Cote n° 148 · pages 1–71 · Lecture modernisée · Teichmüller (1983) : notes manuscrites (1983) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–71

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'a pas un argument unique : c'est un dossier de travail, sur des papiers divers (feuillets blancs, dos de listings d'ordinateur, papier kraft), dont deux pages seulement sont datées de sa main — la page 40, « Oct. 1983 », et la page 1, « 29.11.83 ». Mais tous ses morceaux servent un même projet, et l'ordre des archivistes, qu'on suit, le laisse voir.

• Groupes d'une surface à bord torique (pages 1 à 3), datées du 29 novembre 1983 : le groupe \(SRT(X)\), sa filtration, les twists fractionnaires \(\mathbb{R}^{I}\), les marquages.
• Les deux courbes elliptiques exceptionnelles (pages 4 à 14, ses pages 1 à 6) : la courbe « carrée » et la courbe « hexagonale », leurs points fixes, leurs décompositions cellulaires, leurs quotients par \(\pm 1\).
• \(\mathcal{M}_{0,4}\) et \(\mathcal{M}_{1,1}\) (pages 16 à 20) : une carte sur la sphère, les quatre types de points-base et de chemins élémentaires, et le diagramme reliant les groupes \(\mathcal{T}_{0,4}\) et \(\mathcal{T}_{1,1} = SL_2(\mathbb{Z})\).
• Cartes, pièces et dimension modulaire (pages 22 à 27) : décomptes de cellules, les pièces rangées par dimension modulaire, les cartes trivalentes et les revêtements de \(\mathbb{P}^{1}\).
• \(\mathcal{M}_{0,5}\) (pages 28 à 38) : le tableau des neuf types de structures spéciales sur cinq points, \(542\) sommets et \(1620\) flèches, un programme de travail ; la classification des systèmes de cinq points à symétrie (ses pages 1 à 3) ; le paramétrage du cas involutif (pages 37, 36, 38, dans cet ordre).
• Le catalogue des opérations et la tour (pages 39 à 42) : la première liste des opérations (page 40, octobre 1983), une seconde (page 41), et « les douze avatars principaux de la Tour de Teichmüller » (page 42).
• Groupoïdes de Teichmüller (pages 43 à 60, ses pages 1 à 17) : la partie suivie du dossier — définitions, foncteur vers les graphes, graphes à repères, opérations élémentaires, récapitulation.
• Le programme de dévissage (pages 61 à 64, ses pages 18 à 21).
• Découpages en pantalons (pages 65 à 71), avec, page 70, une autre mouture des définitions des pages 43 à 45.

Trois suites paginées par lui coexistent et ne se continuent pas : ses pages 1 à 6 (pages 4 à 14), ses pages 1 à 3 (pages 33 à 35), ses pages 1 à 21 (pages 43 à 64). La page 70 recommence les définitions de la page 43 avec d'autres lettres ; c'est une autre mouture et on la lit à part, sans la fondre dans la première. Rien ne dit laquelle est la plus ancienne.

Les conventions

Groupoïdes. Le dossier écrit \(\mathcal{T}\) pour le groupoïde orienté (flèches conservant l'orientation) et \(\mathcal{T}^{\pm}\) pour le biorienté ; une note de la page 43 propose d'inverser cette convention, sans que la suite la suive. On écrit partout l'exposant : \(\mathcal{T}^{+}\) pour l'orienté, \(\mathcal{T}^{\pm}\) pour le biorienté¹ . Le préfixe \(S_{*}\) (« spécial ») indique des points de rigidification, le suffixe \(D\) (« divisé ») des cercles de découpage. Un groupoïde à un seul objet de groupe \(G\) est noté \([G]\) ; en particulier \([\pm 1]\).

Graphes. Dans un graphe, \(S\) est l'ensemble des sommets, \(\vec{A}\) celui des demi-arêtes, \(\sigma\) l'involution, \(o : \vec{A} \to S\) l'origine ; \(A = \vec{A}/\sigma = A_0 \sqcup A_\ell\) se partage en arêtes liées et arêtes libres (les points fixes de \(\sigma\)). Le poids des sommets est le genre \(\gamma : S \to \mathbb{N}\), celui des arêtes le nombre de repères \(r : A \to \mathbb{N}\). La lettre \(S\) étant prise par les sommets, l'ensemble fini de points marqués est \(R\) partout ; la page 70 l'appelle \(S\) et on la traduit.

Deux usages de « \(T\) ». Aux pages 1 à 3, \(T(X)\), \(SRT(X)\), \(SUT(X)\) sont des groupes attachés à une surface \(X\), et \(T_i\) est un cercle du bord ; à partir de la page 19, \(\mathcal{T}\) désigne des groupes ou groupoïdes de Teichmüller. On garde les deux, la typographie les distingue.

Opérations. On numérote les opérations élémentaires comme la récapitulation de la page 60 : \(0^\circ\) somme, \(1^\circ\) à \(3^\circ\) gommage, gommage partiel, surmarquage, \(4^\circ\) gommage d'un cercle de découpage, \(5^\circ\) bouchage d'un trou, \(6^\circ\) découpage, \(7^\circ\) recollement.

Le mot « dimension modulaire ». Pour une surface de genre \(g\) à \(\nu\) trous, c'est \(3g - 3 + \nu\), la dimension complexe de l'espace des modules \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) ; la condition « anabélienne » des pages 40 et 41 est \(2g - 2 + \nu > 0\), la surface est hyperbolique.

1–3

Groupes d'une surface à bord torique (pages 1 à 3)

1–1

Le groupe \(SRT(X)\) et sa filtration

Soit \(X\) une surface compacte orientée à bord, et supposons chaque composante connexe \(T_i\) du bord (\(i \in I = \pi_0(\partial X)\)) munie d'une structure torique : une structure de torseur sous le groupe du cercle \(\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}\), autrement dit une paramétrisation du cercle définie à rotation près. On pose \[ SRT(X) = \mathrm{Aut}(X)/\mathrm{Aut}^{!}(X)_0 , \] où \(\mathrm{Aut}(X)\) est le groupe des homéomorphismes de \(X\) qui respectent l'orientation et les structures toriques² , et \(\mathrm{Aut}^{!}(X)_0\) la composante neutre du sous-groupe \(\mathrm{Aut}^{!}(X)\) de ceux qui induisent l'identité sur \(\partial X\). Le quotient \[ S_{*}T^{!}(X) = \mathrm{Aut}^{!}(X)/\mathrm{Aut}^{!}(X)_0 \] est ce qu'on appelle aujourd'hui le groupe modulaire de \(X\) relatif au bord, \(\mathrm{Mod}(X, \partial X)\) : homéomorphismes égaux à l'identité sur le bord, à isotopie fixant le bord près.

L'action sur le bord donne une suite exacte \[ 1 \to S_{*}T^{!}(X) \to SRT(X) \to \mathrm{Aut}\bigl((T_i)_{i \in I}\bigr), \] et le groupe des automorphismes de la famille de torseurs \((T_i)\) est une extension de \(\mathfrak{S}_I\) par \(\mathbb{U}^{I}\). D'où une filtration de \(SRT(X)\) à trois étages, de quotients successifs \(S_{*}T^{!}(X)\), \(\mathbb{U}^{I}\) et \(\mathfrak{S}_I\)³ .

Les twists de bord. Sur un collier \(T_i \times [0,1]\) de chaque cercle du bord, on peut tourner le cercle \(T_i \times \{t\}\) d'un angle \(2\pi\theta_i t\) ; pour \(\theta = (\theta_i) \in \mathbb{R}^{I}\) cela définit un élément de \(SRT(X)\) qui tourne le bord \(T_i\) de \(\theta_i\) tours. On obtient ainsi un sous-groupe canonique \(\mathbb{R}^{I} \subset SRT(X)\) — des twists de Dehn fractionnaires —, dont la partie entière \(\mathbb{Z}^{I}\) est formée des twists de Dehn le long des cercles du bord, qui sont dans \(S_{*}T^{!}(X)\). Si chaque composante de \(X\) est hyperbolique (\(2g - 2 + \nu > 0\)), \[ \mathbb{R}^{I} \cap S_{*}T^{!}(X) = \mathbb{Z}^{I}, \qquad SRT^{!}(X) = \mathbb{R}^{I} \cdot S_{*}T^{!}(X), \] où \(SRT^{!}(X)\) est le noyau de \(SRT(X) \to \mathfrak{S}_I\), et \(\mathbb{R}^{I}\) est central dans \(SRT^{!}(X)\), puisqu'un élément de \(S_{*}T^{!}(X)\) peut être choisi égal à l'identité sur les colliers. Ainsi \(SRT^{!}(X)\) est le produit central \[ SRT^{!}(X) \simeq \bigl(\mathbb{R}^{I} \times S_{*}T^{!}(X)\bigr)/\mathbb{Z}^{I}, \] \(\mathbb{Z}^{I}\) plongé antidiagonalement⁴ . Le treillis que la page dessine est donc :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & SRT(X) \arrow[d, no head, "\mathfrak{S}_I"] & \\
 & SRT^{!}(X) \arrow[dl, no head, "T^{!}(X)"'] \arrow[dr, no head, "\mathbb{U}^{I}"] & \\
\mathbb{R}^{I} \arrow[dr, no head, "\mathbb{U}^{I}"'] & & S_{*}T^{!}(X) \arrow[dl, no head, "T^{!}(X)"] \\
 & \mathbb{Z}^{I} &
\end{tikzcd}

où les étiquettes sont les quotients, et \(T^{!}(X) = S_{*}T^{!}(X)/\mathbb{Z}^{I}\) est le groupe modulaire pur de \(X\) à isotopie libre sur le bord — celui de la surface où l'on aurait remplacé chaque trou par une piqûre.

L'extension \((*)\). Posons \(SUT(X) = SRT(X)/\mathbb{Z}^{I}\) et \(T(X) = SRT(X)/\mathbb{R}^{I}\), le groupe modulaire de \(X\) où les bords peuvent tourner et être permutés. Comme \(\mathbb{R}^{I}/\mathbb{Z}^{I} = \mathbb{U}^{I}\), on a l'extension \[ (*)\qquad 1 \to \mathbb{U}^{I} \to SUT(X) \to T(X) \to 1, \] et, comme le note la marge, \(SUT(X) \simeq T(X) \times_{\mathfrak{S}_I} \mathrm{Aut}\bigl((T_i)_{i\in I}\bigr)\) : l'application vers ce produit fibré est injective, car son noyau est contenu dans \(\mathbb{U}^{I}\) qui s'envoie isomorphiquement sur les rotations, et surjective, car on corrige un relèvement par une rotation⁵ .

1–2

Marquages et scindages

Un marquage du bord est un point \(\underline{s} = (s_i) \in \prod_{i \in I} T_i\), un point sur chaque cercle. Il définit un scindage \(\varphi_{\underline{s}}\) de \((*)\) : au-dessus d'un élément de \(T(X)\) de permutation \(\pi\), on prend l'élément de \(SUT(X)\) dont l'action sur le bord envoie chaque \(s_i\) sur \(s_{\pi(i)}\). Le groupe \(S_{*}T(X, \underline{s})\) des classes d'homéomorphismes qui respectent l'ensemble des \(s_i\) (à isotopie fixant les \(s_i\) près) s'identifie à l'image inverse de \(\varphi_{\underline{s}}(T(X))\) par \(SRT(X) \to SUT(X)\)⁶ . On a alors \[ SRT(X) = \mathbb{R}^{I} \cdot S_{*}T(X, \underline{s}), \qquad \mathbb{R}^{I} \cap S_{*}T(X, \underline{s}) = \mathbb{Z}^{I}, \] avec \(\mathbb{R}^{I}\) distingué ; sur les parties pures, c'est le produit central \(\bigl(\mathbb{R}^{I} \times S_{*}T^{!}(X, \underline{s})\bigr)/ \mathbb{Z}^{I}\)⁷ .

Changer \(\underline{s}\) en \(\underline{s}' = u \cdot \underline{s}\), \(u \in \mathbb{U}^{I}\), change \(\varphi_{\underline{s}}\) en \(\mathrm{int}(u) \circ \varphi_{\underline{s}}\), donc, si \(\tilde u \in \mathbb{R}^{I}\) relève \(u\), \[ S_{*}T(X, \underline{s}') = \mathrm{int}(\tilde u)\, S_{*}T(X, \underline{s}). \] Ainsi \(S_{*}T(X, \underline{s})\) dépend d'un choix non canonique, tandis que \(SRT(X)\) ne dépend que des structures toriques. La page voulait ensuite réaliser le torseur \(\prod T_i\) comme un ensemble de scindages de \((*)\) ; le passage est en grande partie illisible, et l'application \(\underline{s} \mapsto \varphi_{\underline{s}}\), équivariante, n'est pas injective en général : pour \(X\) connexe, tourner tous les \(s_i\) du même angle ne change pas \(\varphi_{\underline{s}}\). On n'affirme donc rien de plus⁸ .

3–3

Multimarquages

Un multimarquage est la donnée, pour chaque \(i\), d'un entier \(n_i \geq 1\) et d'un sous-torseur \(T_i(n_i) \subset T_i\) sous \(\mu_{n_i} \subset \mathbb{U}\) — \(n_i\) points régulièrement espacés —, c'est-à-dire d'un point \(s_i\) de \(T_i^{\wedge n_i} = T_i/\mu_{n_i}\). Le groupe de Teichmüller multimarqué se plonge dans \(SRT(X)\) : on choisit un point \(s^0_i\) dans chaque \(T_i(n_i)\) et \[ S_{*}T(X, \underline{s}) = S_{*}T(X, \underline{s}^{0}) \cdot \prod_{i \in I} \tfrac{1}{n_i}\mathbb{Z}_i \ \subset SRT(X), \] où \(\mathbb{Z}_i\) est le \(i\)-ème facteur de \(\mathbb{Z}^{I} \subset \mathbb{R}^{I}\) : les twists d'un \(n_i\)-ième de tour permutent circulairement les points de \(T_i(n_i)\)⁹ . Ces twists fractionnaires reviennent aux pages 40 et 56, sous le nom de twist relatif et de surmarquage uniforme.

4–14

Les deux courbes elliptiques exceptionnelles (pages 4 à 14)

Les courbes elliptiques complexes ont toutes l'automorphisme \(x \mapsto -x\) ; deux seulement, à isomorphisme près, en ont d'autres : celle de module \(j = 1728\), \(\mathbb{C}/\mathbb{Z}[i]\), et celle de module \(j = 0\), \(\mathbb{C}/\mathbb{Z}[\zeta]\) avec \(\zeta = e^{2i\pi/3}\). Ce sont les deux points orbifolds de \(\mathcal{M}_{1,1}\) ; les pages 4 à 14 (ses pages 1 à 6) les décrivent de façon combinatoire¹⁰ .

4–6

La courbe carrée

La catégorie des courbes elliptiques (pointées) isomorphes à \(\mathbb{E}\mathrm{l}_0 = \mathbb{C}/\mathbb{Z}[i]\), avec leurs isomorphismes, est un groupoïde connexe de groupe \(\mathrm{Aut}(\mathbb{E}\mathrm{l}_0) = \mu_4 = \mathbb{Z}[i]^{*}\) ; elle est équivalente à la catégorie des carrés combinatoires orientés, c'est-à-dire des torseurs \(S\) sous \(\mathbb{Z}/4 \simeq \mu_4\), par \[ S \longmapsto \mathbb{E}\mathrm{l}_0(S) = \mathbb{E}\mathrm{l}_0 \wedge^{\mu_4} S . \] Concrètement : on réalise le carré \(S\) comme carré euclidien de centre \(o\) dans un plan \(V_S\) ; ses sommets engendrent un réseau \(\Gamma_S\), ses diagonales donnent deux axes de coordonnées définis aux signes près, la structure euclidienne orientée de \(V_S\) une structure complexe, et \(X_S = \mathbb{E}\mathrm{l}_0(S) = V_S/\Gamma_S\).

Points d'ordre \(2\). Le générateur \(i\) de \(\mu_4 = \mathrm{Aut}(X_S)\) fixe exactement deux points, \[ X_S^{\,i} = \{ x \mid ix = x \} = \{ e, \eta_S \}, \] car \((1 - i)x \in \mathbb{Z}[i]\) définit un sous-groupe d'ordre \(|1-i|^2 = 2\) ; \(\eta_S\) est l'unique point d'ordre \(2\) fixé par \(\mathrm{Aut}(X_S)\) (dans \(\mathbb{C}/\mathbb{Z}[i]\), c'est \((1+i)/2\)), et \(i\) échange les deux autres, \(1/2\) et \(i/2\).

Cellules. \(X_S\) a une décomposition cellulaire à \(1\) sommet \(e\), \(2\) arêtes (les deux mailles du réseau) et \(1\) face. Son image inverse par la multiplication par \(2\), de degré \(4\), a \(4\) sommets (les points d'ordre \(2\)), \(8\) arêtes et \(4\) faces. Les deux sont invariantes par \(\mu_4\). La seconde se prête au quotient par \(\pm 1\) : \(X_S/\pm 1\) est une sphère — l'« oreiller », revêtu doublement par le tore et ramifié aux quatre points d'ordre \(2\) —, formée de deux carrés recollés le long d'un équateur que les images de \(e\), \(\eta\), \(\eta'\), \(\eta''\) divisent en quatre arêtes¹¹ .

8–14

La courbe hexagonale

De même, les courbes isomorphes à \(\mathbb{E}\mathrm{l}_1 = \mathbb{C}/\mathbb{Z}[\zeta]\) forment un groupoïde équivalent à celui des hexagones orientés, torseurs \(S\) sous \(\mathbb{Z}/6 \simeq \mu_6 = \mathbb{Z}[\zeta]^{*}\), par \(S \mapsto \mathbb{E}\mathrm{l}_1 \wedge^{\mu_6} S\). On réalise l'hexagone \(S\) dans un plan euclidien orienté \(V_S\), d'origine son barycentre ; ses sommets engendrent un réseau \(\Gamma_S\) et \(X_S = V_S/\Gamma_S\) ¹² .

Points d'ordre \(2\). \(\mu_6\) opère sur les trois points d'ordre \(2\) non nuls, \(-1\) trivialement ; ils forment un torseur sous \(\mu_6/\pm 1 \simeq \mathbb{Z}/3\), identifié à \(S/\pm 1\) en envoyant un sommet \(s\) sur l'image du milieu de \([0, s]\)¹³ .

Points fixes. Les points fixes de \(\zeta\) (d'ordre \(3\)) sont les \(x\) avec \((1 - \zeta)x \in \mathbb{Z}[\zeta]\), et \(|1 - \zeta|^2 = 3\) : il y en a trois, l'origine \(e\) et deux points d'ordre \(3\), symétriques, comme \(\pm(1 - \zeta)/3\). Dans l'hexagone, ce sont les centres des six triangles de la subdivision centrale, qui se répartissent en deux classes de trois, congrus modulo \(\Gamma_S\) ¹⁴ ; ils correspondent aux deux triangles inscrits dans l'hexagone (sommets deux à deux non adjacents). Sous \(\mu_6\) tout entier, seul \(e\) est fixe, car \(1 + \zeta^2 = -\zeta\) est une unité.

Cellules. Décomposition canonique : un sommet, trois arêtes (les trois diagonales de l'hexagone, ou les trois points d'ordre \(2\) non nuls), deux faces triangulaires, contenant chacune un des deux points fixes d'ordre \(3\). Doublée par la multiplication par \(2\) : \(4\) sommets, \(12\) arêtes, \(8\) faces. Son quotient par \(\pm 1\) a \(4\) sommets, \(6\) arêtes et \(4\) faces triangulaires : c'est un tétraèdre, orienté, avec un sommet privilégié (l'image de \(e\)), et son groupe d'automorphismes est \(\mathbb{Z}/3 = \mu_6/\pm 1\), ce que la page vérifie (« OK ! »).

Les deux quotients — la sphère à deux carrés et le tétraèdre — sont les structures « carrée » et « tétraédrale » sur quatre points d'une sphère qui reviennent aux pages 17 à 30.

16–20

\(\mathcal{M}_{0,4}\) et \(\mathcal{M}_{1,1}\) (pages 16 à 20)

La page 16, une couverture, porte seulement « \(M_{0\,4}\) » et « \(M_{1,1}\) » : l'espace des modules des sphères à quatre points et celui des courbes elliptiques, les deux pièces de dimension modulaire \(1\). Les pages qui suivent sont des feuilles d'esquisses, aux encres de couleur et au crayon.

17–18

Une carte, des points-base, des chemins

La page 17 compte les cellules d'une carte sur la sphère, dessinée à partir d'un tétraèdre tronqué et de sa subdivision barycentrique : \(4 + 6 + 12 = 22\) sommets (quatre et six d'ordre \(6\), douze d'ordre \(3\)), \(24\) triangles et \(4\) hexagones, soit \(28\) faces, et donc \(48\) arêtes¹⁵ .

Il y liste ensuite quatre types de « points-base » — des configurations spéciales de quatre points \(I\) sur la sphère : trois structures carrées, deux structures tétraédrales (correspondant aux deux orientations), six structures « bipantalonniques » et six structures « pantalonniques » de genre \(0\)¹⁶ —, puis quatre types de chemins élémentaires entre eux : quart de twist (\(2 \times 3 \times 4\) chemins), sixième de tour sur l'équateur, pôle vers trou voisin, pôle vers équateur voisin (\(2 \times 2 \times 3\) chacun) ; deux types composés, trou vers trou (« tiers de tour », \(2 \times 3\)) et demi-twist ; et le twist complet. Avec les deux sens de parcours, cela fait huit types de déformations. Les « relations » sont annoncées et non écrites.

La page 18 ajoute que, pour passer aux structures pantalonniques, il faut la subdivision barycentrique complète de la carte carrée ; que dans les deux cas non dégénérés (carré, tétraèdre) toutes les positions adjacentes sont dans la subdivision barycentrique ; et que la subdivision barycentrique du tétraèdre contient celles des trois cartes carrées associées.

19–20

Le tore à un trou et la sphère à quatre trous

Soit \(I = \{a, b, c, d\}\). Ses trois partitions en deux paires, \[ Q_0 = \{ad, bc\}, \qquad Q_1 = \{bd, ac\}, \qquad Q_\infty = \{cd, ab\}, \] forment un ensemble \(J\) à trois éléments — les trois pointes de \(\mathcal{M}_{0,4}\), où deux points se rejoignent deux à deux —, d'où la suite exacte \[ 1 \to V(J) \to \mathfrak{S}_I \to \mathfrak{S}_J \to 1, \] de noyau le groupe de Klein. Les orientations de \(I\) et de \(J\) se correspondent (\(\omega_I \simeq \omega_J\)), car \(\mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_3\) respecte la signature¹⁷ .

Le cadre \(\rho^3 = \sigma^2 = 1\), \(\rho\sigma = \ell\) est la présentation de \(PSL_2(\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/3 * \mathbb{Z}/2\), où \(\ell\) est la transvection parabolique, qu'on retrouve au dossier 145 comme \(\mathcal{E}^{+} = \langle \sigma_0, \rho \mid \sigma_0^2 = \rho^3 = 1 \rangle\). Le diagramme du bas de la page relie les groupes modulaires de la sphère à quatre trous et du tore à un trou ; ce qui est vrai est \[ \begin{array}{ccccccccc} 1 \to & \mathcal{T}^{!}_{0,4} & \to & \mathcal{T}_{0,4} & \to & \mathfrak{S}_4 & \to 1 \\ & \downarrow{\scriptstyle\wr} & & \downarrow & & \downarrow & \\ 1 \to & \pi_{0,3} & \to & \mathcal{T}'_{0,4} & \to & \mathfrak{S}_3 & \to 1 \\ & \uparrow{\scriptstyle\wr} & & \uparrow & & \uparrow & \\ 1 \to & N & \to & \mathcal{T}_{1,1} & \to & \widetilde{\mathfrak{S}}_3 & \to 1 \end{array} \] où \(\mathcal{T}_{0,4}\) est le groupe modulaire de la sphère à quatre points, \(\mathcal{T}^{!}_{0,4}\) son sous-groupe pur, libre de rang \(2\), \(\mathcal{T}'_{0,4} = \mathcal{T}_{0,4}/V \simeq PSL_2(\mathbb{Z})\) son quotient par le sous-groupe de Klein qui relève \(V(J)\), \(\mathcal{T}_{1,1} = SL_2(\mathbb{Z})\) celui du tore à un trou, et la flèche \(\mathcal{T}_{1,1} \to \mathcal{T}'_{0,4}\) le quotient par l'involution hyperelliptique \(-1\). La ligne du bas demande un mot. Écrivons \(SL_2(\mathbb{Z}) = \langle S, T \mid S^4 = 1,\ S^2 = (ST)^3 \rangle\), et soit \(\widetilde{\mathfrak{S}}_3 = \langle x, a \mid x^4 = 1,\ x^2 = a^3,\ x a x^{-1} = a^{-1} \rangle\) le groupe dicyclique d'ordre \(12\), extension centrale de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\mathbb{Z}/2\). Le morphisme \(S \mapsto x\), \(ST \mapsto a\) est surjectif, envoie \(-1 = S^2\) sur l'élément central \(x^2 \neq 1\), et il est injectif sur les sous-groupes finis \(\langle S \rangle\) et \(\langle ST \rangle\) ; son noyau \(N\) est donc sans torsion, d'indice \(12\), libre de rang \(2\), et ne contient pas \(-1\). Comme \(\mathfrak{S}_3\) n'est quotient de \(PSL_2(\mathbb{Z})\) que d'une seule façon, \(N \cdot \{\pm 1\} = \Gamma(2)\), et \(N\) s'envoie isomorphiquement sur \(\pi_{0,3} = \Gamma(2)/\pm 1\) : la ligne du bas de la page est exacte, avec son « \(\wr\) »¹⁸ . Les annotations \(\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{Aff}(2, \mathbb{F}_2)\) et \(\mathfrak{S}_3 \simeq SL(2, \mathbb{F}_2)\) sont exactes, et la première s'explique par les pages 4 à 6 : les quatre points de ramification de \(E \to E/\pm 1 = \mathbb{P}^{1}\) sont les images des points d'ordre \(2\) de \(E\), qui forment un plan affine sur \(\mathbb{F}_2\)¹⁹ .

La page 20 ne porte qu'un dessin, un tétraèdre et un octaèdre traversé d'un axe.

22–27

Cartes, pièces et dimension modulaire (pages 22 à 27)

22–23

Décomptes et cartes canoniques

La page 22 reprend les tores des pages 4 à 14 : un tétraèdre à huit triangles (quatre sommets d'ordre \(6\), douze arêtes) ; les groupes \(\mu_6 \times (\mathbb{Z}/2)^2\) et \(\mu_4 \times (\mathbb{Z}/2)^2\) — les automorphismes des tores hexagonal et carré joints aux translations par les points d'ordre \(2\) ; le carré orienté, quatre carrés, huit arêtes, quatre sommets ; et un carré de correspondances entre \(E_{\varepsilon,\pm}\), \(E_Q\) et \(E_H\), laissé sans texte.

La page 23 note \(\mathrm{diag}_Q \simeq \omega_Q\) et compte les « cartes canoniques » de type \((0,4)\) sur un ensemble \(I\) de quatre points : deux tétraédrales, trois carrées, six « assemblages de \(J\) droits » et six « gauches »²⁰ .

24–24

Les pièces, par dimension modulaire

La page 24 est un tableau, qu'on complète par la dimension modulaire \(d = 3g - 3 + \nu\) qu'il note en accolade : \[ \begin{array}{llll} d = 0 & (0,3) & \text{triangle } A & \Sigma_A \\ d = 1 & (0,4) & \text{tétraèdre orienté } \vec{T},\ \text{carré } Q & \Sigma_T,\ \Sigma_Q \\ d = 1 & (1,1) & \text{carré orienté},\ \text{hexagone orienté } \vec{H} & E_{\vec{Q}},\ E_{\vec{H}} \\ d = 2 & (0,5),\ (1,2) & & \end{array} \] Une pièce combinatoire — triangle, tétraèdre, carré, hexagone — détermine une sphère à trois ou quatre points spéciale, ou l'une des deux courbes elliptiques exceptionnelles. C'est l'échafaudage de ce que l'Esquisse d'un programme appellera le jeu de « Lego-Teichmüller » : la tour engendrée par les pièces de dimension modulaire \(\leq 1\), ses relations venant de la dimension \(2\), c'est-à-dire de \(\mathcal{M}_{0,5}\) et de \(\mathcal{M}_{1,2}\)²¹ .

25–27

Cartes trivalentes et revêtements

La page 25 énonce une correspondance entre cartes connexes dont tous les sommets sont d'ordre \(3\) ou \(1\), cartes triangulées (par dualité) et revêtements de \(\mathbb{P}^{1}\) ramifiés seulement en \(0, 1, \infty\), et écrit les relations \[ \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_0\sigma_2)^2 = (\sigma_0\sigma_1)^3 = 1 . \] Ce sont les relations du groupe cartographique augmentées de \((\sigma_0\sigma_1)^3 = 1\) : le groupe qu'elles présentent est le groupe modulaire étendu \(PGL_2(\mathbb{Z})\), dont les ensembles finis à action sont les cartes trivalentes (non orientées), et son sous-groupe d'indice \(2\) des mots pairs, \(PSL_2(\mathbb{Z})\), celui des cartes trivalentes orientées²² . La correspondance avec les revêtements doit être précisée : les cartes trivalentes orientées correspondent aux revêtements finis de \(\mathbb{P}^{1}\) non ramifiés hors de \(0, 1, \infty\) dont les indices de ramification divisent \(3\) au-dessus d'un des points et \(2\) au-dessus d'un autre — les revêtements de la droite modulaire ; un revêtement quelconque ramifié en trois points correspond à une carte bicolore (un dessin d'enfant), et devient trivalent après composition avec l'application de degré \(6\), \(\lambda \mapsto j(\lambda)\)²³ . Les cartes non orientées, avec les \(\sigma_i\) sans point fixe, conduisent aux \(\mathbb{R}\)-courbes algébriques que la page nomme.

Les pages 26 et 27 comptent des cellules. Deux paires de décomptes, \[ (10, 16, 4) \Longrightarrow (16, 32, 8), \qquad (6, 8, 4) \Longrightarrow (8, 16, 8) \] (sommets, arêtes, faces hexagonales puis carrées), sont celles d'un revêtement double ramifié en quatre sommets : \(V' = 2V - 4\), \(E' = 2E\), \(F' = 2F\) ; le second va de la sphère (\(\chi = 2\)) au tore (\(\chi = 0\)) — l'oreiller et le tore carré des pages 4 à 6, à une subdivision près²⁴ . Les autres décomptes, (\(2\) hexagones, \(9\) arêtes, \(6\) sommets) et (\(4\) sommets, \(6\) arêtes, \(2\) hexagones), sont isolés.

28–38

\(\mathcal{M}_{0,5}\) (pages 28 à 38)

Cinq points sur une sphère : c'est la première situation de dimension modulaire \(2\), celle d'où doivent venir les relations.

30–32

Le tableau des structures spéciales (pages 30 à 32)

Soit \(K\) un ensemble de cinq points. La page 30 est un tableau de neuf types de structures « spéciales » sur \(K\), rangées sur trois niveaux qui sont ceux des strates de \(\overline{\mathcal{M}}_{0,5}\) : au niveau \(2\), la sphère n'est pas découpée ; au niveau \(1\), un cercle la coupe en une pièce \((0,3)\) et une pièce \((0,4)\) ; au niveau \(0\), deux cercles la coupent en trois pantalons. Pour chacune, \(G\) est le groupe de ses automorphismes holomorphes et \(\widetilde{G}\) celui où l'on admet aussi les antiholomorphes ; le nombre de structures d'un type est \(120/|G|\). \[ \begin{array}{lllll} \text{niveau} & \text{type} & \text{nom} & G & \text{nombre} \\ 2 & \mathrm{I}_{10} & \text{pentagonale} & \mathbb{D}_5 & 12 \\ 2 & \mathrm{I}_{6} & \text{bitétraédrale} & \mathfrak{S}_3 & 20 \\ 2 & \mathrm{I}_{4} & \text{pyramidale (carré orienté)} & \mathbb{Z}/4 & 30 \\ 1 & \mathrm{II}_{2} & \text{carré-triangle droit} & \mathbb{Z}/2 & 60 \\ 1 & \mathrm{II}'_{2} & \text{carré-triangle gauche} & \mathbb{Z}/2 & 60 \\ 1 & \mathrm{II}_{1} & \text{tétraèdre-triangle} & 1 & 120 \\ 0 & \mathrm{III}_{2} & \text{triple triangle droit} & \mathbb{Z}/2 & 60 \\ 0 & \mathrm{III}'_{1} & \text{triple triangle semi-gauche} & 1 & 120 \\ 0 & \mathrm{III}'_{2} & \text{triple triangle gauche} & \mathbb{Z}/2 & 60 \end{array} \] soit \(62 + 240 + 240 = 542\) sommets. Dans chaque cas \(\widetilde{G} = G \times \{1, \sigma\}\), sauf pour \(\mathrm{I}_4\) où \(\widetilde{G} = G\) : « sauf \(\mathrm{I}_4\), toutes ces structures sont réelles »²⁵ . Les primes désignent des variantes obtenues par un twist (\(\mathrm{II}'_2 = \mathrm{Tw}_{1/4}\,\mathrm{II}_2\)). Le type \(\mathrm{I}_6\) est un triangle \(J\) et les deux points restants identifiés aux deux orientations de \(J\) ; le type \(\mathrm{I}_4\) un point \(P\) et un carré orienté sur les quatre autres.

Entre ces sommets, quatorze types de flèches : des \(f\) (entre structures de niveau \(2\)), des \(\gamma\) (« gommage », qui effacent un cercle et montent d'un niveau) et des \(\tau\) (« twist », qui tournent d'une fraction de tour). La page 32 en fait le compte, chaque type étant compté deux fois, par ses sources et par ses buts : \[ \begin{array}{lll} f_{B,s},\ f_{\vec{Q},\alpha} & 60 + 120 & = 180 \\ \tau_{\pi,s},\ \tau^{0}_{r},\ \gamma_{\pi,s},\ \gamma'_{\pi,s},\ \gamma^{0}_{r} & 60 + 120 + 60 + 60 + 120 & = 420 \\ \tau_{\pi,\rho},\ \gamma_{\pi,\rho},\ \tau'_{r},\ \gamma^{1}_{r},\ \gamma^{1\prime}_{r},\ \gamma^{2}_{r},\ \gamma^{2\prime}_{r} & 120 + 120 + 120 + 120 + 360 + 120 + 60 & = 1020 \end{array} \] et en tout \(1620 = 5 \times 60 + 11 \times 120\) flèches²⁶ . Les \(542\) sommets forment neuf orbites sous \(\mathfrak{S}_K\), les flèches quatorze.

Les sommets de niveau \(0\) se répartissent au-dessus des \(15\) décompositions en pantalons de la sphère à cinq trous, ceux de niveau \(1\) au-dessus de ses \(10\) cercles ; les décompositions en pantalons sont les sommets du complexe de Hatcher et Thurston de cette surface, dont les relations élémentaires comprennent le pentagone²⁷ .

Le programme de travail de la page 32 :

1. déterminer les relations fondamentales entre les \(1620\) flèches, en les répartissant par orbites sous \(\mathfrak{S}_K\) — en particulier, écrire toutes les flèches comme composées de flèches « provenant de la dimension modulaire \(\leq 1\) » ;
2. reprendre la question en éliminant les sommets de niveau \(0\)²⁸ ;
3. éliminer de plus les pièces « tétraédrales » \(\mathrm{II}_1\), et toutes celles qui ne simplifient pas la présentation.

La note encadrée du premier point est le principe des deux étages de l'Esquisse sous forme de tâche à faire.

La page 31 ne porte que des croquis.

33–35

Systèmes de cinq points à symétrie (pages 33 à 35, ses pages 1 à 3)

Soit \(\Sigma\) une droite projective sur un corps algébriquement clos \(k\) de caractéristique \(0\) (la sphère de Riemann pour \(k = \mathbb{C}\)), et \(K \subset \Sigma\) de cardinal \(5\). On classe les systèmes \((\Sigma, K)\) dont le groupe \(G\) des automorphismes n'est pas trivial.

Soit \(g \in G\) d'ordre maximal \(\nu\). Un automorphisme d'ordre fini \(\neq 1\) de \(\Sigma\) a exactement deux points fixes, et \(\langle g \rangle\) opère librement sur leur complémentaire ; donc \(K = K^{g} \amalg\) (orbites de cardinal \(\nu\)), avec \(|K^{g}| \leq 2\), et \(2 \leq \nu \leq 5\). Les cas :

1. (1)\(\nu = 5\) : \(K\) est une orbite, qu'on peut supposer \(\mu_5\) ; \(G = \mathbb{D}_5\), et il y a un seul cas à isomorphisme près — la structure « pentagonale ».
2. (2)\(\nu = 4\) : \(K^{g} = \{P\}\) et \(K \setminus \{P\}\) est une orbite ; on peut prendre \(K = \mu_4 \cup \{\infty\}\), \(G = \mathbb{Z}/4\), et la catégorie de ces configurations est équivalente à celle des carrés orientés — la structure « pyramidale ».
3. (3)\(\nu = 3\) : \(K^{g} = \Sigma^{g}\) a deux points et \(J = K \setminus K^{g}\) est une orbite, qu'on peut prendre égale à \(\mu_3\) ; \(G = \mathbb{D}_3\), et la catégorie est équivalente à celle des ensembles \(J\) à trois éléments, les deux pôles correspondant aux deux orientations de \(J\) (pour \(k = \mathbb{C}\)) — la structure « bitétraédrale ».
4. (4)\(\nu = 2\) : \(K^{g} = \{P\}\) et \(I = K \setminus \{P\}\) est réunion de deux orbites. Alors \(g\) est l'une des involutions qui existent pour tout système de quatre points — un élément du groupe de Klein \(V(I)\), réalisé par une homographie — et \(P\) un de ses deux points fixes. Cette fois il y a des modules.

Dans le cas (4), si \(I\) est une structure carrée, \(P\) est soit un pôle (on retrouve le cas (2), si \(g\) fixe les deux diagonales), soit le milieu de l'une de deux arêtes opposées du carré sphérique ; et la page demande : « Est-ce le cas \(10\) ? » — la réponse est non : \(\mu_4 \cup \{e^{i\pi/4}\}\) n'a qu'un groupe d'automorphismes d'ordre \(2\), et non \(\mathbb{D}_5\)²⁹ . Si \(I\) est tétraédrale, \(P\) est l'un des six sommets de l'octaèdre associé (les points fixes des trois involutions de \(V(I)\)). Le paramétrage de ce cas, barré à la page 34, est repris aux pages 36 à 38.

Anti-automorphismes (\(k = \mathbb{C}\)). Soit \(\sigma\) un automorphisme antiholomorphe de \(\Sigma\) qui stabilise \(K\). Il n'est pas nécessairement d'ordre \(2\) ni nécessairement doté d'un point fixe : \(\sigma(z) = \zeta_5/\bar z\) stabilise \(\mu_5\), est d'ordre \(10\) et n'a pas de point fixe. Mais une puissance impaire de \(\sigma\) est une réflexion — une structure réelle — qui stabilise \(K\) : \(\sigma\) est conjugué à une isométrie renversant l'orientation de la sphère ronde, une rotation d'angle \(\theta\) composée avec la symétrie par rapport à l'équateur, dont les orbites ont pour cardinal \(2\) (les pôles), l'ordre \(m\) de \(\theta\) (sur l'équateur) ou un nombre pair ; comme \(5\) est impair, \(K\) rencontre l'équateur et \(m\) est impair, et \(\sigma^{m}\) est la symétrie elle-même³⁰ . On classe donc les structures réelles \(\sigma\) stabilisant \(K\) selon \(|K^{\sigma}| \in \{1, 3, 5\}\), impair puisque \(\sigma\) est une involution :

1. a)\(K^{\sigma} = K\) : cinq points réels, les points réels de \(\mathcal{M}_{0,5}\), de dimension réelle \(2\) ; contient le cas pentagonal (avec \(\sigma(z) = 1/\bar z\))³¹ ;
2. b)\(|K^{\sigma}| = 3\) : \(K = \{0, 1, \infty, \lambda, \bar\lambda\}\), \(\lambda\) dans le demi-plan de Poincaré, dimension réelle \(2\) ; contient le cas bitétraédral ;
3. c)\(K^{\sigma} = \{P\}\) : \(I = K \setminus \{P\}\) est un système de quatre points stable par une conjugaison sans point fixe sur \(I\), de dimension modulaire réelle \(1\), et le point réel \(P\) ajoute une dimension : dimension réelle \(2\) ; contient le cas pyramidal (avec \(\sigma(z) = i\bar z\)).

La page 35 range enfin les strates de \(\overline{\mathcal{M}}_{0,5}\) par dimension modulaire, avec le graphe de chaque strate (un sommet à cinq pattes ; deux sommets ; trois sommets en chaîne) : \[ \begin{array}{llll} \text{dimension modulaire} & 2 & 1 & 0 \\ \text{nombre de composantes} & 1 & 10 & 15 \\ \text{réalisations spéciales} & 12 & 10 \cdot 3 \cdot 2 + 10 \cdot 2 \cdot 6 = 60 + 120 & 15 \cdot 2 \cdot 2 = 60 \end{array} \] et note, en dimension \(2\), \(5 \cdot 3 \cdot 2 = 30\) structures pyramidales et \(10 \cdot 2 = 20\) bitétraédrales. Ces nombres sont ceux des types non primés du tableau de la page 30 (\(\mathrm{I}_{10}\) ; \(\mathrm{II}_2\) et \(\mathrm{II}_1\) ; \(\mathrm{III}_2\)) ; les types primés, obtenus par twist, s'y ajoutent³² .

36–38

Le cas involutif, paramétré (pages 37, 36, 38)

Les trois feuillets se lisent dans l'ordre 37, 36, 38³³ . On reprend le cas (4) : \(K = \{P\} \amalg I\), avec une involution holomorphe \(u\) de \(\Sigma\) stabilisant \(I\), sans point fixe dans \(I\), et fixant \(P\).

La donnée. Une sphère \(\Sigma\) munie d'une involution \(u\) et d'un point fixe marqué, appelé \(\infty\) (l'autre point fixe étant \(0\)), équivaut à un torseur \(T_1 = \Sigma \setminus \{0, \infty\}\) sous \(\mathbb{C}^{*}\), c'est-à-dire à une droite vectorielle complexe \(L_1\) avec \(T_1 = L_1 \setminus \{0\}\) ; \(u\) est \(x \mapsto -x\). Une paire d'orbites de \(\{\pm 1\}\) dans \(T_1\) équivaut, via \(x \mapsto x^{\otimes 2}\), à une paire \(\{\xi, \eta\}\) de points distincts de \(T_2 = L_2 \setminus \{0\}\), \(L_2 = L_1^{\otimes 2}\). Le produit \(e = \xi \eta \in T_4\) (\(L_4 = L_1^{\otimes 4}\)) trivialise \(T_4\), d'où une réduction du groupe structural de \(T_1\) de \(\mathbb{C}^{*}\) à \(\mu_4\) : les bases \(e_1\) de \(L_1\) telles que \(e_1^{\otimes 4} = e\).

Les invariants. Une telle base choisie, \(\xi = \xi_0 e_1^{2}\) et \(\eta = \eta_0 e_1^{2}\) avec \(\xi_0 \eta_0 = 1\) ; la donnée équivaut à \[ \mu = \xi_0 + \eta_0 \in \mathbb{C}, \qquad \mu \neq \pm 2, \] \(\xi_0\), \(\eta_0\) étant les racines de \(z^2 - \mu z + 1 = 0\), distinctes exactement quand \(\mu^2 \neq 4\). On retrouve \(I\) comme l'ensemble des racines de \(z^4 - \mu z^2 + 1 = 0\), \[ I = \Bigl\{ \pm\sqrt{\tfrac{1}{2}\bigl(\mu \pm \sqrt{\mu^2 - 4}\bigr)} \Bigr\} = \Bigl\{ \pm\sqrt{\mu' \pm \sqrt{\mu'^2 - 1}} \Bigr\}, \qquad \mu' = \tfrac{1}{2}\mu . \] Sans choisir de base, l'invariant est \[ \lambda = \frac{(\xi + \eta)^2}{\xi\eta} = \frac{\xi}{\eta} + \frac{\eta}{\xi} + 2 = \mu^2, \qquad \lambda \neq 4, \] c'est-à-dire \(\lambda - 2 = \xi/\eta + \eta/\xi \neq 2\)³⁴ .

Le changement de base. Remplacer \(e_1\) par \(\zeta e_1\) (\(\zeta^4 = 1\)) change \((\xi_0, \eta_0)\) en \((\zeta^2\xi_0, \zeta^2\eta_0)\), donc \(\mu\) en \(\zeta^2\mu = \pm\mu\). L'espace des modules des structures rigidifiées par le choix de \(e_1\) est donc un ouvert de la droite des \(\mu\), qui s'envoie sur \(\mathcal{M}_{0,5}\) en passant au quotient par \(\mu \mapsto -\mu\) ; la page l'écrit \(\mathbb{P}^{1} \setminus \{0, \pm 2, \infty\}\) et propose de regarder l'effet sur les groupoïdes fondamentaux³⁵ .

39–42

Le catalogue des opérations et la tour (pages 39 à 42)

La page 39, une couverture, porte « Catalogue des opérations élémentaires dans \(R\mathcal{T}D_{\mathrm{top}}\) »³⁶ .

40–40

La première liste (page 40, octobre 1983)

La page 40 fixe la donnée combinatoire d'une surface découpée et rigidifiée : un ensemble \(\vec{A}\) de demi-arêtes avec une involution \(\sigma\), un ensemble \(RR\) de « repères » sur lequel opère le groupe diédral infini \(\mathbb{D}_\infty = \langle \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1 \rangle\), une application \(\mathrm{supp} : RR \to \vec{A}\), un ensemble \(S\) de sommets et un genre \(g : S \to \mathbb{N}\), avec les conditions :

1. a)l'involution est d'ordre \(2\) et « sans point fixe »³⁷ ;
2. b)\(\mathrm{supp}\) est compatible avec \(\mathbb{D}_\infty \to \{\pm 1\}\), \(\{\pm 1\}\) opérant sur \(\vec{A}\) par \(\sigma\) ;
3. c)\(RR/\mathbb{D}_\infty \xrightarrow{\sim} A = \vec{A}/\sigma\) ;
4. d)éventuellement, la condition anabélienne : pour tout sommet \(s\), \(2g_s + \nu_s \geq 3\), où \(\nu_s\) est le nombre de demi-arêtes en \(s\).

C'est le « graphe pondéré à repères » des pages 49 à 51, sous une forme déjà complète³⁸ .

Puis la liste des opérations : somme ; amalgamation (sans gommage) et découpage (en gardant les données de recollement), « inverses l'une de l'autre » ; gommage de sommets de marquage et surmarquage, groupés de même ; bouchage des trous (gommage des cercles de raccord) ; gommage des cercles de découpage. Le vocabulaire se fixe : cercles de découpage (intérieurs) et cercles de raccord (le bord), sommets de marquage, ou de rigidification, cercles marqués ou non ; et les types combinatoires, rangés en un losange \[ \begin{array}{ccc} & \mathcal{T} & \\ S\mathcal{T} & & D\mathcal{T} \\ & SD\mathcal{T} & \end{array} \] — sans structure, avec marquage \(S\), avec découpage \(D\), avec les deux —, annotés « graphes pondérés discrets », « graphes b. », « graphes pondérés », « graphes ».

Le twist relatif. Pour un cercle de découpage marqué et une fraction de tour \(\rho\), le twist \(\tau_\rho\) se définit par découpage puis recollement après une rotation de \(\rho\) tour. Pour \(\rho \in \mathbb{Z}\), l'objet recollé est le même ; mais la flèche \(\tau_\rho\) n'est pas l'identité : c'est la puissance \(\rho\)-ième du twist de Dehn le long du cercle³⁹ . Enfin, encadrée, la ligne \[ S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \longrightarrow \mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{Ens}(\nu) \times [\pm 1] \] qu'on retrouvera page 61.

41–42

La seconde liste, et les douze avatars (pages 41 et 42)

La page 41 reprend le catalogue « opérations \(+\) structures » : somme, gommage (partiel) du marquage et marquage ; découpage (partiel) et amalgamation ou recollage, appariés ; bouchage de trous (gommage des cercles de raccord) ; gommage des cercles internes ; avec une condition « anabélienne » ou « de stabilité », des foncteurs et des isomorphismes de « twist ». Deux losanges, le second marqué « types combinatoires », sont reliés par des flèches du premier vers le second⁴⁰ .

La page 42 énumère « les douze avatars principaux de la Tour de Teichmüller », une colonne de groupoïdes où chacun s'envoie sur le précédent : \[ \mathcal{T}_{\mathrm{top}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathrm{diff}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathrm{an}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathrm{hyp}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathbb{C}\text{-alg}} \leftarrow \mathcal{T}_{\overline{\mathbb{Q}}\text{-alg}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathrm{comb}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathrm{Lego}} \leftarrow \mathcal{T}_{\mathbb{P}} \] — surfaces topologiques, différentiables (à bord lisse), \(\mathbb{C}\)-analytiques (à bord analytique), hyperboliques (à bord géodésique), courbes algébriques complexes de Mumford–Deligne (avec rigidification aux points doubles et points marqués), courbes définies sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), cartes orientées à bord avec sommets marqués, jeu de « Légo » à pièces combinatoires, jeu « pantalonnique » dont les seules pièces sont les triades —, plus trois variantes \(\mathcal{T}'_{\mathrm{diff}}\), \(\mathcal{T}'_{\mathrm{an}}\), \(\mathcal{T}'_{\mathrm{hyp}}\) à points marqués et vecteurs tangents, chacune équivalente à la non primée. Le compte fait douze⁴¹ .

43–60

Groupoïdes de Teichmüller (pages 43 à 60, ses pages 1 à 17)

43–45

Les groupoïdes topologiques

Le groupoïde de Teichmüller orienté topologique \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\) a pour objets les surfaces compactes orientées à bord, pour flèches les classes d'isotopie d'homéomorphismes conservant l'orientation. Le biorienté \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) a les mêmes objets et toutes les classes d'isotopie d'homéomorphismes. Sur les surfaces connexes, la signature est un morphisme \(\chi : \mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \to [\pm 1]\) dont la fibre est \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\) ; sur une surface non connexe un homéomorphisme peut conserver l'orientation sur une composante et la renverser sur une autre, et il n'y a plus de signature — ce que dit la marge⁴² .

La variante la plus complète est le groupoïde de Teichmüller spécial divisé \(S_{*}\mathcal{T}D^{+}_{\mathrm{top}}\) : ses objets sont les triples \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\) où \(X\) est une surface compacte orientée à bord, \(\widetilde{\Sigma} = \partial X \sqcup \Sigma\) une sous-variété compacte de dimension \(1\) contenant \(\partial X\), et \(R \subset \widetilde{\Sigma}\) une partie finie ; ses flèches, les classes d'isotopie d'homéomorphismes conservant l'orientation et respectant \(\widetilde{\Sigma}\) et \(R\). Les composantes de \(\partial X\) sont les cercles de raccord (ou de recollement, ou « trous »), celles de \(\Sigma\) les cercles de découpage, les points de \(R\) les sommets de rigidification⁴³ . Le biorienté \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) se définit de même, avec \(S_{*}\mathcal{T} D^{+}_{\mathrm{top}} \hookrightarrow S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \to [\pm 1]\). Il contient les sous-groupoïdes pleins

• \(R = \Sigma = \emptyset\) : \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\), \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) ;
• \(\Sigma = \emptyset\) : \(S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\), \(S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\), les groupoïdes spéciaux ou rigidifiés ;
• \(R = \emptyset\) : \(\mathcal{T}D^{+}_{\mathrm{top}}\), \(\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), « pas intéressant je crois, sauf pour \(\Sigma = \emptyset\) également ».

Pour une surface connexe de type \((g, \nu)\), les groupes d'automorphismes sont les groupes modulaires d'aujourd'hui : dans \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\), le groupe modulaire qui permute les bords ; dans \(S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\) avec un point sur chaque bord, le groupe \(S_{*}T(X, \underline{s})\) des pages 1 à 3. Les deux lignes barrées de la page 44 sont un premier départ de la phrase de la page 51.

45–48

Le graphe de Mumford–Deligne

Un graphe bipondéré est une donnée \((S, \vec{A}, \sigma, o, \gamma, r)\) : \(S\) et \(\vec{A}\) finis, \(\sigma\) une involution de \(\vec{A}\) dont les points fixes \(\vec{A}_\ell = \vec{A}^{\sigma}\) sont les arêtes libres, \(o : \vec{A} \to S\), un genre \(\gamma : S \to \mathbb{N}\) et un poids \(r : A \to \mathbb{N}\) sur les arêtes \(A = \vec{A}/\sigma = A_0 \sqcup A_\ell\). Sommets isolés, boucles, arêtes multiples sont permis. De façon équivalente, c'est un graphe ordinaire \((S, \vec{A}_0, \sigma, o)\), plus un ensemble fini \(A_\ell\) et une application \(A_\ell \to S\)⁴⁴ . Avec leurs isomorphismes, ils forment un groupoïde (Gr.bip).

Le foncteur \[ (*)\qquad \Gamma : S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \longrightarrow (\mathrm{Gr.bip}) \] associe à \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\) le graphe dont

• les sommets sont les composantes de \(X \setminus \widetilde{\Sigma}\) (les « faces ») ;
• les demi-arêtes sont les couples \((C, \text{rive})\), \(C \in \pi_0(\widetilde{\Sigma})\) et une rive de \(C\) — deux pour un cercle de découpage, une seule (celle qui est dans \(X\)) pour un cercle du bord ;
• \(\sigma\) échange les deux rives d'un cercle de découpage, et fixe la rive unique d'un cercle du bord ;
• \(o\) envoie une rive sur la face qui la contient ;
• \(\gamma\) est le genre de (l'adhérence de) chaque face ;
• \(r(C) = \mathrm{card}(R \cap C)\)⁴⁵ .

C'est le graphe dual d'une courbe stable, ce qu'on appelle aujourd'hui un graphe stable ou graphe modulaire, avec ses pattes (les arêtes libres) ; la marge le nomme : « MD = modulaire Mumford–Deligne ».

Proposition (page 47). Le foncteur \((*)\) induit une bijection sur les \(\pi_0\) et une surjection sur les groupes d'automorphismes⁴⁶ . Bijection : une surface compacte orientée est classée par son genre et son nombre de bords, l'objet se reconstruit en recollant des surfaces de type \((\gamma(s), \text{valence de } s)\) selon le graphe, et deux parties finies de même cardinal d'un cercle sont isotopes. Surjection : tout automorphisme du graphe pondéré se réalise par un homéomorphisme. Le même argument montre que \(\pi_0(S_{*}\mathcal{T}D^{+}_{\mathrm{top}}) \to \pi_0(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}})\) est bijectif, le graphe ne voyant pas l'orientation.

Remarques (pages 47 et 48). Les deux groupoïdes ont une opération évidente de somme (réunion disjointe), et \((*)\) la respecte ; c'est la plus triviale des opérations à transcrire combinatoirement. On a \(\pi_0(X) \simeq \pi_0(\Gamma(X, \widetilde{\Sigma}, R))\), et le genre d'une composante connexe se lit sur son graphe : \[ g = \sum_{s \in S} \gamma(s) + \operatorname{rg} H^{1}(\Gamma), \] le second terme comptant les cycles indépendants du graphe (les pattes n'y contribuent pas).

Cas particuliers. Pour \(S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) (\(\Sigma = \emptyset\)), les graphes n'ont que des arêtes libres : des sommets isolés munis de pattes, donnés par \(\gamma : S \to \mathbb{N}\), \(A_\ell \to S\) et \(r : A_\ell \to \mathbb{N}\). Pour \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\), de plus \(r = 0\). Dans le cas connexe, le graphe est un sommet de genre \(g\) portant \(\nu\) pattes, et l'objet est classé par le couple \((g, \nu)\).

49–51

Graphes à repères

Les remarques de la page 49 partent de là : le poids \(r(a)\) ne retient que le nombre de repères sur le cercle \(C_a\), et la structure est plus riche. Notons \(\omega(a)\) l'ensemble des demi-arêtes au-dessus de \(a\) (une ou deux) et \(R_a = R \cap C_a\). Chaque \(\omega \in \omega(a)\) — une rive, donc une orientation de \(C_a\) — munit \(R_a\) d'un ordre circulaire \(u_\omega\), et \(u_{\omega'} = u_\omega^{-1}\) si \(\omega' \neq \omega\). De façon équivalente, si \(r(a) \geq 1\), \(R_a\) est un torseur sous \[ \mathbb{Z}_a/r(a), \qquad \mathbb{Z}_a = \mathbb{Z} \wedge^{\{\pm 1\}} \omega(a), \] le groupe \(\mathbb{Z}\) tordu par l'ensemble \(\omega(a)\) des orientations (pour une arête libre, \(\omega(a)\) est un singleton et \(\mathbb{Z}_a = \mathbb{Z}\)) ⁴⁷ .

Pour chaque \(a\), on dispose ainsi d'un polygone combinatoire \(P_a\) de sommets \(R_a\) — même si \(r(a) = 1\) ou \(2\) — et la famille des \((R_a)\) peut être remplacée par un ensemble \(\vec{R}\) de « repères de rigidification », muni d'une action de \(\mathbb{D}_\infty = \langle \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1\rangle\) et d'une application \(\vec{R} \to \vec{A}\) compatible avec \(\varepsilon : \mathbb{D}_\infty \to \{\pm 1\}\), plus une partie \(\vec{R}^{+}_\ell\) des repères au-dessus des arêtes libres qui oriente les cercles du bord. On peut prendre pour \(\vec{R}\) l'ensemble des drapeaux des polygones \(P_a\) — couples (sommet, côté incident) —, \(\sigma_0\) changeant le sommet et \(\sigma_1\) le côté ; un drapeau définit un sens de parcours de \(C_a\), donc une rive, et chaque \(\sigma_i\) le renverse, d'où \(\varepsilon(\sigma_0) = \varepsilon(\sigma_1) = -1\)⁴⁸ .

On obtient la notion de graphe pondéré à repères, \[ \vec{R}^{+}_\ell \hookrightarrow \vec{R} \longrightarrow \vec{A} \xrightarrow{\ o\ } S \xrightarrow{\ \gamma\ } \mathbb{N}, \] et un foncteur \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \to (\mathrm{Gr.pondrep})\) « qui sera important sans doute dans l'explicitation de l'opération de recollement ». Toute description algébrico-combinatoire de \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\) devra permettre de reconstituer, à isomorphisme unique près, ce foncteur — et non seulement le foncteur vers les graphes bipondérés.

51–59

Les opérations essentielles

A) Gommages.

(1) Gommage de repères. À \((X, \Sigma, R)\) muni d'une partie \(R' \subset R\), on associe \((X, \Sigma, R \setminus R')\). Une description combinatoire devra donc fournir aussi le groupoïde des objets munis d'une partie marquée \(R'\), et un foncteur « gommage de \(R'\) », s'inscrivant dans un carré commutatif \[ \begin{array}{ccc} S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}(R' \text{ marqué}) & \xrightarrow{\ \text{gommage de } R'\ } & S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} \\ \downarrow{\scriptstyle \text{oubli de } R'} & & \downarrow \\ S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}} & \longrightarrow & (\mathrm{Gr.bip})/r \end{array} \] où le coin est le groupoïde des graphes pondérés par \(\gamma\) seulement. Au niveau des graphes à repères, l'opération enlève une partie \(\vec{R}'\) de \(\vec{R}\) stable par \(\mathbb{D}_\infty\)⁴⁹ .

(2) Gommage de cercles de découpage. On se donne une réunion \(\Sigma'\) de composantes de \(\Sigma\), c'est-à-dire une partie \(A'_0\) des arêtes liées, et l'on remplace \(\Sigma\) par \(\Sigma \setminus \Sigma'\) ; les repères situés sur \(\Sigma'\) sont gommés avec. Sur les graphes, c'est la contraction des arêtes de \(A'_0\), et le graphe ancien s'envoie sur le nouveau par un « morphisme de généralisation (à l'opposé de spécialisation) » : on remonte d'une strate du bord de \(\overline{\mathcal{M}}_{g,\nu}\) vers une strate moins dégénérée⁵⁰ . La pondération « suit », et la formule du genre de la page 48 dit comment : chaque sommet du nouveau graphe, image d'un sous-graphe connexe \(\Gamma'\) contracté, a pour genre \(\sum_{s \in \Gamma'} \gamma(s) + \operatorname{rg} H^{1}(\Gamma')\)⁵¹ .

(3) Bouchage de trous. Pour une partie \(A'_\ell\) des cercles du bord, on bouche les trous correspondants par des disques (des cônes sur ces cercles). Sur les graphes : effacer les pattes de \(A'_\ell\) et les repères qui sont au-dessus ; les genres des sommets ne changent pas.

Gommage simultané mixte. Pour une partie ouverte et fermée \(R' \sqcup \Sigma'\) de \(R \sqcup \Sigma\) telle que \(R' \supset R \cap \Sigma'\), on fait les deux à la fois : enlever \(\vec{R}'\), contracter les arêtes de \(\Sigma'\), faire suivre la pondération⁵² .

B) Marquage. Soit \(A^{+}\) l'ensemble des arêtes effectivement marquées (\(r(a) > 0\)), \(\Sigma^{+}\) la réunion des cercles correspondants et \(B^{+}\) l'ensemble des composantes de \(\Sigma^{+} \setminus R\), des intervalles ouverts. Un surmarquage est donné par \(r' : B^{+} \to \mathbb{N}\) : on ajoute \(r'(b)\) nouveaux repères dans chaque intervalle \(b\). Il y a des choix, mais l'objet obtenu \((X, \Sigma, R_1)\), muni de la partie \(R_1 \setminus R\), est déterminé à isomorphisme unique près — l'espace des positions de \(r'(b)\) points dans un intervalle est contractile — et le gommage de \(R_1 \setminus R\) rend l'objet de départ.

On se bornera sans doute à des gommages et surmarquages uniformes, qui se lisent sur les torseurs \(R_a\) sous \(\mathbb{Z}_a/r(a)\) :

• le gommage partiel uniforme garde, pour un diviseur \(r'(a)\) de \(r(a)\), l'une des \(d(a) = r(a)/r'(a)\) orbites du sous-groupe d'ordre \(r'(a)\) de \(\mathbb{Z}_a/r(a)\) : c'est une restriction du groupe structural à ce sous-groupe, isomorphe à \(\mathbb{Z}_a/r'(a)\) ;
• le surmarquage uniforme d'exposant \(d(a)\) remplace \(R_a\) par \(R_a \wedge^{\mathbb{Z}_a/r(a)} \mathbb{Z}_a/d(a)r(a)\), le long de l'inclusion \(\mathbb{Z}_a/r(a) \hookrightarrow \mathbb{Z}_a/d(a)r(a)\) : on intercale \(d(a) - 1\) points entre deux repères consécutifs.

Le premier demande un choix (l'orbite gardée) : c'est un renforcement de structure ; le second n'en demande aucun et oublie quels points étaient les anciens : c'est un affaiblissement⁵³ .

C) Découpage, le long d'une réunion \(\Sigma'\) de cercles de découpage, c'est-à-dire d'une partie \(A'\) des arêtes liées : sur les graphes, couper chaque arête par son milieu en deux pattes. Le marquage suit. Si le cercle est effectivement marqué (\(C \cap R \neq \emptyset\)), l'opération s'inverse à une ambiguïté finie près — le choix de l'identification des deux torseurs de repères ; sinon, elle ne s'inverse pas. Dans la façon dont on va travailler, dit-il, les cercles de découpage seront toujours effectivement marqués ; mais on veut garder le droit de les gommer.

D) Recollement, « la plus essentielle, la moins triviale peut-être de toutes ces opérations ». On se donne

1. a)une partie \(A'\) des arêtes libres et une involution sans point fixe \(\sigma'\) de \(A'\) ;
2. b)pour chaque paire \(\{a, a'\}\), des homéomorphismes renversant l'orientation \(C_a \to C_{a'}\) et \(C_{a'} \to C_a\), inverses l'un de l'autre.

Pour que l'opération soit définie à isomorphisme unique près dans \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), il faut que les cercles recollés soient effectivement marqués, \(A' \subset A^{+}\) ; quitte à gommer ou surmarquer uniformément au préalable, on suppose \(r(a) = r(a')\), et l'on se donne un anti-isomorphisme des torseurs \(R_a\) et \(R_{a'}\) sous \(\mathbb{Z}/r\), c'est-à-dire un élément de \(R_a \wedge_{\mathbb{Z}/r} R_{a'}\). Le recollement est alors bien déterminé : les homéomorphismes renversant l'orientation qui réalisent un anti-isomorphisme donné \(R_a \to R_{a'}\) forment un espace contractile, alors que sans repères ils forment un espace qui a le type d'homotopie d'un cercle, et le résultat n'est déterminé qu'à twist de Dehn près⁵⁴ . Sur les graphes : rattacher deux à deux les pattes par leurs bouts ; les genres des sommets ne changent pas, poids et repères suivent.

Le recollement et la somme sont, en termes d'aujourd'hui, les compositions d'une opérade modulaire : le recollement de deux bords d'une même composante ou de deux composantes distinctes, indexé par des graphes stables⁵⁵ .

60–60

La récapitulation (page 60, sa page 17)

• \(0^\circ\)somme directe ;
• \(1^\circ\)gommage total des repères d'un cercle, \(r_a \mapsto 0\) (on suppose \(r_a \neq 0\)) — fortement irréversible ;
• \(2^\circ\)gommage partiel uniforme d'exposant \(d_a = r_a/r'_a > 1\) — renforcement de structure faible ;
• \(3^\circ\)surmarquage uniforme d'exposant \(d_a > 1\) (\(r_a \neq 0\)) — affaiblissement de structure faible ;
• \(4^\circ\)gommage d'un cercle de découpage \(C_a\), \(a \in A_0\) — fortement irréversible ;
• \(5^\circ\)bouchage d'un trou \(C_a\), \(a \in A_\ell\) — fortement irréversible ;
• \(6^\circ\)découpage le long de \(C_a\), \(a \in A_0\) — réversible à un choix fini près si \(r_a \geq 1\) ;
• \(7^\circ\)recollement le long de \(C_a\), \(C_{a'}\) (\(a \neq a'\) libres, \(r_a = r_{a'} \geq 1\)) via un élément de \(R_a \wedge R_{a'}\) — réversible à un choix fini près.

Pour \(2^\circ\), il y a \(d_a\) choix possibles ; pour \(6^\circ\), l'opération est fortement irréversible si \(r_a = 0\), et la page se demande s'il faut séparer les deux cas ou exclure \(r_a = 0\).

61–64

Le programme de dévissage (pages 61 à 64, ses pages 18 à 21)

Il faudrait, dit la page 61, un « petit théorème de dévissage » : à équivalence près, \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), avec ses foncteurs vers les graphes pondérés et vers \([\pm 1]\) et les opérations élémentaires \(1^\circ\) à \(7^\circ\) — sauf \(4^\circ\) et \(5^\circ\) —, se reconstitue à partir des groupoïdes connexes \[ S_{1}\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \longrightarrow \mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{Ens}(\nu) \times [\pm 1] \] ⁵⁶ . Ici \(S_{1}\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) est le sous-groupoïde des \((X, R)\) avec \(X\) connexe de genre \(g\), à \(\nu\) bords, et un repère sur chaque bord — le graphe est une étoile, un sommet de genre \(g\) et \(\nu\) pattes de poids \(1\) —, et \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) celui des surfaces sans structure de type \((g, \nu)\). La première flèche oublie les repères : sur les groupes, c'est \(S_{*}T(X, \underline{s}) \to T(X)\) des pages 1 à 3, de noyau les twists de bord \(\mathbb{Z}^{\nu}\) ; la seconde est l'action sur l'ensemble des bords et la signature.

La question essentielle (page 62) : reconstituer, pour un graphe pondéré à repères \(\underline{\Gamma}\), le groupoïde \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}(\underline{\Gamma})\) des objets de graphe \(\underline{\Gamma}\), fonctoriellement en \(\underline{\Gamma}\), avec les sept opérations sauf \(4^\circ\) et \(5^\circ\). L'opération \(4^\circ\) viendra d'elle-même avec la description explicite des \(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}(\underline{\Gamma})\), faite comme pour les \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) et \(S\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu}\) connus. Les bouchages de trous s'obtiendraient à partir des cas particuliers à ajouter aux structures « élémentaires », les diminutions \[ (**)\qquad S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu,\nu'} \longrightarrow S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu-\nu'}, \] où \(\mathcal{T}^{\pm}_{g,\nu,\nu'}\) a pour objets les surfaces de type \((g,\nu)\) munies d'un ensemble \(I'\) de \(\nu'\) bords, qu'on bouche⁵⁷ .

Mais (page 63) ces bouchages sont superficiels : ils ne relient pas les \(\mathcal{T}_{g,\nu}\) aux \(\mathcal{T}_{g',\nu}\) de genre \(g' < g\). Pour cela il faut le gommage des cercles de découpage — « ex-cercles de recollement ! » : un cercle obtenu en recollant deux bords, qu'on efface ensuite⁵⁸ .

Autre structure importante à expliciter : les groupoïdes fondamentaux \(\Pi_1(X; R)\) des \((X, \widetilde{\Sigma}, R)\), à points-base dans \(R \neq \emptyset\), en tant que groupoïdes dépendant fonctoriellement de \(R\), avec leur comportement par les opérations — un nouvel objet en groupoïdes au-dessus de \(S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\). Déjà pour \(S_2\mathcal{T}_{0,3}\), un pantalon avec deux repères, la question est non triviale. C'est sans doute trop ambitieux : il faudrait un « modèle » de \(S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\) assez gros pour contenir « toutes les cordes — ça fait un peu gros ! ». Mais on doit pouvoir déterminer sans trop de mal, dans le modèle de \(S_{*}\mathcal{T}D^{\pm}_{\mathrm{top}}\), des modèles des \(\Pi_1(X, R)\) et leur dépendance fonctorielle en \((X, R)\) — et la suite s'arrête sur ces points de suspension⁵⁹ .

65–68

Découpages en pantalons (pages 65 à 68)

La page 65, une couverture, porte « Découpage de cartes en “pantalons” généralisés ».

Le pantalon pondéré. Un pantalon subdivisé de façon standard, d'ensemble de trous \(J\) de cardinal \(3\), équivaut à un « triangle pondéré » \(\pi : J \to \mathbb{N}\), où \(\pi(j)\) est le nombre d'arêtes qui relient les deux trous autres que \(j\)⁶⁰ . Si \(\alpha, \beta, \gamma\) sont ces nombres pour les trous \(0, 1, \infty\), le nombre de points sur le cercle de chaque trou est \[ \alpha' = \beta + \gamma, \qquad \beta' = \gamma + \alpha, \qquad \gamma' = \alpha + \beta, \] d'où \[ \alpha = \frac{\beta' + \gamma' - \alpha'}{2}, \qquad \beta = \frac{\gamma' + \alpha' - \beta'}{2}, \qquad \gamma = \frac{\alpha' + \beta' - \gamma'}{2}. \] Les \(\alpha, \beta, \gamma\) sont entiers si et seulement si \(\alpha' + \beta' + \gamma'\) est pair, et entiers naturels si de plus \(\alpha', \beta', \gamma'\) vérifient les inégalités triangulaires⁶¹ . Sur la sphère à trois sommets \(0, 1, \infty\) (les trous réduits à des points), la carte a \(\alpha + \beta + \gamma\) arêtes et, si \(\alpha, \beta, \gamma \geq 1\), \((\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1) = \alpha + \beta + \gamma - 3\) faces-bigones et \(2\) faces-triangles, soit \(\alpha + \beta + \gamma - 1\) faces, et la formule d'Euler \(3 - (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha + \beta + \gamma - 1) = 2\) est satisfaite⁶² .

La carte pantalonnière généralisée. Une carte orientée découpée en pantalons de façon standard équivaut à une carte trivalente (avec éventuellement des sommets d'ordre \(1\)) dont les couples (sommet, arête incidente) sont pondérés, de sorte que, pour chaque arête \(st\), \[ \alpha_s + \beta_s = \alpha_t + \beta_t \;(= \gamma), \] le nombre de points sur le cercle de recollement vu des deux pantalons ; avec, de plus, un anti-isomorphisme entre les torseurs sous \(\mathbb{Z}/\gamma\) que sont les sommes circulaires de \([1, \alpha_s]\) et \([1, \beta_s]\), et de \([1, \alpha_t]\) et \([1, \beta_t]\). C'est exactement la donnée de recollement \(7^\circ\) de la page 60, un élément de \(R_a \wedge R_{a'}\), pour une décomposition en pantalons où chaque cercle porte les \(\gamma\) points où la carte le traverse⁶³ .

Les pages 66 à 68 dessinent ces découpages : la sphère à trois trous \(0, 1, \infty\) subdivisée, ses points \(a_i, b_i\) rangés par trou, des triangles pondérés (\(\alpha = 3\), \(\beta = 5\), \(\gamma = 4\)), une carte trivalente, et, page 68, une carte sur la sphère dont les sommets sont entourés de courbes fermées emboîtées, à l'encre rouge — un découpage en pantalons. La page 67 ne porte que des esquisses de la page 66.

69–70

Une autre mouture des définitions (pages 69 et 70)

La page 69, sur un décalque du dessin de la page 68, porte un carré \[ \begin{array}{ccc} \mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} & \xrightarrow{\ \mathrm{imm}\ } & S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}} & \xrightarrow{\ \mathrm{imm}\ } & S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}} \end{array} \] au-dessus de deux \([\pm 1]\) : les flèches horizontales sont des immersions ouvertes (inclusions de sous-groupoïdes pleins réunions de composantes), les verticales sont fidèles et essentiellement surjectives, sans être pleines ; d'où \(\pi_0(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}) \xrightarrow{\sim} \pi_0(\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}})\), la ligne s'arrêtant là⁶⁴ .

La page 70, intitulée elle aussi « Groupoïdes de Teichmüller », recommence les définitions des pages 43 à 45 dans un autre ordre et avec d'autres lettres⁶⁵ .

1. 1)\(S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\), le groupoïde de Teichmüller spécial orienté topologique : objets les paires \((X, R)\), \(X\) surface compacte orientée à bord, \(R \subset \partial X\) finie — les repères sont ici sur le bord seulement ; flèches les classes d'isotopie d'isomorphismes. Pour \(R = \emptyset\), on a \(\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\), sous-groupoïde ouvert. Variante \(S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}}\), avec \(\varepsilon : S_{*}\mathcal{T}^{\pm}_{\mathrm{top}} \to [\pm 1]\) (l'orientation), de fibre \(S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\) — sur les surfaces connexes, comme à la page 43.
2. 2°)Les triples \((X, \Sigma, R)\), \(\Sigma\) sous-variété compacte de dimension \(1\) de \(X \setminus \partial X\), \(R \subset \Sigma \cup \partial X\) finie : \(\mathcal{T}D^{+}_{\mathrm{top}}\), « \(D\) initiale de divisage », groupoïde de Teichmüller orienté divisé ; et \(S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}} \subset S_{*}\mathcal{T}D^{+}_{\mathrm{top}}\) est l'immersion ouverte des objets où \(\Sigma = \emptyset\).
3. 3°)De même le biorienté divisé.

La différence avec les pages 43 à 45 n'est pas que de lettres : ici les repères de \(S_{*}\mathcal{T}^{+}_{\mathrm{top}}\) sont sur le bord, et le \(\Sigma\) de 2°) est disjoint du bord, alors que la page 45 met \(\partial X\) dans \(\widetilde{\Sigma}\) ; les deux présentations décrivent les mêmes objets.

71–71

La page 71

Une dernière planche, légendée « découpage pantalonnesque d'une carte (triangulée) » : une triangulation de neuf sommets, neuf courbes fermées emboîtées qui la découpent en pantalons, et le graphe trivalent pondéré correspondant, dont les poids sont inscrits aux sommets et aux arêtes — la donnée de la page 66 sur un exemple.