Cote n° 147, pages 41–60

Cote n° 147 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

Le lot s'ouvre au milieu d'un argument : la condition 1) de (48), à laquelle renvoie la première phrase, précède ce lot.

41p. 20 de l'auteur Reprenons un morphisme généralisé de graphes ordinaires \(f : G' \to G\). On dit que \(f\) est un morphisme de généralisation s'il satisfait la condition 1) de (48).

Notons que \(G\) et \(f\) sont définis alors à isom. près par \(G'\) et l'ens \(\widetilde{B}' \subset \widetilde{A}'\) (stable par \(\sigma_{\widetilde{A}'}\)), ou ce qui revient au même, par \(G'\) et la […] partie \(B'\) de \(A' = \widetilde{A}'/\sigma_{\widetilde{A}'}\) (\(B'\) est donc un ens. d'arêtes de \(G'\)). En effet, soit \(G'_{!}\) le sous-graphe de \(G'\) défini par \(S'\) et \(A' \smallsetminus B' \subset A'\) (ou \(\widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{B}' \subset \widetilde{A}'\)) (i.e. ⌜par \(S'\) et⌝ l'ens des arêtes arcs de \(G'\) qui sont au dessus des identités de \(\Pi_1(G)\)). Alors il résulte de la condition \(S' \to S\) surjectif ⌜et⌝ les \(G'(\alpha)\) connexes (\(\Leftrightarrow\) les \(G'(\alpha)\) \(0\)-connexes) que les fibres l'homomorphisme canonique \[ \pi_0(G'_{!}) \longrightarrow S \] est bijectif, d'où \[ (49)\qquad S \simeq \pi_0(G'_{!}), \] d'ailleurs on a \[ (50)\qquad \widetilde{A} \simeq \widetilde{B}' \] ccompatible avec \(\sigma_{\widetilde{B}'}\) et \(\sigma_{\widetilde{A}}\)

42enfin \(\widetilde{A} \xrightarrow{\sigma_G} S\) est déterminé par passage au quotient à partir de \(\sigma_G \,|\, \widetilde{B}' : \widetilde{B}' \to S'\), par commutativité de

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\begin{tikzcd}
\widetilde{B}' \arrow[r, "{\sigma_{G'} | \widetilde{B}'}"] \arrow[d, "\wr"'] & S' = \text{sommets de } G' \arrow[d] \\
\widetilde{A} \arrow[r] & S \simeq \pi_0(G'_{!})
\end{tikzcd}

diagramme numéroté (51) en marge.

Ainsi \(G\) se reconstruit à partir de \(G'\), et \(f\) de […] bien sûr. Quant au fait que \(G\) apparaît comme un quotient de \(G'\), en fait c'est plutôt une somme amalgamée dans la catégorie des graphes et des morphismes généralisés de graphes :

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
G'_{!} \arrow[r, hook, "\text{incl. can}"] \arrow[d, "\text{proj. can}"'] & G' \arrow[d] \\
S = \pi_0(G'_{!}) \arrow[r] & G
\end{tikzcd}

diagramme numéroté (52) en marge, « cocart » inscrit au centre du carré ; sous \(S = \pi_0(G'_{!})\) : « (graphe produit ⌜discret⌝ défini par \(S \overset{\text{déf}}{=} \pi_0(G'_{!})\)) ».

i.e. \(G' \to G\) est universel pour les morphismes généralisés de ⌜\(G\) dans un⌝ graphes \(G'\), qui transforment les arcs de \(\widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{B}'\) en des identités. Posons donc

43p. 21 de l'auteur \[ (53)\qquad \widetilde{C}' = \widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{B}', \quad C' = A' \smallsetminus B' = \widetilde{C}'/\sigma_{\widetilde{A}'}, \] on écrira \[ (54)\qquad G = G'/\widetilde{C}' \quad\text{ou}\quad G = G'/C' \] et on dira que \(G\) est déduit de \(G'\) en contractant les arêtes \(a' \in C'\) (ou encore, les arcs \(\tilde{a}' \in \widetilde{C}'\)) en des pts. Interprétant les morphismes généralisés de graphes, en termes des réalisations géométriques ⌜topologiques⌝ de ceux-ci, à l'aide d'applications continues qui contractent justement certaines arêtes en des pts, on voit que cette terminologie correspond bien à une intuition topologique courante. D'ailleurs la somme amalgamée (52) existe quel que soit le sous-graphe \(G'_{!}\) de \(G'\) ayant mêmes sommets que \(G'\), i.e. quel que soit l'ens d'flèches ⌜arêtes⌝ \(C' \subset A'\) de \(G'_{!}\). [Il s'ensuit que tout morphisme généralisé de graphes \(G' \to G\) se factorise de façon unique en un

44composé \[ (55)\qquad G' \to G_0 \to G, \] où \(G' \to G_0\) est un morphisme de passage au quotient (par l'ens des arêtes de \(C'\) contractées par \(f\), justement) et où \(G_0 \to G\) est un morphisme ⌜ordinaire⌝ de graphes.

Supposons maintenant que \(G'\) soit […] ⌜fini, et⌝ provienne⌜[…]⌝ d'un MD-graphe \(\underline{G}'\), grâce aux données supplémentaires \[ I' \to S', \quad S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N}, \] où \(I'\) est un ens. fini. Alors \(G\) provient canoniquement d'un MD-graphe \(\underline{G}\), en posant \(I = I_{\underline{G}} = I'\), et en définissant \(I \to S\) comme le composé \[ I \overset{\text{déf}}{=} I' \to S' \to S, \] et en définissant, pour \(\forall\, \alpha \in S\) \[ (56)\qquad g_\alpha = \Bigl(\sum_{\alpha' \in S'_\alpha} g'_{\alpha'}\Bigr) + h^1(G'(\alpha)). \] sous \(S'_\alpha\) : « \(=\) sommets de \(G'(\alpha)\) ». Devant la ligne \(I' \to S'\), un numéro biffé.

45p. 22 de l'auteur Il faut cependant vérifier encore la condition MD sur le graphe \(\underline{G}\) obtenu. Que \(\underline{G}\) soit connexe résulte aussitôt de la connexité de \(\underline{G}'\). Pour \(\forall\, \alpha \in S\), il faut vérifier que \[ 2g_\alpha + \underbrace{\operatorname{card} I_\alpha + \operatorname{card} \widetilde{A}_\alpha}_{\hat{\nu}_\alpha} \geqslant 3, \] ce qui dit que […] i.e. que \((g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)\) est admissible. Or ou que \(\operatorname{card} 2g_\alpha + \operatorname{card} I_\alpha \geqslant 3\) qui dit ⌜on sait⌝ que \((g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)\) est le type numérique du MD-graphe \(\underline{G}'(\alpha)\), dont le graphe sous-jacent est la composante connexe de \(G'_{!}\) correspondant à \(\alpha\), et l'ens. des pts « marqués » est \(I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha\), où \(I'_\alpha = I' \,|\, S'_\alpha \simeq I_\alpha\), et \(\widetilde{B}'_\alpha = \widetilde{A}'_\alpha \cap \widetilde{B}'\)la lettre avant « \('_\alpha \cap\) » est surchargée (\(B\) sur \(A\) ?) ; le sens demande l'ensemble des flèches d'origine dans \(S'_\alpha\). est l'ens des flèches de \(\widetilde{B}'\) d'origine dans \(S'_\alpha\), l'homomorphisme de projection \[ I(\alpha) \overset{\text{déf}}{=} I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha \longrightarrow S'_\alpha \] étant induit par \(I' \to S'\) et l'application origine. Donc, en vertu de la prop. du n° 3, on aura \((g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)\) admissible pourvu seulement que \(\underline{G}(\alpha)\) est un MD-graphe. Mais cette condition signifie que l'on a, pour \(\forall\, \beta \in S'_\alpha\)

46\[ 2g'_\beta + \underbrace{\bigl(\operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \widetilde{B}'_\beta\bigr)}_{\substack{\text{poids marqué}\\ \text{de } \beta \text{ dans } \underline{G}(\alpha)}} + \underbrace{\operatorname{card} \widetilde{C}'_\beta}_{\substack{\text{ordre de}\\ \beta \text{ dans } \underline{G}(\alpha)}} \geqslant 3 \] après \(I'_\beta\), quelques signes biffés. or cette expression s'écrit aussi, puisque \(\widetilde{A}' = \widetilde{B}' \amalg \widetilde{C}'\) \[ 2g'_\beta + \underbrace{\operatorname{card} I'_\beta}_{\substack{\text{poids marqué}\\ \text{de } \beta \text{ dans } \underline{G}'_\beta}} + \underbrace{\operatorname{card} \widetilde{A}'_\beta}_{\substack{\text{ordre de } \beta\\ \text{dans } \underline{G}'}} \geqslant 3, \] et cette condition n'est autre que la condition ⌜de régularité⌝ MD sur \(\underline{G}'\).

Résumons les résultats sur les MD-graphesici et plus bas, « MD-graphe » est écrit très vite, en abrégé ; la lecture est fixée par les occurrences nettes de « MD-graphe » sur la page 51. :

Proposition. Soit \(\underline{G}' = (G', I' \to S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N})\), où \(G' = (S', \widetilde{A}', \sigma_{\widetilde{A}'}, o_{\widetilde{A}'})\), un MD-graphe, et soit \(C' \subset A' = \widetilde{A}'/\sigma_{\widetilde{A}'}\) un ens d'arêtes de \(G'\). Alors on peut de façon unique […] ⌜(à isom. unique près)⌝ trouver un morphisme de généralisation de MD-graphes \[ \underline{G}' \longrightarrow \underline{G} \]

47p. 23 de l'auteur tel que \(B\)on attendrait \(C'\) : ce sont les arêtes de \(C'\) que le morphisme contracte. soit l'ens des arêtes ⌜de \(\underline{G}'\)⌝ qui se « contractent en un point ». On a \[ \pi_0(G') \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_0(G) \] [donc \(G\) est \(0\)-connexe ssi \(G'\) l'est]. Pour que Soit, pour \(\forall\, \alpha \in S\) (ens des sommets de \(\underline{G}\)) \(G'_\alpha\) le sous-graphe de \(G'\) fibre en \(\alpha\) (qui est une composante connexe du s-graphe \(G'_{!}\) de \(G'\) défini par \(S'\) et \(C'\), […]) et \(\underline{G}'_\alpha\) le MD-graphe déduit de \(G'_\alpha\) en considérant l'application « genre » \(S'_\alpha \to \mathbb{N}\) induite par \(g' : S' \to \mathbb{N}\), et en prenant comme ens de pts marqués \[ I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha \] (où \(I'_\alpha = I' \,|\, S'_\alpha\), \(\widetilde{B}' = \widetilde{A}' \smallsetminus \widetilde{C}'\) avec \(\widetilde{C}' = \widetilde{A}' \,|\, C'\), \(\widetilde{B}'_\alpha = \widetilde{B}' \cap \widetilde{A}'_\alpha\)). Alors \(\underline{G}'\) satisfait la condition ⌜est stable⌝ (condition de régularité MD) ssi les \(\underline{G}'(\alpha)\) le sont – et dans ce cas \(\underline{G}\) est aussi stable. Par suite, si \(\underline{G}'\) est un MD-graphe, donc \(\underline{G}\) et les \(\underline{G}'(\alpha)\) le sont aussi.

48Rem. On a généralisé par la bande les définitions de morphisme de généralisation entre MD-graphes (ou m-graphes quelconques, ni 0-connexes ni stables), pour avoir une plus jolie terminologie. Les m-graphes déduits de \(\underline{G}'\) par le procédé décrit s'appellent les m-graphes généralisations de \(\underline{G}'\), ou m-graphes quotients. Elles forment un ens. ordonné, qui est isomorphe, par \(\underline{G} \longleftrightarrow C'\), à l'opposé de l'ens ordonné des parties \(C'\) de \(A'\) (ens des arêtes de \(\underline{G}'\)), donc, par \[ \underline{G} \longleftrightarrow B' = A' \smallsetminus C', \] à l'ens ordonné des parties \(B'\) de \(A'\). Donc si \(\mu' = \operatorname{card} A'\), le nb de généralisations, de \(\underline{G}'\) est \(2^{\mu'}\).

Appelons « écart » d'un morphisme de généralisation \(\underline{G}' \to \underline{G}\) de m-graphes l'entier naturel \(\delta = \operatorname{card} C'\). Alors l'écart est […] ⌜(pour \(\underline{G}'\) fixé)⌝ est peut prendre toutes les valeurs, entre \(0\) et \(s_1(\underline{G}') =\) codim modulaire de \(\underline{G}'\). Il est nul ssi le morphisme de gén. est un iso.

49p. 24 de l'auteur Tout morphisme de généralisation se factorise en un composé de morphismes de généralisation d'écart 1. de façon unique ⌜Le nb de⌝ façons de factoriser ainsi, à isom. près, est égal à \(\delta!\), où \(\delta\) est l'écart du morphisme de généralisation.

Considérons, pour un MD-graphe donné \(\underline{G}\), de type ⌜numérique⌝ \((g, \nu)\)avant \(\nu\), un symbole biffé illisible., l'les ⌜inclusion des⌝ schémas modulaires propres sur \(S\) \[ (57)\qquad \widehat{M}_{[\underline{G}]} \hookrightarrow \widehat{M}_{g,\nu} \] et aussi l'inclusion \[ (58)\qquad (\widehat{M}_G, \Gamma^{!}) \hookrightarrow \widehat{M}_{g,I} \] sous \((\widehat{M}_G, \Gamma^{!})\), une accolade et une notation biffée, avec \(G\) en indice. où \[ (59)\qquad \left\{ \begin{array}{l} \Gamma^{!} \subset \Gamma = \operatorname{Aut}(\underline{G}) \\[2pt] \Gamma^{!} \overset{\text{déf}}{=} \{\, u \in \Gamma \mid u_I = \mathrm{id}_I \,\} = \operatorname{Ker}\bigl(\operatorname{Aut}(\underline{G}) \to \mathfrak{S}_I\bigr), \end{array} \right. \] où \(I\) est l'ens. des « pts marqués » de \(\underline{G}\).

Alors les ⌜\(2^{\mu}\)⌝ généralisations de \(\underline{G}\) sont en correspondance biunivoque avec l'ens. des sous-multiplicités (fermées, […] donc propres sur \(\mathbb{Z}\), et lisses sur \(\mathbb{Z}\)) de \(\widehat{M}_{g,\nu}\) (resp. de \(\widehat{M}_{g,I}\)) de la forme \(\widehat{M}_{[\underline{G}']}\) (resp. \((\widehat{M}_{\underline{G}'}, \Gamma'^{!})\)) qui contiennent \(\widehat{M}_{[\underline{G}]}\) (resp. \((\widehat{M}_G, \Gamma^{!})\)). C'est

50la situation typique d'une stratification : l'infini « à croisements normaux », et l'analyse locale au voisinage d'une ⌜MD-⌝courbe géométrique \((\hat{X}, I)\) donnée (sur un corps alg. clos), à coups de « schémas modulaires locaux formels » montre qu'on a bel et bien une telle situation à croisements normaux (on y reviendra par la suite).

7. Étude des \(\widehat{M}_G\) de dim \(\leqslant 2\)

51p. 25 de l'auteur. Le titre est de sa main, en tête de page : « Étude des […] \(\widehat{M}_G\) […] de dim \(\leqslant 2\) ». a) Détermination des MD-graphes correspondants.

I) Cas de la dimension 0. Les MD-gr ⌜conditions⌝ suivantes sur le MD-graphe \(\underline{G}\) sont équivalentes

a) \(\dim M_G = 0\) (\(\Leftrightarrow \dim \widehat{M}_G = 0\))

b) […] La « dim. modulaire » de \(\underline{G}\) est nulle, i.e. le nb \(s_1\) d'arêtes de […] \(\underline{G}\) (la codimension modulaire de \(\underline{G}\)) est égal à son maximum \(3(g-1)+\nu\).

c) […] \(\underline{G}\) est maximal parmi les MD-graphes pour la relation de généralisation, i.e. tout morphisme de généralisation \(\underline{G}' \to \underline{G}\) de MD-graphes est un iso.

d) Tout sommet ⌜\(\alpha\)⌝ de \(\underline{G}\) est de genre \(0\), et est d'ordre […] \(\omega_\alpha \leqslant 3\) i.e. le poids marqué le ⌜poids⌝ \(\nu_\alpha\) est égal à \(3 - \omega_\alpha\).

On peut donc, à isomorphisme unique près, trouver une courbe standard ⌜\(\underline{G}\)-épinglée⌝, et une seule sur une base quelconque \(\mathcal{S}\), \(G\)-épinglée, i.e. \[ (60)\qquad M_G = M_{\widehat{G}} \simeq \operatorname{Spec} \mathbb{Z} \overset{\text{déf}}{=} S_0, \] donc \[ (61)\qquad M_{[G]} \simeq B(\Gamma_{S_0}) \] ([…] multiplicité classifiante ⌜pour le⌝ schéma en groupes \(\Gamma_{S_0}\) sur \(S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), où \(\Gamma = \operatorname{Aut} \underline{G}\)).

52\[ (62)\qquad (M_{[G]}, \Gamma^{!}) \simeq B(\Gamma^{!}_{S_0}) \] La « dimension modulaire ⌜ambiante⌝ » d'un MD \(\underline{G}\) est égale à \(\ldots \leqslant 2h_1(G) + \nu\)formule biffée, en partie illisible ; sous le \(\nu\) biffé : « \(= \operatorname{card} I\) ». : \[ (63)\qquad \operatorname{dimmod}(G) = 3(g-1) + \nu = 3\bigl(h_1(G) - 1\bigr) + \nu . \] sous \(\nu\) : « \(= \operatorname{card} I\) » ; en marge : « puisque \(g = \sum_\alpha g_\alpha + h_1\), \(g_\alpha = 0\) ».

Nous allons faire l'énumération des cas où cette dimension est \(\leqslant 2\), ce qui implique déjà \(h_1 \leqslant 1\), i.e. \(h_1 \in \{0, 1\}\).

a) \(\operatorname{dimmod}(G) = 0\)

a) \(h_1 = 0\), i.e. \(G\) est un arbre, la dim. modulaire est \(\nu - 3\), dans ce cas \(\nu \geqslant 3\). Si on veut que cette dim soit \(\leqslant 2\), cela signifie que \(3 \leqslant \nu \leqslant 5\).

Un arbre qui n'est pas réduit à un […] sommet, ni à un segment, a au moins trois bouts, dont chacun doit avoir un poids marqué \(\geqslant 2\), donc \(\nu \geqslant 6\) – donc si \(\nu \leqslant 5\), on voit que l'arbre est réduit à un sommet, ou un segment. On trouve les cas \[ (64)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \bullet^{3} & \nu = 3, & \dim \operatorname{amb} G = 0 \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \nu = 4, & \dim \operatorname{amb} G = 1 \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{1}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \nu = 5, & \dim \operatorname{amb} G = 2 \end{array} \right. \] En regard de chacun des trois cas de (64), la courbe correspondante : une droite portant trois points marqués \(a, b, c\) ; deux droites sécantes portant \(a, b\) et \(c, d\) ; une chaîne de trois droites, les extrêmes portant \(a, b\) et \(d, e\), celle du milieu portant \(c\).

53p. 26 de l'auteur b) \(h_1 = 1\), donc \(\operatorname{dimmod} G = \nu\), on veut \(0 \leqslant \nu \leqslant 2\). On voit que le graphe \(G\) a au maximum un bout, tous les autres sommets étant donc d'ordre 3. […] Mais un graphe (⌜top. connexe⌝) avec \(h_1 = 1\) et n'ayant qu'un seul bout top. est homéomorphe à un cercle muni d'une queue : un segment attaché au cercle et terminé par un sommet libre. et s'il […] ⌜n'a pas de⌝ sommet d'ordre 2, c'est qu'il est ⌜le⌝ graphe […] ⌜combinatoire⌝ correspondant à la figure précédente. D'autre part, si le graphe n'a pas de bout, c'est qu'il est homéomorphe au cercle. Tous ses sommets sont d'ordre 2, donc de poids marqué 1, le nb de ces sommets de est ⌜dans⌝ \(1 \ldots 2\), (il doit y en avoir au moins 1) on a pour graphe un cercle avec un sommet et un cercle avec deux sommets. En somme, on trouve exactement trois cas, résumés en \[ (65)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \text{boucle à un sommet, de poids } 1 & \nu = 1 = \dim \operatorname{amb} G \\[2pt] \text{deux sommets de poids } 1 \text{ joints par deux arêtes} & \nu = 2 = \dim \operatorname{amb} G \\[2pt] \text{boucle munie d'une queue, le bout de poids } 2 & \nu = 2 = \dim \operatorname{amb} G \end{array} \right. \] Les trois graphes de (65) sont dessinés : un cercle portant un sommet marqué « 1 » ; deux sommets marqués « 1 » reliés par deux arcs ; un cercle avec une queue dont le bout est marqué « 2 ». En regard, les courbes correspondantes : une courbe nodale (en huit) portant un point \(a\) ; deux droites se coupant en deux points, portant \(a\) et \(b\) ; une courbe nodale à laquelle est attachée une droite portant \(a\) et \(b\).

54MD-graphes maximaux (dim mod. nulle), de dim. modulaire ambiante \(\leqslant 2\) Nous allons aussi déterminer les groupes modulaires \(\Gamma\) et \(\Gamma^{!}\) correspondant à ces six cas : \[ (65)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \bullet^{3} & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_3, \ \Gamma^{!} = \{1\} & (\dim \operatorname{amb} 0) \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma \simeq D_4, \ \Gamma^{!} = \{1\} & (\dim \operatorname{amb} 1) \\[4pt] \overset{2}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{1}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma \simeq D_4, \ \Gamma^{!} = \{1\} & (\dim \operatorname{amb} 2) \end{array} \right. \] il numérote ici (65) le tableau des arbres, numéroté (64) p. 52 ; le tableau des graphes à \(h_1 = 1\), numéroté (65) p. 53, devient (66). \[ (66)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \text{boucle à un sommet de poids } 1 : & \Gamma = \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \quad (\dim \operatorname{amb} 1) \\[2pt] \text{deux sommets de poids } 1, \text{ deux arêtes} : & \Gamma \simeq D_2, \ \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \quad (\dim \operatorname{amb} 2) \\[2pt] \text{boucle avec queue, bout de poids } 2 : & \Gamma \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2, \ \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \quad (\dim \operatorname{amb} 2) \end{array} \right. \] les graphes de (66) sont dessinés ; on les décrit ici en mots, comme ceux de (65) p. 53.

Notons que pour un ⌜MD-⌝graphe \(G\) de dim modulaire nulle, si \((\mathcal{X}, I_{\mathcal{S}})\) est une ⌜MD-⌝courbe […] \(G\)-épinglée sur une base \(\mathcal{S}\), alors le groupe des automorphismes de \((\mathcal{X}, I_{\mathcal{S}})\) (qui ne respectent pas forcément l'épinglage) est can. isom. à \(\Gamma\), et celui des le \(\mathcal{X}\), sous-groupe qui induit l'identité sur \(I_{\mathcal{S}}\) est can. isom. à \(\Gamma^{!}\).

55p. 27 de l'auteur Revenons au cas d'un MD-graphe général \(\underline{G}\) ; sa dimension modulaire est \[ (67)\qquad \delta(G) = \sum_{\alpha \in S} \underbrace{\bigl(3(g_\alpha - 1) + \nu_\alpha + \tilde{\mu}_\alpha\bigr)}_{\delta_\alpha} \] si on veut qu'elle soit égale à \(1\) ou \(2\), cela signifie que l'on est dans l'un des deux cas : \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 \text{ ou } 2 \text{ des } \delta_\alpha \text{ sont égaux à } 1, \text{ les autres sont nuls} \\ 1 \text{ des } \delta_\alpha \text{ est égal à } 2, \text{ les autres sont nuls} \end{array} \right. \] Le cas \(\delta(G) = 1\) correspond au cas où exactement un des \(\delta_\alpha\) est \(= 1\), les autres étant nuls.

II) \(\underline{G}\) de dim modulaire 1

Cela signifie qu'il existe un sommet \(\alpha_0\) (et un seul, de fait) de \(\underline{G}\) qui ⌜satisfasse la⌝ soit de genre condition \[ (68)\qquad \left( \begin{array}{l} \alpha_0 \text{ de genre } 1, \text{ et son poids total } \nu_{\alpha_0} + \tilde{\mu}_{\alpha_0} \text{ est égal à } 1 \\ \quad \text{i.e.\ } \alpha_0 \text{ est d'ordre } 1, \text{ ou isolé de poids marqué } 1 \\ \underline{\text{ou}} \ \bigl(\alpha_0 \text{ de genre } 0, \text{ et son poids total } \nu_{\alpha_0} + \tilde{\mu}_{\alpha_0} = 4, \\ \quad \text{i.e.\ } (\nu_{\alpha_0}, \tilde{\mu}_{\alpha_0}) \in \{(4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,4)\}\bigr) \end{array} \right) \] avec en plus \[ (69)\qquad \begin{array}{l} \text{les sommets } \alpha \neq \alpha_0 \text{ sont de genre } 0, \text{ d'ordre } \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3, \\ \text{et pour un tel } \alpha \text{ le poids marqué } \nu_\alpha \text{ est égal à } 3 - \tilde{\mu}_\alpha . \end{array} \] On voit que la MD-structure d'un tel graphe

56MD-graphes élémentaires (sommet isolé) de dim. modulaire 1 ⌜i.e. codim modulaire nulle⌝ ambiante 1 est déterminée par la structure de graphe et des sommets prédéfinis par le

Les cas les plus simples sont les cas élémentaires (graphes […] ⌜ponctuels⌝) : \[ (70)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \overset{4}{\bullet} \ \ g = 0 & \Gamma = \mathfrak{S}_4, \ \Gamma^{!} = 1 \\[6pt] \overset{1}{\bullet} \ \ g = 1 & \Gamma = \Gamma^{!} = \{e\} \end{array} \right. \]

Les autres cas sont ceux des ⌜MD-⌝graphes « rétro-nuls » (tous les \(g_\alpha\) nuls) tels que tous les \(\hat{\nu}_\alpha\) soient égaux à trois (donc les sommets d'ordre \(1 \leqslant \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3\)) et sauf l'un d'eux, qui est égal à \(4\) (donc \(1 \leqslant \tilde{\mu}_{\alpha_0} \leqslant 4\)), ou bien des ⌜MD-⌝graphes qui soient tous leurs sommets sauf un rétro-nuls et \(\hat{\nu}_\alpha = 3\), donc sauf un ⌜\(\alpha_0\)⌝ qui est un sommet-bout (\(\tilde{\mu}_\alpha = 1\)) et de genre \(1\), \(\nu_{\alpha_0} = 0\) – donc ici tous les sommets sont d'ordre \(1 \leqslant \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3\), et les \(\nu_\alpha\) ⌜pour \(\alpha \neq \alpha_0\)⌝ sont égaux à \(3 - \tilde{\mu}_\alpha\), pour \(\alpha \neq\) et \(\nu_{\alpha_0} = 0\).

Dans l'un et l'autre cas ⌜(\(g_{\alpha_0} = 0\), \(g_{\alpha_0} = 1\))⌝ on aura un iso can. de multiplicités \[ (71)\qquad \widehat{M}_G \simeq \widehat{M}_{g_{\alpha_0}, \hat{I}_{\alpha_0}} \] avec \(\hat{I}_{\alpha_0} = I_{\alpha_0} + \widetilde{A}_{\alpha_0}\) (de cardinal \(4\) ou \(1\) suivant que \(g_{\alpha_0} = 0\) ou \(g_{\alpha_0} = 1\)).

57p. 28 de l'auteur MD-graphes de dim. modulaire 1 et de dim. modulaire ambiante 1, 2 […] et l'action de \(\Gamma_{\underline{G}} = \Gamma\) sur \(\widehat{M}_G \simeq \widehat{M}_{g_{\alpha_0}, \hat{I}_{\alpha_0}}\) est triviale si \(g_{\alpha_0} = 1\), et elle se fait à travers \[ (72)\qquad \Gamma_{\underline{G}} \longrightarrow \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \quad (\simeq \mathfrak{S}_4) \] dans le cas où \(g_{\alpha_0} = 0\). L'image de \(\Gamma_{\underline{G}}\) dans \(\mathfrak{S}_4\) doit pouvoir être n'importe quel sous-groupe de \(\mathfrak{S}_4\), sauf erreur. Explicitons déjà que sont les cas où la dim. ambiante est \(\leqslant 2\). Le cas de la dim ambiante \(1\), i.e. où la codim modulaire ⌜\(s_1\)⌝ de \(\underline{G}\) est \(0\), est évidemment celui donné par (70), i.e. \(G\) est réduit à un sommet isolé.

Considérons donc le cas de la dim mod. ambiante \(2\), i.e. codim modulaire \(1\), i.e. une arête. On trouve soit une boucle sur un sommet, soit un segment.

On trouve les trois cas de dim modulaire 1 ambiante \(2\), dim modulaire \(1\) Dans le cas \(g_{\alpha_0} = 0\) tous les sommets sauf \(\ldots\) sont d'ordre \(\leqslant\) \[ (72)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \overset{3}{\underset{\alpha_0}{\bullet}}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\underset{\alpha}{\bullet}} & \text{i.e.\ deux droites } (a, b, c;\ d, e) & \text{type } (0,5) \\[6pt] \text{boucle sur } \alpha_0, \text{ de poids } 2 & \text{i.e.\ courbe nodale } (a, b) & \text{type } (1,2) \\[6pt] \overset{}{\underset{(\alpha_0),\ g_{\alpha_0} = 1}{\bullet}}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\underset{g_\alpha = 0}{\bullet}} & \text{i.e.\ genre } 1 + \text{droite } (a, b) & \text{type } (1,2) \end{array} \right. \] le numéro (72) est porté deux fois sur la page. Les graphes et les courbes sont dessinés ; les courbes sont décrites ici en mots. Dans le premier graphe, l'indice du second sommet est surchargé (\(\alpha_0\) ?). Au-dessus du sommet \(\alpha_0\) du troisième graphe, un chiffre biffé.

(NB les sommets ⌜à poids marqué⌝ des branches des courbes, dont le genre ⌜n'est pas marqué ou poids marqué⌝ est marqué en dessous, sont de genre zéro ⌜[…]⌝ ; les poids marqués sont indiqués sur les graphes ⌜au-dessus des⌝ sommets)

58Les groupes d'automorphismes de ces MD-graphes sont \[ (73)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \overset{3}{\underset{\alpha_0}{\bullet}}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2, \ \Gamma^{!} = 1, \ \operatorname{Im}(\Gamma \to \mathfrak{S}_4) \simeq \mathfrak{S}_3 \\[6pt] \text{boucle sur } (\alpha_0), \text{ de poids } 2 & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2, \ \Gamma^{!} \simeq \mathfrak{S}_2, \ \operatorname{Im}(\Gamma \to \mathfrak{S}_4) \simeq \Gamma \\ & \qquad = \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2 \\[6pt] \underset{g_{\alpha_0} = 1}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{2}{\bullet} & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_2, \ \Gamma^{!} \simeq 1 \end{array} \right. \] après \(\Gamma^{!} \simeq 1\) à la dernière ligne, une suite de signes biffés.

III) Dim. modulaire 2

Correspond par (67), aux deux cas suivants :

1°) Tous les \(\alpha \in S\) sauf un seul ⌜\(\alpha_0\)⌝ sont de genre \(0\), et de poids total \(3\) (i.e. d'ordre ⌜\(\tilde{\mu}_\alpha\)⌝ \(\leqslant 3\), et de poids marqué \(3 - \tilde{\mu}_\alpha\)), et \((\alpha_0, \hat{\nu}_{\alpha_0})\) est d'un des deux types \((0,5)\), \((1,2)\) […], i.e. \(\alpha_0\) est de genre \(0\), d'ordre ⌜\(\tilde{\mu}_{\alpha_0}\)⌝ \(\leqslant 5\) et de poids marqué \(5 - \tilde{\mu}_{\alpha_0}\), ou \(\alpha_0\) de genre \(1\), d'ordre ⌜\(\tilde{\mu}_\alpha \in \{1, 2\}\)⌝ […] et de poids marqué \(2 - \tilde{\mu}_{\alpha_0} \in \{1, 0\}\). donc deux cas en réalité

2°) Tous les \(\alpha \in S\) sauf deux exactement \(\alpha_0\) et \(\alpha_1\) sont de genre \(0\), ⌜et⌝ de poids total \(3\) (i.e. d'ordre \(1 \leqslant \tilde{\mu}_\alpha \leqslant 3\), et de poids total marqué égal à \(3 - \tilde{\mu}_\alpha\)), \(\alpha_0\) et \(\alpha_1\) sont […] chacun de type \((g_i, \hat{\nu}_i)\) égal soit à \((0,4)\), soit à \((1,1)\). Cela fait donc trois cas, suivant que les deux types sont […] \((0,4)\), \((1,1)\), […] \((0,4)\), […] \((1,1)\).

La ⌜multiplicité⌝ schéma modulaire \(\widehat{M}_G\) est donc isomorphe, suivant les cas, à l'une des suivantes :

59p. 29 de l'auteur […] multiplicités modulaires de dim \(2\) […] \(\widetilde{M}_G\) \[ (74)\qquad \left\{ \begin{array}{lll} \widehat{M}^{!}_{0,5} & \Gamma \text{ opère via} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \ (\simeq \mathfrak{S}_5) \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{1,2} & \Gamma \text{ ------} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{0,4} \times \widehat{M}^{!}_{0,4} & \Gamma \text{ ------} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0} \amalg \hat{I}_{\alpha_1}} \simeq \mathfrak{S}_8 \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{0,4} \times \widehat{M}^{!}_{1,1} & \Gamma \text{ ------} & \Gamma \to \mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}} \simeq \mathfrak{S}_4 \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{1,1} \times \widehat{M}^{!}_{1,1} & \Gamma \text{ opère trivialement.} & \end{array} \right. \] les tirets sont ses « idem ». À la 3^e ligne, un symbole biffé avant \(\mathfrak{S}\) ; à la 4^e, une surcharge (« \(\alpha \in \ldots\) » ?) avant \(\mathfrak{S}_{\hat{I}_{\alpha_0}}\).

NB Dans le cas 3°) de \(\widehat{M}_{0,4} \times \widehat{M}_{0,4}\), \(\Gamma\) ⌜s'envoie⌝ opère dans \(\mathfrak{S}_8\) par l'intermédiaire de \[ \Gamma \longrightarrow \underbrace{\mathbb{Z}/2 \cdot (\mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_4)}_{\text{prod.\ }\tfrac{1}{2}\text{ direct}} . \]

On peut considérer que pour l'essentiel, les ⌜seules⌝ […] multiplicités ⌜\(\widehat{M}_G\)⌝ modulaires de dim \(1\), […] nouvelles sont : \[ (75)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} M^{!}_{0,4} & \Gamma \text{ opère via } \Gamma \to \mathfrak{S}_{I_{\alpha_0}} \simeq \mathfrak{S}_4 \\[2pt] \widehat{M}^{!}_{1,1} & \Gamma \text{ opère trivialement,} \end{array} \right. \] (cas élémentaires) les « cas nouveaux » dans (74) sont \(\widehat{M}^{!}_{0,5}\) et \(\widehat{M}^{!}_{1,2}\). Cela fait en tout essentiellement quatre cas « élémentaires » à étudier à fond, pour le cas de dim. modulaires \(\leqslant 2\). J'ai l'impression qu'une compréhension plus ou moins complète de la structure des \(\Pi_1\) discrets (i.e. dans le contexte analytique) impliqués dans ces cas, donnera la clef pour une compréhension complète dans le cas général.

60Partant des MD-graphes « élémentaires » correspondants, je voudrais expliciter dans les quatre cas la structure ⌜de spécialisation entre⌝ des strates des \(\widehat{M}_{g,\nu}\) et \(\widehat{M}^{!}_{g,\nu}\).

8) Structure de spécialisation des strates en dim modulaire \(\leqslant 2\)

1°) Cas des \(\widehat{M}^{!}_{0,4}\) et \(\widehat{M}_{0,4}\)

Commençons par \(\widehat{M}^{!}_{0,4}\). \[ (76)\qquad \begin{array}{c|c} \text{Codim } 0 & \text{Codim } 1 \\ \hline \overset{I(4)}{\bullet} \quad \xrightarrow{\ 3\ } & \overset{I'(2)}{\bullet}\!\!-\!\!\!-\!\!\overset{I''(2)}{\bullet} \end{array} \] Le diagramme signifie que l'ens. marqué \(I\) de cardinal \(4\), ⌜se partageant,⌝ suivant l'une quelconque des trois partitions de \(I\) en \(I'\) et \(I''\) de cardinal \(2\) chacune, donne \(3\) spécialisations différentes de la strate maximale – cela correspond bien au fait qu'on a trois pts à l'infini de \(U_{0,3}\), où on a \[ (77)\qquad \widehat{M}^{!}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \quad M^{!}_{0,4} \simeq (U_{0,3})_{\mathbb{Z}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\} \] Pour bien faire, il faudrait aussi expliciter la page s'arrête ici ; la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.