Cote n° 148 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Teichmüller (1983) : notes manuscrites (1983)
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration

Opérations et structures

41feuillet de papier listing, à l'encre ; les deux pages 41 et 42 ne portent pas de numéro de sa main

Opérations de recollage / sommes

ces quatre dernières lignes sont réunies par une accolade à gauche

[condition […] « anabélienne » ou de « stabilité »]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathcal{T} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] \arrow[rrrr] & & & & \mathbb{L} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
S\mathcal{T} \arrow[dr, no head] \arrow[rr, no head] & & D\mathcal{T} \arrow[dl, no head] \arrow[rr] \arrow[rrrr, bend right=20] & & S\mathbb{L} \arrow[dr, no head] & & d\mathbb{L} \arrow[dl, no head] \\
 & SD\mathcal{T} \arrow[rrrr] & & & & Sd\mathbb{L} &
\end{tikzcd}

deux losanges dessinés à droite de la page, reliés par des flèches ; le sommet du premier, \(\mathcal{T}\), est précédé d'une lettre surchargée illisible. Sous le second : « types combinatoires ». La lettre du second losange, à double jambage, est lue \(\mathbb{L}\) sans certitude ; la minuscule \(d\) de \(d\mathbb{L}\), \(Sd\mathbb{L}\) est telle qu'il l'écrit. Le trait entre \(S\mathcal{T}\) et \(D\mathcal{T}\) n'a pas de pointe ; la flèche courbe part de \(D\mathcal{T}\) vers \(d\mathbb{L}\), la flèche droite issue de la même région aboutit près de \(S\mathbb{L}\)

Catalogue opérations + structures

  1. 1)Somme
  2. 2)gommage (partiel) du marquage \(\updownarrow\)
  3. 3)marquage
  4. 4)découpage (partiel)
  5. 5)amalgamation ou recollage […] (sans gommage !) \(\updownarrow\)
  6. 6)bouchage de trous (= gommage des cercles de raccord)
  7. 7)gommage des cercles internes

1) à 3) sont réunis par une accolade, 4) à 6) par une autre ; les flèches doubles verticales, à droite de 2) et de 5), semblent apparier 2) avec 3) et 4) avec 5)

foncteurs et iso « twist »

42papier listing, à l'encre. La lettre \(\mathbb{T}\) de cette page est tracée avec un double jambage

Les douze avatars […]principaux de la Tour de Teichmüller : système de groupoïdes

groupoïde \(\mathbb{R}\mathbb{T}D\ldots\)la première lettre, lue \(\mathbb{R}\), est douteuse avec structures (« les 10 opérations ») […], ou autres« ou autres » en interligne, après la parenthèse diverses dans ce groupoïde, dont le représentant le plus élémentaire est […] \(\mathbb{T}_{\mathrm{top}}\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathbb{T}_{\mathrm{top}} \\
\mathbb{T}'_{\mathrm{diff}} \arrow[r, leftrightarrow] & \mathbb{T}_{\mathrm{diff}} \arrow[u] \\
\mathbb{T}'_{\mathrm{an}} \arrow[r, leftrightarrow] & \mathbb{T}_{\mathrm{an}} \arrow[u] \\
\mathbb{T}'_{\mathrm{hyp}} \arrow[u] \arrow[r, leftrightarrow] & \mathbb{T}_{\mathrm{hyp}} \arrow[u] \\
 & \mathbb{T}_{\mathbf{C}\text{-alg}} \arrow[u] \\
 & \mathbb{T}_{\overline{\mathbf{Q}}\text{-alg}} \arrow[u] \\
 & \mathbb{T}_{\mathrm{comb}} \arrow[u] \\
 & \mathbb{T}_{\mathrm{Lego}} \arrow[u] \\
 & \mathbb{T}_{\mathbb{P}} \arrow[u]
\end{tikzcd}
colonne dessinée à gauche de la page, chaque flèche verticale montant vers le cas précédent ; les doubles flèches entre \(\mathbb{T}'\) et \(\mathbb{T}\) sont deux demi-flèches opposées. En face de chaque \(\mathbb{T}\), une ligne de texte, donnée ci-dessous dans l'ordre ; en marge droite, « dimension » pour les quatre premières

Les lignes, en entier :

Groupoïdes de Teichmüller

43p. 1 de l'auteur. Ici commence une suite paginée par lui de 1 à 17, en chiffres arabes en haut au centre, sur feuillets blancs : sa p. 1 est la page 43, sa p. 2 la page 45, puis ses pp. 3 à 17 les pages 46 à 60 ; la suite continue dans le lot 4 (pp. 61 à 64 = ses pp. 18 à 21). Le titre de section est le sien

Groupoïdes de Teichmüller.

(1)le 1 est cerclé Cas topologique.

La variante la plus simple est \[ \mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}} \quad\text{ou}\quad \mathcal{T}_{\mathrm{top}} \] (groupoïde de Teichmüller orienté topologique) :

objets : surfaces à bord compactes orientées ([…]),

flèches : classes d'isotopie d'iso (conservant l'orientation).

Variante immédiate \[ \mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \] (groupoïde de Teichmüller biorienté topologique) : mêmes objets, flèches sont les classes d'isotopie d'homéomorphismes (ne conservant pas néc. l'orientation).

Soit \([\pm 1]\) le groupoïde ayant un seul objet \(e\) (par exemple \(e = \emptyset\)) et comme groupe d'automorphismes \(\pm 1\). On a un morphisme de signature \[ \mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \xrightarrow{\ \chi\ } [\pm 1] \] dont la fibre est (en n'importe […]) est \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}} = \mathcal{T}_{\mathrm{top}}\). canulé, si on ne se borne à des surfaces connexes !note de la marge gauche, écrite en oblique en face de la ligne de la fibre ; la lettre au-dessus de la flèche est lue \(\chi\)

La variante la plus complexe est \[ S_{*}\mathcal{T}D^{+}_{\mathrm{top}} \quad\text{ou}\quad S_{*}\mathcal{T}D_{\mathrm{top}}, \] « groupoïde de Teichmüller [orienté]« orienté » en interligne spécial divisé topologique ».

Finalement, pour […] travaux […] ultérieurs, il semble que \(\mathcal{T}^{\pm}\) soit le plus utilisé ; c'est lui qui mérite donc ici la notation la plus simple \(\mathcal{T}\), et le groupoïde orienté s'appellera \(\mathcal{T}^{+}\).note écrite en oblique dans l'angle supérieur droit de la page, en face des lignes sur \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\) ; lue sur l'image tournée. Dans la suite de ces pages il écrit pourtant encore \(\mathcal{T}\) pour le groupoïde orienté et \(\mathcal{T}^{\pm}\) pour le biorienté

44On a ainsi la notion de graphe pondéré enrichi (pondéré par \(\gamma\), la structuredeux lignes seulement, en haut de la page, barrées par des traits obliques ; le reste de la page est blanc. La même phrase est reprise au début de sa p. 8 (page 51) sous la forme « graphe pondéré à repères »

45p. 2 de l'auteur \(X, \struck{\partial X}, \Sigma, S\)en haut à droite

objets : Triples \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\)\(R\) écrit au-dessus d'un \(S\) biffé, où

\(X\) surface à bord compacte orientée,

\(\widetilde{\Sigma}\) sous-variété compacte de \(X\) […], \(\widetilde{\Sigma} \supset \partial X\),

[…] \(R \subset \Sigma\) […], partie finie.

flèches : classes d'isotopie d'homéom. conservant l'orientation.

\(\widetilde{\Sigma} = \partial X \sqcup \Sigma\). On peut considérer que \(R\) rigidifie, […] \(\widetilde{\Sigma}\) … le « découpage » par \(R\)note oblique de la marge gauche

Variante Les compos. connexes de \(\widetilde{\Sigma} \setminus \partial X\) (\(= \Sigma\)) [et] celles de \(\partial X\) sont les cercles de raccordla phrase est remaniée en interligne ; l'ordre des morceaux est incertain, les cercles de découpage, les éléments de \(R\) sont les sommets de rigidification« rigidification » écrit au-dessus de « marquage » biffé ; en interligne aussi, barré, « (ou de rigidification) » , les compos. connexes de \(\partial X\) sont les « trous ». Les composantes connexes de \(X\) sont les composantes de l'objet envisagé.

Variante \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), avec

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\begin{tikzcd}
S_{*}\mathcal{T}D_{\mathrm{top}} \arrow[r, hook] & S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \arrow[r] & {[\pm 1]}
\end{tikzcd}

[…] fibre.

On a des sous-groupoïdes pleins

MD = « modulaire » Mumford–Deligneoblique, en marge gauche en bas de la page

Détermination du \(\pi_0(S_{*}\mathcal{T}D_{\mathrm{top}}) \xrightarrow{\sim} \pi_0(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}})\). On introduit les graphes MD bipondérés

46p. 3) de l'auteur qui forment un groupoïde […] (Gr.bip) ou (Gra.bipond) [+ structure suppl.]en interligne, comme « finis » sous « groupoïde »

Objets : graphes [finis] \((S, \vec{A}, \sigma, o)\) (permettant aussi des sommets isolés, des boucles fermées, + plusieurs arêtes entre deux sommets, et aussi des « arêtes libres » correspondant aux pts fixes de \(\sigma\)) (« sommets », « arcs ») : \(S\), \(\vec{A}\) ens. finis, \(\sigma : \vec{A} \to \vec{A}\) involution, \(o : \vec{A} \to S\) appl. « origine ». On se donne de plus \[ S \xrightarrow{\ \gamma\ } \mathbf{N} \] (application « genre » ou « poids »)le \(\gamma\) surcharge une lettre biffée \[ \vec{A}^{\sigma} = A_{\ell} \xrightarrow{\ r\ } \mathbf{N} \] (application […] « indice de rigidification »)à gauche de \(A_{\ell}\), une lettre hachurée et \(\overset{\mathrm{def}}{=}\) ; la lecture \(\vec{A}^{\sigma}\) est de l'édition, d'après la suite de la page

ici un bloc de lignes est barré en croix par de grands traits obliques : \(\struck{\ldots\,\vec{A}/\sigma}\) « ens. des sommets supplémentaires » ; « […] encore, posant \(\widetilde{S} = S \sqcup A_{\ell}\) (identifié … l'ens. des … correspondant aux \(a \in A_{\ell}\)) … les « sommets », « marqués » et « non marqués » (i.e. \(\in S\)) … libres, du graphe), … on donne \(\widetilde{S} \xrightarrow{\ \pi\ } \mathbf{N}\) (pondération du graphe) »

pas assez précis, comme donnée : la pondération d'une arête doit être remplacée par celle d'un pol. comb. \(T_a\) avec \(\omega(T_a) \simeq \omega(a)\)note oblique de la marge gauche ; la fin est lue sans certitude

j'ai indiqué une pondération des sommets, mais pas des arêtes note encerclée, marge gauche

dessin en marge gauche : un graphe à sommets pondérés \(0\), \(13\), \(4\), \(2\), \(0\), \(3\), \(1\), avec arêtes multiples, une boucle en \(0\) et des arêtes libres ; au-dessous, sous « 2° », un sommet \(0\) avec deux arêtes libres, et un sommet \(3\) portant une boucle

\[\begin{align*} \widetilde{S} &= S \sqcup A_{\ell}, \\ \widetilde{A} &= \vec{A}/\sigma = A \sqcup A_{\ell}, \\ \vec{A} &= \vec{A}_0 \sqcup \vec{A}_{\ell}, \qquad \vec{A}_0 = \vec{A} \setminus \vec{A}^{\sigma}, \quad \vec{A}_{\ell} = \vec{A}^{\sigma}, \end{align*}\] \(A_{\ell}\) est écrit sous \(S \sqcup\), relié par un signe d'inclusion vertical à un symbole biffé

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\begin{tikzcd}
\vec{A} \arrow[d] & = & \vec{A}_0 \arrow[d, "\deg 2"] & \sqcup & \vec{A}_{\ell} \arrow[d, "\deg 1"] \\
\widetilde{A} & = & A & \sqcup & A_{\ell}
\end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est doublée d'un faisceau de traits (une flèche hachurée)

Ordre d'un sommet \[ \sigma(s) = \sigma_{\ell}(s) + \sigma_0(s), \] \(\sigma_{\ell}\) correspondant aux « trous » ou cercles de recollage.

La donnée des graphes sous-jacents à un graphe MD bip. revient à celle des graphes « ordinaires » correspondants (sans arêtes libres, i.e. où \(\sigma\) opère sans pts fixes), i.e. \[ \bigl(S,\ (\vec{A} \setminus \vec{A}^{\sigma}),\ \sigma\,|\,(\vec{A} \setminus \vec{A}^{\sigma}),\ o\,|\,(\vec{A} \setminus \vec{A}^{\sigma})\bigr), \] plus un ensemble [fini] \(A_{\ell}\) (arêtes […] libres) ou « sommets-trous » et une application \[ A_{\ell} \longrightarrow S . \]

Flèches : Les iso. de telles structures.

47p. 4) de l'auteur On a un foncteur \[ (*)\qquad \Gamma : S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \longrightarrow \text{(Gra bipond)} \] avant « (Gra bipond) », un sigle biffé, peut-être « FMD » qui associe à un objet \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\) de \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) le graphe [MD] \((S, \vec{A}, \sigma, \struck{\ill{}}\, o, \rho)\)« MD » en interligne ; sur \(o\), une lettre surchargée et hachurée ; au-dessus, \(\sigma\) suivant :

la lettre notée \(\rho\) dans le sextuple devient \(r\) à la dernière ligne ; le \(\gamma\) est écrit au-dessus d'une flèche courbe

Le foncteur \((*)\) est surjectif et induit une iso sur les \(\pi_0\) et une surjection sur les \(\pi_1\)« induit une iso sur les » en interligne, au-dessus du passage biffé (c'est une \(0\)-isomorphisme, en langage homotopique).

[…]

Remarques. Dans \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) il y a une opération évidente de somme, dans (Gra bipond) FMD aussi, et \((*)\) y commute.

48p. 5) de l'auteur Cette opération de somme est la plus triviale parmi les opérations qu'il nous faudra expliciter et transcrire (combinatoirement) dans la suite. Notons de suite, pour \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\) donné : \[ X \ \text{connexe} \iff \Gamma_{\mathrm{MD}}(X, \widetilde{\Sigma}, R)\ \text{connexe} \] après \(X\), une lettre biffée ; l'indice de \(\Gamma\), lu MD, est surchargé plus précisément \[ \pi_0(X) \simeq \pi_0(\Gamma_{\mathrm{MD}}(X, \widetilde{\Sigma}, R)). \]

[…] plus généralement, donnons la formule pour le genre d'une composante \(\alpha \in \pi_0(X) \simeq \pi_0(\Gamma)\) en termes de la pondération : le genre total est \(g = \sum_{s \in S} g_s + c(\Gamma)\), \(c(\Gamma)\) = l'ordre de connexion du graphe […] \(= \operatorname{rg} H^1(\Gamma)\)longue note oblique de la marge gauche, lue sur l'image tournée ; l'ordre des morceaux est celui que suggère le tracé, et la fin « \(= \operatorname{rg} H^1(\Gamma)\) » est écrite au-dessus d'un mot biffé

Cas particuliers.

a) Cas de \(S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) […] — i.e. \(\Sigma = \emptyset\), \(\widetilde{\Sigma} = \partial X\).

Cela correspond aux graphes MD qui n'ont que des arêtes libres, i.e. tous les sommets sont isolés (avec [des] arêtes libres) : ce graphe est donc déterminé par […]

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\begin{tikzcd}
A \ (= \vec{A} \setminus \vec{A}^{\sigma}) \arrow[d] \arrow[r, "r"] & \mathbf{N} \\
S \arrow[r, "\gamma"] & \mathbf{N}
\end{tikzcd}

dessin en marge gauche : des sommets isolés pondérés \(g_0\), \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\), \(g_4\), portant chacun quelques arêtes libres, réunis par une accolade. La parenthèse sous \(A\) se lit \(\vec{A} \setminus \vec{A}^{\sigma}\) sans certitude

Le cas de \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) correspond : de plus \(\rho = 0\), donc la situation est déterminée par

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\begin{tikzcd}
A = A_0 \arrow[d] & \\
S \arrow[r, "\gamma"] & \mathbf{N}
\end{tikzcd}

Le cas connexe (\(\operatorname{card} S = 1\), i.e. \(S = \lbrace s \rbrace\)) type \((g, \nu)\) d'une structure […]deux lignes biffées est donné par la donnée de deux entiers \((g, \nu)\) (\(g\) = genre, \(\nu\) = nb de trous) : \[ g = \gamma(s), \qquad \nu = \operatorname{card} A . \]

49p. 6 de l'auteur Remarques. En fait, on a un foncteur plus précis, vers une catégorie de graphes munis d'une structure où la partie \(\rho\) de la pondération est […] [[…]]un mot biffé, un autre en interligne, tous deux illisibles par une structure plus précise, à savoir une […] application [une famille]

\[ \struck{A\,(\widetilde{R}, \alpha,\ \rho : R \to \vec{A})}\qquad (R_a)_{a \in A} \] la première formule, barrée, portait sous \(\vec{A}\) un « \(=\vec{A}_0\) » biffé

\(\mathrm{def}\ \omega(a) = \lbrace \tilde{a} \in \vec{A} \mid \tilde{a}\ \text{au-dessus de}\ a \rbrace\)oblique, marge gauche

disjointes, et pour tout \(a \in A\), si \(\omega(a)\) désigne l'un des […] (card \(\omega(a) \in \lbrace 1, 2 \rbrace\)), une application […] \(R\), et \(\rho\) une application \(R \to A\) […]quatre lignes barrées

\[ \omega \mapsto u_{\omega} : \omega(a) \longrightarrow \mathrm{Circ}(R_a) \] […] circulaires sur \(R_a\)« \(\omega \mapsto u_\omega\) » est ajouté en interligne ; au-dessus de la ligne biffée qui précède, \(\struck{R/\alpha \to \vec{A}}\)

avec la condition que si \(\omega, \omega' \in \omega(a)\), \(\omega \neq \omega'\), alors \(u_{\omega'} = u_{\omega}^{-1}\) \(u_{\omega} u_{\omega'} = \mathrm{id}_{R}\).

On peut aussi considérer que la donnée des structures revient à la donnée de \[ r : A \to \mathbf{N}, \qquad a \mapsto \operatorname{card} \rho^{-1}(a) \] (la « pondération-arêtes »), et à la donnée d'une famille de torseurs \[ (R_a)_{a \in A}, \] \(R_a\) un torseur sous \(\mathbf{Z}/r(a)\mathbf{Z} \wedge^{\omega(a)}_{\lbrace \pm 1 \rbrace}\). le \(\omega(a)\) est écrit en exposant du \(\wedge\), \(\lbrace \pm1 \rbrace\) en indice

On associe à \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\) une telle structure supplémentaire : \[ R_a = R \cap \widetilde{\Sigma}_a \] (\(\widetilde{\Sigma}_a\) la comp. connexe de \(\widetilde{\Sigma}\) qui correspond à \(a \in A \simeq \pi_0(\widetilde{\Sigma})\)), \(R = \ldots\), \(R \to S = \pi_0(\widetilde{\Sigma})\), \(\omega \mapsto u_{\omega}\) défini de façon évidente, et \(\rho\) déduit de l'ordre circulaire dans les \(R_a\).

NB. Même si \(r(\omega) = 1\) ou \(r(\omega) = 2\), le fait de disposer

50p. 7 de l'auteur d'une structure déjà orientée si \(a\) est une arête libre (correspondant à un \(C \in \pi_0(\partial X)\)), ou qui dispose de l'une des deux orientations \(\omega(a)\) dans le cas où \(a\) est une arête ordinaire, implique que l'on tient au moins, pour chaque \(a \in A\), un polygone combinatoire \(P_a\), dont l'ens. des sommets est \(R_a\), et l'ens. des arêtes peut se décrire […] de façon canonique en termes de \(R_a\), \(\omega_a\) et \(\omega_a \to \mathrm{Circ}(R_a)\). Il peut être plus commode, […] […] d'oublier dans la structure, de […] […] […] la famille des \((R_a)\) serait remplacée par un qui serait dans un contour ensemble de contour combinatoire, i.e. un ensemble […] repères \[ \vec{R} \] (plutôt « repères de rigidification »), […] d'une opération de \[ D_{\infty} = \lbrace \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1 \rbrace \] dessus, et une application \[ \vec{R} \longrightarrow \vec{A} \] compatible avec l'hom. \[ D_{\infty} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \lbrace \pm 1 \rbrace \] sur les groupes d'opérateurs, mais de plus un sous-ens. \[ \vec{R}^{+}_{\ell} \subset \vec{R}\,|\,\vec{A}_{\ell} \] (\(\vec{A}_{\ell}\) = arêtes libres, correspondant aux cercles de recollement, i.e. les \(\in \pi_0(\partial X)\)) définissant une orientation des contours correspondants. \(\vec{R}\) est souligné (d'un trait ondulé) à chaque occurrence

51p. 8 de l'auteur On a ainsi la notion de graphe pondéré à repères enrichi \(\Gamma\) :« à repères » en interligne, au-dessus d'un mot biffé ; cf. les deux lignes barrées de la page 44

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\begin{tikzcd}
\vec{R}^{+}_{\ell} \arrow[r, hook] & \vec{R} \arrow[r] & \vec{A} \arrow[d, "o"'] \\
 & & S \arrow[r, "\gamma"] & \mathbf{N}
\end{tikzcd}

sous \(\vec{R}\) : « \(\sigma_0, \sigma_1\) » ; sur \(\vec{A}\), une flèche en boucle marquée \(\sigma\) ; entre \(\vec{R}^{+}_{\ell}\) et \(\subset\), un « \(D_{\infty}\) » biffé

Groupoïde (Gr.pondrep), foncteur \[ S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \longrightarrow (\mathrm{Gr.pondrep}) \] qui sera important sans doute dans l'explicitation de l'opération de « recollement ». Il est clair en tous cas que toute description algébrico-combinatoire de \(S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) devra permettre, pour chaque objet de la catégorie [groupoïde] paradigme, de reconstituer (à isom. unique près) les graphes pondérés à repères correspondants — plus précisément, il faut reconstituer le foncteur canonique \[ S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \longrightarrow (\mathrm{Gr.pondrep.}) \] (et non seulement le foncteur à valeurs dans (Gr.bipond)).

Opérations essentielles

A) Opérations « d'oubli » ou de « gommage ».

(1)cerclé Gommage de repères. À un objet \((X, \Sigma, R)\), muni de plus d'une partie \(R' \subset R\), il associe \((X, \Sigma, R \setminus R')\) (gommage de \(R'\)).

52p. 9 de l'auteur NB. Ayant (via un groupoïde équivalent de description purement combinatoire) « reconstruit » ou plutôt réalisé le groupoïde \(S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), et le foncteur \[ S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \longrightarrow (\mathrm{Gr.pond.rep}), \] […] on devra pouvoir donc aussi [l'équivalent de] […] la donnée d'un \((X, \Sigma, R)\), muni de plus d'une partie \(R' \subset R\) — […] i.e. arriver à la construction d'un groupoïde

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\begin{tikzcd}
S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\ (\text{à sous-ens.\ marqué $R'$ de sommets-repères}) \arrow[d] \\
S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}
\end{tikzcd}

il nous faudra donc [décrire] un foncteur « gommage de \(R'\) »

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\begin{tikzcd}
S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}(R'\ \text{marqué}) \arrow[r, "\text{gommage de } R'"] & S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}
\end{tikzcd}

Cela s'exprime, sur le donnant lieu : un diagramme commutatif de foncteurs

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}(\ldots R' \ldots) \arrow[r, "\text{gommage de } R'"] \arrow[d, "\text{oubli du marquage } R'"'] & S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \arrow[d] \\
S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \arrow[r] & (\mathrm{Gra.bipond})
\end{tikzcd}

sur la page, les deux flèches aboutissant à (Gra bipond) sont obliques ; à droite de (Gra bipond), une flèche vers « graphes avec pondération par \(\gamma\), mais non par \(r\), » ; dans (Gra bipond) une lettre est surchargée

Alors qu'au niveaula phrase s'interrompt en bas de page ; sa p. 10 (page 53) reprend « des graphes pondérés à repères »

NB. Cette opération […] […] d'un affaiblissement de structure — mais […] […], […] […] […] donnée de \(\Sigma^{+}\), lorsqu'on « gomme » […] les repères […] \(\Sigma\) — c'est au contraire plutôt dans le sens d'un renforcement de structure — ou plutôt, […] […] […] \(R'_C = R' \cap C\), dans le cas […] […] […] […] catégories […] […] […] […]. Il faudrait donc distinguer […] \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}\) […] longue note oblique occupant toute la marge gauche de la page, en écriture serrée ; seuls quelques morceaux se lisent, sur l'image tournée

53p. 10 de l'auteur des graphes pondérés à repères, l'opération s'explicite se reflète par une opération correspondante au niveau de \(\vec{R}\), par le « gommage » d'une partie \(\vec{R}'\) stable par \(D_{\infty}\), i.e. par \(\sigma_0, \sigma_1\).

2) Gommage de cercles de découpage.

On se donne maintenant une ens. de composantes connexes de [(ouv. et) fermée] 1-sous-variété \(\Sigma'\) de \(\Sigma \setminus \partial X\)« (ouv. et) fermée » en interligne, correspondant à un ensemble […] de comp. connexes de \(\Sigma'\), i.e. à une partie \(A'_0\) de \(\pi_0(\Sigma') = A_0\) (arêtes ordinaires du graphe)ainsi sur la page : \(\pi_0(\Sigma')\), là où l'on attendrait \(\pi_0(\Sigma)\) — et on remplace \(\Sigma\) par \(\Sigma \setminus \Sigma'\). Au niveau des graphes pondérés, cela se traduit par une opération de contraction en un point des arêtes correspondantes, d'où formation d'un nouveau graphe, et d'un morphisme de généralisation (à l'opposé de « spécialisation ») de l'ancien vers le nouveau. Il convient ici d'expliciter comment la pondération suit… Au niveau des sommets [(repères)], il est entendu que les sommets repères se trouvant sur \(\Sigma'\) sont gommés en même temps — donc, sur les graphes pondérés à repères, on fait sauter l'ens. des repères qui sont au-dessus des arêtes \(\in A'_0\) !

54p. 11 de l'auteur 3) Gommage [Bouchage de trous, ou « gommage »] des cercles de recollement.« Bouchage de trous, ou « gommage » » en interligne, au-dessus de « Gommage » biffé

Cette opération est relative à la donnée d'une 1-sous-variété fermée de \(\partial X\), i.e. d'une partie \(A'_{\ell}\) de \(\pi_0(\partial X) \simeq A_{\ell}\) (ens. des arêtes libres du graphe). Elle consiste à boucher les trous correspondants, au moyen des cônes sur les composantes connexes du bord de \(\Sigma'_{\ell}\). Au niveau des graphes, cela consiste à gommer les arêtes libres correspondantes, ainsi bien entendu aussi les repères de marquage qui se trouvent au-dessus — mais les pondérations des sommets restant inchangées.

ici un signe de renvoi, une croix à pied

Gommage simultané mixte, correspondant à une partie \(R' \sqcup \Sigma'\) \(A' \sqcup R'\) de \(R \sqcup \Sigma\) quelconque des qui soit à la fois ouverte et fermée, et telle \(A \sqcup R\) que \(R' \supset R \cap \Sigma'\), ens. de composantes connexes de \(R \sqcup \Sigma\) ou ce qui revient au même, une partie \(R' \sqcup A'\) de \(R \sqcup A\), telle que \(R' \supset R\,|\,A'\).

Au niveau des graphes pondérés à repères, cette opération consiste à enlever […] la partie corr. \(\vec{R}'\) de \(\vec{R}\), à contracter en un point les arêtes de \(A'_{\ell}\) […] (considérées comme libres que liées), en faisant suivre la pondération.l'indice de \(A'\) surcharge un mot, lu \(\ell\) sans certitude ; « considérées comme libres que liées » est douteux

55p. 12 de l'auteur (B)« (B) » écrit au-dessus d'un « 4) » (ou « A) ») biffé et encadré Opération de […] marquageau-dessus de la ligne, « d'un » ; dans la ligne, un mot biffé commençant par « aff- », et en interligne « ou […] », biffé aussi

On peut la définir par la donnée, […] […] composantes connexes de […] […] \(R\) […] \(\widetilde{\Sigma} \setminus R\). Soit \(A^{+}_{*} \subset A_{*}\) l'ens.trois lignes barrées d'un trait et de hachures obliques

Soit \(A^{+}\) l'ens. des arêtes (libres ou liées) du \(\Gamma\) [bip.] telles que \(r(a) > 0\), « effectivement marquées », et \(B\) l'ens. des, correspondant à des \(C \in \pi_0(\Sigma)\) telles que \(C \cap R \neq \emptyset\), soit \(B^{+}\) l'ens. des comp. connexes des \[ \Sigma^{+} \setminus R \cap \Sigma^{+} \] (lesquelles sont des intervalles ouverts), un surmarquage est défini par la donnée d'une application \[ B^{+} \xrightarrow{\ r'\ } \mathbf{N}, \] et peut se décrire comme l'opération qui [[…]] sur chaque [([…])] arête [[…]] de \(\Sigma\), correspondant à un \(b \in B^{+}\), \(r'(b)\) nouveaux sommets de […] rigidification. Cette fois-ci, l'opération il y a des choix arbitraires — néanmoins, à un objet de \(S\mathcal{T}D^{+}\), défini [soit \((X, \Sigma, R_1)\)] — muni bien à isom. unique près — entendu d'un ens. marqué \(R' \subset R_1\), tel que l'opération inverse de gommage de \(R'\) redonne l'objet de départ \((X, \Sigma, R)\).la fin de la page est très remaniée en interligne ; l'ordre des morceaux est celui de l'édition

arêtes cercles effectivement marqués marqués, arêtes sur \(\Sigma\) […] (NB elles sont les intersections des cercles effectivement marqués, et sont des intervalles ouverts)note oblique de la marge gauche, reliée par un trait à la définition de \(A^{+}\)

56p. 13 de l'auteur On va peut-être se borner par la suite à des opérations de gommage de repères, ou de surmarquage, de nature [assez] spéciale, qui se traduisent, sur les torseurs \[ R_a \quad (a \in A) \] sous les \[ \mathbf{Z}_a/(r(a)) \qquad \bigl(\mathbf{Z}_a = \mathbf{Z} \wedge_{\lbrace \pm 1 \rbrace} \omega(a)\bigr), \] par une opération de restriction des groupes d'opérateurs de \(\mathbf{Z}_a/r(a)\) à \(\mathbf{Z}_a/r'(a)\), où \(r'(a) \mid r(a)\) (opérations de gommage partiel uniforme ([…])) ou d'extension des groupes d'opérateurs de \(\mathbf{Z}_a/r(a)\) à \(\mathbf{Z}_a/r''(a)\), où \(r''(a) = d(a)\,r(a)\) est un multiple de \(r(a)\) (opération de surmarquage uniforme, […] de multiplic. par \(d(a)\)).après \(\mathbf{Z}_a/(r(a))\), une formule surchargée, illisible ; « \(= d(a)r(a)\) » est écrit en interligne au-dessus de \(r''(a)\)

On se rend compte […] que le gommage partiel est en fait un renforcement de structure, pas un affaiblissement, et inversement pour les surmarquages uniformes — qui, au niveau combinatoire, seront définis sans donnée de structure supplémentaire (autre bien sûr que les multiplications \(d(a)\)).

57p. 14 de l'auteur C) Découpage de suivant une partie [ouv. et f.] \(\Sigma' \subset \Sigma_0\) de la sous-variété formée des cercles de découpage — cela correspond à une partie \(A'\) de \(A_0\) (arêtes [liées] ordinaires), mais cette fois-ci il ne s'agit pas de « gommer » i.e. de contracter en un point, mais de « découper », ce qui au niveau des graphes revient à découper une arête par son milieu (i.e. à la remplacer par deux arêtes libres).

Le marquage suit. Mais il y […] […], par un […] a ici à distinguer entre le cas [où \(C\)] d'une opération ordinaire — celui où \(C\) est effectivement marqué où il y a […] i.e. \(C \cap R \neq \emptyset\), i.e. \(C \subset \Sigma^{+}\) — […] à peu de chose près (une ambiguïté dans un ens. fini, […]) peut se « inverser », à l'aide des […] […]) — et celui où \(C\) n'est pas marqué. Mais il semble que dans la façon dont nous allons travailler

58p. 15 de l'auteur pour […] traduire le groupoïde de Teichmüller topologique, on ne trouvera jamais que des structures où les cercles de découpage sont effectivement marqués. […] […] distinguer, […] pour \(S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) le groupoïde [Néanmoins on] veut avoir le droit de les « gommer », d'où la […] — [marquages] même s'ils y sont bel et bien !

D) Opérations de recollement. C'est la plus […] [essentielle], la moins triviale peut-être de toutes ces opérations. Pour ce que nous proposons en vue, il faut comme donnée préliminaire

Pour que l'opération soit bien déterminée à isom. unique

59p. 16 de l'auteur près dans la catégorie topologique \(S\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), il faut […] qu'on ait \[ A' \subset A^{+}, \] i.e. que les \(C_a\) (\(a \in A'\)) soient effectivement marqués. De plus, quitte à avoir effectué au préalable des gommages de marquage, ou des surmarquages (on peut toujours s'en tirer par surmarquages uniformes […] […]), on suppose \(r(a) = r(a')\) si \(a' = \sigma'(a)\), \(a, a' \in A'\). Cela dit, l'opération sera bien déterminée dans la catégorie topologique, pourvu qu'on ait exige que le marquage soit respecté, et que l'on se donne l'[…] anti-isomorphisme des torseurs sous \(\mathbf{Z}/r\mathbf{Z}\) \[ R_a \ \text{et}\ R_{a'} \qquad (r = r(a) = r(a')), \] i.e. un élément de \[ R_a \wedge_{\mathbf{Z}/r\mathbf{Z}} R_{a'} . \]

NB, […] Au niveau des graphes pondérés, l'opération consiste à rattacher deux à deux [par leurs bouts] des arêtes libres — la pondération des sommets n'est pas changée, et la pondération des arêtes (resp. la structure à repères) suit de façon […] évidente (resp. […] évidente).

60p. 17 de l'auteur. Les numéros 4° et 5° sont cerclés dans la marge ; la page se continue dans le lot 4, où ses pp. 18 à 21 (pages 61 à 64) renvoient aux opérations 1° à 7° de cette récapitulation. Ici, 4° est le gommage des cercles de découpage et 5° le bouchage des trous ; à sa p. 20 (page 63), le gommage des cercles de découpage est appelé 5°

Récapitulation des opérations élémentaires

les notes de marge sont écrites en oblique, en face de chaque opération, et séparées par des traits

\({}^{*}\) Il faudrait peut-être séparer 6°) en deux, suivant que \(r_a = 0\) ou \(r_a \neq 0\) (ou exclure le cas \(r_a = 0\) ?)