p. 18 de l'auteur Il faudrait expliciter un petit théorème de dévissage préliminaire, qui dise qu'à équivalence près (définie à isom. unique près) S_{f}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}},l'indice sous le S, lu f, est douteux ; il revient p. 61 sous S_{f}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} avec les foncteurs \underline{\Gamma} dans (Gr.pond. top) et f dans [\pm 1], etajout interlinéaire de sa main, au-dessus de la ligne avec les opérations élémentaires 1° : 7°à l'exception de 4° et 5°note marginale oblique, soulignée, reliée à « 1° : 7° » (avec leurs variantes composées simultanées) se reconstitue par la connaissance des groupoïdes et foncteurs suivants

un premier diagramme, biffé en entier, commençait par S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \to [\pm 1], avec une flèche verticale marquée (*) vers \mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} et une flèche oblique, toutes deux barrées ; il est remplacé par la ligne encadrée suivante

(ou simplement S\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu})sous S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}, de sa main ; la ligne du diagramme est encadrée par deux traits horizontaux

Ça ne suffit pas tout à fait, pour avoir toutes les opérations. Notamment les opérations (4°) (qui demande l'introd. des structures ; \mathcal{T}_{g,\nu}) et (5°)note écrite à 45° dans la marge gauche ; « 4° » et « 5° » y sont cerclés

S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} désigne le sous-groupoïde de S_{f}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} formé des (X, R) tels que X soit connexe de genre g, \operatorname{card} \pi_0\,\partial X = \nu, et \operatorname{card} R \cap C_a = 1 pour tout a \in \pi_0\,\partial X — i.e. le graphe bipondéré des \mathcal{T}_{g,\nu} (X, \widetilde{\Sigma}, R) est isom. à« bipondéré » en interligne ; sous \widetilde{\Sigma} il écrit « \partial X » avec un signe d'égalité vertical

ici un graphe dessiné : un sommet marqué g d'où part un faisceau de \nu arêtes (« \nu » au bout du faisceau)

toutes ces arêtes (lisières) sont de poids \mathbf{1}

et \mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} est défini de façon correspondante, via les (X, \emptyset, \emptyset) avec X du type g, \nu.

feuille d'esquisses, au crayon et à l'encre ; un bloc de texte, en haut, est écrit par-dessus des dessins Un pantalon (topologique) subdivisé de façon standard, avec un ens. J de trous (\operatorname{card} J = 3) correspond à un « triangle pondéré » i.e. J \xrightarrow{\ \pi\ } \mathbb{N} (NB \pi(j) = nb d'arêtes qui relient j et k, où i \neq j \neq k) la parenthèse est de lui ; « relient j et k » est lu tel quel

Carte orientée découpée pantalonniquement de façon standard \Longleftrightarrow une carte pantalonnière généralisée i.e. carte cellulaire (pas néc. orientée), dont les sommets sont d'ordre 3 (sauf des sommets topologiques d'ordre 1 éventuellement), et avec une pondération des arêtes repérées (sommet et arête incidente) de telle façon que l'on ait pour chaque arête (cf. ci-contre) \alpha_s + \beta_s = \alpha_t + \beta_t sous le membre de gauche, une accolade marquée \gamma'_s, sous le membre de droite une accolade marquée \gamma'_t. À côté, une arête st dessinée, avec les poids \alpha_s, \beta_s, \gamma_s en s et \alpha_t, \beta_t, \gamma_t en t et = de données d'une anti-isom. des torseurs (\gamma = \gamma'_s = \gamma'_t) sous \mathbb{Z}/\gamma : sommes circulaires de [1, \alpha_s] et [1, \beta_s] \rightleftarrows sommes circulaires de [1, \alpha_t] et [1, \beta_t].« \mathbb{Z}/\gamma » douteux (l'indice est surchargé) ; la flèche entre les deux « sommes circulaires » est rendue par l'édition, il y a sur la page un signe barré. Au bout de la ligne « et avec une » un ajout, « de types 0, 1 », non situé

\begin{array}{lll} \beta + \gamma = \alpha' & \qquad & \alpha = \dfrac{\beta' + \gamma' - \alpha'}{2} = \dfrac{\alpha' + \beta' + \gamma'}{2} - \alpha' \\[2ex] \gamma + \alpha = \beta' & & \beta = \dfrac{\gamma' + \alpha' - \beta'}{2} \\[2ex] \alpha + \beta = \gamma' & & \gamma = \dfrac{\alpha' + \beta' - \gamma'}{2} \end{array} la dernière ligne de droite est surchargée (« -(\beta-\gamma) » biffé à côté) ; au crayon, en dessous, un essai « 2(\alpha+\beta+\gamma) = \ldots, 2\alpha + \beta + \gamma = \ldots, \beta + \gamma = \alpha' »

NB \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N} ssi \alpha' + \beta' + \gamma' pair« \in \mathbb{N} » est lu sur un signe rapide ; la ligne peut porter une autre condition

deux colonnes séparées par un trait vertical : à gauche les deux premières et la troisième ligne, à droite la deuxième et la quatrième. Devant la troisième, un « \alpha+\beta+\gamma » biffé à côté d'une sphère dessinée au crayon avec trois sommets 0, 1, \infty reliés par des faisceaux d'arêtes. Le « = \alpha+\beta+\gamma-2 » coiffe par une accolade la somme (\alpha-1)+(\beta-1)+(\gamma-1) ; le dernier chiffre, lu 2, est douteux (la somme vaut \alpha+\beta+\gamma-3). Le mot biffé devant « arêtes » est lu « bigônes » sous réserve

Dessins de la page. À gauche, à l'encre rouge et noire, la sphère à trois trous 0, 1, \infty subdivisée : sur le bord du trou 0 les points a^0_1, \ldots, a^0_4 et b^0_1, \ldots, b^0_5, sur le trou 1 les points a^1_1, a^1_2, a^1_3 et b^1_1, \ldots, b^1_4, sur le cercle extérieur \infty les points a^\infty_1, a^\infty_2, a^\infty_3 et b^\infty_1, \ldots, b^\infty_5, reliés deux à deux par des arcs. En dessous, des cercles orientés, dont l'un marqué « [0, \alpha][1, \beta) » (lecture douteuse), et deux triangles de sommets 0, 1, \infty : le premier avec \alpha = 3 (points a_1, a_2, a_3 sur le côté 1\infty), \beta = 5 (b_1, \ldots, b_5 sur 0\infty), \gamma = 4 (c_1, \ldots, c_4 sur 01) ; le second avec la suite « c_1 c_2 c_3 c_4 \cdot b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 ». Au centre, un petit triangle subdivisé (b_1, \ldots, b_5, a_1, a_2, a_3, c_1, \ldots, c_4) ; à droite, une carte trivalente et les régions A_{0\infty}, A_{01}, A_{10}, A_{1\infty}, A_{\infty 0}, A_{\infty 1} au crayon

1) Groupoïde topologique S\mathcal{T}_{\mathrm{top}}encadré (groupoïde de Teichmüller spécial orienté topologique)

Objets : paires (X, S)

Morphismes (X, S) \to (X', S') : classes d'isotopie d'isomorphismes.

1°) S = \emptyset on écrit \mathcal{T}_{\mathrm{top}} (groupoïde de T. orienté topologique) sous-groupoïde ouvert.

Vari Variantes 1°) S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}encadré mêmes objets, mais plus de flèches : classes d'isotopie d'homéom. (X, S) \xrightarrow{\ \sim\ } (X', S'), ne respectant pas l'orientation nécessairement.

On a S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } [\pm 1] au-dessus de la flèche, une lettre biffée et surchargée ; le but est écrit sur une rature (orientation), groupoïde défini par le groupe \pm 1, noté [\pm 1] ; le noyau (= catégorie fibre) est S\mathcal{T}_{\mathrm{top}}.

2°) (X, \Sigma, S), avec

morphismes : classes d'isotopie d'homéom. respectant l'orientation. Notation \mathcal{T}D_{\mathrm{top}} ((D) initiale de « divisage » « ») : « groupoïde de Teichmüller orienté divisé topologique ».le D de la notation est écrit sur une rature

NB S\mathcal{T}_{\mathrm{top}} \subset S\mathcal{T}D_{\mathrm{top}} (imm. ouverte pleine) = sous-groupoïde des objets tels que \Sigma = \emptyset.

3°) On définit de même \mathcal{T}S^{\pm}_{\mathrm{top}} (groupoïde de Teichmüller biorienté divisé topologique)

la page est écrite par-dessus un décalque, au crayon, du dessin de la page 68