Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 101–120

p. 50 de l'auteur. La phrase commence à la page précédente, hors du lot. morphismes de normalisation — il transforme morph. de norm. stricts en ~~isomorphismes~~ équivalences de groupoïdes, et sommes de stables en produit des groupoïdes correspondants.

Pour nous, l'intérêt principal est dans la formule (obtenue en prenant le « sous-objet strict » minimal de G) \text{(144)}\qquad \Pi_1 M_G \;\simeq\; \prod_{\alpha\in S} \Pi_1 M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} l'indice g_\alpha est récrit sur une autre lettre, et un exposant biffé suit la parenthèse fermante. qui tient compte d'ailleurs (et redonne tautologiquement) les ~~isomorphismes~~ équivalences des \Pi M_{G'} \to \Pi M_G par des morphismes de norm. stricts (qui induisent en effet des isom. pour les normalisés stricts \widetilde{G}' et \widetilde{G} de G,

\begin{tikzcd} \widetilde{G}' \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{G} \arrow[d] \\ G' \arrow[r] & G \end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (145). G' \to G est un morph. de norm. stricts ssi le morphisme correspondant sur les normalisés (totalement) est un iso …)

Mais il faut encore expliciter la structure de S\Pi M_G, en termes des M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} — nous le ferons au n° suivant.

Pour un morphisme de normalisation quelconque (pas nécessairement strict), le diagramme commutatif donne un diagramme commun (à près)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Pi_1 M_G \arrow[rr] \arrow[d, "\wr"] & & \Pi_1 M_{G'} \arrow[d, "\wr"] \\ {\Pi_1 M_{\widetilde{G}} = \prod_{\alpha\in S} M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}} \arrow[dr] & & {\Pi_1 M_{\widetilde{G}'} = \prod_{\alpha'\in S'} \Pi_1 M_{g'_{\alpha'}, \hat{I}'_{\alpha'}}} \\ & {\prod_{\alpha'\in S'} M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}} \arrow[ur, "\Psi"'] & \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (146) ; l'indice de M en haut à gauche est récrit sur un autre. La flèche oblique descendante porte l'annotation : « en identifiant S' à une partie de S, d'où g_\alpha = g'_\alpha » (lecture incertaine). Ceci provient d'un diagramme analogue au niveau des multiplicités modulaires … (lecture incertaine, écrit en oblique dans la marge gauche)

La flèche oblique \Psi est induite par des flèches \text{(147)}\qquad \Pi_1 M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} \longrightarrow \Pi_1 M_{g'_\alpha, \hat{I}'_\alpha} compte tenu du fait qu'on a \hat{I}'_\alpha \subset \hat{I}_\alpha. Ainsi la connaissance des morphismes de normalisation générale se réduit à celle des morphismes \text{(148)}\qquad \Pi_1 M_{g,I} \longrightarrow \Pi_1 M_{g,I'} \qquad \text{pour } I' \subset I,

p. 51 de l'auteur. qui sont induits par les morphismes de normalisation entre multiplicités associées aux graphes marqués. Bien entendu, pour vraiment bel et bien les \Pi_1 M des morphismes de normalisation, et leurs propriétés de commutation aux bornes, il faut utiliser la ~~connaissance~~ commutation de (148) à \mathfrak{S}_{I,I'} \simeq \mathfrak{S}_{I'} \times \mathfrak{S}_{I\setminus I'} \;\ldots

Programme. Déterminer (à équivalence canonique près) tous les groupoïdes \Pi_1 M_{g,I}, avec leur dépendance fonctorielle pour g fixé, I variable (des mono. I' \hookrightarrow I) via les morphismes de normalisation (148). par « générateurs et relations » en termes purement géométriques …

De plus, pour un MD-graphe G, déterminer l'extension S\Pi_1 M_G de \Pi_1 M_G \simeq \prod_{\alpha\in S(G)} \Pi_1 M_{\alpha, \hat{I}_\alpha} \quad\text{par}\quad \mathbb{Z}^{\tilde{A}(G)}, il écrit ici M_{\alpha, \hat{I}_\alpha}, sans le g des pages précédentes. et pour un morphisme de généralisation G \to G' de MD-graphes (p. ex. un iso !) ~~définir~~ déterminer les morphismes de groupoïdes de généralisation correspondants S\Pi_1 M_G \to S\Pi_1 M_{G'}.

toute la page est barrée d'un trait oblique ; elle est transcrite en entier. Le n° 12 est repris à la page suivante. ~~12) Relation entre les morphismes de généralisation et morphismes de normalisation.~~ dans le titre, « les » est biffé.

~~Avant d'aborder une réalisation calculatoire de ce programme, j'ai envie d'examiner les relations entre les deux types de morphismes, sur les \Pi_1 M_G, S\Pi_1 M_G~~ — en dehors de ~~la constatation \pm triviale que, pour des isomorphismes de graphes, les deux sont « compatibles » avec les projections~~ ~~S\Pi_1 M_G \to \Pi_1 M_G.~~ ~~Pour le dire autrement, j'ai envie, pour une inclusion stricte I' \subset I, d'examiner « l'effet à l'infini » des morphismes de groupoïdes (148).~~

~~Soit donc G_{g,I} le~~ MD-graphe réduit à un seul sommet de genre g, et avec I comme ensemble de pts marqués. Soit G un graphe du type numérique (g, \nu = \operatorname{card} I), et considérons un morphisme de généralisation \text{(149)}\qquad \text{\struck{$G \to G_{g,I}$,}} \qquad \text{\struck{i.e.\ un iso.\ $I(G) \simeq I$}} ~~d'où un diagramme de multiplicités~~

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] M^{*}_{G, G_{g,I}} \arrow[r, hook] \arrow[dr] & {(M_{G, G_{g,I}}, \Gamma^{!}_{G}) \simeq (M_G, \Gamma^{!}_G)} \\ & M_{g,I} \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (150) ; à côté du numéro, un M^{*}_G biffé. Le \simeq (M_G, \Gamma^{!}_G) est écrit sous le terme de droite.

p. 52 de l'auteur. Le numéro du paragraphe se lit « 11) » ou « 12) », un chiffre récrit sur l'autre.

11) Digression : déploiement d'un diviseur à croisements normaux

Pour fixer les idées, je me place dans le contexte des multiplicités analytiques lisses — mais on pourrait aussi bien, en prenant des multiplicités analytiques relatives — ou en remplaçant les esp. analytiques par des esp. topologiques ad-hoc — ou en passant au contexte schématique …

Soit X une multiplicité analytique lisse, et D un diviseur sur X à croisements normaux (hyp. sur (X, D), par définition). ~~Soit G un~~ Pour tout pt x de D, l'ens. des « branches » de D passant par x est un ensemble fini I(x). il conviendrait de prendre aussi, pour x \in X, et x \notin D, I(x) = \emptyset (lecture incertaine) Par définition, les germes de sous-multiplicités attachées à D en x sont les intersections d'un ens. fini de parmi les D_{x,i} (i \in I(x)), \Delta_x (= \Delta_x(X))lecture incertaine de cet ajout. les germes forment un ensemble ordonné Si le complémentaire anti-isomorphe à \mathfrak{P}(I(x)), (J \subset I(x)) étant associé à D_{x,J}, \text{(149)}\qquad \operatorname{Codim}(D_{x,J}, X_x) = \operatorname{card} J le numéro (149) est le même que celui de la page barrée précédente.

Soit J un ensemble ordonné, on s'intéresse aux plongements d'ensembles ordonnés \text{(150)}\qquad J \overset{\varphi}{\hookrightarrow} \Delta_x \simeq \mathfrak{P}(I(x))^{\circ} Un tel plongement donne une « fonction codimension » sur J, un morphisme, soit d, et ~~disons que \varphi est un plongement d'un~~ en supposant donnée déjà d dimension sur J ~~ordonné, signifie que~~ satisfaisant \text{(151)}\qquad \text{si } x < y \text{ alors } c(x) < c(y), le c de gauche est récrit sur une autre lettre (d ?). et on s'intéresse aux \varphi qui sont des plongements ordonnés, compatibles aux fonctions codim. sur J et sur \Delta_x. On suppose de plus que J a un plus petit élément ~~(qui correspond donc à une codim. minimale, soit d(J)) — quitte à le rajouter, s'il n'y est déjà !~~ le passage entre parenthèses est encadré d'un trait vertical à gauche et barré de trois traits obliques.

Considérons, pour p \in \mathbb{N}^{*}, la multiplicité analytique formée des couples (x, V), où x est un pt de D et V un germe de sous-multiplicité de X attachée à D, de codim. p. On ~~voit~~ écrit aisément que ce sont là les points d'une multiplicité analytique qui prolonge D_p, et on a un morphisme

p. 53 de l'auteur. L'indice de D_d, ici et à la fin de la page précédente, est récrit : un d sur un p ; on lit d. canonique D_d \longrightarrow X qui se factorise d'ailleurs par D, et qui est un morphisme d'immersion locale, de codim. d. Pour D_d, on a un revêtement étale , noté \widetilde{D}_d, ~~formé des couples~~ dont la fibre en un pt (x, V) est formée des branches D_{x,i} de D en x qui contiennent V. Donc les pts de \widetilde{D}_d correspondent aux triples (x, V, W), où x est un pt de D, et V \subset W des germes de ss-multiplicités de X en x attachées à D, de codim. respectives d et 1. On trouve donc un morphisme canonique \widetilde{D}_d \longrightarrow D_1, \qquad (x, V, W) \longmapsto W . On a évidemment aussi : D_0 = X, (152) et D_0 \to X l'identité.

Plus généralement, si J est un ens. ordonné muni d'une fonction codim., comme ci-dessus, on en désigne par D_J la multiplicité ~~formée~~ dont les points, de codim. d = d(J), et sont les couples d'un x \in D « X » corrigé en « D ». et d'un plong. d'ens. ordonnés, compatible avec fonctions codim. \text{(152)}\qquad J \overset{\varphi}{\hookrightarrow} \Delta_x \simeq \mathfrak{P}(I(x))^{\circ} on suppose la fonction codim. strictement croissante, cf. (151) le numéro (152) figure deux fois sur la page, dans la marge et ici.

~~On a ~~déjà~~ supposé que J a un plus petit élément e_J, dont d(J) = d sa codim.~~ ces deux lignes sont encadrées et barrées.

Alors la multiplicité D_J est lisse, et le morphisme canonique \text{(153)}\qquad D_J \longrightarrow X est une imm. locale de codim. d. Elle se factorise par D, sauf dans le cas où d(J) = 0 i.e. J ~~est~~ réduit à un seul élément, de codim. nulle, auquel cas D_J = D_0 = X. Si J est formé d'un seul élément, de codim. d, on retrouve D_d ; s'il est formé de deux éléments, ~~le plus~~ e_J de codim. d et e' de codim. 1, on retrouve \widetilde{D}_d.

Si J est de totale d = d(J), on peut reconstruire D_J à partir de D_d et de \widetilde{D}_d, via le revêtement principal (tordu sous \mathfrak{S}_d) associé à \widetilde{D}_d, soit D^{!}_d, qui au-dessus de D_d s'identifie aussi à D_{I(d)}, où I(d) désigne l'ens. ordonné

\begin{tikzcd}[column sep=small] d \arrow[r, no head] & d-1 \arrow[r, no head] & 2 \arrow[r, no head] & 1 \arrow[r, no head] & 0 \end{tikzcd}

(drapeau maximal de codim. d). En effet, considérons, Mais l'expression de D_{I(d)} en termes de D_d D^{!}_d \mathfrak{S}_d le plus petit élément les codim. maximales (note écrite en oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible) le drapeau est dessiné comme une suite de points reliés, codimensions décroissantes de d à 0.

p. 54 de l'auteur. l'ensemble fini \text{(154)}\qquad H(J) = \text{ensemble des plongements d'ens.\ ordonnés,} compatibles avec les f. codim., de J dans ~~\mathfrak{P}([1,n]\cap\mathbb{N})~~ \mathfrak{P}(I_d)^{\circ} (où I_d \overset{\text{déf}}{=} [1,d] \cap \mathbb{N}) ; alors \mathfrak{S}_d opère à gauche sur H(J), et on a un iso. can. de D-multiplicités \text{(155)}\qquad D_J \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} H(J) . au-dessus de D^{!}_d, une marque illisible.

Soient (J, \underline{c}) et (J', \underline{c}') deux ens. ordonnés finis munis de fonctions codim., et \text{(156)}\qquad J' \overset{f}{\longrightarrow} J un plongement d'ens. ordonnés, compatible aux fonctions codim., on trouve alors un ~~application~~ morphisme canonique \text{(157)}\qquad D_J \longrightarrow D_{J'} , qui se ~~en termes de~~ quelles données supplémentaires (si besoin est) sur les (D_d, D^{!}_d) peut-on reconstituer cette dépendance fonctorielle comme la ~~considérée~~ de D_J p.r. à J, via (155). ~~d'abord le plus petit élément e_{J'} de e~~ dépendance fonctorielle en J pour les iso

est claire sur l'expression (155) ; soit J' \subset J. Considérons ~~le plus petit~~ un élément x ~~e_J~~ de J', \neq e_J, ~~élément~~ de codim. \delta (< d), et considérons d'abord le composé \text{(158)}\qquad D_J \longrightarrow D_{J'} \overset{f_x}{\longrightarrow} D_\delta défini par tautologie \{x\} \subset J' sous la flèche, un passage biffé : « D_{\{x\}} iso. ». on va la mettre en relation avec l'homm. \text{(159)}\qquad D_J \longrightarrow D_{d,\delta} suivant (où D_{d,\delta} = D_{\Delta(d,\delta)}), \Delta(d,\delta) étant le drapeau ~~type~~ du type d, \delta, i.e. l'ens. ordonné ~~avec~~ à fonction codim.

\begin{tikzcd} d \arrow[r, no head] & \delta \end{tikzcd}

(car \delta < d !) ~~d = \delta~~ ~~(car \delta < d)~~. Utilisant , on peut prendre (155) avec J = \Delta(d,\delta), ~~au lieu de~~ l'isom. canonique \text{(160)}\qquad D_{d,\delta} \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} \mathfrak{P}_\delta(I_d) D'autre part, on a (dans la notation (154) pour H(J)), pour l'élément x \in J fixé (\delta = \operatorname{cod}(x)), une application \text{(161)}\qquad H(J) \longrightarrow \mathfrak{P}_\delta(I_d), \qquad h \longmapsto h(x) la lettre x est récrite sur une autre, ici comme plus haut.

p. 55 de l'auteur. compatible avec les opérations de \mathfrak{S}_d, d'où un morphisme

\begin{tikzcd} D_J \arrow[r, "f_x"] \arrow[d, no head, "\wr"'] & D_{d,\delta} \arrow[d, no head, "\wr"] \\ {\widetilde{D}_d \wedge_{\mathfrak{S}_d} H(J)} & {D^{!}_d \wedge_{\mathfrak{S}_d} \mathfrak{P}_\delta(I_d)} \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (162) ; les deux \simeq sont écrits verticalement, sans flèche. ~~Ceci posé,~~ Cette relation est décrite entièrement en termes du rev. principal \widetilde{D}_d de D_d, de groupe \mathfrak{S}_d, et de x \in J. On a « un J- de D_J » lecture incertaine de cet ajout. d'autre part, par « fonctorialité », la commutativité étendant (158) \text{\struck{(162)\quad $D_{d,\delta} \to D_{\delta'}$}} ~~et on a~~

\begin{tikzcd} D_J \arrow[r] \arrow[d] & D_{J'} \arrow[d, "f_x"] \\ D_{d,\delta} \arrow[r] & D_\delta \end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (163). où D_J \to D_{d,\delta} et D_{d,\delta} \to D_\delta sont définis par fonctorialité par les inclusions \{x\} \subset \{x, e\} \subset J. On ~~a l'impression~~ que D_J \to D_{d,\delta} est décrit par la relation (162), donc le composé (158) est connu quand on connaît les D_{d,\delta} \to D_\delta

— et quand les composés (158) sont connus, on vérifie que les morphismes D_J \to D_{J'} sont connus …

On est donc intéressé plus particulièrement par les homs \text{(164)}\qquad D_{d,\delta} \longrightarrow D_\delta \qquad (d > \delta) qui jouent le rôle des « morphismes but », alors que les D_{d,\delta} \to D_d jouent le rôle de « morphismes source », et D_{d,\delta} le rôle de « multiplicité des flèches » (ici morph. d'inclusion) — entre éléments de la sous-multiplicité de X associée à D. On a des isom. can. \text{(165)}\qquad D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \simeq D_{d,d',d''} \qquad \text{si } d > d' > d'' et on en déduit de cette description les morphismes canoniques

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=tiny] & D_{d,d'} \arrow[r] \arrow[dr] & D_d \\ D_{d,d',d''} \arrow[ur] \arrow[dr] & & D_{d'} \\ & D_{d',d''} \arrow[ur] \arrow[r] & D_{d''} \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (166). mais non directement ~~D_{d'}~~ \text{(167)}\qquad D_{d,d',d''} \longrightarrow D_{d,d''}, mais on sait que \text{(168)}\qquad D_{d,d''} \longrightarrow D_d \times D_{d''}

p. 56 de l'auteur. est un mono, et (167) est déterminé par la condition que son composé avec (168) est donné par les morphismes D_{d,d',d''} \rightrightarrows D_d,\ D_{d''} qui figurent dans (166). ceci marche dans le contexte des esp. analytiques (lecture incertaine) dans les renvois de cette page, le dernier chiffre de (167) et (168) est récrit.

Une « structure de déploiement d'intersection normale » (d'abord dans le contexte des espaces analytiques) sera définie d'abord comme une ~~multiplicité~~ structure de « catégorie analytique » \mathcal{D}, i.e. d'une catégorie dans la catégorie des espaces analytiques : on pourrait dire « structure de déploiement analytique » (lecture incertaine) \text{(169)}\quad \begin{cases} D_{*} & \text{espace analytique des objets} \\ D_{**} & \text{\phantom{espace analytique des} flèches} \end{cases}

\begin{tikzcd} & D_{**} \arrow[dl, "s"'] \arrow[dr, "b"] & \\ D_{*} & & D_{*} \end{tikzcd}

morphismes « source » et « but » ; D_{*} \longrightarrow D_{**} \qquad \text{morphisme « identité »} ; (D_{**}, b) \times_{D_{*}} (D_{**}, s) \longrightarrow D_{**}, \qquad (u, v) \longmapsto v \circ u (morphisme « composition des flèches ») les quatre données sont réunies par une accolade sous le numéro (169).

satisfaisant aux conditions habituelles (associativité, unités …) exprimant que

pour tout S, les « pts » de \mathcal{D} à valeurs dans S (formés de D_{*}(S), D_{**}(S) etc.) est une catégorie. On suppose de plus donnée une fonction « codimension » sur D_{*} \text{(170)}\qquad D_{*} \overset{c}{\longrightarrow} \mathbb{N} c'est inutile, elle résulte des autres structures, cf. plus loin … (lecture incertaine) ce qui revient à une décomposition \text{(171)}\qquad D_{*} = \coprod_{d\in\mathbb{N}} D_d d'où une décomposition correspondante \text{(172)}\qquad D_{**} = \coprod_{(d,d')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} D_{d,d'} où \text{(173)}\qquad D_{d,d'} = \text{image inverse de } D_d \times D_{d'} \text{ par } D_{**} \xrightarrow{(s,b)} D_{*} \times D_{*} . On fait les hypothèses suivantes les hypothèses a) à c) sont réunies par une accolade sous le numéro (174).

a)D_{d,d'} = \emptyset si d' > d (le but est de codim. \leq la codim. de la source) ; b)le morphisme « identité » D_{*} \to D_{**} ~~induit~~ (qui se factorise en \coprod_{d\in\mathbb{N}} D_d \to \coprod_{d\in\mathbb{N}} D_{d,d}) induit un iso D_d \simeq D_{d,d} (une flèche dont source et but sont de = codim., est une identité) ; ce sera conséquence de c) ci-dessous ( ) c)Pour d \in \mathbb{N} fixé, le morphisme « source » ~~D_{d*} \to D_{*}~~

la phrase se poursuit à la page suivante.

p. 57 de l'auteur. Suite de l'hypothèse c) de (174), le numéro (174) étant répété en marge. \Bigl(\; D_{d,*} \overset{s_d}{\longrightarrow} D_d, \qquad D_{d,*} \overset{\text{déf}}{=} \coprod_{d'\in\mathbb{N}} D_{d,d'} = s^{-1}(D_d) \;\Bigr) qui fait de D_{d,*} un esp. analytique sur D_d, relativement ordonné (par la relation de factorisabilité des flèches de source donnée petit schéma : un point d'où partent deux flèches, la seconde se factorisant par la première au moyen d'une flèche en pointillé ; annoté « prédicat par d' ») est loc. isomorphe avec sa relation d'ordre et la fonction « codim. » à \mathfrak{P}(I_d)_{D_d} — le faisceau constant d'ensembles ordonnés simpliciaux \mathfrak{P}(I_d)^{\circ} —

Cela redonne donc un rev. D^{!}_d principal de groupe \mathfrak{S}_d, permettant de reconstituer les D_{d,d'} — mais pour reconstituer \mathcal{D}, il faut de plus se donner — mieux, les D_{d,d'} \to D_{d'}, et (c'est plus sûr !) aussi D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \longrightarrow D_{d,d''} (les flèches composition), car il n'est pas clair, avec les seules hyp. faites jusqu'à présent, que le morphisme D_{d,d''} \longrightarrow D_d \times D_{d''} soit mono., i.e. que « les flèches sont déterminées par leur source et par leur but ». Mais pourtant si, c'est une conséquence de c). Donc

la structure envisagée peut se décrire par

a)famille d'espaces analytiques (D_d)_{d\in\mathbb{N}^{*}} b)\forall\, d \in \mathbb{N}, un revêtement principal D^{!}_d de D_d, de groupe \mathfrak{S}_d — d'où des D_{d,d'} (0 \leq d' \leq d). c)des morphismes D_{d,d'} \overset{b}{\longrightarrow} D_{d'} \qquad (\text{pour } 0 \leq d' < d), et en plus des diagrammes cartésiens

— on a D_{d,d} \simeq D_{d,0} \simeq D_d ; D_{d,1} est le rev. de D_d à d feuillets associé à D^{!}_d (lecture incertaine) ~~la condition que les morphismes can. (pour d > d' > d'')~~ \text{\struck{$D_{d,d',d''} \overset{\text{déf}}{=} D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \to D_d \times D_{d''}$}} ce passage, ainsi que deux débuts de d) (« d) D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D^{!}_{d'} \simeq … », « d) D^{!}_{d,d'} … »), est biffé de traits croisés.

\begin{tikzcd} D^{!}_{d,d'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & D^{!}_{d'} \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\ D_{d,d'} \arrow[r, "b"'] & D_{d'} \end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (175) et la mention « cart. » au centre. où D^{!}_{d,d'} est le revêtement \mathfrak{S}_{d'}-principal de D_{d,d'} \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} \mathfrak{P}_{d'}(I_d), associé au d'-revêtement « tautologique » de D_{d,d'}) — ce qui se déduit de ce donné, puisque D_{d,d',d''} rev. de D_{d,d'} par D_{d,d',d''} \overset{\text{déf}}{=} D^{!}_{d,d'} \overset{(\mathfrak{S}_{d'})_{D_{d,d'}}}{\wedge} \mathfrak{P}_{d''}(I_{d'}), un diagramme cartésien

\begin{tikzcd} D_{d,d',d''} \arrow[r] \arrow[d] & D_{d',d''} \arrow[d] \\ D_{d,d'} \arrow[r] & D_{d'} \end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (176) et la mention « cart. » au centre. NB D_{d,d'} et D_{d,d',d''} se déduisent directement de D^{!}_d

p. 58 de l'auteur. et il faut demander de plus qu'on ait commutativité dans les ~~morph.~~ diagrammes

\begin{tikzcd} D_{d,d',d''} \arrow[r] \arrow[d, "\text{tautol.}"'] & D_{d',d''} \arrow[d, "\text{« but »}"] \\ D_{d,d''} \arrow[r, "\text{« but »}"'] & D_{d''} \end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (177).

Remarque. L'axiomatique précédente a un sens dans un site ( le fait de un dans un site donné un sens à des de revêtement principal …), où les fonctions loc. constantes à valeurs définissent une décomposition en somme disjointe d'un objet. Il est inutile de se donner la fonction codimension, elle est contenue dans la condition c), qui implique a) et b).

~~Pour~~ Pour faire le lien avec l'intuition des « croisements normaux », il faut faire des hypothèses ad-hoc sur la nature des morphismes D_{d,d'} \longrightarrow D_{d'} (NB D_{d,d'} \to D_d est un rev. fini étale …), p. ex.

que c'est une immersion locale d'espaces analytiques lisses (ou lisses sur un esp. analytique donné, dans une situation relative …) ; ~~de codim. d - d'~~ ~~fait l'hyp. de~~ ~~Notons que pour que~~ , ~~D_{d,d'} \to D_{d'} soit une imm. locale, il suffit~~ ~~que D_{d,0} \to D_0 et D_{d',0} \to D_0~~ ~~(D_{d,0} \simeq D_d, D_{d',0} \simeq D_{d'}) le soient, comme on voit en considérant~~ tout ce passage, encadré, est barré de traits obliques. Il se termine par un diagramme, barré lui aussi, où D_{d,d',0} \to D_{d',0} \to D_0 et D_{d,d',0} \to D_{d,0} \to D_0 se placent au-dessus d'un carré cartésien de base D_{d,d'} \to D_{d'}.

Dans le cas lisse ou relatif lisse, l'hyp. d'imm. locale équivaut d'ailleurs à celle de mono. local, qui garde un sens dans tout site.

Notons que pour tout d on a

\begin{tikzcd} D_{d,0} \arrow[d, no head, "\wr"'] \arrow[dr] & \\ D_d & D_0 \overset{\text{déf}}{=} X \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (178). donc les D_d s'envoient tous canoniquement dans X = D_0, et on aura commutativité des

\begin{tikzcd} D_{d,d'} \arrow[r, "b"] \arrow[d, "s"'] & D_{d'} \arrow[d] \\ D_d \arrow[r] & X \end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (179). \mathcal{D} est une catégorie dans la catégorie (des objets) au-dessus de D_0

p. 59 de l'auteur. où s est un rev. étale donc un iso. local. Donc on voit que si D_d \to D_0 et D_{d'} \to D_0 sont des immersions locales (resp. des mono. locaux), il en est de même de D_{d,d'} \to D_{d'}. De plus, dans le cas lisse, on voit que la codim. de D_{d,d'} \to D_{d'} est égale à la différence des codim. de D_d \to D_0 et D_{d'} \to D_0. On supposera, bien sûr (condition essentielle ! (?)) \text{(180)}\qquad D_d \longrightarrow D_0 \text{ est de codim.\ } d NB et plus précisément encore ceci. Soit x \in D_d, d'où I(x) de cardinal d (tel qu'on ait \text{(181)}\qquad (D^{!}_d)_x \simeq \mathfrak{P}(I_x) \;) le symbole devant (I_x) est celui qu'il emploie pour \mathfrak{P} ; lecture incertaine ici. ~~considérons les~~ \text{(18\ill{})}\qquad I_x = \text{\uncertain{ensemble} des sections en $x$ du rev.\ $D_{d,1}$ au-dessus de $D_d$} \simeq (D_{d,1})_x \;\text{---}, Considérons alors les composés (i \in I) D_d \overset{s_i}{\longrightarrow} D_{d,1} \overset{\mathrm{can}}{\longrightarrow} D_1 \longrightarrow X qui sont tous égaux au morph. can. D_d \overset{\mathrm{id}}{\longrightarrow} X, dans ces deux formules, une lettre récrite ou biffée avant X. d'autre part les x_i que définit x dans D_1, pr. les i.

définissent des germes de sous-espaces D^{i}_x de X en l'image de x dans X, qui contiennent le germe défini par (D_d, x) \to (X, a) (ceci dit, on veut que ce dernier germe soit l'intersection des germes D^{i}_x, et que cette intersection soit transversale).

Cette axiomatique inclut des cas tels que courbe plane fermée qui se recoupe elle-même en une boucle X = D_0 \simeq E^2, \qquad D_1 = \text{\struck{\ill{}}\ \emph{lisse} conn.}, \qquad D_2 = \emptyset \;\ldots (normalisée de la courbe tracée) qui ne peut être décrit par la donnée d'un diviseur sur X, ~~le diviseur, donc~~

L'opération de \mathfrak{S}_d sur \mathbb{Z}^d permet de construire sur D_d un système local \text{(183)}\qquad T_d = D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} (\mathbb{Z}^d)_{D_d} , qui donne naissance à un groupe analytique (ou algébrique) relatif sur D_d : \text{(184)}\qquad G_d = T_d \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_{m, D_d} \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} \mathbb{G}_m^d et T_d s'interprète en termes de G_d comme le syst. local des \pi_1 ou H_1 des fibres la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.