Fonds Grothendieck, cote n° 148, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)148
Teichmüller (1983) : notes manuscrites (1983)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1983Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/148.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Groupes de Teichmüller à structures toriques
(29.11.83)date de sa main, écrite en oblique dans la
marge gauche, en face de la première ligne
Soit X surf. à bord compacte orientée, à structure torique donnée sur
les comp. connexes du bord(i.e. torseur sous
\mathbb{U} = \lbrace z \in \mathbf{C} \mid |z| = 1 \rbrace)en
interligne au-dessus de la fin de la phrase, rattaché par un trait à
« structure torique ». On définit
SRT(X) =
quotient du groupe des autom. de X (respectant
l'orientation et les structures toriques) par la comp. neutre du
sous-groupe \mathrm{Aut}^{!}(\vec{X}) de
\mathrm{Aut} qui induit l'identité sur \partial X.
On a ainsi une filtration de SRT(X) en trois étages
S_{*}T^{!}(X) \qquad \mathbb{U}^{I} \qquad \mathfrak{S}_{I}
\qquad\qquad I = \pi_0(\partial X)sous S_{*}T^{!}(X), en petit : « \mathrm{Aut}^{!}(\vec{X})/comp.
neutre ». La lettre gothique qu'il écrit pour le groupe symétrique est
rendue \mathfrak{S} dans tout le lot ; l'étoile de S_{*} est écrite
sous le S, comme dans les lots 3 et 4
ou encore
\mathbf{Z}^{I} \qquad T(X) \qquad \mathbb{U}^{I} \qquad \mathfrak{S}_{I}
En fait, on définit canon. un sous-groupe \mathbf{R}^{I}droit« droit » au-dessus de \mathbf{R}^{I}, rattaché par une accolade
de SRT(X) contenant \mathbf{Z}^{I}, de telle façon qu'on ait
SRT^{!}(X) = \mathbf{R}^{I} \cdot S_{*}T^{!}(X)sous SRT^{!}(X), une accolade et « noyau de
SRT^{!}(X) \to \mathfrak{S}^{!}_{I} » ; les signes ! de cette ligne
sont lus tels quels
à gauche, un petit diagramme : \mathbf{R}^{I} en haut, une flèche
d'inclusion, un trait biffé, une flèche verticale marquée
« cocart », et un point ; puis la ligne ci-dessous\mathbf{Z}^{I} \hookrightarrow S_{*}T^{!} \subset SRT^{!} \subset SRT
\qquad \text{i.e.\ on a}
NBSUT(X) \simeq T(X) \times_{\mathfrak{S}_I}
\mathrm{Aut}((T_i)_{i\in I})en oblique, à droite
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& SRT(X) \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_I"] & \\
& \mathbf{R}^{I}\cdot S_{*}T^{!} \arrow[dl, no head, "T^{!}"'] \arrow[dr, no head, "\mathbb{U}^{I}"] & \\
\mathbf{R}^{I} \arrow[dr, no head, "\mathbb{U}^{I}"'] & & S_{*}T^{!}(X) \arrow[dl, no head, "T^{!}(X)"] \\
& \mathbf{Z}^{I} &
\end{tikzcd}
treillis de sous-groupes dessiné au bas de la page, traits sans
pointe ; les quotients sont écrits à côté des traits et placés ici en
étiquettes. À droite de SRT(X), une accolade :
« \mathrm{Aut}((T_i)_{i\in I}) »
d'où
SRT/\mathbf{Z}^{I} \overset{\mathrm{def}}{=} SUT(X)
\quad\big\rbrace\ \mathfrak{S}_Isous SUT(X), une flèche vers le bas et « T^{!}(X) \times
\mathbb{U}^{I} », surmonté d'une accolade(*)\qquad 1 \to \mathbb{U}^{I} \to SUT(X) \to T(X) \to 1
Jusqu'ici on a fait intervenir S_{*}T^{!}(X), i.e.
l'exclusion de la définition T(X)S_{*}T(X), str. . note écrite en oblique dans la
marge gauche, lue sur l'image tournée, en grande partie illisible
De plus, chaque fois qu'on se donne un marquage, i.e. un
pt de
\underline{s} = (s_i) \in \prod_{i \in I = \pi_0(\partial X)} T_iaprès le produit, un mot biffé illisible
(T_i = comp. connexe (torique) de \partial X d'indice i), on trouve
un plongement
S_{*}T^{!}(X, \underline{s}) \hookrightarrow SRT(X)
tel qu'on en déduireS_{*}T^{!}(X, \underline{s}) \wedge^{\mathbf{Z}^{I}} \mathbf{R}^{I}
\simeq SRT(X)l'exposant de T dans ces deux formules est un signe surchargé,
lu ! sans certitude ; page 2 il écrit S_{*}T(X,\underline{s}) sans
exposant. Le produit contracté est écrit \wedge avec \mathbf{Z}^{I}
en indice sous le signe
Une façon de le voir est de dire que la donnée de \underline{s}
définit un scindage \varphi_{\underline{s}} de l'extension (*)
ci-dessus, et que S_{*}T(X, \underline{s}) s'identifie au ss-groupe
de SRT(X) image inverse de
\varphi_{\underline{s}}(T(X)) \subset SUT(X)
par l'homom. canon.SRT(X) \to SUT(X)
de passage au quotientle premier groupe est écrit comme
« SUR(X) » ; lu SRT(X) d'après la page 1. Le changement de
\underline{s} en \underline{s}' = u \cdot \underline{s} transforme
\varphi_{\underline{s}} en
\varphi_{\underline{s}'} = \mathrm{int}(u) \circ \varphi_{\underline{s}}
donc (si \tilde{u} \in \mathbf{R}^{I} relève u), on trouve
S_{*}T(X, \underline{s}') = \mathrm{int}(\tilde{u})\, S_{*}T(X, \underline{s}).
En termes de \overline{X}, la définition de S_{*}T(X,\underline{s})
dépend du choix \underline{s}non canonique, par contre celle de
S_{*}RT(X) ne dépend que d'un choix canonique, celui de la famille des
structures toriques (T_i)_{i\in I}. De plus, \prod T_i comme torseur
sous \mathbb{U}^{I} se réalise (par fidélité) comme un de scindages de l'ext. (*) (via
par \mathbb{U}^{I}) [déduite de SRT(X) sur les
structures ] savoir les relèvements
coïncidant sur \mathbf{Z}^{I}.
Ceci dit, si on se donne un multimarquage de \partial X, savoir
pour chaque i \in I un n_i \in \mathbf{N}^{*} et un sous-torseur
élém.n_ien interligne au-dessus de
« torseur »T_i(n_i) \subset T_i,de groupe i.e. un s_i \in T_i^{\wedge n_i}, d'où
\underline{s}\underline{s} \in \prod_{i\in I} T_i^{\wedge n_i},
alors le groupe de Teichmüller multimarqué S_{*}T(X, \underline{s}),
généralisant le précédent, est plongé dans SRT(X) de façon naturelle,
en prenant un s_i dans chaque T_i(n_i), d'où
\underline{s}^{0} \in \prod T_i \quad\text{et}\quad
S_{*}T(X, \underline{s}^{0}) \subset SRT(X),
et on prend le ss-groupe
S_{*}T(X, \underline{s}) = S_{*}T(X, \underline{s}^{0}) \cdot
\prod_{i\in I} \tfrac{1}{n_i}\mathbf{Z}_i
\qquad\qquad \mathbf{Z}^{I} \subset SRT(X).
où \mathbf{Z}_i est le i-ème facteur de \mathbf{Z}^{I}.
l'exposant de T_i, lu \wedge n_i, est écrit petit et haut ; le
reste de la page est blanc
Courbes exceptionnelles de type (1,1)
p. 1 de l'auteur. Ici commence une suite paginée par lui, en haut
au centre, sur les rectos seuls : sa p. 1 est la page 4, sa p. 2 la page
6, sa p. 3 la page 8 (voir plus bas pour la suite). Le titre de section
est le sien
Courbesexceptionnelles« exceptionnelles » en
interligne au-dessus de « de type »de type (1,1) (sur
\mathbf{C})
A) Courbeell.anharmonique de type carré
Cat. de ces courbes équivalente : celle des carrés combinatoires
orientés, i.e. des torseurs sous
\mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \simeq \mu_4(\mathbf{C}) \simeq
groupe des unités algébriques de \mathbf{Q}[i], i.e. groupe des unités
de \mathbf{Z}[i] (anneau des entiers de \mathbf{Q}[i]).
La donnée d'un tel torseur S permet de tordre
\mathbb{E}\mathrm{l}_0 \overset{\mathrm{def}}{\simeq} \mathbf{C}/\mathbf{Z}[i]
et trouver
\mathbb{E}\mathrm{l}_0(S) \simeq \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \wedge^{\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}} Sà gauche, un croquis : le carré de sommets 1, i, -1, -i dans le
plan, les points du réseau \mathbf{Z}[i] marqués, un carré plus petit
inscrit, centre o
Si le carré est réalisé comme carré euclidien« euclidien »
en interligne dans un plan euclidien (canoniquement), de centre o,
deux petits croquis : un carré biffé, puis un losange à
diagonales, étiqueté V_S on en déduit dans le plan (vectoriel via
o) V_S un syst. de deux axes de coordonnées
mod. signes via les diagonales, d'où un réseau\Gamma_S dans V_S (sous-groupe discret de rang 2) et
\boxed{\mathbb{E}\mathrm{l}_0(S) =: X_S = V_S/\Gamma_S}\ .la formule est encadrée ; à gauche, un croquis du losange dans un
quadrillage en pointillé
Il y a dans X_S un élément d'ordre 2 canonique \eta_S (celui
fixé par automorphismes), les deux autres él. d'ordre 2 sont échangés
par le générateur i de
\mu_4(\mathbf{C}) \simeq \mathrm{Aut}(X_S).CNBfin de ligne, au bas
de la page, illisible
p. 2 de l'auteur
… comme l'unique pt de {}_2(X_S) qui
est fixe par \mathrm{Aut}(X_S) \simeq \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}. En fait
(X_S)^{i\text{-fix}} = \lbrace x \in X_S \mid ix = x \rbrace
= \lbrace e, \eta_S \rbrace .l'exposant de (X_S) est lu « i-fix » sans certitude ; il écrit
{}_2(X_S) pour le sous-groupe des points d'ordre 2
La surface top. X_S a une déc. cell. avec 1 sommet e, deux arêtes,
une face, ces arêtesen interligne correspondant aux deux
mailles du réseau \Gamma_S.
On considère X_S comme muni de cette décomposition. Parfois c'est
l'image inverse de celle-ci par 2\,\mathrm{id}_{X_S} qui est plus
commode, 4 sommets (formant {}_2(X_S)), quatre huit arêtes,
(NB ) 4 faces. On peut considérer
\mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \simeq \mu_4(\mathbf{C}) comme le groupe
d'automorphismes commun de ces deux structures cellulaires.
à gauche, un croquis : un carré hachuré découpé en quatre, sommets
e, \eta', \eta'', \eta
Le deuxième est mieux adapté pour la description du quotient
\struck{\mathbb{E}\mathrm{l}_0(S)}\ X_S/\pm 1
qui est une sphère, subdivisée en deuxdeuxcarrésau-dessus de « carrés », un mot lu « fus. » ;
le mot biffé devant est « deux », se raccordant suivant un équateur
carré subdivisé en quatre arêtes par e^{q}, \eta^{q},
\eta'^{q}, \eta''^{q}.l'exposant, lu q, est incertain. À gauche,
deux croquis de la sphère : l'un barré, l'autre avec l'équateur et les
quatre points e^{q}, \eta^{q}, \eta'^{q}, \eta''^{q}
p. 3 de l'auteur
B) Courbesell.anharmoniques de type hexagonal.
La catégorie de ces courbes équivalente à celle des hexagones orientés,
i.e. des torseurs S sous
\mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \simeq \mu_6(\mathbf{C}) \simeq
groupe des unités alg. de \mathbf{Q}(\sqrt[3]{1})\simeq groupe des unités de \mathbf{Z}[\zeta] = \mathbf{Z}[T],
\mathbf{Z}[\zeta] = \mathbf{Z}[T]/(1 + T + T^{2}) \qquad
(\zeta = \exp 2i\pi/3)à gauche, un croquis : l'hexagone de sommets \pm 1, \pm\zeta,
\pm\bar{\zeta}, le réseau et ses points marquésOn pose On pose
\mathbb{E}\mathrm{l}_1 \simeq \mathbf{C}/\mathbf{Z}[\zeta]\mathbb{E}\mathrm{l}_1(S) \simeq \mathbb{E}\mathrm{l}_1
\wedge^{\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}} Sdans la première formule, un argument biffé après \mathbb{E}\mathrm{l}_1
Construction. On réalise l'hexagone comb. S euclidiennement
(canonique), dans vectoriel euclidien V_S,
origine en« origine » en interligne, au-dessus d'un mot
biffé le barycentre de S. On désigne par V_Ssic ; la formule
qui suit appelle ce réseau \Gamma_S le réseau« réseau »
en interligne, au-dessus d'un mot biffé engendré par S, et
X_S = \mathbb{E}\mathrm{l}_1(S) \simeq V_S/\Gamma_S
La structure euclidienne orientée de V_S définit la structure
complexe de X_S.
p. 4 de l'auteur
Le groupe \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} opère transitivement sur
({}_2X_S) \setminus \lbrace 0 \rbrace (avec \pm 1 opérant
trivialement) — donc {}_2X_S \setminus \lbrace 0 \rbrace est un
torseur sous (\mathbf{Z}/6\mathbf{Z})/\pm 1\simeq \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} ( générateur correspondant
= -\bar{\zeta}, \zeta = \exp\frac{2\pi}{6})il écrit bien
\exp\frac{2\pi}{6}, sans i, et page 8 \zeta = \exp 2i\pi/3 ; le
\bar{\zeta} est lu sans certitude, torseur s'identifie
\text{à} \quad S/\pm 1,
en associant à chaque s \in S le milieu du segment
[0,s], en prenant son image dans X_S.
L'ens. des pts fixes de \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\subset \mathbf{Z}/6\mathbf{Z}en interligne dans X_S est
de card 3, il s'obtient en prenant les barycentres des
six triangles de la subdivision centrale (bibarycentrique) de l'hexagone
(pts centrés) (tels que (1-\zeta)/3 etc. dans le cas épinglé), ils se
groupent en deux régiments de 3 mutuellement congrus mod
\Gamma, donc donnant deux éléments (symétriques) de X_S, d'ordre 3,
p. 5 de l'auteur
qui avec l'origine e forment l'ens. des pts fixes de X_S. (L'ens.
des pts fixes sous \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} se réduit à e.) Les deux
pts fixes sous \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}, distincts de e, correspondent
aux deux triangles inscrits les deuxen interligne dans
l'hexagone S. (Triplets de côtés mutuellement non adjacents.)
Décompositions cellulaires canoniques. Décomposition en deux faces
triangulaires, par trois arêtes, un seul sommet. Les faces triangulaires
correspondent aux éléments de (X_S)^{\zeta} \setminus \lbrace e \rbrace
(chaque face en contenant un et un seul) i.e. aux triangles inscrits
dans l'hexagone, les arêtes correspondent aux trois
p. 6 de l'auteur
diagonales de de l'hexagone, ou encore aux trois pts d'ordre 2
distincts de e.
Ici encore on peut « doubler » la décomposition
cellulaire, et on trouve une autre avec 4 sommets, 12 arêtes, et 8
faces (triangulaires), qui permet de mieux comprendre le passage au
quotient par \pm 1, avec quatre sommets (dont un sommet privilégié,
correspondant à e), six arêtes les valences 2 : 2 : c'est la
structure tétraédrale (orientée)en interligne, avec un
sommet fixé, groupe d'automorphismes \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}
(\simeq \mathbf{Z}/6\mathbf{Z}/\pm 1, OK !).
à gauche, un croquis : l'hexagone subdivisé en triangles, un
losange de quatre petits triangles repassé en gras. Le « 12 » des arêtes
surcharge un autre chiffre. Le reste de la page est blanc ; la suite
paginée par lui s'arrête ici, à sa p. 6
M_{0,4}M_{1,1}
titre pris de la page 16, feuillet de papier listing vierge portant
seulement, de sa main, en haut à droite et l'un sous l'autre, « M_{0\,4} »
et « M_{1,1} » : couverture de ce qui suit, qui ne reçoit pas de numéro de page
papier listing, à l'encre noire, avec des croquis au crayon et aux
encres rouge, brune et verte ; pas de numéro de sa main
sous ces deux lignes, deux croquis : un tétraèdre au crayon aux
sommets tronqués par de petits cercles ; à droite, un tétraèdre à l'encre
dont la subdivision barycentrique est tracée en rouge, avec, en marge :mieux, cf. verso (subdivision barycentrique)
s_0 = 4 + 6 + \struck{4}\,3 = 22 \qquad\struck{\ill{}}s_1 = 12 + 4.\struck{9}\ \ldots = \struck{4}\,8\ \ldots
\qquad
s_2 = 4.7 = 28les chiffres surchargés sont donnés tels qu'ils se lisent ; dans la
deuxième ligne le facteur et le résultat sont repassés et ne se
laissent pas lire avec certitude (« 4.9 », « 48 » ?)
à gauche, deux sphères au crayon et à l'encre : sur la première, un
fuseau hachuré en rouge, des points noirs et de petits hexagones de
points autour de trois sommets ; sur la seconde, un équateur et quatre
points. Au milieu, un petit croquis d'un « pantalon » à quatre trous.
Plus bas, un grand tétraèdre tronqué, arêtes vertes et brunes,
pointillés verts, dont un sommet est relié par une flèche à la note
de la marge droite :ça fait 2^{4} - 1 = 15 positions limitesinvariantespossibles : de
vue !écrit en oblique ; lecture très incertaine
4 types de points-base
3 structures carrées sur I (ou J)2 structures tétraédrales = orientations
des facespoint rouge6 structures bipantalonniques (maillot ceinture)
(carrée + 1 diagonale) \simeq repère de Jopposéespoint brun6 structures pantaloniques de genre 0lu « de
genre gois » ; lecture incertaine (quart de sorte) (
carré, + orientation de I i.e. de J\simeq repère de J)
à gauche de cette liste, en colonne :
\omega_I \overset{\sim}{=} \omega_J, \mathrm{rep}(J), une double
flèche verticale, J \times \omega_J ; une autre double flèche relie
le troisième et le quatrième point
4 types de chemins élémentaires^{*}
« quart de twist » (2\times3\times4)
(contour d'un trou)« sixième de tour » (2\times2\times3) (sur équateur)pôle vers trou voisin (2\times2\times3)pôle vers équateur voisin (2\times2\times3)
2 types composés supplémentaires.
trou vers trou (2\times3) ou « tiers de tour »demi twist (2\times2\times3)
[et bien sûr, g) twist complet 2\times2\times3]
relations …
^{*} avec les deux sens de parcours, cela fait huit types de
déformations : viendraient a) deux pts d'un même
confluent, b) deux pts d'un même combinatoire
(ici encore, deux pts d'un même voisin)
fin de page, écriture serrée ; la note est appelée par l'astérisque
du titre « 4 types de chemins élémentaires »
en outre les , on voit à la fois la
projection du tétraèdre à la configuration carrée, et à la
configuration tétraédralepour la du genre
0bloc de texte à gauche, sous les sphères, en partie
illisible ; en bas à gauche, une sphère avec un équateur et quatre
points, deux méridiens en rouge
verso de la page 17, sur le dos d'un listing ; au crayon et à
l'encre. C'est le « verso » auquel renvoie la marge de la page 17
en haut à droite, une sphère avec un équateur et deux méridiens,
quatre points marqués sur l'équateur, des flèches le long des méridiens ;
à sa droite :passage du carré aux deux tétraèdres
Pour avoir le passage aux deux structures pantaloniques, il faut
introduire la subdivision barycentrique complète de la
carte carrée.
dans les deux cas « spéciaux »en interligne, entre
guillemets non digons (carré, tétraèdre) les positions adjacentes sont
toutes contenues dans la subdivision barycentrique
en bas à gauche, un tétraèdre dont la subdivision barycentrique est
tracée, un chemin repassé en gras ; à sa droite :
cette carte (subdivision bar. du nouveauen
interligne, au-dessus de « tétraèdre » tétraèdre) contient également les
subdivisions barycentriques des trois cartes « carrés » associées, (dont
l'une est marquée en pointillés rouges)
au bas de la page, une sphère au crayon avec équateur, méridiens et
quatre points marqués
dos d'un listing, au crayon
en haut, une suite de croquis de sphères : à gauche une sphère à
équateur avec quatre flèches ; au centre une sphère dont l'équateur porte
les points a, b et, au-dessus, c, d, d'où partent quatre flèches :
vers le haut, marquée \rho, deux sphères et un tétraèdre ; vers la
gauche, marquée \sigma, une sphère méridienne et deux sphères accolées,
avec la lettre \ell au-dessous ; vers la droite, deux sphères ; vers le
bas, deux sphères et un tétraèdre
I = S_{Q} = \coprod_{d \in D_Q} d \qquad
A_{Q} = \prod_{d \in D_Q} d \qquad
C_{Q} = \bigwedge_{d \in D_Q} d\omega_{Q} = C_{Q} \wedge D_{Q} \qquad
\omega_{I} \simeq \omega_{J} \simeq C_{Q} \simeq J \setminus \lbrace Q \rbracela première égalité, I = S_Q, surcharge une lettre ; les signes
\simeq de la dernière ligne sont repassés
\begin{array}{l}
\quad a\ b\ c\ d \\
(a\,d)(b\,c) = Q_0 \\
(b\,d)(a\,c) = Q_1 \\
(c\,d)(a\,b) = Q_{\infty}
\end{array}ces trois lignes sont encadrées à gauche et en haut
(\text{tétraèdre \emph{orienté} } + \text{diagonale})
\longleftrightarrow (\text{carré} + \text{codiagonale})sous la double flèche, une accolade : « \omega_I \times J \simeq J
\times \omega_I » ; sous le tétraèdre, un \omega_I \times J biffé
le diagramme est au crayon. Annotations : \mathfrak{S}_4 \simeq
\mathrm{Aff}(2, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) ; \mathfrak{S}_3 \simeq
\mathrm{Sl}(2, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) ; \widetilde{\mathfrak{S}}_3 \simeq
\mathrm{Sl}(2, \mathbf{Z}/4\mathbf{Z})/\pm (le signe final est lu
« /- ») ; \mathcal{T}_{1,1} \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbf{Z}) ; la
flèche \mathcal{T}_{0\,4} \to \mathfrak{S}_4 part d'un exposant
griffonné illisible sur \mathcal{T}_{0\,4}, et « cart » est
écrit près du carré de droite. Le premier terme de la dernière ligne est
lu \pi_{0,3}(2,\mathbf{Z}) sans certitude : il semble écrire
\pi_{0,3} surchargé d'un « (2,\mathbf{Z}) » plus pâle ; la première
ligne commence par un signe avant la flèche
dos d'un listing ; au crayon, sans texte : un tétraèdre, entouré de
six traits rayonnants, et à droite un petit octaèdre (ou deux tétraèdres
croisés) traversé par un axe