Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 141–160

p. 70 de l'auteur. La phrase commence au feuillet précédent, hors de ce lot. une définition directe, ~~valable~~ dans un style encore plus topologique, valable chaque fois (cf. ci-dessus) — une immersion locale de topos. On va désigner par V_{D',Y} le « voisinage tubulaire » défini en fait par une immersion ~~top~~ locale topologique. Il a des propriétés de fonctorialité telles, que l'on trouve, ~~dans~~ partant d'une situation ~~de deux~~ d'un couple d'immersions locales D''\to D'\to Y, des diagrammes commutatifs (2.35)\qquad \begin{array}{ccccc} D'' & \longrightarrow & D' & & \\ \downarrow & & \downarrow & & \\ V_{D'',Y} & \xrightarrow[\text{imm. loc.}]{} & V_{D',Y} & \xrightarrow[\text{imm. loc.}]{} & Y \end{array} les flèches verticales D''\to V_{D'',Y}, D'\to V_{D',Y} sont tracées comme des inclusions ; devant le diagramme, un renvoi biffé .

À gauche du diagramme, un croquis : une bande courbe hachurée transversalement, marquée V_{D'}, autour d'une courbe D' ; deux points de D'' sur D', entourés chacun d'un petit disque hachuré, désignés par des flèches pointillées comme V_{D''}. Un numéro biffé (~~(2.35)~~) au-dessus.

~~Dans~~ Pour l'instant on n'a pas utilisé le diviseur \Theta à croisements normaux dans Y (définissant l'ouvert Y^*=Y\setminus\Theta). Nous allons considérer maintenant l'image inverse de Y^* dans V_{D',Y} et V_{D'',Y}, soient V^*_{D',Y} et V^*_{D'',Y}, s'insérant dans un diagramme

(2.36)\qquad \begin{array}{ccccc} V^*_{D'',Y} & \longrightarrow & V^*_{D',Y} & \longrightarrow & Y\\ \| & & \| & & \\ V_{D'',Y}\setminus\Theta_{D'',Y} & & V_{D',Y}\setminus\Theta_{D',Y} & & \end{array} devant V^*_{D'',Y}, un début biffé . Sous \Theta_{D'',Y}, accolade et légende : « image inverse de \Theta dans V_{D'',Y} ».

NB V^*_{D'',Y} a la structure du complémentaire d'un diviseur à croisements normaux \Theta'', dans un voisinage tubulaire de \Theta''(d_0)^* — et analogue pour V^*_{D',Y}.

Une bande courbe (le voisinage tubulaire), traversée par une courbe centrale ; en deux points, une branche transverse coupe la courbe, et autour de chaque point quatre quadrants hachurés ; une flèche désigne les branches comme \Theta_{D',Y}.

Nous pouvons maintenant définir (2.37)\qquad \Pi_1 V^*_{D'',Y}\longrightarrow \Pi_1 V^*_{D',Y} en définissant les groupoïdes fondamentaux non pas par ~~lacets~~ points et / classes de chemins, mais par revêtements et isomorphismes entre tels…

C'est essentiellement cela, l'heure de canonisation — nous pouvons le définir chaque fois qu'on a deux des imm. locales D''\to D'\to Y

p. 71 de l'auteur. (de topos simpliciaux, disons…) et un ouvert Y^* de Y [plus généralement un objet du topos ~~en question~~ Y, pas besoin que ce soit un ss-objet de l'objet final, qui (dans le cas d'un tel ss-objet, i.e. définissant Y^* comme ouvert du topos en question) à supposer que D'\to Y se factorise par Y\setminus Y^*]. Et on a des propriétés de transitivité évidentes pour un composé (2.38)\qquad D'''\to D''\to D'\to Y .

L'hypothèse « croisements normaux » va nous servir à expliciter les groupoïdes \Pi_1 V^*_{D',Y}, \Pi_1 V^*_{D'',Y} en termes plus simples, comme canoniquement équivalents à \Pi_1 P_{D'^*}, \Pi_1 P_{D''^*}. D il faut encore (ici) expliciter la

Théorème. Soient Y un espace analytique, \Theta un diviseur à croisements normaux de Y, D'\to Y une immersion — insertion écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, rattachée à « Théorème » ; on y devine quitte à remplacer … V_{D',Y} … complexe …

Réduction de plus haut ici de codim d (qui se factorise par \Theta^{(d)} (NB il est essentiel pour ce qui va suivre que D'\subset\Theta^{(d)*}), d'où un « voisinage tubulaire » V_{D',Y} * de D' dans Y, et par trace de Y^*=Y\setminus\Theta un germe d'espace analytique V^*_{D',Y}. Alors on a une équivalence de groupoïdes, définie à ~~équivalence~~ isomorphisme unique près (2.39)\qquad \Pi_1 V^*_{D',Y}\xleftarrow{\ \approx\ }\Pi_1 P_{D'^*} le parenthésage du début de page est celui du manuscrit ; l'exposant de \Theta est d'abord écrit autrement puis surchargé en (d).

Remarques. Le cas le plus simple est celui où Y est de dim 1, et d=1, D' réduit à un pt — le pas paraître trivial, néanmoins la question de canonicité de l'équivalence m'a semblé nécessiter une , et fait l'objet de la longue digression des « notes Monodromie » § 53 no 5o (p. 768' ff). Ici (cas général) il devrait être « assez évident » de définir (au moins conceptuellement) (un plongement « topologique » et via C^\infty (non analytique!))

p. 72 de l'auteur. (2.40)\qquad V_{D',Y}\hookrightarrow \check N_{D',Y} sous \check N_{D',Y}, accolade et légende : « fibré normal de D' dans Y ».

~~transformant la~~ dont le composé avec Y\to V_{D',Y} soit la section nulle, et qui induise l'application identique sur les ~~fib~~ fibrés normaux le long de la section nulle.on lit bien Y\to V_{D',Y} ; le sens demande sans doute D'\to V_{D',Y}. Sa construction devrait en tout cas dans le cas des vrais espaces analytiques paracompactes — c'est faux par contre dans le cas des multiplicités (Ex : ~~D'=E^1_{\mathbb C}\subset Y=E^2_{\mathbb C}~~, considérons E^1\subset E^2, avec l'opération du groupe discret \mathbb Z, ~~plus~~ le générateur opérant par la transformation \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, — pour D'=(E^1;\mathbb Z), Y=(E^2;\mathbb Z) — l'~~fibré~~ extension des fibrés vectoriels différentiables définie par le plongement D'\subset V_{D',Y}\subset Y n'est pas scindable, donc pas celle définie par la section nulle d'un fibré l'est…) Il est assez clair que lorsqu'on dispose d'une telle immersion au moins pour des espaces analytiques ordinaires (et sans condition de différentiabilité) celle-ci est une « équivalence d'homotopie », et les coefficients de la matrice sont en partie surchargés ; lecture \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} probable. L'ajout « au moins pour des espaces analytiques ordinaires » est écrit dans la marge gauche, en face de « lorsqu'on ».

induit donc une équivalence sur les \Pi_1. Mais le bât blesse, du fait qu'on n'a pas de canonicité — sans compter la nécessité d'hypothèses restrictives gênantes. ~~Pour trouver~~ quelques doutes de canonicité

suit un diagramme, biffé par de grandes lignes ondulées : en haut \Pi_1 P_{D'^*}\xrightarrow{\ \text{\uncertain{can}}\ }\Pi_1^{\text{rev}} V_{D',Y}, en bas une flèche verticale marquée \wr vers \Pi_1^{\text{rev}} P_{D'^*}, et à droite NB \Pi_1^{\text{\uncertain{rev}}}\approx .

écrit en oblique dans la marge gauche, en partie surchargé : Mais pour définir V^*_{D^*}\hookrightarrow V^*_{D'} une équivalence entre les \Pi_1 de et P_{D'^*}, il faut rétablir les simplifications précédentes

d'entrer dans des précisions d'ailleurs en relation avec le diviseur \Theta, quand nous prenons le plongement (2.40) soit tel que l'image inverse de P^*_{D'^*}, identifié (P_{D'}, lui = ouvert dans \check N_{D',Y}) à un ouvert de \check N_{D',Y}, soit justement V^*_{D',Y}, de sorte qu'on trouve bien . \text{\struck{$\Pi_1 V^*_{D',Y}\longrightarrow \Pi_1 P_{D'^*}$}} (2.41)\qquad V^*_{D',Y}\longrightarrow P_{D'^*} d'où (2.42)\qquad \Pi_1 V^*_{D',Y}\longrightarrow \Pi_1 P_{D'^*} . Pour avoir un morphisme de groupoïdes défini de façon plus « canonique », et

p. 73 de l'auteur. sans hyp. superflues, je vais plutôt (comme dans Mon p. 779 ff) définir une flèche en sens inverse (2.43)\qquad \Pi_1^{\text{\uncertain{arcs}}} P_{D'^*}\longrightarrow \Pi_1^{\text{rev}} V^*_{D',Y}\ ) où le premier \Pi_1 est défini par pts et arcs, et le deuxième (on n'a pas le choix!) est défini en termes de rev. 1-connexes. Il faudrait des généralisations — adaptées les considérations de loc. cit. [je ne vais pas entrer dans le détail ici — d'autant moins que je ne vois pas ~~clairement~~ à présent dans quelle mesure la th. analogue est indispensable — s'il n'est pas tout aussi bien commode de travailler avec les \Pi_1 V^*_{D',Y} — tirés des \Pi_1 P_{D'^*} — en modifiant dans ce sens les définitions des \widetilde\Pi_{d_0,d_1,\dots,d_r} ; Bien entendu, on aura besoin par la suite que \widetilde\Pi_{d_0,\dots,d_r}\to\Pi_{d_0,\dots,d_r} ait une structure d'extension, de noyau un quotient de T_{d_0,\dots,d_r} etc., « Mon » abrège sans doute les notes sur la monodromie citées p. 144 (§ 53) ; le renvoi est à la p. 779 de cette série.

le premier paragraphe est barré en entier de traits obliques ; il se lit néanmoins. ~~Indépendamment du fait~~ ~~de sans hyp. spécifique « crois. normaux »~~ ~~— on veut que V^*_{D_1,D_0=X} puisse s'interpréter comme V_{\Theta^{(1)},X}\setminus\Theta^{(1)} — il donne la « structure à l'infini ».~~

Reprenons la situation du début d'un pt de vue topologique (sans nous focaliser sur les \Pi_1). Le diviseur \Theta à croisements normaux définit une filtration décroissante dans la multiplicité topologique X (2.44)\qquad \Theta^{(0)}=X\supset\Theta^{(1)}=\Theta\supset\Theta^{(2)}\supset\Theta^{(3)}\supset\cdots On peut définir D_d=\widetilde{\Theta^{(d)}}\quad\text{« normalisé topologique » de }\Theta^{(d)}, dans un sens à préciser —-, mais cette définition dépend justement d'hyp « crois. normaux » et relativement délicates. Par contre, la fin de la page, de « D^*_d= » à (2.45), est barrée de traits obliques. \text{\struck{$D^*_d=\Theta^{(d)}\setminus\Theta^{(d\pm1)}$}} ~~se définit sans telles hyp…, ainsi que~~ (2.45)\qquad \text{\struck{$V_{D^*_d}$ et $V^*_{D^*_d}\hookrightarrow V_{D^*_d}$}} l'exposant du second \Theta se lit mal : (d+1) ou (d-1) ; on écrit d\pm1 faute de mieux.

p. 74 de l'auteur. Le numéro (2.45) reprend celui de la formule barrée de la page précédente. Considérons le système ½ simplicial des (2.45)\qquad \begin{array}{ccl} & & V^*_{d_0\cdots d_r}\overset{\text{déf}}{=}V^*_{D_{d_0\cdots d_r},X}\qquad\text{où }X=D_0\\ & & \ \big\downarrow\\ D_{d_0,\dots,d_r} & \to & V_{d_0\cdots d_r}=V_{D_{d_0\cdots d_r},X} \end{array} où on a d_0\geq d_1\geq\cdots\geq d_r>0 la flèche verticale V^*_{d_0\cdots d_r}\to V_{d_0\cdots d_r} est tracée comme une inclusion.

les V^*_{d_0,\dots,d_r} s'envoient tous ~~dans~~ X^*=D^*_0= X\setminus\Theta dans V^*_0=X^*, ils ~~et sauf via V^*_d\Rightarrow D~~ s'envoient dans V^*_{\Theta,X}.

Th. de recollement. Considérons le ~~fibré en~~ ½ simplicial au-dessus de V^*_{\Theta,X} topos ~~(dont les composantes sont plats)~~ ~~( un~~ analytiques) formé des V^*_{d_0,\dots,d_r} (d_0\geq d_1\cdots\geq d_r>0), ~~Alors on~~ soit V^*_{\bullet}, on a un morphisme de la limite inductive des ces topos dans V^*_{\Theta,X} (=X^{*\infty}=D_0^{*\infty}), et c'est là une équivalence de topos (en fait, c'est une équivalence d'homotopie, et en particulier se traduit en bijection sur les \pi_0, et les \pi_1 relatifs à des rev. qui se correspondent).

Corollaire 1. Fixons un \delta=\{\delta_0>\delta_1\cdots>\delta_s>0\}, considérons D_{\delta_0,\delta_1,\dots,\delta_s}=D_\delta, le diviseur \Theta_\delta sur D_\delta, et V^*_{\Theta_\delta,D_\delta}=D_\delta^{*\infty} (structure à l'infini de D_\delta^{*\infty}). Alors le syst. ½ simplicial des V^*_{D_{d_0,\dots,d_r,\delta_0,\delta_1,\dots,\delta_s}}\qquad(\text{pour }d_0>\cdots>d_r>\delta_0 sous les indices d_0,\dots,d_r, accolade et légende : « de degré simplicial variable » ; la parenthèse ouverte n'est pas refermée. Devant V^*, une lettre biffée . variables) a comme lim topologique la « structure à l'\infty » V^*_{\Theta_\delta,D_\delta}=D^*_\delta.

Lemme : que le th. à D_\delta,\Theta_\delta…

la suite de la page, de « Cor. Main 2 » à la fin, est barrée de grands traits obliques ; elle se lit en partie. ~~Cor. Main 2. Supposons que~~ \text{\struck{$V^*_{\Theta,X}\hookrightarrow X^*$, \quad $V^*_{\Theta,X}\overset{\text{déf}}{=}X^{*\infty}$, \quad $X^*=X\setminus\Theta$}} ~~soit une \Delta-équivalence (i.e. induise une bij. pour les \pi_0, et les \pi_1 des comp. conn. correspondantes) alors~~ \text{\struck{$\varinjlim\big(\widetilde\Pi_{d_0}\ (1\le d_0\le3),\ \widetilde\Pi_{d_0d_1}\ (d_0>d_1\geq$}} la formule s'arrête au bas du feuillet ; devant \varinjlim, un premier membre raturé (X^* ).

p. 75 de l'auteur. Corollaire 2. On a (2.46)\qquad \Pi_1\,\text{\struck{$X$}}^{*\infty}\simeq\varinjlim\big(\widetilde\Pi_1\leftarrow\widetilde\Pi_{2,1}\rightarrow\widetilde\Pi_2\big) sous X^{*\infty}, un signe d'égalité vertical renvoie à V^*_{\Theta,X}. Dans la limite inductive, \widetilde\Pi_{2,1} est écrit au-dessus, ses deux flèches descendant vers \widetilde\Pi_1 et \widetilde\Pi_2.

[En effet, une analyse locale facile (du type « th. de pureté ») montre qu'on peut dans un voisinage négliger \Theta^{(3)}, i.e. que les voisins pour nous un changement si on remplace X par X\setminus\Theta^{(3)}.

écrit en oblique dans la marge gauche, en partie illisible : Il faut expliciter aussi le groupoïde \widetilde\Pi_i (i\geq3) dans \varinjlim de V^*_{\Theta,X} ; p. ex. le groupoïde \widetilde\Pi_3 est \varinjlim de type groupoïde \widetilde\Pi_{321}\to\widetilde\Pi_{3,2}, \widetilde\Pi_{3,1} \varinjlim(\widetilde\Pi_1\leftarrow\widetilde\Pi_{21}\rightarrow\widetilde\Pi_2)

Corollaire 3. Supposons X^{*\infty}\to X^* soit une 1-équivalence, i.e. induise une équivalence pour les \Pi_1. Alors (2.47)\qquad \Pi_1 X\simeq\varinjlim\big(\widetilde\Pi_1\leftarrow\widetilde\Pi_{2,1}\rightarrow\widetilde\Pi_2\big). sous la flèche \widetilde\Pi_{2,1}\to\widetilde\Pi_1, le mot « génération » (génération) souligné.

la suite de la page est barrée de traits obliques. ~~Corollaire 4. Supposons que pour tout d\in\mathbb N, et i\leq d, l'inclusion soit~~ \text{\struck{$D_i^{*\infty}\hookrightarrow$ \ill{}, \quad $D_i^{*\infty}\overset{\text{déf}}{=}V^*_{\Theta_i,D_i}\setminus\Theta_i$}} ~~Considérons une partie non multiplicité D_i d'un D_i qui soit ouverte et fermée, et considérons l'image \Theta'^{(i)}\subset\Theta^{(i)} de D_i, qui est donc une « strate de codim i »,~~

en oblique, marge gauche : dire plutôt \Sigma\subset X (sans exclure \Sigma=X) et demander qu'il ne passe pas exclusivement les qui tel que D_1^{\circ} D_0 Donnons nous une partie fermée \Sigma de \Theta, qui soit localement une réunion ~~de de~~ de composantes irréductibles des \Theta^{(p)} ; une telle partie sera dite \Theta-admissible. Si on désigne, pour tout d\in\mathbb N^*, par D_d^\Sigma\subset D_d ~~l'image inverse de \Sigma dans D_d, par D_d\to\Theta, dans l'hyp.~~ la réunion des composantes ~~irréductibles~~ de D_d qui s'envoient dans \Sigma, dans l'hyp. sur \Sigma : ~~dire que~~ dire que \Sigma est la réunion des (2.48)\qquad D_d^\Sigma\subset D_d sous la formule, légende : « réunion de comp. irréd. de D_d ». donc est connu quand on connaît les D_\cdot^\Sigma. Considérons un d,d' (d>d'\geq0), d'où

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & D_{d,d'} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ D_d \arrow[dr] & & D_{d'} \arrow[dl] \\ & D_0=X & \end{tikzcd}

la flèche D_{d,d'}\to D_d porte une petite mention, lue étale. À gauche du diagramme, un mot raturé . D_{d,d'}^\Sigma\supset\text{l'image inverse de }D_{d'}^\Sigma,\qquad D_{d,d'}^\Sigma=\text{l'image inverse de }D_d^\Sigma les deux membres sont disposés en colonne : « D_{d,d'}^\Sigma\supset l'image inverse de D_{d'}^\Sigma », et sous D_{d,d'}^\Sigma, un signe d'égalité vertical vers « l'image inverse de D_d^\Sigma ».

on voit donc que l'image inverse de D_{d}^{\Sigma} dans D_{d,d'}, , est aussi égale à ~~l'image~~ ~~l'image dans~~ réunion des comp. connexes ~~irréductibles~~ de D_{d,d'} qui s'envoient dans \Sigma, et contient donc (mais n'est pas nécessairement égale) l'image inverse de D_{d'}^\Sigma dans D_{d,d'}. (Cela exprime que si une « branche » critique de codim d' est dans \Sigma, les branches de codim d dedans l'en aussi.)

En bas à gauche, deux droites qui se coupent en un point marqué ; légendes D_{2,1} : (flèche vers deux segments marqués d'un point), D_2 : un point, et une accolade D_1.

~~La donnée de \Sigma~~ d'une partie \Theta-admissible (de \Theta) ~~: donnée~~

p. 76 de l'auteur. Il n'y a pas de formule numérotée (2.49) sur ces feuillets. On ~~désignera donc par D_{d,d'}^\Sigma l'image~~ posera donc (2.50)\qquad D_{d,d'}^\Sigma=\text{image inverse de }D_{d'}^\Sigma\text{ par }D_{d,d'}\to D_{d'} (c'est pas l'image inverse de D_d^\Sigma par D_{d,d'}\to D_d !), de sorte que D_{d,d'}^\Sigma est aussi une réunion de comp. conn. de D_{d,d'}, et on a

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & D_{d,d'}^\Sigma \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ D_d^\Sigma & & D_{d'}^\Sigma \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (2.51).

La donnée d'une partie \Theta-admissible \Sigma de X=D_0 est équivalente à la donnée d'un système de D_d^\Sigma, équivalente : la donnée de parties correspondantes (2.52)\qquad \pi_0(D_d^\Sigma)\overset{\text{déf}}{=}\pi_0(D_d)^\Sigma\subset\pi_0(D_d), satisfaisant la condition de compatibilité (2.51). le numéro est écrit « (2.51) » dans le texte ; devant (2.52), une rature ~~\pi_0~~.

On désignera alors, pour tout drapeau d_\bullet=\{d_0>d_1>\cdots>d_r\geq0\}, par (2.53)\qquad D_{d_0\cdots d_r}^\Sigma=\text{image inverse de }D_{d_r}^\Sigma\text{ dans }D_{d_0,\dots,d_r} et on voit que D_{\Delta_r}^\Sigma=\coprod D_{d_0\cdots d_r}^\Sigma forment un système ½ simplicial de multiplicités analytiques, ~~tel que~~ (qui correspond d'ailleurs à une sous-catégorie \mathcal D_\bullet^\Sigma de la l'ajout D_{\Delta_r}^\Sigma=\coprod_{\ill{}}D^\Sigma_{d_0\cdots d_r} est écrit au-dessus de la ligne, l'indice de \coprod illisible. La phrase continue au feuillet suivant.

« catégorie analytique » envisagée au début de ces réflexions (p. 76 ff) — c'est en fait une sous-catégorie pleine « stricte » (stricte signifiant que si un objet y est, les objets qui s'envoient dedans y sont — c'est donc un crible, en une terminologie vague ?), dont la donnée équivaut à celle de \Sigma…)

Ceci posé, le « th. de recollement » précédent se généralise en

Th. de recollement (2ème version). Les \coprod V^{\Sigma\,*}_{D_{d_0\cdots d_r}}=V^{\Sigma\,*}_{\Delta_r} forment un syst. ½ simplicial de topos (de germes de multiplicités analytiques), dont la \varinjlim est équivalente canoniquement à V^*_{\Sigma,X}. le chiffre des dizaines du renvoi se lit mal (76 ou 16) ; la p. 76 de l'auteur est la page 153 de ce lot.

12. Digression sur les déploiements des diviseurs à croisements normaux (suite)

p. 77 de l'auteur. Le titre est le sien ; il porte encore, biffé, ~~perspectives canoniques associés à la stratification,~~ et se termine par « leur dissipation en type élémentaire ».

Même dans le cas, relativement ordinaire, où X=D_0 est une courbe entière alg. lisse ( compacte p. ex.), et où \Theta se réduit : un diviseur lisse, le genre de formalisme développé dans la section précédente est remarquable. En fait, le « th. de recollement » est dans un pur tautologique, revenant ~~voisinage~~ essentiellement à dire que le voisinage tubulaire de \Theta dans X, privé de \Theta, est la somme des ~~voisinages~~ disques épointés correspondant aux pts de \Theta ! Il y a cependant un intérêt bien intéressant, qui donne une interprétation \Pi_1(X) (et aussi \Pi_1(X\setminus\Theta)) comme somme amalgamée de

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Pi_1(V^*_{\Theta,X}) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \Pi_1 X^* & & \Pi_1 V_{\Theta,X} \end{tikzcd}

sous \Pi_1 V_{\Theta,X}, accolade et légende : « groupoïde discret défini par \Theta comme ens. de sommets ». Dans \Pi_1(X\setminus\Theta), il avait d'abord écrit X^* puis surchargé.

i.e. de (2.54)\qquad \widetilde\Pi_0\longleftarrow\widetilde\Pi_{1,0}\longrightarrow\text{\struck{$\Pi_{1,0}$ \ill{}}} la flèche de droite aboutit à un terme surchargé et biffé ; le diagramme continue au feuillet suivant.

les trois premières lignes sont barrées de traits obliques. ~~où la flèche de droite n'a pas encore reçu droit de cité, dans le formalisme développé jusqu'à présent, des~~ ~~On voit en fait qu'il faut considérer~~,

En fait, dans le cas général, si (2.55)\qquad \Sigma\subset\Sigma'\ \text{\struck{\ill{}}} sont des inclusions de parties admissibles de X, on veut pouvoir exprimer \Pi_1\Sigma, \Pi_1(\Sigma'\setminus\Sigma) , \Pi_1V^*_{\Sigma,X}, et ~~\Pi_1 ( généralisation commune)~~ plus généralement \Pi_1V^*_{\Sigma'\setminus\Sigma,X^*} en termes des \widetilde\Pi_{\Delta_r} et des \Pi_{\Delta_r} (et ainsi introduire les éléments de structure qui manquent). dans V^*_{\Sigma,X} et V^*_{\Sigma'\setminus\Sigma,X^*}, le X est surchargé ; l'astérisque final se lit mal.

Plus généralement, considérons (2.56)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\ \Sigma'\subset\Sigma''\ \text{et un}\ \Sigma_1\subset\Sigma'' (parties admissibles de X) et considérons V_{\Sigma',\Sigma''}, considérons la trace de \Sigma_1 dessus, qui peut s'écrire V_{\Sigma',\Sigma''}\cap\Sigma_1=V_{\Sigma'\cap\Sigma_1,\Sigma_1}) NB on suppose que \Sigma\subset\Sigma' l'indice de \Sigma_1 est surchargé dans les deux dernières occurrences ; « \Sigma_1 » est la lecture de la ligne (2.56).

le numéro de l'auteur en tête se lit « 75 », comme celui de la page 151 ; on attendrait 78. et considérons (2.57)\qquad V^{\Sigma_1}_{\Sigma',\Sigma''}\overset{\text{déf}}{=}V_{\Sigma',\Sigma''}\setminus V_{\Sigma',\Sigma''}\cap\Sigma l'indice de \Sigma_1 en exposant est surchargé, et le dernier terme porte \Sigma sans indice : sans doute \Sigma_1.

Prenant \Sigma'=\Sigma'', on trouve \Sigma'\setminus\Sigma (donc \Sigma' si \Sigma=\emptyset) ; prenant \Sigma''=X, \Sigma=\Theta, on trouve V^*_{\Sigma',X}. On peut aussi considérer, en plus des données (2.56), un \Sigma'_0\subset\Sigma' et regarder (2.58)\qquad V^{\Sigma\setminus\Sigma\cap\Sigma'_0}_{\Sigma'\setminus\Sigma'_0,\ \Sigma''\setminus\Sigma'_0}, ~~mais~~ qu'on se gardera de confondre avec V^{\Sigma\cup\Sigma_0}_{\Sigma',\Sigma''} P. ex. prenons \Sigma=\emptyset, \Sigma'_0\subset\Sigma'\subset\Sigma''=X, i.e. on a \Sigma'_0\subset\Sigma'\subset X, il ne faut pas confondre V^{\Sigma_0}_{\Sigma',X}\quad\text{et}\quad V_{\Sigma'\setminus\Sigma_0,\ X\setminus\Sigma_0} p. ex. si \Sigma'_0=\Sigma', le premier terme est V^{\Sigma'}_{\Sigma',X} (p. ex. si \Sigma'=\Theta, c'est V^*_{\Theta,X} qui pour un diviseur lisse est équivalent à un fibré en disques épointés sur \Theta) alors que le deuxième terme est le topos vide.

Notons que les topos du type (2.58) se ramènent au type (2.57), en remplaçant X, \Sigma, \Sigma', \Sigma'', \Sigma par X\setminus\Sigma'_0, \Sigma'\setminus\Sigma_0, \Sigma''\setminus\Sigma'_0, \Sigma\setminus\Sigma\cap\Sigma'_0. Pour faire cette réduction, il faut dans notre formalisme savoir expliciter trait vertical double en face des deux lignes suivantes le passage au complémentaire d'une partie admissible \Sigma'_0. Il faudra y revenir plus bas. D'autre part, les V^{\Sigma}_{\Sigma',\Sigma''} se ramènent au cas V^\Sigma_{\Sigma',X} (cas \Sigma''=X), pourvu qu'on sache expliciter le passage de X à un \Sigma'' (bien entendu, on perd l'hyp. lisse des croisements normaux — qui est un tic , — elle ne paraît plus de rôle de puis belle lurette !…) — c'est facile, simplement, par le système des D^{\Sigma''}_{d_0\cdots d_r}.

En fait, au niveau des topos, il

le numéro de l'auteur se lit « 76 », comme celui de la page 153. suffit en principe de savoir exprimer les V_{\Sigma',\Sigma''} et les morphismes de transition entre ceux-ci (2.59)\qquad V_{\Sigma',\Sigma''}\longrightarrow V_{\Sigma'_1,\Sigma''_1}\quad\text{pour}\quad(\Sigma',\Sigma'')\hookrightarrow(\Sigma'_1,\Sigma''_1), (quitte à appliquer ce formalisme, en remplaçant X par X\setminus\Sigma_0^{\ill{}} etc.) — on trouve dès lors V^\Sigma_{\Sigma',\Sigma''} comme un sous-topos ~~résiduel~~ ouvert de V^\Sigma_{\Sigma',\Sigma''} (relatif) : l'image inverse de fermé par V_{\Sigma'\cap\Sigma,\Sigma'}\longrightarrow V_{\Sigma',\Sigma''}. la phrase est elliptique sur la page ; la place de « complémentaire » ou de « fermé » ne se lit pas sûrement. Mais cette « évidence » ne s'explicite pas aisément, au niveau des groupoïdes fondamentaux…

Le fil directeur dans ce petit programme serait celui-ci : on sait expliciter tous les topos qui sont associés à la filtration (comme ceux qu'on vient d'expliciter), et en particulier leurs \Pi_1, en termes des topos V_{d_0,\dots,d_r}\overset{\text{déf}}{=}V_{D^*_{d_0\cdots d_r},D_0} et V^*_{d_0,\dots,d_r}=V^*_{D^*_{d_0\cdots d_r},D_0} la ligne finale est surchargée ; les astérisques de D^* et de V^* sont ajoutés après coup, et la phrase continue au feuillet suivant.

en oblique, marge gauche : suffit pour (Bien entendu la notation ne fait qu'il s'agit de voisinages tubulaires des D^*_{d_0,\dots,d_r}, et non des D_{d_0,\dots,d_r} eux-mêmes !) et des morphismes naturels de ces topos entre eux — quitte à y ajouter (par la même) les topos analogues, obtenus en remplaçant \begin{array}{c}(X,\Theta)\\ \|\ \ \|\\ D_0\ \Theta_0\end{array}\quad\text{par un}\quad(D_{d_*},\Theta_{d_*})\ \text{quelconque} — ce qui conduit donc à envisager, en plus des V_{d_0,\dots,d_r} et V^*_{d_0,\dots,d_r}, les topos analogues relatifs à une inclusion ~~d'_*=\{d'_0,\dots,d'_r~~ d'_*=\{d'_0>\cdots>d'_r\geq0\}\hookrightarrow d_*=\{d_0>\cdots>d_r\geq0\} (2.60)\qquad V_{d'_*,d'_*}\overset{\text{déf}}{=}V_{D^*_{d^*_*},\,D_{d'_*}} sous le second membre, accolade et légende : « attention, on passe au complémentaire à D^*_{d'_*} (mais non à D_{d'_*} !) ». Dans les indices, des astérisques sont surchargés ; on transcrit ce que porte le dernier état. Devant (2.60) à gauche : « item on exprimant V^* aussi ».

qui pour d'_*=d_* se réduit à D^*_{d_*} (2.61)\qquad V_{d_*,d_*}=D^*_{d_*}=D^*_{d_0,\dots,d_r}, item et pour ~~d^*_*=\{d^*_0,\dots,d^*_r=0\} redondant (quand d'_r\geq0)~~ redonnée V_{(d_1,\dots,d_{r-1},0),\,\Theta}=V_{(d_1,\dots,d_{r-1},0)}=V_{(d_1,\dots,d_{r-1})} la dernière ligne est surchargée et serrée en bas du feuillet ; sous « item » on lit V^* correspondant. L'argument se poursuit au-delà de ce lot.