Cote n° 148 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Teichmüller (1983) : notes manuscrites (1983)
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration

Groupes de Teichmüller à structures toriques

1(29.11.83)date de sa main, écrite en oblique dans la marge gauche, en face de la première ligne

Soit \(X\) surf. à bord compacte orientée, à structure torique donnée sur les comp. connexes du bord(i.e. torseur sous \(\mathbb{U} = \lbrace z \in \mathbf{C} \mid |z| = 1 \rbrace\))en interligne au-dessus de la fin de la phrase, rattaché par un trait à « structure torique ». On définit \[ SRT(X) = \] quotient du groupe des autom. de \(X\) (respectant l'orientation et les structures toriques) par la comp. neutre du sous-groupe \(\mathrm{Aut}^{!}(\vec{X})\) […] de \(\mathrm{Aut}\) qui induit l'identité sur \(\partial X\).

On a ainsi une filtration de \(SRT(X)\) en trois étages \[ S_{*}T^{!}(X) \qquad \mathbb{U}^{I} \qquad \mathfrak{S}_{I} \qquad\qquad I = \pi_0(\partial X) \] sous \(S_{*}T^{!}(X)\), en petit : « \(\mathrm{Aut}^{!}(\vec{X})\)/comp. neutre ». La lettre gothique qu'il écrit pour le groupe symétrique est rendue \(\mathfrak{S}\) dans tout le lot ; l'étoile de \(S_{*}\) est écrite sous le \(S\), comme dans les lots 3 et 4 ou encore \[ \mathbf{Z}^{I} \qquad T(X) \qquad \mathbb{U}^{I} \qquad \mathfrak{S}_{I} \]

En fait, on définit canon. un sous-groupe \(\mathbf{R}^{I}\)droit « droit » au-dessus de \(\mathbf{R}^{I}\), rattaché par une accolade de \(SRT(X)\) contenant \(\mathbf{Z}^{I}\), de telle façon qu'on ait \[ SRT^{!}(X) = \mathbf{R}^{I} \cdot S_{*}T^{!}(X) \] sous \(SRT^{!}(X)\), une accolade et « noyau de \(SRT^{!}(X) \to \mathfrak{S}^{!}_{I}\) » ; les signes \(!\) de cette ligne sont lus tels quels

à gauche, un petit diagramme : \(\mathbf{R}^{I}\) en haut, une flèche d'inclusion, un trait biffé, une flèche verticale marquée « cocart », et un point ; puis la ligne ci-dessous \[ \mathbf{Z}^{I} \hookrightarrow S_{*}T^{!} \subset SRT^{!} \subset SRT \qquad \text{i.e.\ on a} \]

NB \(SUT(X) \simeq T(X) \times_{\mathfrak{S}_I} \mathrm{Aut}((T_i)_{i\in I})\)en oblique, à droite

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & SRT(X) \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_I"] & \\
 & \mathbf{R}^{I}\cdot S_{*}T^{!} \arrow[dl, no head, "T^{!}"'] \arrow[dr, no head, "\mathbb{U}^{I}"] & \\
\mathbf{R}^{I} \arrow[dr, no head, "\mathbb{U}^{I}"'] & & S_{*}T^{!}(X) \arrow[dl, no head, "T^{!}(X)"] \\
 & \mathbf{Z}^{I} &
\end{tikzcd}

treillis de sous-groupes dessiné au bas de la page, traits sans pointe ; les quotients sont écrits à côté des traits et placés ici en étiquettes. À droite de \(SRT(X)\), une accolade : « \(\mathrm{Aut}((T_i)_{i\in I})\) »

d'où \[ SRT/\mathbf{Z}^{I} \overset{\mathrm{def}}{=} SUT(X) \quad\big\rbrace\ \mathfrak{S}_I \] sous \(SUT(X)\), une flèche vers le bas et « \(T^{!}(X) \times \mathbb{U}^{I}\) », surmonté d'une accolade \[ (*)\qquad 1 \to \mathbb{U}^{I} \to SUT(X) \to T(X) \to 1 \]

Jusqu'ici on a fait intervenir \(S_{*}T^{!}(X)\), i.e. l'exclusion […] de la définition \(T(X)\) […] \(S_{*}T(X)\), str. […]. […]note écrite en oblique dans la marge gauche, lue sur l'image tournée, en grande partie illisible

De plus, chaque fois qu'on se donne un marquage, i.e. un pt de \[ \underline{s} = (s_i) \in \prod_{i \in I = \pi_0(\partial X)} T_i \] après le produit, un mot biffé illisible (\(T_i\) = comp. connexe (torique) de \(\partial X\) d'indice \(i\)), on trouve un plongement \[ S_{*}T^{!}(X, \underline{s}) \hookrightarrow SRT(X) \] tel qu'on […] en déduire \[ S_{*}T^{!}(X, \underline{s}) \wedge^{\mathbf{Z}^{I}} \mathbf{R}^{I} \simeq SRT(X) \] l'exposant de \(T\) dans ces deux formules est un signe surchargé, lu \(!\) sans certitude ; page 2 il écrit \(S_{*}T(X,\underline{s})\) sans exposant. Le produit contracté est écrit \(\wedge\) avec \(\mathbf{Z}^{I}\) en indice sous le signe

2Une façon de le voir est de dire que la donnée de \(\underline{s}\) définit un scindage \(\varphi_{\underline{s}}\) de l'extension \((*)\) ci-dessus, et que \(S_{*}T(X, \underline{s})\) s'identifie au ss-groupe de \(SRT(X)\) image inverse de \[ \varphi_{\underline{s}}(T(X)) \subset SUT(X) \] par l'homom. canon. \[ SRT(X) \to SUT(X) \] de passage au quotientle premier groupe est écrit comme « \(SUR(X)\) » ; lu \(SRT(X)\) d'après la page 1. Le changement de \(\underline{s}\) en \(\underline{s}' = u \cdot \underline{s}\) transforme \(\varphi_{\underline{s}}\) en \[ \varphi_{\underline{s}'} = \mathrm{int}(u) \circ \varphi_{\underline{s}} \] donc (si \(\tilde{u} \in \mathbf{R}^{I}\) relève \(u\)), on trouve \[ S_{*}T(X, \underline{s}') = \mathrm{int}(\tilde{u})\, S_{*}T(X, \underline{s}). \]

En termes de \(\overline{X}\), la définition de \(S_{*}T(X,\underline{s})\) dépend du choix \(\underline{s}\) non canonique, par contre celle de \(S_{*}RT(X)\) ne dépend que d'un choix canonique, celui de la famille des structures toriques \((T_i)_{i\in I}\). De plus, \(\prod T_i\) comme torseur sous \(\mathbb{U}^{I}\) se réalise (par fidélité […]) comme un […] de scindages de l'ext. \((*)\) (via […] par \(\mathbb{U}^{I}\)) [déduite de \(SRT(X)\) sur les structures […]] savoir les relèvements coïncidant sur \(\mathbf{Z}^{I}\).

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathbf{R}^{I} \arrow[dr] & \\
 & SRT(X) \\
S_{*}T^{!}(X) \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

3Ceci dit, si on se donne un multimarquage de \(\partial X\), savoir pour chaque \(i \in I\) un \(n_i \in \mathbf{N}^{*}\) et un sous-torseur élém. \(n_i\)en interligne au-dessus de « torseur » \[ T_i(n_i) \subset T_i, \] de groupe i.e. un \(s_i \in T_i^{\wedge n_i}\), d'où \(\underline{s}\) \[ \underline{s} \in \prod_{i\in I} T_i^{\wedge n_i}, \] alors le groupe de Teichmüller multimarqué \(S_{*}T(X, \underline{s})\), généralisant le précédent, est plongé dans \(SRT(X)\) de façon naturelle, en prenant un \(s_i\) dans chaque \(T_i(n_i)\), d'où \[ \underline{s}^{0} \in \prod T_i \quad\text{et}\quad S_{*}T(X, \underline{s}^{0}) \subset SRT(X), \] et on prend le ss-groupe \[ S_{*}T(X, \underline{s}) = S_{*}T(X, \underline{s}^{0}) \cdot \prod_{i\in I} \tfrac{1}{n_i}\mathbf{Z}_i \qquad\qquad \mathbf{Z}^{I} \subset SRT(X). \] où \(\mathbf{Z}_i\) est le \(i\)-ème facteur de \(\mathbf{Z}^{I}\). l'exposant de \(T_i\), lu \(\wedge n_i\), est écrit petit et haut ; le reste de la page est blanc

Courbes exceptionnelles de type (1,1)

4p. 1 de l'auteur. Ici commence une suite paginée par lui, en haut au centre, sur les rectos seuls : sa p. 1 est la page 4, sa p. 2 la page 6, sa p. 3 la page 8 (voir plus bas pour la suite). Le titre de section est le sien

Courbes [exceptionnelles]« exceptionnelles » en interligne au-dessus de « de type » de type (1,1) (sur \(\mathbf{C}\))

A) Courbe [ell.] anharmonique de type carré

Cat. de ces courbes équivalente : celle des carrés combinatoires orientés, i.e. des torseurs sous \[ \mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \simeq \mu_4(\mathbf{C}) \simeq \] groupe des unités algébriques de \(\mathbf{Q}[i]\), i.e. groupe des unités de \(\mathbf{Z}[i]\) (anneau des entiers de \(\mathbf{Q}[i]\)).

La donnée d'un tel torseur \(S\) permet de tordre \[ \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \overset{\mathrm{def}}{\simeq} \mathbf{C}/\mathbf{Z}[i] \] et trouver \[ \mathbb{E}\mathrm{l}_0(S) \simeq \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \wedge^{\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}} S \] à gauche, un croquis : le carré de sommets \(1, i, -1, -i\) dans le plan, les points du réseau \(\mathbf{Z}[i]\) marqués, un carré plus petit inscrit, centre \(o\)

Si le carré est réalisé comme carré [euclidien]« euclidien » en interligne dans un plan euclidien (canoniquement), de centre \(o\), deux petits croquis : un carré biffé, puis un losange à diagonales, étiqueté \(V_S\) on en déduit dans le plan (vectoriel via \(o\)) \(V_S\) un syst. de deux axes de coordonnées [mod. signes] via les diagonales, d'où un [réseau] […] \(\Gamma_S\) dans \(V_S\) (sous-groupe discret de rang 2) et \[ \boxed{\mathbb{E}\mathrm{l}_0(S) =: X_S = V_S/\Gamma_S}\ . \] la formule est encadrée ; à gauche, un croquis du losange dans un quadrillage en pointillé Il y a dans \(X_S\) un élément d'ordre 2 canonique \(\eta_S\) (celui fixé par automorphismes), les deux autres él. d'ordre 2 sont échangés par le générateur \(i\) de \[ \mu_4(\mathbf{C}) \simeq \mathrm{Aut}(X_S). \] CNB […] […] […]fin de ligne, au bas de la page, illisible

6p. 2 de l'auteur … comme l'unique pt […] de \({}_2(X_S)\) qui est fixe par \(\mathrm{Aut}(X_S) \simeq \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\). En fait \[ (X_S)^{i\text{-fix}} = \lbrace x \in X_S \mid ix = x \rbrace = \lbrace e, \eta_S \rbrace . \] l'exposant de \((X_S)\) est lu « \(i\)-fix » sans certitude ; il écrit \({}_2(X_S)\) pour le sous-groupe des points d'ordre 2

La surface top. \(X_S\) a une déc. cell. avec 1 sommet \(e\), deux arêtes, une face, [ces arêtes]en interligne correspondant aux deux mailles du réseau \(\Gamma_S\).

On considère \(X_S\) comme muni de cette décomposition. Parfois c'est l'image inverse de celle-ci par \(2\,\mathrm{id}_{X_S}\) qui est plus commode, 4 sommets (formant \({}_2(X_S)\)), quatre huit arêtes, (NB […]) 4 faces. On peut considérer \(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \simeq \mu_4(\mathbf{C})\) comme le groupe d'automorphismes commun de ces deux structures cellulaires. à gauche, un croquis : un carré hachuré découpé en quatre, sommets \(e\), \(\eta'\), \(\eta''\), \(\eta\)

Le deuxième est mieux adapté pour la description du quotient \[ \struck{\mathbb{E}\mathrm{l}_0(S)}\ X_S/\pm 1 \] qui est une sphère, subdivisée en deux [deux] carrésau-dessus de « carrés », un mot lu « fus. » ; le mot biffé devant est « deux », se raccordant suivant un équateur carré subdivisé en quatre arêtes par \(e^{q}, \eta^{q}, \eta'^{q}, \eta''^{q}\).l'exposant, lu \(q\), est incertain. À gauche, deux croquis de la sphère : l'un barré, l'autre avec l'équateur et les quatre points \(e^{q}, \eta^{q}, \eta'^{q}, \eta''^{q}\)

8p. 3 de l'auteur B) Courbes [ell.] anharmoniques de type hexagonal.

La catégorie de ces courbes équivalente à celle des hexagones orientés, i.e. des torseurs \(S\) sous \[ \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \simeq \mu_6(\mathbf{C}) \simeq \] groupe des unités [alg.] de \(\mathbf{Q}(\sqrt[3]{1})\) \(\simeq\) groupe des unités de \(\mathbf{Z}[\zeta] = \mathbf{Z}[T]\), \[ \mathbf{Z}[\zeta] = \mathbf{Z}[T]/(1 + T + T^{2}) \qquad (\zeta = \exp 2i\pi/3) \] à gauche, un croquis : l'hexagone de sommets \(\pm 1\), \(\pm\zeta\), \(\pm\bar{\zeta}\), le réseau et ses points marqués On pose On pose \[ \mathbb{E}\mathrm{l}_1 \simeq \mathbf{C}/\mathbf{Z}[\zeta] \] \[ \mathbb{E}\mathrm{l}_1(S) \simeq \mathbb{E}\mathrm{l}_1 \wedge^{\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}} S \] dans la première formule, un argument biffé après \(\mathbb{E}\mathrm{l}_1\)

Construction. On réalise l'hexagone comb. \(S\) euclidiennement (canonique), dans […] vectoriel euclidien \(V_S\), [origine en]« origine » en interligne, au-dessus d'un mot biffé le barycentre de \(S\). On désigne par \(V_S\)sic ; la formule qui suit appelle ce réseau \(\Gamma_S\) le [réseau]« réseau » en interligne, au-dessus d'un mot biffé engendré par \(S\), et \[ X_S = \mathbb{E}\mathrm{l}_1(S) \simeq V_S/\Gamma_S \] La structure euclidienne orientée de \(V_S\) définit la structure complexe de \(X_S\).

10p. 4 de l'auteur Le groupe \(\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}\) opère transitivement sur \(({}_2X_S) \setminus \lbrace 0 \rbrace\) (avec \(\pm 1\) opérant trivialement) — donc \({}_2X_S \setminus \lbrace 0 \rbrace\) est un torseur sous \((\mathbf{Z}/6\mathbf{Z})/\pm 1\) \(\simeq \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\) ([…] générateur correspondant \(= -\bar{\zeta}\), \(\zeta = \exp\frac{2\pi}{6}\))il écrit bien \(\exp\frac{2\pi}{6}\), sans \(i\), et page 8 \(\zeta = \exp 2i\pi/3\) ; le \(\bar{\zeta}\) est lu sans certitude, […] torseur s'identifie \[ \text{à} \quad S/\pm 1, \] en associant à chaque \(s \in S\) le milieu du segment \([0,s]\), en prenant son image dans \(X_S\).

L'ens. des pts fixes de \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\) [\(\subset \mathbf{Z}/6\mathbf{Z}\)]en interligne dans \(X_S\) est de card \(3\), il s'obtient en prenant les […] barycentres des six triangles de la subdivision centrale (bibarycentrique) de l'hexagone (pts centrés) (tels que \((1-\zeta)/3\) etc. dans le cas épinglé), ils se groupent en deux régiments de \(3\) mutuellement congrus mod \(\Gamma\), donc donnant deux éléments (symétriques) de \(X_S\), d'ordre \(3\),

12p. 5 de l'auteur qui avec l'origine \(e\) forment l'ens. des pts fixes de \(X_S\). (L'ens. des pts fixes sous \(\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}\) se réduit à \(e\).) Les deux pts fixes sous \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\), distincts de \(e\), correspondent aux deux triangles inscrits [les deux]en interligne dans l'hexagone \(S\). (Triplets de côtés mutuellement non adjacents.)

Décompositions cellulaires canoniques. Décomposition en deux faces triangulaires, par trois arêtes, un seul sommet. Les faces triangulaires correspondent aux éléments de \((X_S)^{\zeta} \setminus \lbrace e \rbrace\) (chaque face en contenant un et un seul) i.e. aux triangles inscrits dans l'hexagone, les arêtes correspondent aux trois

14p. 6 de l'auteur diagonales de de l'hexagone, ou encore aux trois pts d'ordre \(2\) distincts de \(e\).

[…] Ici encore on peut « doubler » la décomposition cellulaire, et on trouve une autre avec \(4\) sommets, \(12\) arêtes, et \(8\) faces (triangulaires), qui permet de mieux comprendre le passage au quotient par \(\pm 1\), avec quatre sommets (dont un sommet privilégié, correspondant à \(e\)), six arêtes […] les valences \(2 : 2\) : c'est la structure tétraédrale [(orientée)]en interligne, avec un sommet fixé, groupe d'automorphismes \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\) ([…] \(\simeq \mathbf{Z}/6\mathbf{Z}/\pm 1\), OK !). à gauche, un croquis : l'hexagone subdivisé en triangles, un losange de quatre petits triangles repassé en gras. Le « 12 » des arêtes surcharge un autre chiffre. Le reste de la page est blanc ; la suite paginée par lui s'arrête ici, à sa p. 6

\(M_{0,4}\) \(M_{1,1}\)

titre pris de la page 16, feuillet de papier listing vierge portant seulement, de sa main, en haut à droite et l'un sous l'autre, « \(M_{0\,4}\) » et « \(M_{1,1}\) » : couverture de ce qui suit, qui ne reçoit pas de numéro de page

17papier listing, à l'encre noire, avec des croquis au crayon et aux encres rouge, brune et verte ; pas de numéro de sa main

4 sommets d'ordre 6 \(+\) 6 6 sommets d'ordre 6 \(+\) 12 sommets d'ordre 3

24 triangles \(+\) 4 hexagones

sous ces deux lignes, deux croquis : un tétraèdre au crayon aux sommets tronqués par de petits cercles ; à droite, un tétraèdre à l'encre dont la subdivision barycentrique est tracée en rouge, avec, en marge : mieux, cf. verso (subdivision barycentrique)

\[ s_0 = 4 + 6 + \struck{4}\,3 = 22 \qquad\struck{\ill{}} \] \[ s_1 = 12 + 4.\struck{9}\ \ldots = \struck{4}\,8\ \ldots \qquad s_2 = 4.7 = 28 \] les chiffres surchargés sont donnés tels qu'ils se lisent ; dans la deuxième ligne le facteur et le résultat sont repassés et ne se laissent pas lire avec certitude (« \(4.9\) », « \(48\) » ?)

à gauche, deux sphères au crayon et à l'encre : sur la première, un fuseau hachuré en rouge, des points noirs et de petits hexagones de points autour de trois sommets ; sur la seconde, un équateur et quatre points. Au milieu, un petit croquis d'un « pantalon » à quatre trous. Plus bas, un grand tétraèdre tronqué, arêtes vertes et brunes, pointillés verts, dont un sommet est relié par une flèche à la note de la marge droite : ça fait \(2^{4} - 1 = 15\) positions limites invariantes possibles : […] […] […] de vue !écrit en oblique ; lecture très incertaine

4 types de points-base

à gauche de cette liste, en colonne : \(\omega_I \overset{\sim}{=} \omega_J\), \(\mathrm{rep}(J)\), une double flèche verticale, \(J \times \omega_J\) ; une autre double flèche relie le troisième et le quatrième point

4 types de chemins élémentaires\(^{*}\)

2 types composés supplémentaires.

[et bien sûr, g) twist complet \(2\times2\times3\)]

relations …

\(^{*}\) avec les deux sens de parcours, cela fait huit types de déformations : viendraient a) deux pts d'un même confluent, b) deux pts d'un même combinatoire (ici encore, deux pts d'un même voisin) fin de page, écriture serrée ; la note est appelée par l'astérisque du titre « 4 types de chemins élémentaires »

en outre les […], on voit à la fois la projection du tétraèdre à la configuration carrée, et à la configuration tétraédrale pour la […] du genre \(0\) […]bloc de texte à gauche, sous les sphères, en partie illisible ; en bas à gauche, une sphère avec un équateur et quatre points, deux méridiens en rouge

18verso de la page 17, sur le dos d'un listing ; au crayon et à l'encre. C'est le « verso » auquel renvoie la marge de la page 17

en haut à droite, une sphère avec un équateur et deux méridiens, quatre points marqués sur l'équateur, des flèches le long des méridiens ; à sa droite : passage du carré aux deux tétraèdres

Pour avoir le passage aux deux structures pantaloniques, il faut introduire la […] subdivision barycentrique complète de la carte carrée.

dans les deux cas [« spéciaux »]en interligne, entre guillemets non digons (carré, tétraèdre) les positions adjacentes sont toutes contenues dans la subdivision barycentrique

en bas à gauche, un tétraèdre dont la subdivision barycentrique est tracée, un chemin repassé en gras ; à sa droite : cette carte (subdivision bar. du [nouveau]en interligne, au-dessus de « tétraèdre » tétraèdre) contient également les subdivisions barycentriques des trois cartes « carrés » associées, (dont l'une est marquée en pointillés rouges)

au bas de la page, une sphère au crayon avec équateur, méridiens et quatre points marqués

19dos d'un listing, au crayon

en haut, une suite de croquis de sphères : à gauche une sphère à équateur avec quatre flèches ; au centre une sphère dont l'équateur porte les points \(a, b\) et, au-dessus, \(c, d\), d'où partent quatre flèches : vers le haut, marquée \(\rho\), deux sphères et un tétraèdre ; vers la gauche, marquée \(\sigma\), une sphère méridienne et deux sphères accolées, avec la lettre \(\ell\) au-dessous ; vers la droite, deux sphères ; vers le bas, deux sphères et un tétraèdre

\[ I = S_{Q} = \coprod_{d \in D_Q} d \qquad A_{Q} = \prod_{d \in D_Q} d \qquad C_{Q} = \bigwedge_{d \in D_Q} d \] \[ \omega_{Q} = C_{Q} \wedge D_{Q} \qquad \omega_{I} \simeq \omega_{J} \simeq C_{Q} \simeq J \setminus \lbrace Q \rbrace \] la première égalité, \(I = S_Q\), surcharge une lettre ; les signes \(\simeq\) de la dernière ligne sont repassés

\[ \begin{array}{l} \quad a\ b\ c\ d \\ (a\,d)(b\,c) = Q_0 \\ (b\,d)(a\,c) = Q_1 \\ (c\,d)(a\,b) = Q_{\infty} \end{array} \] ces trois lignes sont encadrées à gauche et en haut

\[ (\text{tétraèdre \emph{orienté} } + \text{diagonale}) \longleftrightarrow (\text{carré} + \text{codiagonale}) \] sous la double flèche, une accolade : « \(\omega_I \times J \simeq J \times \omega_I\) » ; sous le tétraèdre, un \(\omega_I \times J\) biffé

\[ 0 \to V(J) \to \mathfrak{S}_{I} \to \mathfrak{S}_{J} \to 1 \qquad\qquad \boxed{\begin{cases} \rho^{3} = \sigma^{2} = 1 \\ \rho\sigma = \ell \end{cases}} \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
1 \arrow[r] & \mathcal{T}^{!}_{0,4} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \mathcal{T}_{0\,4} \arrow[r] \arrow[d] & \mathfrak{S}_4 \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_{0,3} \arrow[r] & \mathcal{T}'_{0\,4} \arrow[r] & \mathfrak{S}_3 \arrow[r] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_{0,3}(2,\mathbf{Z}) \arrow[r] \arrow[u, no head, "\wr"] & \mathcal{T}_{1,1} \arrow[r] \arrow[u] & \widetilde{\mathfrak{S}}_3 \arrow[u]
\end{tikzcd}

le diagramme est au crayon. Annotations : \(\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{Aff}(2, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) ; \(\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{Sl}(2, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) ; \(\widetilde{\mathfrak{S}}_3 \simeq \mathrm{Sl}(2, \mathbf{Z}/4\mathbf{Z})/\pm\) (le signe final est lu « \(/-\) ») ; \(\mathcal{T}_{1,1} \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbf{Z})\) ; la flèche \(\mathcal{T}_{0\,4} \to \mathfrak{S}_4\) part d'un exposant griffonné illisible sur \(\mathcal{T}_{0\,4}\), et « cart » est écrit près du carré de droite. Le premier terme de la dernière ligne est lu \(\pi_{0,3}(2,\mathbf{Z})\) sans certitude : il semble écrire \(\pi_{0,3}\) surchargé d'un « \((2,\mathbf{Z})\) » plus pâle ; la première ligne commence par un signe […] avant la flèche

20dos d'un listing ; au crayon, sans texte : un tétraèdre, entouré de six traits rayonnants, et à droite un petit octaèdre (ou deux tétraèdres croisés) traversé par un axe