Cote n° 147 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

Table des matières

2table des matières de l'auteur pour l'ensemble de la liasse (ses pages 1 à 90) ; les numéros à droite sont ses numéros de page.

Structure à l'\(\infty\) des \(M_{g,\nu}\)

  1. Courbes standard — 1
  2. Graphe associé à une courbe standard. Maquettes — 3
  3. Courbes stables, et MD-graphes — 6
  4. La théorie de Mumford-Deligne — 10
  5. Spécialisation des MD-graphes — 15
  6. Morphismes de généralisation de graphes et de maquettes — 16'
  7. Étude des \(\widehat{M}_{G}\) de dim \(\leq 2\) : a) détermination des graphes correspondants — 25
  8. Structure de spécialisation des strates en dim. modulaire ambiante \(\leq 4\) — 29'
  9. Structure groupoïdale des multiplicités modulaires de Teichmüller variables (la MDT-structure) : cas transcendant, morphismes de généralisation — 37
  10. Structure MDT analytique : calcul des morphismes de généralisation entre MD-graphes — 45
  11. Digression : déploiement d'un diviseur à croisements normaux. Structure à l'infini des groupoïdes fondamentaux — 52
  12. Digression (suite) : types canoniques associés à une stratification par croisements normaux, et leurs dévissages en types élémentaires — 74
  13. Digression sur les stratifications ⌜« locales »⌝ générales — 86

Structure à l'infini des \(M_{g,\nu}\)

3p. 1 de l'auteur.

1. Courbes standard

Soit \(k\) un corps alg. clos. Une « courbe standard » sur \(k\) est […] schéma \(X\) sur \(k\) satisfaisant les conditions suivantes :

a) \(X\) quasi-projectif, ⌜toute composante irréd. est⌝ de dim \(1\)

b) Tout point de \(X\) est soit lisse, soit un « point quadratique (ordinaire) » — i.e. isom. (loc. ét) à la courbe \(\operatorname{Spec}(k[X,Y]/XY)\) au point \(0\).

Il est connu qu'on peut trouver une unique « complétée » \(\widehat{X}\) de \(X\), telle que ⌜\(\widehat{X}\) soit un schéma propre, que⌝ \(X\) s'identifie à un ouvert dense de \(\widehat{X}\), et que \(\widehat{X}\) soit lisse en les pts de \(\widehat{X} \setminus X = I\). Alors \(\widehat{X}\) est une courbe projective, \(I\) est contenu une partie finie de \(\widehat{X}(k)\) contenue dans l'ens. ouvert des pts de lissité de \(\widehat{X}\). L'ens. \(A\) des pts singuliers de \(X\) s'identifie à l'ens. analogue pour \(\widehat{X}\) \[\begin{equation*} (1)\quad \begin{cases} I = \widehat{X} \setminus X \subset \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}(k) & \text{« pts à l'infini » de } X\\ A = X \setminus X^{\mathrm{lisse}} = \widehat{X} \setminus \widehat{X}^{\mathrm{lisse}} \subset X(k) & \text{(pts singuliers de } X\text{)} \end{cases} \end{equation*}\] La donnée de \(X\) équivaut à celle du

4\((\widehat{X}, I)\), où \(\widehat{X}\) est un schéma projectif, dont les composantes irréductibles sont de dim \(1\), et dont l'ensemble singulier est formé de pts quadratiques ordinaires — et \(I\) est un sous-schéma fini étale de \(\widehat{X}^{\mathrm{lisse}}\), ou ce qui revient au même, une partie finie de \(\widehat{X}^{\mathrm{lisse}}(k)\).

Soit \(\widehat{\widetilde{X}} = \widetilde{\widehat{X}}\) la normalisée de \(\widehat{X}\), alors \[ \widetilde{I} = \widehat{\widetilde{X}} \setminus \widetilde{X} = \text{Image inverse de } I \text{ par } \widehat{\widetilde{X}} \to \widehat{X} \] l'ens. des ses « points à l'infini » de \(\widetilde{X}\), on a \[ (2)\qquad \widetilde{I} \xrightarrow{\ \sim\ } I \] et nous identifierons généralement \(\widetilde{I}\) à \(I\), et plus généralement […] les pts de \(\widehat{X}^{\mathrm{lisse}}\) aux pts correspondants de \(\widehat{\widetilde{X}}\). Soit \(\widetilde{A}\) l'image inverse de \(A\) dans \(\widetilde{X}\) (ou dans \(\widehat{\widetilde{X}}\)), d'où \[ (3)\qquad \widetilde{A} \longrightarrow A \] qui est une application de degré \(2\), d'où une involution sans pts fixe \(\sigma_{\widetilde{A}}\) dans \(\widetilde{A}\). Ainsi, à la courbe standard \(X\) nous avons associé le système de données

5p. 2 de l'auteur.

suivant :

(4) a) Une courbe projective et lisse \(Y\) \((= \widehat{\widetilde{X}})\) […]

b) Deux parties ⌜finies⌝ disjointes \(\widetilde{A}\) et \(I\) de \(Y(k)\) (ou encore, deux sous-schémas finis étales disjoints \(\widetilde{A}_{k}\) et \(I_{k}\) de \(Y\))

c) Une involution sans point fixe \(\sigma_{\widetilde{A}}\) de \(\widetilde{A}\) (qui est donc de cardinal pair).

Inversement, partant des données a) b) c), on construit une courbe standard \(X\) en passant au quotient dans \(Y \setminus I_{k} \supset \widetilde{A}_{k}\) par l'involution \(\sigma\) — i.e. \(X\) est universel ⌜dans (Sch))⌝ pour les données \(p\) :

LaTeX source
\begin{tikzcd}
Y \setminus I_{k} \arrow[r, "p"] & X \\
\widetilde{A}_{k} \arrow[u, "i"] \arrow[ur, dashed] &
\end{tikzcd}

soumise à \((pi)\sigma = pi\).

Ainsi la catégorie des courbes standard sur \(k\) ⌜(pour les iso)⌝ apparaît comme équivalente à celle des systèmes a) b) c) ci-dessus (pour les iso)…

NB On récupère \(\widehat{X}\) comme quotient de \(Y\) par \(\sigma\).

6

Généralisation sur une base quelconque

Une courbe standard sur \(S\) (multiplicité schématique, disons) sera définie constructivement en termes d'un système a) b) c) comme ci-dessus, i.e.

(5) a) \(Y\), schéma propre et lisse ⌜sur \(S\),⌝ partout de dim relative \(1\) ;

b) \(\widetilde{A}\) et \(I\), deux sous-schémas de \(Y\), finis étales sur \(S\), […] \(\widetilde{A} \cap I = \emptyset\) ;

c) \(\sigma_{\widetilde{A}}\) une involution de \(\widetilde{A}\), opérant librement.

On construit alors \(\widehat{X} =\) \(X\) ⌜\(Y\)⌝\(/\sigma\), contenant \(A = \widetilde{A}/\sigma\) et \(I\) comme sous-schémas ⌜fermés⌝ finis étales sur \(S\), et on définit \(X = \widehat{X} \setminus I\). On peut montrer que le foncteur \[ (6)\qquad (Y, \widetilde{A}, I, \sigma_{\widetilde{A}}) \longmapsto X \] des systèmes (5) (pour les iso) vers les schémas relatifs ⌜(pour les iso)⌝, est pleinement fidèle.

faux tel quel !

NB NB ce foncteur n'est […] […] (6) … la note marginale « NB NB … » est écrite en oblique dans la marge inférieure gauche et se poursuit, semble-t-il, dans la marge supérieure gauche de la page suivante ; lecture très incertaine.

7p. 3 de l'auteur.

Le foncteur est pl. fid. au mieux sur une base \(S\) réduite — faux p. ex. sur les nbs duaux ⌜sur un corps⌝ (si \(I \neq \emptyset\)). Pour avoir un foncteur pl. fidèle, il faut remplacer […] […] dans le contexte propre, i.e. […] \((\widehat{X}, I)\), […] \(X = \widehat{X} \setminus I\) …

[…] courbe ⌜relative⌝ « standard » sur \(S\), tout élément de l'image essentielle. ⌜Le⌝ système \((\)\(X\) \(Y, \widetilde{A}, I, \sigma)\) qui lui donne naissance s'appellera le « compactifié normalisé » ⌜(relatif)⌝ ([…] de système divisant le […], puisque c'est non seulement le schéma relatif \(Y\), mais \(Y\) avec la structure supplémentaire \(\widetilde{A}, I, \sigma_{\widetilde{A}}\)…). dans le système, l'auteur a biffé une première lettre (vraisemblablement \(X\)) ; la lecture \(Y\) est une restitution d'après (6).

2. Graphe associé à une courbe standard

Revenons au cas d'un corps de base \(k\) alg. clos, pour commencer. Soit \(X\) une courbe standard, d'où \(Y\), […] \(I\), \(\widetilde{A}\), \(\sigma_{\widetilde{A}}\).

Posons \[ (7)\qquad S = \pi_{0}(Y) \simeq \text{ens. des comp. irréd. de } X \] On a alors le diagramme d'applications canoniques entre ensembles finis

LaTeX source
\begin{tikzcd}
 & I \arrow[d, "p"] \\
\widetilde{A} \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, "q"'] & S \\
A = \widetilde{A}/\sigma &
\end{tikzcd}

(8) l'application \(\widetilde{A} \to S\) est notée \(\sigma\), comme l'involution ; ainsi sur la page.

8où \(q\) est de degré \(2\) et définit l'involution \(\sigma_{\widetilde{A}}\). Les applications \(\sigma\) et \(p\) sont induites par les inclusions \(\widetilde{A} \hookrightarrow Y\), \(I \hookrightarrow Y\) en passant aux \(\pi_{0}\).

Le système \((\widetilde{A} \xrightarrow{\sigma} S, \sigma_{\widetilde{A}})\) ou

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\widetilde{A} \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, "\deg 2"'] & S \\
A &
\end{tikzcd}

peut être considéré comme définissant un graphe, dont \(S\) est l'ens. des sommets, et \(\widetilde{A}\) l'ens. des arcs (ou arêtes munies d'une orientation) l'application \(\sigma\) étant l'application « origine d'un arc ». Ce graphe ne dépend que de \(\widehat{X}\), pas de \(X\) i.e. du choix de \(I \subset \widehat{X}(k)\). C'est pour tenir compte de ce choix que l'on considère, en plus de la structure de graphe, la donnée supplémentaire \[ (9)\qquad I \longrightarrow S \]

9p. 4 de l'auteur.

Le graphe indique comment les composantes irréductibles de \(X\) (figurées par les sommets) se recoupent deux à deux — les pts d'intersection ⌜« doubles », i.e.⌝ i.e. les pts singuliers (quadratiques) de \(X\), correspondant aux arêtes. Si une composante irréductible \(X_{\alpha}\) de \(X\) correspond au sommet \(\alpha\) du graphe, alors les boucles fermées en \(\alpha\) correspondent bijectivement aux pts doubles de \(X_{\alpha}\) — donc dire que les \(X_{\alpha}\) sont lisses signifie que le graphe \(G_{X}\) n'a pas de boucle fermée, i.e. que pour tout arc, l'origine est \(\neq\) de l'extrémité.

Il est clair que tout graphe fini peut être obtenu ⌜(à iso près)⌝ à l'aide par un \(\widehat{X}\) convenable — et […] […] des compo-

10santes \(X_{\alpha}\) de genre ⌜\(g_{\alpha}\)⌝ donné (i.e. des \(\widetilde{X}_{\alpha}\) de genre \(g_{\alpha}\) …). De plus, quand on se donne des \(I \to S\) (\(I\) un fini), cela peut être réalisé par un \(I \subset \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}\), i.e. par une courbe standard \(S\). on attendrait \(X\).

La maquette d'une courbe standard \(X\) consiste, par définition, en les données suivantes

(10) a) Le graphe \(G_{X} = (S, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}})\), où \(S = \pi_{0}(\widetilde{X}) = \pi_{0}(\widehat{\widetilde{X}})\), \(\widetilde{A} =\) \(\operatorname{Sing}(X)\) […] les égalités sont écrites en colonne sous les termes du triplet ; la lecture « Sing\((X)\) » sous \(\widetilde{A}\) est douteuse.

b) L'application ⌜ensemble⌝ \(I = \widehat{X} \setminus X\), et l'application \[ I \longrightarrow S \]

c) L'application \[ S \xrightarrow{\ g\ } \mathbb{N}, \qquad \alpha \longmapsto \text{genre de } Y_{\alpha} = \widehat{\widetilde{X}}_{\alpha}. \]

Une structure ⌜formée⌝ d'un graphe fini \(G\) ⌜\(= (S, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}})\)⌝, d'un ensemble fini \(I\) \(A\) au-dessus de l'ens. des sommets de \(G\), et d'une application « genre » : \(S \xrightarrow{g} \mathbb{N}\), sera

11p. 5 de l'auteur.

appelée ici une « maquette ».

⌜Considérons la maquette d'une courbe standard \(X\).⌝

Proposition a) Soient \(\alpha, \beta \in S\), alors \(\alpha, \beta\) appartiennent à la même composante connexe du graphe \(G\), ssi \(X_{\alpha}\) et \(X_{\beta}\) appartiennent à la même comp. conn. de \(X\). Donc […] on a une bij. can. \[ (11)\qquad \pi_{0}(G_{X}) \simeq \pi_{0}(X), \] en particulier \(X\) est connexe ssi \(G_{X}\) est connexe.

b) Supposons \(X\) connexe i.e. \(\widehat{X}\) connexe, i.e. \(H^{0}(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}}) \simeq k\) i.e. \(\dim H^{0}(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}}) = 1\).

Posons \(g(X) = \dim H^{1}(X, \mathcal{O}_{X})\), \(\chi(X) = \chi\) \[\begin{equation*} (12)\quad \begin{cases} g(\widehat{X}) = \dim H^{1}(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}})\\ \chi_{\mathrm{coh}}(\widehat{X}) = \chi(X, \mathcal{O}_{X}) = 1 - g(X) \end{cases} \end{equation*}\] dans le second membre de la deuxième ligne, un premier argument de \(\chi\) est surchargé et biffé ; \(X\) est lu à la place de \(\widehat{X}\), tel quel.

on a alors \[ (13)\qquad \chi_{\mathrm{coh}}(\widehat{X}) = \chi(\widehat{\widetilde{X}}) - \underbrace{\operatorname{card} A}_{\mu} = \sum_{\alpha \in S} (1 - g_{\alpha}) - \mu \] un premier second membre, \(\sum_{\alpha \in S} \chi_{\mathrm{coh}}(\ldots)\), est biffé et surchargé ; la forme retenue est écrite au-dessus.

i.e. \[\begin{equation*} (14)\quad \begin{aligned} g(\widehat{X}) &= \sum g_{\alpha} + (-\operatorname{card} S + \underbrace{\operatorname{card} A}_{\mu} + 1)\\ &= \sum g_{\alpha} + h_{1} \end{aligned} \end{equation*}\]

12où […] \[ (15)\qquad h_{1} = \operatorname{rg}_{\mathbb{Z}} H_{1}(G_{X}, \mathbb{Z}) . \]

Démonstration Standard (!) — la formule (13) résulte d'une suite exacte ⌜standard⌝ de cohomologie reliant \(\mathcal{O}_{\widehat{X}}\), \(\mathcal{O}_{\widehat{\widetilde{X}}}\) et les singularités de \(\widehat{X}\), d'ailleurs la formule d'EP pour le graphe \(G_{X}\) nous donne \[ \chi(G_{X}) = \underbrace{h_{0}}_{1} - h_{1} = \operatorname{card} S - \operatorname{card} A \] i.e. \[ 1 - \operatorname{card} S + \operatorname{card} A = h_{1}, \qquad \text{O.K.} \]

Corollaire Le nb \(g(\widehat{X})\) ne dépend que de la maquette de \(X\), par la formule (14) \[ g(\widehat{X}) = \underbrace{\sum_{\alpha \in S} g(\alpha) + h_{1}}_{\overset{\mathrm{d\acute ef}}{=}\ \text{genre de } G} \] […] appelle le genre ⌜genre de \(G\)⌝ de la maquette. l'accolade sous la formule porte « \(\overset{\mathrm{déf}}{=}\) genre de \(G\) » ; la ligne qui suit est corrigée et mal lisible.

On appelle type de la maquette le couple \((g, \nu)\), où \(g\) est son genre et \(\nu = \operatorname{card} I\) est le poids marqué. On appelle poids marqué d'un sommet l'entier

13p. 6 de l'auteur.

[…] […] […] […] \(\operatorname{card} I_{\alpha}\) (où \(I_{\alpha}\) est la fibre de \(I\) en \(\alpha \in S\)) \[ (16)\qquad \nu_{\alpha} = \operatorname{card} I_{\alpha} , \] et on appelle poids total d'un sommet l'entier \[ (17)\qquad \widehat{\nu}_{\alpha} = \nu_{\alpha} + \omega_{\alpha} \] \(\omega_{\alpha} \overset{\mathrm{d\acute ef}}{=}\) ordre du sommet \(\alpha\), i.e. \(\operatorname{card} \widetilde{A}_{\alpha}\), où \(\widetilde{A}_{\alpha}\) est la fibre de \(\widetilde{A}\) au-dessus de \(\alpha\), i.e. le nb d'arcs sortant de \(\alpha\). C'est donc le nb de « pts marqués » (provenant de pts doubles ou de pts à l'infini de \(X\)) sur la composante \(Y_{\alpha}\) de \(Y = \widehat{\widetilde{X}}\). une courte note oblique dans la marge gauche, en haut de la page, n'est pas lue.

3. Courbes « stables » et MD-graphes

Une courbe standard ⌜(sur \(k\) alg. clos)⌝ est « stable », si elle satisfait à l'une des conditions équivalentes suivantes

a) \(\operatorname{Aut} X\) est fini

b) Pour tout \(\alpha\), \((Y_{\alpha}, I_{\alpha} \cup \widetilde{A}_{\alpha})\) est anabélienne i.e. \(2g_{\alpha} + \widehat{\nu}_{\alpha} \geq 3\) i.e. \(2g_{\alpha} - 2 + \widehat{\nu}_{\alpha} \geq 1\), i.e.

141°) si \(g_{\alpha} = 1\), on a \(\widehat{\nu}_{\alpha} \geq 1\)

2°) si \(g_{\alpha} = 0\) on a \(\widehat{\nu}_{\alpha} \geq 3\)

c) Tout champ de vecteurs sur \(Y\) nul sur […] \(I \cup \widetilde{A}\) est nul.

d) \(\underline{\operatorname{Aut}}_{(Y, \widetilde{A}_{k}, I)}\) est un schéma en groupes fini étale ⌜sur \(k\)⌝.

On voit que cette condition (sous forme b)) ne dépend que de la maquette de la courbe. On dit que \(X\) est une MD-courbe (MD, initiales de « Mumford-Deligne » — ou « modulaire ») si elle est stable, et ⌜connexe⌝ (i.e. connexe non vide). Les maquettes de telles courbes sont les maquettes ⌜connexes et⌝ stables (i.e. dont les sommets de genre \(1\) sont de poids total \(\geq 1\), et les sommets de genre \(0\) sont de poids total \(\geq 3\)), on les appellera les MD-graphes.

NB Une maquette est un MD-graphe ssi

a) elle est connexe (i.e. le graphe \(G\) est conn. \(\neq \emptyset\))

b) elle n'est pas réduite à un seul sommet de genre \(1\), de poids total \(0\) (pas d'arête, pas de points marqués)

c) les sommets de genre \(0\) sont de poids total \(\geq 3\).

15p. 7 de l'auteur.

Proposition Si \((G = (S, \widetilde{A}, \sigma), I, g : S \to \mathbb{N})\) est un MD-graphe, son type \((g, \nu)\) est anabélien, i.e. \(2g + \nu \geq 3\).

Si on avait \(g = 1\), \(\nu = 0\), alors la relation \[ g = 1 = \sum g_{\alpha} + h_{1} \] montre que ou bien tous les \(g_{\alpha}\) sont nuls et \(h_{1} =\) \(1\) \(1\) ⌜(i.e. \(G\) est un cercle)⌝, ou bien tous les \(g_{\alpha}\) sauf un ⌜\(g_{\alpha_{0}}\)⌝ sont nuls, et \(g_{\alpha_{0}} = 1\), \(h_{1} = 0\). ⌜Dans le premier cas,⌝ (La relation \(s_{0} - s_{1} = h_{0} - h_{1} = 1 - 1 = 0\) montre qu'il y a autant de sommets que d'arêtes, dans le deuxième, \(s_{0} - s_{1} = 1 - 0 = 1\) il y a un sommet de plus que d'arêtes.)

Mais la relation \(\nu = 0\) implique que les sommets de genre \(0\) sont d'ordre \(\geq 3\). ⌜(\(G\) n'étant pas réduit à un sommet, puisqu'il est stable d'après […])⌝ Mais un ⌜arbre⌝ qui n'est réduit à un seul sommet graphe top. connexe ou a au moins deux bouts, dont l'un au moins sera de genre \(0\), ce qui élimine le cas 2°. Donc tous les sommets sont de genre \(0\) ⌜(donc aucun sommet n'est un bout)⌝ et \(h_{1} = 1\). Mais comme un graphe ⌜topologique⌝ \(0\)-connexe avec \(h_{1} = 1\) ⌜pt.⌝ bout topologique est homéomorphe à un cercle, donc s'il est réalisé par un graphe combinatoire, tous les sommets de celui-ci sont d'ordre \(2\), ce qui contredit qu'ils soient d'ordre trois. page très corrigée : plusieurs ajouts interlinéaires se chevauchent ; l'ordre de lecture retenu est conjectural.

16Éliminons de même le cas \(g = 0\), \(\nu \leq 2\). Ici \[ g = 0 = \sum g_{\alpha} + h_{1} \] implique que les \(g_{\alpha}\) et \(h_{1}\) sont nuls : tous les sommets sont de genre \(0\), le graphe est un arbre. Il ne peut être réduit à un seul sommet, donc il a au moins deux bouts, donc […] les poids poids marqués doivent être \(\geq 2\), donc […] \[ \nu \geq 2 + 2 = 4, \quad \text{absurde.} \]

Soit \(G\) une MD-graphe ⌜maquette⌝. On dit qu'une MD ⌜standard⌝ courbe standard sur un corps alg. clos est de type \(G\), si sa maquette est iso à \(G\), on dit qu'elle est ⌜\(G\)-⌝épinglée si on s'est donné un iso entre sa maquette et \(G\) (c'est donc une structure supplémentaire sur \(X\), appelée \(G\)-épinglage).

Soit \((\widehat{X}, \underline{I})\) une courbe standard sur une base \(S\) quelconque, on dit qu'elle est de type \(G\) si ses fibres géom. sont de type \(G\). Alors les […] ⌜maquettes⌝ des

17p. 8 de l'auteur.

fibres géom. de \((\widehat{X}, \underline{I})\) forment les fibres d'un schéma en maquettes ⌜sur \(S\) (ou en MD-graphes)⌝ \[ (\underline{S}, \underline{\widetilde{A}}, \sigma_{\underline{\widetilde{A}}}, \underline{I}, \underline{\widetilde{A}} \to \underline{S}, \underline{I} \to \underline{S}, \underline{S} \xrightarrow{g} \mathbb{N}_{S}) \] (système de rev. finis étales ⌜de \(S\)⌝ et de morphismes entre ceux-ci), loc. isomorphe à la maquette \(G\) donnée. […] On appelle ⌜\(G\)-⌝épinglage de \((\widehat{X}, \underline{I})\) tout isomorphisme entre \(G_{S}\) et \(\underline{G}(\widehat{X}, \underline{I})\). Si \(\Gamma\) \[ (18)\qquad \Gamma = \operatorname{Aut} G \] (groupe fini), les \(G\)-épinglages de \((\widehat{X}, \underline{I})\) s'identifient aux sections d'un certain \(\Gamma_{S}\)-torseur, qui est le ⌜appelé⌝ torseur des \(G\)-épinglages de \((\widehat{X}, \underline{I})\).

Considérons, sur une base \(\mathcal{S}\) fixe, la catégorie ⌜(pour les iso)⌝ des courbes standard \(G\)-épinglées. Pour tout \(\alpha \in S\) (ens. des sommets de la maquette) soit \(\widehat{I}_{\alpha} = I_{\alpha} \amalg \widetilde{A}_{\alpha}\) l'élément (de cardinal \(\widehat{\nu}_{\alpha}\) = poids total de \(\alpha\)) somme

18des fibres \(I_{\alpha}\) et \(\widetilde{A}_{\alpha}\) de \(I\) et \(A\) au-dessus de \(\alpha\). La donnée d'une courbe standard \(G\)-épinglée sur \(\mathcal{S}\) équivaut à la donnée, pour tout \(\alpha \in S\), d'une courbe relative (propre lisse ⌜relt. connexe⌝) \(Y_{\alpha}\) sur \(\mathcal{S}\), de genre relatif \(g_{\alpha}\), et d'un ⌜\(\mathcal{S}\)-⌝monomorphisme \((\widehat{I}_{\alpha})_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y_{\alpha}\).

Désignons, […] pour deux ⌜un⌝ entier naturel \(g\) et un ens. fini \(I\) (de cardinal \(\nu\)) par \(\mathcal{M}_{g,I}(\mathcal{S})\) le catégorie ⌜groupoïde⌝ (19) des courbes relatives \(Y\) (propres, lisses, connexes) sur \(\mathcal{S}\), \(I\)-ponctuées i.e. munies d'un mono \(I_{\mathcal{S}} \hookrightarrow Y\). On désignera de même, \[ (20)\qquad \mathcal{M}_{G}(\mathcal{S}) \] désigne le groupoïde des courbes standard \(G\)-épinglées sur \(\mathcal{S}\), on a une équivalence \[ (21)\qquad \mathcal{M}_{G}(\mathcal{S}) \approx \prod_{\alpha \in S} \mathcal{M}_{g_{\alpha}, \widehat{I}_{\alpha}}(\mathcal{S}) . \] \(\mathcal{M}_{g,I}(\mathcal{S})\) est entouré et relié par une flèche au numéro (19) placé devant « des courbes ». Dans la deuxième phrase, une formule biffée (une première notation \(\mathcal{M}_{g,\ldots}\)) n'est pas lue.

19p. 9 de l'auteur.

Cette équivalence est compatible avec les chgts de base, et avec le transport de structure pour \(G\) variable.

On voit donc que, pour que, pour \(\mathcal{S}\) variable, le champ en groupoïdes \[ (22)\qquad \mathcal{S} \longmapsto \mathcal{M}_{G}(\mathcal{S}) \] soit \(2\)-représentable par une étendue schématique, il f. et s. qu'il en soit de même des \[ \mathcal{S} \longmapsto \mathcal{M}_{g_{\alpha}, \widehat{I}_{\alpha}}(\mathcal{S}) , \] ce qui signifie aussi que les types correspondants \((g_{\alpha}, \widehat{\nu}_{\alpha})\) sont anabéliens, i.e. que la maquette \(G\) ⌜donnée⌝ est stable. Si on suppose \(G\) connexe, cela signifie donc justement que \(G\) est un MD-graphe. On désignera alors par \(\mathcal{M}_{G}\) la multiplicité modulaire

20correspondante, qui n'est qu'à un iso can. près

[…], une équivalence \[ (23)\qquad \mathcal{M}_{G} \simeq \prod_{\alpha} \mathcal{M}_{g_{\alpha}, \widehat{I}_{\alpha}} . \]

Notons que \(\Gamma = \operatorname{Aut} G\) opère sur \(\mathcal{M}_{G}\) de façon évidente, et aussi sur le système \((\widehat{I}_{\alpha}, g_{\alpha})_{\alpha \in S}\) donc sur le deuxième membre de (23), qui est ⌜est un⌝ iso. compatible aux op. de \(\Gamma\).

On peut considérer la multiplicité mixte \[ (24)\qquad (\mathcal{M}_{G}, \Gamma) = \mathcal{M}_{[G]} , \] qui a priori ne dépend que du type d'isomorphie \([G]\) de \(G\), et qui s'interprète, en termes de ce dernier, comme la multiplicité schématique modulaire pour le groupoïde fibré (sur la \(2\)-cat. des multiplicités schématiques) des courbes standard relatives de type \([G]\).

le texte se poursuit au-delà de ce lot (p. 10 de l'auteur, « 4. La théorie de Mumford-Deligne » selon la table des matières).