Cote n° 147 · pages 1–189 · Lecture modernisée · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–189

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier est un seul texte, paginé de sa main de 1 à 90 sur un feuillet sur deux, précédé d'une table des matières (page 2) ; la page 1 est une chemise au crayon qui n'est pas de lui. Il s'interrompt au milieu d'une phrase. Ses paragraphes, numérotés de 1 à 13, se groupent en deux moitiés.

• Courbes standard et maquettes (pages 3 à 13, §§ 1–2) : courbes nodales pointées, leur graphe dual, le genre d'une maquette.
• Courbes stables et MD-graphes (pages 13 à 21, § 3) : la condition de stabilité, le type anabélien, le champ \(\mathcal{M}_G\) des courbes de type \(G\) épinglées.
• La théorie de Mumford–Deligne (pages 21 à 30, § 4) : la compactification \(\overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}\), sa partition en strates \(\mathcal{M}_{[G]}\), la codimension d'une strate, l'adhérence.
• Spécialisation et contraction (pages 31 à 50, §§ 5–6) : la recette qui remplace un sommet par un graphe, les « morphismes généralisés » de graphes, les contractions d'arêtes, l'ensemble ordonné des généralisations.
• Le recensement en dimension au plus \(2\) (pages 51 à 60, § 7) : graphes de dimension modulaire \(0\), \(1\), \(2\) et leurs groupes d'automorphismes ; les quatre cas élémentaires.
• La structure de spécialisation en petite dimension (pages 60 à 74, § 8) : \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\), \(\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\), \(\overline{\mathcal{M}}_{0,5}\), \(\overline{\mathcal{M}}_{1,2}\) ; caractéristiques d'Euler et classes ; connexité du bord.
• Les groupoïdes de Teichmüller (pages 75 à 88, § 9) : groupoïdes fondamentaux des strates, homomorphismes de généralisation, l'extension \(S_A\Pi\mathcal{M}_G\), une axiomatique.
• Morphismes de normalisation et Programme (pages 89 à 104, § 10) : couper des arêtes, oublier des points ; le Programme.
• Déploiement d'un diviseur à croisements normaux (pages 105 à 120, § 11) : les strates normalisées \(D_d\), leurs drapeaux, une axiomatique en « catégorie analytique ».
• Fibrés multinormaux et spécialisation (pages 120 à 147) : les tores \(G_d\), les torseurs \(P_d\), les groupoïdes \(\widetilde{\Pi}\), l'homomorphisme de spécialisation, les voisinages tubulaires.
• Le recollement (pages 148 à 160) : la filtration par les \(\Theta^{(d)}\), les parties admissibles, deux « théorèmes de recollement » énoncés.
• Les pièces élémentaires (pages 161 à 179, § 12) : le cas de \(\mathbb{C}^I\), les seize pièces de \(\mathbb{C}^2\), la filtration du fibré normal, le « Scholie important », et la limite de l'approche.
• Stratifications locales et globales (pages 180 à 189, § 13) : définitions, l'espace des drapeaux, une catégorie topologique.

La première moitié est de géométrie algébrique ; la seconde, à partir de la page 105, est une digression qui ne nomme plus les courbes, mais qui est faite pour elles : le diviseur à croisements normaux qu'elle a en vue est le bord de \(\overline{\mathcal{M}}_{g,\nu}\), et la page 178 le rappelle (« ce qui est le cas dans la situation de Teichmüller ! »).

La table des matières (page 2) annonce treize paragraphes avec leurs pages. Elle s'écarte des titres du texte en trois endroits¹ ; on suit le texte.

Les conventions

Graphes. Un graphe est un quadruplet \(G = (S, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}}, o)\) : un ensemble fini \(S\) de sommets, un ensemble fini \(\widetilde{A}\) d'arcs, une involution sans point fixe \(\sigma_{\widetilde{A}}\) de \(\widetilde{A}\) (l'arc opposé) et l'application origine \(o : \widetilde{A} \to S\). Les arêtes sont les éléments de \(A = \widetilde{A}/\sigma_{\widetilde{A}}\). Les arcs du dossier sont les demi-arêtes d'aujourd'hui (un arc est déterminé par son origine et l'arête qui le porte) ; les boucles sont permises. On garde ses mots. L'ordre d'un sommet \(\alpha\) est \(\omega_\alpha = \operatorname{card} \widetilde{A}_\alpha\), où \(\widetilde{A}_\alpha = o^{-1}(\alpha)\) ; une boucle compte pour \(2\). On note \(s_0 = \operatorname{card} S\), \(s_1 = \operatorname{card} A\), et \(h_1 = \operatorname{rg} H_1(G, \mathbb{Z})\).

Maquettes. Une maquette est un graphe muni d'un ensemble fini \(I\) de points marqués (les « jambes » d'aujourd'hui), d'une application \(I \to S\) et d'une application genre \(g : S \to \mathbb{N}\). On note \(I_\alpha\) la fibre de \(I\) en \(\alpha\), \(\nu_\alpha = \operatorname{card} I_\alpha\) (le poids marqué), \(\widehat{I}_\alpha = I_\alpha \amalg \widetilde{A}_\alpha\) et \(\widehat{\nu}_\alpha = \nu_\alpha + \omega_\alpha\) (le poids total). Le genre de la maquette est \(g = \sum_\alpha g_\alpha + h_1\), son type est \((g, \nu)\) avec \(\nu = \operatorname{card} I\). Un MD-graphe est une maquette connexe et stable : \(2g_\alpha + \widehat{\nu}_\alpha \geq 3\) en tout sommet. C'est un graphe stable au sens d'aujourd'hui² . On note \(\Gamma_G = \operatorname{Aut} G\) et \(\Gamma^{!}_G = \operatorname{Ker}(\Gamma_G \to \mathfrak{S}_I)\).

Champs de modules. Le dossier dit « multiplicité » (modulaire, schématique, analytique) pour ce qu'on appelle un champ de Deligne–Mumford ; on garde son mot, qui a le mérite de dire qu'un point peut avoir des automorphismes. On note \(\mathcal{M}_{g,I}\) le champ des courbes propres, lisses, connexes de genre \(g\) munies de points distincts indexés par \(I\), et \(\overline{\mathcal{M}}_{g,I}\) son compactifié par les courbes stables ; pour \(I = \{1, \dots, \nu\}\) on écrit \(\mathcal{M}_{g,\nu}\). Le dossier note ce champ \(\overset{!}{M}_{g,\nu}\) et réserve \(M_{g,\nu}\) au champ des courbes munies d'un ensemble de \(\nu\) points non ordonnés, quotient par \(\mathfrak{S}_\nu\), que nous notons \(\mathcal{M}_{g,[\nu]} = [\mathcal{M}_{g,\nu}/\mathfrak{S}_\nu]\) ; ses chapeaux \(\widehat{M}\) sont nos barres \(\overline{\mathcal{M}}\)³ . Pour un MD-graphe \(G\) : \[ \mathcal{M}_G = \prod_{\alpha \in S} \mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}, \qquad \overline{\mathcal{M}}_G = \prod_{\alpha \in S} \overline{\mathcal{M}}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}, \qquad \mathcal{M}_{[G]} = [\mathcal{M}_G/\Gamma_G], \] et de même \(\overline{\mathcal{M}}_{[G]} = [\overline{\mathcal{M}}_G/\Gamma_G]\).

Groupoïdes. \(\Pi_1 Y\) (ou \(\Pi Y\), comme il l'écrit souvent) est le groupoïde fondamental de \(Y\) ; pour un champ \([Y/\Gamma]\) on écrit \(\Pi_1(Y, \Gamma)\), ce qu'il note \((\Pi Y, \Gamma)\). Le groupe fondamental (orbifold) de \(\mathcal{M}_{g,\nu}^{\mathrm{an}}\) est le groupe des classes d'applications pur \(\mathrm{Mod}_{g,\nu}\) (« mapping class group ») ; le dossier l'appelle groupe de Teichmüller⁴ .

Classes. \(\mathbb{L} = [\mathbb{A}^1]\) est sa \(T(1)\), « Tate » (page 62).

Deux homonymies. Le mot « généralisation » désigne dans la première moitié une contraction d'arêtes de graphes (§§ 5–6) ; dans la seconde, « spécialisation » désigne un homomorphisme de groupoïdes qui ne provient d'aucune application d'espaces (§ 11). Et la lettre \(S\) y sert à trois usages : l'ensemble des sommets, la base \(\mathcal{S}\) d'une famille, le préfixe de \(S_A\Pi\mathcal{M}_G\) ; on écrit la base en caligraphie, comme le fait la transcription.

Numérotation. Les numéros de formules sont les siens. Ils se répètent par endroits (deux (24), deux (30), deux (65), deux (72), deux (78), deux (96)), et la transcription lit (2.35) à (2.61) ce qui suit (234) ; on cite (235) à (261)⁵ .

3–13

Courbes standard et maquettes (pages 3 à 13)

3–7

Courbes standard (pages 3 à 7)

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Une courbe standard sur \(k\) est un \(k\)-schéma quasi-projectif \(X\) dont toutes les composantes irréductibles sont de dimension \(1\) et dont chaque point est lisse ou quadratique ordinaire (un nœud : étale-localement isomorphe à \(\operatorname{Spec} k[x,y]/(xy)\) en l'origine). C'est une courbe nodale, non nécessairement propre ni connexe.

Elle admet une complétée \(\widehat{X}\), propre, contenant \(X\) comme ouvert dense, et lisse aux points de \(I = \widehat{X} \setminus X\) ; elle est unique à isomorphisme unique près⁶ . On a donc deux ensembles finis de points \[ I = \widehat{X} \setminus X \subset \widehat{X}^{\mathrm{lisse}}(k) \quad \text{(les points à l'infini)}, \qquad A = \widehat{X} \setminus \widehat{X}^{\mathrm{lisse}} \subset X(k) \quad \text{(les nœuds)}, \] et \(X\) équivaut à la paire \((\widehat{X}, I)\). Soit \(Y\) la normalisée de \(\widehat{X}\) ; c'est une courbe propre et lisse, \(I\) s'y relève bijectivement, et l'image inverse \(\widetilde{A}\) de \(A\) est un revêtement de degré \(2\) de \(A\), d'où une involution sans point fixe \(\sigma_{\widetilde{A}}\). Ainsi \(X\) définit le système \[ (4) \qquad \bigl(Y,\ \widetilde{A},\ I,\ \sigma_{\widetilde{A}}\bigr) : \ Y \text{ propre et lisse},\ \widetilde{A}, I \subset Y(k) \text{ finis disjoints},\ \sigma_{\widetilde{A}} \text{ involution libre de } \widetilde{A}, \] et inversement \(X\) s'obtient de ce système en identifiant dans \(Y \setminus I\) les points de \(\widetilde{A}\) deux à deux selon \(\sigma_{\widetilde{A}}\) (un quotient qui existe dans les schémas, et qui est universel pour les morphismes constants sur les paires) ; \(\widehat{X}\) est le même quotient de \(Y\). Les courbes standard sur \(k\), avec leurs isomorphismes, forment un groupoïde équivalent à celui des systèmes (4).

Sur une base quelconque \(\mathcal{S}\), il prend ce système pour définition : une courbe standard sur \(\mathcal{S}\) est ce qu'on obtient d'un système (5) — \(Y\) propre et lisse sur \(\mathcal{S}\) de dimension relative \(1\), \(\widetilde{A}\) et \(I\) deux sous-schémas fermés disjoints finis étales sur \(\mathcal{S}\), \(\sigma_{\widetilde{A}}\) une involution libre de \(\widetilde{A}\) — en formant \(\widehat{X} = Y/\sigma_{\widetilde{A}}\) puis \(X = \widehat{X} \setminus I\). Le système s'appelle le compactifié normalisé de \(X\). Que le foncteur (6), système \(\mapsto X\), soit pleinement fidèle, il l'affirme puis le corrige en marge : c'est « faux tel quel », vrai au mieux sur une base réduite, et en défaut sur les nombres duaux dès que \(I \neq \emptyset\) ; il faut travailler avec la paire propre \((\widehat{X}, I)\) plutôt qu'avec \(X\)⁷ . On suit cette correction : dans tout le dossier, une courbe standard sur \(\mathcal{S}\) est la donnée de \((\widehat{X}, I)\) provenant d'un système (5).

7–13

Le graphe d'une courbe standard ; maquettes et genre (pages 7 à 13)

Revenons à \(k\) algébriquement clos. Posons \(S = \pi_0(Y)\), l'ensemble des composantes irréductibles de \(X\). Les inclusions \(\widetilde{A} \subset Y\) et \(I \subset Y\) donnent, après passage aux \(\pi_0\), une application origine \(\widetilde{A} \to S\) et une application \(I \to S\)⁸ . Le quadruplet \((S, \widetilde{A}, \sigma_{\widetilde{A}}, o)\) est un graphe \(G_X\), le graphe dual : un sommet par composante, une arête par nœud, joignant les deux composantes qui s'y croisent. Les boucles en \(\alpha\) correspondent aux points doubles de la composante \(X_\alpha\) elle-même ; dire que les composantes sont lisses, c'est dire que \(G_X\) est sans boucle. Le graphe ne dépend que de \(\widehat{X}\) ; c'est pour tenir compte de \(X\) qu'on ajoute \(I \to S\).

La maquette de \(X\) est le graphe \(G_X\) muni de \(I \to S\) et du genre \(\alpha \mapsto g_\alpha = \) genre de \(Y_\alpha\). Toute maquette provient d'une courbe standard. Deux énoncés relient la courbe à sa maquette (page 11) :

1. \(\pi_0(G_X) \simeq \pi_0(X)\) ; en particulier \(X\) est connexe si et seulement si \(G_X\) l'est.
2. Si \(X\) est connexe, le genre arithmétique \(g(\widehat{X}) = \dim H^1(\widehat{X}, \mathcal{O}_{\widehat{X}})\) vaut \[ (14) \qquad g(\widehat{X}) = \sum_{\alpha \in S} g_\alpha + h_1(G_X), \qquad h_1(G_X) = 1 - s_0 + s_1 . \]

La démonstration est celle de la page 12 : la suite exacte \(0 \to \mathcal{O}_{\widehat{X}} \to \nu_* \mathcal{O}_Y \to \bigoplus_{a \in A} k_a \to 0\), où \(\nu : Y \to \widehat{X}\) est la normalisation, donne \(\chi(\widehat{X}, \mathcal{O}) = \sum_\alpha (1 - g_\alpha) - s_1\), et la formule d'Euler–Poincaré du graphe connexe, \(1 - h_1 = s_0 - s_1\), donne (14)⁹ . Le genre de \(\widehat{X}\) ne dépend donc que de la maquette, et on l'appelle le genre de la maquette ; le type \((g, \nu)\) et les poids \(\nu_\alpha\), \(\widehat{\nu}_\alpha\) sont ceux des conventions. Le poids total \(\widehat{\nu}_\alpha\) est le nombre de points spéciaux — nœuds et points à l'infini — portés par la composante \(Y_\alpha\).

13–21

Courbes stables et MD-graphes (pages 13 à 21)

13–16

Stabilité, et le type anabélien (pages 13 à 16)

Une courbe standard sur \(k\) est stable si elle satisfait l'une des conditions équivalentes : son groupe d'automorphismes est fini ; pour tout \(\alpha\), la courbe pointée \((Y_\alpha, I_\alpha \cup \widetilde{A}_\alpha)\) est anabélienne, c'est-à-dire \(2g_\alpha - 2 + \widehat{\nu}_\alpha > 0\) (si \(g_\alpha = 1\), \(\widehat{\nu}_\alpha \geq 1\) ; si \(g_\alpha = 0\), \(\widehat{\nu}_\alpha \geq 3\)) ; tout champ de vecteurs sur \(Y\) nul sur \(I \cup \widetilde{A}\) est nul ; le schéma en groupes des automorphismes de \((Y, \widetilde{A}, I)\) est fini étale. La seconde forme ne dépend que de la maquette. Une MD-courbe est une courbe standard stable et connexe ; les maquettes des MD-courbes sont les MD-graphes. Une maquette est un MD-graphe si et seulement si elle est connexe et non vide, n'est pas réduite à un sommet de genre \(1\) sans arête ni point marqué, et ses sommets de genre \(0\) sont de poids total au moins \(3\).

Proposition (page 15). Le type \((g, \nu)\) d'un MD-graphe est anabélien : \(2g - 2 + \nu > 0\).

Il faut exclure \((1, 0)\), \((0, 0)\), \((0, 1)\), \((0, 2)\). Si \(g = 1\) et \(\nu = 0\), la formule \(1 = \sum g_\alpha + h_1\) laisse deux possibilités. Ou bien un sommet est de genre \(1\) et \(G\) est un arbre : il n'est pas réduit à ce sommet (qui serait instable), il a donc au moins deux feuilles, dont une de genre \(0\), d'ordre \(1\) et sans point marqué — instable. Ou bien tous les sommets sont de genre \(0\) et \(h_1 = 1\) : sans points marqués, chaque sommet doit être d'ordre au moins \(3\), alors que \(s_0 = s_1\) force l'ordre moyen à valoir \(2\) — contradiction¹⁰ . Si \(g = 0\) et \(\nu \leq 2\), le graphe est un arbre de sommets de genre \(0\) ; il n'est pas réduit à un sommet, a donc au moins deux feuilles, chacune de poids marqué au moins \(2\), d'où \(\nu \geq 4\) — absurde.

16–21

Courbes épinglées et le champ \(\mathcal{M}_G\) (pages 16 à 21)

Soit \(G\) une maquette. Une courbe standard sur \(k\) est de type \(G\) si sa maquette est isomorphe à \(G\), et \(G\)-épinglée si l'on s'est donné un tel isomorphisme. Sur une base \(\mathcal{S}\), les maquettes des fibres géométriques d'une courbe standard de type \(G\) forment un « schéma en maquettes » localement isomorphe à \(G_{\mathcal{S}}\), et les épinglages sont les sections d'un torseur sous le groupe fini \(\Gamma = \operatorname{Aut} G\)¹¹ .

Une courbe standard \(G\)-épinglée sur \(\mathcal{S}\) équivaut à la donnée, pour chaque sommet \(\alpha\), d'une courbe propre, lisse, à fibres connexes \(Y_\alpha\) de genre \(g_\alpha\) sur \(\mathcal{S}\), munie de sections disjointes indexées par \(\widehat{I}_\alpha = I_\alpha \amalg \widetilde{A}_\alpha\). D'où, en notant \(\mathcal{M}_{g,I}(\mathcal{S})\) le groupoïde des courbes \(I\)-pointées et \(\mathcal{M}_G(\mathcal{S})\) celui des courbes standard \(G\)-épinglées, une équivalence compatible aux changements de base et au transport de structure : \[ (21) \qquad \mathcal{M}_G(\mathcal{S}) \simeq \prod_{\alpha \in S} \mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}(\mathcal{S}) . \] Le champ \(\mathcal{S} \mapsto \mathcal{M}_G(\mathcal{S})\) est donc représentable par une multiplicité schématique si et seulement si chaque facteur l'est, c'est-à-dire si chaque \((g_\alpha, \widehat{\nu}_\alpha)\) est anabélien : si \(G\) est stable. Pour \(G\) un MD-graphe, \(\mathcal{M}_G \simeq \prod_\alpha \mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}\) ; le groupe \(\Gamma\) y opère, et la multiplicité quotient \(\mathcal{M}_{[G]} = [\mathcal{M}_G/\Gamma]\) ne dépend que de la classe d'isomorphie \([G]\) : c'est le champ des courbes standard de type \([G]\), sans épinglage. Comme \(\mathcal{M}_{g,J} \simeq \mathcal{M}_{g,\nu}\) (choisir une numérotation de \(J\)) est lisse de type fini sur \(\mathbb{Z}\), il en est de même de \(\mathcal{M}_G\) et de \(\mathcal{M}_{[G]}\), pour tout MD-graphe \(G\)¹² .

21–30

La théorie de Mumford–Deligne (pages 21 à 30)

21–25

Le théorème, et la partition en strates (pages 21 à 25)

Une MD-courbe relative sur une multiplicité \(\mathcal{S}\) est un couple \((\mathfrak{X}, \underline{I})\), avec \(\mathfrak{X}\) propre, plat et de présentation finie sur \(\mathcal{S}\), \(\underline{I}\) un sous-schéma fermé fini étale, et dont chaque fibre géométrique est une MD-courbe : connexe, de dimension \(1\), à singularités des nœuds hors de \(\underline{I}\), et stable. À la différence des courbes standard, le type de la fibre peut varier d'un point à l'autre ; mais le type numérique \((g, \nu)\) est localement constant, par invariance de \(\chi(\mathcal{O})\) et du degré de \(\underline{I}\). Pour \((g, \nu)\) anabélien, soit \(\overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}\) le champ des MD-courbes relatives de type \((g, \nu)\).

Théorème de Mumford–Deligne (page 23). Le champ \(\overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}\) est représentable par une multiplicité schématique propre et lisse sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) ; le champ \(\mathcal{M}_{g,[\nu]}\) des courbes lisses en est un ouvert de Zariski, schématiquement dense fibre par fibre.

« Le vraiment magnifique théorème », écrit-il¹³ . Il en tire la connexité des fibres géométriques de \(\mathcal{M}_{g,[\nu]}\) en toute caractéristique à partir de la caractéristique nulle — c'est l'argument de Deligne et Mumford : un champ propre et lisse sur \(\mathbb{Z}\) à fibre générique géométriquement connexe a toutes ses fibres géométriques connexes, et l'ouvert dense hérite de la connexité.

Pour chaque classe \([G]\) de MD-graphes de type \((g, \nu)\), les courbes standard de type \([G]\) sont des MD-courbes de type \((g, \nu)\), d'où un morphisme \[ (25) \qquad \mathcal{M}_{[G]} \hookrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]} \] qui est une immersion (localement fermée) ; pour le graphe trivial — un sommet de genre \(g\), \(\nu\) points marqués, pas d'arête — c'est l'immersion ouverte \(\mathcal{M}_{g,[\nu]} \hookrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}\). Les \(\mathcal{M}_{[G]}\) forment une partition de \(\overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}\) en un nombre fini de sous-multiplicités : c'est la stratification du bord par les graphes stables. L'adhérence d'une strate est réunion de strates ; on dit que \([G']\) est spécialisation de \([G]\) si \(\mathcal{M}_{[G']} \subset \overline{\mathcal{M}_{[G]}}\). C'est une relation d'ordre, dont le graphe trivial est le plus grand élément (sa strate est dense).

26–28

Dimension et codimension d'une strate (pages 26 à 28)

Comme \(\dim \mathcal{M}_{g,n}/\mathbb{Z} = 3g - 3 + n\), \[ (27) \qquad \dim \mathcal{M}_G = \sum_{\alpha \in S} \bigl(3(g_\alpha - 1) + \widehat{\nu}_\alpha\bigr) = 3 \sum_\alpha g_\alpha - 3 s_0 + \nu + 2 s_1 , \] puisque \(\sum_\alpha \widehat{\nu}_\alpha = \nu + 2 s_1\). Avec \(s_0 - s_1 = 1 - h_1\) on obtient \(-3s_0 + 2s_1 = 3(h_1 - 1) - s_1\), d'où \[ (28) \qquad \dim \mathcal{M}_G = \bigl[3(g - 1) + \nu\bigr] - s_1, \qquad (29) \qquad \operatorname{codim}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}} \mathcal{M}_{[G]} = s_1 . \] La codimension d'une strate est le nombre d'arêtes du graphe, c'est-à-dire de nœuds de la courbe. Il appelle \(\mu(G) = \dim \mathcal{M}_G\) la dimension modulaire et \(s_1\) la codimension modulaire de \(G\) ; la seconde est nulle pour le seul graphe trivial, et maximale, égale à \(3(g-1) + \nu\), quand la dimension modulaire est nulle — les graphes « les plus complexes », dont le recensement viendra au § 7.

28–30

L'adhérence d'une strate (pages 28 à 30)

Posons \(\overline{\mathcal{M}}_G = \prod_\alpha \overline{\mathcal{M}}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}\). Un point de \(\overline{\mathcal{M}}_G\) est une famille \((Y_\alpha)\) de courbes stables munies de sections lisses indexées par les \(\widehat{I}_\alpha\) ; en réunissant les \(Y_\alpha\) en \(Y\) et en recollant les sections indexées par \(\widetilde{A}\) selon \(\sigma_{\widetilde{A}}\), on obtient une MD-courbe \(\mathfrak{X} = Y/\sigma_{\widetilde{A}}\) munie de \(I\) : c'est le morphisme de recollement \[ (36) \qquad \xi_G : \overline{\mathcal{M}}_G \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{g,I}, \] compatible à l'action de \(\Gamma\) sur la source et à son action sur le but à travers \(\Gamma \to \mathfrak{S}_I\). Il en note la nature en marge : ce morphisme est une immersion locale, pas une immersion. Passant au quotient par \(\Gamma\), il obtient \[ (37) \qquad \overline{\mathcal{M}}_{[G]} = [\overline{\mathcal{M}}_G/\Gamma] \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{g,[\nu]}, \] dont l'image est l'adhérence de \(\mathcal{M}_{[G]}\), et les types qui spécialisent \([G]\) sont exactement ceux des strates de \(\overline{\mathcal{M}}_G\) — ce qu'il va exploiter. Ce morphisme est fini et non ramifié, et c'est un isomorphisme au-dessus de la strate ouverte \(\mathcal{M}_{[G]}\) ; il fait de \(\overline{\mathcal{M}}_{[G]}\) la normalisée de l'adhérence de la strate¹⁴ .

31–50

Spécialisation et contraction de graphes (pages 31 à 50)

31–33

La recette de spécialisation (pages 31 à 33)

Les strates de \(\overline{\mathcal{M}}_G = \prod_\alpha \overline{\mathcal{M}}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}\) s'obtiennent en choisissant, pour chaque sommet \(\alpha\), une strate du facteur, c'est-à-dire un MD-graphe \(G(\alpha)\) de type \((g_\alpha, \widehat{I}_\alpha)\) — à isomorphisme près induisant l'identité sur ses points marqués \(\widehat{I}_\alpha\) ; le graphe trivial est permis. Le graphe spécialisé \(G'\) se lit sur (40) : \[ S' = \coprod_\alpha S(\alpha), \qquad \widetilde{A}' = \widetilde{A} \amalg \coprod_\alpha \widetilde{A}(\alpha), \qquad I' = I, \] l'involution étant celle de \(\widetilde{A}\) et des \(\widetilde{A}(\alpha)\), et les arcs de \(\widetilde{A}\) issus de \(\alpha\) recevant leur nouvelle origine par \(\widehat{I}_\alpha \to S(\alpha)\). La « recette pratique » : on remplace chaque sommet \(\alpha\) de \(G\) par un graphe connexe \(G(\alpha)\), on lui donne un genre \(g_\alpha : S(\alpha) \to \mathbb{N}\), on répartit les points marqués de \(\alpha\) entre ses sommets, on choisit pour chaque arc de \(G\) issu de \(\alpha\) une nouvelle origine dans \(G(\alpha)\) ; on veille à ce que \(G(\alpha)\) soit un MD-graphe de genre \(g_\alpha\) — en chaque sommet \(\beta\) de \(G(\alpha)\), \(2g(\beta) + \operatorname{card} I_{\alpha,\beta} + \operatorname{card} \widetilde{A}_{\alpha,\beta} + \omega_{G(\alpha)}(\beta) \geq 3\), où \(\widetilde{A}_{\alpha,\beta}\) est l'ensemble des arcs de \(G\) réattribués à \(\beta\)¹⁵ . On trouve un MD-graphe \(G'\), spécialisation de \(G\).

34–40

Morphismes généralisés de graphes (pages 34 à 40)

Pour dire mieux la relation entre \(G\) et \(G'\), il introduit une « catégorisation » des morphismes de graphes. À un graphe \(G\) est associé son groupoïde fondamental \(\Pi_1(G)\) : objets les sommets, flèches les chemins réduits, c'est-à-dire les classes d'homotopie de chemins dans la réalisation topologique. C'est le groupoïde libre sur les arcs, l'arc opposé donnant l'inverse. Un morphisme de graphes \(f : G' \to G''\) est déterminé par \(\Pi_1(f)\), et les morphismes de graphes s'identifient aux morphismes de groupoïdes qui envoient arcs sur arcs.

Un morphisme généralisé (ou « de générisation ») \(G' \to G''\) est un morphisme de groupoïdes \(\Pi_1(G') \to \Pi_1(G'')\) qui envoie tout arc sur un arc ou sur une identité ; la composition est évidente sous cette forme. Concrètement, c'est la donnée (45) d'une application \(f_S : S' \to S''\), d'une partie \(\widetilde{B}' \subset \widetilde{A}'\) stable par l'involution, et d'une application \(\widetilde{B}' \to \widetilde{A}''\) compatible aux involutions et aux origines, avec la condition, ajoutée en marge, que les deux extrémités de chaque arc de \(\widetilde{C}' = \widetilde{A}' \setminus \widetilde{B}'\) aient même image par \(f_S\). Autrement dit : un sous-graphe de \(G'\) ayant tous ses sommets, et un morphisme ordinaire de ce sous-graphe vers \(G''\). Les isomorphismes de cette catégorie sont les isomorphismes ordinaires.

Pour des MD-graphes, un morphisme de générisation \(G' \to G\) est un morphisme généralisé muni d'une bijection \(I' \simeq I\) compatible aux applications vers les sommets, tel que \(S' \to S\) soit surjectif, \(\widetilde{B}' \to \widetilde{A}\) bijectif, et que pour chaque \(\alpha \in S\) le graphe fibre \(G'(\alpha)\) — les sommets au-dessus de \(\alpha\) et les arcs de \(\widetilde{C}'\) entre eux, avec pour points marqués \(I'_\alpha \amalg \widetilde{B}'_\alpha\) et le genre induit — soit un MD-graphe de genre \(g_\alpha\). Il dégage (48) les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un morphisme généralisé de graphes soit sous-jacent à un tel morphisme : surjectivité sur les sommets, bijectivité de \(\widetilde{B}' \to \widetilde{A}\), fibres connexes ; conservation des poids marqués, \(\nu_\alpha = \sum_{\beta \in S'_\alpha} \nu'_\beta\) ; et \[ (48.3^\circ) \qquad g_\alpha = \sum_{\beta \in S'_\alpha} g'_\beta + h_1\bigl(G'(\alpha)\bigr) . \] Une quatrième condition de stabilité, d'abord écrite, est barrée : on va voir qu'elle est automatique¹⁶ .

41–50

Contractions d'arêtes ; l'ensemble ordonné des généralisations (pages 41 à 50)

Un morphisme généralisé \(f : G' \to G\) satisfaisant 1°) de (48) est un morphisme de généralisation. Le but et \(f\) sont alors déterminés à isomorphisme près par \(G'\) et l'ensemble \(C' \subset A'\) des arêtes contractées : si \(G'_!\) est le sous-graphe de \(G'\) formé de tous les sommets et des arêtes de \(C'\), on a \(S \simeq \pi_0(G'_!)\) et \(\widetilde{A} \simeq \widetilde{B}'\), les origines passant au quotient. Mieux, \(G\) est la somme amalgamée, dans la catégorie des graphes et morphismes généralisés, de \(G' \hookleftarrow G'_! \to \pi_0(G'_!)\) (52) ; on écrit \(G = G'/C'\), le graphe obtenu en contractant les arêtes de \(C'\) en des points — ce que fait, sur les réalisations topologiques, une application continue qui écrase ces arêtes. Tout morphisme généralisé se factorise de manière unique en une contraction suivie d'un morphisme ordinaire (55).

Si \(G'\) est un MD-graphe, \(G'/C'\) en devient un, avec \(I = I'\) et le genre (56) \(g_\alpha = \sum_{\alpha' \in S'_\alpha} g'_{\alpha'} + h_1(G'(\alpha))\). La stabilité se vérifie par un calcul de la page 46 : en un sommet \(\beta\) de \(G'(\alpha)\), la condition de stabilité dans \(G'(\alpha)\) s'écrit \(2g'_\beta + (\operatorname{card} I'_\beta + \operatorname{card} \widetilde{B}'_\beta) + \operatorname{card} \widetilde{C}'_\beta \geq 3\), et comme \(\widetilde{A}'_\beta = \widetilde{B}'_\beta \amalg \widetilde{C}'_\beta\), c'est exactement la stabilité de \(\beta\) dans \(G'\). Les \(G'(\alpha)\) sont donc des MD-graphes, de type \((g_\alpha, \widehat{\nu}_\alpha)\) ; par la proposition de la page 15 ce type est anabélien, ce qui est la stabilité de \(\alpha\) dans \(G\).

Proposition (pages 46–47). Soient \(G'\) un MD-graphe et \(C'\) un ensemble d'arêtes de \(G'\). Il existe, à isomorphisme unique près, un unique morphisme de généralisation de MD-graphes \(G' \to G\) qui contracte exactement les arêtes de \(C'\)¹⁷ . On a \(\pi_0(G') \simeq \pi_0(G)\) ; \(G'\) est stable si et seulement si les \(G'(\alpha)\) le sont, et alors \(G\) l'est aussi.

Il généralise au passage ces définitions aux « m-graphes » quelconques, ni connexes ni stables. Les quotients d'un \(G'\) forment un ensemble ordonné isomorphe à l'ensemble des parties \(B' = A' \setminus C'\) des arêtes : il y en a \(2^{\mu'}\), \(\mu' = \operatorname{card} A'\). L'écart d'un morphisme de généralisation est le nombre \(\delta = \operatorname{card} C'\) d'arêtes contractées ; il prend toutes les valeurs de \(0\) à la codimension modulaire de \(G'\), et s'annule pour les isomorphismes. Tout morphisme de généralisation d'écart \(\delta\) se factorise en \(\delta\) morphismes d'écart \(1\), de \(\delta!\) façons (l'ordre où l'on contracte les arêtes).

Il rattache enfin ces quotients aux strates : pour un MD-graphe \(G\), les généralisations de \(G\) correspondent aux strates de \(\overline{\mathcal{M}}_{g,I}\) (au sens des pages 28–30, avec le groupe \(\Gamma^{!}_G\) qui fixe les points marqués) dont l'adhérence contient celle de \(G\). « C'est la situation typique d'une stratification à l'infini à croisements normaux », et l'analyse locale par les schémas modulaires formels montre qu'on y est. L'énoncé exact est local : au voisinage d'un point de \(\mathcal{M}_G\), le champ \(\overline{\mathcal{M}}_{g,I}\) est le quotient d'un polydisque par un groupe fini, le bord y est réunion des \(\mu\) hyperplans de coordonnées — un par nœud, c'est-à-dire par arête — et les \(2^\mu\) généralisations de \(G\) sont les \(2^\mu\) strates locales qu'ils découpent ; globalement, deux généralisations qu'échange un automorphisme de \(G\) donnent la même strate, et une même strate peut contenir \(\mathcal{M}_G\) dans son adhérence selon plusieurs branches¹⁸ .

51–60

Le recensement en dimension modulaire au plus \(2\) (pages 51 à 60)

51–54

Dimension modulaire nulle (pages 51 à 54)

Pour un MD-graphe \(G\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(\dim \mathcal{M}_G = 0\) ; la codimension modulaire \(s_1\) atteint son maximum \(3(g - 1) + \nu\) ; \(G\) est maximal pour la relation de généralisation (tout morphisme de généralisation \(G' \to G\) est un isomorphisme) ; tout sommet est de genre \(0\) et de poids total \(3\), soit \(\nu_\alpha = 3 - \omega_\alpha\). En effet chaque terme \(3(g_\alpha - 1) + \widehat{\nu}_\alpha\) de (27) est positif ou nul pour un type anabélien, et ne s'annule que pour \((0, 3)\). Une courbe de ce type est faite de droites projectives portant chacune trois points spéciaux ; elle est rigide : il y en a une seule, à isomorphisme unique près, sur toute base, et \[ (60)\text{--}(62) \qquad \mathcal{M}_G \simeq \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \qquad \mathcal{M}_{[G]} \simeq B\Gamma, \qquad [\mathcal{M}_G/\Gamma^{!}] \simeq B\Gamma^{!}, \] où \(B\Gamma\) est la multiplicité classifiante du groupe constant \(\Gamma\) sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\)¹⁹ . Le groupe des automorphismes d'une telle courbe (qui ne respectent pas forcément l'épinglage) est \(\Gamma\), et celui qui fixe les points marqués est \(\Gamma^{!}\).

Comme \(g = h_1\) ici, la dimension modulaire ambiante est \(3(h_1 - 1) + \nu\) (63) ; il énumère les cas où elle vaut au plus \(2\), ce qui force \(h_1 \leq 1\).

Arbres (\(h_1 = 0\), dimension ambiante \(\nu - 3\), donc \(3 \leq \nu \leq 5\)). Une feuille d'un arbre de MD-graphe porte deux points marqués ; un arbre à au moins trois feuilles a donc \(\nu \geq 6\), et l'arbre est un sommet ou une chaîne. Une chaîne de \(k \geq 2\) sommets porte \(2 + 2 + (k - 2) = k + 2\) points. D'où trois cas : un sommet portant \(3\) points (\(\nu = 3\), la droite à trois points) ; deux sommets portant chacun \(2\) points (\(\nu = 4\), deux droites sécantes) ; une chaîne \(2 - 1 - 2\) (\(\nu = 5\), trois droites en chaîne).

Graphes à un cycle (\(h_1 = 1\), dimension ambiante \(\nu \leq 2\)). Il y a au plus une feuille. Sans feuille, le graphe est un cycle dont tous les sommets sont d'ordre \(2\), donc de poids \(1\) : un ou deux sommets. Avec une feuille, de poids \(2\), le graphe est un cycle muni d'une queue, et \(\nu \leq 2\) ne laisse que la boucle sur un sommet relié à la feuille. D'où trois cas : la boucle sur un sommet de poids \(1\) (\(\nu = 1\), la cubique nodale) ; deux sommets de poids \(1\) reliés par deux arêtes (\(\nu = 2\)) ; la boucle munie d'une queue dont le bout porte deux points (\(\nu = 2\)).

Leurs groupes, que la page 54 calcule, sont \[ \begin{array}{lll} \text{un sommet, } 3 \text{ points} & \Gamma \simeq \mathfrak{S}_3, & \Gamma^{!} = 1 \\ \text{deux sommets, } 2 + 2 & \Gamma \simeq D_4, & \Gamma^{!} = 1 \\ \text{chaîne } 2 - 1 - 2 & \Gamma \simeq D_4, & \Gamma^{!} = 1 \\ \text{boucle, poids } 1 & \Gamma = \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 & \\ \text{deux sommets, deux arêtes} & \Gamma \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2, & \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \\ \text{boucle et queue} & \Gamma \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2, & \Gamma^{!} \simeq \mathbb{Z}/2 \end{array} \] où \(D_4\) est le groupe diédral d'ordre \(8\) (on échange les deux points de chaque bout, et les deux bouts), le \(\mathbb{Z}/2\) de la boucle la retourne, et dans le cinquième cas on échange les deux arêtes et les deux sommets²⁰ .

55–58

Dimension modulaire \(1\) (pages 55 à 58)

La dimension modulaire \(\delta(G) = \sum_\alpha \delta_\alpha\), \(\delta_\alpha = 3(g_\alpha - 1) + \widehat{\nu}_\alpha \geq 0\), vaut \(1\) exactement quand un seul sommet \(\alpha_0\) a \(\delta_{\alpha_0} = 1\) — type \((0, 4)\) ou \((1, 1)\) — et que tous les autres sont de type \((0, 3)\). Les cas élémentaires (graphes ponctuels) sont \[ (70) \qquad \begin{array}{ll} \text{un sommet de genre } 0 \text{ portant } 4 \text{ points} : & \Gamma = \mathfrak{S}_4,\ \Gamma^{!} = 1 ; \\ \text{un sommet de genre } 1 \text{ portant } 1 \text{ point} : & \Gamma = \Gamma^{!} = 1 . \end{array} \] Les autres sont les graphes dont tous les sommets sont de genre \(0\) et de poids total \(3\) sauf un, de poids total \(4\) ; ou dont tous sont de genre \(0\) et de poids total \(3\) sauf une feuille de genre \(1\) sans point marqué. Dans les deux cas \[ (71) \qquad \overline{\mathcal{M}}_G \simeq \overline{\mathcal{M}}_{g_{\alpha_0}, \widehat{I}_{\alpha_0}}, \] car les autres facteurs sont des points. \(\Gamma\) y opère trivialement si \(g_{\alpha_0} = 1\), et à travers \(\Gamma \to \mathfrak{S}_{\widehat{I}_{\alpha_0}} \simeq \mathfrak{S}_4\) si \(g_{\alpha_0} = 0\). Il pense que l'image peut être n'importe quel sous-groupe de \(\mathfrak{S}_4\), « sauf erreur » ; le dossier ne le vérifie pas, et nous non plus.

En dimension ambiante \(2\) (une seule arête) il y a trois cas : un sommet \(\alpha_0\) de genre \(0\) portant trois points relié à un sommet portant deux points (deux droites, type \((0, 5)\)) ; une boucle sur un sommet de genre \(0\) portant deux points (courbe nodale, type \((1, 2)\)) ; un sommet de genre \(1\) relié à un sommet de genre \(0\) portant deux points (type \((1, 2)\)). Leurs groupes (73) sont respectivement \(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) (avec \(\Gamma^{!} = 1\) et image \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\mathfrak{S}_4\)), \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2\) (avec \(\Gamma^{!} = \mathfrak{S}_2\), le retournement de la boucle, et image \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2\)), et \(\mathfrak{S}_2\) (avec \(\Gamma^{!} = 1\)).

58–60

Dimension modulaire \(2\), et les quatre cas élémentaires (pages 58 à 60)

La dimension modulaire vaut \(2\) si un seul sommet \(\alpha_0\) a \(\delta_{\alpha_0} = 2\) — type \((0, 5)\) ou \((1, 2)\) — ou si deux sommets ont \(\delta = 1\) — types \((0,4)\) ou \((1,1)\) chacun, trois combinaisons —, tous les autres étant de type \((0, 3)\)²¹ . Le champ \(\overline{\mathcal{M}}_G\) est alors l'un des \[ (74) \qquad \overline{\mathcal{M}}_{0,5}, \quad \overline{\mathcal{M}}_{1,2}, \quad \overline{\mathcal{M}}_{0,4} \times \overline{\mathcal{M}}_{0,4}, \quad \overline{\mathcal{M}}_{0,4} \times \overline{\mathcal{M}}_{1,1}, \quad \overline{\mathcal{M}}_{1,1} \times \overline{\mathcal{M}}_{1,1}, \] avec \(\Gamma\) opérant à travers les permutations des points spéciaux des sommets non triviaux : \(\mathfrak{S}_5\), \(\mathfrak{S}_2\), le produit en couronne \((\mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_4) \rtimes \mathbb{Z}/2\) (qu'il appelle « produit semi-direct » dans \(\mathfrak{S}_8\)), \(\mathfrak{S}_4\), et, dans le dernier cas, à travers l'échange des deux facteurs quand \(\Gamma\) échange les deux sommets de genre \(1\)²² .

Il conclut : en dimension \(1\), les seules multiplicités nouvelles sont \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\) et \(\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\) ; en dimension \(2\), ce sont \(\overline{\mathcal{M}}_{0,5}\) et \(\overline{\mathcal{M}}_{1,2}\) ; les produits n'apportent rien. « Cela fait en tout essentiellement quatre cas “élémentaires” à étudier à fond, pour le cas de dim. modulaires \(\leq 2\). J'ai l'impression qu'une compréhension plus ou moins complète de la structure des \(\Pi_1\) discrets (i.e. dans le contexte analytique) impliqués dans ces cas, donnera la clef pour une compréhension complète dans le cas général. » C'est, mot pour mot presque, ce que l'Esquisse d'un programme (1984) appellera le principe des deux premiers étages de la tour de Teichmüller : le groupoïde de toute la tour est engendré par les deux premiers étages, avec des relations venues du second²³ .

60–74

La structure de spécialisation en petite dimension (pages 60 à 74)

Il reprend les quatre cas élémentaires, et décrit pour chacun la stratification de \(\overline{\mathcal{M}}\) et de sa version numérotée.

60–62

La sphère à quatre points (pages 60 à 62)

Dans \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\) (points numérotés par \(I\), \(\operatorname{card} I = 4\)), la strate ouverte a pour bord trois points, un par partition de \(I\) en deux paires : la courbe s'y casse en deux droites portant chacune deux des points. On a \[ (77) \qquad \overline{\mathcal{M}}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \qquad \mathcal{M}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} \setminus \{0, 1, \infty\} = U_{0,3}, \] par le birapport, et les trois points à l'infini sont \(0\), \(1\), \(\infty\). L'objet est celui du dossier 145 : la sphère privée de trois points, avec ses symétries. Le groupe \(\mathfrak{S}_4\) opère sur \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\) à travers \(\mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_3\), de noyau le groupe de Klein \(V_4\), c'est-à-dire par l'action anharmonique \(z \mapsto 1 - z, 1/z, \dots\) ; dans \(\overline{\mathcal{M}}_{0,[4]} = [\overline{\mathcal{M}}_{0,4}/\mathfrak{S}_4]\) il ne reste qu'un point à l'infini, les trois étant permutés transitivement²⁴ .

Caractéristiques d'Euler. Pour une multiplicité, la caractéristique d'Euler qui compte un point d'automorphismes \(H\) pour \(1/\operatorname{card} H\) (la caractéristique orbifold) donne \[ \chi(\mathcal{M}_{0,4}) = \chi(U_{0,3}) = -1, \qquad \chi(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}) = 2, \qquad \chi(\mathcal{M}_{0,[4]}) = -\tfrac{1}{24}, \qquad \chi(\overline{\mathcal{M}}_{0,[4]}) = \tfrac{1}{12} . \] Le calcul de la page 61 découpe \(U_{0,3}\) en trois parties stables : l'orbite \(\{-j, -\bar\jmath\}\) des points fixes de la rotation \(\rho(z) = 1/(1 - z)\), de stabilisateur \(\mathbb{Z}/3\) dans \(\mathfrak{S}_3\) — ce sont les points que la page 5 du dossier 145 identifie, et que le dossier 145 corrige de « \(\pm j\) » en \(-j\), \(-\bar\jmath\) ; ici la page les écrit juste —, l'orbite \(\{1/2, 2, -1\}\) des points fixes des transpositions, de stabilisateur \(\mathbb{Z}/2\), et le reste, où \(\mathfrak{S}_3\) agit librement. Comptées pour \(\mathfrak{S}_3\), ces parties contribuent \(-6/6 = -1\), \(1/3\) et \(1/2\), d'où \(\chi([U_{0,3}/\mathfrak{S}_3]) = -1/6\) ; comme \(V_4\) agit trivialement, il faut encore diviser par \(4\) : \(\chi(\mathcal{M}_{0,[4]}) = -1/24\)²⁵ . Les trois points à l'infini, permutés par \(\mathfrak{S}_4\) avec des stabilisateurs d'ordre \(8\), ajoutent \(3/24 = 1/8\), d'où \(1/12\).

Classes. « De façon plus fine, dans un groupe de Grothendieck convenable », il écrit \([\mathcal{M}_{0,4}] = \mathbb{L} - 2\) et \[ [\mathcal{M}_{0,[4]}] = \tfrac14(\mathbb{L} - 2) + \tfrac{1}{12} + \tfrac18 = \tfrac14(\mathbb{L} - 1) - \tfrac{1}{24}, \qquad [\overline{\mathcal{M}}_{0,[4]}] = \tfrac14(\mathbb{L} - 1) + \tfrac{1}{12} . \] La règle qu'il applique est celle-ci : on découpe la multiplicité en parties où le groupe d'automorphismes \(H\) d'un point est constant, et l'on compte chacune pour la classe de son espace grossier divisée par \(\operatorname{card} H\) ; ici l'espace grossier de \(\mathcal{M}_{0,[4]}\) est la droite affine, privée des deux points spéciaux, de stabilisateurs d'ordre \(12\) et \(8\), le stabilisateur générique étant \(V_4\). Cette classe se spécialise en la caractéristique orbifold (\(\mathbb{L} \mapsto 1\) donne bien \(-1/24\)). Elle n'est pas le nombre de points sur un corps fini, qui pour \([U/G]\) vaut \(\operatorname{card} U(\mathbb{F}_q) / \operatorname{card} G\)²⁶ .

62–64

Les courbes elliptiques (pages 62 à 64)

Le bord de \(\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\) est un point, la cubique nodale (une boucle sur un sommet de genre \(0\) portant un point). Au-dessus de \(\mathbb{Z}[\frac12]\), associer à une courbe elliptique ses quatre points de \(2\)-torsion, l'origine étant marquée, donne un morphisme \[ (78) \qquad \mathcal{M}_{1,1} \longrightarrow [\mathcal{M}_{0,4}/\mathfrak{S}_3] = [U_{0,3}/\mathfrak{S}_3] \] qui fait de \(\mathcal{M}_{1,1}\) une gerbe de groupe \(\{\pm 1\}\) : c'est la forme de Legendre, \(y^2 = x(x-1)(x-\lambda)\), et l'action anharmonique de \(\mathfrak{S}_3 = SL_2(\mathbb{F}_2)\) sur \(\lambda\)²⁷ . D'où, au-dessus de \(\mathbb{Z}[\frac16]\), \[ [\mathcal{M}_{1,1}] = \tfrac12\,[U_{0,3}, \mathfrak{S}_3] = 2\,[\mathcal{M}_{0,[4]}], \qquad (79) \qquad [\mathcal{M}_{1,1}] = \tfrac12(\mathbb{L} - 1) - \tfrac{1}{12}, \qquad [\overline{\mathcal{M}}_{1,1}] = \tfrac12(\mathbb{L} - 1) + \tfrac{5}{12}, \] la pointe ajoutant \(\frac12\)²⁸ .

Le second calcul, sur \(\mathbb{Z}\) tout entier, découpe la droite des modules \(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}\) (l'invariant \(j\)) par les deux sections \(S_0\) (la courbe harmonique, \(j = 1728\), d'automorphismes \(\mathbb{Z}/4\)) et \(S_1\) (la courbe équianharmonique, \(j = 0\), d'automorphismes \(\mathbb{Z}/6\)), qui ne se rencontrent qu'en caractéristiques \(2\) et \(3\), aux points \(a_2\) et \(a_3\) où le groupe d'automorphismes est d'ordre \(24\) et \(12\). Avec \(\zeta_p = [\operatorname{Spec} \mathbb{F}_p]\) et le stabilisateur générique \(\{\pm 1\}\), \[ [\mathcal{M}_{1,1}] = \tfrac12 [U] + \tfrac14 [S'_0] + \tfrac16 [S'_1] + \tfrac{1}{24} \zeta_2 + \tfrac{1}{12} \zeta_3, \qquad [U] = \mathbb{L} - 2 + \zeta_2 + \zeta_3, \quad [S'_i] = 1 - \zeta_2 - \zeta_3, \] d'où \[ (80) \qquad [\mathcal{M}_{1,1}] = \tfrac12(\mathbb{L} - 1) - \tfrac{1}{12} + \tfrac18 \zeta_2 + \tfrac16 \zeta_3, \qquad [\overline{\mathcal{M}}_{1,1}] = \tfrac12 \mathbb{L} - \tfrac{1}{12} + \tfrac18 \zeta_2 + \tfrac16 \zeta_3 . \] Nous avons refait le calcul : il est juste. Les termes correctifs disparaissent au-dessus de \(\mathbb{Z}[\frac16]\), où l'on retrouve (79).

65–68

La sphère à cinq points (pages 65 à 68)

Pour \(\operatorname{card} I = 5\), la stratification de \(\overline{\mathcal{M}}_{0,I}\) est \[ (81) \qquad \text{un sommet portant } I \ \xrightarrow{\ 10\ } \ I' - I'' \ (2 + 3) \ \xrightarrow{\ 3\ } \ 2 - 1 - 2 \qquad (\text{codim. } 0,\ 1,\ 2) . \] Il y a dix diviseurs à l'infini, un par partie \(I' \subset I\) à deux éléments ; chacun est isomorphe à \(\overline{\mathcal{M}}_{0,3} \times \overline{\mathcal{M}}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}\) et porte trois points à l'infini. Les points de codimension \(2\) sont au nombre de \(30/2 = 15\), un par partition de \(I\) de type \((2, 2, 1)\). Deux diviseurs \(D_{I'}\), \(D_{I''}\) se rencontrent si et seulement si \(I' \cap I'' = \emptyset\).

Le graphe d'incidence — dix sommets, les paires de \(I\), reliés quand elles sont disjointes — est le graphe de Petersen. Il le reconnaît, par la combinatoire de l'icosaèdre : un choix d'orientation de \(I\) détermine un icosaèdre « grand », dont les dix faces correspondent aux paires de faces opposées de l'icosaèdre ordinaire et aux dix diviseurs, et les quinze arêtes aux quinze points ; par dualité, les diviseurs sont les sommets et les points les arêtes d'un dodécaèdre « grand »²⁹ .

Proposition (page 67). Le diviseur à l'infini de \(\overline{\mathcal{M}}_{0,I}\) est une courbe stable déployée sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), dont le graphe dual est le \(1\)-squelette de l'hémi-dodécaèdre défini par \(I\), c'est-à-dire le graphe de Petersen.

C'est juste : dix droites projectives, chacune portant trois nœuds, se coupant en quinze points ; une courbe stable de genre \(15 - 10 + 1 = 6\). L'isomorphisme de la proposition n'est compatible qu'au groupe alterné \(\mathfrak{S}_I^{+} = \mathfrak{A}_I\), le groupe de l'hémi-dodécaèdre orienté, alors que \(\mathfrak{S}_I\) tout entier opère sur le diviseur ; il faudrait, écrit-il, le comprendre par la géométrie de l'icosaèdre, « lié bien sûr au bi-icosaèdre grand »³⁰ . Dans \(\overline{\mathcal{M}}_{0,[5]} = [\overline{\mathcal{M}}_{0,5}/\mathfrak{S}_5]\), il ne reste qu'un diviseur à l'infini et un point critique, \(\mathfrak{S}_5\) permutant transitivement les dix diviseurs et les quinze points.

69–71

La bouée à deux points (pages 69 à 71)

Pour \(I = \{a, b\}\), la stratification de \(\overline{\mathcal{M}}_{1,I}\) est \[ (83) \qquad \begin{array}{ll} \text{codim. } 0 : & \text{un sommet de genre } 1 \text{ portant } I ; \\ \text{codim. } 1 : & G_0 : \text{boucle sur un sommet de genre } 0 \text{ portant } I ; \\ & G_1 : \text{sommet de genre } 1 - \text{sommet de genre } 0 \text{ portant } I ; \\ \text{codim. } 2 : & P_0 : \text{deux sommets portant } a \text{ et } b, \text{ reliés par deux arêtes} ; \\ & P_1 : \text{boucle sur un sommet} - \text{sommet portant } I . \end{array} \] Il y a deux diviseurs à l'infini, \(D_\circ\) (la boucle, \(G_0\)) et \(D_-\) (le segment, \(G_1\)), et deux points critiques. \(P_1\) est sur les deux diviseurs ; \(P_0\) n'est que sur \(D_\circ\), qui y passe par deux branches³¹ .

\(D_\circ\) se normalise en \([\overline{\mathcal{M}}_{G_0}/\Gamma^{!}_0]\), où \(\overline{\mathcal{M}}_{G_0} = \overline{\mathcal{M}}_{0, \{a, b, h, h'\}} \simeq \mathbb{P}^1\) et \(\Gamma^{!}_0 = \mathbb{Z}/2\) échange les deux arcs \(h, h'\) de la boucle. Envoyons \(h, h', a, b\) sur \(0, \infty, 1, T\) ; l'échange de \(h\) et \(h'\) est \(T \mapsto T^{-1}\). Il fixe le point à l'infini \(T = 1\) (où \(a\) et \(b\) se rencontrent : c'est \(P_1\)) et échange les deux autres, \(T = 0\) et \(T = \infty\) (c'est \(P_0\)) ; l'échange de \(a\) et \(b\) agit de la même façon, de sorte que \(\mathfrak{S}_I\) opère trivialement sur le quotient. Avec la coordonnée \(u = T + T^{-1}\), \[ (86) \qquad \text{espace grossier de } [\mathcal{M}_{G_0}/\Gamma^{!}_0] \simeq \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[u, (u - 2)^{-1}], \qquad (87) \qquad [\overline{\mathcal{M}}_{G_0}/\Gamma^{!}_0] \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \] \(P_0\) étant en \(u = \infty\) et \(P_1\) en \(u = 2\). Le quotient a des points d'automorphisme \(\mathbb{Z}/2\) là où \(T = T^{-1}\), soit \(u = 2\) et \(u = -2\)³² .

Quant à \(D_-\), il est \(\overline{\mathcal{M}}_{G_1} \simeq \overline{\mathcal{M}}_{1,1}\). Pour la suite, il s'arrête : « J'y renonce, compte tenu qu'il me faudrait d'abord comprendre la structure de \(M_{1,1}\) […] dans la catégorie transcendante (analytique complexe, avec éventuellement la structure réelle explicitée — i.e. considération de la conjugaison complexe…). J'y reviendrai plus loin. » Il n'y revient pas dans ce dossier.

71–74

La connexité du bord (pages 71 à 74)

Proposition (page 71). Si \(\dim \mathcal{M}_G \geq 2\), le bord \(\overline{\mathcal{M}}_G \setminus \mathcal{M}_G\) est connexe, fibre par fibre géométrique.

Si deux facteurs de \(\overline{\mathcal{M}}_G = \prod_\alpha \overline{\mathcal{M}}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}\) sont de dimension au moins \(1\), le bord d'un produit d'espaces connexes à bords non vides est connexe. Sinon on est ramené à \(\overline{\mathcal{M}}_{g,I}\) avec \(N = 3g - 3 + \nu \geq 2\) ; le cas \(N = 2\) vient d'être vu (\(\overline{\mathcal{M}}_{0,5}\) et \(\overline{\mathcal{M}}_{1,2}\)). Pour \(N \geq 3\), il suffit, chaque diviseur à l'infini étant connexe, de relier deux diviseurs quelconques par une chaîne de diviseurs dont deux consécutifs se rencontrent. Les diviseurs sont \[ (90) \qquad \begin{array}{ll} \text{a)} & \text{une boucle sur un sommet } (g - 1, I) \quad (g \geq 1) ; \\ \text{b)} & (g', I') - (g'', I''), \quad g' + g'' = g, \quad I = I' \amalg I'', \end{array} \] avec \(\operatorname{card} I' \geq 2\) si \(g' = 0\), et de même pour \(g''\)³³ . Si \(g \geq 1\), chaque diviseur b) a un sommet de genre au moins \(1\), disons \(g'\) ; la strate « boucle sur \((g' - 1, I')\) reliée à \((g'', I'')\) » est à la fois une spécialisation de b) (contracter la boucle) et de a) (contracter l'arête séparante), donc tout diviseur b) rencontre l'unique diviseur a). Si \(g = 0\) (et donc \(\nu \geq 6\)), chaque diviseur \(I' - I''\) contient une strate maximale en chaîne \[ (93) \qquad (2) - (1) - (1) - \cdots - (1) - (2), \] c'est-à-dire un ordre total sur \(I\), défini à l'échange près des deux premiers et des deux derniers ; et deux ordres qui diffèrent par la transposition de deux éléments consécutifs \(c_i, c_{i+1}\) donnent deux points du bord reliés par la courbe de bord où \(c_i\) et \(c_{i+1}\) sont sur un même sommet, dont ces deux chaînes sont des spécialisations (on contracte l'arête qui les sépare). Les ordres totaux étant reliés par des transpositions consécutives, tous les points en chaîne sont dans une même composante, et tout diviseur en contient un³⁴ .

75–88

Les groupoïdes de Teichmüller et leurs homomorphismes de généralisation (pages 75 à 88)

75–76

Le groupoïde fondamental d'une strate (pages 75 et 76)

Le § 9 passe au cadre transcendant : toutes les multiplicités sont désormais analytiques complexes, et l'on omet l'exposant « an ». Pour un MD-graphe \(G\), soit \(\Pi_1\mathcal{M}_G\) le groupoïde fondamental de \(\mathcal{M}_G\). Il précise qu'on peut le remplacer par tout groupoïde équivalent, par exemple à ensemble d'objets fini, pourvu que l'équivalence commute à l'action de \(\Gamma_G\). C'est un groupoïde connexe, et \[ (95) \qquad \pi_1(\mathcal{M}_G) \simeq \prod_{\alpha \in S} \pi_1(\mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}) \simeq \prod_{\alpha \in S} \mathrm{Mod}_{g_\alpha, \widehat{\nu}_\alpha}, \] produit de groupes de classes d'applications purs — ses « groupes de Teichmüller » \(\Gamma^{+}_{g, I}\), \(\mathcal{T}^{!+}_{g,\nu}\)³⁵ . L'action de \(\Gamma_G\) donne le groupoïde \(\Pi_1(\mathcal{M}_G, \Gamma_G)\) du champ quotient \(\mathcal{M}_{[G]}\), et une extension \[ (96) \qquad 1 \to \pi_1(\mathcal{M}_G) \to \pi_1(\mathcal{M}_G, \Gamma_G) \to \Gamma_G \to 1 . \] La page écrit le même terme aux deux premières places de (96)³⁶ .

77–80

L'homomorphisme de généralisation (pages 77 à 80)

Soit \(G' = G/C\) un quotient de \(G\) par un ensemble \(C\) d'arêtes. La strate de \(G\) est au bord de celle de \(G'\) : on a \(\mathcal{M}_G \subset \overline{\mathcal{M}}_G \to \overline{\mathcal{M}}_{G'}\). Soit \(\Gamma^{!}_{G,G'}\) le sous-groupe de \(\Gamma_G\) des automorphismes qui induisent l'identité sur \(G'\) ; il préserve \(C\), et c'est le produit, sur les sommets \(\beta\) de \(G'\), des groupes \(\Gamma^{!}\) des graphes fibres \(G(\beta)\). Le morphisme horizontal se factorise par \[ (98) \qquad [\overline{\mathcal{M}}_G/\Gamma^{!}_{G,G'}] \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{G'}, \qquad (99) \qquad [\mathcal{M}_G/\Gamma^{!}_{G,G'}] \hookrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{G'} . \] Le second est une immersion localement fermée — un isomorphisme sur la strate de type \(G\) de \(\overline{\mathcal{M}}_{G'}\) — ; le premier n'est en général que fini et non ramifié, ce que sa marge soupçonne (« que ce ne sont peut-être que des immersions locales »)³⁷ . Il désigne par \(\mathcal{M}_{G,G'}\) le germe de \(\overline{\mathcal{M}}_{G'}\) le long de (99) — un voisinage tubulaire de la strate —, et par \(\mathcal{M}^{*}_{G,G'}\) ce germe privé des diviseurs à l'infini de \(\overline{\mathcal{M}}_{G'}\) : le voisinage tubulaire épointé, contenu dans \(\mathcal{M}_{G'}\). Ses groupoïdes fondamentaux se définissent par la limite inductive des catégories de revêtements de ces germes³⁸ . On a \[ (101)\text{--}(103) \qquad \Pi_1 \mathcal{M}_{G'} \xleftarrow{\ \gamma_{G,G'}\ } \Pi_1 \mathcal{M}^{*}_{G,G'} \xrightarrow{\ \varphi_{G,G'}\ } \Pi_1 \mathcal{M}_{G,G'} \simeq \Pi_1\bigl(\mathcal{M}_G, \Gamma^{!}_{G,G'}\bigr), \] la flèche de gauche induite par l'inclusion, celle de droite par la rétraction du germe sur la strate, qui est une équivalence d'homotopie. Le voisinage épointé est fibré sur la strate en produits de disques épointés, un par arête de \(C\) : la flèche \(\varphi_{G,G'}\) fait de \(\Pi_1 \mathcal{M}^{*}_{G,G'}\) une extension de \(\Pi_1(\mathcal{M}_G, \Gamma^{!}_{G,G'})\) par \(\mathbb{Z}^C\), tordu par l'action de \(\Gamma^{!}_{G,G'}\) sur \(C\). La flèche \(\gamma_{G,G'}\) s'appelle l'homomorphisme de généralisation.

En termes de surfaces : le générateur de \(\mathbb{Z}\) attaché à une arête est le lacet qui fait le tour du mur où le nœud se forme, et dans \(\pi_1(\mathcal{M}_{G'})\) il devient la torsion de Dehn le long de la courbe simple qu'on pince ; les torsions le long des \(\operatorname{card} C\) courbes disjointes commutent et engendrent un \(\mathbb{Z}^C\)³⁹ .

81–86

Transitivité, et l'extension \(S_A\Pi_1\mathcal{M}_G\) (pages 81 à 86)

Pour un composé \(G \to G' \to G''\) de contractions, le diagramme (105) met bout à bout les deux homomorphismes de généralisation ; le groupoïde \(\Pi_1 \mathcal{M}^{*}_{G,G',G''}\) qu'il définit par un produit \(2\)-cartésien est à la fois une extension de \(\Pi_1 \mathcal{M}^{*}_{G,G'}\) par un \(\mathbb{Z}^{C'}\) tordu et une extension de \(\Pi_1 \mathcal{M}_G\) par un \(\mathbb{Z}^{C \amalg C'}\) tordu⁴⁰ .

Il simplifie alors en prenant d'un coup la généralisation la plus grossière, celle qui contracte toutes les arêtes (le graphe à un seul sommet, de genre \(g\), portant \(I\)) : \[ (113) \qquad S_A\Pi_1\mathcal{M}_G := \Pi_1 \mathcal{M}^{*}_{G, G/A}, \] extension de \(\Pi_1(\mathcal{M}_G, \Gamma^{!}_{G, G/A})\) par \(\mathbb{Z}^{A(G)}\), \(A(G)\) étant l'ensemble de toutes les arêtes⁴¹ . C'est le groupoïde fondamental du voisinage tubulaire épointé de la strate dans \(\mathcal{M}_{g,I}\) lui-même : le groupe d'un « bout » de l'espace des modules. \(\Gamma_G\) tout entier y opère, compatiblement à la projection, d'où pour tout sous-groupe \(\Gamma' \subset \Gamma_G\) une extension \((S_A\Pi_1\mathcal{M}_G, \Gamma') \to \Pi_1(\mathcal{M}_G, \Gamma')\) de noyau le système local \(\mathbb{Z}^{A(G)}\) tordu par \(\Gamma'\). Pour \(C \subset A(G)\) stable par \(\Gamma'\), la projection \(\mathbb{Z}^{A(G)} \to \mathbb{Z}^C\) donne une extension quotient \(S_C\Pi_1\mathcal{M}_G\) par \(\mathbb{Z}^C\), et pour \(G' = G/C\) on a le carré (120) \[ S_A\Pi_1\mathcal{M}_G \xrightarrow{\ \tau_{G,G'}\ } S_{A'}\Pi_1\mathcal{M}_{G'}, \qquad S_C\Pi_1\mathcal{M}_G \longrightarrow \Pi_1\mathcal{M}_{G'}, \] d'où, pour \(\Gamma^{!}_{G,G'} \subset \Gamma' \subset \Gamma_{G,G'}\) (le stabilisateur de \(C\)), \[ (122) \qquad \bigl(S_C\Pi_1\mathcal{M}_G, \Gamma'\bigr) \longrightarrow \bigl(\Pi_1\mathcal{M}_{G'}, \Gamma'/\Gamma^{!}_{G,G'}\bigr) . \] La transitivité s'exprime alors simplement : \(G \mapsto S_A\Pi_1\mathcal{M}_G\) est un foncteur pour les morphismes de généralisation.

86–88

Une axiomatique (pages 86 à 88)

Les MD-graphes et les morphismes de généralisation forment une catégorie \(\mathcal{G}\) dont tous les morphismes sont des épimorphismes et qui vérifie

(123) (Simpl) Pour tout \(G\), l'ensemble ordonné des quotients de \(G\) est un « simplexe » : il est isomorphe à l'ensemble des parties d'un ensemble fini \(A_G\) (celui des quotients minimaux non triviaux, c'est-à-dire des arêtes).

Il se donne alors abstraitement, pour tout \(G\), deux groupoïdes \(S\Pi_G\) et \(\Pi_G\) et une extension \(\varphi_G : S\Pi_G \to \Pi_G\) par \(\mathbb{Z}^{A(G)}\) ; \(G \mapsto \Pi_G\) est fonctoriel pour les isomorphismes, \(G \mapsto S\Pi_G\) pour tous les morphismes, et pour une contraction \(f : G \to G/C\) le composé \(S\Pi_G \to S\Pi_{G/C} \to \Pi_{G/C}\) se factorise par l'extension quotient \(S_C\Pi_G\) (125). La transitivité pour un composé est alors automatique. Deux réserves en marge : il faudrait montrer comment cette axiomatique s'applique aux espaces munis d'un diviseur à croisements normaux — ce sera l'objet de la seconde moitié du dossier — ; et en général le noyau n'est pas \(\mathbb{Z}^C\) tordu, mais un quotient d'un tel.

89–104

Morphismes de normalisation, et le Programme (pages 89 à 104)

89–100

Couper des arêtes, oublier des points (pages 89 à 100)

Le § 10 veut rendre compte d'autres morphismes entre champs de modules, comme \(\mathcal{M}_G \to \mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}\) ou l'oubli de points \(\mathcal{M}_{g,I} \to \mathcal{M}_{g,I'}\) pour \(I' \subset I\). Géométriquement : partant d'une courbe stable \(X = \widehat{X} \setminus I\), on choisit \(I' \subset I\) et une partie \(A'\) des nœuds ; on normalise \(\widehat{X}\) aux nœuds de \(A \setminus A'\) et l'on « bouche les trous » de \(I \setminus I'\). On obtient \(\widehat{X}'\), avec un morphisme \(\widehat{X}' \to \widehat{X}\), et \(X' = \widehat{X}' \setminus I'\), qui ne s'envoie pas dans \(X\) en général⁴² . Plus généralement, on garde comme points marqués une partie \(I'\) de \(I \amalg \widetilde{J}\), où \(\widetilde{J}\) est l'ensemble des \(2\operatorname{card}(A \setminus A')\) points de \(\widehat{X}'\) au-dessus des nœuds défaits, et l'on peut ne retenir qu'une réunion de composantes connexes.

Définition (page 94). Un morphisme de normalisation \(G' \to G\) de MD-graphes est un couple \((f_G, f_I)\) : \(f_G : G' \to G\) un morphisme de graphes injectif sur les sommets et sur les arêtes (qui identifie \(G'\) à un sous-graphe de \(G\)), et \(f_I : I' \hookrightarrow I \amalg \widetilde{J}\) une injection compatible aux applications vers les sommets, où \(\widetilde{J}\) est l'ensemble des arcs de \(G\) qui ne sont pas dans \(f_G(\widetilde{A}')\) ; on demande en marge que \(f_G\) respecte les genres. Le morphisme est strict si \(S' \simeq S\) et \(I' \simeq I \amalg \widetilde{J}\) : on coupe des arêtes, chaque arête coupée donnant deux points marqués.

Il le relie à une notion orthodoxe en mettant arcs et points marqués « dans un même sac » : un graphe à boucles aplaties est un système \((S, \widehat{\widetilde{A}}, \sigma, o)\) où l'involution peut avoir des points fixes ; les points fixes sont les « boucles aplaties », c'est-à-dire les points marqués (des demi-arêtes libres), et les autres forment un graphe ordinaire. Topologiquement, ce sont les couples \((X, S)\) d'un \(1\)-complexe compact et d'une partie finie contenant les sommets d'ordre au moins \(3\) et rencontrant chaque composante connexe. Un morphisme de normalisation strict revient à choisir un ensemble \(C\) d'arêtes et à les couper d'un coup de ciseaux en leur milieu ; un morphisme quelconque s'en déduit en ôtant des boucles aplaties et en ne gardant que certaines composantes. Les sous-MD-graphes stricts d'un \(G\) correspondent aux parties de \(A(G)\).

Pour un morphisme de normalisation strict, \(G'\) est stable si et seulement si \(G\) l'est (les poids totaux sont inchangés) ; en général, si \(S' \to S\) est surjectif et \(G'\) stable, \(G\) est stable. À une courbe standard épinglée par \(G\), la construction associe une courbe épinglée par \(G'\), d'où un morphisme \(\mathcal{M}_G \to \mathcal{M}_{G'}\) (132) : \(\mathcal{M}_G\) est contravariant en \(G\).

Proposition (page 100). a) Si \(G' \to G\) est un morphisme de normalisation strict, \(\mathcal{M}_G \to \mathcal{M}_{G'}\) est un isomorphisme. b) Si \(G\) est la somme de MD-graphes stables \(G_\alpha\), \(\mathcal{M}_G \to \prod_\alpha \mathcal{M}_{G_\alpha}\) est un isomorphisme.

Les deux sont immédiates sur la description (21), qui ne voit que les sommets et leurs points spéciaux \(\widehat{I}_\alpha\), inchangés par une coupure.

101–104

Le Programme (pages 101 à 104)

Le foncteur \(G \mapsto \Pi_1\mathcal{M}_G\) transforme normalisations strictes en équivalences et sommes en produits ; en coupant toutes les arêtes, \[ (144) \qquad \Pi_1\mathcal{M}_G \simeq \prod_{\alpha \in S} \Pi_1\mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha} . \] Un morphisme de normalisation quelconque se ramène, par le diagramme (146), aux morphismes d'oubli de points \[ (148) \qquad \Pi_1\mathcal{M}_{g,I} \longrightarrow \Pi_1\mathcal{M}_{g,I'}, \qquad I' \subset I, \] compatibles à l'action de \(\mathfrak{S}_{I'} \times \mathfrak{S}_{I \setminus I'}\). D'où le

Programme (page 103). Déterminer, à équivalence canonique près, tous les groupoïdes \(\Pi_1\mathcal{M}_{g,I}\), avec leur dépendance fonctorielle pour \(g\) fixé et \(I\) variable par les morphismes (148) — « par “générateurs et relations” en termes purement géométriques ». Pour un MD-graphe \(G\), déterminer l'extension \(S\Pi_1\mathcal{M}_G\) de \(\Pi_1\mathcal{M}_G \simeq \prod_\alpha \Pi_1\mathcal{M}_{g_\alpha, \widehat{I}_\alpha}\) par \(\mathbb{Z}^{A(G)}\), et, pour un morphisme de généralisation \(G \to G'\) (par exemple un isomorphisme), les morphismes \(S\Pi_1\mathcal{M}_G \to S\Pi_1\mathcal{M}_{G'}\) correspondants⁴³ .

C'est le programme qu'exposera l'Esquisse sous le nom de « jeu de Lego–Teichmüller ». Le paragraphe 12 qui devait suivre, « Relation entre les morphismes de généralisation et morphismes de normalisation », est commencé à la page 104 puis barré : il voulait examiner « l'effet à l'infini » des oublis de points (148). La page suivante ouvre à sa place, sous le numéro 11, la digression qui occupe tout le reste du dossier.

105–120

Déploiement d'un diviseur à croisements normaux (pages 105 à 120)

105–113

Les strates normalisées \(D_d\) et leurs drapeaux (pages 105 à 113)

On se place dans les multiplicités analytiques lisses (on pourrait le faire en relatif, en topologique, ou en schématique). Soit \(X\) une telle multiplicité et \(D\) un diviseur à croisements normaux. En un point \(x\) de \(D\), les branches de \(D\) forment un ensemble fini \(I(x)\), et les germes de sous-variétés « attachés à \(D\) » en \(x\) sont les intersections \(D_{x,J} = \bigcap_{i \in J} D_{x,i}\) ; ils forment un ensemble ordonné \(\Delta_x\) anti-isomorphe à \(\mathfrak{P}(I(x))\), avec \(\operatorname{codim} D_{x,J} = \operatorname{card} J\) (149).

Le déploiement remplace chaque strate par sa normalisée. Pour \(d \geq 1\), soit \(D_d\) la multiplicité des couples \((x, V)\), \(x \in D\) et \(V\) un germe attaché de codimension \(d\) ; c'est une variété lisse, et \(D_d \to X\) est une immersion locale de codimension \(d\), se factorisant par \(D\) ; on pose \(D_0 = X\). Les triplets \((x, V, W)\) avec \(V \subset W\) de codimensions \(d\) et \(1\) forment un revêtement étale \(\widetilde{D}_d \to D_d\) de degré \(d\) (les branches qui contiennent \(V\)), et l'on note \(D^{!}_d\) le revêtement principal de groupe \(\mathfrak{S}_d\) qui lui est associé : une numérotation des \(d\) branches. Plus généralement, pour un ensemble ordonné fini \(J\) muni d'une fonction codimension strictement croissante, \(D_J\) est la multiplicité des couples \((x, \varphi)\), où \(\varphi : J \hookrightarrow \Delta_x\) est un plongement compatible aux codimensions ; si \(d\) est la codimension maximale, et \(H(J)\) l'ensemble fini des plongements de \(J\) dans \(\mathfrak{P}(\{1, \dots, d\})^{\circ}\), \[ (155) \qquad D_J \simeq D^{!}_d \wedge^{\mathfrak{S}_d} H(J) . \] En particulier, pour le drapeau \(\{d > d'\}\), \(D_{d,d'} \simeq D^{!}_d \wedge^{\mathfrak{S}_d} \mathfrak{P}_{d'}(\{1, \dots, d\})\) : un point de \(D_d\) et une strate de codimension \(d'\) qui le contient. On a \(D_{d,d'} \times_{D_{d'}} D_{d',d''} \simeq D_{d,d',d''}\) pour \(d > d' > d''\), deux projections \(D_{d,d'} \to D_d\) (étale finie, la « source ») et \(D_{d,d'} \to D_{d'}\) (immersion locale, le « but »), et \(D_{d,d''} \to D_d \times D_{d''}\) est un monomorphisme : une flèche est déterminée par sa source et son but.

113–120

L'axiomatique d'une « structure de déploiement » (pages 113 à 120)

Il axiomatise : une structure de déploiement est une catégorie interne \(\mathcal{D}\) aux espaces analytiques — un espace d'objets \(D_*\), un espace de flèches \(D_{**}\), source, but, identités et composition —, avec une fonction codimension \(D_* = \coprod_d D_d\), d'où \(D_{**} = \coprod D_{d,d'}\), telle que : a) \(D_{d,d'} = \emptyset\) si \(d' > d\) ; b) les flèches de source et but de même codimension sont les identités ; c) pour \(d\) fixé, l'espace \(D_{d,*} \to D_d\) des flèches de source dans \(D_d\), avec son ordre de factorisation et sa codimension, est localement isomorphe au faisceau constant \(\mathfrak{P}(\{1, \dots, d\})^{\circ}\). La condition c) implique a) et b), et même que \(D_{d,d''} \to D_d \times D_{d''}\) est un monomorphisme ; elle donne le revêtement \(D^{!}_d\). La structure se décrit donc par les \(D_d\), les revêtements principaux \(D^{!}_d\), les « buts » \(D_{d,d'} \to D_{d'}\), des carrés cartésiens (175)–(176) qui identifient le revêtement induit sur \(D_{d,d'}\) par \(D^{!}_{d'}\), et la commutativité (177). L'axiomatique a un sens dans tout site.

Pour retrouver l'intuition des croisements normaux, il faut des hypothèses supplémentaires : que \(D_d \to D_0 = X\) soit une immersion locale de codimension \(d\) (180) — d'où la même propriété pour \(D_{d,d'} \to D_{d'}\), de codimension \(d - d'\) — et qu'en un point \(x\) de \(D_d\), le germe de \(D_d\) soit l'intersection transversale des \(d\) germes de branches qui le contiennent. Dans le cas lisse, « immersion locale » équivaut à « monomorphisme local », notion qui garde un sens dans un site.

Cette axiomatique est plus large que celle des diviseurs : elle admet une courbe plane lisse immergée qui se recoupe elle-même, avec \(D_1\) sa normalisée et \(D_2 = \emptyset\), c'est-à-dire en ne retenant pas le point double comme strate — ce qu'aucun diviseur de \(X\) ne décrit.

Enfin, l'action de \(\mathfrak{S}_d\) sur \(\mathbb{Z}^d\) donne sur \(D_d\) un système local \(T_d = D^{!}_d \wedge^{\mathfrak{S}_d} \mathbb{Z}^d\) (183) et un tore relatif \(G_d = T_d \otimes \mathbb{G}_m\) (184), dont \(T_d\) est le système local des \(\pi_1\).

121–147

Fibrés multinormaux, et l'homomorphisme de spécialisation (pages 121 à 147)

121–126

Le torseur multinormal \(P_d\) (pages 121 à 126)

Sur \(D^{!}_d\) on a \(d\) morphismes \(s_i : D^{!}_d \to D_1\), permutés par \(\mathfrak{S}_d\). Si \(D_1 \to D_0\) est une immersion régulière de codimension \(1\), son fibré normal est un faisceau inversible \(L_1\) sur \(D_1\) ; les \(s_i^* L_1\) définissent \(d\) torseurs sous \(\mathbb{G}_m\), leur produit est un torseur sous \(\mathbb{G}_m^d\), et par descente on obtient sur \(D_d\) un torseur \(P_d\) sous le tore \(G_d\) (191). C'est le fibré normal privé des hyperplans de coordonnées : le produit, branche par branche, des fibrés normaux épointés. On a \(T_d \simeq\) système local des \(\pi_1\) (ou des \(H_1\)) des fibres de \(P_d\) (192). On note \(D^{*}_d\) l'ouvert de \(D_d\) hors des strates plus profondes, \(P^{*}_d\) la restriction de \(P_d\), et \(\Pi_1 P^{*}_d\) son groupoïde fondamental.

Pour \(d \geq d'\), la projection tautologique \(T_d \to T_{d'}\) sur \(D_{d,d'}\) (on oublie les branches qui ne contiennent pas la strate de codimension \(d'\)) donne \(G_d \to G_{d'}\), et \(P_{d'}\) restreint à \(D_{d,d'}\) est l'image de \(P_d\) par ce morphisme (198)⁴⁴ ; pour \(d \geq d' \geq d''\), ces morphismes sont transitifs. « Toutes ces relations sont essentiellement tautologiques. » La suivante ne l'est pas, et sert l'hypothèse des croisements normaux « dans toute sa force » : quand la structure provient d'un diviseur, chaque \(D_d\) hérite d'un diviseur à croisements normaux \(\Theta_d\) (les traces des strates plus profondes), dont \(D^{*}_d\) est le complémentaire.

127–136

Le système des drapeaux, et ce qui n'est pas formel (pages 127 à 136)

Pour un drapeau \(d_0 \geq d_1 \geq \dots \geq d_r \geq 0\), \(D_{d_0, \dots, d_r}\) est un revêtement étale fini de \(D_{d_0}\) (205), et leur réunion \(\mathcal{D}_r = D_{\Delta_r}\) forme un espace simplicial, le nerf de la catégorie \(\mathcal{D}\)⁴⁵ . On restreint tout aux parties ouvertes : \(D^{*}_{d_0, \dots, d_r}\) (l'image inverse de \(D^{*}_{d_0}\)), les torseurs \(P^{*}_{d_0, \dots, d_r}\) sous \(G_{d_0}\) restreint, les systèmes locaux \(T^{*}_{d_0, \dots, d_r}\), et les groupoïdes \[ (212) \qquad \Pi_{\Delta_r} = \Pi_1 D^{*}_{\Delta_r}, \qquad \widetilde{\Pi}_{\Delta_r} = \Pi_1 P^{*}_{\Delta_r}, \] \(\widetilde{\Pi}_{\Delta_r}\) étant une extension de \(\Pi_{\Delta_r}\) par \(T^{*}_{\Delta_r}\) dès que \(\pi_2(D^{*}_{d_0, \dots, d_r}) = 0\) (suite exacte d'homotopie de la fibration en tores ; sinon le noyau est un quotient).

Les \(\Pi_{\Delta_r}\) n'ont pas de dépendance simpliciale : il n'y a pas de morphisme naturel de \(\Pi_1 D^{*}_{d,d'}\) vers \(\Pi_1 D^{*}_{d'}\), la strate ouverte de codimension \(d\) n'étant pas dans la strate ouverte de codimension \(d'\). Pour les opérations qui préservent le premier sommet (\(\alpha(0) = 0\)), les morphismes \(D^{*}_{\Delta_{r'}} \to D^{*}_{\Delta_r}\) sont étales finis et tout est formel ; les dégénérescences donnent des isomorphismes. La structure non formelle est que les \(\widetilde{\Pi}_{\Delta_r}\) — non les \(\Pi_{\Delta_r}\) — forment un groupoïde simplicial : pour une face \(\alpha\) qui ne préserve pas le premier sommet, il faut un homomorphisme \[ (219) \qquad \widetilde{\alpha}^* : \widetilde{\Pi}_{\Delta_{r'}} \longrightarrow \widetilde{\Pi}_{\Delta_r}, \] l'homomorphisme de spécialisation. Le cas typique est \(\Pi_1 P^{*}_{d_0, d_1, \dots, d_r} \to \Pi_1 P^{*}_{d_1, \dots, d_r}\) : du torseur multinormal d'une strate profonde vers celui d'une strate moins profonde qui la contient dans son adhérence. L'application sous-jacente \(D^{*}_{d_*} \to D_{d'_*}\) (223) existe, mais aboutit dans le bord \(\Theta_{d'_*}\) de \(D_{d'_*}\), pas dans \(D^{*}_{d'_*}\) ; plus précisément elle est étale finie sur la partie ouverte \(\Theta^{(d)*}_{d'_*}\) du squelette de codimension \(d = d_0 - d'_0\) de \(\Theta_{d'_*}\) (227)–(229).

137–147

La construction par le voisinage tubulaire (pages 137 à 147)

Il se ramène à la situation suivante : \(Y\) lisse muni d'un diviseur à croisements normaux \(\Theta\), et deux immersions locales \(D'' \to D' \to Y\), \(D''\) plus profonde que \(D'\), de codimension \(d\) dans \(D'\), \(D'\) se factorisant par le squelette \(\Theta^{(d_1)}\) et \(D''^{*}\) par la partie ouverte \(\Theta^{(d_0)*}\), avec \(d_0 = d_1 + d\)⁴⁶ . Soient \(P_{D''}\) et \(P_{D'}\) les « fibrés principaux multinormaux » et leurs restrictions aux parties ouvertes. L'homomorphisme de spécialisation \[ (231) \qquad r_{D'',D'} : \Pi_1 P_{D''^{*}} \longrightarrow \Pi_1 P_{D'^{*}} \] ne correspond à aucune application \(P_{D''^{*}} \to P_{D'^{*}}\), puisque l'image de \(D''\) dans \(D'\) est justement dans le complémentaire de \(D'^{*}\) ; mais son composé avec \(\Pi_1 P_{D'^{*}} \to \Pi_1 P_{D'}\) est l'homomorphisme trivial induit par \(P_{D''} \to P_{D'}\), qui oublie les directions normales de \(D''\) dans \(D'\) (234)⁴⁷ . Il annonce : « On donnera la construction de ce morphisme, et ses principales propriétés formelles, dans la suite. »

Le principe est le voisinage tubulaire. Une immersion locale \(D' \to Y\) a un voisinage tubulaire \(V_{D',Y}\), germe d'espace autour de \(D'\) — non dans \(Y\) : si \(D'\) est une courbe immergée qui se recoupe, le tube ne se recoupe pas, comme le montrent les dessins de la page 140. C'est fonctoriel : \(D'' \to D' \to Y\) donne \(V_{D'',Y} \to V_{D',Y} \to Y\), immersions locales. Avec \(Y^* = Y \setminus \Theta\) et ses traces \(V^{*}_{D',Y}\), \(V^{*}_{D'',Y}\), on a un vrai morphisme \[ (237) \qquad \Pi_1 V^{*}_{D'',Y} \longrightarrow \Pi_1 V^{*}_{D',Y}, \] à condition de définir les groupoïdes fondamentaux par les revêtements et non par les chemins ; cela vaut pour des immersions locales de topos.

Théorème (pages 143–144). Soient \(Y\) un espace analytique lisse, \(\Theta\) un diviseur à croisements normaux, \(D' \to Y\) une immersion locale de codimension \(d\) se factorisant par la partie ouverte \(\Theta^{(d)*}\) du squelette de codimension \(d\). Il y a une équivalence de groupoïdes, définie à isomorphisme unique près, \[ (239) \qquad \Pi_1 P_{D'^{*}} \xrightarrow{\ \approx\ } \Pi_1 V^{*}_{D',Y} . \] C'est le fait que le voisinage tubulaire épointé d'une strate ouverte a le type d'homotopie du produit de ses fibrés normaux épointés. Composée avec (237), elle définit (231). Le cas le plus simple — \(Y\) de dimension \(1\), \(D'\) un point — est déjà, quant à la canonicité, l'objet d'une longue digression de ses notes sur la monodromie. En général, on aurait un plongement \(C^\infty\) du tube dans le fibré normal \(\check{N}_{D',Y}\), induisant l'identité sur les fibrés normaux le long de la section nulle ; il existe pour les vrais espaces analytiques paracompacts, mais pas pour les multiplicités. L'exemple de la page 145 : \(\mathbb{Z}\) agissant sur \(\mathbb{C}^2\) par \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(D' = (\mathbb{C} \times \{0\}, \mathbb{Z})\), \(Y = (\mathbb{C}^2, \mathbb{Z})\) ; le groupe agit trivialement sur \(D'\) et sur son fibré normal, mais l'extension \(0 \to T_{D'} \to T_Y|_{D'} \to N \to 0\) n'est pas scindée équivariamment, alors qu'elle le serait pour la section nulle d'un fibré. Nous l'avons vérifié : l'exemple est juste.

Même quand le plongement existe, il n'est pas canonique, et « le bât blesse ». Il préfère donc — comme dans ses notes sur la monodromie — définir une flèche en sens inverse, \(\Pi_1^{\text{arcs}} P_{D'^{*}} \to \Pi_1^{\text{rev}} V^{*}_{D',Y}\), la source définie par points et chemins, le but (« on n'a pas le choix ! ») par revêtements ; et il remet les détails, se demandant s'il ne serait pas aussi commode de travailler directement avec les \(\Pi_1 V^{*}\) au lieu des \(\Pi_1 P^{*}\).

148–160

Le recollement (pages 148 à 160)

148–151

Le théorème de recollement (pages 148 à 151)

Reprenons d'un point de vue topologique. Le diviseur \(\Theta\) définit une filtration \(X = \Theta^{(0)} \supset \Theta^{(1)} = \Theta \supset \Theta^{(2)} \supset \cdots\) (244), dont \(D_d\) est le « normalisé topologique » de \(\Theta^{(d)}\). Notons \(V_{d_0 \dots d_r} = V_{D_{d_0 \dots d_r}, X}\) les voisinages tubulaires des strates déployées et \(V^{*}_{d_0 \dots d_r}\) leurs traces sur \(X^* = X \setminus \Theta\), pour \(d_0 > \dots > d_r > 0\) ; ils s'envoient tous dans le voisinage tubulaire épointé \(V^{*}_{\Theta,X}\) du diviseur lui-même, la « structure à l'infini » \(X^{*\infty}\).

Théorème de recollement (page 149). Le système semi-simplicial des \(V^{*}_{d_0, \dots, d_r}\) a pour limite inductive \(X^{*\infty} = V^{*}_{\Theta,X}\) : plus précisément, le morphisme de sa limite inductive homotopique vers \(V^{*}_{\Theta,X}\) est une équivalence d'homotopie ; en particulier il induit des bijections sur les \(\pi_0\) et des isomorphismes sur les \(\pi_1\).

La page l'énonce comme une équivalence de topos, et se reprend aussitôt : « en fait, c'est une équivalence d'homotopie » ; c'est sous cette forme qu'on l'entend. Elle n'en donne pas de démonstration⁴⁸ .

Corollaire 2 (page 151). On a \[ (246) \qquad \Pi_1 X^{*\infty} \simeq \varinjlim\bigl(\widetilde{\Pi}_1 \longleftarrow \widetilde{\Pi}_{2,1} \longrightarrow \widetilde{\Pi}_2\bigr) . \] La flèche \(\widetilde{\Pi}_{2,1} \to \widetilde{\Pi}_2\) préserve le premier sommet et est formelle ; la flèche \(\widetilde{\Pi}_{2,1} \to \widetilde{\Pi}_1\) est une spécialisation au sens de (219). La strate \(\Theta^{(3)}\) est négligeable par un argument de pureté : elle est de codimension réelle \(6\), et ôter de la codimension réelle au moins \(3\) ne change pas le \(\pi_1\).

Corollaire 3. Si \(X^{*\infty} \to X^*\) induit une équivalence des groupoïdes fondamentaux, alors \(\Pi_1 X^* \simeq \varinjlim(\widetilde{\Pi}_1 \leftarrow \widetilde{\Pi}_{2,1} \rightarrow \widetilde{\Pi}_2)\)⁴⁹ .

Un corollaire 4, sur les strates d'une partie ouverte et fermée d'un \(D_i\), est commencé puis barré. Le corollaire 3 donne une forme du principe des deux étages (le rapprochement est le nôtre) : si le bout de l'espace a déjà tout le \(\pi_1\), celui-ci se lit sur les strates de codimension \(1\) et \(2\) et leurs incidences.

152–154

Parties admissibles (pages 152 à 154)

Une partie fermée \(\Sigma\) de \(\Theta\), localement réunion de composantes irréductibles des \(\Theta^{(p)}\), est dite \(\Theta\)-admissible. Elle équivaut à la donnée des réunions de composantes \(D^{\Sigma}_d \subset D_d\) qui s'envoient dans \(\Sigma\), ou des parties \(\pi_0(D_d)^\Sigma \subset \pi_0(D_d)\), soumises à une condition de compatibilité : on pose \(D^{\Sigma}_{d,d'}\) l'image inverse de \(D^{\Sigma}_{d'}\) par le but \(D_{d,d'} \to D_{d'}\) — et non celle de \(D^{\Sigma}_d\) par la source, qui est plus grande —, et il faut qu'elle s'envoie dans \(D^{\Sigma}_d\) (si une branche de codimension \(d'\) est dans \(\Sigma\), les strates plus profondes qu'elle contient y sont aussi). Les \(D^{\Sigma}_{d_0 \dots d_r}\) forment une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) qui est un crible : avec un objet, elle contient tous ceux qui s'envoient dans lui. Le théorème de recollement se généralise : les \(V^{\Sigma *}_{d_0 \dots d_r}\) ont pour limite inductive \(V^{*}_{\Sigma,X}\) (2^e version, page 154).

154–160

Les topos associés à la filtration (pages 154 à 160)

Pour une courbe \(X\) et un diviseur lisse \(\Theta\) (des points), le théorème est tautologique : le voisinage tubulaire épointé de \(\Theta\) est la somme de disques épointés. Il donne pourtant une chose intéressante, le théorème de van Kampen pour reboucher les trous : \(\Pi_1 X\) est la somme amalgamée de \(\Pi_1 X^* \leftarrow \Pi_1 V^{*}_{\Theta,X} \rightarrow \Pi_1 V_{\Theta,X}\), le dernier étant le groupoïde discret d'ensemble d'objets \(\Theta\).

En général, pour des parties admissibles \(\Sigma \subset \Sigma'\), il voudrait exprimer \(\Pi_1 \Sigma\), \(\Pi_1(\Sigma' \setminus \Sigma)\), \(\Pi_1 V^{*}_{\Sigma,X}\) et plus généralement les topos \(V^{\Sigma_1}_{\Sigma', \Sigma''} = V_{\Sigma', \Sigma''} \setminus (V_{\Sigma',\Sigma''} \cap \Sigma_1)\) (257) au moyen des \(\widetilde{\Pi}_{\Delta_r}\) et \(\Pi_{\Delta_r}\), en se gardant de confondre, par exemple, \(V^{\Sigma'}_{\Sigma',X}\) (pour \(\Sigma' = \Theta\) lisse, un fibré en disques épointés sur \(\Theta\)) et \(V_{\Sigma' \setminus \Sigma', X \setminus \Sigma'}\), qui est vide. Tout se ramène aux topos \(V_{\Sigma', \Sigma''}\) et à leurs morphismes de transition, quitte à remplacer \(X\) par le complémentaire d'une partie admissible — « l'hypothèse lisse des croisements normaux […] ne joue plus de rôle depuis belle lurette » —, mais « cette “évidence” ne s'explicite pas aisément, au niveau des groupoïdes fondamentaux ». Le fil directeur : exprimer tous ces topos et leurs \(\Pi_1\) par les voisinages tubulaires des strates ouvertes \(D^{*}_{d_0 \dots d_r}\), et ceux qu'on obtient en remplaçant \((X, \Theta)\) par une strate \((D_{d_*}, \Theta_{d_*})\) (260).

161–179

Les pièces élémentaires (pages 161 à 179)

161–163

Le cas de la droite (pages 161 à 163)

Il élimine d'abord les redondances de notation : les dégénérescences sont des isomorphismes (\(D_{d_0, d_0} \simeq D_{d_0}\)), et \(D_{d_0, \dots, d_r, 0} \simeq D_{d_0, \dots, d_r}\) ; on n'écrit donc que des drapeaux stricts, d'indices non nuls sauf \(D_0 = X\), en regardant tous les \(D_{d_*}\) au-dessus de \(X\).

Pour \(X = \mathbb{C}\) et \(\Theta = \{0\}\), les pièces sont au nombre de quatre : \[ (264) \qquad \begin{array}{ll} \mathbb{C}^* & \text{(global, de dimension 1)}, \\ \mathbb{P} & \text{(le point, global)}, \\ \mathbb{D} & \text{(germe de disque)}, \\ \mathbb{D}^* & \text{(germe de disque épointé)}, \end{array} \] avec les inclusions \(\mathbb{P} \hookrightarrow \mathbb{D} \hookleftarrow \mathbb{D}^* \hookrightarrow \mathbb{C}^*\), et \(\mathbb{C}\) se recolle : \[ (266) \qquad \mathbb{C} \simeq \mathbb{C}^* \amalg_{\mathbb{D}^*} \mathbb{D} . \]

164–171

Le cas de \(\mathbb{C}^I\), et les seize pièces de \(\mathbb{C}^2\) (pages 164 à 171)

Pour \(X = \mathbb{C}^I\) et \(\Theta = \operatorname{div}(\prod_{i \in I} z_i)\) (267), les pièces élémentaires attendues sont les produits, indexés par \(I\), de pièces des quatre types, d'où une partition \(I = I'_0 \amalg I'_1 \amalg I''_0 \amalg I''^{*}\) (facteurs \(\mathbb{P}\), \(\mathbb{C}^*\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{D}^*\)). Avec \(D_J = \{z_j = 0,\ j \in J\}\) et \(D^{*}_J = \mathbb{P}^J \times \mathbb{C}^{*(I \setminus J)}\), une telle pièce est le voisinage tubulaire de l'âme \(A = D^{*}_{I'_0 \amalg I''}\) dans le réceptacle \(R = D^{*}_{I'_0}\), épointé le long de la strate intermédiaire \(B = D^{*}_{I'_0 \amalg I''^{*}}\) : \[ (273) \qquad V^{B(*)}_{A,R} = V_{A,R} \times_{V_{B,R}} V^{*}_{B,R}, \] qu'il note en général \(V^{d'_0}_{d_*, d''_0}\), pour un drapeau \(d_*\) et \(d_0 \geq d'_0 \geq d''_0\). Pour \(\mathbb{C}^2\), il en dresse la liste des \(4 \times 4 = 16\) (277) : les strates ouvertes \(\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*\), \(\mathbb{C}^* \times \mathbb{P}\), \(\mathbb{P} \times \mathbb{C}^*\), \(\mathbb{P} \times \mathbb{P}\) ; les voisinages des deux axes épointés, pleins ou épointés (\(\mathbb{C}^* \times \mathbb{D}\), \(\mathbb{C}^* \times \mathbb{D}^*\), etc.) ; les voisinages de l'origine dans chaque axe (\(\mathbb{D} \times \mathbb{P}\), \(\mathbb{D}^* \times \mathbb{P}\), etc.) ; et les quatre voisinages de l'origine dans le plan, \(\mathbb{D} \times \mathbb{D}\), \(\mathbb{D} \times \mathbb{D}^*\), \(\mathbb{D}^* \times \mathbb{D}\), \(\mathbb{D}^* \times \mathbb{D}^*\). Les ouverts globaux se recollent : \(U_1 = \mathbb{C} \times \mathbb{C}^*\) et \(U_2 = \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}\) par (279), \(U = \mathbb{C}^2 \setminus \{0\} = U_1 \amalg_{\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*} U_2\) par (280), et \(\mathbb{C}^2\) comme limite inductive du carré produit de \(\mathbb{C}^* \leftarrow \mathbb{D}^* \rightarrow \mathbb{D}\) par lui-même (281). C'est là qu'interviennent les pièces « mixtes » \(\mathbb{D} \times \mathbb{D}^*\) et \(\mathbb{D}^* \times \mathbb{D}\). Il juge plausible que ces pièces, avec leurs morphismes canoniques, expriment tous les topos canoniques de la stratification.

171–177

Le fibré normal filtré, et le Scholie (pages 171 à 177)

Pour un drapeau strict \(d_* = \{d_0 > d_1 > \dots > d_r > 0\}\), le fibré normal \(\check{N}_{d_*}\) de l'immersion locale \(D_{d_*} \to D_0\), de rang \(d_0\), porte une filtration canonique croissante \[ (282) \qquad 0 = \check{N}_{d_*, d_0} \subset \check{N}_{d_*, d_1} \subset \cdots \subset \check{N}_{d_*, d_r} \subset \check{N}_{d_*, 0} = \check{N}_{d_*}, \] avec \[ \check{N}_{d_*, d_i} = \check{N}_{D_{d_*}, D_{d_i}}, \qquad \operatorname{rg} \check{N}_{d_*, d_i} = d_0 - d_i, \] issue des suites exactes (284) \(0 \to \check{N}_{D_{d_*}, D_{d_i}} \to \check{N}_{d_*} \to \check{N}_{d_i}|_{D_{d_*}} \to 0\)⁵⁰ . Ses sous-quotients \[ (286) \qquad \check{N}_{d_*; (d'_0, d''_0)} = \check{N}_{d_*, d''_0} / \check{N}_{d_*, d'_0} \simeq \check{N}_{D_{d'_*}, D_{d''_*}}|_{D_{d_*}}, \qquad d_0 \geq d'_0 \geq d''_0, \] de rang \(d'_0 - d''_0\), se décomposent localement en fibrés en droites, d'où l'ouvert \(\check{N}^{*}\) où aucune coordonnée ne s'annule, un torseur sous un tore. L'image inverse \(\check{N}^{d'_0}_{d_*, d''_0}\) de \(\check{N}^{*}_{d_*; (d'_0, d''_0)}\) dans \(\check{N}_{d_*, d''_0}\) est un torseur sur lui sous le fibré vectoriel \(\check{N}_{d_*, d'_0}\)⁵¹ , et il pose, « heuristiquement », que \(\check{N}^{d'_0}_{d_*, d''_0}|_{D^{*}_{d_*}}\) est la pièce \(V^{d'_0}_{d_*, d''_0}\), d'où une équivalence d'homotopie \[ (294) \qquad V^{d'_0}_{d_*, d''_0} \simeq \check{N}^{*}_{d_*; (d'_0, d''_0)}\big|_{D^{*}_{d_*}} . \]

Scholie important (page 176). Les « pièces de construction » dans la dissection d'un espace analytique lisse muni d'un diviseur à croisements normaux sont, à homotopie près, les fibrés localement triviaux sur les strates ouvertes \(D^{*}_{d_*}\), de fibre \(\mathbb{C}^{*(d'_0 - d''_0)}\), obtenus en prenant un sous-quotient de la filtration du fibré normal et l'ouvert où aucune coordonnée ne s'annule.

Il faudrait encore une équivalence canonique (295) entre \(\Pi_1\) de ces fibrés et \(\Pi_1 V^{d'_0}_{d_*, d''_0}\) ; la suite exacte d'homotopie en fait des extensions des \(\Pi_1\) des composantes de \(D^{*}_{d_*}\) par des quotients de \(\mathbb{Z}^{d'_0 - d''_0}\) (par l'image de leur \(\pi_2\)).

178–179

Ce que les groupoïdes reconstituent, et ce qu'ils ne reconstituent pas (pages 178 et 179)

« Lorsque les \(D^{*}_{d_*}\) sont tous des \(K(\pi, 1)\) (ce qui est le cas dans la situation de Teichmüller !) », la connaissance des \(\Pi_1 V^{d'_0}_{d_*, d''_0}\) et de leurs morphismes doit permettre de reconstituer le groupoïde de \(X\), les topos canoniques associés, et, croit-il d'abord, le type d'homotopie de \(X\). La remarque suivante le tempère : pour \(X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \approx S^2\) et \(\Theta\) un point, \(X^* = \mathbb{C}\) est un \(K(\pi, 1)\) de groupe trivial, le diagramme \(\mathbb{D}_\infty \leftarrow \mathbb{D}^{*}_\infty \rightarrow \mathbb{C}\) donne le diagramme de groupes \(\{1\} \leftarrow \mathbb{Z} \rightarrow \{1\}\), et le topos des faisceaux localement constants qu'il définit a une cohomologie nulle en degrés positifs, alors que \(H^2(S^2) \neq 0\). « Ceci souligne la question générale de comprendre le type d'homotopie d'un topos obtenu par “recollement” d'un ouvert à son fermé complémentaire »⁵² .

180–189

Stratifications locales et globales (pages 180 à 189)

Le § 13 cherche le cadre général. Une stratification globale d'un espace topologique \(X\) est une partition localement finie en strates localement fermées \(X_i\), connexes et localement connexes, telle que l'adhérence d'une composante d'une strate rencontre chaque autre strate selon une réunion de composantes, que le germe en \(x\) d'une strate dont l'adhérence contient \(x\) soit connexe — ce qui exclut la courbe nodale stratifiée par son nœud, dont le complémentaire a deux branches au nœud —, et enfin (e) que la structure autour d'une strate \(X_i\) soit localement un produit \(X_i \times Z\), la strate correspondant à un point \(z_0\) de \(Z\) et les autres strates à des parties \(Z_j\) localement connexes en \(z_0\)⁵³ .

Les stratifications globales d'un ouvert \(U\) forment un préfaisceau qui n'est pas un faisceau (les exemples de d) le montrent, et plus simplement encore les feuilletages) ; les sections du faisceau associé sont les stratifications locales, cas très particulier des relations d'équivalence locales d'un exercice de SGA 4. Une stratification locale définit un « espace des strates » \(D^{*}_{\Delta_0} \to X\), bijectif et immersion locale (297) ; sa formation commute à la restriction aux ouverts, il n'a qu'un nombre fini de composantes si \(X\) est compact (propriété qui ne passe pas aux ouverts), et pour un diviseur à croisements normaux il redonne \(\coprod_d D^{*}_d\) (298). Un drapeau local strict est un couple \((x, \Sigma_*)\), \(\Sigma_* = \{\overline{X_{i_0}} \subset \dots \subset \overline{X_{i_r}}\}\), \(x \in X_{i_0}\) ; avec la topologie évidente on obtient des espaces \(D^{*}_{\Delta_r} \to X\), immersions locales, qui redonnent les \(\coprod D^{*}_{d_*}\) des sections précédentes. En n'exigeant que \(x \in \overline{X_{i_0}}\), on obtient les \(D_{\Delta_r}\), qui forment cette fois un espace simplicial, et même une catégorie topologique : \[ (303) \qquad D_{\Delta_2} \xrightarrow{\ \sim\ } D_{\Delta_1} \times_{D_{\Delta_0}} D_{\Delta_1}, \] dont l'espace des objets est celui des strates locales, l'espace des flèches celui des drapeaux \(x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}}\), la composition étant évidente — la condition (303) est la condition de Segal qui dit que le système simplicial est le nerf d'une catégorie⁵⁴ . La projection « premier sommet » \(D_{\Delta_r} \to D_{\Delta_0}\) est finie étale au-dessus de \(D^{*}_{\Delta_0}\).

Deux traits sont propres aux croisements normaux : que cette projection soit finie étale partout, et que les strates locales contenant une strate donnée forment le simplexe des parties d'un ensemble fini. Le tripode du plan — trois arcs issus d'un point — en donne le contre-exemple : sept strates contiennent le point dans leur adhérence (le point, trois arcs, trois secteurs), et \(7\) n'est pas une puissance de \(2\). La dernière phrase annonce que l'hypothèse de trivialité locale (e) servira « plus loin » à expliciter les voisinages tubulaires en termes de fibrations localement triviales. Le dossier s'arrête là.