équivalence, dans le sens de cette orientation.

On aura alors \text{\struck{$T^{Y}_{\hat{A}_2}$}} = \mathbb{U}^{A} T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}} = \mathbb{U}^{J_{\mathrm{I}}} \wedge_{\{\pm1\}} \omega_Q NB \{\pm1\} s'envoie diagonalement dans \mathbb{U}^{J}, T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}} \simeq \mathbb{U}^{J_2} car \bigwedge_{i\in J_{\mathrm{II}}} T_i \simeq \mathbb{U}, puisque somme les T_i sont isomorphes canon. à \mathbb{U}\wedge_{\pm1}\omega_Q, dans le produit contracté d'autre \mathbb{U}. T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}} \simeq \prod_{i\in J_{\mathrm{III}}} \mathbb{U}\wedge_{\{\pm1\}} \underbrace{(\omega_Q \wedge \tilde{J}_{\mathrm{III}\,i})}_{\mathcal{E}_i} Donc, si J_{\mathrm{I}}\neq\emptyset, on introduit l'ensemble \mathcal{E}_{G,Q} = \mathcal{E}_{G,Y_Q} = \underbrace{\mathcal{E}_{\hat{A}_1}}_{\prod_{a\in\hat{A}_1}\mathcal{E}_a} \times \omega_Q \times \underbrace{\mathcal{E}_{J_{\mathrm{III}}}}_{\prod_{i\in J_{\mathrm{III}}}\omega_Q\wedge\tilde{J}_{\mathrm{III}\,i}} qui est un torseur sous \gamma_{G_{\uncertain{1}}} = \{\pm1\}^{\hat{A}_1}\times\{\pm1\}\times\{\pm1\}^{J_{\mathrm{III}}} l'indice de \gamma est peu lisible ; la suite écrit \gamma_G. qui s'envoie dans \mathbb{U}^{\hat{A}} \gamma_G \longrightarrow \mathbb{U}^{\hat{A}} \simeq \mathbb{U}^{\hat{A}_1}\times\mathbb{U}^{J_{\mathrm{I}}} \times\mathbb{U}^{J_{\mathrm{II}}/\sigma}\times\mathbb{U}^{J_{\mathrm{III}}} et (flèche directe, tracée sous la précédente) \gamma_G \longrightarrow \mathbb{U}^{\hat{A}_1}\times\check{\mathbb{U}}^{J_{\mathrm{I}}}\times\mathbb{U}^{J_{\mathrm{III}}} comme se factorisant par ce produit triple, et en

Graphes MD

Un graphe pondéré est donné par (1)\qquad (S,\hat{\vec{A}},\sigma,\bar{\sigma},g) où S, \hat{\vec{A}} ens. finis, \sigma:\hat{\vec{A}}\to S application (« origine »), \bar{\sigma}:\hat{\vec{A}}\to\hat{\vec{A}} une involution, g:S\to\mathbb{N} une application : (2)\qquad \underset{\text{arêtes}}{\hat{\vec{A}}}\xrightarrow{\ \sigma\ }\underset{\text{sommets}}{S}\xrightarrow{\ g\ }\mathbb{N} \qquad \bar{\sigma}^2=\mathrm{id}_{\hat{\vec{A}}} sous la flèche \sigma : « appl. origine » ; sous g : « application “genre” » ; l'involution \bar\sigma est dessinée comme une boucle sur \hat{\vec{A}}, avec la légende « renversement d'orientation ».

On pose \begin{cases} \hat{\vec{A}}^{\bar\sigma} = I \hookrightarrow \hat{A}\\[2pt] \vec{A} = \hat{\vec{A}}\smallsetminus\hat{\vec{A}}^{\bar\sigma}\\[2pt] A = \vec{A}/\bar\sigma \simeq \hat{A}\smallsetminus I \end{cases} Donc (3)\qquad \hat{\vec{A}}/\bar\sigma = \hat{A} \qquad (\text{arêtes}) non orientées arêtes ordinaires (i.e. les arêtes correspondant à : deux éléments), les autres sont dites bordantes relatives ou arêtes libres. Représentations géographiques NB On ne marque pas g_i si g_i=0

un graphe à trois sommets g_1, g_2, g_3 : g_1 porte trois arêtes libres et deux arêtes vers g_2, g_2 porte une boucle et une arête libre et est relié à g_3, qui porte deux arêtes libres.

graphes stables : complètement ordinaires, rendant qui satisfont (4)

Condition de stabilité MD : (4)\qquad \forall s\in S,\quad 2g_s+\hat{\nu}_s\geq 3 \quad\text{i.e.}\quad \begin{cases} g_s=0 \Rightarrow \hat{\nu}_s\geq 3\\ g_s=1 \Rightarrow \hat{\nu}_s\geq 1 \end{cases} l'inégalité est écrite 2g_s+\hat\nu_s\geq3, sans le cas g_s\geq 2, qui ne demande rien. où \hat{\nu}_s est le nb d'arcs qui d'origine s (ordre total du sommet s) et par \nu_s désignons le nb d'arcs \hat{\vec{A}}^{\bar\sigma} i.e. I=\hat{\vec{A}}^{\bar\sigma} dans card I (5)\qquad \hat{\nu}_s = \nu_s + \vec{\nu}_s , \qquad \text{\struck{\ill{}}} sous les termes : « ordre total de s », « ordre [libre] de s », « ordre complémentaire de s correspondant aux “pts marqués” sur une courbe » — et « marqué ». L'affectation de chaque légende à \hat\nu_s, \nu_s, \vec\nu_s est incertaine.

ordinaires \vec{A}/\bar\sigma\to \pi_0(G)\to\mathbb{N} genre le graphe (g,\nu) Weil deux notes marginales en oblique, cernées d'un trait, à gauche du bas de la page ; je n'en lis que des fragments.

On pose (6)\qquad \nu=\nu(G) = \sum_s \vec{\nu}_s = \operatorname{card}(\vec{A}^{\bar\sigma}) \quad(\text{\emph{ordre marqué} \struck{total} du graphe}) (7)\qquad c=c(G)=\tfrac12\sum_s\nu_s \quad\text{nb des arêtes ordinaires : \emph{codim.\ modulaire} du graphe} (8)\qquad g=\sum_{s\in S}g_s+\underbrace{h^1(G)}_{\text{connexité de }G} \quad\text{\emph{genre virtuel} du graphe} (correspond à \dim H^1(X,\mathcal{O}_X)) le premier membre de (7) porte un chiffre biffé avant \tfrac12 ; la confusion entre \nu_s et \vec\nu_s dans (5)–(7) est celle de la page.