'inertie \(I_{s'}\), qu'il envoie dans \(\Delta\), et même dans l'un des \(L_i\). Le groupe de décomposition \(N_{s'}\) s'identifie à \(G_{K^h_s}\), groupe de Galois du corps des fractions de l'hensélisé (non strict) — le \(\pi_1\) d'une « rondelle trouée », ou mieux d'un fibré en disques épointés autour du germe de diviseur \(\overline{\{s\}}\) — et l'on a le diagramme de suites exactes, où \(k = k(s)\) :

\begin{tikzcd}
 & & I \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] & I_{s'} \arrow[d] & \\
1 \arrow[r] & \Delta \arrow[r] \arrow[d, no head, "="'] & \pi_1(U_{K^h_s}) \arrow[r] \arrow[d] & G_{K^h_s} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \Delta \arrow[r] & \pi_1(U_{\mathcal{O}^h_s}) \arrow[r] & G_{k} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

⁶⁵ La dernière ligne s'identifie à la suite \(1 \to \Delta \to \pi_1(U_s) \to G_{k(s)} \to 1\) de la fibre \(U_s\). Le noyau \(I\) de la colonne médiane s'envoie isomorphiquement sur \(I_{s'} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1)\). La section définie par \(f\) donne un relèvement \[ \lambda : G_{K^h_s} \longrightarrow \pi_1(U_{\mathcal{O}^h_s}) \simeq \pi_1(U_s) \] de \(G_{K^h_s} \to G_{k(s)}\) ; et il « résume » :

Les conditions suivantes sont équivalentes : a) \(\lambda\) est injectif ; b) \(\lambda|_{I_{s'}} = k_i \circ (\mu \cdot \mathrm{id})\) pour un homomorphisme de lacets \(k_i : \widehat{\mathbb{Z}}(1) \to \Delta\) et un \(\mu \in \mathbb{N}^{*}\) ; c) \(\lambda|_{I}\) n'est pas trivial ; d) la section de \(\pi_1(U_{K^h_s})\) sur \(G_{K^h_s}\) ne provient pas d'une section de \(\pi_1(U_{\mathcal{O}^h_s})\) ; e) \(f\) n'est pas définie en \(s\) ; f) \(f(s) \in X_s \setminus U_s\). Et alors l'indice \(i\) de b) est \(f(s)\).

Ces équivalences reposent sur le critère local des pages 72 à 78 ; l'entier \(\mu\) est la multiplicité d'intersection \(n\) de la page 77, c'est-à-dire la multiplicité en \(s\) du diviseur \(f^{*}T\) (page 93). Dans ce cas le groupe de décomposition \(N_{s'} \simeq G_{K^h_s}\), extension de \(G_{k(s)}\) par \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)\), s'identifie à un sous-groupe d'indice \(\mu\) du normalisateur de \(L_i\) dans \(\pi_1(U_s)\)⁶⁶ . La section, qui ne provient d'aucune section de \(\pi_1(U_{\mathcal{O}^h_s})\), définit donc « presque » un relèvement — seul le facteur \(I_{s'}\) y fait obstacle — et toute section de cette extension de \(G_{k(s)}\) par \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)\) donne une section de seconde espèce de \(\pi_1(U_s)\) sur \(G_{k(s)}\).

Plus généralement (pages 90 à 92), la section \(f_K\) donne une famille de sections des \(\pi_1(U_s)\) sur les \(G_{k(s)}\), pour \(s\) dans le domaine de définition \(S'\) de \(f\), par le même mécanisme : pour tout \(s \in S\) et \(s'\) au-dessus dans la normalisée de \(S\) dans \(\overline{K}\), on a \(1 \to I_{s'} \to N_{s'} \to G_{k(s)} \to 1\), avec \(N_{s'} \simeq G_{K^h_s}\) et \(I_{s'} \simeq G_{K^{sh}_s}\)⁶⁷ ; si la composée s'annule sur \(I_{s'}\) — c'est dire \(s \in S'\) —, on obtient \(G_{k(s)} \to \pi_1(U_s)\), une section. Pour \(s \notin S'\), \(D = S \setminus S'\) est purement de codimension \(1\) (image inverse de \(T\) par \(f\)) ; au point générique \(s_\alpha\) d'une composante \(D_\alpha\), \(f\) donne un point rationnel \(i_\alpha \in X_{s_\alpha} \setminus U_{s_\alpha}\), et les sections de seconde espèce relatives à \(L_{i_\alpha}\), notamment celles que définit une équation locale de \(D_\alpha\). On voit comment elles se spécialisent aux points de \(D_\alpha\) où la section correspondante du fibré conormal reste régulière et inversible ; les autres points demanderaient une étude analogue, « d'un intérêt mineur ».

Enfin (pages 95 à 98) : une section de première espèce \(\varphi : G_K \to \pi_1(U_K)\) définit, pour toute section de \(G_K\) au-dessus d'un ouvert de \(G_{\mathbb{Q}}\) — ou de \(G_{k'}\) pour un sous-corps \(k' \subset K\) —, une section correspondante de \(\pi_1(U_K)\), d'où des actions extérieures sur \(\Delta\). Il veut les comparer à la famille des sections des \(\pi_1(U_s)\) sur les \(G_{k(s)}\), où les \(k(s)\) sont des corps résiduels et non des sous-corps. Si \(S\) est une courbe sur \(k\), tout point fermé \(s\) définit des groupes de décomposition \(N_{s'} \subset G_K\) au-dessus d'ouverts \(G_{k(s)} \subset G_k\), et l'on compare les sections de ces groupes à la section donnée : si \(f\) est définie en \(s\), la section restreinte est de première espèce, induite par le point \(f(s) \in U_s(k(s))\) ; sinon elle est de seconde espèce et normalise un \(L_i\)⁶⁸ .

98–103

Mauvaise réduction (pages 98 à 103)

Tout cela supposait bonne réduction. Hors de cette hypothèse — exemple type : \(K\) corps des fonctions d'une courbe modulaire pour les courbes elliptiques, \(s\) une pointe, où la courbe elliptique dégénère —, on passe à un trait hensélien \(S\) de corps résiduel \(k\) (de type fini sur \(\mathbb{Q}\)), une courbe \(U_\eta\) de type \((g, \nu)\) (ici \((1,1)\)) sur le point générique, et \[ 1 \to \widehat{\mathbb{Z}}(1) \to G_\eta \to G_k \to 1, \qquad 1 \to \Delta \to \pi_1(U_\eta) \to G_\eta \to 1 . \] L'action extérieure de l'inertie sur \(\Delta\) n'est pas triviale ; mais tout scindage de la première suite définit une action extérieure de \(G_k\) sur \(\Delta\). Est-elle « admissible », c'est-à-dire définie par une courbe algébrique ? Sans doute pas — quelle courbe serait-ce, « la courbe réduite de type \((g, \nu)\) (inexistante !) » ? En marge : « mais si !? ». Et il note : « à tâter pour la structure à l'infini des variétés modulaires de Teichmüller ! »⁶⁹ . S'il faut hasarder une conjecture dans « cette situation scabreuse » :

Conjecture de bonne réduction. Équivalence de : a) \(U_\eta\) a bonne réduction sur \(S\) ; b) l'action extérieure de l'inertie sur \(\Delta\) est triviale ; c) l'action de l'inertie sur \(\Delta^{\mathrm{ab}} = H_1(U_{\bar\eta})\) est triviale ; d) de même sur \(H_1(U_{\bar\eta}, \mathbb{Z}_\ell)\), \(\ell\) premier à la caractéristique résiduelle ; e) \(k\) étant de type fini sur \(\mathbb{Q}\), l'extension de \(G_k\) par \(\Delta\) définie par un scindage est admissible (quitte à passer à un ouvert).⁷⁰

On a a) \(\Rightarrow\) b) \(\Rightarrow\) c) \(\Rightarrow\) d), et ces conditions impliquent e) ; d) \(\Rightarrow\) a) « devrait être plus ou moins connu »⁷¹ ; mais il n'a « pas d'idée pour le moment » pour voir que e) implique la bonne réduction.

Il dispose donc d'un principe pour construire des actions extérieures de \(G_k\) sur des groupes à lacets qui, sans doute, ne sont pas géométriques, par des courbes « se réduisant mal » ; mais il n'arrive pas par cette voie à construire des actions effectives, ou associées à des actions déjà géométriques, qui ne soient pas elles-mêmes de l'un des deux types de la page 64. Le reste de la page 103 est blanc.

104–135

§4. Sections d'extensions, et anneaux de valuation généraux (pages 104 à 135)

104–114

Révision des notations (pages 104 à 114)

Pour \(X\) connexe, \(\pi_1(X)\) est le groupe fondamental profini comme groupe extérieur ; un revêtement universel \(\widetilde{X}\) le précise en un groupe profini, \(\pi_1(X; \widetilde{X}) = \mathrm{Aut}_X(\widetilde{X})\) ; un point géométrique \(\xi\) — un point \(x\) et une extension séparablement close \(\Omega\) de \(k(x)\) — en donne un autre, \(\pi_1(X, \xi)\), qui ne dépend que de la clôture séparable de \(k(x)\) dans \(\Omega\)⁷² . Plus généralement tout \(Y\)-schéma \(Z\) \(1\)-connexe au-dessus de \(Y\) joue le rôle de foncteur fibre, et \((X, \widetilde{X}) \mapsto \pi_1(X; \widetilde{X})\) est un foncteur. Pour \(X \to Y\) et \(T \to X\) avec \(T\) \(1\)-connexe on pose \[ \pi_1(X/Y; T) = \mathrm{Ker}\bigl(\pi_1(X; T) \to \pi_1(Y; T)\bigr) . \] S'il y a une « suite exacte d'homotopie universelle », par exemple si \(Y = \operatorname{Spec} K\) et \(X\) géométriquement connexe sur \(K\), on a \[ 1 \longrightarrow \pi_1(X/Y; T) \longrightarrow \pi_1(X; T) \longrightarrow \pi_1(Y; T) \longrightarrow 1, \qquad \pi_1(X/Y; T) \simeq \pi_1(X \times_Y T; T), \] le groupe fondamental des fibres géométriques ; sinon \(X \to Y\) se factorise en \(X \to Y' \to Y\), \(Y'\) pro-étale fini, avec \(\pi_1(X) \to \pi_1(Y')\) surjectif⁷³ . Les groupes fondamentaux des diverses fibres géométriques sont canoniquement isomorphes entre eux ; mais \(\pi_1(X/Y)\) n'est qu'une classe d'isomorphie de groupes profinis, pas même un groupe extérieur, l'arbitraire venant de l'action de \(\pi_1(X)\) par automorphismes intérieurs. Ce point de vue regarde \(\pi_1(X)\) comme une extension de \(\pi_1(Y)\), qui joue le rôle d'un groupe de Galois, par \(\pi_1(X/Y)\), qui joue le rôle d'un groupe fondamental géométrique. Le cas principal est \(Y = \operatorname{Spec} K\), où \(\pi_1(Y) = G_K\).

114–120

Modèles, inertie, groupe générique (pages 114 à 120)

Soient \(L\) de type fini sur un corps \(K\) et \(X\) un modèle propre et régulier de \(L/K\). Alors \(\pi_1(X)\) est un quotient de \(G_L\) qui ne dépend pas du modèle choisi ; c'est la partie « universellement générique » de \(G_L\), qui classe les extensions finies de \(L\) non ramifiées sur tout modèle régulier, propre ou non⁷⁴ . Pour un modèle quelconque \(U = X \setminus Z\), on a des surjections \(G_L \to \pi_1(U) \to \pi_1(X)\), et \(\pi_1(X)\) est le quotient de \(\pi_1(U)\) par le sous-groupe distingué fermé engendré par les inerties \(I_{x'_i}\) aux points génériques \(x_i\) des composantes de codimension \(1\) de \(Z\). On a \(G_L \simeq \varprojlim_U \pi_1(U)\) et \(\Delta_L \simeq \varprojlim_U \Delta_U\).

Pour un anneau de valuation discrète \(V\) de \(L/K\) correspondant au point générique d'un diviseur d'un modèle — une valuation divisorielle —, de point fermé \(x\), on a le groupe de décomposition \(N_{x'}\) et le groupe d'inertie \(I_{x'}\), avec \[ N_{x'}/I_{x'} \simeq G_{k(x)}, \qquad I_{x'} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1) \subset \Delta_L , \] \(k(x)\) étant de degré de transcendance \(n - 1\) sur \(K\) ; et \(N_{x'} \simeq \pi_1(\operatorname{Spec} L^h_x)\) (hensélisé non strict), \(I_{x'}\) étant le noyau de \(N_{x'} \to G_{k(x)}\). Un passage marqué d'un double trait et d'un point d'interrogation note \(N_{x'} = \mathrm{Norm}_{G_L}(I_{x'})\), « lié à l'idée qu'on devrait avoir \(I_{x'} = \mathrm{Norm}_{\Delta_L}(I_{x'})\) — à tirer au clair à l'occasion ! »⁷⁵ .

Si l'homomorphisme \(\pi_1(\operatorname{Spec} L^h_x) \to \pi_1(U)\) se factorise par \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}^h_x\) — si \(V\) a un centre sur \(U\) —, l'image de \(I_{x'}\) dans \(\pi_1(U)\) est nulle ; la réciproque est posée en question. Avec un modèle propre \(X \supset U\), la condition est simplement que le centre de \(V\) sur \(X\) soit dans \(U\). Ainsi \(\pi_1(U)\) se reconstruit à partir de \(G_L\), comme quotient par le sous-groupe distingué fermé engendré par les \(I_{x'}\) des valuations divisorielles sans centre sur \(U\)⁷⁶ .

120–123

L'espace de Riemann–Zariski (pages 120 à 123)

Il introduit l'espace \[ \mathfrak{X}_{L/K} = \varprojlim_{X \text{ modèle propre de } L/K} X , \] aujourd'hui l'espace de Riemann–Zariski de \(L/K\). Pour \(x \in \mathfrak{X}\), \(k(x)\) est de degré de transcendance \(d \le n\) sur \(K\), sa dimension ; \(n - d\) est sa codimension. Il y a un seul point de codimension \(0\), et les points de codimension \(1\) correspondent exactement aux valuations divisorielles de \(L/K\). Sauf pour \(n \le 1\), \(\mathfrak{X}\) n'est pas un schéma⁷⁷ .

Proposition. Pour tout \(x \in \mathfrak{X}\), l'anneau local \(\mathcal{O}_{\mathfrak{X},x}\) est un anneau de valuation de corps des fractions \(L\) contenant \(K\), et \(x \mapsto \mathcal{O}_{\mathfrak{X},x}\) est une bijection de \(\mathfrak{X}\) sur l'ensemble de ces anneaux de valuation.

C'est le théorème de Zariski. L'esquisse de la page : a) pour \(f \notin \mathcal{O}_{\mathfrak{X},x}\), écrire \(f = g/h\) sur un modèle, et, par éclatements, séparer les diviseurs de \(g\) et \(h\), pour obtenir \(1/f \in \mathcal{O}_{\mathfrak{X},x}\)⁷⁸ ; b) un anneau de valuation \(V\) domine un point bien déterminé de chaque modèle propre (critère valuatif), d'où un \(x\) tel que \(V\) domine \(\mathcal{O}_{\mathfrak{X},x}\), donc lui est égal. Tout modèle \(U\) définit un ouvert de \(\mathfrak{X}\), mais les ouverts ainsi obtenus ne sont pas stables par réunion finie.

123–127

Germes de sections, et une conjecture birationnelle (pages 123 à 127)

Pour tout anneau local normal \(\mathcal{O} \subset L\) de corps des fractions \(L\) on a encore des groupes de décomposition et d'inertie. L'idée : pour un anneau de valuation contenant \(K\), les groupes d'inertie ont une structure simple, « des \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)^{\alpha}\) essentiellement »⁷⁹ ; et si \(x\) est de dimension \(0\) (\(k(x)\) fini sur \(K\)), le groupe de décomposition est une extension de \(G_{k(x)}\), ouvert dans \(G_K\), par l'inertie, qu'un choix de paramètres scinde. D'où un principe général pour construire des germes de sections de \(G_L\) sur \(G_K\) — sections au-dessus d'un sous-groupe ouvert — à partir des points de dimension \(0\) de la « variété de Riemann » \(\mathfrak{X}\).

Pour une sous-extension \(L_1\) de \(L/K\) de degré de transcendance \(1\), on en déduit des germes de sections de \(G_{L_1}\) sur \(G_K\)⁸⁰ ; en trouve-t-on plus que celles des places de \(L_1/K\) ? Non : \(V_1 = V \cap L_1\) est un anneau de valuation de \(L_1\), de corps résiduel fini sur \(K\) (et \(V_1 \ne L_1\), puisque le corps résiduel de \(V\) est algébrique sur \(K\)), donc une place ; \(G_L \to G_{L_1}\) envoie \(N_V\) dans \(N_{V_1}\) et \(I_V\) dans \(I_{V_1}\) ; le germe obtenu normalise \(I_{V_1}\), et sa restriction à \(G_K^{\circ}\) le centralise, puisque \(G_K\) agit sur \(I_{V_1} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1)\) par \(\chi\).

Conjecture. Soient \(K \subset L\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\). a) Toute section (ou germe de section) de \(G_L\) sur \(G_K\) normalise un \(I_V\) associé à un anneau de valuation \(V\) de \(L/K\) à corps résiduel algébrique sur \(K\), uniquement déterminé ; elle provient d'une section du groupe de décomposition \(N_V\). b) Pour tout modèle élémentaire \(U\) de \(L/K\), toute section de \(\pi_1(U)\) sur \(G_K\) se relève en une section de \(G_L\) sur \(G_K\).

Une section de \(\pi_1(U)\) se décrit donc par un anneau de valuation \(V\) ; s'il a un centre \(x \in U(K)\), la section est celle du point \(x\), et l'on conjecture encore \[ \Delta_U^{\,G_K^{\circ}} = 1, \] qui équivaut à la même relation pour \(\pi_1(U)\) dès que le centralisateur de \(G_K^{\circ}\) dans \(G_K\) est trivial, et qui se déduirait par dévissage de la conjecture analogue en dimension relative \(1\) (page 48)⁸¹ .

127–131

L'inertie le long du bord (pages 127 à 131)

Pour comprendre b), il faut voir ce que deviennent dans \(\pi_1(U)\) les sections de \(G_L\) associées à un \(V\), et d'abord le sous-groupe \(\Delta_V \subset \Delta_U\) image de \(I_V\), dont il « devine » qu'il donne une réalisation algébrique d'un groupe de lacets. Des \(V\) distincts donnent-ils des \(\Delta_V\) distincts ?

Soit \(X \supset U\) un modèle propre tel que \(D = X \setminus U\) soit un diviseur à croisements normaux de composantes \(D_i\) régulières, \(i \in I\). Pour \(x \in D\), soient \(I(x) = \{i \mid x \in D_i\}\), \(\mathcal{O}^h_x\) l'hensélisé de \(\mathcal{O}_{X,x}\) et \(U^h_x\) l'image inverse de \(U\). En caractéristique \(0\), par le lemme d'Abhyankar, \[ 1 \longrightarrow \widehat{\mathbb{Z}}(1)^{I(x)} \longrightarrow \pi_1(U^h_x) \longrightarrow G_{k(x)} \longrightarrow 1 . \] Si le centre de \(V\) sur \(X\) est \(x \in D\), l'homomorphisme \(N_V \to \pi_1(U)\) se factorise en \(N_V \to \pi_1(U^h_x) \to \pi_1(U)\), l'image du second étant le groupe de décomposition de \(x\). Sous réserve de vérifications, il présume :

1. 1°)que \(\pi_1(U^h_x) \to \pi_1(U)\) est injectif, c'est-à-dire que \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)^{I(x)} \to \Delta_U\) l'est ;
2. 2°)que si \(V\) est de dimension \(0\), \(N_V \to \pi_1(U^h_x)\) a une image ouverte, c'est-à-dire que \(I_V \to \widehat{\mathbb{Z}}(1)^{I(x)}\) est surjectif.

Une note en marge, d'une encre plus foncée, ajoutée après coup, dit de 1°) : « C'est sûrement “en général” faux pour \(\operatorname{card} I(x) \ne 1\), comme on voit en remplaçant \(X\) par un \(X'\) dominant \(X\), en éclatant […] un point de \(D\)… Mais est-il vrai qu'on [peut trouver] \(X \supset U\) tel que [ce soit] localement injectif ? »⁸² De 2°), il dit qu'elle est purement locale et « doit être essentiellement triviale, que ma présomption s'avère vraie ou fausse » ; elle est fausse en général⁸³ . 1°) au contraire est « une question de nature globale sur \(U\), et sans doute aucunement triviale ».

Si ces énoncés valaient, les sections de \(\pi_1(U)\) associées à une valuation de corps résiduel \(K\) normaliseraient un sous-groupe \(\Delta_x \simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1)^{I(x)}\) de \(\Delta_U\), non trivial si la valuation n'a pas de centre sur \(U\) — « ce qui est justement dans le sens des conjectures (qui pouvaient d'abord sembler hérétiques !) du §2 ».

131–135

Les strates du bord (pages 131 à 135)

Avant d'aborder 1°) et 2°), il regarde les classes de conjugaison des sous-groupes \(I_x\) pour \(x \in X \setminus U\) variable. Pour \(J \subset I\), soient \[ D_J = \bigcap_{j \in J} D_j, \qquad D_J^{*} = \{x \in X \mid I(x) = J\} = D_J \setminus \bigcup_{i \notin J} D_i ; \] \(D_J\) est régulier, de codimension \(\operatorname{card} J\), peut-être vide. Les \(J\) tels que \(D_J \ne \emptyset\) forment un ensemble simplicial sur \(I\) — c'est aujourd'hui le complexe dual du diviseur \(D\). « Quelle est sa signification topologique ? » Ses composantes connexes sont celles de \(D\), et celles du « bout » \(\widehat{X} \setminus D\) (\(\widehat{X}\) le complété formel de \(X\) le long de \(D\)), notion qui ne dépend pas de la compactification ; si les \(D_J\) étaient « \(\infty\)-connexes », l'ensemble simplicial exprimerait le type d'homotopie de \(U\) à l'infini⁸⁴ .

Soit \(X_J\) un « localisé » de \(X\) le long de \(D_J\) (en marge : un voisinage « tubulaire » ou « formel » vaudrait mieux), et \(U_J = X_J \setminus D_J\). On trouve une suite \[ \widehat{\mathbb{Z}}(1)^J \longrightarrow \pi_1(U_J) \longrightarrow \pi_1(D_J) \longrightarrow 1, \] début de la suite d'homotopie d'un fibré en produits de disques épointés au-dessus de \(D_J\). Il a « eu un peu peur d'y mettre zéro à gauche, à cause du \(\pi_2(\overline{D}_J) \to \pi_1(\text{fibre})\) (?) ! » En comparant avec la suite \(1 \to \Delta_U \to \pi_1(U) \to G_K \to 1\), il voit que la composée \(\pi_2(D_J) \to \widehat{\mathbb{Z}}(1)^J \to \Delta_U\) est nulle : si \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)^J \to \Delta_U\) est injectif (1°), \(\pi_2(D_J) \to \widehat{\mathbb{Z}}(1)^J\) est nul⁸⁵ . Il admet donc l'exactitude à gauche, et obtient un homomorphisme de suites exactes

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \widehat{\mathbb{Z}}(1)^J \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(U_{J,\alpha}) \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(D_{J,\alpha}) \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \Delta_U \arrow[r] & \pi_1(U) \arrow[r] & G_K \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

pour chaque composante connexe \(D_{J,\alpha}\) de \(D_J\)⁸⁶ . Les homomorphismes \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)^J \to \Delta_U\) induits par les divers \(x \in D_{J,\alpha}\) sont tous conjugués entre eux, et l'on peut faire les choix de façon cohérente, de sorte que l'indétermination ne porte plus que sur l'image de \(\pi_1(D_{J,\alpha}) \to G_K\). Pour \(J = \{i\}\), \(D_J = D_i\) est connexe, et l'on obtient \[ \kappa_i : \widehat{\mathbb{Z}}(1) \longrightarrow \Delta_U , \] homomorphisme extérieur bien déterminé, compatible aux actions extérieures de \(G_K\) sur \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)\) et sur \(\Delta_U\) — l'analogue, en dimension quelconque, des homomorphismes de lacets \(k_i\) des courbes.

Le dossier s'arrête sur un paragraphe barré de grandes croix, qui commençait à comparer les composantes de \(D_{J'}\) et de \(D_J\) pour \(J' \supset J\)⁸⁷ .