Cote n° 147, pages 121–140

Cote n° 147 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

121p. 60 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une construction commencée avant le lot : $D_d$, $D^{!}_d$, $T_d$, $\mathfrak{S}_d$ sont introduits plus haut. On désigne par $T^{!}_d$ l'image inverse de $T_d$ sur $D^{!}_d$, sur laquelle $\mathfrak{S}_d$ opère donc (c'est un […] syst. local sur $(D^{!}_d, \mathfrak{S}_d) \simeq D_d$). Or sur $D^{!}_d$ on a les ⌜$d$⌝ morphismes \[ (185) \qquad s_i : D^{!}_d \longrightarrow D_1 \qquad (1 \leqslant i \leqslant d) \] permutés par $\mathfrak{S}_d$, et d'autre part, si $D_1 \to D_0$ est une immersion régulière ⌜de codim. 1⌝, on a la sym[…] […] $D_1$ […] le faisceau normal par l'immersion \[ (186) \qquad L_1 \ \text{faisceau inversible canonique sur } D_1 \] et on peut considérer sur $D^{!}_d$ les $d$ faisceaux inv. \[ (187) \qquad L_{d,i} = s_i^{*}(L_1) \qquad 1 \leqslant i \leqslant d . \] Ils correspondent à des torseurs sous $(\mathbb{G}_m)_{D_d}$ \[ (188) \qquad \underline{L}^{*}_{d,i} = \mathbb{G}_{m,D_d}\text{-torseur sur } D_d \ \text{associé au faisceau inv. } L_{d,i} \] et on peut considérer \[ (189) \qquad P^{!}_d = \prod_{1 \leqslant i \leqslant d} \underline{L}^{*}_{d,i} \qquad \text{torseur sous } \mathbb{G}_m^{d} . \] Comme $\mathfrak{S}_d$ opère sur $D^{!}_d$ permutant les ⌜$s_i$ donc les⌝ $\underline{L}_{d,i}$ entre eux, il opère sur $P_d$, qui ⌜de⌝ devient façon compatible avec son opération sur

122\[ (190) \qquad G^{!}_d \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{G}_{m,D^{!}_d} \otimes_{\mathbb{Z}} T^{!}_d \simeq \underbrace{\mathbb{G}^{d}_{m,D^{!}_d}} \] avec opération de $\mathfrak{S}_d$ donnée par permutation des facteurs et par descente on trouve sur $D_d$ un torseur \[ (191) \qquad P_d \ \text{torseur sur } D_d, \text{ de groupe } G_d , \] et par suite on a aussi \[ (192) \qquad T_d \simeq \text{syst. local des } H_1 \text{ (ou des } \pi_1) \text{ des fibres de } P_d . \]

On considère le groupoïde fondamental $\Pi P_d$ de $P_d$, et le groupoïde ⌜l'ouvert⌝ $D^{*}_d$ est défini comme $D_d \setminus{}$(images des $D_{d',d} \to$ $D_d$ pour $d' > d$, cf plus bas), et plus essentiellement par la suite, \[ \Pi\bigl(\underbrace{P_d \mid D^{*}_d}_{\overset{\text{déf}}{=} P^{*}_d}\bigr) = \Pi P^{*}_d . \] la lettre écrite sous l'accolade ressemble à un $T$ ; le sens demande $P^{*}_d$.

On va considérer la variance des objets précédents $T_d$, $G_d$, ⌜$P_d$, $P^{*}_d$,⌝ $T^{!}_d$, $G^{!}_d$, $P^{!}_d$, $\Pi P_d$, $\Pi P^{*}_d$ pour $d$ variable. Considérons donc ⌜un couple⌝ $d \geqslant d'$ \[ d \geqslant d' \geqslant 0 \]

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  & D_{d,d'} \arrow[dl, "\text{rev. ét.}"'] \arrow[dr, "\text{imm. loc.}"] & \\
  D_d & & D_{d'}
\end{tikzcd}

à gauche, en marge, quelques signes biffés (« $d'=$ […] »). L'indice du but de gauche, $D_d$, porte un signe peu lisible.

123p. 61 de l'auteur. considérons les images inverses de $T_d$ et $T_{d'}$ sur $D_{d,d'}$, qu'on va noter \[ (193) \quad \begin{cases} T(d,d')_d = (T_d)_{D_{d,d'}} & \text{syst. local de rang } d \text{ sur } D_{d,d'} \\ T(d,d')_{d'} = (T_{d'})_{D_{d,d'}} & \text{syst. local de rang } d' \text{ sur } D_{d,d'} \end{cases} \] devant l'accolade, un $\mathbb{Z}_{D_{d,d'}}$ biffé. on a alors un homom. canonique surjectif (dit « tautologique ») \[ (194) \qquad T(d,d')_d \longrightarrow T(d,d')_{d'} \] qui, par image inverse sur $D^{!}_{d,d'} = D^{!}_d \times_{D_d} D_{d'}$ lire sans doute $D_{d,d'}$ comme dernier facteur ; la virgule manque. (cf diagramme cart.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  (D^{!}_{d'})^{(I_d)}_{D^{!}_d} \simeq D^{!}_{d,d'} \arrow[d] \arrow[rr, dashed] \arrow[dr, "\mathfrak{S}_{d}"] & & D^{!}_{d'} \arrow[dd, "\mathfrak{S}_{d'}"] \\
  D^{!}_d \arrow[dr, "\mathfrak{S}_d"'] & D_{d,d'} \arrow[d] \arrow[dr] & \\
  & D_d & D_{d'}
\end{tikzcd}

diagramme (195) ; le terme en haut à gauche est d'une lecture incertaine, et l'indice de $\mathfrak{S}$ sur la flèche $D^{!}_{d,d'} \to D_{d,d'}$ est douteux (on lit « $d^{*}$ »). s'identifie à l'homom. de projection \[ (196) \qquad \mathbb{Z}^{d} \longrightarrow \mathbb{Z}^{d'} \] de $\mathbb{Z}^{d}$ sur un produit partiel défini par une partie de cardinal $d'$ de l'ens. $I_d$ en exposant : $\mathbb{Z}^{d} \simeq \mathbb{Z}^{I_d}$.

124On déduit de (194) un morphisme correspondant (qui est épi lisse) \[ (197) \quad \begin{array}{ccc} G(d,d')_d & \longrightarrow & G(d,d')_{d'} \\ \| \text{déf} & & \| \text{déf} \\ G_d \times_{D_d} D_{d,d'} & & G_{d'} \times_{D_{d'}} D_{d,d'} \\ \simeq T(d,d')_d \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_m & & \simeq T(d,d')_{d'} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_m \end{array} \] et on sait que l'on a un isom. correspondant \[ (198) \quad \begin{array}{ccc} P(d,d')_{d'} & \simeq & \underbrace{P(d,d')_d} \wedge^{G(d,d')_d} G(d,d')_{d'} \\ \| \text{déf} & & \| \text{déf} \\ P_d \times_{D_d} D_{d,d'} & & P_{d'} \times_{D_{d'}} D_{d,d'} \end{array} \] les deux définitions semblent interverties : on attend $P(d,d')_d = P_d \times_{D_d} D_{d,d'}$ et $P(d,d')_{d'} = P_{d'} \times_{D_{d'}} D_{d,d'}$. Transcrit tel qu'écrit.

Au niveau des groupoïdes fondamentaux, on peut dire que $\Pi P(d,d')_{d'}$ ⌜On a des relations de transitivité pour les morphismes précédents,⌝ relatives […] à la donnée d'un triple \[ d \geqslant d' \geqslant d'' \] en se plaçant sur $D(d,d',d'')$, où on a des objets systèmes locaux \[ (199) \qquad T(d,d',d'')_d,\ T(d,d',d'')_{d'},\ T(d,d',d'')_{d''}, \] des tores correspondants \[ (200) \qquad G(d,d',d'')_d,\ G(d,d',d'')_{d'},\ G(d,d',d'')_{d''} \]

125p. 62 de l'auteur. et les torseurs sous ceux-ci \[ (201) \qquad P(d,d',d'')_d,\ P(d,d',d'')_{d'},\ P(d,d',d'')_{d''}, \] en prenant les images inverses des quantités correspondantes sur $D_d$, $D_{d'}$, $D_{d''}$ trois symboles surchargés, puis récrits avec les indices $d$, $d'$, $d''$. par

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  & D_{d,d',d''} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\
  D_d & D_{d'} & D_{d''}
\end{tikzcd}

Prenant aussi les images inverses, par

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  & D_{d,d',d''} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\
  D_{d,d'} & D_{d',d''} & D_{d,d''}
\end{tikzcd}

des morphismes du type (194), (197), (198), on trouve des transitivités

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  T(d,d',d'')_d \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & T(d,d',d'')_{d'} \arrow[r] & T(d,d',d'')_{d''} \\
  G(d,d',d'')_d \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & G(d,d',d'')_{d'} \arrow[r] & G(d,d',d'')_{d''} \\
  P(d,d',d'')_d \arrow[r] \arrow[rr, bend left=20] & P(d,d',d'')_{d'} \arrow[r] & P(d,d',d'')_{d''}
\end{tikzcd}

système (202).

Toutes ces relations sont essentiellement tautologiques. En voici une qui ne l'est plus, et qui fait sérieusement appel : toute la force de l'hypothèse « croisements normaux » (dans toute sa force…)

126On a aussi de définir sur tous $D^{*}_{d,d'} = D_{d,d'} \mid D^{*}_d$ ouvert de $D_{d,d'}$ (complément […] […])

On suppose maintenant que la situation envisagée provient d'un diviseur à croisements normaux $D$ sur $X = D_0$, en dépliant celui-ci. Alors ⌜$\forall d \in \mathbb{N}$,⌝ la structure ⌜de⌝ dépliement induite sur les $D_d$ (en posant $D^{\langle d\rangle}_i = D_{d+i,d}$ —- pour se dispenser de développer au long les choses) a aussi la même propriété — elle provient d'un diviseur à croisements normaux ⌜$\Theta_d$⌝ sur $D_d$, dont le complémentaire […] est noté $D^{*}_d$. On note à partir d'ici, toute la fin de la page est barrée de deux longs traits obliques ; le numéro (203) est repris à la page suivante de l'auteur (page 127 du fonds). (203) $D^{*}_{d,d'} = D_{d,d'} \mid D^{*}_d$ ouvert de $D_{d,d'}$ (complémentaire d'un diviseur à croisements normaux $\Delta(d,d')$ sur $D_{d,d'}$, image inverse de $\Delta(d)$) le symbole lu $\Delta$ pourrait être un $\Theta$ mal formé.

On pose alors ⌜peut définir des⌝ morphismes canoniques de groupoïdes \[ \text{\struck{$(203) \quad \Pi_1 P^{*}_d \xrightarrow{\ r_{d,d'}\ } \Pi_1 P^{*}_{d'}$ \quad pour $d' < d$}} \] « homom. de spécialisation »

127p. 63 de l'auteur. Il faut introduire ensuite les espaces analytiques de drapeaux $D_{d_0,d_1,\dots,d_r}$ pour $d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r \geqslant 0$, leur réunion est notée $D_{\Delta_r}$, où $\Delta_r$ désigne l'ens. ordonné \[ (203) \qquad \Delta_r = [0,r] \cap \mathbb{N} \] ou simplexe ordonné type de dim. $r$. Cette notation $D_{\Delta_r}$ est compatible avec la notation $D_I$ pour $I$ ens. fini ordonné, rajoutant une plus petite élément. Alors $D_{\Delta_r}$ dépend fonctoriellement de façon contravariante de $\Delta_r$, par les relations croissantes, entre simplexes, donc on a un espace analytique ½-simplicial, qu'on désigne par $\mathcal{D}_{*}$, donc \[ (204) \qquad \mathcal{D}_r = \text{\struck{$\mathbf{D}$}}\, D_{\Delta_r} = \coprod_{\substack{(d_0,\dots,d_r) \in \mathbb{N}^{r} \\ d_0 > d_1 > \dots > d_r}} D_{d_0,d_1,\dots,d_r} \] au-dessus du $\mathbf{D}$ biffé, $D_{\Delta_r}$ ajouté. L'inégalité de l'indice est ici stricte, alors qu'elle est large plus haut ; et $\mathbb{N}^{r}$ plutôt que $\mathbb{N}^{r+1}$ : transcrit tel quel. […] La composante $D_{d_*} = D_{d_0,d_1,\dots,d_r}$ est un revêtement étale fini de $D_{d_0}$, s'identifie à \[ (205) \qquad D_{d_*} = D^{!}_{d_0} \wedge^{(\mathfrak{S}_{d_0})_{D_{d_0}}} \underbrace{F_{d_*}(\text{\struck{$[1,d_0]$}}\, I_{d_0})} \] ens. des « drapeaux de type $d_*$ » de l'ens. fini $I_{d_0} = [1,d_0] \cap \mathbb{N}$ dans la note marginale, « drapeaux » est écrit au-dessus d'un mot biffé ([…]). On désigne par $D^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r}$ l'image inverse de $D^{*}_{d_0}$, qui est donc le complémentaire d'un diviseur $\Delta_{d_0 \dots d_r}$ ou $\Theta_{d_0\dots d_r}$ ; la lettre est mal formée. du diviseur $\Theta_{d_0}$ sur $D_{d_0}$. On peut bien sûr plus simpl[ement]

128ment définir tout de suite \[ (206) \quad \begin{aligned} \mathcal{D}^{*}_{*} &= \coprod_{d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r \geqslant 0} D^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} \\ &= \text{image inverse de } D^{*}_{*} = \coprod_{d \in \mathbb{N}} D^{*}_d \text{ par le morphisme } o : \mathcal{D}_{*} \to D_{*} \end{aligned} \] défini par les $D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0}$, i.e. défini par les ⌜morphismes « premier sommet »⌝ ($\mathcal{D}_r \to D_{*}$ transposés de $\{0\} \to \Delta_r$) à droite, un petit schéma : un point $0$ envoyé par une flèche sur le sommet $0$ d'une chaîne verticale $0 \to 1 \to 2 \to \dots \to r$.

Nous allons définir \[ (207) \quad \begin{cases} P_{d_0,d_1,\dots,d_r} = \text{image inverse de } P_{d_0} \text{ sur } D_{d_0} \\ \qquad \text{par } D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0} \\ P^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} = P_{d_0,\dots,d_r} \mid D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \end{cases} \] $G_{d_0}$-torseurs c'est-à-dire des torseurs sous les groupes analytiques (tores) \[ (208) \quad \begin{cases} G_{d_0,\dots,d_r} = \text{image inverse de } G_{d_0} \text{ sur } D_{d_0} \text{ par } D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0} \\ G^{*}_{d_0,\dots,d_r} = G_{d_0,\dots,d_r} \mid D^{*}_{d_0,\dots,d_r} . \end{cases} \] On a donc un diagramme 2-cartésien de groupoïdes

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  \widetilde{\Pi}_{d_0 \dots d_r} \overset{\text{déf}}{=} \Pi_1 P^{*}_{d_0,\dots,d_r} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_1 P^{*}_{d_0} \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{\Pi}_{d_0}\bigr) \arrow[d] \\
  \Pi_{d_0 \dots d_r} = \Pi_1 D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \arrow[r] & \Pi D^{*}_{d_0} \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \Pi_{d_0}\bigr)
\end{tikzcd}

diagramme (209), marqué « 2-cart. » au centre. L'astérisque de $D^{*}_{d_0,\dots,d_r}$ en bas à gauche est écrit sur un $D$ repassé, celui de $D^{*}_{d_0}$ en bas à droite n'est pas visible.

129p. 64 de l'auteur. dès qu'on suppose $\pi_2$ de $D_{d_0}$ nul […]… […] les flèches verticales sont des morphismes d'extensions par des noyaux qui sont des $\mathbb{Z}^{d_0}$ tordus — en fait par les systèmes locaux $T_{d_0}$, et son image inverse sur $D^{*}_{d_0,\dots,d_r}$ — posons donc \[ (210) \quad \begin{cases} T_{d_0,\dots,d_r} = \text{image inverse de } T_{d_0} \text{ (sur } D_{d_0}\text{)} \text{ par } D_{d_0,\dots,d_r} \to D_{d_0} \\ \qquad \simeq \text{syst. local des } \pi_1 \text{ (ou des } H_1) \text{ des fibres de } P_{d_0 \dots d_r} \\ T^{*}_{d_0 \dots d_r} = T_{d_0 \dots d_r} \mid D^{*}_{d_0,\dots,d_r} , \end{cases} \] $T_{d_0}$ : syst. local de rang $d_0$ ($\overset{\text{loc}}{\simeq} \mathbb{Z}^{d_0}$) dans l'accolade, entre la première et la dernière ligne, un début de ligne biffé ($T^{*}_{d_0,\dots,d_r} =$). dès qu'on suppose $\pi_2(D^{*}_{d_0,\dots,d_r}) = 0$… dès lors que $\widetilde{\Pi}_{d_0,\dots,d_r}$ est une ext. de $\Pi_{d_0,\dots,d_r}$ par $T^{*}_{d_0,\dots,d_r}$.

On pourra bien sûr \[ \text{\struck{$\Pi_{\Delta_r} = \coprod \Pi_{d_0,\dots,d_r}$}} \] \[ (211) \quad \begin{cases} G_{\Delta_r} = \coprod\limits_{\substack{(d_0,\dots,d_r) \in \mathbb{N}^{r+1} \\ d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r}} G_{d_0,\dots,d_r} & \text{groupe sur } D_{\Delta_r} \\ P_{\Delta_r} = \coprod P_{d_0,\dots,d_r} & \text{torseur sous } G_{\Delta_r} \\ T_{\Delta_r} = \coprod T_{d_0,\dots,d_r} & \text{système local des } \pi_1 \text{ ou } H_1 \text{ de } G_{\Delta_r} \text{ ou } P_{\Delta_r} \text{ au choix} \end{cases} \] $G^{*}_{\Delta_r}$, $P^{*}_{\Delta_r}$, $T^{*}_{\Delta_r}$ leurs restrictions à $D^{*}_{\Delta_r}$ sous le $\coprod$ de $G_{\Delta_r}$, une condition biffée ($d_r \geqslant \dots \geqslant d_0$).

130\[ (212) \quad \begin{cases} \Pi_{\Delta_r} = \Pi_1 D^{*}_{\Delta_r} & \text{groupoïde fond. de } D^{*}_{\Delta_r} \\ \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} = \Pi_1 P^{*}_{\Delta_r} & \text{id.\ de } P^{*}_{\Delta_r} \end{cases} \] donc un morph. \[ (213) \qquad \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} \longrightarrow \Pi_{\Delta_r} \] qui fait de $\widetilde{\Pi}_{\Delta_r}$ un groupoïde extension de $\Pi_{\Delta_r}$ par $T_{\Delta_r}$. Notons « pour mémoire » \[ (214) \quad \begin{cases} \Pi_{\Delta_r} = \coprod\limits_{d_0 \geqslant d_1 \geqslant \dots \geqslant d_r} \Pi_{d_0,d_1,\dots,d_r} \\ \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} = \coprod\limits_{d_0 \geqslant \dots \geqslant d_r} \widetilde{\Pi}_{d_0,d_1,\dots,d_r} \end{cases} \] le système local $T_{\Delta_r}$ sur $\Pi_{\Delta_r}$ provient se réduisant aux systèmes locaux $T_{d_0 \dots d_r}$ sur les $\Pi_{d_0,\dots,d_r}$. dans la marge gauche, en face de (214), un petit trait barré sans texte lisible.

Les $\Pi_{\Delta_r}$ n'ont pas de « dépendance simpliciale » par rapport à $\Delta_r$, p. ex. on n'a pas de morphisme naturel entre $\Pi_{d,d'} = \Pi_1 D^{*}_{d,d'}$, et $\Pi_{d'} = \Pi_1 D^{*}_{d'}$, l'application

131p. 65 de l'auteur. contre il y en a entre $\Pi_{d,d'}$ et $\Pi_d$. Précisons ce point, en considérant un morphisme \[ (215) \qquad \Delta_r \xrightarrow{\ \alpha\ } \Delta_{r'} \qquad \text{tel que } \alpha(0) = 0 \] « tel que $\alpha(0)=0$ » doublement souligné. alors $D_{\Delta_{r'}} \to D_{\Delta_r}$ est un morphisme étale fini, donc aussi $D^{*}_{\Delta_{r'}} \to D^{*}_{\Delta_r}$ (induit au-dessus de $D^{*}_{\Delta_r}$), donc on trouve un diagramme 2-cartésien (qui […] ⌜[…]⌝ (209) […] se déduit de (209))

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\begin{tikzcd}
  \widetilde{\Pi}_{\Delta_{r'}} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} \arrow[d] \\
  \Pi_{\Delta_{r'}} \arrow[r] & \Pi_{\Delta_r}
\end{tikzcd}

diagramme (216), marqué « 2-cart. » au centre. Remarquons que les $\widetilde{\Pi}_{\Delta_r} \to \Pi_{\Delta_r}$, $\Pi_{\Delta_{r'}} \to \Pi_{\Delta_r}$ […] et $\widetilde{\Pi} \to$ […] correspondant $\widetilde{\Pi}_d \to \Pi_d$, conservent les […] […] […] $D^{*!}_d$ sur $D_d$ […] note marginale écrite en oblique et en partie raturée, dont seule une partie se lit. où les flèches horizontales induisent ⌜[…]⌝ sur les $\pi_1$ des injections : […] image d'indice fini (au fond, dire que $\Pi_{\Delta_{r'}} \to \Pi_{\Delta_r}$ fait de $\Pi_{\Delta_{r'}}$ un rev. fini de $\Pi_{\Delta_r}$).

Toutes ces relations sont encore de nature essentiellement formelle et triviale, et n'utilisent dans une certaine mesure que ; […] l'hypothèse spécifique des croisements normaux, et aussi que la résolution des

132$D_{\Delta_r}$ par les $D^{*}_{\Delta_r}$, pour définir les $\Pi_{\Delta_r}$ et $\widetilde{\Pi}_{\Delta_r}$, ⌜seules,⌝ jouent un rôle particulier ⌜ici⌝.

Pour $d_0$ fixé, les systèmes \[ \widetilde{\Pi}_{d_0 d_1 \dots d_r} \longrightarrow \Pi_{d_0 \dots d_r} \] forment un tour de groupoïdes semi-simpliciaux, mais de nature essentiellement triviale (il faudrait cependant examiner l'occasion de plus près cette mi-distante trivialité — elle s'explicite sans peine en termes de la théorie de Galois des revêtements de $D^{*}_{d_0}$ resp. de $P^{*}_{d_0}$…).

Nous allons maintenant introduire une structure de nature tout à fait non-formelle, qui va provenir de l'hypothèse des croisements normaux dans son entier, et s'exprimer par le fait que les $\widetilde{\Pi}_{\Delta_r}$ (NB et non les $\Pi_{\Delta_r}$ !) forment un groupoïde ½-simplicial, pour $\Delta_r$ variable. En d'autres

133p. 66 de l'auteur. termes, il faut introduire, […] pour un morphisme \[ (218) \qquad \Delta_r \xrightarrow{\ \alpha\ } \Delta_{r'} \] un morphisme correspondant de groupoïdes \[ (219) \qquad \boxed{\ \widetilde{\Pi}_{\Delta_{r'}} \xrightarrow{\ \widetilde{\alpha}^{*}\ } \widetilde{\Pi}_{\Delta_r}\ } \] la formule est encadrée ; au but on lit $\Pi_{\Delta_r}$ sans tilde visible. qu'on appellera l'homom. de spécialisation associé à $\alpha$. double trait vertical en marge de ces lignes Lorsque $\alpha$ se factorise canoniquement en un homom. surjectif suivi d'un homom. injectif de simplexes, […] il est nécessaire d'examiner séparément les deux cas. Mais si $\alpha$ est surjectif ⌜on a $\alpha(0) = 0$⌝ (« homom. de dégénérescence »), l'homom. morphisme ⌜dans ce cas dans le cas déjà envisagé —⌝ correspondant ⌜donc […]⌝ dans ce cas $D^{*}_{\Delta_{r'}} \to D^{*}_{\Delta_r}$ ⌜est⌝ […] décomposé en des morphismes \[ D^{*}_{d'_0,\dots,d'_{r'}} \longrightarrow D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \] où $(d_0,\dots,d_r)$ est déduit de $(d'_0,\dots,d'_{r'})$ en répétant certains de ses éléments — et la flèche (220) en est un iso — dans si $\alpha$ est surjectif On voit que les considérants des $\widetilde{\Pi}_{d_0 \dots d_r}$, $\Pi_{d_0,\dots,d_r}$ […] pour $d_0,\dots,d_r$ distincts, par (220), et […] le […] stricts de […] stricts […] […] suffisent […] […] note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, à peine lisible ; la numérotation saute de (216) à (218), et (220) est cité avant d'être écrit.

134de dégénérescence, alors (219) est une […] ⌜bijection⌝, […], de nature essentiellement triviale.

On est donc réduit à regarder le cas d'une application injective $\alpha$ (« opération face »), et le seul cas qui pose problème est celui où $\alpha(0) \neq 0$. Donc si \[ d_{*} = \{d_0 > d_1 > \dots > d_r\}, \qquad \text{et si} \] \[ (221) \qquad d'_{*} = \{d'_0 > d'_1 > \dots > d'_{r'}\} \] est […] ⌜contenue dans⌝ $d_{*}$, $d'_0 \neq d_0$ i.e. $d'_0 < d_0$, il faut définir l'homom. \[ (222) \qquad \Pi_1 P^{*}_{d_0,d_1,\dots,d_r} \longrightarrow \Pi_1 P^{*}_{d'_0,\dots,d'_r} \] attention, on est dans une situation de […] spécialisation et on retrouve des […] distincts de $d_{*}$ et $d'_{*}$ ! On se réduit au cas $d_0,d_1,\dots,d_r$ strictement décroissant (221)… En fait […] il suffit de […] […] « face » […] […] correspondant […] $\alpha(0) \neq 0$ (222) $D_{d_0,d_1,\dots,d_r} \to D_{d_1,\dots,d_r}$ deux notes marginales, l'une à droite, entourée, l'autre en oblique dans la marge gauche ; lecture très partielle. Notons que l'on a \[ (223) \qquad D^{*}_{d_0,\dots,d_r} \longrightarrow D_{d'_0,\dots,d'_{r'}} \] (mais pas un morphisme entre les espaces avec $*$ !), qui est une immersion ⌜locale⌝ d'espaces analytiques lisses, de codim. $d_0 - d'_0$, qui ⌜est incluse⌝ […] dans le diviseur

135p. 67 de l'auteur.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_{d_0,\dots,d_r} \arrow[r] \arrow[d] & D_{d'_0 \dots d'_{r'}} \arrow[d] \\
  D_{d_0,d'_0} \arrow[r] & D^{!}_{d'_0}
\end{tikzcd}

diagramme (224) ; le numéro est écrit sur un autre chiffre. La flèche verticale de droite est un simple trait sans pointe visible ; l'exposant du coin inférieur droit est surchargé ($*$ puis $!$). où les flèches verticales sont étales, et la 2^e flèche horizontale est une immersion locale de codim. $d_0$ $d'_0$ […] \[ (225) \qquad d = d_0 - d'_0 \] la lettre de gauche est surchargée ; le numéro (225) est repris plus bas pour une autre formule. [Dans le typique (auquel on se réduit) où $d'_{*} = \{d_1 > \dots > d_r\}$, le diagramme (224) est cartésien — ⌜plus généralement⌝ […], il […] […] cartésien, ⌜si $d'_0 = d_1$⌝ et c'est trivial.] NB Dans le cas général, $D_{d_*} \xrightarrow{\text{fini étale}} D^{*!}_{d_*} \to D_{d_0 d'_0} \to D^{!}_{d'_0}$ et $D^{*!}_{d_*} \to D^{!*}_{d'_*} \xrightarrow{\text{cart}} D^{!}_{d'_0}$, avec des flèches pointillées $D_{d_*} \to D^{!}_{d'_0}$ et $D_{d_0 d'_0} \to D^{!}_{d'_0}$ petit diagramme écrit verticalement dans la marge gauche ; les exposants $*$ et $!$ y sont d'une lecture incertaine, et la description qu'on en donne ici est approximative. Considérons le morphisme induit \[ (225) \qquad D^{*}_{d_{*}} \longrightarrow D_{d'_{*}} \] (attention, mais non $*$ au départ et $D_{d_*}$ seulement, mais : $D_{d'_*}$ !). Nous munissons $D_{d'_*}$ du diviseur $\Theta_{d'_*}$ image inverse de $\Theta_{d_0}$ sur $D_{d_0}$. On désigne par $\Theta^{(p)}_{d'_*}$ le « squelette de dim. $p$ » de $\Theta^{p}_{d'_*}$, et […] on pose

136\[ (226) \qquad \Theta^{d*}_{d'_*} \overset{\text{déf}}{=} \Theta^{d}_{d'_*} \setminus \Theta^{d+1}_{d'_*} \] les exposants $d$ sont écrits sur d'autres signes ($d_*$ ?). squelette « privé » de codim. $d$ du $\Theta_{d'_*}$ dans $D_{d'_*}$.

Ceci posé, on sait que 225 induit un morphisme isomorphisme local de $D_{d_*}$ sur […] $\Theta^{d*}_{d'_*}$. Plus précisément, $\Theta^{d*}_{d'_*}$ s'identifie à : $D_{(d_0,d'_0,\dots,d'_r)} : D_{\tilde{d}'_*}$, où \[ (227) \qquad \Theta^{(d)}_{d'_*} \xleftarrow{\ \sim\ } D_{\tilde{d}'_*} \qquad \text{où } \tilde{d}'_* = (d_0, d'_0, \dots, d'_r) \] le numéro est écrit sur un autre chiffre. et cet isom. induit un isom. \[ (228) \qquad D^{*}_{\tilde{d}'_*} \xrightarrow{\ \sim\ } \Theta^{(d)*}_{d'_*} , \] d'autre part (223) $D_{d_*} \to D_{d'_*}$ se factorise en \[ (229) \qquad D_{d_*} \longrightarrow D_{\tilde{d}'_*} \simeq \Theta^{(d)*}_{d'_*} \longrightarrow D_{d'_*} \] l'isomorphisme $D_{\tilde{d}'_*} \simeq \Theta^{(d)*}_{d'_*}$ est écrit verticalement sous le terme du milieu ; l'astérisque de $\Theta^{(d)*}$ y est repassé. donc c'est un morphisme étale fini, suivi ⌜ensuite⌝ d'un morphisme d'inclusion de $\Theta^{(d)}_{d'_*}$ dans $D_{d'_*}$. De plus, comme $D^{*}_{d_*}$ est

137p. 68 de l'auteur. évidemment l'image inverse de $D^{*}_{\tilde{d}'_*}$, i.e. aussi l'image inverse de $\Theta^{(d)*}_{d'_*}$.

Considérons un diagramme Simplifions, […] on est ramené à la situation suivante : $X$ ⌜$Y$⌝ espace analytique lisse, muni d'un diviseur $\Theta$ à croisements normaux, $D''$ et $D'$ deux espaces analytiques (lisses), et \[ (230) \qquad D''^{*} \longrightarrow D' \longrightarrow \text{\struck{$X$}}\ Y \] l'astérisque de $D''^{*}$ est écrit sur un autre signe, et le $Y$ final remplace un $X$ biffé. des morphismes, qui sont localement des immersions, on suppose $D''$ de codim. $d_0$, $D'$ de codim. $d_1$ dans $Y$, donc $D''$ de codim. $d = d_1 - d_0$ dans $D'$, et que $D' \to Y$ se factorise par $\Theta^{(d_1)}$ (squelette de dim. $d_1$ de $\Theta$), […] ⌜$d_1 > d_0 \geqslant 0$⌝ et $D''^{*} \to Y$ se factorise par $\Theta^{(d_0)*}$ (squelette […] de codim. $d_0$ de $\Theta$). On désigne par […] $D''^{*}$ et $D'^{*}$ les images ⌜inverses⌝ […] de $\Theta^{(d_0)*}$ et $\Theta^{(d_1)*}$ […]. ⌜[…]⌝ donc $\Theta$ […] une obstruction […] constituée le long de $D''^{*}$, […] réunion locale de $d_0$ branches non singulières de codim. $d_0$ qui se coupent suivant $D''$). On considère les « fibrés principaux multinormaux » $P_{D''}$, $P_{D'}$, associés aux immersions locales $D'' \to Y$, $D' \to Y$, et les groupoïdes $d_1 > d_0 \geqslant 0$ (cas $d_0 = 0$ non exclus, […] […] […] trivial) […] […] cartésien ; petit diagramme : $D''^{*} \to D'^{*} \dashrightarrow D_0 = Y$, $D''^{*} \xrightarrow{\text{ét.}} D_{d_0,d_1} \to D_{d_1} \to D_0$, marqué « cart. » note marginale écrite en oblique dans la marge gauche ; la description du diagramme est approximative.

138fondamentaux $\Pi_1 P_{D''^{*}}$, $\Pi_1 P_{D'^{*}}$, où $D'^{*}$ est l'image inverse de $\Theta^{(d_1)*}$ note biffée et encadrée au-dessus de la ligne. Ceci posé, on a un morphisme canonique (dit « de spécialisation ») \[ (231) \qquad \boxed{\ \Pi_1 P_{D''^{*}} \xrightarrow{\ r_{D'',D'}\ } \Pi_1 P_{D'^{*}}\ } \] compatible avec les opérations de ⌜principalement⌝ On donnera la construction de ce morphisme, et ses principales propriétés formelles, dans la suite. Notons dès à présent que […] un morphisme trivial, déduit de l'inclusion $P_{D'^{*}} = P_{D'} \mid D'^{*} \to P_{D'}$ \[ P_{D'^{*}} = P_{D'} \mid D'^{*} \hookrightarrow P_{D'} \] \[ (232) \qquad \Pi_1 P_{D'^{*}} \longrightarrow \Pi_1 P_{D'} \] donc le composé de (231) et (232) fournit \[ (233) \qquad \Pi_1 P_{D'^{*}} \longrightarrow \Pi_1 P_{D'} , \] on attend $\Pi_1 P_{D''^{*}}$ comme source du composé ; la page porte $D'^{*}$, transcrit tel quel. qui, lui, est de nature essentiellement triviale, car on a en effet un morphisme évident \[ P_{D'} \longrightarrow P_{D''} . \] En fait,

139p. 69 de l'auteur. on doit avoir commutativité dans

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \Pi_1 P_{D''^{*}} \arrow[r, "r_{D'',D'}"] \arrow[d, "i_{D''}"'] & \Pi_1 P_{D'^{*}} \arrow[d, "i_{D'}"] \\
  \Pi_1 P_{D''} \arrow[r] & \Pi_1 P_{D'}
\end{tikzcd}

diagramme (234). On fera la distinction entre la différence entre la flèche composée $i_{D'} r_{D'',D'}$, de nature triviale, et la flèche $r_{D'',D'}$, qui ne correspond à aucun morphisme $P_{D''^{*}} \to P_{D'^{*}}$ (NB l'image de $D''$ dans $D'$ est contenue justement dans $D' \setminus D'^{*}$ !).

Le principe de la construction de (231) est le suivant. Pour une immersion locale d'espaces analytiques lisses telle que $D' \to Y$ (condition : un diviseur $\Theta$ à croisements normaux sur $Y$, i.e. se factorisant par $D' \xrightarrow{\text{ét.}} D \to Y = D_0$),avant $D$, un mot biffé illisible ; l'indice de $D$ est lui aussi biffé et illisible. on introduit […] (en fait, indépendamment de la donnée de $\Theta$) la « voisinage tubulaire de $D'$ […] dans $Y$ », comme un germe d'espace analytique […] autour de $D'$

140p. ex. si l'image de $D'$ dans $Y$ est figurée par une courbe formant une boucle qui se recoupe en un point double marqué d'un gros point. le voisinage tubulaire ⌜dans $Y$⌝ en question sera figuré par la même boucle épaissie en une bande hachurée transversalement, les deux branches de la bande se croisant au point double. et non dans $Y$ par un arc de bande hachurée en forme de U, non recoupé, avec une flèche marquée $D'$ désignant l'âme de la bande. la parenthèse fermante placée au-dessus de la troisième figure ne s'ouvre nulle part sur la page.

Cette construction est possible dans le cadre (p. ex.) des ⌜prémulti. (locales) de⌝ variétés différentiables, ⌜paracompactes⌝, en tant que germe de variété autour de $D'$ (défini : à unique près…). Dans le cadre des multiplicités topologiques ⌜diff. (voire topologiques)⌝, on peut encore définir ⌜un voisinage⌝ […] ⌜tubulaire⌝ comme un germe de topos, ⌜multiplicité diff.⌝ abstraite : partie d'une situation d'espaces analytiques ⌜variétés diff. (ou top.)⌝ paracompactes. On peut aussi, il semble-t-il, donner la page, et le lot, s'arrêtent au milieu de la phrase ; l'argument se poursuit au-delà du lot.