Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 1–20

Table des matières

table des matières de l'auteur pour l'ensemble de la liasse (ses pages 1 à 90) ; les numéros à droite sont ses numéros de page.

Structure à l'\infty des M_{g,\nu}

Courbes standard — 1 Graphe associé à une courbe standard. Maquettes — 3 Courbes stables, et MD-graphes — 6 La théorie de Mumford-Deligne — 10 Spécialisation des MD-graphes — 15 Morphismes de généralisation de graphes et de maquettes — 16' Étude des \widehat{M}_{G} de dim \leq 2 : a) détermination des graphes correspondants — 25 Structure de spécialisation des strates en dim. modulaire ambiante \leq 4 — 29' Structure groupoïdale des multiplicités modulaires de Teichmüller variables (la MDT-structure) : cas transcendant, morphismes de généralisation — 37 Structure MDT analytique : calcul des morphismes de généralisation entre MD-graphes — 45 Digression : déploiement d'un diviseur à croisements normaux. Structure à l'infini des groupoïdes fondamentaux — 52 Digression (suite) : types canoniques associés à une stratification par croisements normaux, et leurs dévissages en types élémentaires — 74 Digression sur les stratifications « locales » générales — 86

Structure à l'infini des M_{g,\nu}

p. 1 de l'auteur.

1. Courbes standard

Soit k un corps alg. clos. Une « courbe standard » sur k est schéma X sur k satisfaisant les conditions suivantes :

a) X quasi-projectif, toute composante irréd. est de dim 1

b) Tout point de X est soit lisse, soit un « point quadratique (ordinaire) » — i.e. isom. (loc. ét) à la courbe \operatorname{Spec}(k[X,Y]/XY) au point 0.

Il est connu qu'on peut trouver une unique « complétée » \widehat{X} de X, telle que \widehat{X} soit un schéma propre, que X s'identifie à un ouvert dense de \widehat{X}, et que \widehat{X} soit lisse en les pts de \widehat{X} \setminus X = I. Alors \widehat{X} est une courbe projective, I est ~~contenu~~ une partie finie de \widehat{X}(k) contenue dans l'ens. ouvert des pts de lissité de \widehat{X}. L'ens. A des pts singuliers de X s'identifie à l'ens. analogue pour \widehat{X} \begin{equation*} (1)\quad \begin{cases} I = \widehat{X} \setminus X \subset \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}(k) & \text{« pts à l'infini » de } X\\ A = X \setminus X^{\mathrm{lisse}} = \widehat{X} \setminus \widehat{X}^{\mathrm{lisse}} \subset X(k) & \text{(pts singuliers de } X\text{)} \end{cases} \end{equation*} La donnée de X équivaut à celle du

(\widehat{X}, I), où \widehat{X} est un schéma projectif, dont les composantes irréductibles sont de dim 1, et dont l'ensemble singulier est formé de pts quadratiques ordinaires — et I est un sous-schéma fini étale de \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}, ou ce qui revient au même, une partie finie de \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}(k).

Soit \widehat{\widetilde{X}} = \widetilde{\widehat{X}} la normalisée de \widehat{X}, ~~alors~~ \widetilde{I} = \widehat{\widetilde{X}} \setminus \widetilde{X} = \text{Image inverse de } I \text{ par } \widehat{\widetilde{X}} \to \widehat{X} l'ens. des ~~ses~~ « points à l'infini » de \widetilde{X}, on a (2)\qquad \widetilde{I} \xrightarrow{\ \sim\ } I et nous identifierons généralement \widetilde{I} à I, et plus généralement les pts de \widehat{X}^{\mathrm{lisse}} aux pts correspondants de \widehat{\widetilde{X}}. Soit \widetilde{A} l'image inverse de A dans \widetilde{X} (ou dans \widehat{\widetilde{X}}), d'où (3)\qquad \widetilde{A} \longrightarrow A qui est une application de degré 2, d'où une involution sans pts fixe \sigma_{\widetilde{A}} dans \widetilde{A}. Ainsi, à la courbe standard X nous avons associé le système de données

p. 2 de l'auteur.

(4) a) Une courbe projective et lisse Y (= \widehat{\widetilde{X}})

b) ~~Deux~~ parties finies disjointes \widetilde{A} et I de Y(k) (ou encore, deux sous-schémas finis étales disjoints \widetilde{A}_{k} et I_{k} de Y)

c) Une involution sans point fixe \sigma_{\widetilde{A}} de \widetilde{A} (qui est donc de cardinal pair).

Inversement, partant des données a) b) c), on construit une courbe standard X en passant au quotient dans Y \setminus I_{k} \supset \widetilde{A}_{k} par l'involution \sigma — i.e. X est universel dans (Sch)) pour les données p :

\begin{tikzcd} Y \setminus I_{k} \arrow[r, "p"] & X \\ \widetilde{A}_{k} \arrow[u, "i"] \arrow[ur, dashed] & \end{tikzcd}

soumise à (pi)\sigma = pi.

Ainsi la catégorie des courbes standard sur k (pour les iso) apparaît comme équivalente à celle des systèmes a) b) c) ci-dessus (pour les iso)…

NB On récupère \widehat{X} comme quotient de Y par \sigma.

Généralisation sur une base quelconque

Une courbe standard sur S (multiplicité schématique, disons) sera définie constructivement en termes d'un système a) b) c) comme ci-dessus, i.e.

(5) a) Y, schéma propre et lisse sur S, partout de dim relative 1 ;

b) \widetilde{A} et I, deux sous-schémas de Y, finis étales sur S, \widetilde{A} \cap I = \emptyset ;

c) \sigma_{\widetilde{A}} une involution de \widetilde{A}, opérant librement.

On construit alors \widehat{X} = X Y/\sigma, contenant A = \widetilde{A}/\sigma et I comme sous-schémas fermés finis étales sur S, et on définit X = \widehat{X} \setminus I. On peut montrer que le foncteur (6)\qquad (Y, \widetilde{A}, I, \sigma_{\widetilde{A}}) \longmapsto X des systèmes (5) (pour les iso) vers les schémas relatifs (pour les iso), est pleinement fidèle.

faux tel quel !

NB NB ce foncteur n'est (6) … la note marginale « NB NB … » est écrite en oblique dans la marge inférieure gauche et se poursuit, semble-t-il, dans la marge supérieure gauche de la page suivante ; lecture très incertaine.

p. 3 de l'auteur.

Le foncteur est pl. fid. au mieux sur une base S réduite — faux p. ex. sur les nbs duaux sur un corps (si I \neq \emptyset). Pour avoir un foncteur pl. fidèle, il faut remplacer dans le contexte propre, i.e. (\widehat{X}, I), X = \widehat{X} \setminus I …

courbe relative « standard » sur S, tout élément de l'image essentielle. Le système (X Y, \widetilde{A}, I, \sigma) qui lui donne naissance s'appellera le « compactifié normalisé » (relatif) ( de ~~système divisant~~ le , puisque c'est non seulement le schéma relatif Y, mais Y avec la structure supplémentaire \widetilde{A}, I, \sigma_{\widetilde{A}}…). dans le système, l'auteur a biffé une première lettre (vraisemblablement X) ; la lecture Y est une restitution d'après (6).

2. Graphe associé à une courbe standard

Revenons au cas d'un corps de base k alg. clos, pour commencer. Soit X une courbe standard, d'où Y, I, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}}.

Posons (7)\qquad S = \pi_{0}(Y) \simeq \text{ens. des comp. irréd. de } X On a alors le diagramme d'applications canoniques entre ensembles finis

\begin{tikzcd} & I \arrow[d, "p"] \\ \widetilde{A} \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, "q"'] & S \\ A = \widetilde{A}/\sigma & \end{tikzcd}

(8) l'application \widetilde{A} \to S est notée \sigma, comme l'involution ; ainsi sur la page.

où q est de degré 2 et définit l'involution \sigma_{\widetilde{A}}. Les applications \sigma et p sont induites par les inclusions \widetilde{A} \hookrightarrow Y, I \hookrightarrow Y en passant aux \pi_{0}.

Le système (\widetilde{A} \xrightarrow{\sigma} S, \sigma_{\widetilde{A}}) ou

\begin{tikzcd} \widetilde{A} \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, "\deg 2"'] & S \\ A & \end{tikzcd}

peut être considéré comme définissant un graphe, dont S est l'ens. des sommets, et \widetilde{A} l'ens. des arcs (ou arêtes munies d'une orientation) l'application \sigma étant l'application « origine d'un arc ». Ce graphe ne dépend que de \widehat{X}, pas de X i.e. du choix de I \subset \widehat{X}(k). C'est pour tenir compte de ce choix que l'on considère, en plus de la structure de graphe, la donnée supplémentaire (9)\qquad I \longrightarrow S

p. 4 de l'auteur.

Le graphe indique comment les composantes irréductibles de X (figurées par les sommets) se recoupent deux à deux — les pts d'intersection « doubles », i.e. i.e. les pts singuliers (quadratiques) de X, correspondant aux arêtes. Si une composante irréductible X_{\alpha} de X correspond au sommet \alpha du graphe, alors les boucles fermées en \alpha correspondent bijectivement aux pts doubles de X_{\alpha} — donc dire que les X_{\alpha} sont lisses signifie que le graphe G_{X} n'a pas de boucle fermée, i.e. que pour tout arc, l'origine est \neq de l'extrémité.

Il est clair que tout graphe fini peut être obtenu (à iso près) ~~à l'aide~~ par un \widehat{X} convenable — et des compo-

santes X_{\alpha} de genre g_{\alpha} donné (i.e. des \widetilde{X}_{\alpha} de genre g_{\alpha} …). De plus, quand on se donne ~~des~~ I \to S (I un fini), cela peut être réalisé par un I \subset \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}, i.e. par une courbe standard S. on attendrait X.

La maquette d'une courbe standard X consiste, par définition, en les données suivantes

(10) a) Le graphe G_{X} = (S, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}}), où S = \pi_{0}(\widetilde{X}) = \pi_{0}(\widehat{\widetilde{X}}), \widetilde{A} = \operatorname{Sing}(X) les égalités sont écrites en colonne sous les termes du triplet ; la lecture « Sing(X) » sous \widetilde{A} est douteuse.

b) L'~~application~~ ensemble I = \widehat{X} \setminus X, et l'application I \longrightarrow S

c) L'application S \xrightarrow{\ g\ } \mathbb{N}, \qquad \alpha \longmapsto \text{genre de } Y_{\alpha} = \widehat{\widetilde{X}}_{\alpha}.

Une structure formée d'un graphe fini G = (S, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}}), d'un ensemble fini I A au-dessus de l'ens. des sommets de G, et d'une application « genre » : S \xrightarrow{g} \mathbb{N}, sera

p. 5 de l'auteur.

appelée ici une « maquette ».

Considérons la maquette d'une courbe standard X.

Proposition a) Soient \alpha, \beta \in S, alors \alpha, \beta appartiennent à la même composante connexe du graphe G, ssi X_{\alpha} et X_{\beta} appartiennent à la même comp. conn. de X. Donc on a une bij. can. (11)\qquad \pi_{0}(G_{X}) \simeq \pi_{0}(X), en particulier X est connexe ssi G_{X} est connexe.

b) Supposons X connexe i.e. \widehat{X} connexe, i.e. H^{0}(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}}) \simeq k i.e. \dim H^{0}(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}}) = 1.

Posons ~~g(X) = \dim H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}), \chi(X) = \chi~~ \begin{equation*} (12)\quad \begin{cases} g(\widehat{X}) = \dim H^{1}(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}})\\ \chi_{\mathrm{coh}}(\widehat{X}) = \chi(X, \mathcal{O}_{X}) = 1 - g(X) \end{cases} \end{equation*} dans le second membre de la deuxième ligne, un premier argument de \chi est surchargé et biffé ; X est lu à la place de \widehat{X}, tel quel.

on a alors (13)\qquad \chi_{\mathrm{coh}}(\widehat{X}) = \chi(\widehat{\widetilde{X}}) - \underbrace{\operatorname{card} A}_{\mu} = \sum_{\alpha \in S} (1 - g_{\alpha}) - \mu un premier second membre, \sum_{\alpha \in S} \chi_{\mathrm{coh}}(\ldots), est biffé et surchargé ; la forme retenue est écrite au-dessus.

i.e. \begin{equation*} (14)\quad \begin{aligned} g(\widehat{X}) &= \sum g_{\alpha} + (-\operatorname{card} S + \underbrace{\operatorname{card} A}_{\mu} + 1)\\ &= \sum g_{\alpha} + h_{1} \end{aligned} \end{equation*}

où (15)\qquad h_{1} = \operatorname{rg}_{\mathbb{Z}} H_{1}(G_{X}, \mathbb{Z}) .

Démonstration Standard (!) — la formule (13) résulte d'une suite exacte standard de cohomologie reliant \mathcal{O}_{\widehat{X}}, \mathcal{O}_{\widehat{\widetilde{X}}} et les singularités de \widehat{X}, d'ailleurs la formule d'EP pour le graphe G_{X} nous donne \chi(G_{X}) = \underbrace{h_{0}}_{1} - h_{1} = \operatorname{card} S - \operatorname{card} A i.e. 1 - \operatorname{card} S + \operatorname{card} A = h_{1}, \qquad \text{O.K.}

Corollaire Le nb g(\widehat{X}) ne dépend que de la maquette de X, par la formule (14) g(\widehat{X}) = \underbrace{\sum_{\alpha \in S} g(\alpha) + h_{1}}_{\overset{\mathrm{d\acute ef}}{=}\ \text{genre de } G} appelle ~~le genre~~ genre de G de la maquette. l'accolade sous la formule porte « \overset{\mathrm{déf}}{=} genre de G » ; la ligne qui suit est corrigée et mal lisible.

On appelle type de la maquette le couple (g, \nu), où g est son genre et \nu = \operatorname{card} I est le poids marqué. On appelle poids marqué d'un sommet l'entier

p. 6 de l'auteur.

\operatorname{card} I_{\alpha} (où I_{\alpha} est la fibre de I en \alpha \in S) (16)\qquad \nu_{\alpha} = \operatorname{card} I_{\alpha} , et on appelle poids total d'un sommet l'entier (17)\qquad \widehat{\nu}_{\alpha} = \nu_{\alpha} + \omega_{\alpha} \omega_{\alpha} \overset{\mathrm{d\acute ef}}{=} ordre du sommet \alpha, i.e. \operatorname{card} \widetilde{A}_{\alpha}, où \widetilde{A}_{\alpha} est la fibre de \widetilde{A} au-dessus de \alpha, i.e. le nb d'arcs sortant de \alpha. C'est donc le nb de « pts marqués » (provenant de pts doubles ou de pts à l'infini de X) sur la composante Y_{\alpha} de Y = \widehat{\widetilde{X}}. une courte note oblique dans la marge gauche, en haut de la page, n'est pas lue.

3. Courbes « stables » et MD-graphes

Une courbe standard (sur k alg. clos) est « stable », si elle satisfait à l'une des conditions équivalentes suivantes

a) \operatorname{Aut} X est fini

b) Pour tout \alpha, (Y_{\alpha}, I_{\alpha} \cup \widetilde{A}_{\alpha}) est anabélienne i.e. 2g_{\alpha} + \widehat{\nu}_{\alpha} \geq 3 i.e. 2g_{\alpha} - 2 + \widehat{\nu}_{\alpha} \geq 1, i.e.

1°) si g_{\alpha} = 1, on a \widehat{\nu}_{\alpha} \geq 1

2°) si g_{\alpha} = 0 on a \widehat{\nu}_{\alpha} \geq 3

c) Tout champ de vecteurs sur Y nul sur I \cup \widetilde{A} est nul.

d) \underline{\operatorname{Aut}}_{(Y, \widetilde{A}_{k}, I)} est un schéma en groupes fini étale sur k.

On voit que cette condition (sous forme b)) ne dépend que de la maquette de la courbe. On dit que X est une MD-courbe (MD, initiales de « Mumford-Deligne » — ou « modulaire ») si elle est stable, et connexe (i.e. connexe non vide). Les maquettes de telles courbes sont les maquettes connexes et stables (i.e. dont les sommets de genre 1 sont de poids total \geq 1, et les sommets de genre 0 sont de poids total \geq 3), on les appellera les MD-graphes.

NB Une maquette est un MD-graphe ssi

a) elle est connexe (i.e. le graphe G est conn. \neq \emptyset)

b) elle n'est pas réduite à un seul sommet de genre 1, de poids total 0 (pas d'arête, pas de points marqués)

c) les sommets de genre 0 sont de poids total \geq 3.

p. 7 de l'auteur.

Proposition Si (G = (S, \widetilde{A}, \sigma), I, g : S \to \mathbb{N}) est un MD-graphe, son type (g, \nu) est anabélien, i.e. 2g + \nu \geq 3.

Si on avait g = 1, \nu = 0, alors la relation g = 1 = \sum g_{\alpha} + h_{1} montre que ou bien tous les g_{\alpha} sont nuls et h_{1} = 1 1 (i.e. G est un cercle), ou bien tous les g_{\alpha} sauf un g_{\alpha_{0}} sont nuls, et g_{\alpha_{0}} = 1, h_{1} = 0. Dans le premier cas, (La relation s_{0} - s_{1} = h_{0} - h_{1} = 1 - 1 = 0 montre qu'il y a autant de sommets que d'arêtes, dans le deuxième, s_{0} - s_{1} = 1 - 0 = 1 il y a un sommet de plus que d'arêtes.)

Mais la relation \nu = 0 implique que les sommets de genre 0 sont d'ordre \geq 3. (G n'étant pas réduit à un sommet, puisqu'il est stable d'après ) ~~Mais un~~ arbre qui n'est réduit à un seul sommet ~~graphe top. connexe ou~~ a au moins deux bouts, dont l'un au moins sera de genre 0, ce qui élimine le cas 2°. Donc tous les sommets sont de genre 0 (donc aucun sommet n'est un bout) et h_{1} = 1. Mais ~~comme~~ un graphe topologique 0-connexe avec h_{1} = 1 pt. bout topologique est homéomorphe à un cercle, donc s'il est réalisé par un graphe combinatoire, tous les sommets de celui-ci sont d'ordre 2, ce qui contredit qu'ils soient d'ordre trois. page très corrigée : plusieurs ajouts interlinéaires se chevauchent ; l'ordre de lecture retenu est conjectural.

Éliminons de même le cas g = 0, \nu \leq 2. Ici g = 0 = \sum g_{\alpha} + h_{1} implique que les g_{\alpha} et h_{1} sont nuls : tous les sommets sont de genre 0, le graphe est un arbre. Il ne peut être réduit à un seul sommet, donc il a au moins deux bouts, donc les ~~poids~~ poids marqués doivent être \geq 2, donc \nu \geq 2 + 2 = 4, \quad \text{absurde.}

Soit G une ~~MD-graphe~~ maquette. On dit qu'une MD standard courbe ~~standard~~ sur un corps alg. clos est de type G, si sa maquette est iso à G, on dit qu'elle est G-épinglée si on s'est donné un iso entre sa maquette et G (c'est donc une structure supplémentaire sur X, appelée G-épinglage).

Soit (\widehat{X}, \underline{I}) une courbe standard sur une base S quelconque, on dit qu'elle est de type G si ses fibres géom. sont de type G. Alors les maquettes des

p. 8 de l'auteur.

fibres géom. de (\widehat{X}, \underline{I}) forment les fibres d'un schéma en maquettes sur S (ou en MD-graphes) (\underline{S}, \underline{\widetilde{A}}, \sigma_{\underline{\widetilde{A}}}, \underline{I}, \underline{\widetilde{A}} \to \underline{S}, \underline{I} \to \underline{S}, \underline{S} \xrightarrow{g} \mathbb{N}_{S}) (système de rev. finis étales de S et de morphismes entre ceux-ci), loc. isomorphe à la maquette G donnée. On appelle G-épinglage de (\widehat{X}, \underline{I}) tout isomorphisme entre G_{S} et \underline{G}(\widehat{X}, \underline{I}). Si ~~\Gamma~~ (18)\qquad \Gamma = \operatorname{Aut} G (groupe fini), les G-épinglages de (\widehat{X}, \underline{I}) s'identifient aux sections d'un certain \Gamma_{S}-torseur, ~~qui est le~~ appelé torseur des G-épinglages de (\widehat{X}, \underline{I}).

Considérons, sur une base \mathcal{S} fixe, la catégorie (pour les iso) des courbes standard G-épinglées. Pour tout \alpha \in S (ens. des sommets de la maquette) soit \widehat{I}_{\alpha} = I_{\alpha} \amalg \widetilde{A}_{\alpha} l'élément (de cardinal \widehat{\nu}_{\alpha} = poids total de \alpha) somme

des fibres I_{\alpha} et \widetilde{A}_{\alpha} de I et A au-dessus de \alpha. La donnée d'une courbe standard G-épinglée sur \mathcal{S} équivaut à la donnée, pour tout \alpha \in S, d'une courbe relative (propre lisse relt. connexe) Y_{\alpha} sur \mathcal{S}, de genre relatif g_{\alpha}, et d'un \mathcal{S}-monomorphisme (\widehat{I}_{\alpha})_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y_{\alpha}.

Désignons, pour ~~deux~~ un entier naturel g et un ens. fini I (de cardinal \nu) par \mathcal{M}_{g,I}(\mathcal{S}) le ~~catégorie~~ groupoïde (19) des courbes relatives Y (propres, lisses, connexes) sur \mathcal{S}, I-ponctuées i.e. munies d'un mono I_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y. On désignera de même, (20)\qquad \mathcal{M}_{G}(\mathcal{S}) désigne le groupoïde des courbes standard G-épinglées sur \mathcal{S}, on a une équivalence (21)\qquad \mathcal{M}_{G}(\mathcal{S}) \approx \prod_{\alpha \in S} \mathcal{M}_{g_{\alpha}, \widehat{I}_{\alpha}}(\mathcal{S}) . \mathcal{M}_{g,I}(\mathcal{S}) est entouré et relié par une flèche au numéro (19) placé devant « des courbes ». Dans la deuxième phrase, une formule biffée (une première notation \mathcal{M}_{g,\ldots}) n'est pas lue.

p. 9 de l'auteur.

Cette équivalence est compatible avec les chgts de base, et avec le transport de structure pour G variable.

On voit donc que, pour que, pour \mathcal{S} variable, le champ en groupoïdes (22)\qquad \mathcal{S} \longmapsto \mathcal{M}_{G}(\mathcal{S}) soit 2-représentable par une étendue schématique, il f. et s. qu'il en soit de même des \mathcal{S} \longmapsto \mathcal{M}_{g_{\alpha}, \widehat{I}_{\alpha}}(\mathcal{S}) , ce qui signifie aussi que les types correspondants (g_{\alpha}, \widehat{\nu}_{\alpha}) sont anabéliens, i.e. que la maquette G donnée est stable. Si on suppose G connexe, cela signifie donc justement que G est un MD-graphe. On désignera alors par \mathcal{M}_{G} la multiplicité modulaire

correspondante, qui n'est qu'à un iso can. près

, une équivalence (23)\qquad \mathcal{M}_{G} \simeq \prod_{\alpha} \mathcal{M}_{g_{\alpha}, \widehat{I}_{\alpha}} .

Notons que \Gamma = \operatorname{Aut} G opère sur \mathcal{M}_{G} de façon évidente, et aussi sur le système (\widehat{I}_{\alpha}, g_{\alpha})_{\alpha \in S} donc sur le deuxième membre de (23), qui ~~est~~ est un iso. compatible aux op. de \Gamma.

On peut considérer la multiplicité mixte (24)\qquad (\mathcal{M}_{G}, \Gamma) = \mathcal{M}_{[G]} , qui a priori ne dépend que du type d'isomorphie [G] de G, et qui s'interprète, en termes de ce dernier, comme la multiplicité schématique modulaire pour le groupoïde fibré (sur la 2-cat. des multiplicités schématiques) des courbes standard relatives de type [G].

le texte se poursuit au-delà de ce lot (p. 10 de l'auteur, « 4. La théorie de Mumford-Deligne » selon la table des matières).