Cote n° 147, pages 101–120

Cote n° 147 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

101p. 50 de l'auteur. La phrase commence à la page précédente, hors du lot. morphismes de normalisation — il transforme morph. de norm. stricts en isomorphismes ⌜équivalences⌝ de […] groupoïdes, et sommes de […] stables en produit des groupoïdes correspondants.

Pour nous, l'intérêt principal est dans la formule (obtenue en prenant le « sous-objet strict » minimal de $G$) \[ \text{(144)}\qquad \Pi_1 M_G \;\simeq\; \prod_{\alpha\in S} \Pi_1 M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} \] l'indice $g_\alpha$ est récrit sur une autre lettre, et un exposant biffé suit la parenthèse fermante. qui tient compte ⌜d'⌝ailleurs (et redonne tautologiquement) les isomorphismes ⌜équivalences⌝ des $\Pi M_{G'} \to \Pi M_G$ par des morphismes de norm. stricts (qui induisent en effet des isom. pour les normalisés stricts $\widetilde{G}'$ et $\widetilde{G}$ de $G$,

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \widetilde{G}' \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{G} \arrow[d] \\
  G' \arrow[r] & G
\end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (145). $G' \to G$ est un morph. de norm. stricts ssi le morphisme correspondant sur les normalisés (totalement) est un iso …)

102Mais il faut encore expliciter la structure de $S\Pi M_G$, en termes des $M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}$ — nous le ferons au n° suivant.

Pour un morphisme de normalisation quelconque (pas nécessairement strict), le diagramme commutatif donne un diagramme commun (à […] près)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  \Pi_1 M_G \arrow[rr] \arrow[d, "\wr"] & & \Pi_1 M_{G'} \arrow[d, "\wr"] \\
  {\Pi_1 M_{\widetilde{G}} = \prod_{\alpha\in S} M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}} \arrow[dr] & & {\Pi_1 M_{\widetilde{G}'} = \prod_{\alpha'\in S'} \Pi_1 M_{g'_{\alpha'}, \hat{I}'_{\alpha'}}} \\
  & {\prod_{\alpha'\in S'} M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}} \arrow[ur, "\Psi"'] &
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (146) ; l'indice de $M$ en haut à gauche est récrit sur un autre. La flèche oblique descendante porte l'annotation : « en identifiant $S'$ à une partie de $S$, d'où $g_\alpha = g'_\alpha$ » (lecture incertaine). Ceci provient d'un diagramme analogue au niveau des multiplicités modulaires … (lecture incertaine, écrit en oblique dans la marge gauche)

La flèche oblique $\Psi$ est induite par des flèches \[ \text{(147)}\qquad \Pi_1 M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} \longrightarrow \Pi_1 M_{g'_\alpha, \hat{I}'_\alpha} \] compte tenu du fait qu'on a $\hat{I}'_\alpha \subset \hat{I}_\alpha$. Ainsi la connaissance des morphismes de normalisation ⌜générale⌝ […] se réduit à celle des morphismes \[ \text{(148)}\qquad \Pi_1 M_{g,I} \longrightarrow \Pi_1 M_{g,I'} \qquad \text{pour } I' \subset I, \]

103p. 51 de l'auteur. qui sont induits par les morphismes de normalisation entre multiplicités associées aux graphes marqués. Bien entendu, ⌜pour […] vraiment⌝ […] bel et bien les $\Pi_1 M$ des morphismes de normalisation, et leurs propriétés de commutation aux bornes, il faut utiliser la connaissance commutation de (148) à \[ \mathfrak{S}_{I,I'} \simeq \mathfrak{S}_{I'} \times \mathfrak{S}_{I\setminus I'} \;\ldots \]

Programme. Déterminer (à équivalence canonique près) tous les groupoïdes $\Pi_1 M_{g,I}$, avec leur dépendance fonctorielle pour $g$ fixé, $I$ variable (des mono. $I' \hookrightarrow I$) via les morphismes de normalisation (148). par « générateurs et relations » en termes purement géométriques …

De plus, pour […] un MD-graphe $G$, déterminer l'extension $S\Pi_1 M_G$ de \[ \Pi_1 M_G \simeq \prod_{\alpha\in S(G)} \Pi_1 M_{\alpha, \hat{I}_\alpha} \quad\text{par}\quad \mathbb{Z}^{\tilde{A}(G)}, \] il écrit ici $M_{\alpha, \hat{I}_\alpha}$, sans le $g$ des pages précédentes. et pour un morphisme de généralisation […] $G \to G'$ de MD-graphes (p. ex. un iso !) définir déterminer les morphismes de groupoïdes de généralisation correspondants $S\Pi_1 M_G \to S\Pi_1 M_{G'}$.

104toute la page est barrée d'un trait oblique ; elle est transcrite en entier. Le n° 12 est repris à la page suivante. 12) Relation entre les morphismes de généralisation et morphismes de normalisation. dans le titre, « les » est biffé.

Avant d'aborder une réalisation calculatoire de ce programme, j'ai envie d'examiner les relations entre les deux types de morphismes, sur les $\Pi_1 M_G$, $S\Pi_1 M_G$ — […] ⌜en dehors de⌝ la constatation $\pm$ triviale que, pour des isomorphismes de graphes, les deux sont « compatibles » avec les projections $S\Pi_1 M_G \to \Pi_1 M_G$. Pour le dire autrement, j'ai envie, pour une inclusion stricte $I' \subset I$, d'examiner « l'effet à l'infini » des morphismes de groupoïdes (148).

Soit donc $G_{g,I}$ le ⌜MD-⌝graphe réduit à un seul sommet de genre $g$, et avec $I$ comme ensemble de pts marqués. Soit $G$ un graphe du type numérique ($g$, $\nu = \operatorname{card} I$), et considérons un morphisme de généralisation \[ \text{(149)}\qquad \text{\struck{$G \to G_{g,I}$,}} \qquad \text{\struck{i.e.\ un iso.\ $I(G) \simeq I$}} \] d'où un diagramme de multiplicités

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  M^{*}_{G, G_{g,I}} \arrow[r, hook] \arrow[dr] & {(M_{G, G_{g,I}}, \Gamma^{!}_{G}) \simeq (M_G, \Gamma^{!}_G)} \\
  & M_{g,I}
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (150) ; à côté du numéro, un $M^{*}_G$ biffé. Le $\simeq (M_G, \Gamma^{!}_G)$ est écrit sous le terme de droite.

105p. 52 de l'auteur. Le numéro du paragraphe se lit « 11) » ou « 12) », un chiffre récrit sur l'autre.

11) Digression : déploiement d'un diviseur à croisements normaux

Pour fixer les idées, je me place dans le contexte des multiplicités analytiques lisses — mais on pourrait aussi bien, en prenant des multiplicités analytiques relatives — ou en remplaçant les esp. analytiques par des esp. topologiques ad-hoc — ou en passant au contexte schématique …

Soit $X$ une multiplicité analytique lisse, et $D$ un diviseur sur $X$ à croisements normaux (hyp. […] […] sur $(X, D)$, par définition). Soit $G$ un Pour tout pt $x$ de $D$, l'ens. des « branches » de $D$ passant par $x$ est un ensemble fini $I(x)$. il conviendrait de prendre aussi, pour $x \in X$, et $x \notin D$, $I(x) = \emptyset$ (lecture incertaine) Par définition, les ⌜germes de⌝ sous-multiplicités attachées à $D$ en $x$ sont les intersections d'un ens. fini de parmi les $D_{x,i}$ ($i \in I(x)$), ⌜$\Delta_x$ ($= \Delta_x(X)$)⌝lecture incertaine de cet ajout. les germes […] forment un ensemble ordonné Si ⌜le complémentaire⌝ anti-isomorphe à $\mathfrak{P}(I(x))$, ($J \subset I(x)$) étant associé […] à $D_{x,J}$, \[ \text{(149)}\qquad \operatorname{Codim}(D_{x,J}, X_x) = \operatorname{card} J \] le numéro (149) est le même que celui de la page barrée précédente.

106Soit $J$ un ensemble ordonné, on s'intéresse aux plongements d'ensembles ordonnés \[ \text{(150)}\qquad J \overset{\varphi}{\hookrightarrow} \Delta_x \simeq \mathfrak{P}(I(x))^{\circ} \] Un tel plongement donne une « fonction codimension » sur $J$, un morphisme, ⌜soit $d$,⌝ et disons que $\varphi$ est un plongement d'un en supposant donnée déjà $d$ dimension sur $J$ ordonné, signifie que satisfaisant \[ \text{(151)}\qquad \text{si } x < y \text{ alors } c(x) < c(y), \] le $c$ de gauche est récrit sur une autre lettre ($d$ ?). et on s'intéresse aux $\varphi$ qui sont des plongements ordonnés, compatibles aux fonctions codim. sur $J$ et sur $\Delta_x$. On suppose de plus que $J$ a un plus petit élément (qui correspond donc à une codim. minimale, soit $d(J)$) — quitte à le rajouter, s'il n'y est déjà ! le passage entre parenthèses est encadré d'un trait vertical à gauche et barré de trois traits obliques.

Considérons, ⌜pour $p \in \mathbb{N}^{*}$,⌝ la multiplicité analytique formée des couples $(x, V)$, où $x$ est un pt de $D$ et $V$ un germe de sous-multiplicité de $X$ attachée à $D$, de codim. $p$. On voit écrit aisément que ce sont là les points d'une multiplicité analytique qui prolonge $D_p$, et on a un morphisme

107p. 53 de l'auteur. L'indice de $D_d$, ici et à la fin de la page précédente, est récrit : un $d$ sur un $p$ ; on lit $d$. canonique \[ D_d \longrightarrow X \] qui se factorise d'ailleurs par $D$, et qui est un morphisme d'immersion locale, de codim. $d$. Pour $D_d$, on a un revêtement étale […] […], noté $\widetilde{D}_d$, formé des couples ⌜dont la fibre en⌝ un pt $(x, V)$ est formée des […] branches $D_{x,i}$ de $D$ en $x$ qui contiennent $V$. Donc les pts de $\widetilde{D}_d$ correspondent aux triples $(x, V, W)$, où $x$ est un pt de $D$, et $V \subset W$ des germes de ss-multiplicités de $X$ en $x$ attachées à $D$, de codim. respectives $d$ et $1$. On trouve donc un morphisme canonique \[ \widetilde{D}_d \longrightarrow D_1, \qquad (x, V, W) \longmapsto W . \] On a évidemment aussi : $D_0 = X$, (152) et $D_0 \to X$ l'identité.

Plus généralement, si $J$ est un ens. ⌜ordonné⌝ muni d'une fonction codim., comme ci-dessus, ⌜on en désigne⌝ par $D_J$ la multiplicité formée ⌜dont les⌝ points, de codim. $d = d(J)$, ⌜et⌝ sont les couples d'un $x \in D$ « $X$ » corrigé en « $D$ ». et d'un plong. d'ens. ordonnés, compatible avec fonctions codim. \[ \text{(152)}\qquad J \overset{\varphi}{\hookrightarrow} \Delta_x \simeq \mathfrak{P}(I(x))^{\circ} \] on suppose la fonction codim. strictement croissante, cf. (151) le numéro (152) figure deux fois sur la page, dans la marge et ici.

108On a déjà supposé que $J$ a un plus petit élément $e_J$, dont $d(J) = d$ sa codim. ces deux lignes sont encadrées et barrées.

Alors la multiplicité $D_J$ est lisse, […] et le morphisme canonique \[ \text{(153)}\qquad D_J \longrightarrow X \] est une imm. locale de codim. $d$. Elle se factorise par $D$, sauf dans le cas où $d(J) = 0$ ⌜i.e. $J$⌝ est réduit à un seul élément, de codim. nulle, auquel cas $D_J = D_0 = X$. Si $J$ est formé d'un seul élément, de codim. $d$, on retrouve $D_d$ ; s'il est formé de deux éléments, le plus $e_J$ de codim. $d$ et $e'$ de codim. $1$, on retrouve $\widetilde{D}_d$.

Si $J$ est de […] totale $d = d(J)$, on peut […] reconstruire $D_J$ à partir de $D_d$ et de $\widetilde{D}_d$, via le revêtement principal (tordu sous $\mathfrak{S}_d$) associé à $\widetilde{D}_d$, soit $D^{!}_d$, qui ⌜au-dessus de⌝ $D_d$ s'identifie aussi à $D_{I(d)}$, où $I(d)$ désigne l'ens. ordonné

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
  d \arrow[r, no head] & d-1 \arrow[r, no head] & 2 \arrow[r, no head] & 1 \arrow[r, no head] & 0
\end{tikzcd}

(drapeau maximal de codim. $d$). En effet, considérons, Mais l'expression de $D_{I(d)}$ en termes de $D_d$ […] […] $D^{!}_d$ […] […] $\mathfrak{S}_d$ […] […] le plus petit élément […] les codim. maximales […] (note écrite en oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible) le drapeau est dessiné comme une suite de points reliés, codimensions décroissantes de $d$ à $0$.

109p. 54 de l'auteur. l'ensemble fini \[ \text{(154)}\qquad H(J) = \text{ensemble des plongements d'ens.\ ordonnés,} \] compatibles avec les f. codim., de $J$ dans $\mathfrak{P}([1,n]\cap\mathbb{N})$ $\mathfrak{P}(I_d)^{\circ}$ (où $I_d \overset{\text{déf}}{=} [1,d] \cap \mathbb{N}$) ; alors $\mathfrak{S}_d$ opère à gauche sur $H(J)$, et on a un iso. can. de $D$-multiplicités \[ \text{(155)}\qquad D_J \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} H(J) . \] au-dessus de $D^{!}_d$, une marque illisible.

Soient […] $(J, \underline{c})$ et $(J', \underline{c}')$ deux ens. ordonnés finis munis de fonctions codim., et \[ \text{(156)}\qquad J' \overset{f}{\longrightarrow} J \] un plongement d'ens. ordonnés, compatible aux fonctions codim., on trouve alors un application morphisme canonique \[ \text{(157)}\qquad D_J \longrightarrow D_{J'} , \] qui se […] […] en termes de quelles données supplémentaires ⌜(si besoin est)⌝ sur les $(D_d, D^{!}_d)$ peut-on reconstituer cette dépendance fonctorielle ⌜comme la⌝ considérée de $D_J$ p.r. à $J$, via (155). d'abord le plus petit élément $e_{J'}$ de $e$ […] dépendance fonctorielle en $J$ pour les iso

110est claire sur l'expression (155) ; soit $J' \subset J$. Considérons le plus petit ⌜un⌝ élément ⌜$x$⌝ $e_J$ de $J'$, $\neq e_J$, élément de codim. $\delta$ (⌜$< d$⌝), et considérons ⌜d'abord⌝ le composé \[ \text{(158)}\qquad D_J \longrightarrow D_{J'} \overset{f_x}{\longrightarrow} D_\delta \] ⌜défini par tautologie $\{x\} \subset J'$⌝ sous la flèche, un passage biffé : « $D_{\{x\}}$ […] iso. ». on va la mettre en relation avec l'homm. \[ \text{(159)}\qquad D_J \longrightarrow D_{d,\delta} \] suivant (où $D_{d,\delta} = D_{\Delta(d,\delta)}$), $\Delta(d,\delta)$ étant le drapeau type du type $d, \delta$, i.e. l'ens. ordonné avec à fonction codim.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  d \arrow[r, no head] & \delta
\end{tikzcd}

(car $\delta < d$ !) […] $d = \delta$ (car $\delta < d$). Utilisant […], on peut prendre (155) avec $J = \Delta(d,\delta)$, au lieu de […] l'isom. canonique \[ \text{(160)}\qquad D_{d,\delta} \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} \mathfrak{P}_\delta(I_d) \] D'autre part, on a (dans la notation (154) pour $H(J)$), pour l'élément $x \in J$ fixé ($\delta$ $= \operatorname{cod}(x)$), une application \[ \text{(161)}\qquad H(J) \longrightarrow \mathfrak{P}_\delta(I_d), \qquad h \longmapsto h(x) \] la lettre $x$ est récrite sur une autre, ici comme plus haut.

111p. 55 de l'auteur. compatible avec les opérations de $\mathfrak{S}_d$, d'où un morphisme

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_J \arrow[r, "f_x"] \arrow[d, no head, "\wr"'] & D_{d,\delta} \arrow[d, no head, "\wr"] \\
  {\widetilde{D}_d \wedge_{\mathfrak{S}_d} H(J)} & {D^{!}_d \wedge_{\mathfrak{S}_d} \mathfrak{P}_\delta(I_d)}
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (162) ; les deux $\simeq$ sont écrits verticalement, sans flèche. Ceci posé, Cette relation est décrite entièrement en termes du rev. principal $\widetilde{D}_d$ de $D_d$, de groupe $\mathfrak{S}_d$, ⌜et de $x \in J$.⌝ On ⌜a « un $J$- de $D_J$ »⌝ lecture incertaine de cet ajout. d'autre part, par « fonctorialité », la […] commutativité étendant (158) \[ \text{\struck{(162)\quad $D_{d,\delta} \to D_{\delta'}$}} \] et on a

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_J \arrow[r] \arrow[d] & D_{J'} \arrow[d, "f_x"] \\
  D_{d,\delta} \arrow[r] & D_\delta
\end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (163). où $D_J \to D_{d,\delta}$ et $D_{d,\delta} \to D_\delta$ sont définis par fonctorialité par les inclusions $\{x\} \subset \{x, e\} \subset J$. On a l'impression ⌜[…]⌝ que $D_J \to D_{d,\delta}$ est décrit par la relation (162), donc le composé (158) est connu quand on connaît les $D_{d,\delta} \to D_\delta$

112— et quand les composés (158) sont connus, on vérifie que les morphismes $D_J \to D_{J'}$ sont connus …

On est donc intéressé plus particulièrement par les homs \[ \text{(164)}\qquad D_{d,\delta} \longrightarrow D_\delta \qquad (d > \delta) \] qui jouent le rôle des « morphismes but », alors que les $D_{d,\delta} \to D_d$ jouent le rôle de « morphismes source », et $D_{d,\delta}$ le rôle de « […] multiplicité des flèches » (ici morph. d'inclusion) — entre éléments de la sous-multiplicité ⌜de $X$⌝ associée à $D$. On a des isom. can. \[ \text{(165)}\qquad D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \simeq D_{d,d',d''} \qquad \text{si } d > d' > d'' \] et on en déduit de cette description les morphismes canoniques

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=tiny]
  & D_{d,d'} \arrow[r] \arrow[dr] & D_d \\
  D_{d,d',d''} \arrow[ur] \arrow[dr] & & D_{d'} \\
  & D_{d',d''} \arrow[ur] \arrow[r] & D_{d''}
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (166). mais non directement $D_{d'}$ \[ \text{(167)}\qquad D_{d,d',d''} \longrightarrow D_{d,d''}, \] mais on sait que \[ \text{(168)}\qquad D_{d,d''} \longrightarrow D_d \times D_{d''} \]

113p. 56 de l'auteur. est un mono, et (167) est déterminé par la condition que son composé avec (168) est donné par les morphismes \[ D_{d,d',d''} \rightrightarrows D_d,\ D_{d''} \] qui figurent dans (166). ceci marche dans le contexte des esp. analytiques (lecture incertaine) dans les renvois de cette page, le dernier chiffre de (167) et (168) est récrit.

Une « structure de déploiement d'intersection normale » (d'abord dans le contexte des espaces analytiques) sera définie ⌜d'abord⌝ comme une multiplicité structure de « catégorie analytique » $\mathcal{D}$, i.e. d'une catégorie dans la catégorie des espaces analytiques : on pourrait dire « structure de déploiement analytique » (lecture incertaine) \[ \text{(169)}\quad \begin{cases} D_{*} & \text{espace analytique des objets} \\ D_{**} & \text{\phantom{espace analytique des} flèches} \end{cases} \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  & D_{**} \arrow[dl, "s"'] \arrow[dr, "b"] & \\
  D_{*} & & D_{*}
\end{tikzcd}

morphismes « source » et « but » ; \[ D_{*} \longrightarrow D_{**} \qquad \text{morphisme « identité »} ; \] \[ (D_{**}, b) \times_{D_{*}} (D_{**}, s) \longrightarrow D_{**}, \qquad (u, v) \longmapsto v \circ u \] (morphisme « composition des flèches ») les quatre données sont réunies par une accolade sous le numéro (169).

satisfaisant aux conditions […] habituelles (associativité, unités …) exprimant que

114pour tout $S$, les « pts » de $\mathcal{D}$ à valeurs dans $S$ (formés de $D_{*}(S)$, $D_{**}(S)$ etc.) est une catégorie. On suppose de plus donnée une fonction « codimension » sur $D_{*}$ \[ \text{(170)}\qquad D_{*} \overset{c}{\longrightarrow} \mathbb{N} \] c'est inutile, elle résulte des autres structures, cf. plus loin … (lecture incertaine) ce qui revient à une décomposition \[ \text{(171)}\qquad D_{*} = \coprod_{d\in\mathbb{N}} D_d \] d'où une décomposition correspondante \[ \text{(172)}\qquad D_{**} = \coprod_{(d,d')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} D_{d,d'} \] où \[ \text{(173)}\qquad D_{d,d'} = \text{image inverse de } D_d \times D_{d'} \text{ par } D_{**} \xrightarrow{(s,b)} D_{*} \times D_{*} . \] On fait les hypothèses suivantes les hypothèses a) à c) sont réunies par une accolade sous le numéro (174).

a)$D_{d,d'} = \emptyset$ si $d' > d$ (le but est de codim. $\leq$ la codim. de la source) ;
b)le morphisme « identité » $D_{*} \to D_{**}$ induit (qui se factorise en $\coprod_{d\in\mathbb{N}} D_d \to \coprod_{d\in\mathbb{N}} D_{d,d}$) induit un iso \[ D_d \simeq D_{d,d} \] (une flèche dont source et but sont de $=$ codim., est une identité) ; ce sera conséquence de c) ci-dessous ([…] […])
c)Pour $d \in \mathbb{N}$ fixé, le morphisme « source » $D_{d*} \to D_{*}$

la phrase se poursuit à la page suivante.

115p. 57 de l'auteur. Suite de l'hypothèse c) de (174), le numéro (174) étant répété en marge. \[ \Bigl(\; D_{d,*} \overset{s_d}{\longrightarrow} D_d, \qquad D_{d,*} \overset{\text{déf}}{=} \coprod_{d'\in\mathbb{N}} D_{d,d'} = s^{-1}(D_d) \;\Bigr) \] qui fait de $D_{d,*}$ un esp. analytique sur $D_d$, […] relativement ordonné (par la relation de factorisabilité des flèches de source donnée petit schéma : un point d'où partent deux flèches, la seconde se factorisant par la première au moyen d'une flèche en pointillé ; annoté « prédicat par $d'$ ») est loc. isomorphe ⌜avec sa relation d'ordre et la fonction « codim. »⌝ à $\mathfrak{P}(I_d)_{D_d}$ — le faisceau constant d'ensembles ordonnés simpliciaux $\mathfrak{P}(I_d)^{\circ}$ —

Cela redonne donc un rev. $D^{!}_d$ principal de groupe $\mathfrak{S}_d$, permettant de reconstituer les $D_{d,d'}$ — mais pour reconstituer $\mathcal{D}$, il faut de plus se donner […] — mieux, les $D_{d,d'} \to D_{d'}$, et (c'est plus sûr !) aussi \[ D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \longrightarrow D_{d,d''} \] (les flèches composition), car il n'est pas clair, avec les seules hyp. faites jusqu'à présent, que le morphisme \[ D_{d,d''} \longrightarrow D_d \times D_{d''} \] soit mono., i.e. que « les flèches sont déterminées par leur source et par leur but ». Mais pourtant si, c'est une conséquence de c). Donc

116la structure envisagée peut se décrire par

a)famille d'espaces analytiques $(D_d)_{d\in\mathbb{N}^{*}}$
b)$\forall\, d \in \mathbb{N}$, un revêtement principal $D^{!}_d$ de $D_d$, de groupe $\mathfrak{S}_d$ — d'où des $D_{d,d'}$ ($0 \leq d' \leq d$).
c)des morphismes \[ D_{d,d'} \overset{b}{\longrightarrow} D_{d'} \qquad (\text{pour } 0 \leq d' < d), \] et en plus des diagrammes cartésiens

— on a $D_{d,d} \simeq D_{d,0} \simeq D_d$ ; $D_{d,1}$ est le rev. de $D_d$ à $d$ feuillets associé à $D^{!}_d$ (lecture incertaine) la condition que les morphismes can. (pour $d > d' > d''$) \[ \text{\struck{$D_{d,d',d''} \overset{\text{déf}}{=} D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \to D_d \times D_{d''}$}} \] ce passage, ainsi que deux débuts de d) (« d) $D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D^{!}_{d'} \simeq$ … », « d) $D^{!}_{d,d'}$ … »), est biffé de traits croisés.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D^{!}_{d,d'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & D^{!}_{d'} \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
  D_{d,d'} \arrow[r, "b"'] & D_{d'}
\end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (175) et la mention « cart. » au centre. où $D^{!}_{d,d'}$ est le revêtement $\mathfrak{S}_{d'}$-principal de \[ D_{d,d'} \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} \mathfrak{P}_{d'}(I_d), \] associé au $d'$-revêtement « tautologique » de $D_{d,d'}$) — ce qui se déduit de ce donné, puisque $D_{d,d',d''}$ rev. de $D_{d,d'}$ par \[ D_{d,d',d''} \overset{\text{déf}}{=} D^{!}_{d,d'} \overset{(\mathfrak{S}_{d'})_{D_{d,d'}}}{\wedge} \mathfrak{P}_{d''}(I_{d'}), \] un […] diagramme cartésien

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_{d,d',d''} \arrow[r] \arrow[d] & D_{d',d''} \arrow[d] \\
  D_{d,d'} \arrow[r] & D_{d'}
\end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (176) et la mention « cart. » au centre. NB $D_{d,d'}$ et $D_{d,d',d''}$ se déduisent directement de $D^{!}_d$

117p. 58 de l'auteur. et il faut demander de plus qu'on ait commutativité dans les morph. diagrammes

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_{d,d',d''} \arrow[r] \arrow[d, "\text{tautol.}"'] & D_{d',d''} \arrow[d, "\text{« but »}"] \\
  D_{d,d''} \arrow[r, "\text{« but »}"'] & D_{d''}
\end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (177).

Remarque. L'axiomatique précédente a un sens dans ⌜un⌝ site ([…] le fait de […] un […] dans un site donné un sens à […] des […] de revêtement principal …), où les fonctions loc. constantes à valeurs […] définissent une décomposition en somme disjointe d'un objet. Il est inutile de se donner la fonction codimension, elle est contenue dans la condition c), qui implique a) et b).

Pour Pour faire le lien avec l'intuition des « croisements normaux », il faut faire des hypothèses ad-hoc sur la nature des morphismes \[ D_{d,d'} \longrightarrow D_{d'} \] (NB $D_{d,d'} \to D_d$ est un rev. fini étale …), p. ex.

118que c'est une immersion locale d'espaces […] analytiques lisses (ou lisses sur un esp. analytique donné, dans une situation relative …) ; de codim. $d - d'$ […] […] fait l'hyp. de Notons que pour que […], $D_{d,d'} \to D_{d'}$ soit une imm. locale, il suffit que $D_{d,0} \to D_0$ et $D_{d',0} \to D_0$ ($D_{d,0} \simeq D_d$, $D_{d',0} \simeq D_{d'}$) le soient, comme on voit en considérant tout ce passage, encadré, est barré de traits obliques. Il se termine par un diagramme, barré lui aussi, où $D_{d,d',0} \to D_{d',0} \to D_0$ et $D_{d,d',0} \to D_{d,0} \to D_0$ se placent au-dessus d'un carré cartésien de base $D_{d,d'} \to D_{d'}$.

Dans le cas lisse ou relatif lisse, l'hyp. d'imm. locale équivaut d'ailleurs à celle de mono. local, qui garde un sens dans tout site.

Notons que pour tout $d$ on a

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_{d,0} \arrow[d, no head, "\wr"'] \arrow[dr] & \\
  D_d & D_0 \overset{\text{déf}}{=} X
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (178). donc les $D_d$ s'envoient tous canoniquement dans $X = D_0$, et on aura commutativité des

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  D_{d,d'} \arrow[r, "b"] \arrow[d, "s"'] & D_{d'} \arrow[d] \\
  D_d \arrow[r] & X
\end{tikzcd}

ce carré porte le numéro (179). $\mathcal{D}$ est une catégorie dans la catégorie (des objets) au-dessus de $D_0$

119p. 59 de l'auteur. où $s$ est un rev. étale donc un iso. local. Donc on voit que si $D_d \to D_0$ et $D_{d'} \to D_0$ sont des immersions locales (resp. des mono. locaux), il en est de même de $D_{d,d'} \to D_{d'}$. De plus, dans le cas lisse, on voit que la codim. de $D_{d,d'} \to D_{d'}$ est égale à la différence des codim. de $D_d \to D_0$ et $D_{d'} \to D_0$. On supposera, bien sûr (condition essentielle ! (?)) \[ \text{(180)}\qquad D_d \longrightarrow D_0 \text{ est de codim.\ } d \] NB et plus précisément encore ceci. Soit $x \in D_d$, d'où $I(x)$ de cardinal $d$ (tel qu'on ait \[ \text{(181)}\qquad (D^{!}_d)_x \simeq \mathfrak{P}(I_x) \;) \] le symbole devant $(I_x)$ est celui qu'il emploie pour $\mathfrak{P}$ ; lecture incertaine ici. […] considérons les […] \[ \text{(18\ill{})}\qquad I_x = \text{\uncertain{ensemble} des sections en $x$ du rev.\ $D_{d,1}$ au-dessus de $D_d$} \] \[ \simeq (D_{d,1})_x \;\text{---}, \] Considérons alors les composés ($i \in I$) \[ D_d \overset{s_i}{\longrightarrow} D_{d,1} \overset{\mathrm{can}}{\longrightarrow} D_1 \longrightarrow X \] qui sont tous égaux au morph. can. $D_d \overset{\mathrm{id}}{\longrightarrow} X$, dans ces deux formules, une lettre récrite ou biffée avant $X$. d'autre part les $x_i$ que définit $x$ dans $D_1$, pr. les $i$.

120définissent des germes de sous-espaces ⌜$D^{i}_x$⌝ de $X$ en l'image de $x$ dans $X$, qui contiennent le germe défini par $(D_d, x) \to (X, a)$ (ceci dit, on veut que ce dernier germe soit l'intersection des germes $D^{i}_x$, ⌜et⌝ […] que cette intersection soit transversale).

Cette axiomatique inclut des cas tels que courbe plane fermée qui se recoupe elle-même en une boucle \[ X = D_0 \simeq E^2, \qquad D_1 = \text{\struck{\ill{}}\ \emph{lisse} conn.}, \qquad D_2 = \emptyset \;\ldots \] (normalisée de la courbe tracée) qui ne peut être décrit par la donnée d'un diviseur sur $X$, […] […] le diviseur, donc

L'opération de $\mathfrak{S}_d$ sur $\mathbb{Z}^d$ permet de construire sur $D_d$ un système local \[ \text{(183)}\qquad T_d = D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} (\mathbb{Z}^d)_{D_d} , \] qui donne naissance à un groupe analytique (ou algébrique) relatif sur $D_d$ : \[ \text{(184)}\qquad G_d = T_d \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_{m, D_d} \simeq D^{!}_d \overset{(\mathfrak{S}_d)_{D_d}}{\wedge} \mathbb{G}_m^d \] […] et $T_d$ s'interprète en termes de $G_d$ comme le syst. local des $\pi_1$ ou $H_1$ des fibres la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.