Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 21–40

p. 10 de l'auteur. La page s'ouvre sur un NB qui prolonge l'argument du lot précédent, sur les M_{g,J}, M_G et M_{[G]}. (g, \nu = \operatorname{card} J)) NB Si \operatorname{card} J = \nu, alors M_{g,J} est isomorphe au schéma modulaire \overset{!}{M}_{g,\nu} (via un iso. [1,\nu] \cap \mathbb{Z} \simeq J), de façon compatible avec les automor. des groupes \mathfrak{S}_J et \mathfrak{S}_\nu.le « ! » est écrit au-dessus du M, ici et à la ligne suivante. On sait que \overset{!}{M}_{g,\nu} est lisse de type fini sur \mathbb{Z}. Il en est donc de même des M_{g,J}, donc aussi de M_G (pour G semi-stable) et des M_{[G]} = (M_G, \Gamma).

4. La théorie de Mumford-Deligne

Soient \mathcal{S} une multiplicité schématique, \mathfrak{X} un ~~courbe~~ schéma relatif sur \mathcal{S}, propre sur \mathcal{S}, \underline{I} un sous-schéma fermé de \mathfrak{X}. On dit que (\mathfrak{X}, \underline{I}) est une MD-courbe relative sur \mathcal{S}, si \mathfrak{X}, \underline{I} sont plats de présentation finie sur \mathcal{S}, et si pour tt pt géom. de \mathcal{S}, la

fibre (\mathfrak{X}_{\bar{s}}, \underline{I}_{\bar{s}}) est une MD-courbe géométrique sur k(s) — i.e. \mathfrak{X}_{\bar{s}} est connexe, de dim 1, ~~mais~~ que ses pts singuliers \notin \underline{I}_{\bar{s}} et sont des pts doubles ordinaires, et enfin la condition de rigidité infinitésimale () est satisfaite — ~~donc~~ i.e. on exige que \mathfrak{X}_{\bar{s}} ne soit pas de genre 1 lisse avec \underline{I}_{\bar{s}} = \emptyset, et que les comp. irréd. de genre 0 de \mathfrak{X}_{\bar{s}} aient des « points marqués » \geqslant 3.

La différence avec les considérations du no précédent, c'est que maintenant (sur une base \mathcal{S} connexe, p.ex. un trait) les types des fibres géométriques peuvent varier d'un pt géom. à un autre. Mais il est clair que le type numérique (g,\nu) ne change pas (invariance des \chi(\hat{X}_s, \underline{O}_{\hat{X}_s})… et de \operatorname{card} \underline{I}_s), plus précisément,

c'est une fonction localement constante sur \mathcal{S}.

Fixons nous un type numérique anabélien (2g+\nu \geqslant 3) (g,\nu), et considérons, pour \mathcal{S} variable, le groupoïde fibré \text{(24)}\qquad \mathcal{S} \longmapsto \hat{M}_{g,\nu}(\mathcal{S}) = \text{MD-courbes relatives sur } \mathcal{S}\text{, de type numérique égal à } (g,\nu) le numéro « (24) » est lu sur un « 4 » ouvert ; la page suivante porte (25). On a alors le vraiment magnifique théorème suivant :

On suppose 2g+\nu \geqslant 3 (cas anabélien) Théorème de Mumford-Deligne : Le groupoïde fibré \mathcal{S} \mapsto \hat{M}_{g,\nu}(\mathcal{S}) sur (\mathrm{Sch}) (plus généralement, sur les multiplicités schématiques…) est représentable par une multiplicité schématique \hat{M}_{g,\nu}, qui est lisse et propre sur \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, ~~à fibres géom. connexes.~~ D'autre part M_{g,\nu} est unl'énoncé est encadré d'un trait vertical dans la marge gauche, qui se poursuit en haut de la page suivante.

ouvert de Zariski de \hat{M}_{g,\nu}, schématiquement dense fibre par fibre.

On en déduit aisément p.ex. la connexité des fibres géom. de M_{g,\nu} en toute car., à partir de la connexité en car. 0. D'autre part, pour tout type [G] de MD-graphes, ayant le type numérique (g,\nu), les courbes standard de type [G] (sur une base quelc. \mathcal{S}) sont en particulier des MD-courbes relatives de type numérique (g,\nu). On en conclut un morphisme canonique \text{(25)}\qquad M_{[G]} \hookrightarrow \hat{M}_{g,\nu} dont on vérifie aisément que c'est une immersion. Le cas où G est le

p. 12 de l'auteur. MD-graphe trivial, ayant un seul sommet de genre g, de poids marqué \nu, et pas d'arêtes, redonne l'immersion ouverte canonique \text{(26)}\qquad M_{g,\nu} \hookrightarrow \hat{M}_{g,\nu} . Identifiant les M_{[G]} à des sous-multiplicités de \hat{M}_{g,\nu}, on voit que les M_{[G]} (pour tous les types de MD-graphes possibles, de type numérique (g,\nu)) forment une partition de \hat{M}_{g,\nu} en un ens fini de sous-multiplicités.

Remarque. Considérons l'adhérence d'un M_{[G]} dans \hat{M}_{g,\nu}, on trouve que c'est une réunion finie de des M_{[G']}. On dit que [G'] est spécialisation de [G] si M_{G'} \subset \overline{M_G} dans \hat{M}_{g,\nu}.

C'est là une relation d'ordre dans l'ens des classes d'iso. de MD-graphes de type numérique (g,\nu), ayant un plus grand élément. Dans la suite, nous allons préciser considérablement cette notion de spécialisation entre MD-graphes, en la reliant à une notion de morphismes (de « générisation ») de MD-graphes. …

Notons que chaque M_{[G]} ~~est isomorphe~~ est quotient d'un revêtement fini M_G, qui est représentable comme produit fini M_G \simeq \prod_\alpha \underbrace{M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}}_{\dim\, 3(g_\alpha - 1) + \hat{\nu}_\alpha} donc \begin{align*} \text{(27)}\quad \dim M_G/\mathbb{Z} &= \sum_{\alpha\in S} 3(g_\alpha - 1) + \sum \hat{\nu}_\alpha \\ &= 3\sum g_\alpha - 3\underbrace{\operatorname{card} S}_{s_0} + \sum_{\alpha\in S_1} \nu_\alpha + \sum_{\alpha\in S_1} \tilde{\mu}_\alpha \\ &= 3\sum g_\alpha - 3s_0 + \nu + 2s_1 \end{align*} avant « (27) », un mot biffé illisible ; sous \nu et 2s_1 de la dernière ligne, il écrit en petit « poids marqué » et un mot que l'on peut lire ordre. L'indice de la seconde somme est en partie caché ; on le lit \alpha \in S_1 comme celui de la première.

p. 13 de l'auteur. où s_0, s_1 sont resp. les nbs de sommets et d'arêtes du graphe G. Or -3s_0 + 2s_1 = -3\underbrace{(s_0 - s_1)}_{1-h_1} - s_1 = -3 + 3h_1 - s_1 = 3(h_1 - 1) - s_1, d'où \dim M_G/\mathbb{Z} = 3\bigl(\underbrace{(\textstyle\sum g_\alpha) + h_1}_{g} - 1\bigr) + \nu - s_1 et enfin la formule \text{(28)}\qquad \dim M_G/\mathbb{Z} = \underbrace{\bigl[3(g-1)+\nu\bigr]}_{= \dim \hat{M}_{g,\nu}/\mathbb{Z}} - s_1 , i.e. \text{(29)}\qquad \operatorname{codim}_{\hat{M}_{g,\nu}} M_{[G]} = s_1 (nb d'arêtes du MD-graphe G, i.e. « nb de pts doubles » des courbes standard du type G).

L'entier (27) est appelé dimension modulaire du MD-graphe G \begin{align*} \text{(30)}\quad \mu(G) &= \sum_{\alpha\in S} \bigl(3(g_\alpha - 1) + \hat{\nu}_\alpha\bigr) = 3\sum g_\alpha - 3s_0 + \nu + 2s_1 \\ &= \bigl(3(g-1) + \nu\bigr) - s_1 \end{align*} l'entier s_1 = \operatorname{card} A = (\operatorname{card} \tilde{A})/2 s'appelle la codimension modulaire. Elle est nulle ssi G est un MD-graphe trivial réduit : un pt isolé, sans arêtes, mais

avec un poids marqué , (et bien sûr, un genre donné). Du Du pt de vue structure de graphe muni d'un type numérique (g,\nu), c'est le plus simple de tous ! On étudiera les plus complexes tantôt, qui correspondent au cas d'une dimension modulaire nulle, ou et d'une codimension modulaire maximale, égale à 3(g-1)+\nu.

Il est tentant d'introduire le compactifié \hat{M}_G \overset{\text{déf}}{=} \prod_{\alpha\in S} \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} où les \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} sont les compactifiés de MD des M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} \simeq M_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha}. ~~Ils~~ Pour \alpha fixé, \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} représentent le groupoïde fibré \text{(30)}\qquad \mathcal{S} \longmapsto \begin{array}{l} \text{courbes de MD relatives } Y_\alpha/\mathcal{S}\text{,} \\ \text{de type } g_\alpha, \hat{I}_\alpha \text{ i.e.\ de genre } g_\alpha\text{, munies d'un mono} \\ (\hat{I}_\alpha)_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y_\alpha^{\text{lisse}} \end{array} le numéro (30) est déjà celui de la formule de \mu(G), p. 13 de l'auteur ; le « Y_\alpha/ » est ajouté au-dessus de la ligne. de sorte que \hat{M}_G représente le groupoïde fibré

p. 14 de l'auteur. \text{(31)}\qquad \mathcal{S} \longmapsto \begin{array}{l} \text{groupoïde des systèmes } (Y_\alpha)_{\alpha\in S} \text{ de courbes de MD } Y_\alpha \text{ de genre } g_\alpha\text{,} \\ \text{sur } \mathcal{S}\text{, munies de mono.\ } \hat{I}_{\alpha\,\mathcal{S}} \hookrightarrow Y_\alpha^{\text{lisse}} . \end{array} « systèmes (Y_\alpha)_{\alpha\in S} de » et « Y_\alpha de genre g_\alpha, » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; un mot biffé illisible précède « sur ». Posant alors \text{(32)}\qquad \begin{cases} \hat{I} = \coprod \hat{I}_\alpha = I \sqcup \tilde{A} \\ Y = \coprod_{\alpha\in S} Y_\alpha \end{cases} devant l'accolade, deux mots biffés, on aura. on aura un mono \text{(33)}\qquad \hat{I}_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y^{\text{lisse}} qui permet, d'une part de construire une \text{(34)}\qquad \mathfrak{X} = Y/(\sigma_{\tilde{A}_{\mathcal{S}}}) , qui sera manifestement une courbe ~~standard~~ MD sur \mathcal{S}, et d'autre part de définir \text{(35)}\qquad I_{\mathcal{S}} \hookrightarrow \mathfrak{X}^{\text{lisse}} dans (34) et (35), et dans la ligne qui suit, des chapeaux sur \mathfrak{X} et sur I sont griffonnés : il semble les supprimer. de sorte que (\mathfrak{X}, I_{\mathcal{S}}) devient une courbe ~~standard sur \mathcal{S}~~ MD sur \mathcal{S}, « épinglée » par l'ens fini I. On a donc un morphisme canonique de multiplicités \text{(36)}\qquad \hat{M}_G \longrightarrow \hat{M}_{g,I} NB Ce morphisme est une imm. locale, mais pas une immersion [il un morphisme \Gamma = \operatorname{Aut} G] compatible d'ailleurs avec l'action de \Gamma sur \hat{M}_G, et son action sur \hat{M}_{g,I} via \Gamma \to \mathfrak{S}_I.

On en déduit donc un morphisme canon. de multiplicités schématiques

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \text{(37)}\quad \hat{M}_{[G]} \arrow[r, hook] \arrow[d, no head, "\wr\ \text{déf}"'] & \hat{M}_{g,\nu} \arrow[d, no head, "\wr"] \\ (\hat{M}_G, \Gamma) & (\hat{M}_{g,I}, \mathfrak{S}_I) \end{tikzcd}

qui est encore une immersion, fermée cette fois-ci, de multiplicités schématiques propres et lisses sur \mathbb{Z}. Ainsi on trouve explicitement l'adhérence de M_{[G]} dans \hat{M}_{g,\nu}, ~~comme~~ sous-multiplicité propre et lisse sur \operatorname{Spec} \mathbb{Z} — qui ~~pourrait~~ espérer mieux ! En même temps, cette construction permet de décrire de façon pratiquement triviale les types [G'] qui sont spécialisation de [G], puisque ce sont ceux qui proviennent de \hat{M}_G. Nous allons revenir là-dessus maintenant.

p. 15 de l'auteur.

5. Spécialisation ~~et générisation~~ de MD-graphes.

Soit \text{(38)}\qquad G = (S, \tilde{A}, \sigma_{\tilde{A}}, I, \hat{I} \to S \xrightarrow{g} \mathbb{N}), \qquad \hat{I} = \tilde{A} \sqcup I la formule est encadrée ; « \hat{I} = \tilde{A} \sqcup I » est écrit sous \hat{I}, et un mot surchargé au-dessus de \sigma_{\tilde{A}} est illisible. un MD-graphe, de type numérique (g,\nu). Nous allons construire ses spécialisations, ~~comme~~ les MD-graphes associés aux diverses « strates » de \hat{M}_G = \prod_{\alpha\in S} \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} . Une telle strate est obtenue en choisissant, pour tout \alpha, une strate de \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}, c'est à dire une classe d'isomorphie de MD-graphes ~~G_\alpha de type numérique~~ de type ~~(g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)~~ numérique (g_\alpha, \hat{I}_\alpha) \text{(39)}\qquad G(\alpha) = \bigl(S(\alpha), \tilde{A}(\alpha), \sigma_{\tilde{A}(\alpha)}, I(\alpha) = \hat{I}_\alpha, \ \hat{I}(\alpha) \overset{\text{déf}}{=} \tilde{A}(\alpha) \sqcup I(\alpha) \to S(\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} \mathbb{N}\bigr) au-dessus de (39), une première écriture de la même formule est biffée, (S(\alpha), \tilde{A}(\alpha), \sigma_{\tilde{A}(\alpha)}, I(\alpha) = \hat{I}_\alpha \to S(\alpha) \to \mathbb{N}) ; dans (39) même, la fin de la première écriture est biffée et récrite en dessous, et un groupe biffé précède « : ». (NB bien entendu, le cas où G(\alpha) est le MD-graphe trivial de type (g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha) n'est pas exclu). Par « classes d'isomorphie », il faut entendre ici : pour des isomorphismes induisant l'identité sur I(\alpha) = \hat{I}_\alpha. Au lieu de travailler avec de telles classes d'isomorphie, nous allons pour commencer travailler

avec ces G(\alpha) eux-mêmes.

Le MD-graphe G' spécialisé de G associé aux G(\alpha) s'obtient ainsi : \text{(40)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} S' = \coprod_{\alpha\in S} S(\alpha) \\[2pt] \tilde{A}' = \tilde{A} \sqcup \coprod_{\alpha\in S} \tilde{A}(\alpha) \\[2pt] \sigma_{\tilde{A}'} \text{ induit par } \sigma_{\tilde{A}} \text{ et par les } \sigma_{\tilde{A}(\alpha)} \\[2pt] I' = I \quad \text{donc} \quad \hat{I}' \overset{\text{déf}}{=} \tilde{A}' \sqcup I' \simeq \underbrace{(\tilde{A} \sqcup I)}_{\hat{I} = \coprod_{\alpha\in S} \hat{I}_\alpha = \coprod_{\alpha\in S} I(\alpha)} \sqcup \coprod_{\alpha\in S} \tilde{A}(\alpha) \\[2pt] \phantom{I' = I \quad \text{donc} \quad \hat{I}'} \simeq \coprod_{\alpha\in S} \underbrace{\hat{I}_\alpha \sqcup \tilde{A}(\alpha)}_{\hat{I}(\alpha)} \\[2pt] \hat{I}' \to S' \text{ induit par les } \hat{I}(\alpha) \to S(\alpha) \\[2pt] S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N} \text{ induit par les } S(\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} \mathbb{N} \end{array} \right. deux groupes biffés, devant « I' = I » et au début de la ligne suivante, sont illisibles. Donc « la » recette « pratique » est la suivante :

On remplace chaque sommet \alpha \in S de G par un MD-graphe G(\alpha), de type numérique (g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha), où \hat{\nu}_\alpha = \nu_\alpha + \tilde{\mu}_\alpha (\nu_\alpha = \operatorname{card} I_\alpha, poids marqué de \alpha ; \tilde{\mu}_\alpha = ordre de \alpha = nb d'arêtes de G issues de \alpha), plus précisément, un MD-graphe de type (g_\alpha, \hat{I}_\alpha), où \hat{I}_\alpha = I_\alpha \sqcup \tilde{A}_\alpha.

p. 16 de l'auteur. Cela signifie qu'on se donne, pour \alpha fixé,

1°) un graphe connexe (S(\alpha), \tilde{A}(\alpha), \struck{\ill{}}\ \sigma_{\tilde{A}(\alpha)}, \tilde{A}(\alpha) \to S(\alpha))

2°) on se donne une application « genre » S(\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} \mathbb{N}

3°) on donne une application I_\alpha \to S(\alpha), i.e. on « répartit » les « pts marqués » au dessus de \alpha (i.e. les éléments de I_\alpha) entre les sommets \beta \in S(\alpha) de G(\alpha)

4°) on donne une application \tilde{A}_\alpha \to S(\alpha), i.e. pour tt ~~flèche~~ arc du graphe G, d'origine \alpha, on ~~se donne~~ « choisit une nouvelle origine » parmi les sommets \beta \in S(\alpha) du graphe G(\alpha)

5°) les données 1°) : 4°) définissent un nouveau G(\alpha) quadruplet, et on prend soin que celui-ci soit un MD-graphe, ce qui signifie ici que pour tt \beta \in S(\alpha) « de genre 0 » i.e. tel que g_\alpha(\beta) = 0, on ait \operatorname{card} I_{\alpha,\beta} + \operatorname{card} \tilde{A}_{\alpha,\beta} \geqslant 3 .

Ceci étant, on trouve un nouveau MD-graphe G', qui sera spécialisé du MD-graphe G.

Je voudrais préciser de façon simplifiée la relation entre les MD-graphes G et G', et j'introduis à cet effet une digression sur

une catégorisation de la notion de morphismes de graphes.

~~Soit~~

6. Morphismes de générisation de graphes ~~ordinaires~~

Soit G = (S, \tilde{A}, \sigma_{\tilde{A}}, o_{\tilde{A}} : \tilde{A} \to S) un graphe ordinaire. On lui associe de façon bien connue un groupoïde fondamental \Pi_1(G), dont l'ens des objets est S, et l'ens des morphismes de s à s' est l'ens des « chemins simples » de s à s', qui correspondent aux classes d'homotopie de chemins de s à s' dans la réalisation topologique du graphe G. Le groupoïde \Pi_1(G) dépend fonctoriellement (dans un sens le plus strict !) du graphe G. D'ailleurs, un morphisme de graphes \text{(41)}\qquad f : G' \to G''

p. 17 de l'auteur. est connu quand on connait \text{(42)}\qquad \Pi_1(f) : \Pi_1(G') \to \Pi_1(G'') , puisqu'alors on connait l'action de f sur S via l'action de \Pi_1(f) sur les objets, et l'action de f sur les arcs via l'action de \Pi_1(f) sur les flèches, grâce au diagramme commutatif

\begin{tikzcd} \text{(43)}\quad \tilde{A}(G') \arrow[r, "\tilde{A}(f)"] \arrow[d, hook] & \tilde{A}(G'') \arrow[d, hook] \\ \mathrm{Fl}(\Pi_1(G')) \arrow[r, "{\mathrm{Fl}(\Pi_1(f))}"] & \mathrm{Fl}(\Pi_1(G'')) \end{tikzcd}

En fait, les morphismes de G' dans G'' s'identifient aux morphismes de groupoïdes \Pi_1(G') dans \Pi_1(G''), qui transforment arcs de G' en arcs de G''.

Ceci étant, on généralise la notion de morphisme de graphes en celle de morphisme généralisé de G' dans G'' (ou « morphisme de générisation » de G' dans G'')

comme étant les morphismes de groupoïdes \Pi_1(G') \to \Pi_1(G'') qui transforment tout arc de G' en une flèche de \Pi_1(G'') qui est, soit un arc de G'', soit une flèche identique. En d'autres termes, notant flèches élémentaires de \Pi_1(G') les flèches qui sont, soit identiques, soit un ~~arc~~ arc de G' (ensemble de flèches stable par passage à la flèche opposée…), les morphismes de générisation de G' dans G'' sont les morphismes de \Pi_1(G') dans \Pi_1(G'') qui transforment flèches élémentaires en fl. élémentaires. Cette description a l'avantage de rendre évident que cette notion est stable par composition.

Pratiquement, la donnée d'un morphisme de générisation de G' \to G'' est définie

p. 18 de l'auteur. par une application \text{(44)}\qquad S' \sqcup \tilde{A}' \longrightarrow S'' \sqcup \tilde{A}'' qui applique S' dans S'' (mais pas néc. \tilde{A}' dans \tilde{A}''), qui commute à \sigma_{G'} et \sigma_{G''} (définis via \sigma_{\tilde{A}'} et \sigma_{\tilde{A}''}, avec l'identité sur S' resp. S'') et commute à l'application « origine » (qui sur S' resp. S'' est l'identité). On peut aussi dire que c'est défini par la donnée

(45) et il faut supposer de plus que pour tt a \in \tilde{A}' \setminus \tilde{B}', l'origine et l'extrémité de a ont dans S par f_S (45) 1°) d'une application f_{S} : S' \to S''

2°) d'une partie ~~\tilde{A}''~~ de \tilde{A}', stable par \sigma_{\tilde{A}'}la partie est notée \tilde{B}' à l'alinéa suivant.

3°) d'une application \tilde{B}' \to \tilde{A}'' commutant à \sigma_{\tilde{A}'} | \tilde{B}' et à \sigma_{\tilde{A}''}, et aux applications o_{\tilde{A}'} | \tilde{B}' et o_{\tilde{A}''}.

On peut dire aussi que c'est aussi la donnée d'un sous-graphe G'_{\tilde{B}'} de G' ayant mêmes sommets (cela défini justement par la donnée d'une partie \tilde{B}' de \tilde{A}' stable par \sigma_{\tilde{A}'}), et un morphisme de G'_{\tilde{B}'} dans G'' ! La composition des morphismes généralisés est donc définie de façon

évidente. Ainsi on trouve la catégorie des graphes, dont les objets sont les graphes, les ~~morphismes~~ flèches les morphismes généralisés de graphes. On notera que les iso. de cette nouvelle catégorie sont les iso au sens ordinaire.

Supposons maintenant que G', G'' \underline{G}', \underline{G}'' fassent partie de MD-graphes, i.e. soient munis de plus de \text{(46)}\qquad \left| \begin{array}{l} S \xrightarrow{g} \mathbb{N}, \quad S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N} \\ I \to S, \quad I' \to S' \end{array} \right. il écrit G', G'' au-dessus de \underline{G}', \underline{G}'' ; (46) porte S, S' et non S', S''. On dit qu'on a un morphisme de générisation de \underline{G}' dans \underline{G}'', si on se donne, en plus des morphismes généralisés G' \to G'', une application bijective \text{(47)}\qquad I' \simeq I'' , ~~satisfai~~ et si les conditions suivantes sont satisfaites :

p. 19 de l'auteur. Le but du morphisme s'appelle désormais G, S, \tilde{A}, I (et non plus G'', …) ; la page est très surchargée. a) S' \to S'' surjectif, \tilde{B}' \to \tilde{A}'' bijectif

b) I' \simeq I, I' \to S', I \to S, S' \to S commutatif :

\begin{tikzcd} I' \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] & I \arrow[d] \\ S' \arrow[r] & S \end{tikzcd}

donc \tilde{B}' \sqcup I' \xrightarrow{\sim} \tilde{A} \sqcup I \to S et \tilde{B}' \sqcup I' \to S' \to S commutent.

c) \forall \alpha \in S, le sous-graphe G'(\alpha) de G' [formé des s' \in S' au-dessus de \alpha, et des ~~flèches~~ arcs a' \in \tilde{A}' qui sont dans \tilde{C}' = \tilde{A}' \setminus \tilde{B}' (i.e. au-dessus de \mathrm{id}_\alpha) et dont l'origine (donc l'extrémité aussi) est dans S'_\alpha] muni de \tilde{B}' \sqcup I'_\alpha \hookrightarrow S'_\alpha induit par \tilde{B}' \sqcup I' \to S', et de g_\alpha : S'_\alpha \to \mathbb{N} induit par g' : S' \to \mathbb{N}, est un MD-graphe \underline{G}'(\alpha), i.e. il est connexe, et [il satisfait ] à la condition de rigidité relative aux sommets \beta tels que g'_\beta \in \{0,1\}, à savoir que 2g'_\beta + (\operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \tilde{B}'_\beta) \geqslant 3 les additions et suppressions autour de cette condition sont nombreuses et en partie illisibles : un « + \operatorname{card} \tilde{B}'_\beta » est ajouté au-dessus de la ligne, une flèche renvoie \tilde{B}'_\beta à « ordre de \beta dans \underline{G}'(\alpha) », et à droite il récrit « i.e. : 2g'_\beta + \operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \tilde{B}'_\beta » ; un bloc de deux lignes en dessous, biffé, portait des variantes de la même condition, 2g'_\beta + \operatorname{card} I'_\beta \geqslant 3 et 2g'_\beta + \operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \tilde{A}'_\beta \geqslant 3, avec « une condition plus faible … puisque \underline{G}' est un MD-graphe ». Après « MD-graphe », un passage biffé de deux lignes (« [NB il ] ») est illisible. NB \tilde{B}'_\alpha est l'ens des a' \in \tilde{B}' dont l'origine se trouve dans S'_\alpha, donc \tilde{B}'_\alpha \xrightarrow{\sim} \tilde{A}_\alpha poids marqué en \beta dans le graphe \underline{G}'(\alpha)

d) Le genre du MD-graphe \underline{G}(\alpha) est égal à g_\alpha, i.e. on a \sum_{\beta\in S'_\alpha} g'_\beta + h_1(G(\alpha)) = g_\alpha . il écrit G(\alpha) dans d), là où c) définit G'(\alpha) ; cf. la condition 3°) de la page suivante, qui porte h_1(G'(\alpha)).

NB Pour qu'un morphisme généralisé de graphes G' \to G corresponde à un morphisme de générisation (pour I' \simeq I convenable), il faut et suffit qu'il satisfasse aux conditions suivantes

(48)

1°) S' \to S surjectif, \tilde{B}' \to \tilde{A} bijectif, les « graphes fibres » G'(\alpha) (\alpha \in S) connexes. (Ces conditions ne dépendent pas des MD-structures sur G', G)

2°) \forall \alpha \in S, on a \underbrace{\operatorname{card} I_\alpha}_{\nu_\alpha} = \sum_{\beta\in S'_\alpha} \underbrace{\operatorname{card} I'_\beta}_{\nu'_\beta} (cette condition ne dépend que des « poids marqués » sur S, S', et bien sûr de S' \to S)

3°) \forall \alpha \in S, on a g_\alpha = \Bigl(\sum_{\beta\in S'_\alpha} g'_\beta\Bigr) + h_1(G'(\alpha))

~~4°) \forall \alpha' \in S', on a (non seulement~~ ~~2g'_{\alpha'} + \operatorname{card} I'_{\alpha'} + \operatorname{card} \tilde{A}'_{\beta'} \geqslant 3, mais aussi)~~ ~~2g'_\alpha + \operatorname{card} I'_{\alpha'} + \operatorname{card} \tilde{B}'_{\alpha'} \geqslant 3~~ la condition 4°) est barrée de grandes croix. Les conditions (48) sont réunies par une accolade. L'énumération se poursuit au-delà du lot.