Cote n° 148 · batch 4 · pages 61–71 · Transcription · Teichmüller (1983) : notes manuscrites (1983)
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration

Le dévissage de \(S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) (suite)

ce titre est de l'édition. Les pages 61 à 64 continuent une suite paginée par lui, commencée dans le lot 3 : p. 61 = sa p. 18. Les opérations numérotées 1° à 7° sont celles de sa « Récapitulation des opérations élémentaires », sa p. 17 (p. 60)

61p. 18 de l'auteur Il faudrait expliciter un petit théorème de dévissage préliminaire, qui dise qu'à équivalence près (définie à isom. unique près) \(S_{f}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\),l'indice sous le \(S\), lu \(f\), est douteux ; il revient p. 61 sous \(S_{f}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) [avec les foncteurs \(\underline{\Gamma}\) dans (Gr.pond. top) et \(f\) dans \([\pm 1]\), et]ajout interlinéaire de sa main, au-dessus de la ligne avec les opérations élémentaires 1° : 7°à l'exception de 4° et 5°note marginale oblique, soulignée, reliée à « 1° : 7° » (avec leurs variantes composées simultanées) se reconstitue par la connaissance des groupoïdes et foncteurs suivants

un premier diagramme, biffé en entier, commençait par \(S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \to\) […] \([\pm 1]\), avec une flèche verticale marquée (*) vers \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) et une flèche oblique, toutes deux barrées ; il est remplacé par la ligne encadrée suivante

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\begin{tikzcd}
S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \arrow[r] & \mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \arrow[r] & (\mathrm{Ens}(\nu) \times [\pm 1])
\end{tikzcd}

(ou simplement \(S\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\))sous \(S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\), de sa main ; la ligne du diagramme est encadrée par deux traits horizontaux

Ça ne suffit pas tout à fait, pour avoir toutes les opérations. Notamment les opérations (4°) (qui demande […] l'introd. des structures ; […] […] \(\mathcal{T}_{g,\nu}\)) et (5°)note écrite à 45° dans la marge gauche ; « 4° » et « 5° » y sont cerclés

\(S_1\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) désigne le sous-groupoïde de \(S_{f}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) formé des \((X, R)\) tels que \(X\) soit connexe de genre \(g\), \(\operatorname{card} \pi_0\,\partial X = \nu\), et \(\operatorname{card} R \cap C_a = 1\) pour tout \(a \in \pi_0\,\partial X\) — i.e. le graphe [bipondéré] des \(\mathcal{T}_{g,\nu}\) \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\) est isom. à« bipondéré » en interligne ; sous \(\widetilde{\Sigma}\) il écrit « \(\partial X\) » avec un signe d'égalité vertical

ici un graphe dessiné : un sommet marqué \(g\) d'où part un faisceau de \(\nu\) arêtes (« \(\nu\) » au bout du faisceau)

toutes ces arêtes (lisières) sont de poids \(\mathbf{1}\)

et \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) est défini de façon correspondante, via les \((X, \emptyset, \emptyset)\) avec \(X\) du type \(g, \nu\).

62p. 19 de l'auteur La question essentielle […] […] comment reconstituer, pour un graphe […] pondéré : à repères donné [repéré] (disons) \(\underline{\Gamma}\), le groupoïde \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}(\underline{\Gamma})\), plus [avec] sa dépendance fonctorielle en \(\underline{\Gamma}\), […] foncteurs des [et] l'explicitation des sept opérations, à l'exception de 4°) et 5°). NB on laisse ici tomber les « D », « S » […] dans […] des \(\underline{\Gamma}\)note oblique dans la marge gauche, « NB » souligné ; lecture très incertaine

Pour l'opération 4°), elle sera obtenue automatiquement par la description explicite des \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}(\underline{\Gamma})\) (qui sera faite en même temps et de la même façon que pour les \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) et \(S\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) connus),devant le premier \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) un petit signe en exposant, non lu et les bouclages de trous s'expliciteront [pourrait s'expliciter] à l'aide [des cas] des opérations particuliers de ces opérations pour les catégories, ou \(S\mathcal{T}_{g,\nu}\) et \(\mathcal{T}_{g,\nu}\), qu'il faudrait jeter dans le sac des […] [structures] « élémentaires » : diminution

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\begin{tikzcd}
(**)\quad S\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu,\nu'} \arrow[r] & S\mathcal{T}_{g,\nu\,?\,\nu'}
\end{tikzcd}

les deux \(S\) sont traversés de traits verticaux, et une note à droite, séparée par un trait, demande : « avec ou sans \(S\) ? ». Le signe entre \(\nu\) et \(\nu'\) dans l'indice du but, un I barré, n'est pas lu (on attendrait \(+\) ou \(-\))

avec ou sans \(S\) ?

\(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu,\nu'}\) : les \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\), avec […] donnée d'une sous-ens. \(I' \subset I(X)\) avec \(\operatorname{card} I' = \nu'\).écrit sous une accolade qui porte sur la source de (**)

63p. 20 de l'auteur Mais ces opérations de bouclage sont relativement superficielles, en ce qu'elles ne permettent pas de relier les \(\mathcal{T}_{g,\nu}\), pour \(g\) fixé, à des \(\mathcal{T}_{g',\nu}\) avec \(g' < g\). Pour ceci, il faut l'opération (5°) de gommage des cercles de découpage (= ex-cercles de recollement !).« (5°) » est cerclé et ajouté au-dessus de la ligne. Tel qu'écrit : dans la récapitulation de sa p. 17 (p. 60, lue à basse résolution) le gommage paraît être le 4°, le bouclage le 5°

Néanmoins, il y a, en d'ailleurs, une autre structure importante à expliciter, c'est celle des […] groupoïdes fondamentaux [\(\Pi_1(X; R)\)] des \((X, [\widetilde{\Sigma}], R)\), [pour \(R \neq \emptyset\),] points-base dans \(R\), [en tant que] groupoïdes dépendant fonctoriellement bien sûr de \(R\), et la dernière […] […] […] opérations) pour les […] [[…]] […] groupoïde par ces finis, [[…] […] d'un] revêtements \(X'\) des \(X\)), d'un nouvel objet des […] groupoïdes \(S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\). Déjà dans le cas de \(S_2\mathcal{T}_{0,3}\) la question se pose et est non triviale — en fait, c'est sans doute là une exigence trop ambitieuse, carla fin de la phrase entre « et » et « d'un nouvel objet » est chargée de ratures et d'ajouts interlinéaires ; l'ordre donné ici est incertain \(\widetilde{\Sigma}\) ici […] […] […], […] […] les groupoïdes […] dans les […] […] […] (i.e. \(S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \subset S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\)) […]note oblique dans la marge gauche, en face des lignes sur \(\Pi_1\)

64p. 21 de l'auteur, la dernière de la suite elle exigerait d'avoir un « modèle » pour \(S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) qui soit assez gros pour contenir ([…] […]) toutes les cordes — ça fait un peu gros ! Mais quand même on doit pouvoir sans trop de mal déterminer dans le […], […] le modèle […] […] pour \(S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), des [modèles des] \(\Pi_1(X, R)\), et leur dépendance fonctorielle en \((X, R)\)…

Découpage de cartes en « pantalons » généralisés

ce titre est de sa main, au crayon, seul en haut à droite de la page 65, qui sert de couverture à ce qui suit

66feuille d'esquisses, au crayon et à l'encre ; un bloc de texte, en haut, est écrit par-dessus des dessins Un pantalon [(topologique)] subdivisé de façon standard, avec un ens. \(J\) de trous (\(\operatorname{card} J = 3\)) correspond à un « triangle pondéré » i.e. \[ J \xrightarrow{\ \pi\ } \mathbb{N} \] (NB \(\pi(j)\) = nb d'arêtes qui relient \(j\) et \(k\), où \(i \neq j \neq k\)) la parenthèse est de lui ; « relient \(j\) et \(k\) » est lu tel quel

Carte [orientée] découpée pantalonniquement de façon standard \(\Longleftrightarrow\) […] une carte pantalonnière généralisée i.e. carte cellulaire (pas néc. orientée), dont les sommets […] sont d'ordre 3 (sauf des sommets topologiques […] d'ordre 1 éventuellement), et avec une pondération des arêtes repérées [[…]] (sommet et arête incidente) de telle façon que l'on ait pour chaque arête (cf. ci-contre) \[ \alpha_s + \beta_s = \alpha_t + \beta_t \] sous le membre de gauche, une accolade marquée \(\gamma'_s\), sous le membre de droite une accolade marquée \(\gamma'_t\). À côté, une arête \(st\) dessinée, avec les poids \(\alpha_s, \beta_s, \gamma_s\) en \(s\) et \(\alpha_t, \beta_t, \gamma_t\) en \(t\) et \(=\) de données d'une […] [anti-]isom. des torseurs \((\gamma = \gamma'_s = \gamma'_t)\) sous \(\mathbb{Z}/\gamma\) : sommes circulaires de \([1, \alpha_s]\) et \([1, \beta_s]\) \(\rightleftarrows\) sommes circulaires de \([1, \alpha_t]\) et \([1, \beta_t]\).« \(\mathbb{Z}/\gamma\) » douteux (l'indice est surchargé) ; la flèche entre les deux « sommes circulaires » est rendue par l'édition, il y a sur la page un signe barré. Au bout de la ligne « et avec une » un ajout, « […] de types \(0, 1\) », non situé

\[ \begin{array}{lll} \beta + \gamma = \alpha' & \qquad & \alpha = \dfrac{\beta' + \gamma' - \alpha'}{2} = \dfrac{\alpha' + \beta' + \gamma'}{2} - \alpha' \\[2ex] \gamma + \alpha = \beta' & & \beta = \dfrac{\gamma' + \alpha' - \beta'}{2} \\[2ex] \alpha + \beta = \gamma' & & \gamma = \dfrac{\alpha' + \beta' - \gamma'}{2} \end{array} \] la dernière ligne de droite est surchargée (« \(-(\beta-\gamma)\) » biffé à côté) ; au crayon, en dessous, un essai « \(2(\alpha+\beta+\gamma) = \ldots\), \(2\alpha + \beta + \gamma = \ldots\), \(\beta + \gamma = \alpha'\) »

NB \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}\) ssi \(\alpha' + \beta' + \gamma'\) pair« \(\in \mathbb{N}\) » est lu sur un signe rapide ; la ligne peut porter une autre condition

deux colonnes séparées par un trait vertical : à gauche les deux premières et la troisième ligne, à droite la deuxième et la quatrième. Devant la troisième, un « \(\alpha+\beta+\gamma\) » biffé à côté d'une sphère dessinée au crayon avec trois sommets \(0\), \(1\), \(\infty\) reliés par des faisceaux d'arêtes. Le « \(= \alpha+\beta+\gamma-2\) » coiffe par une accolade la somme \((\alpha-1)+(\beta-1)+(\gamma-1)\) ; le dernier chiffre, lu 2, est douteux (la somme vaut \(\alpha+\beta+\gamma-3\)). Le mot biffé devant « arêtes » est lu « bigônes » sous réserve

Dessins de la page. À gauche, à l'encre rouge et noire, la sphère à trois trous \(0\), \(1\), \(\infty\) subdivisée : sur le bord du trou \(0\) les points \(a^0_1, \ldots, a^0_4\) et \(b^0_1, \ldots, b^0_5\), sur le trou \(1\) les points \(a^1_1, a^1_2, a^1_3\) et \(b^1_1, \ldots, b^1_4\), sur le cercle extérieur \(\infty\) les points \(a^\infty_1, a^\infty_2, a^\infty_3\) et \(b^\infty_1, \ldots, b^\infty_5\), reliés deux à deux par des arcs. En dessous, des cercles orientés, dont l'un marqué « \([0, \alpha][1, \beta)\) » (lecture douteuse), et deux triangles de sommets \(0\), \(1\), \(\infty\) : le premier avec \(\alpha = 3\) (points \(a_1, a_2, a_3\) sur le côté \(1\infty\)), \(\beta = 5\) (\(b_1, \ldots, b_5\) sur \(0\infty\)), \(\gamma = 4\) (\(c_1, \ldots, c_4\) sur \(01\)) ; le second avec la suite « \(c_1 c_2 c_3 c_4 \cdot b_5 b_4 b_3 b_2 b_1\) ». Au centre, un petit triangle subdivisé (\(b_1, \ldots, b_5\), \(a_1, a_2, a_3\), \(c_1, \ldots, c_4\)) ; à droite, une carte trivalente et les régions \(A_{0\infty}\), \(A_{01}\), \(A_{10}\), \(A_{1\infty}\), \(A_{\infty 0}\), \(A_{\infty 1}\) au crayon

67au dos d'un listing d'ordinateur (imprimé à l'envers, daté « 02 JUN 82 »), seulement des esquisses de sa main au crayon : une boucle à un sommet, une arête à deux sommets entourée de courbes, un cercle portant six sommets reliés par des cordes, et un disque à deux trous avec des segments radiaux — les figures de la page 66

68un seul dessin, sans texte : une carte au crayon sur la sphère, dont les sommets sont entourés de petits cercles marqués \(0\), \(1\), \(\infty\), et une famille de courbes fermées emboîtées, à l'encre rouge, qui contournent ces sommets — un découpage en « pantalons »

69la page est tournée d'un quart de tour ; à gauche, un petit dessin (un secteur de disque subdivisé), au centre un décalque au crayon du dessin de la page 68. Trois longs traits obliques au crayon traversent le diagramme suivant ; ils appartiennent au dessin et ne paraissent pas le biffer

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large]
{[\pm 1]} & {[\pm 1]} \\
\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \arrow[u] \arrow[r, hook, "\mathrm{imm}"] & S\mathcal{T}S^{\pm}_{\mathrm{top}} \arrow[u] \\
\mathcal{T}_{\mathrm{top}} \arrow[u, "{\text{fid.\ ess.\ surj.}}"] \arrow[r, hook, "\mathrm{imm}"] & \mathcal{T}S_{\mathrm{top}} \arrow[u, "{\text{fid.\ ess.\ surj.}}"']
\end{tikzcd}

le premier \(S\) de \(S\mathcal{T}S^{\pm}_{\mathrm{top}}\) est lu sous réserve

On a \[ \pi_0(\mathcal{T}_{\mathrm{top}}) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_0(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}) \simeq \] la ligne s'arrête là

Groupoïdes de Teichmüller

titre de sa main, en tête de la page 70

701) Groupoïde topologique \(S\mathcal{T}_{\mathrm{top}}\)encadré (groupoïde de Teichmüller spécial orienté topologique)

Objets : paires \((X, S)\)

Morphismes \((X, S) \to (X', S')\) : classes d'isotopie d'isomorphismes.

1°) \(S = \emptyset\) on écrit \(\mathcal{T}_{\mathrm{top}}\) (groupoïde de T. […] orienté topologique) sous-groupoïde ouvert.

Vari Variantes 1°) \(S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\)encadré mêmes objets, mais plus de flèches : classes d'isotopie d'homéom. \((X, S) \xrightarrow{\ \sim\ } (X', S')\), ne respectant pas l'orientation nécessairement.

On a \[ S\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } [\pm 1] \] au-dessus de la flèche, une lettre biffée et surchargée ; le but est écrit sur une rature (orientation), groupoïde […] défini par le groupe \(\pm 1\), noté \([\pm 1]\) ; le noyau (= catégorie fibre) est \(S\mathcal{T}_{\mathrm{top}}\).

2°) \((X, \Sigma, S)\), avec

morphismes : classes d'isotopie d'homéom. respectant l'orientation. Notation \(\mathcal{T}D_{\mathrm{top}}\) ((D) initiale de « divisage » « […] ») : « groupoïde de Teichmüller orienté divisé topologique ».le \(D\) de la notation est écrit sur une rature

NB \(S\mathcal{T}_{\mathrm{top}} \subset S\mathcal{T}D_{\mathrm{top}}\) ([imm. ouverte] […] pleine) \(=\) sous-groupoïde des objets tels que \(\Sigma = \emptyset\).

3°) On définit de même \(\mathcal{T}S^{\pm}_{\mathrm{top}}\) (groupoïde de Teichmüller biorienté divisé topologique)

la page est écrite par-dessus un décalque, au crayon, du dessin de la page 68

71page de dessin, qui revient au découpage en pantalons des pages 66-69 découpage pantalonnesque d'une carte (triangulée)légende de sa main, en haut à droite

à gauche, une triangulation au crayon (neuf sommets entourés de petits cercles) et, à l'encre rouge, neuf courbes fermées emboîtées qui la découpent en pantalons ; à droite, un graphe trivalent pondéré, un hexagone avec des arêtes pendantes et une boucle, les poids \(9\), \(19\), \(3\), \(7\), \(2\), \(1\), \(5\), \(4\), \(15\), \(3\,6\), \(4\), \(2\), \(17\), \(3\), \(3\) inscrits aux sommets et aux arêtes, et trois poids cerclés (1), (2), (3)