Cote n° 147, pages 141–160

Cote n° 147 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

141p. 70 de l'auteur. La phrase commence au feuillet précédent, hors de ce lot. une définition directe, valable dans un style encore plus topologique, valable chaque fois […] (cf. ci-dessus) — […] une immersion locale de topos. On va désigner par $V_{D',Y}$ le « voisinage tubulaire » défini ⌜en fait⌝ par une immersion top locale topologique. Il a des propriétés de fonctorialité telles, que l'on trouve, dans partant d'une situation de deux d'un couple d'immersions locales $D''\to D'\to Y$, des diagrammes commutatifs \[ (2.35)\qquad \begin{array}{ccccc} D'' & \longrightarrow & D' & & \\ \downarrow & & \downarrow & & \\ V_{D'',Y} & \xrightarrow[\text{imm. loc.}]{} & V_{D',Y} & \xrightarrow[\text{imm. loc.}]{} & Y \end{array} \] les flèches verticales $D''\to V_{D'',Y}$, $D'\to V_{D',Y}$ sont tracées comme des inclusions ; devant le diagramme, un renvoi biffé […].

À gauche du diagramme, un croquis : une bande courbe hachurée transversalement, marquée $V_{D'}$, autour d'une courbe $D'$ ; deux points de $D''$ sur $D'$, entourés chacun d'un petit disque hachuré, désignés par des flèches pointillées comme $V_{D''}$. Un numéro biffé ((2.35)) au-dessus.

Dans Pour l'instant on n'a pas utilisé le diviseur $\Theta$ à croisements normaux dans $Y$ (définissant l'ouvert $Y^*=Y\setminus\Theta$). Nous allons considérer maintenant l'image inverse de $Y^*$ dans $V_{D',Y}$ et $V_{D'',Y}$, soient $V^*_{D',Y}$ et $V^*_{D'',Y}$, s'insérant dans un diagramme

142\[ (2.36)\qquad \begin{array}{ccccc} V^*_{D'',Y} & \longrightarrow & V^*_{D',Y} & \longrightarrow & Y\\ \| & & \| & & \\ V_{D'',Y}\setminus\Theta_{D'',Y} & & V_{D',Y}\setminus\Theta_{D',Y} & & \end{array} \] devant $V^*_{D'',Y}$, un début biffé […]. Sous $\Theta_{D'',Y}$, accolade et légende : « image inverse de $\Theta$ dans $V_{D'',Y}$ ».

NB $V^*_{D'',Y}$ a la structure du complémentaire d'un diviseur à croisements normaux $\Theta''$, dans un voisinage tubulaire de $\Theta''(d_0)^*$ — et analogue pour $V^*_{D',Y}$.

Une bande courbe (le voisinage tubulaire), traversée par une courbe centrale ; en deux points, une branche transverse coupe la courbe, et autour de chaque point quatre quadrants hachurés ; une flèche désigne les branches comme $\Theta_{D',Y}$.

Nous pouvons maintenant définir \[ (2.37)\qquad \Pi_1 V^*_{D'',Y}\longrightarrow \Pi_1 V^*_{D',Y} \] en définissant les groupoïdes fondamentaux non pas par lacets ⌜points et⌝ / classes de chemins, mais par revêtements et isomorphismes entre tels…

C'est essentiellement cela, l'heure de canonisation — nous pouvons le définir chaque fois qu'on a deux des imm. locales $D''\to D'\to Y$

143p. 71 de l'auteur. (de topos simpliciaux, disons…) et un ouvert $Y^*$ de $Y$ [plus généralement un objet du topos en question $Y$, pas besoin que ce soit un ss-objet de l'objet final, qui (dans le cas d'un tel ss-objet, i.e. définissant $Y^*$ comme ouvert du topos en question) à supposer que $D'\to Y$ se factorise par $Y\setminus Y^*$]. Et on a des propriétés de transitivité […] évidentes pour un composé \[ (2.38)\qquad D'''\to D''\to D'\to Y . \]

L'hypothèse « croisements normaux » va nous servir à expliciter les groupoïdes $\Pi_1 V^*_{D',Y}$, $\Pi_1 V^*_{D'',Y}$ en termes plus simples, comme canoniquement équivalents à $\Pi_1 P_{D'^*}$, $\Pi_1 P_{D''^*}$. D[…] il faut encore ⌜(ici)⌝ expliciter la

Théorème. Soient $Y$ un espace analytique, $\Theta$ un diviseur à croisements normaux de $Y$, $D'\to Y$ […] une immersion […] — insertion écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, rattachée à « Théorème » ; on y devine quitte à remplacer … $V_{D',Y}$ … complexe …

144Réduction de plus haut […] ici […] ⌜de codim $d$⌝ (qui se factorise par $\Theta^{(d)}$ (NB il est essentiel pour ce qui va suivre […] que $D'\subset\Theta^{(d)*}$), […] d'où un « voisinage tubulaire » $V_{D',Y}$ $*$ de $D'$ dans $Y$, et par trace de $Y^*=Y\setminus\Theta$ un […] germe d'espace analytique $V^*_{D',Y}$. Alors on a une équivalence de groupoïdes, définie à équivalence isomorphisme unique près \[ (2.39)\qquad \Pi_1 V^*_{D',Y}\xleftarrow{\ \approx\ }\Pi_1 P_{D'^*} \] le parenthésage du début de page est celui du manuscrit ; l'exposant de $\Theta$ est d'abord écrit autrement puis surchargé en $(d)$.

Remarques. Le cas le plus simple est celui où $Y$ est de dim 1, et $d=1$, $D'$ réduit à un pt — le […] pas paraître trivial, néanmoins la question de canonicité de l'équivalence m'a semblé nécessiter une […], et fait l'objet de la longue digression des « notes Monodromie » § 53 n^o 5^o (p. 768' ff). Ici ⌜(cas général)⌝ il devrait être « assez évident » de définir ⌜(au moins conceptuellement)⌝ (un plongement « topologique » ⌜et via $C^\infty$⌝ (non analytique!))

145p. 72 de l'auteur. \[ (2.40)\qquad V_{D',Y}\hookrightarrow \check N_{D',Y} \] sous $\check N_{D',Y}$, accolade et légende : « fibré normal de $D'$ dans $Y$ ».

transformant la […] ⌜dont le composé avec⌝ $Y\to V_{D',Y}$ soit la section nulle, et qui induise l'application identique sur les fib fibrés normaux le long de la section nulle.on lit bien $Y\to V_{D',Y}$ ; le sens demande sans doute $D'\to V_{D',Y}$. Sa construction ⌜devrait⌝ en tout cas dans le cas des vrais espaces analytiques paracompactes — c'est faux par contre dans le cas des multiplicités (Ex : $D'=E^1_{\mathbb C}\subset Y=E^2_{\mathbb C}$, considérons $E^1\subset E^2$, avec l'opération du groupe discret $\mathbb Z$, plus le générateur opérant par la transformation $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, — pour $D'=(E^1;\mathbb Z)$, $Y=(E^2;\mathbb Z)$ — l'fibré extension des fibrés vectoriels différentiables définie par le plongement $D'\subset V_{D',Y}\subset Y$ n'est pas scindable, donc pas celle définie par la section nulle d'un fibré l'est…) Il est assez clair que lorsqu'on dispose d'une telle immersion ⌜au moins pour des espaces analytiques ordinaires⌝ (et sans condition de différentiabilité) celle-ci est une « équivalence d'homotopie », et les coefficients de la matrice sont en partie surchargés ; lecture $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ probable. L'ajout « au moins pour des espaces analytiques ordinaires » est écrit dans la marge gauche, en face de « lorsqu'on ».

146induit donc une équivalence sur les $\Pi_1$. Mais le bât blesse, du fait qu'on n'a pas de canonicité — sans compter la nécessité d'hypothèses ⌜restrictives⌝ gênantes. Pour trouver quelques doutes de canonicité […]

suit un diagramme, biffé par de grandes lignes ondulées : en haut $\Pi_1 P_{D'^*}\xrightarrow{\ \text{\uncertain{can}}\ }\Pi_1^{\text{rev}} V_{D',Y}$, en bas une flèche verticale marquée $\wr$ vers $\Pi_1^{\text{rev}} P_{D'^*}$, et à droite NB $\Pi_1^{\text{\uncertain{rev}}}\approx$ […].

écrit en oblique dans la marge gauche, en partie surchargé : Mais pour définir $V^*_{D^*}\hookrightarrow V^*_{D'}$ […] une équivalence entre les $\Pi_1$ de […] et $P_{D'^*}$, il faut […] rétablir […] les simplifications précédentes […]

[…] d'entrer dans des précisions d'ailleurs en relation avec le diviseur $\Theta$, quand nous prenons le […] ⌜plongement (2.40)⌝ soit tel que l'image inverse de $P^*_{D'^*}$, identifié ⌜($P_{D'}$, lui $=$ ouvert dans $\check N_{D',Y}$)⌝ à un ouvert de $\check N_{D',Y}$, soit justement $V^*_{D',Y}$, de sorte qu'on trouve ⌜bien⌝ […]. \[ \text{\struck{$\Pi_1 V^*_{D',Y}\longrightarrow \Pi_1 P_{D'^*}$}} \] \[ (2.41)\qquad V^*_{D',Y}\longrightarrow P_{D'^*} \] d'où \[ (2.42)\qquad \Pi_1 V^*_{D',Y}\longrightarrow \Pi_1 P_{D'^*} . \] Pour avoir un morphisme de groupoïdes défini de façon plus « canonique », et

147p. 73 de l'auteur. sans hyp. superflues, je vais plutôt (comme dans Mon p. 779 ff) définir une flèche en sens inverse \[ (2.43)\qquad \Pi_1^{\text{\uncertain{arcs}}} P_{D'^*}\longrightarrow \Pi_1^{\text{rev}} V^*_{D',Y}\ ) \] où le premier $\Pi_1$ est défini par pts et arcs, et le deuxième (on n'a pas le choix!) est défini en termes de rev. 1-connexes. Il faudrait des généralisations — adaptées […] les considérations de loc. cit. [je ne vais pas entrer dans le détail ici — d'autant moins que je ne vois pas clairement à présent dans quelle mesure la th. ⌜analogue⌝ est indispensable — s'il n'est pas tout aussi ⌜bien commode⌝ […] de travailler avec les $\Pi_1 V^*_{D',Y}$ — tirés des $\Pi_1 P_{D'^*}$ — en modifiant dans ce sens les définitions des $\widetilde\Pi_{d_0,d_1,\dots,d_r}$ ; Bien entendu, on aura besoin par la suite que $\widetilde\Pi_{d_0,\dots,d_r}\to\Pi_{d_0,\dots,d_r}$ ait une structure d'extension, de noyau un quotient de $T_{d_0,\dots,d_r}$ etc., « Mon » abrège sans doute les notes sur la monodromie citées p. 144 (§ 53) ; le renvoi est à la p. 779 de cette série.

148le premier paragraphe est barré en entier de traits obliques ; il se lit néanmoins. Indépendamment du fait ⌜de sans hyp. spécifique « crois. normaux »⌝ — on veut que $V^*_{D_1,D_0=X}$ puisse s'interpréter comme $V_{\Theta^{(1)},X}\setminus\Theta^{(1)}$ — il donne la « structure à l'infini ».

Reprenons la situation du début d'un pt de vue topologique (sans nous focaliser sur les $\Pi_1$). Le diviseur $\Theta$ à croisements normaux définit une filtration décroissante dans la multiplicité topologique $X$ \[ (2.44)\qquad \Theta^{(0)}=X\supset\Theta^{(1)}=\Theta\supset\Theta^{(2)}\supset\Theta^{(3)}\supset\cdots \] On peut définir \[ D_d=\widetilde{\Theta^{(d)}}\quad\text{« normalisé topologique » de }\Theta^{(d)}, \] dans un sens à préciser —-, […] mais cette définition dépend justement d'hyp « crois. normaux » et relativement délicates. Par contre, […] la fin de la page, de « $D^*_d=$ » à (2.45), est barrée de traits obliques. \[ \text{\struck{$D^*_d=\Theta^{(d)}\setminus\Theta^{(d\pm1)}$}} \] se définit sans telles hyp…, ainsi que \[ (2.45)\qquad \text{\struck{$V_{D^*_d}$ et $V^*_{D^*_d}\hookrightarrow V_{D^*_d}$}} \] l'exposant du second $\Theta$ se lit mal : $(d+1)$ ou $(d-1)$ ; on écrit $d\pm1$ faute de mieux.

149p. 74 de l'auteur. Le numéro (2.45) reprend celui de la formule barrée de la page précédente. Considérons le système ½ simplicial des \[ (2.45)\qquad \begin{array}{ccl} & & V^*_{d_0\cdots d_r}\overset{\text{déf}}{=}V^*_{D_{d_0\cdots d_r},X}\qquad\text{où }X=D_0\\ & & \ \big\downarrow\\ D_{d_0,\dots,d_r} & \to & V_{d_0\cdots d_r}=V_{D_{d_0\cdots d_r},X} \end{array} \] où on a […] $d_0\geq d_1\geq\cdots\geq d_r>0$ la flèche verticale $V^*_{d_0\cdots d_r}\to V_{d_0\cdots d_r}$ est tracée comme une inclusion.

les $V^*_{d_0,\dots,d_r}$ s'envoient tous […] dans $X^*=D^*_0=$ ⌜$X\setminus\Theta$⌝ dans $V^*_0=X^*$, ils et sauf via $V^*_d\Rightarrow D$ s'envoient dans $V^*_{\Theta,X}$.

Th. de recollement. Considérons le fibré en ⌜½ simplicial au-dessus de $V^*_{\Theta,X}$⌝ topos (dont les composantes sont […] plats) ([…] un […] analytiques) formé des $V^*_{d_0,\dots,d_r}$ ($d_0\geq d_1\cdots\geq d_r>0$), Alors on soit $V^*_{\bullet}$, on a un morphisme de la limite inductive des ces topos dans $V^*_{\Theta,X}$ ⌜($=X^{*\infty}=D_0^{*\infty}$)⌝, et c'est là une équivalence de topos (en fait, c'est une équivalence d'homotopie, et en particulier se traduit en bijection sur les $\pi_0$, et les $\pi_1$ relatifs à des rev. […] qui se correspondent).

150Corollaire 1. Fixons un $\delta=\{\delta_0>\delta_1\cdots>\delta_s>0\}$, considérons $D_{\delta_0,\delta_1,\dots,\delta_s}=D_\delta$, le diviseur $\Theta_\delta$ sur $D_\delta$, et $V^*_{\Theta_\delta,D_\delta}=D_\delta^{*\infty}$ (structure à l'infini de $D_\delta^{*\infty}$). Alors le syst. ½ simplicial des \[ V^*_{D_{d_0,\dots,d_r,\delta_0,\delta_1,\dots,\delta_s}}\qquad(\text{pour }d_0>\cdots>d_r>\delta_0 \] sous les indices $d_0,\dots,d_r$, accolade et légende : « de degré simplicial variable » ; la parenthèse ouverte n'est pas refermée. Devant $V^*$, une lettre biffée […]. variables) a comme […] lim topologique la « structure à l'$\infty$ » $V^*_{\Theta_\delta,D_\delta}=D^*_\delta$.

Lemme : […] que le th. à $D_\delta,\Theta_\delta$…

la suite de la page, de « Cor. Main 2 » à la fin, est barrée de grands traits obliques ; elle se lit en partie. Cor. Main 2. Supposons que \[ \text{\struck{$V^*_{\Theta,X}\hookrightarrow X^*$, \quad $V^*_{\Theta,X}\overset{\text{déf}}{=}X^{*\infty}$, \quad $X^*=X\setminus\Theta$}} \] soit une $\Delta$-équivalence (i.e. induise une bij. pour les $\pi_0$, et les $\pi_1$ des comp. conn. correspondantes) alors \[ \text{\struck{$\varinjlim\big(\widetilde\Pi_{d_0}\ (1\le d_0\le3),\ \widetilde\Pi_{d_0d_1}\ (d_0>d_1\geq$}} \] la formule s'arrête au bas du feuillet ; devant $\varinjlim$, un premier membre raturé ($X^*$ […]).

151p. 75 de l'auteur. Corollaire 2. On a \[ (2.46)\qquad \Pi_1\,\text{\struck{$X$}}^{*\infty}\simeq\varinjlim\big(\widetilde\Pi_1\leftarrow\widetilde\Pi_{2,1}\rightarrow\widetilde\Pi_2\big) \] sous $X^{*\infty}$, un signe d'égalité vertical renvoie à $V^*_{\Theta,X}$. Dans la limite inductive, $\widetilde\Pi_{2,1}$ est écrit au-dessus, ses deux flèches descendant vers $\widetilde\Pi_1$ et $\widetilde\Pi_2$.

[En effet, une analyse locale facile (du type « th. de pureté ») montre qu'on peut dans un voisinage négliger $\Theta^{(3)}$, i.e. que les voisins pour nous un changement […] si on remplace $X$ par $X\setminus\Theta^{(3)}$.

écrit en oblique dans la marge gauche, en partie illisible : Il faut expliciter […] […] aussi […] le groupoïde $\widetilde\Pi_i$ ($i\geq3$) dans $\varinjlim$ […] de $V^*_{\Theta,X}$ ; p. ex. […] le groupoïde $\widetilde\Pi_3$ est […] $\varinjlim$ […] […] de type […] […] […] groupoïde $\widetilde\Pi_{321}\to\widetilde\Pi_{3,2}$, $\widetilde\Pi_{3,1}$ […] […] $\varinjlim(\widetilde\Pi_1\leftarrow\widetilde\Pi_{21}\rightarrow\widetilde\Pi_2)$ […]

Corollaire 3. Supposons $X^{*\infty}\to X^*$ soit une 1-équivalence, i.e. induise une équivalence pour les $\Pi_1$. Alors \[ (2.47)\qquad \Pi_1 X\simeq\varinjlim\big(\widetilde\Pi_1\leftarrow\widetilde\Pi_{2,1}\rightarrow\widetilde\Pi_2\big). \] sous la flèche $\widetilde\Pi_{2,1}\to\widetilde\Pi_1$, le mot « génération » (génération) souligné.

la suite de la page est barrée de traits obliques. Corollaire 4. Supposons que pour tout ⌜$d\in\mathbb N$, et⌝ $i\leq d$, l'inclusion soit \[ \text{\struck{$D_i^{*\infty}\hookrightarrow$ \ill{}, \quad $D_i^{*\infty}\overset{\text{déf}}{=}V^*_{\Theta_i,D_i}\setminus\Theta_i$}} \] Considérons une partie non multiplicité ⌜$D_i$⌝ d'un $D_i$ qui soit ouverte et fermée, et considérons l'image $\Theta'^{(i)}\subset\Theta^{(i)}$ de $D_i$, qui est donc une « strate de codim $i$ »,

152en oblique, marge gauche : dire plutôt $\Sigma\subset X$ (sans exclure $\Sigma=X$) et demander qu'il ne passe pas exclusivement les […] qui […] […] tel que $D_1^{\circ}$ […] $D_0$ Donnons nous une partie ⌜fermée⌝ $\Sigma$ de $\Theta$, qui soit localement une réunion de de de composantes irréductibles des $\Theta^{(p)}$ ; une telle partie sera dite $\Theta$-admissible. Si on désigne, pour tout $d\in\mathbb N^*$, par $D_d^\Sigma\subset D_d$ l'image inverse de $\Sigma$ dans $D_d$, par $D_d\to\Theta$, dans l'hyp. […] ⌜la réunion des⌝ ⌜composantes⌝ irréductibles de $D_d$ qui s'envoient dans $\Sigma$, dans l'hyp. sur $\Sigma$ ⌜[…]⌝ […] : dire que dire que $\Sigma$ est la réunion des \[ (2.48)\qquad D_d^\Sigma\subset D_d \] sous la formule, légende : « réunion de comp. irréd. de $D_d$ ». donc est connu quand on connaît les $D_\cdot^\Sigma$. Considérons un $d,d'$ ($d>d'\geq0$), d'où

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & D_{d,d'} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
D_d \arrow[dr] & & D_{d'} \arrow[dl] \\
 & D_0=X &
\end{tikzcd}

la flèche $D_{d,d'}\to D_d$ porte une petite mention, lue étale. À gauche du diagramme, un mot raturé […]. \[ D_{d,d'}^\Sigma\supset\text{l'image inverse de }D_{d'}^\Sigma,\qquad D_{d,d'}^\Sigma=\text{l'image inverse de }D_d^\Sigma \] les deux membres sont disposés en colonne : « $D_{d,d'}^\Sigma\supset$ l'image inverse de $D_{d'}^\Sigma$ », et sous $D_{d,d'}^\Sigma$, un signe d'égalité vertical vers « l'image inverse de $D_d^\Sigma$ ».

on voit donc que l'image inverse de $D_{d}^{\Sigma}$ dans $D_{d,d'}$, […], est aussi égale à l'image l'image dans réunion des comp. ⌜connexes⌝ irréductibles de $D_{d,d'}$ qui s'envoient dans $\Sigma$, et contient donc (mais n'est pas nécessairement égale) l'image inverse de $D_{d'}^\Sigma$ dans $D_{d,d'}$. (Cela exprime que si une « branche » critique de codim $d'$ est dans $\Sigma$, les branches de codim $d$ […] dedans l'en aussi.)

En bas à gauche, deux droites qui se coupent en un point marqué ; légendes $D_{2,1}$ : (flèche vers deux segments marqués d'un point), $D_2$ : un point, et une accolade $D_1$.

La donnée de $\Sigma$ ⌜d'une partie $\Theta$-admissible⌝ ⌜(de $\Theta$)⌝ […] : […] donnée […]

153p. 76 de l'auteur. Il n'y a pas de formule numérotée (2.49) sur ces feuillets. On désignera donc par $D_{d,d'}^\Sigma$ l'image ⌜posera donc⌝ \[ (2.50)\qquad D_{d,d'}^\Sigma=\text{image inverse de }D_{d'}^\Sigma\text{ par }D_{d,d'}\to D_{d'} \] (c'est pas l'image inverse de $D_d^\Sigma$ par $D_{d,d'}\to D_d$ !), de sorte que $D_{d,d'}^\Sigma$ est aussi une réunion de comp. conn. de $D_{d,d'}$, et on a

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & D_{d,d'}^\Sigma \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
D_d^\Sigma & & D_{d'}^\Sigma
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (2.51).

La donnée d'une partie $\Theta$-admissible $\Sigma$ de $X=D_0$ est équivalente à la donnée d'un système de $D_d^\Sigma$, équivalente : la donnée de parties correspondantes \[ (2.52)\qquad \pi_0(D_d^\Sigma)\overset{\text{déf}}{=}\pi_0(D_d)^\Sigma\subset\pi_0(D_d), \] satisfaisant la condition de compatibilité (2.51). le numéro est écrit « (2.51) » dans le texte ; devant (2.52), une rature $\pi_0$.

On désignera alors, pour tout drapeau $d_\bullet=\{d_0>d_1>\cdots>d_r\geq0\}$, par \[ (2.53)\qquad D_{d_0\cdots d_r}^\Sigma=\text{image inverse de }D_{d_r}^\Sigma\text{ dans }D_{d_0,\dots,d_r} \] et on voit que ⌜$D_{\Delta_r}^\Sigma=\coprod D_{d_0\cdots d_r}^\Sigma$⌝ forment un système ½ simplicial de multiplicités analytiques, tel que (qui correspond d'ailleurs à une sous-catégorie $\mathcal D_\bullet^\Sigma$ de la l'ajout $D_{\Delta_r}^\Sigma=\coprod_{\ill{}}D^\Sigma_{d_0\cdots d_r}$ est écrit au-dessus de la ligne, l'indice de $\coprod$ illisible. La phrase continue au feuillet suivant.

154« catégorie analytique » envisagée au début de ces réflexions (p. 76 ff) — c'est en fait une sous-catégorie pleine « stricte » (stricte signifiant que si un objet $y$ est, les objets qui s'envoient dedans y sont — c'est donc un crible, en une terminologie vague ?), dont la donnée équivaut à celle de […] $\Sigma$…)

Ceci posé, le « th. de recollement » précédent se généralise en

Th. de recollement (2^ème version). Les $\coprod V^{\Sigma\,*}_{D_{d_0\cdots d_r}}=V^{\Sigma\,*}_{\Delta_r}$ forment un syst. ½ simplicial de topos (de germes de multiplicités analytiques), dont la $\varinjlim$ est équivalente canoniquement à $V^*_{\Sigma,X}$. le chiffre des dizaines du renvoi se lit mal (76 ou 16) ; la p. 76 de l'auteur est la page 153 de ce lot.

12. Digression sur les déploiements des diviseurs à croisements normaux (suite)

155p. 77 de l'auteur. Le titre est le sien ; il porte encore, biffé, […] perspectives canoniques associés à la stratification, […] […] […] et se termine par « leur dissipation en type élémentaire ».

[…] Même dans le cas, relativement ordinaire, où $X=D_0$ est une courbe ⌜entière⌝ alg. lisse ([…] compacte p. ex.), et où $\Theta$ se réduit : un diviseur lisse, le genre de formalisme développé dans la section précédente est remarquable. En fait, le « th. de recollement » est dans un pur tautologique, […] ⌜revenant⌝ voisinage ⌜essentiellement⌝ à dire que le voisinage tubulaire de $\Theta$ dans $X$, privé de $\Theta$, est la somme des voisinages disques épointés correspondant aux pts de $\Theta$ ! Il y a cependant un intérêt bien intéressant, qui donne une interprétation […] $\Pi_1(X)$ (et aussi $\Pi_1(X\setminus\Theta)$) comme somme amalgamée de

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Pi_1(V^*_{\Theta,X}) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\Pi_1 X^* & & \Pi_1 V_{\Theta,X}
\end{tikzcd}

sous $\Pi_1 V_{\Theta,X}$, accolade et légende : « groupoïde discret défini par $\Theta$ comme ens. de sommets ». Dans $\Pi_1(X\setminus\Theta)$, il avait d'abord écrit $X^*$ puis surchargé.

i.e. de \[ (2.54)\qquad \widetilde\Pi_0\longleftarrow\widetilde\Pi_{1,0}\longrightarrow\text{\struck{$\Pi_{1,0}$ \ill{}}} \] la flèche de droite aboutit à un terme surchargé et biffé ; le diagramme continue au feuillet suivant.

156les trois premières lignes sont barrées de traits obliques. où la flèche de droite n'a pas encore reçu droit de cité, dans le formalisme développé jusqu'à présent, des […] On voit en fait qu'il faut considérer,

En fait, dans le cas général, si \[ (2.55)\qquad \Sigma\subset\Sigma'\ \text{\struck{\ill{}}} \] sont des inclusions de parties admissibles de $X$, on veut pouvoir exprimer $\Pi_1\Sigma$, $\Pi_1(\Sigma'\setminus\Sigma)$ […], $\Pi_1V^*_{\Sigma,X}$, et $\Pi_1$ ([…] généralisation commune) ⌜plus généralement⌝ […] $\Pi_1V^*_{\Sigma'\setminus\Sigma,X^*}$ en termes des $\widetilde\Pi_{\Delta_r}$ et des $\Pi_{\Delta_r}$ (et ainsi introduire les éléments de structure qui manquent). dans $V^*_{\Sigma,X}$ et $V^*_{\Sigma'\setminus\Sigma,X^*}$, le $X$ est surchargé ; l'astérisque final se lit mal.

Plus généralement, considérons \[ (2.56)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\ \Sigma'\subset\Sigma''\ \text{et un}\ \Sigma_1\subset\Sigma'' \] (parties admissibles de $X$) et considérons $V_{\Sigma',\Sigma''}$, considérons la trace de $\Sigma_1$ dessus, qui peut s'écrire […] \[ V_{\Sigma',\Sigma''}\cap\Sigma_1=V_{\Sigma'\cap\Sigma_1,\Sigma_1}) \] NB on suppose […] que $\Sigma\subset\Sigma'$ l'indice de $\Sigma_1$ est surchargé dans les deux dernières occurrences ; « $\Sigma_1$ » est la lecture de la ligne (2.56).

157le numéro de l'auteur en tête se lit « 75 », comme celui de la page 151 ; on attendrait 78. et considérons \[ (2.57)\qquad V^{\Sigma_1}_{\Sigma',\Sigma''}\overset{\text{déf}}{=}V_{\Sigma',\Sigma''}\setminus V_{\Sigma',\Sigma''}\cap\Sigma \] l'indice de $\Sigma_1$ en exposant est surchargé, et le dernier terme porte $\Sigma$ sans indice : sans doute $\Sigma_1$.

Prenant […] $\Sigma'=\Sigma''$, on trouve $\Sigma'\setminus\Sigma$ (donc $\Sigma'$ si $\Sigma=\emptyset$) ; prenant $\Sigma''=X$, $\Sigma=\Theta$, on trouve $V^*_{\Sigma',X}$. On peut aussi considérer, en plus des données (2.56), un \[ \Sigma'_0\subset\Sigma' \] et regarder \[ (2.58)\qquad V^{\Sigma\setminus\Sigma\cap\Sigma'_0}_{\Sigma'\setminus\Sigma'_0,\ \Sigma''\setminus\Sigma'_0}, \] mais qu'on se gardera de confondre avec \[ V^{\Sigma\cup\Sigma_0}_{\Sigma',\Sigma''} \] P. ex. prenons $\Sigma=\emptyset$, $\Sigma'_0\subset\Sigma'\subset\Sigma''=X$, i.e. on a $\Sigma'_0\subset\Sigma'\subset X$, il ne faut pas confondre \[ V^{\Sigma_0}_{\Sigma',X}\quad\text{et}\quad V_{\Sigma'\setminus\Sigma_0,\ X\setminus\Sigma_0} \] p. ex. si $\Sigma'_0=\Sigma'$, le premier terme est $V^{\Sigma'}_{\Sigma',X}$ (p. ex. si $\Sigma'=\Theta$, c'est $V^*_{\Theta,X}$ […] qui pour un diviseur lisse est […] ⌜équivalent⌝ à un fibré en disques épointés sur $\Theta$) alors que le deuxième terme est le topos vide.

158Notons que les topos du type (2.58) se ramènent au type (2.57), en remplaçant $X$, […] $\Sigma$, $\Sigma'$, $\Sigma''$, $\Sigma$ par […] $X\setminus\Sigma'_0$, $\Sigma'\setminus\Sigma_0$, $\Sigma''\setminus\Sigma'_0$, $\Sigma\setminus\Sigma\cap\Sigma'_0$. Pour faire cette réduction, il faut dans notre formalisme savoir expliciter trait vertical double en face des deux lignes suivantes le passage au complémentaire d'une partie admissible $\Sigma'_0$. Il faudra y revenir plus bas. D'autre part, les $V^{\Sigma}_{\Sigma',\Sigma''}$ se ramènent au cas $V^\Sigma_{\Sigma',X}$ (cas $\Sigma''=X$), pourvu qu'on sache expliciter le passage de $X$ à un $\Sigma''$ (bien entendu, on perd l'hyp. lisse des croisements normaux — qui est un tic […], — elle ne paraît plus de rôle de puis belle lurette !…) — c'est facile, simplement, par le système des $D^{\Sigma''}_{d_0\cdots d_r}$. […]

En fait, au niveau des topos, il

159le numéro de l'auteur se lit « 76 », comme celui de la page 153. suffit ⌜en principe⌝ de savoir exprimer les $V_{\Sigma',\Sigma''}$ et les morphismes de transition entre ceux-ci \[ (2.59)\qquad V_{\Sigma',\Sigma''}\longrightarrow V_{\Sigma'_1,\Sigma''_1}\quad\text{pour}\quad(\Sigma',\Sigma'')\hookrightarrow(\Sigma'_1,\Sigma''_1), \] (quitte à appliquer ce formalisme, en remplaçant $X$ par $X\setminus\Sigma_0^{\ill{}}$ etc.) — on trouve dès lors $V^\Sigma_{\Sigma',\Sigma''}$ comme un sous-topos résiduel ⌜ouvert de $V^\Sigma_{\Sigma',\Sigma''}$⌝ (relatif) : l'image inverse de […] fermé par $V_{\Sigma'\cap\Sigma,\Sigma'}\longrightarrow V_{\Sigma',\Sigma''}$. la phrase est elliptique sur la page ; la place de « complémentaire » ou de « fermé » ne se lit pas sûrement. Mais cette « évidence » ne s'explicite pas aisément, au niveau des groupoïdes fondamentaux…

Le fil directeur dans ce petit programme serait celui-ci : on sait expliciter tous les topos qui sont associés à la filtration (comme ceux qu'on vient d'expliciter), et en particulier leurs $\Pi_1$, en termes […] des topos $V_{d_0,\dots,d_r}\overset{\text{déf}}{=}V_{D^*_{d_0\cdots d_r},D_0}$ et $V^*_{d_0,\dots,d_r}=V^*_{D^*_{d_0\cdots d_r},D_0}$ la ligne finale est surchargée ; les astérisques de $D^*$ et de $V^*$ sont ajoutés après coup, et la phrase continue au feuillet suivant.

160en oblique, marge gauche : […] suffit […] pour […] (Bien entendu la notation ne fait qu'il s'agit de voisinages tubulaires des $D^*_{d_0,\dots,d_r}$, et non des $D_{d_0,\dots,d_r}$ eux-mêmes !) et des morphismes naturels de ces topos entre eux — quitte à y ajouter (par la même) les topos analogues, obtenus en remplaçant \[ \begin{array}{c}(X,\Theta)\\ \|\ \ \|\\ D_0\ \Theta_0\end{array}\quad\text{par un}\quad(D_{d_*},\Theta_{d_*})\ \text{quelconque} \] — ce qui conduit donc à envisager, en plus des $V_{d_0,\dots,d_r}$ et $V^*_{d_0,\dots,d_r}$, les topos analogues relatifs à une inclusion $d'_*=\{d'_0,\dots,d'_r$ \[ d'_*=\{d'_0>\cdots>d'_r\geq0\}\hookrightarrow d_*=\{d_0>\cdots>d_r\geq0\} \] \[ (2.60)\qquad V_{d'_*,d'_*}\overset{\text{déf}}{=}V_{D^*_{d^*_*},\,D_{d'_*}} \] sous le second membre, accolade et légende : « attention, on passe au complémentaire à $D^*_{d'_*}$ (mais non à $D_{d'_*}$ !) ». Dans les indices, des astérisques sont surchargés ; on transcrit ce que porte le dernier état. Devant (2.60) à gauche : « item on exprimant $V^*$ aussi ».

qui pour $d'_*=d_*$ se réduit à $D^*_{d_*}$ \[ (2.61)\qquad V_{d_*,d_*}=D^*_{d_*}=D^*_{d_0,\dots,d_r}, \] item […] et pour $d^*_*=\{d^*_0,\dots,d^*_r=0\}$ redondant (quand $d'_r\geq0$) ⌜redonnée⌝ \[ V_{(d_1,\dots,d_{r-1},0),\,\Theta}=V_{(d_1,\dots,d_{r-1},0)}=V_{(d_1,\dots,d_{r-1})} \] la dernière ligne est surchargée et serrée en bas du feuillet ; sous « item » on lit $V^*$ correspondant. L'argument se poursuit au-delà de ce lot.