Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 41–60

Le lot s'ouvre au milieu d'un argument : la condition 1) de (48), à laquelle renvoie la première phrase, précède ce lot.

p. 20 de l'auteur Reprenons un morphisme généralisé de graphes ordinaires f : G' \to G. On dit que f est un morphisme de généralisation s'il satisfait la condition 1) de (48).

Notons que G et f sont définis alors à isom. près par G' et l'ens \widetilde{B}' \subset \widetilde{A}' (stable par \sigma_{\widetilde{A}'}), ou ce qui revient au même, par G' et la partie B' de A' = \widetilde{A}'/\sigma_{\widetilde{A}'} (B' est donc un ens. d'arêtes de G'). En effet, soit G'_{!} le sous-graphe de G' défini par S' et A' \smallsetminus B' \subset A' (ou \widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{B}' \subset \widetilde{A}') (i.e. par S' et l'ens des ~~arêtes~~ arcs de G' qui sont au dessus des identités de \Pi_1(G)). Alors il résulte de la condition S' \to S surjectif et les G'(\alpha) connexes (\Leftrightarrow les G'(\alpha) 0-connexes) que ~~les fibres~~ l'homomorphisme canonique \pi_0(G'_{!}) \longrightarrow S est bijectif, d'où (49)\qquad S \simeq \pi_0(G'_{!}), d'ailleurs on a (50)\qquad \widetilde{A} \simeq \widetilde{B}' ccompatible avec \sigma_{\widetilde{B}'} et \sigma_{\widetilde{A}}

enfin \widetilde{A} \xrightarrow{\sigma_G} S est déterminé par passage au quotient à partir de \sigma_G \,|\, \widetilde{B}' : \widetilde{B}' \to S', par commutativité de

\begin{tikzcd} \widetilde{B}' \arrow[r, "{\sigma_{G'} | \widetilde{B}'}"] \arrow[d, "\wr"'] & S' = \text{sommets de } G' \arrow[d] \\ \widetilde{A} \arrow[r] & S \simeq \pi_0(G'_{!}) \end{tikzcd}

diagramme numéroté (51) en marge.

Ainsi G se reconstruit à partir de G', et f de bien sûr. Quant au fait que G apparaît comme un quotient de G', en fait c'est plutôt une somme amalgamée dans la catégorie des graphes et des morphismes généralisés de graphes :

\begin{tikzcd}[column sep=large] G'_{!} \arrow[r, hook, "\text{incl. can}"] \arrow[d, "\text{proj. can}"'] & G' \arrow[d] \\ S = \pi_0(G'_{!}) \arrow[r] & G \end{tikzcd}

diagramme numéroté (52) en marge, « cocart » inscrit au centre du carré ; sous S = \pi_0(G'_{!}) : « (graphe ~~produit~~ discret défini par S \overset{\text{déf}}{=} \pi_0(G'_{!})) ».

i.e. G' \to G est universel pour les morphismes généralisés de G dans un graphes G', qui transforment les arcs de \widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{B}' en des identités. Posons donc

p. 21 de l'auteur (53)\qquad \widetilde{C}' = \widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{B}', \quad C' = A' \smallsetminus B' = \widetilde{C}'/\sigma_{\widetilde{A}'}, on écrira (54)\qquad G = G'/\widetilde{C}' \quad\text{ou}\quad G = G'/C' et on dira que G est déduit de G' en contractant les arêtes a' \in C' (ou encore, les arcs \tilde{a}' \in \widetilde{C}') en des pts. Interprétant les morphismes généralisés de graphes, en termes des réalisations ~~géométriques~~ topologiques de ceux-ci, à l'aide d'applications continues qui contractent justement certaines arêtes en des pts, on voit que cette terminologie correspond bien à une intuition topologique courante. D'ailleurs la somme amalgamée (52) existe quel que soit le sous-graphe G'_{!} de G' ayant mêmes sommets que G', i.e. quel que soit l'ens d'~~flèches~~ arêtes C' \subset A' de G'_{!}. [Il s'ensuit que tout morphisme généralisé de graphes G' \to G se factorise de façon unique en un

composé (55)\qquad G' \to G_0 \to G, où G' \to G_0 est un morphisme de passage au quotient (par l'ens des arêtes de C' contractées par f, justement) et où G_0 \to G est un morphisme ordinaire de graphes.

Supposons maintenant que G' soit fini, et provienne d'un MD-graphe \underline{G}', grâce aux données supplémentaires I' \to S', \quad S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N}, où I' est un ens. fini. Alors G provient canoniquement d'un MD-graphe \underline{G}, en posant I = I_{\underline{G}} = I', et en définissant I \to S comme le composé I \overset{\text{déf}}{=} I' \to S' \to S, et en définissant, pour \forall\, \alpha \in S (56)\qquad g_\alpha = \Bigl(\sum_{\alpha' \in S'_\alpha} g'_{\alpha'}\Bigr) + h^1(G'(\alpha)). sous S'_\alpha : « = sommets de G'(\alpha) ». Devant la ligne I' \to S', un numéro biffé.

p. 22 de l'auteur Il faut cependant vérifier encore la condition MD sur le graphe \underline{G} obtenu. Que \underline{G} soit connexe résulte aussitôt de la connexité de \underline{G}'. Pour \forall\, \alpha \in S, il faut vérifier que 2g_\alpha + \underbrace{\operatorname{card} I_\alpha + \operatorname{card} \widetilde{A}_\alpha}_{\hat{\nu}_\alpha} \geqslant 3, ~~ce qui dit que~~ i.e. que (g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha) est admissible. Or ~~ou que \operatorname{card} 2g_\alpha + \operatorname{card} I_\alpha \geqslant 3~~ ~~qui dit~~ on sait que (g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha) est le type numérique du MD-graphe \underline{G}'(\alpha), dont le graphe sous-jacent est la composante connexe de G'_{!} correspondant à \alpha, et l'ens. des pts « marqués » est I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha, où I'_\alpha = I' \,|\, S'_\alpha \simeq I_\alpha, et \widetilde{B}'_\alpha = \widetilde{A}'_\alpha \cap \widetilde{B}'la lettre avant « '_\alpha \cap » est surchargée (B sur A ?) ; le sens demande l'ensemble des flèches d'origine dans S'_\alpha. est l'ens des flèches de \widetilde{B}' d'origine dans S'_\alpha, l'homomorphisme de projection I(\alpha) \overset{\text{déf}}{=} I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha \longrightarrow S'_\alpha étant induit par I' \to S' et l'application origine. Donc, en vertu de la prop. du n° 3, on aura (g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha) admissible pourvu seulement que \underline{G}(\alpha) est un MD-graphe. Mais cette condition signifie que l'on a, pour \forall\, \beta \in S'_\alpha

2g'_\beta + \underbrace{\bigl(\operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \widetilde{B}'_\beta\bigr)}_{\substack{\text{poids marqué}\\ \text{de } \beta \text{ dans } \underline{G}(\alpha)}} + \underbrace{\operatorname{card} \widetilde{C}'_\beta}_{\substack{\text{ordre de}\\ \beta \text{ dans } \underline{G}(\alpha)}} \geqslant 3 après I'_\beta, quelques signes biffés. or cette expression s'écrit aussi, puisque \widetilde{A}' = \widetilde{B}' \amalg \widetilde{C}' 2g'_\beta + \underbrace{\operatorname{card} I'_\beta}_{\substack{\text{poids marqué}\\ \text{de } \beta \text{ dans } \underline{G}'_\beta}} + \underbrace{\operatorname{card} \widetilde{A}'_\beta}_{\substack{\text{ordre de } \beta\\ \text{dans } \underline{G}'}} \geqslant 3, et cette condition n'est autre que la condition de régularité MD sur \underline{G}'.

Résumons les résultats sur les MD-graphesici et plus bas, « MD-graphe » est écrit très vite, en abrégé ; la lecture est fixée par les occurrences nettes de « MD-graphe » sur la page 51. :

Proposition. Soit \underline{G}' = (G', I' \to S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N}), où G' = (S', \widetilde{A}', \sigma_{\widetilde{A}'}, o_{\widetilde{A}'}), un MD-graphe, et soit C' \subset A' = \widetilde{A}'/\sigma_{\widetilde{A}'} un ens d'arêtes de G'. Alors on peut de façon unique (à isom. unique près) trouver un morphisme de généralisation de MD-graphes \underline{G}' \longrightarrow \underline{G}

p. 23 de l'auteur tel que Bon attendrait C' : ce sont les arêtes de C' que le morphisme contracte. soit l'ens des arêtes de \underline{G}' qui se « contractent en un point ». On a \pi_0(G') \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_0(G) [donc G est 0-connexe ssi G' l'est]. ~~Pour que~~ Soit, pour \forall\, \alpha \in S (ens des sommets de \underline{G}) G'_\alpha le sous-graphe de G' fibre en \alpha (qui est une composante connexe du s-graphe G'_{!} de G' défini par S' et C', ) et \underline{G}'_\alpha le MD-graphe déduit de G'_\alpha en considérant l'application « genre » S'_\alpha \to \mathbb{N} induite par g' : S' \to \mathbb{N}, et en prenant comme ens de pts marqués I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha (où I'_\alpha = I' \,|\, S'_\alpha, \widetilde{B}' = \widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{C}' avec \widetilde{C}' = \widetilde{A}' \,|\, C', \widetilde{B}'_\alpha = \widetilde{B}' \cap \widetilde{A}'_\alpha). Alors \underline{G}' ~~satisfait la condition~~ est stable (condition de régularité MD) ssi les \underline{G}'(\alpha) le sont – et dans ce cas \underline{G} est aussi stable. Par suite, si \underline{G}' est un MD-graphe, donc \underline{G} et les \underline{G}'(\alpha) le sont aussi.

Rem. On a généralisé par la bande les définitions de morphisme de généralisation entre MD-graphes (ou m-graphes quelconques, ni 0-connexes ni stables), pour avoir une plus jolie terminologie. Les m-graphes déduits de \underline{G}' par le procédé décrit s'appellent les m-graphes généralisations de \underline{G}', ou m-graphes quotients. Elles forment un ens. ordonné, qui est isomorphe, par \underline{G} \longleftrightarrow C', à l'opposé de l'ens ordonné des parties C' de A' (ens des arêtes de \underline{G}'), donc, par \underline{G} \longleftrightarrow B' = A' \smallsetminus C', à l'ens ordonné des parties B' de A'. Donc si \mu' = \operatorname{card} A', le nb de généralisations, de \underline{G}' est 2^{\mu'}.

Appelons « écart » d'un morphisme de généralisation \underline{G}' \to \underline{G} de m-graphes l'entier naturel \delta = \operatorname{card} C'. Alors l'écart ~~est~~ (pour \underline{G}' fixé) ~~est~~ peut prendre toutes les valeurs, entre 0 et s_1(\underline{G}') = codim modulaire de \underline{G}'. Il est nul ssi le morphisme de gén. est un iso.

p. 24 de l'auteur Tout morphisme de généralisation se factorise en un composé de morphismes de généralisation d'écart 1. ~~de façon unique~~ Le nb de façons de factoriser ainsi, à isom. près, est égal à \delta!, où \delta est l'écart du morphisme de généralisation.

Considérons, pour un MD-graphe donné \underline{G}, de type numérique (g, \nu)avant \nu, un symbole biffé illisible., l'~~les~~ inclusion des schémas modulaires propres sur S (57)\qquad \widehat{M}_{[\underline{G}]} \hookrightarrow \widehat{M}_{g,\nu} et aussi l'inclusion (58)\qquad (\widehat{M}_G, \Gamma^{!}) \hookrightarrow \widehat{M}_{g,I} sous (\widehat{M}_G, \Gamma^{!}), une accolade et une notation biffée, avec G en indice. où (59)\qquad \left\{ \begin{array}{l} \Gamma^{!} \subset \Gamma = \operatorname{Aut}(\underline{G}) \\[2pt] \Gamma^{!} \overset{\text{déf}}{=} \{\, u \in \Gamma \mid u_I = \mathrm{id}_I \,\} = \operatorname{Ker}\bigl(\operatorname{Aut}(\underline{G}) \to \mathfrak{S}_I\bigr), \end{array} \right. où I est l'ens. des « pts marqués » de \underline{G}.

Alors les 2^{\mu} généralisations de \underline{G} sont en correspondance biunivoque avec l'ens. des sous-multiplicités (fermées, donc propres sur \mathbb{Z}, et lisses sur \mathbb{Z}) de \widehat{M}_{g,\nu} (resp. de \widehat{M}_{g,I}) de la forme \widehat{M}_{[\underline{G}']} (resp. (\widehat{M}_{\underline{G}'}, \Gamma'^{!})) qui contiennent \widehat{M}_{[\underline{G}]} (resp. (\widehat{M}_G, \Gamma^{!})). C'est

la situation typique d'une stratification : l'infini « à croisements normaux », et l'analyse locale au voisinage d'une MD-courbe géométrique (\hat{X}, I) donnée (sur un corps alg. clos), à coups de « schémas modulaires ~~locaux~~ formels » montre qu'on a bel et bien une telle situation à croisements normaux (on y reviendra par la suite).

7. Étude des \widehat{M}_G de dim \leqslant 2

p. 25 de l'auteur. Le titre est de sa main, en tête de page : « Étude des \widehat{M}_G de dim \leqslant 2 ». a) Détermination des MD-graphes correspondants.

I) Cas de la dimension 0. ~~Les MD-gr~~ conditions suivantes sur le MD-graphe \underline{G} sont équivalentes

a) \dim M_G = 0 (\Leftrightarrow \dim \widehat{M}_G = 0)

b) La « dim. modulaire » de \underline{G} est nulle, i.e. le nb s_1 d'arêtes de \underline{G} (la codimension modulaire de \underline{G}) est égal à son maximum 3(g-1)+\nu.

c) \underline{G} est maximal parmi les MD-graphes pour la relation de généralisation, i.e. tout morphisme de généralisation \underline{G}' \to \underline{G} de MD-graphes est un iso.

d) Tout sommet \alpha de \underline{G} est de genre 0, et est d'ordre \omega_\alpha \leqslant 3 ~~i.e. le poids marqué~~ le poids \nu_\alpha est égal à 3 - \omega_\alpha.

On peut donc, à isomorphisme unique près, ~~trouver~~ une courbe standard \underline{G}-épinglée, et une seule sur une base quelconque \mathcal{S}, ~~G-épinglée~~, i.e. (60)\qquad M_G = M_{\widehat{G}} \simeq \operatorname{Spec} \mathbb{Z} \overset{\text{déf}}{=} S_0, donc (61)\qquad M_{[G]} \simeq B(\Gamma_{S_0}) ( multiplicité classifiante pour le schéma en groupes \Gamma_{S_0} sur S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, où \Gamma = \operatorname{Aut} \underline{G}).

(62)\qquad (M_{[G]}, \Gamma^{!}) \simeq B(\Gamma^{!}_{S_0}) La « dimension modulaire ambiante » d'un MD \underline{G} est égale à ~~\ldots \leqslant 2h_1(G) + \nu~~formule biffée, en partie illisible ; sous le \nu biffé : « = \operatorname{card} I ». : (63)\qquad \operatorname{dimmod}(G) = 3(g-1) + \nu = 3\bigl(h_1(G) - 1\bigr) + \nu . sous \nu : « = \operatorname{card} I » ; en marge : « puisque g = \sum_\alpha g_\alpha + h_1, g_\alpha = 0 ».

Nous allons faire l'énumération des cas où cette dimension est \leqslant 2, ce qui implique déjà h_1 \leqslant 1, i.e. h_1 \in \{0, 1\}.

~~a) \operatorname{dimmod}(G) = 0~~

a) h_1 = 0, i.e. G est un arbre, la dim. modulaire est \nu - 3, dans ce cas \nu \geqslant 3. Si on veut que cette dim soit \leqslant 2, cela signifie que 3 \leqslant \nu \leqslant 5.

Un arbre qui n'est pas réduit à un sommet, ni à un segment, a au moins trois bouts, dont chacun doit avoir un poids marqué \geqslant 2, donc \nu \geqslant 6 – donc si \nu \leqslant 5, on voit que l'arbre est réduit à un sommet, ou un segment. On trouve les cas (64)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \bullet^{3} & \nu = 3, & \dim \operatorname{amb} G = 0 \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \nu = 4, & \dim \operatorname{amb} G = 1 \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{1}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \nu = 5, & \dim \operatorname{amb} G = 2 \end{array} \right. En regard de chacun des trois cas de (64), la courbe correspondante : une droite portant trois points marqués a, b, c ; deux droites sécantes portant a, b et c, d ; une chaîne de trois droites, les extrêmes portant a, b et d, e, celle du milieu portant c.

p. 26 de l'auteur b) h_1 = 1, donc \operatorname{dimmod} G = \nu, on veut 0 \leqslant \nu \leqslant 2. On voit que le graphe G a au maximum un bout, tous les autres sommets étant donc d'ordre 3. Mais un graphe (top. connexe) avec h_1 = 1 et n'ayant qu'un seul bout top. est homéomorphe à un cercle muni d'une queue : un segment attaché au cercle et terminé par un sommet libre. et s'il n'a pas de sommet d'ordre 2, c'est qu'il est le graphe combinatoire correspondant à la figure précédente. D'autre part, si le graphe n'a pas de bout, c'est qu'il est homéomorphe au cercle. Tous ses sommets sont d'ordre 2, donc de poids marqué 1, le nb de ces sommets de est dans 1 \ldots 2, (il doit y en avoir au moins 1) on a pour graphe un cercle avec un sommet et un cercle avec deux sommets. En somme, on trouve exactement trois cas, résumés en (65)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \text{boucle à un sommet, de poids } 1 & \nu = 1 = \dim \operatorname{amb} G \\[2pt] \text{deux sommets de poids } 1 \text{ joints par deux arêtes} & \nu = 2 = \dim \operatorname{amb} G \\[2pt] \text{boucle munie d'une queue, le bout de poids } 2 & \nu = 2 = \dim \operatorname{amb} G \end{array} \right. Les trois graphes de (65) sont dessinés : un cercle portant un sommet marqué « 1 » ; deux sommets marqués « 1 » reliés par deux arcs ; un cercle avec une queue dont le bout est marqué « 2 ». En regard, les courbes correspondantes : une courbe nodale (en huit) portant un point a ; deux droites se coupant en deux points, portant a et b ; une courbe nodale à laquelle est attachée une droite portant a et b.

MD-graphes maximaux (dim mod. nulle), de dim. modulaire ambiante \leqslant 2 Nous allons aussi déterminer les groupes modulaires \Gamma et \Gamma^{!} correspondant à ces six cas : (65)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \bullet^{3} & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_3, \ \Gamma^{!} = \{1\} & (\dim \operatorname{amb} 0) \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma \simeq D_4, \ \Gamma^{!} = \{1\} & (\dim \operatorname{amb} 1) \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{1}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma \simeq D_4, \ \Gamma^{!} = \{1\} & (\dim \operatorname{amb} 2) \end{array} \right. il numérote ici (65) le tableau des arbres, numéroté (64) p. 52 ; le tableau des graphes à h_1 = 1, numéroté (65) p. 53, devient (66). (66)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \text{boucle à un sommet de poids } 1 : & \Gamma = \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \quad (\dim \operatorname{amb} 1) \\[2pt] \text{deux sommets de poids } 1, \text{ deux arêtes} : & \Gamma \simeq D_2, \ \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \quad (\dim \operatorname{amb} 2) \\[2pt] \text{boucle avec queue, bout de poids } 2 : & \Gamma \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2, \ \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \quad (\dim \operatorname{amb} 2) \end{array} \right. les graphes de (66) sont dessinés ; on les décrit ici en mots, comme ceux de (65) p. 53.

Notons que pour un MD-graphe G de dim modulaire nulle, si (\mathcal{X}, I_{\mathcal{S}}) est une MD-courbe G-épinglée sur une base \mathcal{S}, alors le groupe des automorphismes de (\mathcal{X}, I_{\mathcal{S}}) (qui ne respectent pas forcément l'épinglage) est can. isom. à \Gamma, et ~~celui des~~ le ~~\mathcal{X},~~ sous-groupe qui induit l'identité sur I_{\mathcal{S}} est can. isom. à \Gamma^{!}.

p. 27 de l'auteur Revenons au cas d'un MD-graphe général \underline{G} ; sa dimension modulaire est (67)\qquad \delta(G) = \sum_{\alpha \in S} \underbrace{\bigl(3(g_\alpha - 1) + \nu_\alpha + \tilde{\mu}_\alpha\bigr)}_{\delta_\alpha} si on veut qu'elle soit égale à 1 ou 2, cela signifie que l'on est dans l'un des deux cas : \left\{ \begin{array}{l} 1 \text{ ou } 2 \text{ des } \delta_\alpha \text{ sont égaux à } 1, \text{ les autres sont nuls} \\ 1 \text{ des } \delta_\alpha \text{ est égal à } 2, \text{ les autres sont nuls} \end{array} \right. Le cas \delta(G) = 1 correspond au cas où exactement un des \delta_\alpha est = 1, les autres étant nuls.

II) \underline{G} de dim modulaire 1

Cela signifie qu'il existe un sommet \alpha_0 (et un seul, de fait) de \underline{G} qui satisfasse la ~~soit de genre~~ condition (68)\qquad \left( \begin{array}{l} \alpha_0 \text{ de genre } 1, \text{ et son poids total } \nu_{\alpha_0} + \tilde{\mu}_{\alpha_0} \text{ est égal à } 1 \\ \quad \text{i.e.\ } \alpha_0 \text{ est d'ordre } 1, \text{ ou isolé de poids marqué } 1 \\ \underline{\text{ou}} \ \bigl(\alpha_0 \text{ de genre } 0, \text{ et son poids total } \nu_{\alpha_0} + \tilde{\mu}_{\alpha_0} = 4, \\ \quad \text{i.e.\ } (\nu_{\alpha_0}, \tilde{\mu}_{\alpha_0}) \in \{(4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,4)\}\bigr) \end{array} \right) avec en plus (69)\qquad \begin{array}{l} \text{les sommets } \alpha \neq \alpha_0 \text{ sont de genre } 0, \text{ d'ordre } \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3, \\ \text{et pour un tel } \alpha \text{ le poids marqué } \nu_\alpha \text{ est égal à } 3 - \tilde{\mu}_\alpha . \end{array} ~~On voit que la MD-structure d'un tel graphe~~

MD-graphes élémentaires (sommet isolé) de dim. modulaire 1 i.e. codim modulaire nulle ~~ambiante 1~~ ~~est déterminée par la structure de graphe et des sommets prédéfinis par le~~

Les cas les plus simples sont les cas élémentaires (graphes ponctuels) : (70)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \overset{4}{\bullet} \ \ g = 0 & \Gamma = \mathfrak{S}_4, \ \Gamma^{!} = 1 \\[6pt] \overset{1}{\bullet} \ \ g = 1 & \Gamma = \Gamma^{!} = \{e\} \end{array} \right.

Les autres cas sont ceux des MD-graphes « rétro-nuls » (tous les g_\alpha nuls) tels que tous les \hat{\nu}_\alpha soient égaux à trois (donc les sommets d'ordre 1 \leqslant \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3) et sauf l'un d'eux, qui est égal à 4 (donc 1 \leqslant \tilde{\mu}_{\alpha_0} \leqslant 4), ou bien des MD-graphes qui soient tous leurs sommets sauf un rétro-nuls et \hat{\nu}_\alpha = 3, ~~donc~~ sauf un \alpha_0 qui est un sommet-bout (\tilde{\mu}_\alpha = 1) et de genre 1, \nu_{\alpha_0} = 0 – donc ici tous les sommets sont d'ordre 1 \leqslant \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3, et les \nu_\alpha pour \alpha \neq \alpha_0 sont égaux à 3 - \tilde{\mu}_\alpha, ~~pour \alpha \neq~~ et \nu_{\alpha_0} = 0.

Dans l'un et l'autre cas (g_{\alpha_0} = 0, g_{\alpha_0} = 1) on aura un iso can. de multiplicités (71)\qquad \widehat{M}_G \simeq \widehat{M}_{g_{\alpha_0}, \hat{I}_{\alpha_0}} avec \hat{I}_{\alpha_0} = I_{\alpha_0} + \widetilde{A}_{\alpha_0} (de cardinal 4 ou 1 suivant que g_{\alpha_0} = 0 ou g_{\alpha_0} = 1).

p. 28 de l'auteur MD-graphes de dim. modulaire 1 et de dim. modulaire ambiante 1, 2 et l'action de \Gamma_{\underline{G}} = \Gamma sur \widehat{M}_G \simeq \widehat{M}_{g_{\alpha_0}, \hat{I}_{\alpha_0}} est triviale si g_{\alpha_0} = 1, et elle se fait à travers (72)\qquad \Gamma_{\underline{G}} \longrightarrow \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \quad (\simeq \mathfrak{S}_4) dans le cas où g_{\alpha_0} = 0. L'image de \Gamma_{\underline{G}} dans \mathfrak{S}_4 doit pouvoir être n'importe quel sous-groupe de \mathfrak{S}_4, sauf erreur. Explicitons déjà que sont les cas où la dim. ambiante est \leqslant 2. Le cas de la dim ambiante 1, i.e. où la codim modulaire s_1 de \underline{G} est 0, est évidemment celui donné par (70), i.e. G est réduit à un sommet isolé.

Considérons donc le cas de la dim mod. ambiante 2, i.e. codim modulaire 1, i.e. une arête. On trouve soit une boucle sur un sommet, soit un segment.

On trouve les trois cas de dim modulaire 1 ambiante 2, dim modulaire 1 ~~Dans le cas g_{\alpha_0} = 0 tous les sommets sauf \ldots sont d'ordre \leqslant~~ (72)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \overset{3}{\underset{\alpha_0}{\bullet}}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\underset{\alpha}{\bullet}} & \text{i.e.\ deux droites } (a, b, c;\ d, e) & \text{type } (0,5) \\[6pt] \text{boucle sur } \alpha_0, \text{ de poids } 2 & \text{i.e.\ courbe nodale } (a, b) & \text{type } (1,2) \\[6pt] \overset{}{\underset{(\alpha_0),\ g_{\alpha_0} = 1}{\bullet}}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\underset{g_\alpha = 0}{\bullet}} & \text{i.e.\ genre } 1 + \text{droite } (a, b) & \text{type } (1,2) \end{array} \right. le numéro (72) est porté deux fois sur la page. Les graphes et les courbes sont dessinés ; les courbes sont décrites ici en mots. Dans le premier graphe, l'indice du second sommet est surchargé (\alpha_0 ?). Au-dessus du sommet \alpha_0 du troisième graphe, un chiffre biffé.

(NB les sommets à poids marqué des branches des courbes, dont le genre n'est pas marqué ou poids marqué est marqué en dessous, sont de genre ~~zéro~~ ; les poids marqués sont indiqués sur les ~~graphes~~ au-dessus des sommets)

Les groupes d'automorphismes de ces MD-graphes sont (73)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \overset{3}{\underset{\alpha_0}{\bullet}}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2, \ \Gamma^{!} = 1, \ \operatorname{Im}(\Gamma \to \mathfrak{S}_4) \simeq \mathfrak{S}_3 \\[6pt] \text{boucle sur } (\alpha_0), \text{ de poids } 2 & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2, \ \Gamma^{!} \simeq \mathfrak{S}_2, \ \operatorname{Im}(\Gamma \to \mathfrak{S}_4) \simeq \Gamma \\ & \qquad = \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2 \\[6pt] \underset{g_{\alpha_0} = 1}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_2, \ \Gamma^{!} \simeq 1 \end{array} \right. après \Gamma^{!} \simeq 1 à la dernière ligne, une suite de signes biffés.

III) Dim. modulaire 2

Correspond par (67), aux deux cas suivants :

1°) Tous les \alpha \in S sauf un seul \alpha_0 sont de genre 0, et de poids total 3 (i.e. d'ordre \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3, et de poids marqué 3 - \tilde{\mu}_\alpha), et (\alpha_0, \hat{\nu}_{\alpha_0}) est d'un des deux types (0,5), (1,2) , i.e. \alpha_0 est de genre 0, d'ordre \tilde{\mu}_{\alpha_0} \leqslant 5 et de poids marqué 5 - \tilde{\mu}_{\alpha_0}, ou \alpha_0 de genre 1, d'ordre \tilde{\mu}_\alpha \in \{1, 2\} et de poids marqué 2 - \tilde{\mu}_{\alpha_0} \in \{1, 0\}. donc deux cas en réalité

2°) Tous les \alpha \in S sauf deux exactement \alpha_0 et \alpha_1 sont de genre 0, et de poids total 3 (i.e. d'ordre 1 \leqslant \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3, et de poids ~~total~~ marqué égal à 3 - \tilde{\mu}_\alpha), \alpha_0 et \alpha_1 sont chacun de type (g_i, \hat{\nu}_i) égal soit à (0,4), soit à (1,1). Cela fait donc trois cas, suivant que les deux types sont (0,4), (1,1), (0,4), (1,1).

La multiplicité ~~schéma~~ modulaire \widehat{M}_G est donc isomorphe, suivant les cas, à l'une des suivantes :

p. 29 de l'auteur multiplicités modulaires de dim 2 \widetilde{M}_G (74)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \widehat{M}^{!}_{0,5} & \Gamma \text{ opère via} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \ (\simeq \mathfrak{S}_5) \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{1,2} & \Gamma \text{ ------} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{0,4} \times \widehat{M}^{!}_{0,4} & \Gamma \text{ ------} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0} \amalg \hat{I}_{\alpha_1}} \simeq \mathfrak{S}_8 \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{0,4} \times \widehat{M}^{!}_{1,1} & \Gamma \text{ ------} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \simeq \mathfrak{S}_4 \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{1,1} \times \widehat{M}^{!}_{1,1} & \Gamma \text{ opère trivialement.} & \end{array} \right. les tirets sont ses « idem ». À la 3e ligne, un symbole biffé avant \mathfrak{S} ; à la 4e, une surcharge (« \alpha \in \ldots » ?) avant \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}}.

NB Dans le cas 3°) de \widehat{M}_{0,4} \times \widehat{M}_{0,4}, \Gamma s'envoie ~~opère~~ dans \mathfrak{S}_8 par l'intermédiaire de \Gamma \longrightarrow \underbrace{\mathbb{Z}/2 \cdot (\mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_4)}_{\text{prod.\ }\tfrac{1}{2}\text{ direct}} .

On peut considérer que pour l'essentiel, les seules multiplicités \widehat{M}_G modulaires de dim 1, nouvelles sont : (75)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} M^{!}_{0,4} & \Gamma \text{ opère via } \Gamma \to \mathfrak{S}_{I_{\alpha_0}} \simeq \mathfrak{S}_4 \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{1,1} & \Gamma \text{ opère trivialement,} \end{array} \right. (cas élémentaires) les « cas nouveaux » dans (74) sont \widehat{M}^{!}_{0,5} et \widehat{M}^{!}_{1,2}. Cela fait en tout essentiellement quatre cas « élémentaires » à étudier à fond, pour le cas de dim. modulaires \leqslant 2. J'ai l'impression qu'une compréhension plus ou moins complète de la structure des \Pi_1 discrets (i.e. dans le contexte analytique) impliqués dans ces cas, donnera la clef pour une compréhension complète dans le cas général.

Partant des MD-graphes « élémentaires » correspondants, je voudrais expliciter dans les quatre cas la structure de spécialisation entre des strates des \widehat{M}_{g,\nu} et \widehat{M}^{!}_{g,\nu}.

8) Structure de spécialisation des strates en dim modulaire \leqslant 2

1°) Cas des \widehat{M}^{!}_{0,4} et \widehat{M}_{0,4}

Commençons par \widehat{M}^{!}_{0,4}. (76)\qquad \begin{array}{c|c} \text{Codim } 0 & \text{Codim } 1 \\ \hline \overset{I(4)}{\bullet} \quad \xrightarrow{\ 3\ } & \overset{I'(2)}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{I''(2)}{\bullet} \end{array} Le diagramme signifie que l'ens. marqué I de cardinal 4, se partageant, suivant l'une quelconque des trois partitions de I en I' et I'' de cardinal 2 chacune, donne 3 spécialisations différentes de la strate maximale – cela correspond bien au fait qu'on a trois pts à l'infini de U_{0,3}, où on a (77)\qquad \widehat{M}^{!}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \quad M^{!}_{0,4} \simeq (U_{0,3})_{\mathbb{Z}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\} Pour bien faire, il faudrait aussi expliciter la page s'arrête ici ; la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.