Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 81–100

p. 40 de l'auteur (numéro cerclé). Le diagramme (105) qui ouvre la page fait suite à un argument commencé avant ce lot ; les renvois (103) visent une page antérieure. Diagramme (105), redessiné. Dans plusieurs indices, un troisième indice a été biffé et est illisible (\Pi M^{*}_{G,\cdot,G''} en haut à gauche, \Pi M_{G,\cdot} en bas à gauche) ; la flèche \gamma_{G,G'} aboutissait d'abord à un terme biffé illisible, suivi d'une flèche « can » vers \Pi M_{G'}. Le carré central porte la mention « (2 cart) ». L'étiquette de la flèche courbe de gauche est lue \varphi_{G,G''} avec doute. Deux accolades renvoient à (103), celle de droite « (103) pour (G',G'') ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}] \Pi M^{*}_{G,G''} \arrow[rr, dashed] \arrow[d, dashed] \arrow[dd, bend right=40, "{\varphi_{G,G''}}"'] \arrow[rrr, bend left=20, "{\gamma_{G,G''}}"] & & \Pi M^{*}_{G',G''} \arrow[r, "{\gamma_{G',G''}}"] \arrow[d] & \Pi M_{G''} \\ \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} \arrow[rr, "{\gamma_{G,G'}}"] \arrow[d] & & \Pi M_{G'} & \\ \Pi M_{G} & & & \end{tikzcd}

\Pi M_{G'} \;\bigl(\simeq \Pi(M_{G'},\Gamma^{!}_{G',G''})\bigr)

Dans ce diagramme, on a ~~un peu~~ laissé tomber les indices pour les MD-graphes, ~~et on a remplacé la notation~~

~~\Pi(M_{G,G'},\Gamma^{!}_{G,G'}) par la notation plus légère \Pi M_{G,G'}, de même~~

~~pour \Pi M_{G',G''}.~~ On ~~lira~~ ~~a défini~~ retrouve (106)\qquad \Pi M^{*}_{G,G',G''} le dernier indice de (106) est surchargé ; on lit G'' sous la rature. dans (105) comme un produit 2-cartésien – c'est donc groupoïde de noyaux cat. de \Pi M^{*}_{G,G'} par un \mathbb{Z}^{C'} (tordu), et il se trouve que c'est aussi, en tant que gr.-cat. de \Pi M_{G} (de noyau une cat. de \mathbb{Z}^{C} tordu par \mathbb{Z}^{C'} tordu) une extension de \Pi M_{G} par un \mathbb{Z}^{C\amalg C'} tordu. De façon plus précise, on retire de (105) le diagramme dans (106), (107) et (108), l'indice qui suit G dans \Pi M_{G,\cdot} est biffé et illisible.

\begin{tikzcd} \Pi M^{*}_{G,G',G''} \arrow[r, "{\gamma_{G,G',G''}}"] \arrow[d, "{\varphi_{G,G''}}"] & \Pi M_{G''} \\ \Pi M_{G} & \end{tikzcd}

diagramme numéroté (107).

toute la page est barrée de deux grands traits en croix ; elle est transcrite telle qu'on la lit. ~~que je voudrais comparer au diagramme de~~ ~~généralisation~~ ~~pour G \to G'' :~~

\begin{tikzcd} \Pi M^{*}_{G,G''} \arrow[r, "{\gamma_{G'',G}}"] \arrow[d, "{\varphi_{G,G''}}"] & \Pi M_{G''} \\ \Pi M_{G} & \end{tikzcd}

diagramme numéroté (108) ; l'étiquette de la flèche horizontale est bien \gamma_{G'',G} (sic), et l'indice de \Pi M_{G,\cdot} en bas est surchargé.

~~Pour ceci, notons qu'on a un morphisme canonique~~ (109)\qquad \text{\struck{$\Pi M_{G,G'} \to \Pi M_{G,G''}$,}} ~~qui provient du~~ ~~morphisme~~ ~~dirigé, soit \mathrm{W}-morphisme~~ ~~canonique de germes de multiplicités M_{G,G'} \to M_{G,G''}), soit, un , un relèvement –~~ (110)\qquad \text{\struck{$\Gamma^{!}_{G,G'} \subset \Gamma^{!}_{G,G''}$}} ~~d'où~~ (111)\qquad \text{\struck{$\Pi(M_{G},\Gamma^{!}_{G,G'}) \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \Pi(M_{G},\Gamma^{!}_{G,G''})$}} sous chacun des deux termes de (111), un signe \wr renvoie respectivement à M_{G,G'} et à M_{G,G''} ; le numéro (110) est lu sur un « (140) » douteux.

~~Ceci posé, ~~je dis~~ on a un diagramme ~~qui~~ est commutatif~~

p. 41 de l'auteur (numéro cerclé). La moitié supérieure de la page, jusqu'à la formule \Pi M_{G,G'} \to \Pi M_{G,G''}, est barrée de deux traits obliques.

\begin{tikzcd}[column sep=small] \Pi M_{G,G',G''} \arrow[rrr, "{\gamma_{G,G',G''}}"] \arrow[dr] \arrow[dd] & & & \Pi M_{G''} \arrow[dr] & \\ & \Pi M^{*}_{G,G''} \arrow[rrr, "{\gamma_{G,G''}}"] \arrow[dd] & & & \Pi M_{G''} \\ \Pi M_{G} \arrow[dr, "\mathrm{can}"'] & & & & \\ & \Pi M_{G,G''} & & & \end{tikzcd}

diagramme (112), barré ; l'indice de \Pi M_{G,\cdot} à gauche est surchargé, et l'exposant * du coin supérieur gauche est incertain.

~~où le carré vertical est 2-cartésien. En d'autres termes, le produit 2-cartésien \Pi M^{*}_{G,G',G''} défini formellement via (105)~~ ~~comme composé de deux extensions~~ ~~successives de \Pi M_{G,G'}, s'interprète aussi~~ ~~directement comme l'extension image inverse de \Pi M^{*}_{G,G''} sur \Pi M_{G,G''} par~~ \text{\struck{$\Pi M_{G,G'} \to \Pi M_{G,G''}$.}}

Considérons maintenant le cas d'un morphisme de généralisation G \to G', où G' est le graphe de MD discret défini par G – c'est donc la généralisation ~~spécial~~ « la plus grossière » de toutes. On pose ~~désigne~~

~~par S\Pi M_{G}~~

(113)\qquad S_{A}\Pi M_{G} \overset{\mathrm{déf}}{=} \Pi M^{*}_{G,G'} , ici A désigne l'ens. des arêtes de G. = \surd c'est donc une extension de \Pi M_{G,G'} par \mathbb{Z}^{A(G)} , où A(G) est l'ensemble des arêtes de G.

Bien entendu, le groupe \Gamma = \mathrm{Aut}\, G opère non seulement sur M_{G} et sur \Pi M_{G}, mais aussi sur S_{A}\Pi M_{G} (via son action sur M^{*}_{G,G'}), de façon à commuter avec les morphismes canoniques (114)\qquad S_{A}\Pi M_{G} \longrightarrow (\Pi M_{G},\ \cdot\,) le second terme du couple, à droite de (114), est biffé et illisible. ce qui permet, pour A un sous-groupe \Gamma' \subset \Gamma_{G} de définir une extension (115)\qquad (S_{A}\Pi M_{G},\Gamma') \longrightarrow (\Pi M_{G},\Gamma') explicitons un peu… \simeq S_{A}\Pi(M_{G},\Gamma') \longrightarrow \Pi(M_{G},\Gamma') ~~soit C un ensemble de~~ dont le « noyau » est le système local \mathbb{Z}^{A(G)} sur (\Pi M_{G},\Gamma'), tordu grâce à l'action de \Gamma' sur A(G). Si C \subset A(G) est stable par l'action de \Gamma', alors on a un homomorphisme (116)\qquad \mathbb{Z}^{A(G)} \longrightarrow \mathbb{Z}^{C}

p. 42 de l'auteur. de systèmes locaux, qui permet de construire une extension quotient de (S\Pi M_{G},\Gamma'), extension du groupoïde (\Pi M_{G},\Gamma') par \mathbb{Z}^{C}, qu'on va noter (117)\qquad (S_{C}\Pi M_{G},\Gamma') . les lignes qui suivent, jusqu'à la formule (118), sont barrées de traits obliques. ~~Dans le cas où \Gamma' = \Gamma^{!}_{G,G'}, avec G' = G/C, on retrouve l'extension \Pi M^{*}_{G,G'} de \Pi M_{G,G'} par \mathbb{Z}^{C} (tordu).~~ (118)\qquad \text{\struck{$(S_{C}M_{G},\Gamma_{G,G/C}) \simeq \Pi M^{*}_{G,G/C}$}} On va plutôt expliciter les choses en termes de S_{A}\Pi M_{G} \to (\Pi M_{G},\Gamma^{!}_{G}). Si G' \simeq G/C ~~est une~~ ~~spécialisation~~ généralisation de G, alors on a (119)\qquad S_{A}\Pi M_{G} \longrightarrow S_{A'}\Pi M_{G'} qui passe aux quotients en diagramme (120) ; le numéro, surchargé, peut aussi se lire (119). Le terme en bas à gauche portait un indice biffé.

\begin{tikzcd} S_{A}\Pi M_{G} \arrow[r, "{\tau_{G,G'}}"] \arrow[d] & S_{A'}\Pi M_{G'} \arrow[d] \\ S_{C}\Pi M_{G} \arrow[r] & \Pi M_{G'} \end{tikzcd}

compatible avec l'action de \Gamma_{G,G'}, d'où la deuxième flèche horizontale ; passant

et factorisation en (121)\qquad (S_{C}\Pi M_{G},\Gamma^{!}_{G,G'}) \longrightarrow \Pi M_{G'} , sous le premier membre de (121), une accolade porte \Pi M^{*}_{G,G'}, raturé. et plus généralement, si \Gamma^{!}_{G,G'} \subset \Gamma' \subset \Gamma_{G,G'} est un sous-groupe de \Gamma = \mathrm{Aut}\, G qui stabilise C et contient \Gamma^{!}_{G,G'}, on trouve (122)\qquad (S_{C}\Pi M_{G},\Gamma') \longrightarrow (\Pi M_{G'},\Gamma'/\Gamma^{!}_{G,G'}) \simeq (\Pi M_{G,G'},\Gamma'/\Gamma^{!}_{G,G'}) le signe \simeq est écrit \wr sous le second membre de (122).

Ici la relation de transitivité (105) qu'on explique s'exprime, plus simplement, par le fait que les groupoïdes S_{A}\Pi M_{G} dépendent fonctoriellement des MD-graphes G, pour les morphismes de généralisation.

On va axiomatiser un peu ~~plus~~. Les MD-graphes et morphismes de généralisation forment une catégorie, où tous les morphismes sont des épimorphismes. Cette catégorie satisfait \mathcal{G} pour abréger. La catégorie visée d'un diagramme de groupoïdes ( \mathcal{G}) au-dessus…

p. 43 de l'auteur. à la condition suivante

(123) (Simpl) Pour tout G \in \mathcal{G}, l'ens. ordonné des quotients G' de G est un « simplexe » i.e. isomorphe à l'ens. des parties d'un ens. fini.

dans (123), le symbole lu \mathcal{G} ressemble à un \mathcal{M}. Si A_{G} désigne l'ens. des quotients minimaux de G qui sont \neq G et qui ordinaires sont , dans l'ens. des quotients de G est donc isomorphe à l'ens. des parties de A_{G}. (Si C \subset A_{G}, désigne par G/C le quotient de G associé à A_{G} \setminus C (d'autant plus petit que C est plus grand).)

On suppose donnés pour tout G \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{G} deux groupoïdes S\Pi M_{G} et \Pi M_{G}, et un morphisme (124)\qquad S\Pi M_{G} \xrightarrow{\ \varphi_{G}\ } \Pi M_{G} . On suppose que \varphi_{G} fait de S\Pi M_{G} une extension de \Pi M_{G} par \mathbb{Z}^{A(G)} (en fait, c'est une structure supplémentaire sur S\Pi M_{G}). On suppose que G \mapsto \Pi M_{G} est un foncteur en G pour les iso. (resp. pour les morphismes quelc.) NB Il faudrait montrer comment cette axiomatisation s'applique à la situation des multiplicités ~~topologiques relatives~~ définies par un diviseur à croisements normaux… (cela ). Noter que S\Pi M_{G} est une extension de \Pi M_{G} non pas par un \mathbb{Z}^{C} tordu, mais quotient d'une telle…

et que G \mapsto S\Pi M_{G} est un foncteur en G pour les morphismes quelconques, et que (124) est fonctoriel pour les iso. Pour un morphisme quelconque G \xrightarrow{f} G', correspondant à une partie C \subset A_{G} (telle que G \to G' soit isom. à G \to G/C), quotient de G, on suppose que l'on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} S\Pi M_{G} \arrow[r, "{S\Pi(f)}"] \arrow[d, "{\varphi_{G}}"'] & S\Pi M_{G'} \arrow[d, "{\varphi_{G'}}"] \\ S_{C}M_{G} \arrow[r, "{\gamma_{f}}"] & \Pi M_{G'} \end{tikzcd}

diagramme (125) ; le \Pi manque dans S_{C}M_{G}, ici comme deux lignes plus bas, et l'indice C est écrit sur un A biffé. i.e. que le composé S\Pi M_{G} \xrightarrow{\ S\Pi(f)\ } S\Pi M_{G'} \xrightarrow{\ \varphi_{G'}\ } \Pi M_{G'} se factorise par l'extension S_{C}M_{G} de \Pi M_{G} par \mathbb{Z}^{C}, déduite de l'extension S\Pi M_{G} de \Pi M_{G} par \mathbb{Z}^{A(G)} grâce à l'homom. canonique \mathbb{Z}^{A(G)} \to \mathbb{Z}^{C}. On a automatiquement la relation de transitivité pour un composé.

p. 44 de l'auteur.

10) Structure MDT discrète : étude des morphismes de normalisation entre MD-graphes

titre souligné par l'auteur ; « MD- » est ajouté au-dessus de « graphes ».

Nous voulons expliciter, en plus des morphismes ~~\varphi_{G}~~ S\Pi f (f morphisme de généralisation) et \Pi f (f iso de MD-graphes) entre autres des morphismes du type M_{G} \longrightarrow M_{g_{\alpha},\hat{I}_{\alpha}} etc. M^{\natural}_{g,I} \longrightarrow M_{g,I'} \quad \text{pour } I' \subset I . l'exposant de M_{g,I}, rendu \natural, est douteux ; l'indice I est surchargé.

On va introduire pour ceci une notion de morphismes de MD-graphes, qu'on appellera morphismes de normalisation (l'intersection des deux notions de morphismes est celle d'iso de MD-graphes). Géométriquement, elle correspond à la situation d'une courbe stable ~~(\hat{X},I)~~ X = \hat{X} \setminus I sur un corps alg. clos k, où on distingue une partie I' \subset I de l'ens. des pts à l'infini, et une partie A' \subset A de l'ens. des pts doubles de X,

et en considérant la courbe X', ayant I' comme ensemble de pts à l'infini, et A' comme ens. des pts doubles, obtenue en « bouchant les trous » relatifs aux pts de I \setminus I', et en normalisant X en les pts de A \setminus A'. On trouve donc X' = \hat{X}' \setminus I', \hat{X}' étant le normalisé de \hat{X} relatif aux pts de A \setminus A'. On fera attention que \hat{X}' ne s'envoie pas dans \hat{X} (sauf si I' = I), mais seulement dans \hat{X}. les accents des deux premiers \hat{X} de cette phrase sont retouchés ; le sens appelle plutôt « X' ne s'envoie pas dans X ». ~~On peut aussi plus loin, et~~ La construction de X' en termes de X est donc complète, dès qu'on se donne des parties I' \subset I et A' \subset A – cela revient, en termes du graphe associé à X, à se donner

a) un sous-graphe G' de G ayant même ensemble de sommets ;

b) un sous-ens. I' de I.

~~Mais on~~ Le graphe de X' est alors le sous-graphe en question. Le MD-graphe

p. 45 de l'auteur. complète de X' se déduit de celle de X, en prenant la même application genre, et I' \to S induite par I \to S.

En fait, quand on a normalisé \hat{X} en les pts de A \setminus A' pour obtenir \hat{X}', on a sur \hat{X}', en plus des pts marqués indexés par I et des pts doubles indexés par A', un deuxième ens. de « pts marqués », savoir l'image inverse \tilde{J} de J = A \setminus A', E de cardinal égal à 2\,\mathrm{Card}(A \setminus A'). En termes de la courbe normalisée propre Y contenant \tilde{A} \amalg I, qui définit \hat{X} comme Y/\sigma_{\tilde{A}} et X comme (Y \setminus I)/\sigma_{\tilde{A}}, \hat{X}' est défini comme Y/\sigma_{\tilde{A}'}, ce qui nous donne un ens. de pts marqués \tilde{J} \amalg I sur \hat{X}'. Ceci étant, au lieu d'« oublier » \tilde{J} et I \setminus I' pour ne retenir que l'ens. de pts marqués

I' sur \hat{X}', on peut aussi, plus généralement, se donner une partie I' (non pas de I, mais de) \tilde{J} \amalg I, qu'on retiendra comme « pts marqués ». Quand on s'est ainsi donné (pour un MD-graphe \underline{G} donné) une partie A' de A(G), et une partie I' de I \amalg \tilde{J} (où \tilde{J} = \tilde{A}(G) - \tilde{A}'), alors pour toute courbe spéciale G-épinglée, on déduit une courbe spéciale, qui sera épinglée par le MD-graphe \underline{G}' déduit de \underline{G}, A', I' en prenant le sous-graphe G' de G ayant mêmes sommets et ayant A' comme ens. d'arêtes, en prenant comme « ens. de pts marqués » I' \subset I \amalg \tilde{J}, qui s'envoie dans S par (126)\qquad I' \longrightarrow S \quad \text{induite par } I \to S \text{ et } \tilde{A}(G) \xrightarrow{\ \text{origine}\ } S , l'application genre pour \underline{G}' étant celle pour \underline{G}.

p. 46 de l'auteur. On peut généraliser encore un peu cette construction, en ~~choisissant~~ remplaçant X' par une réunion de composantes connexes ~~de composantes irréductibles~~, contenant A' et I'. Cela revient à prendre un sous-graphe quelconque G' de G (n'ayant pas nécessairement même ens. de sommets, mais un ens. de sommets S' \subset S), [défini donc par la donnée d'une partie \tilde{A}' de \tilde{A}(G) stable par \sigma_{\tilde{A}} et telle que o_{G} : \tilde{A} \to S applique \tilde{A}' dans S'], plus une partie I' de I \amalg \tilde{J} (où \tilde{J} = \tilde{A} \setminus \tilde{A}'), appliquée dans S' par l'~~application origine~~ I \amalg \tilde{J} \longrightarrow S \quad \text{induite par } I \to S \text{ et par } \tilde{A} \xrightarrow{\ o_{G}\ } S .

Un cas particulièrement important est celui où G' est un sous-graphe ponctuel, donc \tilde{J} = \tilde{A}, défini par un \alpha \in S, et où on prend I' = I_{\alpha} \amalg \tilde{A}_{\alpha} = \text{image inverse de } \{\alpha\} \text{ par } I \amalg \tilde{A} \to S .

Si on veut exprimer ces constructions en termes d'une notion adéquate de

« morphisme » (de normalisation) de MD-graphes, on aboutit à la

Définition. Soient \underline{G} = (\underbrace{S,\tilde{A},\sigma_{\tilde{A}},o_{G}}_{G},\ I \to S \xrightarrow{\ g\ } \mathbb{N}) \quad\text{et}\quad \underline{G}' = (\underbrace{S',\dots}_{G'}) deux MD-graphes. Un morphisme de normalisation de \underline{G}' dans \underline{G} est la donnée d'un couple (f_{G},f_{I}), où le mot qui précède « morphisme » est écrit sur une rature, lu « Un » avec doute.

a) f_{G} : G' \to G est un homomorphisme de graphes, qui est injectif sur les sommets et injectif sur l'ens. des arêtes (donc identifie G' à un sous-graphe de G) ;

b) f_{I} : I' \to I \amalg \tilde{A} est une application injective, dont l'image est contenue dans I \amalg \tilde{J}, où \tilde{J} = \tilde{A}(G) - f_{G}(\tilde{A}'), et rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd} I' \arrow[r, hook] \arrow[d] & I \amalg \tilde{A} \arrow[d] \\ S' \arrow[r, hook] & S \end{tikzcd}

diagramme (129) ; la flèche du bas porte une étiquette biffée. On a supposé de plus c) \forall s' \in S', g'(s') = g(f_{G}(s')). On dit que f est un morphisme de normalisation strict si S' \xrightarrow{\sim} S et si I' \xrightarrow{\sim} I \amalg \tilde{J}.

Par composition, catégorie des MD-graphes et morphismes de normalisation.

Voici une façon de raccorder cette notion à une notion « orthodoxe » de morphismes de graphes, en mettant « dans un même sac », pour un MD-graphe

p. 47 de l'auteur. donné G, l'ens. \tilde{A}(G) et I(G) (munis l'un et l'autre d'une application « origine » à valeurs dans S(G)). Pour ceci, on va utiliser la notion de « graphe avec boucles aplaties », qui généralise celle de graphe, et topologiquement correspond à la classification des couples (X,S) d'un espace topologique compact X, et d'une partie finie S, tels que a) X soit étoilé au voisinage de tout pt de S, et b) toute composante connexe de X \setminus S est une 1-variété à bord non compacte (on veut que toute ~~adhérence~~ d'« arête » aboutisse en un sommet). Il revient au même de dire que X est un 1-complexe top., et S une partie finie qui contient les sommets d'ordre \geq 3, et telle qu'aucune composante connexe de X \setminus S ne soit composante connexe de X (i.e. que toute composante connexe de X contienne un sommet, i.e. S \to \pi_{0}(X) est surjectif).

Ceci se classifie combinatoirement par des systèmes (S,\hat{\tilde{A}},\sigma_{\hat{\tilde{A}}},o_{\tilde{A}}), où ~~\tilde{A},~~ S, \hat{\tilde{A}} sont des ens. finis, \sigma_{\tilde{A}} une involution de \tilde{A}, et o_{\tilde{A}} : \tilde{A} \to S une l'auteur hésite entre \tilde{A} et \hat{\tilde{A}} (accents superposés) dans ce paragraphe ; on transcrit tel quel.

application. On n'exige plus que \sigma_{\hat{A}} soit sans pts fixes – l'ens. des pts fixes, I, se correspond aux « boucles aplaties » du 1-complexe, i.e. aux ~~« »~~ « pts-bouts » de X qui ne sont pas dans S. La donnée d'un graphe à boucles aplaties revient donc (en désignant par \hat{I} ou I \amalg \tilde{A}, où I = \hat{I}^{\sigma} et \tilde{A} = \hat{I} \setminus \hat{I}^{\sigma}) à la donnée (S,\tilde{A},\sigma_{\tilde{A}},o_{\tilde{A}}) d'un graphe ordinaire, plus d'un ensemble I et d'une application I \to S. On décrit un tel graphe à boucles aplaties par un graphisme tel que

un graphe : un sommet de degré trois porte deux boucles aplaties (segments libres) et est relié à un second sommet par deux arêtes parallèles ; ce second sommet est relié par une arête à un troisième sommet qui porte une boucle ; un quatrième sommet, en bas, relié au premier, porte trois boucles aplaties.

où les sommets sont figurés par des points gros \bullet, et les boucles aplaties se distinguent par le fait justement qu'elles n'ont pas de point gros. Le graphe à b.a. ci-dessus correspond donc, en notation des « pts marqués », à

le même dessin réduit à sa partie supérieure : un sommet portant deux boucles aplaties numérotées 2 et 3, avec le numéro 1 au-dessus du sommet ; deux arêtes parallèles vers un second sommet, puis une arête vers un sommet portant une boucle. La phrase s'interrompt après le dessin.

p. 48 de l'auteur. cas d'une normalisation stricte. Dans cette optique, on voit que dans le cas où S' \simeq S, I' \simeq I \amalg \tilde{J}, on obtient G' à partir de G en se donnant l'ens. C des ~~flèches~~ arêtes (ordinaires) de G « qu'on veut couper » (complémentaire de I' dans \hat{I}' \to \hat{I}) en prenant un pt sur chaque arête \in C, et en « coupant » l'arête en ce point avec un coup de ciseaux (i.e. prenant le diagramme de X suivant la partie finie marquée en X)

un graphe : un sommet trivalent portant deux boucles aplaties en haut, relié à droite par une arête marquée d'une croix \times à un second sommet, lui-même relié à un troisième sommet portant une boucle, laquelle est marquée d'une croix ; un quatrième sommet, en bas à gauche, relié au premier.

donne

le graphe G' obtenu en coupant aux croix : le sommet trivalent, l'arête coupée devenue deux boucles aplaties, la boucle coupée devenue deux boucles aplaties issues du troisième sommet.

On trouve un nouveau graphe à boucles aplaties (qui a toutes les chances d'être disconnecté, même si G était connexe ; si G n'avait pas de boucles aplaties, il a tendance à en avoir…). Si de plus on remplace G' par un sous-graphe de G' en enlevant certaines boucles aplaties, et en prenant une réunion de composantes connexes de ce qui reste ( ) c'est En somme, le graphe déduit de G en donnant une involution pts fixes de l'ens. de ses bouts d'« arêtes », ou « recollés » celles-ci pour bouts.

kif-kif, à la composante connexe près (en ajoutant ou retranchant des boucles aplaties), on trouve la relation la plus générale entre G et un G', des types explicités dans la définition des « morphismes de normalisation ».

On définit de façon évidente les composés de morphismes de normalisation. Le composé de morphismes de normalisation strict est strict. Les MD-graphes et morphismes de normalisation stricts forment une catégorie dont les iso. sont les iso. ordinaires de MD-graphes. Les morphismes de cette catégorie sont des monomorphismes. Quand on se borne aux morphismes dits stricts, on voit que (pour les morphismes de normalisation généraux) l'ens. des sous-MD-graphes G'/\!\simeq stricts d'un MD-graphe G ( classes ) s'identifie à l'ens. des parties de A(G), en associant à une partie C \subset A(G)

p. 49 de l'auteur. le « diagramme » de G suivant C, obtenu en « coupant » comme il a été dit les arêtes ou les milieux des arêtes \in C (ce qui revient à « enlever » les arêtes, et à remplacer les sommets correspondants par des pts marqués.)

Soit un morphisme de normalisation entre MD-graphes (130)\qquad G' \longrightarrow G . Si c'est un morphisme de normalisation strict, on voit que G' est stable ssi G l'est. (Dans le cas général, on voit que si S' \to S est surjectif, et si G' est stable, G l'est aussi.)

~~Supposons~~ Si X est une courbe spéciale (sur une base quelconque S), épinglée par G, donc on voit (en procédant comme au début de la section) qu'on lui associe canoniquement une courbe spéciale C' épinglée, donc un foncteur (131)\qquad M_{G}(S) \longrightarrow M_{G'}(S) , le numéro (131) est écrit sur un autre chiffre. qui pour S variable est compatible avec changement de base, et donc définit un morphisme de multiplicités modulaires (si G, G' sont stables)

(132)\qquad M_{G} \longrightarrow M_{G'} , avec transitivité évidente pour des composés. Ainsi M_{G} est un foncteur contravariant en G pour les morphismes de normalisation stables ~~morphismes de normalisation~~. Ceci posé, on a

Proposition. a) Si G \to G' est un morphisme de normalisation strict, alors (132) est un iso. de multiplicités.

b) Soient G_{\alpha} des MD-graphes stables ~~graphes connexes~~, et G le MD-graphe somme des G_{\alpha}. Alors le morphisme (133)\qquad \text{\struck{$\Pi_{1}M_{G}$, $\Pi_{1}$}}\ M_{G} \longrightarrow \prod_{\alpha} M_{G_{\alpha}} est un iso. de multiplicités. NB On remplace (133) par une variante \Pi M_{G} pour un en produit.

Cor. \Pi_{1}M_{G} est un foncteur contravariant en le MD-graphe stable G, ~~pour~~ les la phrase se poursuit au-delà de ce lot.