Cote n° 147 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

21p. 10 de l'auteur. La page s'ouvre sur un NB qui prolonge l'argument du lot précédent, sur les \(M_{g,J}\), \(M_G\) et \(M_{[G]}\). \((g, \nu = \operatorname{card} J)\)) […] NB Si \(\operatorname{card} J = \nu\), alors \(M_{g,J}\) est isomorphe au schéma modulaire \(\overset{!}{M}_{g,\nu}\) (via un iso. \([1,\nu] \cap \mathbb{Z} \simeq J\)), de façon compatible avec les automor. des groupes \(\mathfrak{S}_J\) et \(\mathfrak{S}_\nu\).le « ! » est écrit au-dessus du \(M\), ici et à la ligne suivante. On sait que \(\overset{!}{M}_{g,\nu}\) est lisse de type fini sur \(\mathbb{Z}\). Il en est donc de même des \(M_{g,J}\), donc aussi de \(M_G\) (pour \(G\) semi-stable) et des \(M_{[G]} = (M_G, \Gamma)\).

4. La théorie de Mumford-Deligne

Soient \(\mathcal{S}\) un[e] multiplicité schématique, \(\mathfrak{X}\) un courbe schéma relatif sur \(\mathcal{S}\), propre sur \(\mathcal{S}\), \(\underline{I}\) un sous-schéma fermé de \(\mathfrak{X}\). On dit que \((\mathfrak{X}, \underline{I})\) est une MD-courbe relative sur \(\mathcal{S}\), si \(\mathfrak{X}\), \(\underline{I}\) sont plats de présentation finie sur \(\mathcal{S}\), et si pour tt pt géom. de \(\mathcal{S}\), la

22fibre \((\mathfrak{X}_{\bar{s}}, \underline{I}_{\bar{s}})\) est une ⌜MD-⌝courbe géométrique sur \(k(s)\) — i.e. \(\mathfrak{X}_{\bar{s}}\) est connexe, de dim 1, mais que ses pts singuliers ⌜\(\notin \underline{I}_{\bar{s}}\) et sont⌝ des pts doubles ordinaires, et enfin la condition de rigidité infinitésimale ([…]) est satisfaite — donc i.e. on exige que \(\mathfrak{X}_{\bar{s}}\) ne soit pas de genre 1 lisse avec \(\underline{I}_{\bar{s}} = \emptyset\), et que les comp. irréd. de genre 0 de \(\mathfrak{X}_{\bar{s}}\) aient des « points marqués » \(\geqslant 3\).

La différence avec les considérations du n^o précédent, c'est que maintenant (sur une base \(\mathcal{S}\) connexe, p.ex. […] un trait) les types des fibres géométriques peuvent varier d'un pt géom. à un autre. Mais il est clair que le type numérique \((g,\nu)\) ne change pas (invariance des \(\chi(\hat{X}_s, \underline{O}_{\hat{X}_s})\)… et de \(\operatorname{card} \underline{I}_s\)), plus précisément,

23c'est une fonction localement constante sur \(\mathcal{S}\).

Fixons nous un type numérique ⌜anabélien (\(2g+\nu \geqslant 3\))⌝ \((g,\nu)\), et considérons, pour \(\mathcal{S}\) variable, le groupoïde fibré \[ \text{(24)}\qquad \mathcal{S} \longmapsto \hat{M}_{g,\nu}(\mathcal{S}) = \text{MD-courbes relatives sur } \mathcal{S}\text{, de type numérique égal à } (g,\nu) \] le numéro « (24) » est lu sur un « 4 » ouvert ; la page suivante porte (25). On a alors le vraiment magnifique théorème suivant :

On suppose \(2g+\nu \geqslant 3\) (cas anabélien) Théorème de Mumford-Deligne : Le groupoïde fibré \(\mathcal{S} \mapsto \hat{M}_{g,\nu}(\mathcal{S})\) sur \((\mathrm{Sch})\) (plus gén[éralemen]t, sur les multiplicités schématiques…) est représentable par une multiplicité schématique \(\hat{M}_{g,\nu}\), qui est lisse et propre sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), à fibres géom. connexes. ⌜D'autre part \(M_{g,\nu}\) est un⌝l'énoncé est encadré d'un trait vertical dans la marge gauche, qui se poursuit en haut de la page suivante.

24ouvert de Zariski de \(\hat{M}_{g,\nu}\), schématiquement dense fibre par fibre.

On en déduit aisément p.ex. la connexité des fibres géom. de \(M_{g,\nu}\) en toute car., à partir de la connexité en car. 0. D'autre part, pour tout type \([G]\) de MD-graphes, ayant le type numérique \((g,\nu)\), les courbes standard de type \([G]\) (sur une base quelc. \(\mathcal{S}\)) sont en particulier des MD-courbes relatives de type numérique \((g,\nu)\). On en conclut un morphisme canonique \[ \text{(25)}\qquad M_{[G]} \hookrightarrow \hat{M}_{g,\nu} \] dont on vérifie aisément que c'est une immersion. Le cas où \(G\) est le

25p. 12 de l'auteur. MD-graphe trivial, ayant un seul sommet de genre \(g\), de poids marqué \(\nu\), et pas d'arêtes, redonne l'immersion ouverte canonique \[ \text{(26)}\qquad M_{g,\nu} \hookrightarrow \hat{M}_{g,\nu} . \] Identifiant les \(M_{[G]}\) à des sous-multiplicités de \(\hat{M}_{g,\nu}\), on voit que les \(M_{[G]}\) (pour tous les types de MD-graphes possibles, de type numérique \((g,\nu)\)) forment une partition de \(\hat{M}_{g,\nu}\) en un ens fini de sous-multiplicités.

Remarque. Considérons l'adhérence d'un \(M_{[G]}\) dans \(\hat{M}_{g,\nu}\), on trouve que c'est une réunion finie de des \(M_{[G']}\). On dit que \([G']\) est spécialisation de \([G]\) si \(M_{G'} \subset \overline{M_G}\) dans \(\hat{M}_{g,\nu}\).

26C'est là une relation d'ordre dans l'ens des classes d'iso. de MD-graphes de type numérique \((g,\nu)\), ayant un plus grand élément. Dans la suite, nous allons préciser considérablement cette notion de spécialisation entre MD-graphes, en la reliant à une notion de morphismes (de « générisation ») de MD-graphes. …

Notons que chaque \(M_{[G]}\) est isomorphe ⌜est quotient⌝ d'un revêtement fini \(M_G\), qui est représentable comme produit fini \[ M_G \simeq \prod_\alpha \underbrace{M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}}_{\dim\, 3(g_\alpha - 1) + \hat{\nu}_\alpha} \] donc \[\begin{align*} \text{(27)}\quad \dim M_G/\mathbb{Z} &= \sum_{\alpha\in S} 3(g_\alpha - 1) + \sum \hat{\nu}_\alpha \\ &= 3\sum g_\alpha - 3\underbrace{\operatorname{card} S}_{s_0} + \sum_{\alpha\in S_1} \nu_\alpha + \sum_{\alpha\in S_1} \tilde{\mu}_\alpha \\ &= 3\sum g_\alpha - 3s_0 + \nu + 2s_1 \end{align*}\] avant « (27) », un mot biffé illisible ; sous \(\nu\) et \(2s_1\) de la dernière ligne, il écrit en petit « poids marqué » et un mot que l'on peut lire ordre. L'indice de la seconde somme est en partie caché ; on le lit \(\alpha \in S_1\) comme celui de la première.

27p. 13 de l'auteur. où \(s_0\), \(s_1\) sont resp. les nbs de sommets et d'arêtes du graphe \(G\). Or \[ -3s_0 + 2s_1 = -3\underbrace{(s_0 - s_1)}_{1-h_1} - s_1 = -3 + 3h_1 - s_1 = 3(h_1 - 1) - s_1, \] d'où \[ \dim M_G/\mathbb{Z} = 3\bigl(\underbrace{(\textstyle\sum g_\alpha) + h_1}_{g} - 1\bigr) + \nu - s_1 \] et enfin la formule \[ \text{(28)}\qquad \dim M_G/\mathbb{Z} = \underbrace{\bigl[3(g-1)+\nu\bigr]}_{= \dim \hat{M}_{g,\nu}/\mathbb{Z}} - s_1 , \] i.e. \[ \text{(29)}\qquad \operatorname{codim}_{\hat{M}_{g,\nu}} M_{[G]} = s_1 \] (nb d'arêtes du MD-graphe \(G\), i.e. « nb de pts doubles » des courbes standard du type \(G\)).

L'entier (27) est appelé dimension modulaire du MD-graphe \(G\) \[\begin{align*} \text{(30)}\quad \mu(G) &= \sum_{\alpha\in S} \bigl(3(g_\alpha - 1) + \hat{\nu}_\alpha\bigr) = 3\sum g_\alpha - 3s_0 + \nu + 2s_1 \\ &= \bigl(3(g-1) + \nu\bigr) - s_1 \end{align*}\] l'entier \(s_1 = \operatorname{card} A = (\operatorname{card} \tilde{A})/2\) s'appelle la codimension modulaire. Elle est nulle ssi \(G\) est un MD-graphe trivial réduit : un pt isolé, sans arêtes, mais

28avec un poids marqué […], (et bien sûr, un genre donné). Du Du pt de vue structure de graphe muni d'un type numérique \((g,\nu)\), c'est le plus simple de tous ! On étudiera les plus complexes tantôt, qui correspondent au cas d'une dimension modulaire nulle, ou et d'une codimension modulaire maximale, égale à \(3(g-1)+\nu\).

Il est tentant d'introduire le compactifié \[ \hat{M}_G \overset{\text{déf}}{=} \prod_{\alpha\in S} \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} \] où les \(\hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}\) sont les compactifiés de MD des \(M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} \simeq M_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha}\). Ils ⌜Pour \(\alpha\) fixé, \(\hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}\)⌝ représentent le groupoïde fibré \[ \text{(30)}\qquad \mathcal{S} \longmapsto \begin{array}{l} \text{courbes de MD relatives } Y_\alpha/\mathcal{S}\text{,} \\ \text{de type } g_\alpha, \hat{I}_\alpha \text{ i.e.\ de genre } g_\alpha\text{, munies d'un mono} \\ (\hat{I}_\alpha)_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y_\alpha^{\text{lisse}} \end{array} \] le numéro (30) est déjà celui de la formule de \(\mu(G)\), p. 13 de l'auteur ; le « \(Y_\alpha/\) » est ajouté au-dessus de la ligne. de sorte que \(\hat{M}_G\) représente le groupoïde fibré

29p. 14 de l'auteur. \[ \text{(31)}\qquad \mathcal{S} \longmapsto \begin{array}{l} \text{groupoïde des systèmes } (Y_\alpha)_{\alpha\in S} \text{ de courbes de MD } Y_\alpha \text{ de genre } g_\alpha\text{,} \\ \text{sur } \mathcal{S}\text{, munies de mono.\ } \hat{I}_{\alpha\,\mathcal{S}} \hookrightarrow Y_\alpha^{\text{lisse}} . \end{array} \] « systèmes \((Y_\alpha)_{\alpha\in S}\) de » et « \(Y_\alpha\) de genre \(g_\alpha\), » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; un mot biffé illisible précède « sur ». Posant alors \[ \text{(32)}\qquad \begin{cases} \hat{I} = \coprod \hat{I}_\alpha = I \sqcup \tilde{A} \\ Y = \coprod_{\alpha\in S} Y_\alpha \end{cases} \] devant l'accolade, deux mots biffés, on aura. on aura un mono \[ \text{(33)}\qquad \hat{I}_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y^{\text{lisse}} \] qui permet, d'une part de construire une \[ \text{(34)}\qquad \mathfrak{X} = Y/(\sigma_{\tilde{A}_{\mathcal{S}}}) , \] qui sera manifestement une courbe standard ⌜MD⌝ sur \(\mathcal{S}\), et d'autre part de définir \[ \text{(35)}\qquad I_{\mathcal{S}} \hookrightarrow \mathfrak{X}^{\text{lisse}} \] dans (34) et (35), et dans la ligne qui suit, des chapeaux sur \(\mathfrak{X}\) et sur \(I\) sont griffonnés : il semble les supprimer. de sorte que \((\mathfrak{X}, I_{\mathcal{S}})\) devient une courbe standard sur \(\mathcal{S}\) MD sur \(\mathcal{S}\), « épinglée » par l'ens fini \(I\). On a donc un morphisme canonique de multiplicités \[ \text{(36)}\qquad \hat{M}_G \longrightarrow \hat{M}_{g,I} \] NB Ce morphisme est une imm. locale, mais pas une immersion [il […] un morphisme […] \(\Gamma = \operatorname{Aut} G\)] compatible d'ailleurs avec l'action de \(\Gamma\) sur \(\hat{M}_G\), et son action sur \(\hat{M}_{g,I}\) via \(\Gamma \to \mathfrak{S}_I\).

30On en déduit donc un morphisme canon. de multiplicités schématiques

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\text{(37)}\quad \hat{M}_{[G]} \arrow[r, hook] \arrow[d, no head, "\wr\ \text{déf}"'] & \hat{M}_{g,\nu} \arrow[d, no head, "\wr"] \\
(\hat{M}_G, \Gamma) & (\hat{M}_{g,I}, \mathfrak{S}_I)
\end{tikzcd}

qui est encore une immersion, fermée cette fois-ci, de multiplicités schématiques propres et lisses sur \(\mathbb{Z}\). Ainsi on trouve explicitement l'adhérence de \(M_{[G]}\) dans \(\hat{M}_{g,\nu}\), comme sous-multiplicité propre et lisse sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) — qui pourrait ⌜espérer⌝ mieux ! En même temps, cette construction permet de décrire de façon pratiquement triviale les types \([G']\) qui sont spécialisation de \([G]\), puisque ce sont ceux qui proviennent de \(\hat{M}_G\). Nous allons […] revenir là-dessus maintenant.

31p. 15 de l'auteur.

5. Spécialisation et générisation de MD-graphes.

Soit \[ \text{(38)}\qquad G = (S, \tilde{A}, \sigma_{\tilde{A}}, I, \hat{I} \to S \xrightarrow{g} \mathbb{N}), \qquad \hat{I} = \tilde{A} \sqcup I \] la formule est encadrée ; « \(\hat{I} = \tilde{A} \sqcup I\) » est écrit sous \(\hat{I}\), et un mot surchargé au-dessus de \(\sigma_{\tilde{A}}\) est illisible. un MD-graphe, de type numérique \((g,\nu)\). Nous allons construire ses […] spécialisations, comme les ⌜MD-⌝graphes associés aux diverses « strates » de […] \[ \hat{M}_G = \prod_{\alpha\in S} \hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha} . \] Une telle strate est obtenue en choisissant, pour tout \(\alpha\), une strate de \(\hat{M}_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}\), c'est à dire une classe d'isomorphie de MD-graphes \(G_\alpha\) de type numérique de type \((g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)\) numérique \((g_\alpha, \hat{I}_\alpha)\) \[ \text{(39)}\qquad G(\alpha) = \bigl(S(\alpha), \tilde{A}(\alpha), \sigma_{\tilde{A}(\alpha)}, I(\alpha) = \hat{I}_\alpha, \ \hat{I}(\alpha) \overset{\text{déf}}{=} \tilde{A}(\alpha) \sqcup I(\alpha) \to S(\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} \mathbb{N}\bigr) \] au-dessus de (39), une première écriture de la même formule est biffée, \((S(\alpha), \tilde{A}(\alpha), \sigma_{\tilde{A}(\alpha)}, I(\alpha) = \hat{I}_\alpha \to S(\alpha) \to \mathbb{N})\) ; dans (39) même, la fin de la première écriture est biffée et récrite en dessous, et un groupe biffé précède « : ». (NB bien entendu, le cas où \(G(\alpha)\) est le MD-graphe trivial de type \((g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)\) n'est pas exclu). Par « classes d'isomorphie », il faut entendre ici : pour des isomorphismes induisant l'identité sur \(I(\alpha) = \hat{I}_\alpha\). Au lieu de travailler avec de telles classes d'isomorphie, nous allons pour commencer travailler

32avec ces \(G(\alpha)\) eux-mêmes.

Le ⌜MD-⌝graphe ⌜\(G'\)⌝ spécialisé de \(G\) associé aux \(G(\alpha)\) s'obtient ainsi : \[ \text{(40)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} S' = \coprod_{\alpha\in S} S(\alpha) \\[2pt] \tilde{A}' = \tilde{A} \sqcup \coprod_{\alpha\in S} \tilde{A}(\alpha) \\[2pt] \sigma_{\tilde{A}'} \text{ induit par } \sigma_{\tilde{A}} \text{ et par les } \sigma_{\tilde{A}(\alpha)} \\[2pt] I' = I \quad \text{donc} \quad \hat{I}' \overset{\text{déf}}{=} \tilde{A}' \sqcup I' \simeq \underbrace{(\tilde{A} \sqcup I)}_{\hat{I} = \coprod_{\alpha\in S} \hat{I}_\alpha = \coprod_{\alpha\in S} I(\alpha)} \sqcup \coprod_{\alpha\in S} \tilde{A}(\alpha) \\[2pt] \phantom{I' = I \quad \text{donc} \quad \hat{I}'} \simeq \coprod_{\alpha\in S} \underbrace{\hat{I}_\alpha \sqcup \tilde{A}(\alpha)}_{\hat{I}(\alpha)} \\[2pt] \hat{I}' \to S' \text{ induit par les } \hat{I}(\alpha) \to S(\alpha) \\[2pt] S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N} \text{ induit par les } S(\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} \mathbb{N} \end{array} \right. \] deux groupes biffés, devant « \(I' = I\) » et au début de la ligne suivante, sont illisibles. Donc « la » recette ⌜« pratique »⌝ est la suivante :

[…] On remplace chaque sommet ⌜\(\alpha \in S\)⌝ de \(G\) par un MD-graphe \(G(\alpha)\), de type numérique \((g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha)\), où \(\hat{\nu}_\alpha = \nu_\alpha + \tilde{\mu}_\alpha\) (\(\nu_\alpha = \operatorname{card} I_\alpha\), poids marqué de \(\alpha\) ; \(\tilde{\mu}_\alpha\) = ordre de \(\alpha\) = nb d'arêtes de \(G\) issues de \(\alpha\)), plus précisément, un MD-graphe de type \((g_\alpha, \hat{I}_\alpha)\), où \(\hat{I}_\alpha = I_\alpha \sqcup \tilde{A}_\alpha\).

33p. 16 de l'auteur. Cela signifie qu'on se donne, pour \(\alpha\) fixé,

1°) un graphe ⌜connexe⌝ \((S(\alpha), \tilde{A}(\alpha), \struck{\ill{}}\ \sigma_{\tilde{A}(\alpha)}, \tilde{A}(\alpha) \to S(\alpha))\)

2°) on […] se donne une application « genre » \[ S(\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} \mathbb{N} \]

3°) on donne une application \(I_\alpha \to S(\alpha)\), i.e. on « répartit » les […] « pts marqués » au dessus de \(\alpha\) ⌜(i.e. les éléments de \(I_\alpha\))⌝ entre les sommets \(\beta \in S(\alpha)\) de \(G(\alpha)\)

4°) on donne une application \(\tilde{A}_\alpha \to S(\alpha)\), i.e. pour tt flèche ⌜arc⌝ du graphe \(G\), d'origine \(\alpha\), on se donne « choisit une ⌜nouvelle⌝ origine » parmi les sommets \(\beta \in S(\alpha)\) du graphe \(G(\alpha)\)

5°) les données 1°) : 4°) définissent un ⌜nouveau \(G(\alpha)\)⌝ quadruplet, et on prend soin que celui-ci soit un MD-graphe, […] ce qui signifie ici que pour tt \(\beta \in S(\alpha)\) « de genre 0 » i.e. tel que \(g_\alpha(\beta) = 0\), on ait \[ \operatorname{card} I_{\alpha,\beta} + \operatorname{card} \tilde{A}_{\alpha,\beta} \geqslant 3 . \]

Ceci étant, on trouve un nouveau ⌜MD-⌝graphe \(G'\), ⌜qui sera⌝ spécialisé du ⌜MD-⌝graphe \(G\).

Je voudrais préciser de façon simplifiée la relation entre les MD-graphes \(G\) et \(G'\), et j'introduis à cet effet une digression sur

34une catégorisation de la notion de morphismes de graphes.

Soit

6. Morphismes de générisation de graphes ⌜[…]⌝ ordinaires

Soit \(G = (S, \tilde{A}, \sigma_{\tilde{A}}, o_{\tilde{A}} : \tilde{A} \to S)\) un graphe ordinaire. On lui associe de façon bien connue un groupoïde fondamental ⌜\(\Pi_1(G)\)⌝, dont l'ens des objets est \(S\), et l'ens des […] ⌜morphismes⌝ de \(s\) à \(s'\) est l'ens des « chemins simples » de \(s\) à \(s'\), qui correspondent aux classes d'homotopie de chemins de \(s\) à \(s'\) dans la réalisation topologique du graphe \(G\). Le groupoïde \(\Pi_1(G)\) dépend fonctoriellement (dans un sens le plus strict !) du graphe \(G\). D'ailleurs, un morphisme de graphes \[ \text{(41)}\qquad f : G' \to G'' \]

35p. 17 de l'auteur. est connu quand on connait \[ \text{(42)}\qquad \Pi_1(f) : \Pi_1(G') \to \Pi_1(G'') , \] puisqu'alors on connait l'action de \(f\) sur \(S\) via l'action de \(\Pi_1(f)\) sur les objets, et l'action de \(f\) sur les arcs via l'action de \(\Pi_1(f)\) sur les flèches, grâce au diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
\text{(43)}\quad \tilde{A}(G') \arrow[r, "\tilde{A}(f)"] \arrow[d, hook] & \tilde{A}(G'') \arrow[d, hook] \\
\mathrm{Fl}(\Pi_1(G')) \arrow[r, "{\mathrm{Fl}(\Pi_1(f))}"] & \mathrm{Fl}(\Pi_1(G''))
\end{tikzcd}

En fait, les morphismes de \(G'\) dans \(G''\) s'identifient aux morphismes de groupoïdes \(\Pi_1(G')\) dans \(\Pi_1(G'')\), qui transforment arcs ⌜de \(G'\)⌝ en arcs de \(G''\).

Ceci étant, on généralise la notion de morphisme de graphes en celle de morphisme généralisé de \(G'\) dans \(G''\) (ou « morphisme de générisation » de \(G'\) dans \(G''\))

36comme étant les morphismes de groupoïdes \(\Pi_1(G') \to \Pi_1(G'')\) qui transforment tout arc de \(G'\) en une flèche de \(\Pi_1(G'')\) qui est, soit un arc de \(G''\), soit une flèche identique. En d'autres termes, notant flèches élémentaires de \(\Pi_1(G')\) les flèches qui sont, soit identiques, soit un arc arc de \(G'\) (ensemble ⌜de flèches⌝ stable par passage à la flèche opposée…), les morphismes de générisation de \(G'\) dans \(G''\) sont les morphismes de \(\Pi_1(G')\) dans \(\Pi_1(G'')\) qui transforment flèches élémentaires en fl. élémentaires. Cette description a l'avantage de rendre évident que cette notion est stable par composition.

Pratiquement, la donnée d'un morphisme de générisation de \(G' \to G''\) est définie

37p. 18 de l'auteur. par une application \[ \text{(44)}\qquad S' \sqcup \tilde{A}' \longrightarrow S'' \sqcup \tilde{A}'' \] qui applique \(S'\) dans \(S''\) (mais pas néc. \(\tilde{A}'\) dans \(\tilde{A}''\)), qui commute à \(\sigma_{G'}\) et \(\sigma_{G''}\) (définis via \(\sigma_{\tilde{A}'}\) et \(\sigma_{\tilde{A}''}\), avec l'identité sur \(S'\) resp. \(S''\)) et commute à l'application « origine » (qui sur \(S'\) resp. \(S''\) est l'identité). On peut aussi dire que c'est défini par la donnée

(45) et il faut supposer de plus que pour tt \(a \in \tilde{A}' \setminus \tilde{B}'\), l'origine et l'extrémité de \(a\) ont […] dans \(S\) par \(f_S\) (45) 1°) d'une application \(f_{S} : S' \to S''\)

2°) d'une partie \(\tilde{A}''\) de \(\tilde{A}'\), stable par \(\sigma_{\tilde{A}'}\)la partie est notée \(\tilde{B}'\) à l'alinéa suivant.

3°) d'une application \(\tilde{B}' \to \tilde{A}''\) commutant à \(\sigma_{\tilde{A}'} | \tilde{B}'\) et à \(\sigma_{\tilde{A}''}\), et aux applications \(o_{\tilde{A}'} | \tilde{B}'\) et \(o_{\tilde{A}''}\).

On peut dire aussi que c'est aussi la donnée d'un sous-graphe \(G'_{\tilde{B}'}\) de […] \(G'\) ayant mêmes sommets (cela défini justement par la donnée d'une partie \(\tilde{B}'\) de \(\tilde{A}'\) stable par \(\sigma_{\tilde{A}'}\)), et un morphisme de \(G'_{\tilde{B}'}\) dans \(G''\) ! La composition des morphismes généralisés est donc définie de façon

38évidente. Ainsi on trouve la catégorie […] des graphes, dont les objets sont les graphes, les morphismes ⌜flèches⌝ les morphismes généralisés de graphes. On notera que les iso. de cette nouvelle catégorie sont les iso au sens ordinaire.

Supposons maintenant que ⌜\(G'\), \(G''\)⌝ \(\underline{G}'\), \(\underline{G}''\) fassent partie de MD-graphes, i.e. soient munis de plus de […] \[ \text{(46)}\qquad \left| \begin{array}{l} S \xrightarrow{g} \mathbb{N}, \quad S' \xrightarrow{g'} \mathbb{N} \\ I \to S, \quad I' \to S' \end{array} \right. \] il écrit \(G'\), \(G''\) au-dessus de \(\underline{G}'\), \(\underline{G}''\) ; (46) porte \(S\), \(S'\) et non \(S'\), \(S''\). On dit qu'on a un morphisme de générisation de \(\underline{G}'\) dans \(\underline{G}''\), si on se donne, en plus des morphismes ⌜généralisés⌝ \(G' \to G''\), une application bijective \[ \text{(47)}\qquad I' \simeq I'' , \] satisfai et si les conditions suivantes sont satisfaites :

39p. 19 de l'auteur. Le but du morphisme s'appelle désormais \(G\), \(S\), \(\tilde{A}\), \(I\) (et non plus \(G''\), …) ; la page est très surchargée. a) \(S' \to S''\) surjectif, \(\tilde{B}' \to \tilde{A}''\) bijectif

b) \(I' \simeq I\), \(I' \to S'\), \(I \to S\), \(S' \to S\) commutatif :

\begin{tikzcd}
I' \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] & I \arrow[d] \\
S' \arrow[r] & S
\end{tikzcd}

donc \(\tilde{B}' \sqcup I' \xrightarrow{\sim} \tilde{A} \sqcup I \to S\) et \(\tilde{B}' \sqcup I' \to S' \to S\) commutent.

c) \(\forall \alpha \in S\), le sous-graphe \(G'(\alpha)\) de \(G'\) [formé des […] \(s' \in S'\) au-dessus de \(\alpha\), et des flèches arcs \(a' \in \tilde{A}'\) qui sont dans ⌜\(\tilde{C}' =\)⌝ \(\tilde{A}' \setminus \tilde{B}'\) (i.e. au-dessus de \(\mathrm{id}_\alpha\)) et dont l'origine (donc l'extrémité aussi) est dans \(S'_\alpha\)] muni de […] ⌜\(\tilde{B}' \sqcup\)⌝ \(I'_\alpha \hookrightarrow S'_\alpha\) induit par ⌜\(\tilde{B}' \sqcup\)⌝ \(I' \to S'\), et de \(g_\alpha : S'_\alpha \to \mathbb{N}\) induit par \(g' : S' \to \mathbb{N}\), est un MD-graphe ⌜\(\underline{G}'(\alpha)\)⌝, i.e. il est connexe, et [il satisfait […]] à la condition de rigidité relative aux sommets \(\beta\) tels que \(g'_\beta \in \{0,1\}\), à savoir que \[ 2g'_\beta + (\operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \tilde{B}'_\beta) \geqslant 3 \] les additions et suppressions autour de cette condition sont nombreuses et en partie illisibles : un « \(+ \operatorname{card} \tilde{B}'_\beta\) » est ajouté au-dessus de la ligne, une flèche renvoie \(\tilde{B}'_\beta\) à « ordre de \(\beta\) dans \(\underline{G}'(\alpha)\) », et à droite il récrit « i.e. : \(2g'_\beta + \operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \tilde{B}'_\beta\) » ; un bloc de deux lignes en dessous, biffé, portait des variantes de la même condition, \(2g'_\beta + \operatorname{card} I'_\beta \geqslant 3\) et \(2g'_\beta + \operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \tilde{A}'_\beta \geqslant 3\), avec « une condition plus faible … puisque \(\underline{G}'\) est un MD-graphe ». Après « MD-graphe », un passage biffé de deux lignes (« [NB il […]] ») est illisible. NB \(\tilde{B}'_\alpha\) est l'ens des \(a' \in \tilde{B}'\) dont l'origine se trouve dans \(S'_\alpha\), […] donc \(\tilde{B}'_\alpha \xrightarrow{\sim} \tilde{A}_\alpha\) poids marqué en \(\beta\) […] dans le […] graphe \(\underline{G}'(\alpha)\)

d) Le genre du MD-graphe \(\underline{G}(\alpha)\) est égal à \(g_\alpha\), i.e. on a \[ \sum_{\beta\in S'_\alpha} g'_\beta + h_1(G(\alpha)) = g_\alpha . \] il écrit \(G(\alpha)\) dans d), là où c) définit \(G'(\alpha)\) ; cf. la condition 3°) de la page suivante, qui porte \(h_1(G'(\alpha))\).

40NB Pour qu'un morphisme généralisé de graphes \(G' \to G\) corresponde à un morphisme de générisation (pour \(I' \simeq I\) convenable), il f[au]t et s[uffi]t qu'il satisfasse aux conditions suivantes

(48)

1°) \(S' \to S\) surjectif, \(\tilde{B}' \to \tilde{A}\) bijectif, les « graphes fibres » \(G'(\alpha)\) (\(\alpha \in S\)) connexes. (Ces conditions ne dépendent pas des MD-structures sur \(G'\), \(G\))

2°) \(\forall \alpha \in S\), on a \[ \underbrace{\operatorname{card} I_\alpha}_{\nu_\alpha} = \sum_{\beta\in S'_\alpha} \underbrace{\operatorname{card} I'_\beta}_{\nu'_\beta} \] (cette condition ne dépend que des « poids marqués » sur \(S\), \(S'\), et bien sûr de \(S' \to S\))

3°) \(\forall \alpha \in S\), on a \[ g_\alpha = \Bigl(\sum_{\beta\in S'_\alpha} g'_\beta\Bigr) + h_1(G'(\alpha)) \]

4°) \(\forall \alpha' \in S'\), on a (non seulement \(2g'_{\alpha'} + \operatorname{card} I'_{\alpha'}\) \(+ \operatorname{card} \tilde{A}'_{\beta'}\) \(\geqslant 3\), mais aussi) \(2g'_\alpha + \operatorname{card} I'_{\alpha'}\) \(+ \operatorname{card} \tilde{B}'_{\alpha'}\) \(\geqslant 3\) la condition 4°) est barrée de grandes croix. Les conditions (48) sont réunies par une accolade. L'énumération se poursuit au-delà du lot.