Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 121–140

p. 60 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une construction commencée avant le lot : D_d, D^{!}_d, T_d, \mathfrak{S}_d sont introduits plus haut. On désigne par T^{!}_d l'image inverse de T_d sur D^{!}_d, sur laquelle \mathfrak{S}_d opère donc (c'est un syst. local sur (D^{!}_d, \mathfrak{S}_d) \simeq D_d). Or sur D^{!}_d on a les d morphismes (185) \qquad s_i : D^{!}_d \longrightarrow D_1 \qquad (1 \leqslant i \leqslant d) permutés par \mathfrak{S}_d, et d'autre part, si D_1 \to D_0 est une immersion régulière de codim. 1, on a ~~la sym D_1~~ le faisceau normal par l'immersion (186) \qquad L_1 \ \text{faisceau inversible canonique sur } D_1 et on peut considérer sur D^{!}_d les d faisceaux inv. (187) \qquad L_{d,i} = s_i^{*}(L_1) \qquad 1 \leqslant i \leqslant d . Ils correspondent à des torseurs sous (\mathbb{G}_m)_{D_d} (188) \qquad \underline{L}^{*}_{d,i} = \mathbb{G}_{m,D_d}\text{-torseur sur } D_d \ \text{associé au faisceau inv. } L_{d,i} et on peut considérer (189) \qquad P^{!}_d = \prod_{1 \leqslant i \leqslant d} \underline{L}^{*}_{d,i} \qquad \text{torseur sous } \mathbb{G}_m^{d} . Comme \mathfrak{S}_d opère sur D^{!}_d permutant les s_i donc les \underline{L}_{d,i} entre eux, il opère sur P_d, ~~qui~~ de ~~devient~~ façon compatible avec son opération sur

(190) \qquad G^{!}_d \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{G}_{m,D^{!}_d} \otimes_{\mathbb{Z}} T^{!}_d \simeq \underbrace{\mathbb{G}^{d}_{m,D^{!}_d}} avec opération de \mathfrak{S}_d donnée par permutation des facteurs et par descente on trouve sur D_d un torseur (191) \qquad P_d \ \text{torseur sur } D_d, \text{ de groupe } G_d , et par suite on a aussi (192) \qquad T_d \simeq \text{syst. local des } H_1 \text{ (ou des } \pi_1) \text{ des fibres de } P_d .

On considère le groupoïde fondamental \Pi P_d de P_d, et ~~le groupoïde~~ l'ouvert D^{*}_d est défini comme D_d \setminus{}(images des D_{d',d} \to ~~D_d~~ pour d' > d, cf plus bas), et plus essentiellement par la suite, \Pi\bigl(\underbrace{P_d \mid D^{*}_d}_{\overset{\text{déf}}{=} P^{*}_d}\bigr) = \Pi P^{*}_d . la lettre écrite sous l'accolade ressemble à un T ; le sens demande P^{*}_d.

On va considérer la variance des objets précédents T_d, G_d, P_d, P^{*}_d, T^{!}_d, G^{!}_d, P^{!}_d, \Pi P_d, \Pi P^{*}_d pour d variable. Considérons donc un couple ~~d \geqslant d'~~ d \geqslant d' \geqslant 0

\begin{tikzcd}[column sep=small] & D_{d,d'} \arrow[dl, "\text{rev. ét.}"'] \arrow[dr, "\text{imm. loc.}"] & \\ D_d & & D_{d'} \end{tikzcd}

à gauche, en marge, quelques signes biffés (« d'= »). L'indice du but de gauche, D_d, porte un signe peu lisible.

p. 61 de l'auteur. considérons les images inverses de T_d et T_{d'} sur D_{d,d'}, qu'on va noter (193) \quad \begin{cases} T(d,d')_d = (T_d)_{D_{d,d'}} & \text{syst. local de rang } d \text{ sur } D_{d,d'} \\ T(d,d')_{d'} = (T_{d'})_{D_{d,d'}} & \text{syst. local de rang } d' \text{ sur } D_{d,d'} \end{cases} devant l'accolade, un \mathbb{Z}_{D_{d,d'}} biffé. on a alors un homom. canonique surjectif (dit « tautologique ») (194) \qquad T(d,d')_d \longrightarrow T(d,d')_{d'} qui, par image inverse sur D^{!}_{d,d'} = D^{!}_d \times_{D_d} D_{d'} lire sans doute D_{d,d'} comme dernier facteur ; la virgule manque. (cf diagramme cart.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] (D^{!}_{d'})^{(I_d)}_{D^{!}_d} \simeq D^{!}_{d,d'} \arrow[d] \arrow[rr, dashed] \arrow[dr, "\mathfrak{S}_{d}"] & & D^{!}_{d'} \arrow[dd, "\mathfrak{S}_{d'}"] \\ D^{!}_d \arrow[dr, "\mathfrak{S}_d"'] & D_{d,d'} \arrow[d] \arrow[dr] & \\ & D_d & D_{d'} \end{tikzcd}

diagramme (195) ; le terme en haut à gauche est d'une lecture incertaine, et l'indice de \mathfrak{S} sur la flèche D^{!}_{d,d'} \to D_{d,d'} est douteux (on lit « d^{*} »). s'identifie à l'homom. de projection (196) \qquad \mathbb{Z}^{d} \longrightarrow \mathbb{Z}^{d'} de \mathbb{Z}^{d} sur un produit partiel défini par une partie de cardinal d' de l'ens. I_d en exposant : \mathbb{Z}^{d} \simeq \mathbb{Z}^{I_d}.

On déduit de (194) un morphisme correspondant (qui est épi lisse) (197) \quad \begin{array}{ccc} G(d,d')_d & \longrightarrow & G(d,d')_{d'} \\ \| \text{déf} & & \| \text{déf} \\ G_d \times_{D_d} D_{d,d'} & & G_{d'} \times_{D_{d'}} D_{d,d'} \\ \simeq T(d,d')_d \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_m & & \simeq T(d,d')_{d'} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_m \end{array} et on sait que l'on a un isom. correspondant (198) \quad \begin{array}{ccc} P(d,d')_{d'} & \simeq & \underbrace{P(d,d')_d} \wedge^{G(d,d')_d} G(d,d')_{d'} \\ \| \text{déf} & & \| \text{déf} \\ P_d \times_{D_d} D_{d,d'} & & P_{d'} \times_{D_{d'}} D_{d,d'} \end{array} les deux définitions semblent interverties : on attend P(d,d')_d = P_d \times_{D_d} D_{d,d'} et P(d,d')_{d'} = P_{d'} \times_{D_{d'}} D_{d,d'}. Transcrit tel qu'écrit.

~~Au niveau des groupoïdes fondamentaux, on peut dire que \Pi P(d,d')_{d'}~~ On a des relations de transitivité pour les morphismes précédents, relatives à la donnée d'un triple d \geqslant d' \geqslant d'' en se plaçant sur D(d,d',d''), où on a des ~~objets~~ systèmes locaux (199) \qquad T(d,d',d'')_d,\ T(d,d',d'')_{d'},\ T(d,d',d'')_{d''}, des tores correspondants (200) \qquad G(d,d',d'')_d,\ G(d,d',d'')_{d'},\ G(d,d',d'')_{d''}

p. 62 de l'auteur. et les torseurs sous ceux-ci (201) \qquad P(d,d',d'')_d,\ P(d,d',d'')_{d'},\ P(d,d',d'')_{d''}, en prenant les images inverses des quantités correspondantes sur D_d, D_{d'}, D_{d''} trois symboles surchargés, puis récrits avec les indices d, d', d''. par

\begin{tikzcd}[column sep=small] & D_{d,d',d''} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\ D_d & D_{d'} & D_{d''} \end{tikzcd}

Prenant aussi les images inverses, par

\begin{tikzcd}[column sep=small] & D_{d,d',d''} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\ D_{d,d'} & D_{d',d''} & D_{d,d''} \end{tikzcd}

des morphismes du type (194), (197), (198), on trouve des transitivités

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] T(d,d',d'')_d \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & T(d,d',d'')_{d'} \arrow[r] & T(d,d',d'')_{d''} \\ G(d,d',d'')_d \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & G(d,d',d'')_{d'} \arrow[r] & G(d,d',d'')_{d''} \\ P(d,d',d'')_d \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & P(d,d',d'')_{d'} \arrow[r] & P(d,d',d'')_{d''} \end{tikzcd}

système (202).

Toutes ces relations sont essentiellement tautologiques. En voici une qui ne l'est plus, et qui fait sérieusement appel : ~~toute la force de~~ l'hypothèse « croisements normaux » (dans toute sa force…)

~~On a aussi de définir sur tous~~ ~~D^{*}_{d,d'} = D_{d,d'} \mid D^{*}_d ouvert de D_{d,d'} (complément )~~

On suppose maintenant que la situation envisagée provient d'un diviseur à croisements normaux D sur X = D_0, en dépliant celui-ci. Alors \forall d \in \mathbb{N}, la structure de dépliement induite sur les D_d (en posant D^{\langle d\rangle}_i = D_{d+i,d} —- pour se dispenser de développer au long les choses) a aussi la même propriété — elle provient d'un diviseur à croisements normaux \Theta_d sur D_d, dont le complémentaire est noté D^{*}_d. ~~On note~~ à partir d'ici, toute la fin de la page est barrée de deux longs traits obliques ; le numéro (203) est repris à la page suivante de l'auteur (page 127 du fonds). ~~(203) D^{*}_{d,d'} = D_{d,d'} \mid D^{*}_d~~ ~~ouvert de D_{d,d'} (complémentaire d'un diviseur à croisements normaux \Delta(d,d') sur D_{d,d'}, image inverse de \Delta(d))~~ le symbole lu \Delta pourrait être un \Theta mal formé.

~~On ~~pose alors~~ peut définir des morphismes canoniques de groupoïdes~~ \text{\struck{$(203) \quad \Pi_1 P^{*}_d \xrightarrow{\ r_{d,d'}\ } \Pi_1 P^{*}_{d'}$ \quad pour $d' < d$}} ~~« homom. de spécialisation »~~

p. 63 de l'auteur. Il faut introduire ensuite les espaces analytiques de drapeaux D_{d_0,d_1,\dots,d_r} pour d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r \geqslant 0, leur réunion est notée D_{\Delta_r}, où \Delta_r désigne l'ens. ordonné (203) \qquad \Delta_r = [0,r] \cap \mathbb{N} ou simplexe ordonné type de dim. r. Cette notation D_{\Delta_r} est compatible avec la notation D_I pour I ens. fini ordonné, rajoutant une plus petite élément. Alors D_{\Delta_r} dépend fonctoriellement de façon contravariante de \Delta_r, par les relations croissantes, entre simplexes, donc on a un espace analytique ½-simplicial, qu'on désigne par \mathcal{D}_{*}, donc (204) \qquad \mathcal{D}_r = \text{\struck{$\mathbf{D}$}}\, D_{\Delta_r} = \coprod_{\substack{(d_0,\dots,d_r) \in \mathbb{N}^{r} \\ d_0 > d_1 > \dots > d_r}} D_{d_0,d_1,\dots,d_r} au-dessus du \mathbf{D} biffé, D_{\Delta_r} ajouté. L'inégalité de l'indice est ici stricte, alors qu'elle est large plus haut ; et \mathbb{N}^{r} plutôt que \mathbb{N}^{r+1} : transcrit tel quel. La composante D_{d_*} = D_{d_0,d_1,\dots,d_r} est un revêtement étale fini de D_{d_0}, s'identifie à (205) \qquad D_{d_*} = D^{!}_{d_0} \wedge^{(\mathfrak{S}_{d_0})_{D_{d_0}}} \underbrace{F_{d_*}(\text{\struck{$[1,d_0]$}}\, I_{d_0})} ens. des « drapeaux de type d_* » de l'ens. fini I_{d_0} = [1,d_0] \cap \mathbb{N} dans la note marginale, « drapeaux » est écrit au-dessus d'un mot biffé (). On désigne par D^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} l'image inverse de D^{*}_{d_0}, qui est donc le complémentaire d'un diviseur \Delta_{d_0 \dots d_r} ou \Theta_{d_0\dots d_r} ; la lettre est mal formée. du diviseur \Theta_{d_0} sur D_{d_0}. On peut bien sûr plus simplement

ment définir tout de suite (206) \quad \begin{aligned} \mathcal{D}^{*}_{*} &= \coprod_{d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r \geqslant 0} D^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} \\ &= \text{image inverse de } D^{*}_{*} = \coprod_{d \in \mathbb{N}} D^{*}_d \text{ par le morphisme } o : \mathcal{D}_{*} \to D_{*} \end{aligned} défini par les D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0}, i.e. défini par les morphismes « premier sommet » (\mathcal{D}_r \to D_{*} transposés de \{0\} \to \Delta_r) à droite, un petit schéma : un point 0 envoyé par une flèche sur le sommet 0 d'une chaîne verticale 0 \to 1 \to 2 \to \dots \to r.

Nous allons définir (207) \quad \begin{cases} P_{d_0,d_1,\dots,d_r} = \text{image inverse de } P_{d_0} \text{ sur } D_{d_0} \\ \qquad \text{par } D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0} \\ P^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} = P_{d_0,\dots,d_r} \mid D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \end{cases} G_{d_0}-torseurs c'est-à-dire des torseurs sous les groupes analytiques (tores) (208) \quad \begin{cases} G_{d_0,\dots,d_r} = \text{image inverse de } G_{d_0} \text{ sur } D_{d_0} \text{ par } D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0} \\ G^{*}_{d_0,\dots,d_r} = G_{d_0,\dots,d_r} \mid D^{*}_{d_0,\dots,d_r} . \end{cases} On a donc un diagramme 2-cartésien de groupoïdes

\begin{tikzcd}[column sep=small] \widetilde{\Pi}_{d_0 \dots d_r} \overset{\text{déf}}{=} \Pi_1 P^{*}_{d_0,\dots,d_r} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_1 P^{*}_{d_0} \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{\Pi}_{d_0}\bigr) \arrow[d] \\ \Pi_{d_0 \dots d_r} = \Pi_1 D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \arrow[r] & \Pi D^{*}_{d_0} \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \Pi_{d_0}\bigr) \end{tikzcd}

diagramme (209), marqué « 2-cart. » au centre. L'astérisque de D^{*}_{d_0,\dots,d_r} en bas à gauche est écrit sur un D repassé, celui de D^{*}_{d_0} en bas à droite n'est pas visible.

p. 64 de l'auteur. dès qu'on suppose \pi_2 de D_{d_0} nul … les flèches verticales sont des morphismes d'extensions par des noyaux qui sont des \mathbb{Z}^{d_0} tordus — en fait par les systèmes locaux T_{d_0}, et son image inverse sur D^{*}_{d_0,\dots,d_r} — posons donc (210) \quad \begin{cases} T_{d_0,\dots,d_r} = \text{image inverse de } T_{d_0} \text{ (sur } D_{d_0}\text{)} \text{ par } D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0} \\ \qquad \simeq \text{syst. local des } \pi_1 \text{ (ou des } H_1) \text{ des fibres de } P_{d_0 \dots d_r} \\ T^{*}_{d_0 \dots d_r} = T_{d_0 \dots d_r} \mid D^{*}_{d_0,\dots,d_r} , \end{cases} T_{d_0} : syst. local de rang d_0 (\overset{\text{loc}}{\simeq} \mathbb{Z}^{d_0}) dans l'accolade, entre la première et la dernière ligne, un début de ligne biffé (T^{*}_{d_0,\dots,d_r} =). dès qu'on suppose \pi_2(D^{*}_{d_0,\dots,d_r}) = 0… dès lors que \widetilde{\Pi}_{d_0,\dots,d_r} est une ext. de \Pi_{d_0,\dots,d_r} par T^{*}_{d_0,\dots,d_r}.

On pourra bien sûr \text{\struck{$\Pi_{\Delta_r} = \coprod \Pi_{d_0,\dots,d_r}$}} (211) \quad \begin{cases} G_{\Delta_r} = \coprod\limits_{\substack{(d_0,\dots,d_r) \in \mathbb{N}^{r+1} \\ d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r}} G_{d_0,\dots,d_r} & \text{groupe sur } D_{\Delta_r} \\ P_{\Delta_r} = \coprod P_{d_0,\dots,d_r} & \text{torseur sous } G_{\Delta_r} \\ T_{\Delta_r} = \coprod T_{d_0,\dots,d_r} & \text{système local des } \pi_1 \text{ ou } H_1 \text{ de } G_{\Delta_r} \text{ ou } P_{\Delta_r} \text{ au choix} \end{cases} G^{*}_{\Delta_r}, P^{*}_{\Delta_r}, T^{*}_{\Delta_r} leurs restrictions à D^{*}_{\Delta_r} sous le \coprod de G_{\Delta_r}, une condition biffée (d_r \geqslant \dots \geqslant d_0).

(212) \quad \begin{cases} \Pi_{\Delta_r} = \Pi_1 D^{*}_{\Delta_r} & \text{groupoïde fond. de } D^{*}_{\Delta_r} \\ \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} = \Pi_1 P^{*}_{\Delta_r} & \text{id.\ de } P^{*}_{\Delta_r} \end{cases} donc un morph. (213) \qquad \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} \longrightarrow \Pi_{\Delta_r} qui fait de \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} un groupoïde extension de \Pi_{\Delta_r} par T_{\Delta_r}. Notons « pour mémoire » (214) \quad \begin{cases} \Pi_{\Delta_r} = \coprod\limits_{d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r} \Pi_{d_0,d_1,\dots,d_r} \\ \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} = \coprod\limits_{d_0 \geqslant \dots \geqslant d_r} \widetilde{\Pi}_{d_0,d_1,\dots,d_r} \end{cases} le système local T_{\Delta_r} sur \Pi_{\Delta_r} ~~provient~~ se réduisant aux systèmes locaux T_{d_0 \dots d_r} sur les \Pi_{d_0,\dots,d_r}. dans la marge gauche, en face de (214), un petit trait barré sans texte lisible.

Les \Pi_{\Delta_r} n'ont pas de « dépendance simpliciale » par rapport à \Delta_r, p. ex. on n'a pas de morphisme naturel entre \Pi_{d,d'} = \Pi_1 D^{*}_{d,d'}, et \Pi_{d'} = \Pi_1 D^{*}_{d'}, l'application

p. 65 de l'auteur. contre il y en a entre \Pi_{d,d'} et \Pi_d. Précisons ce point, en considérant un morphisme (215) \qquad \Delta_r \xrightarrow{\ \alpha\ } \Delta_{r'} \qquad \text{tel que } \alpha(0) = 0 « tel que \alpha(0)=0 » doublement souligné. alors D_{\Delta_{r'}} \to D_{\Delta_r} est un morphisme étale fini, donc aussi D^{*}_{\Delta_{r'}} \to D^{*}_{\Delta_r} (induit au-dessus de D^{*}_{\Delta_r}), donc on trouve un diagramme 2-cartésien (qui (~~209~~) se déduit de (209))

\begin{tikzcd} \widetilde{\Pi}_{\Delta_{r'}} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} \arrow[d] \\ \Pi_{\Delta_{r'}} \arrow[r] & \Pi_{\Delta_r} \end{tikzcd}

diagramme (216), marqué « 2-cart. » au centre. Remarquons que les \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} \to \Pi_{\Delta_r}, \Pi_{\Delta_{r'}} \to \Pi_{\Delta_r} et \widetilde{\Pi} \to correspondant \widetilde{\Pi}_d \to \Pi_d, conservent les D^{*!}_d sur D_d note marginale écrite en oblique et en partie raturée, dont seule une partie se lit. où les flèches horizontales induisent sur les \pi_1 des injections : image d'indice fini (au fond, dire que \Pi_{\Delta_{r'}} \to \Pi_{\Delta_r} fait de \Pi_{\Delta_{r'}} un rev. fini de \Pi_{\Delta_r}).

Toutes ces relations sont encore de nature essentiellement formelle et triviale, et n'utilisent dans une certaine mesure que ; l'hypothèse spécifique des croisements normaux, et aussi que la résolution des

D_{\Delta_r} par les D^{*}_{\Delta_r}, pour définir les \Pi_{\Delta_r} et \widetilde{\Pi}_{\Delta_r}, seules, ~~jouent~~ un rôle particulier ici.

Pour d_0 fixé, les systèmes \widetilde{\Pi}_{d_0 d_1 \dots d_r} \longrightarrow \Pi_{d_0 \dots d_r} forment un tour de groupoïdes semi-simpliciaux, mais de nature essentiellement triviale (il faudrait cependant examiner l'occasion de plus près cette mi-distante trivialité — elle s'explicite sans peine en termes de la théorie de Galois des revêtements de D^{*}_{d_0} resp. de P^{*}_{d_0}…).

Nous allons maintenant introduire une structure de nature tout à fait non-formelle, qui va provenir de l'hypothèse des croisements normaux dans son entier, et s'exprimer par le fait que les \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} (NB et non les \Pi_{\Delta_r} !) forment un groupoïde ½-simplicial, pour \Delta_r variable. En d'autres

p. 66 de l'auteur. termes, il faut introduire, pour un morphisme (218) \qquad \Delta_r \xrightarrow{\ \alpha\ } \Delta_{r'} un morphisme correspondant de groupoïdes (219) \qquad \boxed{\ \widetilde{\Pi}_{\Delta_{r'}} \xrightarrow{\ \widetilde{\alpha}^{*}\ } \widetilde{\Pi}_{\Delta_r}\ } la formule est encadrée ; au but on lit \Pi_{\Delta_r} sans tilde visible. qu'on appellera l'homom. de spécialisation associé à \alpha. double trait vertical en marge de ces lignes Lorsque \alpha se factorise canoniquement en un homom. surjectif suivi d'un homom. injectif de simplexes, il est nécessaire d'examiner séparément les deux cas. Mais si \alpha est surjectif on a \alpha(0) = 0 (« homom. de dégénérescence »), ~~l'homom. morphisme~~ dans ce cas dans le cas déjà envisagé — ~~correspondant~~ donc dans ce cas D^{*}_{\Delta_{r'}} \to D^{*}_{\Delta_r} est décomposé en des morphismes D^{*}_{d'_0,\dots,d'_{r'}} \longrightarrow D^{*}_{d_0,\dots,d_r} où (d_0,\dots,d_r) est déduit de (d'_0,\dots,d'_{r'}) en répétant certains de ses éléments — et la flèche (220) en est un iso — dans si \alpha est surjectif On voit que les considérants des \widetilde{\Pi}_{d_0 \dots d_r}, \Pi_{d_0,\dots,d_r} pour d_0,\dots,d_r distincts, par (220), et le stricts de stricts suffisent note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, à peine lisible ; la numérotation saute de (216) à (218), et (220) est cité avant d'être écrit.

de dégénérescence, alors (219) est une bijection, , de nature essentiellement triviale.

On est donc réduit à regarder le cas d'une application injective \alpha (« opération face »), et le seul cas qui pose problème est celui où \alpha(0) \neq 0. Donc si d_{*} = \{d_0 > d_1 > \dots > d_r\}, \qquad \text{et si} (221) \qquad d'_{*} = \{d'_0 > d'_1 > \dots > d'_{r'}\} est contenue dans d_{*}, d'_0 \neq d_0 i.e. d'_0 < d_0, il faut définir l'homom. (222) \qquad \Pi_1 P^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} \longrightarrow \Pi_1 P^{*}_{d'_0,\dots,d'_r} attention, on est dans une situation de spécialisation et on retrouve des distincts de d_{*} et d'_{*} ! On se réduit au cas d_0,d_1,\dots,d_r strictement décroissant (221)… En fait il suffit de « face » correspondant \alpha(0) \neq 0 (222) D_{d_0,d_1,\dots,d_r} \to D_{d_1,\dots,d_r} deux notes marginales, l'une à droite, entourée, l'autre en oblique dans la marge gauche ; lecture très partielle. Notons que l'on a (223) \qquad D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \longrightarrow D_{d'_0,\dots,d'_{r'}} (mais pas un morphisme entre les espaces avec * !), qui est une immersion locale d'espaces analytiques lisses, de codim. d_0 - d'_0, qui est incluse dans le diviseur

p. 67 de l'auteur.

\begin{tikzcd} D_{d_0,\dots,d_r} \arrow[r] \arrow[d] & D_{d'_0 \dots d'_{r'}} \arrow[d] \\ D_{d_0,d'_0} \arrow[r] & D^{!}_{d'_0} \end{tikzcd}

diagramme (224) ; le numéro est écrit sur un autre chiffre. La flèche verticale de droite est un simple trait sans pointe visible ; l'exposant du coin inférieur droit est surchargé (* puis !). où les flèches verticales sont étales, et la 2e flèche horizontale est une immersion locale de codim. d_0 ~~d'_0~~ (225) \qquad d = d_0 - d'_0 la lettre de gauche est surchargée ; le numéro (225) est repris plus bas pour une autre formule. [Dans le typique (auquel on se réduit) où d'_{*} = \{d_1 > \dots > d_r\}, le diagramme (224) est cartésien — plus généralement , il cartésien, si d'_0 = d_1 et c'est trivial.] NB Dans le cas général, D_{d_*} \xrightarrow{\text{fini étale}} D^{*!}_{d_*} \to D_{d_0 d'_0} \to D^{!}_{d'_0} et D^{*!}_{d_*} \to D^{!*}_{d'_*} \xrightarrow{\text{cart}} D^{!}_{d'_0}, avec des flèches pointillées D_{d_*} \to D^{!}_{d'_0} et D_{d_0 d'_0} \to D^{!}_{d'_0} petit diagramme écrit verticalement dans la marge gauche ; les exposants * et ! y sont d'une lecture incertaine, et la description qu'on en donne ici est approximative. Considérons le morphisme induit (225) \qquad D^{*}_{d_{*}} \longrightarrow D_{d'_{*}} (attention, mais non * au départ et D_{d_*} seulement, mais : D_{d'_*} !). Nous munissons D_{d'_*} du diviseur \Theta_{d'_*} image inverse de \Theta_{d_0} sur D_{d_0}. On désigne par \Theta^{(p)}_{d'_*} le « squelette de dim. p » de \Theta^{p}_{d'_*}, et on pose

(226) \qquad \Theta^{d*}_{d'_*} \overset{\text{déf}}{=} \Theta^{d}_{d'_*} \setminus \Theta^{d+1}_{d'_*} les exposants d sont écrits sur d'autres signes (d_* ?). squelette « privé » de codim. d du \Theta_{d'_*} dans D_{d'_*}.

Ceci posé, on sait que 225 induit un ~~morphisme~~ isomorphisme local de D_{d_*} sur \Theta^{d*}_{d'_*}. Plus précisément, ~~\Theta^{d*}_{d'_*} s'identifie à :~~ ~~D_{(d_0,d'_0,\dots,d'_r)} : D_{\tilde{d}'_*}, où~~ (227) \qquad \Theta^{(d)}_{d'_*} \xleftarrow{\ \sim\ } D_{\tilde{d}'_*} \qquad \text{où } \tilde{d}'_* = (d_0, d'_0, \dots, d'_r) le numéro est écrit sur un autre chiffre. et cet isom. induit un isom. (228) \qquad D^{*}_{\tilde{d}'_*} \xrightarrow{\ \sim\ } \Theta^{(d)*}_{d'_*} , d'autre part (223) D_{d_*} \to D_{d'_*} se factorise en (229) \qquad D_{d_*} \longrightarrow D_{\tilde{d}'_*} \simeq \Theta^{(d)*}_{d'_*} \longrightarrow D_{d'_*} l'isomorphisme D_{\tilde{d}'_*} \simeq \Theta^{(d)*}_{d'_*} est écrit verticalement sous le terme du milieu ; l'astérisque de \Theta^{(d)*} y est repassé. donc c'est un morphisme étale fini, suivi ensuite d'un morphisme d'inclusion de \Theta^{(d)}_{d'_*} dans D_{d'_*}. De plus, comme D^{*}_{d_*} est

p. 68 de l'auteur. évidemment l'image inverse de D^{*}_{\tilde{d}'_*}, i.e. aussi l'image inverse de \Theta^{(d)*}_{d'_*}.

~~Considérons un diagramme~~ Simplifions, on est ramené à la situation suivante : X Y espace analytique lisse, muni d'un diviseur \Theta à croisements normaux, D'' et D' deux espaces analytiques (lisses), et (230) \qquad D''^{*} \longrightarrow D' \longrightarrow \text{\struck{$X$}}\ Y l'astérisque de D''^{*} est écrit sur un autre signe, et le Y final remplace un X biffé. des morphismes, qui sont localement des immersions, on suppose D'' de codim. d_0, D' de codim. d_1 dans Y, donc D'' de codim. d = d_1 - d_0 dans D', et que D' \to Y se factorise par \Theta^{(d_1)} (squelette de dim. d_1 de \Theta), d_1 > d_0 \geqslant 0 et D''^{*} \to Y se factorise par \Theta^{(d_0)*} (squelette de codim. d_0 de \Theta). On désigne par D''^{*} et D'^{*} les images inverses de \Theta^{(d_0)*} et \Theta^{(d_1)*} . donc \Theta une obstruction constituée le long de D''^{*}, réunion locale de d_0 branches non singulières de codim. d_0 qui se coupent suivant D''). On considère les « fibrés principaux multinormaux » P_{D''}, P_{D'}, associés aux immersions locales D'' \to Y, D' \to Y, et les groupoïdes d_1 > d_0 \geqslant 0 (cas d_0 = 0 non exclus, trivial) cartésien ; petit diagramme : D''^{*} \to D'^{*} \dashrightarrow D_0 = Y, D''^{*} \xrightarrow{\text{ét.}} D_{d_0,d_1} \to D_{d_1} \to D_0, marqué « cart. » note marginale écrite en oblique dans la marge gauche ; la description du diagramme est approximative.

fondamentaux \Pi_1 P_{D''^{*}}, \Pi_1 P_{D'^{*}}, ~~où D'^{*} est l'image inverse de \Theta^{(d_1)*}~~ note biffée et encadrée au-dessus de la ligne. Ceci posé, on a un morphisme canonique (dit « de spécialisation ») (231) \qquad \boxed{\ \Pi_1 P_{D''^{*}} \xrightarrow{\ r_{D'',D'}\ } \Pi_1 P_{D'^{*}}\ } ~~compatible avec les opérations de~~ ~~principalement~~ On donnera la construction de ce morphisme, et ses principales propriétés formelles, dans la suite. Notons dès à présent que un morphisme trivial, déduit de l'inclusion ~~P_{D'^{*}} = P_{D'} \mid D'^{*} \to P_{D'}~~ P_{D'^{*}} = P_{D'} \mid D'^{*} \hookrightarrow P_{D'} (232) \qquad \Pi_1 P_{D'^{*}} \longrightarrow \Pi_1 P_{D'} donc le composé de (231) et (232) fournit (233) \qquad \Pi_1 P_{D'^{*}} \longrightarrow \Pi_1 P_{D'} , on attend \Pi_1 P_{D''^{*}} comme source du composé ; la page porte D'^{*}, transcrit tel quel. qui, lui, est de nature essentiellement triviale, car on a en effet un morphisme évident P_{D'} \longrightarrow P_{D''} . En fait,

p. 69 de l'auteur. on doit avoir commutativité dans

\begin{tikzcd} \Pi_1 P_{D''^{*}} \arrow[r, "r_{D'',D'}"] \arrow[d, "i_{D''}"'] & \Pi_1 P_{D'^{*}} \arrow[d, "i_{D'}"] \\ \Pi_1 P_{D''} \arrow[r] & \Pi_1 P_{D'} \end{tikzcd}

diagramme (234). On fera la distinction entre la différence entre la flèche composée i_{D'} r_{D'',D'}, de nature triviale, et la flèche r_{D'',D'}, qui ne correspond à aucun morphisme P_{D''^{*}} \to P_{D'^{*}} (NB l'image de D'' dans D' est contenue justement dans D' \setminus D'^{*} !).

Le principe de la construction de (231) est le suivant. Pour une immersion locale d'espaces analytiques lisses telle que D' \to Y (condition : un diviseur \Theta à croisements normaux sur Y, i.e. se factorisant par D' \xrightarrow{\text{ét.}} D \to Y = D_0),avant D, un mot biffé illisible ; l'indice de D est lui aussi biffé et illisible. on introduit (en fait, indépendamment de la donnée de \Theta) la « voisinage tubulaire de D' dans Y », comme un germe d'espace analytique autour de D'

p. ex. si l'image de D' dans Y est figurée par une courbe formant une boucle qui se recoupe en un point double marqué d'un gros point. le voisinage tubulaire dans Y en question sera figuré par la même boucle épaissie en une bande hachurée transversalement, les deux branches de la bande se croisant au point double. et non dans Y par un arc de bande hachurée en forme de U, non recoupé, avec une flèche marquée D' désignant l'âme de la bande. la parenthèse fermante placée au-dessus de la troisième figure ne s'ouvre nulle part sur la page.

Cette construction est possible dans le cadre (p. ex.) des prémulti. (locales) de variétés différentiables, paracompactes, en tant que germe de variété autour de D' (défini : à unique près…). Dans le cadre des multiplicités ~~topologiques~~ diff. (voire topologiques), on peut encore définir un voisinage tubulaire comme un germe de ~~topos,~~ multiplicité diff. abstraite : partie d'une situation d'~~espaces analytiques~~ variétés diff. (ou top.) paracompactes. On peut aussi, il semble-t-il, donner la page, et le lot, s'arrêtent au milieu de la phrase ; l'argument se poursuit au-delà du lot.