Cote n° 146 · pages 1–133 · Lecture modernisée · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–133

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

• Calcul des \(S_0\mathcal{T}_G\) en dimension modulaire nulle (pages 1 à 14), sous une chemise titrée de sa main (page 1) : les groupoïdes \(\mathcal{E}(\varepsilon)\) d'une extension et d'un torseur ; le cas d'un sommet, \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) avec \(\operatorname{card} I = 3\) ; le groupe fondamental « variant » ; le cas d'un graphe ; l'exemple du carré.
• Le cas \(\operatorname{card} I = 4\) (pages 15 à 17) : les fibrés tangents aux points marqués au-dessus de \(\widehat{M}_{0,I} \simeq \mathbb{P}^1_J\).
• La droite projective marquée par un polygone régulier (pages 18 à 54), sous une chemise (page 18) : « Étude de \(P\Sigma_J^{*}\) (et de \(P\Sigma_n^{*}\)…) ». Une rédaction au propre, numérotée de 1 à 7 de sa main (pages 42 à 54), fixe le cadre ; les calculs des pages 19 à 39 (générateurs et relations, lemmes d'homotopie) s'en servent. On lit donc la rédaction d'abord.
• Feuillets de travail (pages 55 à 77) : configurations de cinq points et icosaèdre ; points base à l'infini ; monogone et bigône ; \(\widehat{M}_{0,5}\) ; fibrés en droites \(L_i\) ; groupes des polyèdres réguliers.
• « Groupoïdes » (pages 78 à 98), sous une chemise (page 78) : présentations d'extensions de groupes et de groupoïdes ; \(\pi\)-fibrations ; \((\pi, \mu)\)-fibrations et groupoïdes induits sur des points de base.
• \(S_0\mathcal{T}_G\) en général, et les morphismes de généralisation (pages 99 à 124) : réductions ; chirurgie holomorphe ; dimension modulaire \(0\), puis \(1\).
• « Graphes MD » (pages 125 à 132), sous une chemise (page 125) : le tableau des graphes de petits types, les définitions, les opérations.

Les définitions combinatoires dont tout le dossier se sert ne viennent qu'à la fin (pages 127 à 132) ; on les rappelle ci-dessous, et la dernière section les reprend dans l'ordre des pages.

Les conventions

Graphes MD. Un graphe est donné par un ensemble fini \(S\) de sommets, un ensemble fini \(\hat{\vec A}\) d'arcs (demi-arêtes), une application origine \(\mathrm{or} : \hat{\vec A} \to S\), une involution \(\sigma\) de \(\hat{\vec A}\), et un genre \(g : S \to \mathbb{N}\)¹ . Les points fixes de \(\sigma\) sont les arêtes libres, \(I = \hat{\vec A}^{\sigma}\) — les points marqués ; les autres arcs forment \(\vec A\), et \(A = \vec A/\sigma\) est l'ensemble des arêtes liées — les nœuds ; \(\hat A = \hat{\vec A}/\sigma = I \amalg A\). On note \(\hat{\vec A}_s\) les arcs d'origine \(s\) et \(\hat\nu_s = \operatorname{card} \hat{\vec A}_s\) l'ordre du sommet. Le graphe est MD (stable au sens de Deligne et Mumford) si \(2g_s + \hat\nu_s \geq 3\) pour tout \(s\). Une courbe stable de type \(G\) a pour normalisée la réunion des courbes lisses \(\widetilde{X}_s\) de genre \(g_s\) marquées par \(\hat{\vec A}_s\), recollées selon \(\sigma\).

Espaces de modules. \(M_{g,I}\) est l'espace (le champ) des modules des courbes lisses de genre \(g\) marquées par \(I\), \(\widehat{M}_{g,I}\) sa compactification de Deligne–Mumford² , \(M_G\) la strate des courbes de type \(G\). La dimension modulaire de \(G\) est \(\dim M_G = \sum_s (3g_s - 3 + \hat\nu_s)\) ; elle est nulle exactement quand tous les sommets sont de genre \(0\) et d'ordre \(3\), et alors \(M_G\) est un point.

Torseurs tangents. \(\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\}\). Pour une courbe \(X\) et un point lisse \(x\), \(T_x\) est le \(\mathbb{U}\)-torseur des directions tangentes en \(x\), \((T_xX \smallsetminus 0)/\mathbb{R}^{*}_{+}\) ; pour un nœud \(a\), de branches \(a', a''\), \(T_a = T_{a'} \wedge T_{a''}\) (produit contracté). Au-dessus d'une strate, ils forment des fibrés principaux : \(SP_G = \prod_{a \in \hat A} T_a\), de groupe \(\mathbb{U}^{\hat A}\) ; \(P_G = \prod_{a \in A} T_a\) ; et plus généralement \(P_{G,K} = \prod_{a \in K} T_a\) pour \(K \subset \hat A\) (page 103). Les groupoïdes fondamentaux correspondants sont \[ S\mathcal{T}_G = \Pi_1(SP_G), \qquad \mathcal{T}_G = \Pi_1(P_G), \qquad R\mathcal{T}_G = \Pi_1(M_G), \] le dernier au sens des orbifoldes ; \(S\mathcal{T}_G\) est une extension de \(R\mathcal{T}_G\) par \(\mathbb{Z}^{\hat A}\), les générateurs du noyau étant les tours complets des directions tangentes — en termes d'aujourd'hui, les twists de Dehn autour des points marqués et des nœuds³ .

Points de base. Les indices \(0\) à gauche (\(S_0\mathcal{T}\), \({}_0\mathcal{T}\)) désignent toujours un sous-groupoïde plein, induit sur un ensemble fini de points de base réels, noté \(\varepsilon\) ; le \(2\)-groupe qui agit simplement transitivement sur lui est noté \(\gamma\). Deux choix de points de base portent le même nom sur les pages, et on les distingue : l'ensemble \(\varepsilon(G)\) des pages 10 à 12, une orientation par sommet (\(2^{\operatorname{card} S}\) éléments), et l'ensemble \(S\varepsilon_G\) des pages 113 à 116, une direction réelle par arête (\(2^{\operatorname{card} \hat A}\) éléments). On garde \(S_0\mathcal{T}_G\) pour le groupoïde induit sur le premier, et l'on écrit \(S_0\mathcal{T}'_G\) pour celui induit sur le second.

Extensions. \(\mathcal{E}\) désigne toujours une extension de groupes, et \(\mathcal{E}_z\) sa fibre au-dessus d'un élément \(z\) du quotient. L'ensemble à deux éléments des orientations d'un ensemble fini \(I\) est \(\omega(I)\) ; \(\mu_2 = \{\pm 1\}\).

1–14

Calcul des \(S_0\mathcal{T}_G\) en dimension modulaire nulle (pages 1 à 14)

2–5

Le groupoïde d'une extension et d'un torseur (pages 2 à 5)

Soit \(G\) un graphe MD de dimension modulaire nulle. Coupons-le en tous ses nœuds : on obtient un graphe \(G^{b}\) dont chaque sommet \(s\), isolé, porte trois arcs libres, et pour lequel \(S_0\mathcal{T}_{G^b} = \prod_{s \in S} S_0\mathcal{T}_{0, \hat{\vec A}_s}\). Le groupoïde de \(G\) s'en déduit par le changement de groupe d'opérateurs \[ (1)\qquad S_0\mathcal{T}_G = S_0\mathcal{T}_{G^b} \wedge^{\mathbb{Z}^{\hat{\vec A}}} \mathbb{Z}^{\hat A}, \] le long de l'homomorphisme \(\mathbb{Z}^{\hat{\vec A}} \to \mathbb{Z}^{\hat A}\) qui somme les coordonnées des deux arcs d'une même arête — la traduction, au niveau des groupes fondamentaux, de \(T_a = T_{a'} \wedge T_{a''}\)⁴ . Tout se ramène donc au cas d'un seul sommet : une droite projective \(\mathbb{P}^1_I\) marquée par un ensemble \(I\) à trois éléments.

Les points de base. Trois points de \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) sont sur un unique cercle ; une orientation \(\alpha \in \omega(I)\) de \(I\) (un ordre cyclique) oriente ce cercle, et donne en chaque \(i \in I\) un vecteur tangent unitaire, d'où un isomorphisme de \(\mathbb{U}\)-torseurs \(\varphi_{\alpha,i} : T_i \simeq \mathbb{U}\), et un point \(\bar\alpha\) du \(\mathbb{U}^I\)-torseur \(P\mathbb{U}_{0,I} = \prod_{i \in I} T_i\). D'où une injection \[ (3)\qquad \omega(I) \hookrightarrow P\mathbb{U}_{0,I}, \] compatible avec l'homomorphisme diagonal \(\{\pm 1\} \to \{\pm1\}^I \subset \mathbb{U}^I\) : renverser l'orientation retourne chacun des trois vecteurs. Tout est compatible avec l'action de \(\mathfrak{S}_I\), qui agit sur \(\omega(I)\) par la signature. On définit \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) comme le sous-groupoïde plein du groupoïde fondamental de \(P\mathbb{U}_{0,I}\) induit sur \(\omega(I)\).

Le groupoïde d'une extension. Pour un \(\mathbb{U}\)-torseur \(P\) et \(x, y \in P\), les classes de chemins de \(x\) à \(y\) sont la fibre \(\widetilde{\mathbb{U}}_{y-x}\) du revêtement universel \(\mathbb{R} \to \mathbb{U}\), la composition étant l'addition. La formule a un sens purement algébrique. Soit \[ (8)\qquad 0 \to \pi \to \mathcal{E} \to \Gamma \to 0 \] une extension de groupes abéliens et \(\varepsilon\) un \(\Gamma\)-torseur. Le groupoïde \(\mathcal{E}(\varepsilon)\) a pour objets \(\varepsilon\), pour flèches \[ (9)\qquad \mathrm{Hom}(x, y) = \mathcal{E}_{y-x}, \] et se compose par l'addition dans \(\mathcal{E}\) ; chaque \(\mathrm{Hom}(x,y)\) est un \(\pi\)-torseur. C'est le groupoïde d'action de \(\mathcal{E}\) agissant sur \(\varepsilon\) à travers \(\Gamma\) : son ensemble de flèches est \(\mathcal{E} \times \varepsilon\), la source est la seconde projection, le but l'action⁵ . Si \(\varepsilon' \to \varepsilon\) est un morphisme de torseurs au-dessus d'un homomorphisme \(\Gamma' \to \Gamma\), le groupoïde induit sur \(\varepsilon'\) est \(\mathcal{E}'(\varepsilon')\), où \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_{\Gamma} \Gamma'\) est l'extension image inverse (11) : en effet \(\mathrm{Hom}(x', y') = \mathcal{E}_{f(y')-f(x')}\), et \(f(y') - f(x')\) est l'image de \(y' - x'\).

Appliqué à l'injection (3), cela donne un isomorphisme de \(\mathbb{Z}^I\)-groupoïdes \[ (12)\qquad S_0\mathcal{T}_{0,I} \simeq \mathcal{E}_I\bigl(\omega(I)\bigr), \] où \(\mathcal{E}_I\) est l'image inverse de l'extension \(0 \to \mathbb{Z}^I \to \mathbb{R}^I \to \mathbb{U}^I \to 0\) par l'homomorphisme diagonal \(\mu_2 \to \mathbb{U}^I\).

6–10

L'extension \(\mathcal{E}_I\) et le groupe fondamental variant (pages 6 à 10)

Explicitement, \(\mathcal{E}_I\) est formé des \(v \in (\frac12\mathbb{Z})^I\) dont les coordonnées sont toutes entières ou toutes demi-entières. Mesurons les chemins en demi-tours : en multipliant par \(2\), \[ \mathcal{E}_I \simeq \{\, n \in \mathbb{Z}^I \mid \text{les } n_i \text{ ont tous la même parité} \,\}, \] le noyau \(\mathbb{Z}^I\) (les tours complets) s'y plongeant comme \(2\mathbb{Z}^I\) et la projection sur \(\mu_2\) étant la parité commune. C'est l'extension obtenue à partir de \[ (14)\qquad 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\;2\;} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2 \to 0 \] par l'homomorphisme diagonal \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I\) (diagramme (15)). Ainsi, pour \(x, y \in \omega(I)\), \[ (16)\qquad \mathrm{Hom}_{S_0\mathcal{T}_{0,I}}(x, y) = \begin{cases} \{\, n \in \mathbb{Z}^I : \text{tous les } n_i \text{ pairs} \,\} & \text{si } x = y,\\ \{\, n \in \mathbb{Z}^I : \text{tous les } n_i \text{ impairs} \,\} & \text{si } x \neq y, \end{cases} \] la composition étant l'addition : c'est la « description algébrique complète » de \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) en termes du seul ensemble \(I\)⁶ .

Le groupe fondamental variant. \(\mathfrak{S}_I\) agit sur \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\), et l'on forme, pour \(x \in \omega(I)\), \[ (17)\qquad \pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x) = \{\, (\alpha, l) \mid \alpha \in \mathfrak{S}_I,\ l : \alpha x \to x \,\}, \] avec la loi \[ (18)\qquad (\alpha, l)(\alpha', l') = \bigl(\alpha\alpha',\ l \circ \alpha(l')\bigr). \] C'est exactement la construction \(\pi_1(X, \Gamma, a)\) que le dossier 141 (page 14) donne pour un groupe agissant sur un espace, le groupe fondamental orbifold d'aujourd'hui, ici pour l'action de \(\mathfrak{S}_I\) sur le groupoïde⁷ . Un automorphisme \(\alpha\) de \(\mathbb{P}^1_I\) envoie \(T_i\) sur \(T_{\alpha(i)}\) et le vecteur de l'orientation \(x\) sur celui de \(\alpha x\), en respectant le sens de rotation ; dans les coordonnées (16), il agit donc sur \(\mathbb{Z}^I\) en permutant les coordonnées. D'où \[ \pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x) \simeq G(I) = \bigl\{\, (\alpha, n) \in \mathfrak{S}_I \times \mathbb{Z}^I \bigm| n_i \equiv \tfrac{1 - \mathrm{sgn}(\alpha)}{2} \bmod 2 \text{ pour tout } i \,\bigr\}, \] avec \((\alpha, n)(\alpha', n') = (\alpha\alpha', n + \alpha\cdot n')\).

Proposition (pages 8 à 10). \(G(I)\) est l'extension de \(\mathfrak{S}_I\) par \(\mathbb{Z}^I\) obtenue en prenant l'image inverse de (14) par la signature \(\mathfrak{S}_I \to \mu_2\), puis l'image directe par l'homomorphisme diagonal \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I\) (\(\mathfrak{S}_I\) agissant sur \(\mathbb{Z}^I\) par permutation). Elle n'est pas scindée ; sa restriction à \(\mathfrak{S}_I^{+}\), le stabilisateur de \(x\), est canoniquement scindée par \(\alpha \mapsto (\alpha, 0)\).

En effet, l'application \(\bigl(v, (\alpha, m)\bigr) \mapsto (\alpha, 2v + m\mathbf{1})\), où \(m \equiv \frac{1-\mathrm{sgn}(\alpha)}{2}\), est un homomorphisme surjectif du produit semi-direct de \(\mathbb{Z}^I\) par l'image inverse de (14) sur \(G(I)\), de noyau les \((-k\mathbf{1}, (1, 2k))\) : c'est la première assertion. Si \(\sigma\) est une transposition fixant \(k\), et \((\sigma, n) \in G(I)\), alors \((\sigma, n)^2 = (1, n + \sigma n)\) a pour coordonnée \(k\) l'entier \(2n_k\), non nul puisque \(n_k\) est impair : aucun relèvement de \(\sigma\) n'est d'ordre \(2\), et l'extension, déjà restreinte au sous-groupe d'ordre \(2\) engendré par \(\sigma\), n'est pas scindée⁸ . Enfin, pour \(\alpha\) pair, \(n = 0\) est permis.

La page s'étonne : « Il est un peu étrange » que ce groupe ne dépende pas du choix de \(x\). Il se construit sans référence à \(x\) ; \(\mathfrak{S}_I\) agit donc sur lui de façon compatible, bien qu'aucun scindage ne décrive cette action — sur \(\mathfrak{S}_I^{+}\) elle est celle du scindage canonique. C'est, pour la partie \(\mathfrak{S}_3\) du groupe \(\Gamma_{0,3}\), l'extension \(S\Gamma\) de \(\Gamma_{0,3}\) par \(\mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}}\) que le dossier 145 (page 31) laisse à expliciter⁹ .

10–14

Un graphe de dimension modulaire nulle ; l'exemple du carré (pages 10 à 14)

Pour \(G\) de dimension modulaire nulle, posons \[ \varepsilon(G) = \prod_{s \in S} \omega(\hat{\vec A}_s), \qquad \gamma(G) = \{\pm 1\}^S, \] et soit \(\mathcal{E}(G^b)\) l'extension de \(\gamma(G)\) par \(\mathbb{Z}^{\hat{\vec A}}\) déduite de la puissance \(S\)-ième de (14) par l'homomorphisme \(\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^{\hat{\vec A}}\), \(n \mapsto (n_{\mathrm{or}(h)})_h\), puis \(\mathcal{E}(G)\) l'extension de \(\gamma(G)\) par \(\mathbb{Z}^{\hat A}\) déduite de celle-ci par la somme \(\mathbb{Z}^{\hat{\vec A}} \to \mathbb{Z}^{\hat A}\) (24)–(26). Alors \[ (27)\qquad S_0\mathcal{T}_G \simeq \mathcal{E}(G)\bigl(\varepsilon(G)\bigr) : \qquad \mathrm{Ob} = \varepsilon(G), \quad \mathrm{Hom}(x,y) = \mathcal{E}(G)_{y-x}, \] et la page propose de prendre (28) pour définition de \(S_0\mathcal{T}_G\)¹⁰ .

L'exemple du carré. Le graphe à deux sommets reliés par une arête \(a\), chacun portant deux arêtes libres, correspond à un ensemble \(I\) de quatre points muni d'une partition de type \((2,2)\), qu'on peut voir comme les deux diagonales d'un carré combinatoire \(Q\) de sommets \(I\). Alors \(S \simeq \mathrm{diag}\,Q\), l'arc de la diagonale \(\Delta_s\) vers l'arête \(a\) étant noté \(\tilde s\) ; \(\hat{\vec A}_s = \Delta_s \amalg \{\tilde s\}\), et une orientation de cet ensemble à trois éléments équivaut au choix du successeur de \(\tilde s\), d'où \(\omega(\hat{\vec A}_s) \simeq \Delta_s\) et \[ \varepsilon(G) \simeq \prod_{\Delta \in \mathrm{diag}\,Q} \Delta, \] torseur sous \(\gamma(G) = \{\pm1\}^{\mathrm{diag}\,Q}\). Un élément de ce produit est un couple de sommets pris sur les deux diagonales, c'est-à-dire deux sommets adjacents : \(\varepsilon(G)\) est l'ensemble des quatre côtés de \(Q\). L'élément diagonal \((-1,-1)\) fait passer au côté opposé, et le quotient, \(\bigwedge_{\Delta} \Delta\), est l'ensemble à deux éléments des paires de côtés opposés¹¹ . On obtient \(S_0\mathcal{T}_G\) à partir de l'extension \(0 \to \mathbb{Z}^S \xrightarrow{2} \mathbb{Z}^S \to \{\pm1\}^S \to 0\) et du torseur \(\varepsilon(G)\), puis par l'homomorphisme \(\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^{\hat A} \simeq \mathbb{Z}^I \times \mathbb{Z}\), dont les deux composantes sont l'homomorphisme \(\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^I\) déduit par contravariance de l'application \(I \to S\) (de degré \(2\)) et la somme \(\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}\), le facteur \(\mathbb{Z}\) étant celui de l'arête \(a\) (page 14).

15–17

Le cas \(\operatorname{card} I = 4\) (pages 15 à 17)

Soit \(I\) à quatre éléments, \(J\) l'ensemble à trois éléments de ses partitions de type \((2,2)\), \(\Sigma = \Sigma_I = \mathbb{P}^1_J\) la droite projective marquée par \(J\) et \(\omega = \omega(J)\). On a canoniquement \[ (4)\qquad M_{0,I} \simeq \Sigma^{*} = \Sigma \smallsetminus J, \qquad \widehat{M}_{0,I} \simeq \Sigma : \] les trois points du bord de \(\widehat{M}_{0,I}\) sont les trois façons de grouper les quatre points deux par deux. \(\mathfrak{S}_I\) agit à travers \(\mathfrak{S}_I \to \mathfrak{S}_J\), de noyau le groupe de Klein \(V(I)\), dont les trois éléments non triviaux correspondent aux éléments de \(J\). Les deux points de \(\Sigma\) fixés par \(\mathfrak{S}_J^{+}\) (les configurations équianharmoniques) sont dans les deux hémisphères que découpe le cercle réel \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) passant par \(J\) ; d'où un isomorphisme \[ (2)\qquad \omega \simeq \Sigma^{\mathfrak{S}_J^{+}}, \] qui associe à un ordre cyclique sur \(J\) l'hémisphère dont le bord, orienté par cet ordre, est \(\Sigma_{\mathbb{R}}\)¹² .

La question des pages 16 et 17 est de savoir comment les fibrés tangents \(T_i\) aux points marqués se prolongent à \(\widehat{M}_{0,I}\). La page écrit \(\Sigma_J = \mathbb{P}(V(J))\), où \(0 \to V(J) \to \mathcal{O}^J \xrightarrow{\text{somme}} \mathcal{O} \to 0\), et trouve, après avoir comparé les deux possibilités en un point où la courbe a une structure de carré, \[ \widehat{T}_i \simeq \mathcal{O}_\Sigma(1) \qquad \text{pour chaque } i \in I, \] sans torsion par \(\omega\). Il faut le lire dans la convention de l'époque, où un fibré vectoriel \(\mathbb{V}(\mathcal{F})\) est nommé par le faisceau de ses formes linéaires : le faisceau conormal de la section \(i\) est \(\mathcal{O}(1)\), et le fibré tangent, comme faisceau de sections, est de degré \(-1\). C'est ce qu'on sait aujourd'hui : la classe \(\psi_i\) est de degré \(1\) sur \(\overline{M}_{0,4}\)¹³ .

Comme les quatre torseurs sont canoniquement un même torseur, leur produit est déduit de lui par l'homomorphisme diagonal \(\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m^I\) : \[ SP_I \simeq \bigl(\mathbb{V}^{*}(\mathcal{O}(1)) \,\big|\, \Sigma^{*}\bigr) \wedge^{\mathbb{G}_m} \mathbb{G}_m^I, \qquad S\mathcal{T}_{0,I} \simeq \Pi_1\bigl(\mathbb{V}^{*}(\mathcal{O}(1)) \,\big|\, \Sigma^{*}\bigr) \wedge^{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^I, \] où \(\mathbb{V}^{*}\) désigne le fibré privé de sa section nulle¹⁴ . Tout se ramène donc au groupoïde fondamental d'un seul \(\mathbb{C}^{*}\)-torseur au-dessus de la sphère privée de trois points. Ce torseur est le plan \(V^{*}\) privé de trois droites par l'origine (pages 51 et 52 ci-dessous) ; son groupe fondamental est le groupe de tresses pures \(P_3 \simeq F_2 \times \mathbb{Z}\), le facteur central \(\mathbb{Z}\) étant le tour de la fibre, et l'on retrouve que le groupe modulaire pur de la sphère à quatre composantes de bord est \(F_2 \times \mathbb{Z}^4\)¹⁵ .

La chemise de la page 18 annonce la suite : « Étude de \(P\Sigma_J^{*}\) (et de \(P\Sigma_n^{*}\)…) \(S_0\mathcal{T}_{0,4}\), \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) (\(\operatorname{card} I = 4\)) ».

41–54

La droite projective marquée par un polygone régulier (pages 41 à 54)

Cette rédaction, numérotée 1 à 7 de sa main, est le cadre au propre de ce que les pages 19 à 39 calculent ; on la lit en premier. La page 41 n'est qu'un décalque pâle de la page 42.

42–45

Le polygone et son groupe diédral (pages 42 à 45)

Soient \(n \geq 3\), \(m = 2n\), et un polygone régulier à \(m\) côtés dans un plan vectoriel réel \(V\), d'ensemble de sommets \(\tilde J\)¹⁶ . La donnée de \((V, \tilde J)\) équivaut à celle d'un torseur sous le groupe diédral \(D_m = \mu_m \rtimes \mathbb{Z}/2\), groupe d'automorphismes du modèle \((\mathbb{C}, \mu_m)\), où \(\mu_m\) agit par homothéties et \(\mathbb{Z}/2\) par conjugaison. On pose \(D = \mathrm{Aut}(V, \tilde J)\), \(\underline{\omega}\) l'ensemble des deux orientations de \(V\), \(D^{+}\) le sous-groupe des rotations, noyau de \(D \to \mathrm{Aut}(\underline{\omega})\). Les deux rotations d'angle \(2\pi/m\) dans l'un et l'autre sens forment une copie de \(\underline{\omega}\) dans \(D^{+}\) ; ce sont deux générateurs inverses l'un de l'autre, \(\omega' = \omega^{-1}\). Les sommets sont notés \(\widetilde{R}_i\), \(i \in \tilde J\).

Comme \(m\) est pair, \(\tilde J\) est stable par \(a_0 : x \mapsto -x\), seul élément d'ordre \(2\) du groupe cyclique \(D^{+}\). Pour \(j \in \tilde J\), la réflexion \(r_j\) fixant \(\widetilde{R}_j\) fixe aussi \(\widetilde{R}_{a_0(j)}\) : il y a \(n\) telles réflexions, la moitié de \(D \smallsetminus D^{+}\), les \(n\) autres étant les réflexions par les milieux des côtés opposés. Il y a sur \(V\) une unique forme quadratique \(D\)-invariante valant \(1\) sur les sommets, qui fait de \(V\) un plan euclidien.

Soit \(\Sigma = \mathbb{P}(V_{\mathbb{C}})\) la droite projective complexe associée au complexifié. \(D\) y agit à travers \(D/\{1, a_0\}\), groupe diédral d'ordre \(2n\). Les images \(R_i\) des sommets vérifient \(R_i = R_{a_0(i)}\) et forment un ensemble \(J = \tilde J/\{1, a_0\}\) de \(n\) points sur le cercle réel \(\Sigma_{\mathbb{R}} = \mathbb{P}(V)\), régulièrement répartis¹⁷ .

46–48

Les pôles et la décomposition isotrope (pages 46 à 48)

Les points de \(\Sigma\) fixés par \(D^{+}\) sont au nombre de deux, un dans chacun des hémisphères que découpe \(\Sigma_{\mathbb{R}}\). Ces hémisphères sont indexés par \(\underline{\omega}\) — l'hémisphère \(\Sigma_\omega\) est celui dont le bord, avec l'orientation de bord, a l'orientation \(\omega\) — et les pôles sont notés \[ (15)\qquad P_\omega = \Sigma^{D^{+}} \cap \Sigma_\omega \qquad (\omega \in \underline{\omega}). \] La page justifie (14), \(\pi_0(\Sigma \smallsetminus \Sigma_{\mathbb{R}}) \simeq \underline{\omega}\), par ce qu'on lit « couvr. de Stokes » : l'orientation induite sur le bord par l'orientation canonique de \(\Sigma\)¹⁸ . En algèbre linéaire, ce sont les droites propres de \(D^{+}\) dans \(V_{\mathbb{C}}\). La forme quadratique s'étend en une forme bilinéaire complexe non dégénérée, et \(V_{\mathbb{C}}\) se décompose en ses deux droites isotropes, \[ (16)\qquad V_{\mathbb{C}} = \bigoplus_{\omega \in \underline{\omega}} V_{\mathbb{C}}^{\omega}, \] qui sont aussi les droites propres du groupe \(O^{+}(V)\) des rotations, et que les éléments de \(O^{-}(V)\) échangent. Une orientation \(\omega\) définit le quart de tour \(u_\omega \in O^{+}(V)\), \(u_\omega^2 = -1\), donc une structure complexe \(V_{(\omega)}\) sur \(V\) (\(i \cdot x = u_\omega x\)) ; l'application \(\mathbb{C}\)-linéaire \(p_\omega : V_{\mathbb{C}} \to V_{(\omega)}\) qui prolonge l'identité donne un isomorphisme \(p = (p_\omega) : V_{\mathbb{C}} \simeq \prod_\omega V_{(\omega)}\), et \[ (19)\qquad V_{\mathbb{C}}^{\omega} = \ker p_{\omega'} = \{\, z \in V_{\mathbb{C}} \mid u_\omega z = i z \,\} = \{\, x - i\,u_\omega x \mid x \in V \,\}. \] On note \(\varphi_\omega : V \xrightarrow{\sim} V_{\mathbb{C}}^{\omega}\), \(x \mapsto x - i\,u_\omega x\), l'isomorphisme \(\mathbb{R}\)-linéaire induit, et encore \(\varphi_\omega\) son prolongement \(\mathbb{C}\)-linéaire à \(V_{\mathbb{C}}\) ; on a \(\operatorname{Re} \varphi_\omega(x) = x\) pour \(x \in V\), et c'est ce qui sert aux pages 35 à 39¹⁹ .

48–51

Le fibré \(\mathcal{O}_\Sigma(1)\) et son torseur (pages 48 à 51)

Soit \(P\Sigma\) le \(\mathbb{C}^{*}\)-torseur associé à \(\mathcal{O}_\Sigma(1)\). En un point \(x\) de \(\Sigma\), correspondant à une droite \(F\), les isomorphismes canoniques (18)–(20) de la page — fibre de \(\mathcal{O}(1)\) égale au quotient par \(F\), \(F \otimes \mathcal{O}_F(1) \simeq \det V \simeq \mathbb{R}(\underline{\omega})\), \(\mathcal{O}_F(1) \simeq \check F(\underline{\omega}) \simeq F^{\perp}\) — identifient \(P\Sigma\) au plan privé de l'origine, \[ (21)\quad P\Sigma \simeq V^{*}, \qquad \text{au-dessus de} \qquad (22)\quad \sigma : \Sigma \to \Sigma, \quad F \mapsto F^{\perp}, \] avec, sur \(V^{*}\), l'action opposée de \(\mathbb{C}^{*}\)²⁰ . L'involution \(\sigma\) fixe les deux pôles (les droites isotropes sont leurs propres orthogonales) et fait sur le cercle réel un demi-tour (deux droites réelles orthogonales sont diamétralement opposées sur \(\mathbb{P}(V)\)) : c'est le demi-tour autour de l'axe des pôles, la « symétrie par rapport à l'axe polaire » de la page. Avec la conjugaison complexe \(\tau\), réflexion par le plan de l'équateur, on a \[ \tau\sigma = \underline{a}, \qquad \text{l'antipodie de } \Sigma, \] puisque le demi-tour autour d'un axe composé avec la réflexion par le plan orthogonal est la symétrie centrale.

On s'intéresse à \[ (26)\qquad \Sigma^{*} = \Sigma \smallsetminus \{ R_i \mid i \in J \}, \qquad (27)\qquad P\Sigma^{*} = P\Sigma|_{\Sigma^{*}} \simeq V^{**} = V^{*} \smallsetminus \bigcup_{i \in J} \Delta_i, \] où les \(\Delta_i\) sont les \(n\) droites complexes des diagonales du polygone. Pour \(n = 3\), \(\Sigma^{*}\) est la sphère privée de trois points, c'est-à-dire \(M_{0,4}\) (page 15), et \(V^{**}\) le plan privé de trois droites.

52–54

Le programme, et les symétries (pages 52 à 54)

Le but est de décrire des groupoïdes équivalents aux groupoïdes fondamentaux \[ (28)\qquad \Pi_1 P\Sigma^{*} \simeq \Pi_1 V^{**}, \qquad \Pi_1 \Sigma^{*}, \] et le morphisme (29) \(\Pi_1 V^{**} \to \Pi_1 \Sigma^{*}\), par générateurs et relations, avec des points de base stables par \(D\) et par \(\tau\). Sur la situation agit le groupe \(D \times \mathbb{C}^{*} \times \{1, \tau\}\), non fidèlement : \((a_0, -1)\) agit trivialement. Son sous-groupe fini \(D \times \mu_m \times \{1, \tau\}\) est d'ordre \(2m \cdot m \cdot 2 = 4m^2 = 16 n^2\), et le quotient qui agit fidèlement, \((D \times \mu_m)/\{\pm1\} \times \{1, \tau\}\), d'ordre \(8n^2\) (\(144\) et \(72\) pour \(n = 3\)).

Sur \(V_{\mathbb{C}} = \bigoplus_\omega V_{\mathbb{C}}^{\omega}\), le groupe \(\mu_m^{\underline{\omega}}\) agit coordonnée par coordonnée, et une rotation \(\zeta\) (comptée dans le sens \(\omega\)) agit par \(\zeta\) sur \(V_{\mathbb{C}}^{\omega}\) et par \(\zeta^{-1}\) sur \(V_{\mathbb{C}}^{\omega'}\). L'homomorphisme \[ (34)\qquad D^{+} \times \mu_m \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}}, \qquad (\zeta, \lambda) \longmapsto (\zeta\lambda,\ \zeta^{-1}\lambda), \] entre groupes d'ordre \(m^2\), a pour noyau \(\{(1,1), (a_0, -1)\}\), et pour image, d'indice \(2\), les couples tels que \[ (35)\qquad (\lambda_\omega \lambda_{\omega'})^{n} = 1 : \] le produit des deux coordonnées est \(\lambda^2\), un carré de \(\mu_{2n}\), et inversement tout couple dont le produit est un carré \(\lambda^2\) s'écrit ainsi avec \(\zeta = \lambda_\omega/\lambda\). Les automorphismes de \(V_{\mathbb{C}}\) qui stabilisent \(V^{**}\), c'est-à-dire qui induisent sur \(\Sigma\) un automorphisme stabilisant \(J\), proviennent de \(D \times \mathbb{C}^{*}\) — le stabilisateur de \(n \geq 3\) points régulièrement répartis sur un cercle est le groupe diédral d'ordre \(2n\) — et ceux qui fixent chaque pôle, de \(D^{+} \times \mathbb{C}^{*}\), dont l'image dans \(\mathbb{C}^{*\,\underline{\omega}}\) est définie par \((\lambda_\omega \lambda_{\omega'}^{-1})^{n} = 1\) (37), condition qui équivaut à (35) sur \(\mu_m^{\underline{\omega}}\). La rédaction s'arrête sur le choix de points de base stables par \(D \times \{1, \tau\}\), et « éventuellement » par le groupe d'ordre \(72\) quand \(n = 3\).

19–32

Générateurs et relations pour \(n = 3\) (pages 19 à 32)

Les pages 19 à 32 sont les calculs, pour l'hexagone (\(n = 3\)), que la rédaction précédente encadre. Ils sont fragmentaires ; on en donne la structure, et l'on dit ce qui s'y vérifie.

Les vecteurs. Dans le plan \(V = V(J)\) des vecteurs de somme nulle de \(\mathbb{R}^J\), \(J = \{i, j, k\}\), la page 21 pose \(\widetilde{R}_i = (e_j - e_k) \wedge \omega_{jk}\), où \(\omega_{jk}\) est l'orientation qui envoie \(k\) sur \(j\) (la torsion par \(\wedge\,\omega\) rend le vecteur indépendant de l'ordre écrit), et \(\widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{R}_{\omega^2 i} - \widetilde{R}_{\omega i} = (e_j + e_k - 2e_i) \wedge \omega\) : les six vecteurs \(\pm\widetilde{R}_i\) sont les sommets d'un hexagone, les six \(\pm\widetilde{Q}_i\) les directions des milieux des côtés, et \(i_\omega \widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{R}_i\), \(i_\omega \widetilde{R}_i = -\widetilde{Q}^\omega_i\), où \(i_\omega = u_\omega\) est le quart de tour. Le dessin de la page 19 — un cylindre dont le cercle du haut porte \(V^{\omega}_{\mathbb{C}}\), celui du bas \(V^{\omega'}_{\mathbb{C}}\), et l'équateur \(V\) — place les points de base : des points \(\widetilde{P}^{\omega}_a\) au-dessus des pôles, \(\widetilde{Q}_a\) et \(\widetilde{R}_r\) sur l'équateur, indexés par des ensembles \(A\), \(S\) et \(R \simeq A \times \underline{\omega} \simeq S \times \underline{\omega}\), sur lesquels agissent deux involutions \(\tau_0, \tau_1\) de produit \(\omega = \tau_1\tau_0\)²¹ .

Les générateurs (page 26). Des flèches « obliques » \[ \tilde a_r : \widetilde{R}_r \to \widetilde{R}_{r'}, \qquad \tilde b_r : \widetilde{Q}_a \to \widetilde{R}_r, \qquad \tilde c_r : \widetilde{P}^{\omega}_a \to \widetilde{Q}_a, \] et des flèches « fibres » : les lacets \(\lambda\) en chaque point de base (le tour complet de la fibre \(\mathbb{C}^{*}\)), les demi-tours \(\mu : \widetilde{Q}_a \to \widetilde{Q}_a^{\vee}\), \(\widetilde{R}_r \to \widetilde{R}_r^{\vee}\) vers le point opposé \(x^{\vee} = -x\), et les pas \(\tilde d\) entre points de base consécutifs au-dessus d'un même pôle.

Les relations. Une relation « oblique » (1), \(\tilde a_r \tilde b_r \tilde c_r \tilde d_r = \tilde b_{r_1} \tilde c_{r_2}\), qui exprime qu'un triangle de la figure se remplit ; des relations « fibres » : le produit de \(m\) pas \(\tilde d\) consécutifs est le lacet \(\lambda\) (5), deux demi-tours successifs font un tour, \(\mu_{x^{\vee}}\mu_x = \lambda_x\) (6), (7) ; et des relations « de transport » (8)–(10), qui disent que les flèches obliques transportent le lacet de la fibre au lacet de la fibre²² . Les relations fibres et de transport sont justes : le lacet de la fibre est l'image du générateur de \(\pi_1(\mathbb{C}^{*})\) par l'application orbite, naturelle en le point, et il est donc central ; le demi-tour est le chemin \(t \mapsto e^{i\pi t} x\).

L'élimination (pages 28 à 32). Posant \(\widetilde{A}_r = \tilde b_r^{-1} \tilde a_r^{-1} \tilde b_{r_1}\) et \(\widetilde{B}_r = \tilde a_{r''}^{-1} \tilde b_{r'} \tilde b_r^{-1}\), la page exprime, à l'aide de (1), les demi-tours comme des produits \[ \mu_{\widetilde{Q}_a} = \widetilde{A}_{\omega^{m} r''} \cdots \widetilde{A}_{r''}, \qquad \mu_{\widetilde{R}_r} = \widetilde{B}_{\omega^{m} r} \cdots \widetilde{B}_r, \] puis prend ces formules, et (5)–(7), pour définitions des \(\mu\) et des \(\lambda\). Il reste \[ (1)\quad \tilde a_r \tilde b_r \tilde c_r \tilde d_r = \tilde b_{r_1} \tilde c_{r_2}, \qquad (2')\quad \widetilde{A}_{\omega^{m} r''} \cdots \widetilde{A}_{r''} = \widetilde{A}_{\omega^{m} r_1} \cdots \widetilde{A}_{r_1}, \] et la page note que la relation (2''), \(\tilde c^\omega_a(\lambda) = \tilde c^\omega_a(\lambda')\) entre les lacets au-dessus des deux pôles, est, en présence de (1), conséquence de (2') portée au carré. Le calcul de la page 32 sur deux paires de flèches \(\mu, \mu' : Q \to Q^{\vee}\) et \(\check\mu, \check\mu'\) en retour — de \(\check\mu\mu = \check\mu'\mu'\) on tire \(\check\mu'^{-1}\check\mu = \mu'\mu^{-1}\) — est juste. Les lignes qui diraient si le système obtenu est une présentation complète de \(\Pi_1 V^{**}\) sont illisibles (« ces deux relations … équivalentes et \(\pm\) triviales »), et le dossier n'énonce pas de présentation finale ; nous ne l'affirmons pas²³ . Pour \(n = 3\), le groupe à présenter est connu : \(\pi_1(V^{**}) \simeq P_3 \simeq F_2 \times \mathbb{Z}\) (page 17 ci-dessus).

35–39

Lemmes d'homotopies linéaires (pages 35 à 39)

Ces lemmes servent à comparer, dans \(\Pi_1 V^{**}\), un chemin et son image par \(\varphi_\omega\) (pages 46 à 48) : ils fournissent des homotopies explicites qui évitent les droites ôtées. Pour \(x, y \in V\), on pose \[ \ell_{y,x}(t) = \tfrac{x+y}{2} + e(t)\,\tfrac{x-y}{2}, \quad e(t) = e^{i\pi t}, \qquad L_{y,x}(t) = (1-t)x + t y, \] un demi-cercle complexe de \(x\) à \(y\) au-dessus du segment \([x,y]\), et le segment lui-même. Dans ce qui suit, \(\Delta\) est une droite réelle de \(V\) et \(\Delta_{\mathbb{C}}\) son complexifié. Pour les droites ôtées de \(V^{*}\), \(\Delta\) passe par l'origine.

Lemme 2 (« trivial »). Soit \(\ell\) un chemin dans \(V\) ne rencontrant pas \(\Delta\), et \(g(s,t) = (1-s)\varphi_\omega\ell(t) + s\,\ell(t)\). Alors \(g\) évite \(\Delta_{\mathbb{C}}\) : \(\operatorname{Re} g(s,t) = \ell(t)\), puisque \(\operatorname{Re}\varphi_\omega(x) = x\), et \(\operatorname{Re} \Delta_{\mathbb{C}} = \Delta\). Corollaire : si \(\ell : x \to y\) est un chemin de \(V\) évitant les \(\Delta_i\), le carré formé de \(\varphi_\omega(\ell)\), \(\ell\) et des segments verticaux \(L_{x, \varphi_\omega(x)}\), \(L_{y, \varphi_\omega(y)}\) commute dans \(\Pi_1 V^{**}\).

Lemme 3 (« \(\pm\) trivial »). Si \(\Delta \cap \{x, y\} = \emptyset\), le demi-cercle \(\ell_{y,x}\) évite \(\Delta_{\mathbb{C}}\). En effet, \(\ell_{y,x}(t)\) a pour partie imaginaire \(\sin(\pi t)\,\frac{x-y}{2}\) et pour partie réelle un point du segment \([x,y]\). S'il était dans \(\Delta_{\mathbb{C}}\) pour \(0 < t < 1\), la direction \(x - y\) serait celle de \(\Delta\), la droite \((xy)\) serait parallèle à \(\Delta\) et la rencontrerait, donc lui serait égale, et \(x, y \in \Delta\) ; pour \(t = 0, 1\), le point est \(x\) ou \(y\)²⁴ .

Lemme 4. Soit \(\ell_x(t) = e(t)\,x\), le demi-tour de \(x\) à \(-x\), et \(h(s,t) = e(t)\bigl((1-s)\varphi_\omega(x) + s x\bigr)\). Si \(\Delta\) passe par l'origine et \(x \notin \Delta\), \(h\) évite \(\Delta_{\mathbb{C}}\) : comme \(\Delta_{\mathbb{C}}\) est stable par les homothéties complexes, \(h(s,t) \in \Delta_{\mathbb{C}}\) forcerait \((1-s)\varphi_\omega(x) + s x \in \Delta_{\mathbb{C}}\), dont la partie réelle est \(x\). Corollaire : dans \(\Pi_1 V^{**}\), pour \(x \in V^{**} \cap V\),

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large]
\varphi_\omega(x) \arrow[r, "\ell_{\varphi_\omega(x)}"] \arrow[d, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & -\varphi_\omega(x) \arrow[d, "L_{-x,-\varphi_\omega(x)}"] \\
x \arrow[r, "\ell_x"] & -x
\end{tikzcd}

commute²⁵ .

Lemme 1. La page considère \(f_{x,y}(s,t) = (1-s)\varphi_\omega \ell_{y,x}(t) + s\,\ell_{y,x}(t)\) et affirme que, sous une hypothèse d'orientation reliant le segment orienté \(\overrightarrow{[x,y]}\), la droite \(\Delta\) et \(\omega\), \(f_{x,y}\) évite \(\Delta_{\mathbb{C}}\) ; d'où, avec le lemme 3, le carré commutatif \[ \varphi_\omega(\ell_{y,x}) = \ell_{\varphi_\omega(y), \varphi_\omega(x)} \quad\text{(linéarité de } \varphi_\omega\text{)}, \qquad \ell_{y,x} \circ L_{x,\varphi_\omega(x)} = L_{y,\varphi_\omega(y)} \circ \ell_{\varphi_\omega(y), \varphi_\omega(x)} . \] L'hypothèse est formulée et raturée plusieurs fois, et ne se lit pas. Elle est indispensable : pour \(x = (1,1)\), \(y = (1,-1)\) dans une base orthonormée directe pour \(\omega\), et \(\Delta\) l'axe des abscisses, on a \(\ell_{y,x}(\frac12) = (1, i)\), qui est dans \(V_{\mathbb{C}}^{\omega'} = \ker\varphi_\omega\), donc \(f_{x,y}(0, \frac12) = 0 \in \Delta_{\mathbb{C}}\). Le lemme vaut donc pour une seule des deux orientations du demi-cercle par rapport à \(\omega\), et nous ne reconstituons pas l'énoncé exact²⁶ .

55–77

Feuillets de travail (pages 55 à 77)

Ces pages ne forment pas une suite ; on les prend dans l'ordre, en n'énonçant que ce qui se lit et se vérifie.

55–65

Cinq points sur la sphère et l'icosaèdre (pages 55 à 61, 63 et 65)

Sous le titre « \({}_0\mathcal{T}_{0,5}\) et \(S_0\mathcal{T}_{0,5}\) » (page 55), les pages 57 à 61 recensent des configurations de points marqués et de cercles sur la sphère — « \(4\) sommets, deux faces », « \(1\) cercle marqué, \(6\) sommets, \(4\) faces », des types I à IV — et comptent, pour chacune, les « possibilités pour \(K\) » : \(60 = 12 \cdot 5\) (« pentagone \(+\) sommet », « pentagone \(+\) arête »), \(60 = 10 \times 3 \times 2\), \(12\), \(20\), \(30\). Elles nomment ces données par l'icosaèdre : un sommet et une arête incidente (type \(D_{01}\)), un sommet et une face incidente (\(D_{02}\)), avec des flèches d'oubli \(D_{01} \to D_0\), \(D_{01} \to D_1\), \(D_{02} \to D_0\), \(D_{02} \to D_2\), \(D_1 \to D_2\) — des drapeaux partiels de l'icosaèdre²⁷ .

La page 61 et le tableau de la page 65 donnent les stabilisateurs, dans le groupe des rotations de l'icosaèdre (\(\mathfrak{A}_5\), d'ordre \(60\)) puis dans le groupe complet (\(\mathfrak{A}_5 \times \mathbb{Z}/2\), « non orienté »), et les nombres d'orbites correspondants : \[ \begin{array}{l|cc|cc} & \text{stab.\ orienté} & \text{nombre} & \text{stab.\ non orienté} & \text{nombre}\\ \hline \text{sommets} & \mathbb{Z}/5,\ \text{paires : } D_5 & 12,\ 6 & D_5 \times \mathbb{Z}/2 & 6\\ \text{arêtes} & \mathbb{Z}/2,\ \text{paires : } D_2 & 30,\ 15 & D_2 \times \mathbb{Z}/2 & 15\\ \text{faces} & \mathbb{Z}/3,\ \text{paires : } \mathfrak{S}_3 & 20,\ 10 & \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2 & 10 \end{array} \] Les nombres se vérifient : \(60/5 = 12\), \(60/10 = 6\), \(60/2 = 30\), \(60/4 = 15\), \(60/3 = 20\), \(60/6 = 10\), et dans le groupe d'ordre \(120\) les stabilisateurs des paires antipodales sont deux fois plus gros²⁸ . La page 63 dessine l'icosaèdre, un patron déplié aux arêtes marquées \(a, \ldots, e\), et un « pentagone orienté ». Le lien avec \(M_{0,5}\) — sur lequel le groupe \(\mathfrak{S}_5\) agit, et dont \(\mathfrak{A}_5\) est le sous-groupe d'indice \(2\) — n'est pas écrit.

62–62

Points base à l'infini (page 62)

« Avant de me lancer vers une exploitation des principes dégagés, il me faut encore développer la formulation des points base à l'infini. » Le point de départ est la dimension \(1\), un retour en dimension quelconque, pour un diviseur à croisements normaux, étant annoncé. Soit \(X\) le spectre d'un anneau de valuation discrète hensélien, \(x\) son point fermé, \(k = k(x)\), \(\mathcal{U} = X \smallsetminus \{x\}\) son point générique, \(T_x = \mathbb{V}(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)\) l'espace tangent et \(T_x^{*} = T_x \smallsetminus \{0\}\). Il y a un morphisme canonique de groupoïdes fondamentaux \[ (55)\qquad \widehat{\Pi}_1(T_x^{*}) \longrightarrow \widehat{\Pi}_1(\mathcal{U}), \] et la page s'arrête sur « Alors on sait qu'on a ». Ce qu'on sait aujourd'hui : en caractéristique résiduelle nulle, les deux membres sont des extensions de \(\mathrm{Gal}(\bar k/k)\) par \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)\), et le morphisme canonique est une équivalence ; en général, il en est une sur les quotients modérés. Un point de \(T_x^{*}\) — un vecteur tangent non nul — sert ainsi de point base pour le point générique : c'est le point base tangentiel que Deligne formalisera en 1989²⁹ . C'est le fondement, sur un corps quelconque, des points de base \(\varepsilon\) du dossier.

64–66

Le monogone et le bigône (pages 64 et 66)

La page 64 compose \(\varphi(z) = \frac{z-1}{z+1}\) (\(1 \mapsto 0\), \(-1 \mapsto \infty\), \(0 \mapsto -1\), \(\infty \mapsto 1\)), le carré, et \(\psi(w) = \frac{w}{w-1}\) (\(0, 1, \infty \mapsto 0, \infty, 1\)) : \[ (26)\qquad g_1(z) = \psi\bigl(\varphi(z)^2\bigr) = -\frac14 \frac{(z-1)^2}{z}, \qquad (27)\qquad g_2(z) = g_1(z^2) = -\frac14\Bigl(z - \frac1z\Bigr)^2, \] « équation du monogone » et « équation du bigône, de merveille ! ». Les calculs sont justes, et ce sont des fonctions de Belyi. \(g_1\), de degré \(2\), a pour points critiques \(z = 1\) (valeur \(0\)) et \(z = -1\) (valeur \(1\)), et \(g_1^{-1}(\infty) = \{0, \infty\}\) : l'image réciproque du segment \([0,1]\) est une boucle issue de \(z = 1\), passant par \(z = -1\), qui sépare la sphère en deux faces centrées en \(0\) et \(\infty\) — le monogone, carte à un sommet, une arête, deux faces. \(g_2\), de degré \(4\), a deux sommets \(\pm 1\), deux milieux d'arêtes \(\pm i\) et deux faces centrées en \(0\) et \(\infty\) : le bigône. La page 66 vérifie la valeur \(g_1(i) = -\frac{1}{4i}(i-1)^2 = \frac12\), (\((i-1)^2 = -2i\)), et tabule les images de \(0, \pm 1, \infty\) par \(X_2 \xrightarrow{z^2} X_1 \to X_0\)³⁰ .

La moitié tête-bêche de la page 66 nomme les deux catégories : « Cartes, \(\mathcal{C}_2\)-ens » et « Cartes orientées, \(\mathcal{C}_2^0\)-ens », avec \[ \mathcal{C}_2 = \langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = (\sigma_0\sigma_\infty)^2 = 1 \rangle, \qquad \mathcal{C}_2^0 = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mid \rho_\infty\rho_1\rho_0 = \rho_1^2 = 1 \rangle . \] C'est le groupe cartographique des cartes, celui de la page 9 du dossier 141 (qui l'écrit avec les indices \(0, 1, 2\)) et de la page 22 du dossier 145, et son sous-groupe orienté \(\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2\) ; la relation \(\rho_\infty\rho_1\rho_0 = 1\) est dans l'ordre de la seconde rédaction du dossier 145. Une carte orientée finie est un ensemble fini sur lequel agit \(\mathcal{C}_2^0\), et les cartes de \(g_1\) et \(g_2\) en sont les plus petits exemples³¹ .

67–67

L'espace \(\widehat{M}_{0,5}\) (page 67)

\(M_{0,5} \subset \widehat{M}'_{0,5} \subset \widehat{M}_{0,5}\), où \(\widehat{M}'_{0,5}\) est l'ouvert des courbes stables de type \((0,5)\) qui restent stables quand on oublie le cinquième point. On a \[ \widehat{M}'_{0,5} \simeq \widehat{\mathcal{X}}^{*}_{0,4} = \widehat{\mathcal{X}}_{0,4} \smallsetminus (\tilde\Delta_0 \cup \tilde\Delta_1 \cup \tilde\Delta_\infty \cup \tilde\Delta), \] où \(\widehat{\mathcal{X}}_{0,4} \to \widehat{M}_{0,4}\) est la courbe universelle, éclatée de \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\) en les trois points \((0,0), (1,1), (\infty,\infty)\) de la diagonale, et les \(\tilde\Delta\) les transformées strictes des quatre sections. C'est juste : \(\overline{M}_{0,5}\) est la courbe universelle sur \(\overline{M}_{0,4}\), et l'on retire les diviseurs où le cinquième point rencontre l'un des quatre autres. La page se demande ce qui manque — les courbes qui ne restent pas stables — et en dessine les configurations.

70–73

Les fibrés \(L_i\) et le groupe de Picard équivariant (pages 70 à 73)

Sur \(M_{0,I}\), les fibrés en droites \(L_i\) (attachés aux points marqués) et \(L = \bigotimes_i L_i\) vérifient \(L_i \simeq L_K \otimes p^{*}_{K \smallsetminus\{i\}, K} L_{K \smallsetminus \{i\}}\). Un tableau cherche, pour \(n = \operatorname{card} I = 4, 5, 6\), le plus petit exposant qui trivialise \(L\), resp. \(L_i\), de façon compatible à \(\mathfrak{S}_I\) : \(3\) et \(6\) pour \(n = 4\), des valeurs suivies de points d'interrogation pour \(n = 5, 6\), en regard de \((n-1)(n-2) = 6, 12, 20\)³² . La page 72 en donne la source : des sections \(\xi_A\) indexées par les parties \(A\) à trois éléments, et leur produit, section de \(L^{\otimes\nu}\), \(\nu = (n-1)(n-2)/2\), d'où « \(L^{\otimes 6} \simeq 1\) » pour \(n = 4\) et \(n = 5\). Ces affirmations ne sont pas démontrées sur les pages et ne sont pas vérifiées ici.

Le cadre est la cohomologie équivariante. Comme \(M_{0,K}\) est le complémentaire d'un arrangement d'hyperplans dans un espace affine, \(\mathrm{Pic}(M_{0,K}) = 0\) (« \(H^1(M_{0,5}; \mathbb{G}_m) \simeq 0\) »), et la suite spectrale de \(\mathfrak{S}_K\) donne \(H^1(M_{0,K}, \mathfrak{S}_K; \mathbb{G}_m) \simeq H^1(\mathfrak{S}_K, H^0(M_{0,K}, \mathbb{G}_m))\). De la suite exacte \(0 \to \mathbb{G}_m \to H^0(M_{0,K}, \mathbb{G}_m) \to U' \to 0\), où \(U'\) est le groupe des unités modulo les constantes (noté \((\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)})'\)), on tire \[ 0 \to \underbrace{H^1(\mathfrak{S}_K, \mathbb{C}^{*})}_{\pm 1} \to H^1(M_{0,K}, \mathfrak{S}_K; \mathbb{G}_m) \to H^1(\mathfrak{S}_K, U') \to H^2(\mathfrak{S}_K, \mathbb{C}^{*}), \] exacte à gauche parce que \(U'\) n'a pas d'invariant non nul sous \(\mathfrak{S}_K\)³³ .

74–77

Groupes des polyèdres réguliers (pages 74, 76 et 77)

La page 74 commence au milieu d'un énoncé, avec deux automorphismes encadrés (41), (42) d'un groupe à générateurs \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty\), \(\tau_0, \tau_\infty\), dont une image est laissée en blanc ; puis une liste de groupes \(\pi_{D_n}\), \(\pi_{\mathfrak{S}_4^{+}}\), \(\pi_{\mathfrak{S}_4}\), \(\pi_{\mathfrak{S}_5^{+}}\), et \(\pi_X\) pour « \(X\) une carte : on enlève les sommets », avec \(\pi_{\mathrm{icos}}\), \(\pi_{\text{dodéc}}\), \(\pi_{\text{tétr}}\), \(\pi_{\mathrm{cube}}\), \(\pi_{\mathrm{oct}}\). Ce sont vraisemblablement les groupes fondamentaux de la sphère privée des sommets d'un polyèdre régulier, sur lesquels agissent les groupes de rotations \(D_n\), \(\mathfrak{A}_4 = \mathfrak{S}_4^{+}\), \(\mathfrak{S}_4\), \(\mathfrak{A}_5 = \mathfrak{S}_5^{+}\)³⁴ . La page 76 recense le dodécaèdre : \(120\) repères (drapeaux), \(12\) faces, \(30\) arêtes, \(20\) sommets, et \(2 \times (6 + 15 + 10) = 62 = 12 + 30 + 20\), le nombre total de cellules³⁵ . La page 77, des croquis de cartes et de rubans sans texte, est dessinée sur une circulaire du 12 février 1982.

78–98

« Groupoïdes » (pages 78 à 98)

80–80

Présentation d'une extension de groupes (page 80)

Lemme 1. Soit \(1 \to L \to \tilde\pi \to \pi \to 1\) une suite exacte de groupes, \((x_i)_{i \in I}\) des générateurs de \(\pi\) de relations définissantes \(R_\alpha((x_i)) = 1\) (\(\alpha \in A\)), \((a_j)_{j \in J}\) des générateurs de \(L\) de relations définissantes \(S_\beta((a_j)) = 1\) (\(\beta \in B\)). On relève les \(x_i\) en des \(\tilde x_i \in \tilde\pi\), et l'on choisit des mots \(M_\alpha\), \(M_{ij}\) en les \(a_j\) tels que \[ (1)\quad R_\alpha((\tilde x_i)) = M_\alpha((a_j)), \qquad (2)\quad \tilde x_{i}\, a_{j}\, \tilde x_{i}^{-1} = M_{ij}((a_j)). \] Alors (1), (2) et (3) \(S_\beta((a_j)) = 1\) sont des relations définissantes de \(\tilde\pi\) en les \(\tilde x_i\), \(a_j\). Si \(L\) est central, (2) devient \([\tilde x_i, a_j] = 1\) (2').

C'est le lemme classique de présentation d'une extension, et il est juste tel quel, sans relation de conjugaison par les \(\tilde x_i^{-1}\). Soit \(\Pi\) le groupe présenté et \(N\) le sous-groupe engendré par les \(a_j\). Par (3), \(a_j \mapsto a_j\) définit \(L \to N\), et sa composée avec \(\Pi \to \tilde\pi\) est l'identité de \(L\) : \(N \simeq L\). Par (2), la conjugaison par \(\tilde x_i\) envoie \(N\) dans \(N\), et elle correspond à la conjugaison par \(\tilde x_i\) dans \(\tilde\pi\), qui est un automorphisme de \(L\) ; elle est donc surjective, et \(N\) est distingué. Enfin \(\Pi/N\) a pour présentation \(\langle x_i \mid R_\alpha \rangle\), c'est \(\pi\), et \(\Pi \to \tilde\pi\) est un isomorphisme³⁶ .

81–86

Présentation d'un groupoïde au-dessus d'un groupoïde (pages 81 à 86)

La même chose pour un morphisme de groupoïdes \(p : \widetilde{\mathcal{T}} \to \mathcal{T}\) (la page 81, barrée, est un premier départ de la page 82). On se donne des flèches \(\tilde u_i\) de \(\widetilde{\mathcal{T}}\) dont les projections \(u_i\) engendrent \(\mathcal{T}\), avec des relations définissantes de \(\mathcal{T}\) écrites comme des lacets composables \(u'_{i'_1} \cdots u'_{i'_n} = 1\), où \(u'_{(i,\varepsilon)} = u_i^{\varepsilon}\) (8). Les relevés \(\tilde u'\) ne sont pas composables, mais les extrémités consécutives sont dans une même fibre ; on suppose donnée une famille de flèches fibres \(a_j\) engendrant chaque groupoïde fibre \(\widetilde{\mathcal{T}}_s\), et les fibres connexes, de sorte que des mots \(M_{\alpha,\nu}((a_j))\) relient ces extrémités (11). On écrit alors :

• les relations « remontées » (12) : \(M_{\alpha,1}\, \tilde u'_{i'_1}\, M_{\alpha,2}\, \tilde u'_{i'_2} \cdots M_{\alpha,n}\, \tilde u'_{i'_n} = 1\) ;
• des relations (13) \(N'_\beta((a_j)) = 1\) qui définissent chaque fibre ;
• pour chaque lacet fibre \(a_{j_0}\) et chaque \(\tilde u_i\) de même origine, une relation de transport (14) \(\tilde u_i(a_{j_0}) = M''_{i,j_0}((a_j))\), le transporté étant un lacet de la fibre de l'extrémité.

« Cela posé, je dis que (12) (13) (14) est un système de relations définissant » \(\widetilde{\mathcal{T}}\)³⁷ . La page s'arrête là, sans démonstration ; c'est l'analogue en groupoïdes du lemme de la page 80, et c'est le cadre exact de l'élimination des pages 26 à 32, où les \(\lambda\), \(\mu\), \(\tilde d\) sont des flèches fibres et (8)–(10) des relations de transport.

88–94

\(\pi\)-fibrations de groupoïdes (pages 88 à 94)

Sous le titre « Généralités sur les groupoïdes ». Soit \(f : C' \to C\) un morphisme de groupoïdes et \(\pi\) un groupe. Une \(\pi\)-fibration est un \(f\) surjectif sur les objets et plein, dont les fibres sont des groupoïdes connexes munis d'un isomorphisme naturel de \(\pi\) sur leurs groupes d'automorphismes : on a donc un homomorphisme \(\pi \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{C'})\) — \(\pi\) agit naturellement sur chaque objet de \(C'\) —, une suite exacte \[ 1 \to \pi \to \mathrm{Aut}_{C'}(x) \to \mathrm{Aut}_{C}(f(x)) \to 1, \] et \(\pi_0(f)\) bijectif. \(C'\) est une extension centrale de \(C\) par \(\pi\) (« l'extension est ici nécessairement centrale ») ; pour une extension non centrale il faudrait remplacer \(\pi\) par un système local de groupes sur \(C\), comme le dit la marge. En termes d'aujourd'hui, \(C'\) est une gerbe liée par \(\pi\) au-dessus de \(C\)³⁸ .

L'exemple (page 88). Soit \(U\) un groupe topologique connexe et localement simplement connexe, \(\pi = \pi_1(U, 1)\) (abélien), \(P \to T\) un \(U\)-torseur. La suite exacte d'homotopie \(\pi \to \pi_1(P_i) \to \pi_1(T_i) \to 1\) fait de \(\Pi_1(P) \to \Pi_1(T)\) une \(\pi\)-fibration quand les \(\pi \to \pi_1(P_i)\) sont injectifs, une \(\pi/N\)-fibration si leur noyau \(N\) ne dépend pas de la composante. Soit \(\mu\) un groupe, \(\mu \to U\) un homomorphisme, \(\varepsilon\) un ensemble à action de \(\mu\) et \(\varepsilon \to P\) une application équivariante³⁹ ; soit \(C'\) le groupoïde induit par \(\Pi_1(P)\) sur \(\varepsilon\), et \(C\) celui induit par \(\Pi_1(T)\) sur \(\varepsilon_0 = \varepsilon/\mu\). Le carré \[ C' \to \Pi_1(P), \qquad C \to \Pi_1(T) \] commute, ses flèches horizontales sont des équivalences quand \(\varepsilon\) rencontre toutes les composantes, et \(\mu\) agit sur \(C'\) par transport de structure. Soit \(\mathcal{E}\) l'image inverse de \(0 \to \pi \to \widetilde{U} \to U \to 0\) par \(\mu \to U\) (13). Si \(\mu\) agit librement sur \(\varepsilon\) et que \(x, y\) sont dans une même fibre \(C'_\xi\), on a un isomorphisme canonique de \(\pi\)-torseurs \[ (14)\qquad \mathrm{Isom}_{C'_\xi}(x, y) \simeq \mathcal{E}_{y - x}, \] compatible aux compositions, c'est-à-dire \(C'_\xi \simeq \mathcal{E}(\varepsilon_\xi)\) (15) : c'est, en famille, la formule (9) des pages 4 et 5.

Les \((\pi, \mu)\)-fibrations (pages 92 à 94). D'où la définition : une \((\pi, \mu)\)-fibration subordonnée à une extension centrale \(1 \to \pi \to \mathcal{E} \to \mu \to 1\) est une \(\pi\)-fibration \(f : C' \to C\) munie d'une action de \(\mu\) sur \(C'\) compatible aux opérations internes de \(\pi\), telle que \(f\) soit \(\mu\)-équivariante pour l'action triviale sur \(C\), que \(\mu\) agisse librement sur \(\mathrm{Ob}\,C'\) avec \(\mathrm{Ob}\,C'/\mu \simeq \mathrm{Ob}\,C\), et qu'une condition sur les fibres, « à examiner », soit remplie. Pour la formuler, la page analyse une fibre : un \(\pi\)-groupoïde connexe \(\Phi\), avec une action de \(\mu\) dont l'ensemble des objets est un \(\mu\)-torseur. Les \(\pi\)-torseurs \(\mathrm{Hom}(x, y)\) sont identifiés entre eux par l'action de \(\mu\) quand la « différence » \(u\) de \(x\) et \(y\) est fixée, d'où des \(H_u\), et la composition donne \(H_u \wedge H_v \simeq H_{uv}\) avec associativité et unité : une extension \(\mathcal{E}_\Phi\) de \(\mu\) par \(\pi\). Inversement \(\mathcal{E}\) et un \(\mu\)-torseur \(\varepsilon\) donnent \(\mathcal{E}(\varepsilon)\). D'où la correspondance \[ (17)\qquad \left\{\begin{array}{l} \pi\text{-groupoïdes connexes } \Phi \text{ avec action de } \mu\\ \text{dont l'ensemble des objets est un } \mu\text{-torseur} \end{array}\right\} \longleftrightarrow \{ \text{extensions de } \mu \text{ par } \pi \}, \] que la page dit être une équivalence de catégories. Elle l'est si l'on munit \(\Phi\) d'un objet de base et qu'on demande aux morphismes de le respecter ; sans cela, le membre de gauche a davantage de morphismes (le choix de l'image d'un objet), et l'on n'a qu'une bijection entre classes d'isomorphisme⁴⁰ . Une \(\mathcal{E}(\pi, \mu)\)-structure sur \(C'\) au-dessus de \(C\) est alors la donnée, pour chaque \(\xi \in \mathrm{Ob}\,C\), d'un isomorphisme \(\mathcal{E}_{C'_\xi} \simeq \mathcal{E}\), avec une condition de passage d'un \(\xi\) à l'autre le long des flèches de \(C\), « je présume », que le dossier ne formule pas.

95–98

Le quotient par \(\mu\) (pages 95 à 98)

Pour préciser cette condition, la page revient à l'exemple, avec \(\mu \subset U\) discret et distingué (18). \(P_0 = P/\mu\) est un torseur sous \(U_0 = U/\mu\), le revêtement universel de \(U_0\) est encore \(\widetilde{U}\), et \[ (20)\qquad \mathcal{E} \simeq \pi_1(U_0, 1), \] ce qui montre au passage que \(\mathcal{E}\) est commutative, comme tout groupe fondamental d'un groupe topologique. \(\Pi_1(P_0)\) porte donc une \(\mathcal{E}\)-structure (21), et les deux actions de \(\mathcal{E}\) sur \(\mathrm{Hom}(x_0, y_0)\) se correspondent par \(\ell\cdot\gamma_{x_0} = {}^{\ell}\gamma_{y_0} \cdot \ell\). L'image inverse de \(\Pi_1(P_0)\) par \(P \to P_0\) est \(\Pi_1(P) \wedge^{\pi} \mathcal{E}\), et celle par \(\varepsilon \to P \to P_0\) est \(C' \wedge^{\pi} \mathcal{E}\). Comme \(\mu\) agit sur \(\mathcal{E}\) (trivialement ici sur \(\pi\)), il agit sur \(C' \wedge^\pi \mathcal{E}\), librement sur les objets, et le quotient est un \(\mathcal{E}\)-groupoïde sur \(\varepsilon_0\) — « plus de doute, c'est \(C_0\) ! », le groupoïde induit par \(\Pi_1(P_0)\) sur \(\varepsilon_0\), ainsi construit algébriquement à partir de \(C'\) et de ses structures. La construction inverse (« Inversement, partons d'un \(\mathcal{E}\)-groupoïde \(C_0\) ») est commencée et laissée.

La page 98, de notes, en donne les données : 1°) un \(\mathcal{E}\)-groupoïde central \(C_0\) sur \(\varepsilon_0\) ; 2°) un revêtement principal \(\varepsilon \to \varepsilon_0\) de groupe \(\mu\), donné par un système local sur \(C_0\), c'est-à-dire un homomorphisme \(\pi_1(C_0, x_0) \to \mu\) qui prolonge \(\mathcal{E} \to \mu\) ; au niveau des groupes, \(1 \to \mathcal{E} \to \pi_1(P_0) \to \pi_1(T) \to 1\) et \(1 \to \pi \to \ker\varphi \to \pi_1(T) \to 1\) pour \(\varphi : \pi_1(P_0) \to \mu\). Elle esquisse enfin la généralisation à un torseur sous un faisceau de groupes topologiques \(U_T\), de système local de groupes fondamentaux \(\Pi_T\), avec un sous-faisceau \(\gamma_T\) et \(0 \to \Pi_T \to \mathcal{E}_T \to \gamma_T \to 1\)⁴¹ .

Ces pages sont l'outil du dossier sous sa forme générale : un groupoïde fondamental induit sur un ensemble fini de points de base stable par un groupe d'opérateurs \(\mu\) — les \(\varepsilon\) des pages 2 à 14 et 111 à 124, avec \(\mu = \{\pm1\}^{\ldots}\) et \(U = \mathbb{U}^{\ldots}\) — se reconstruit algébriquement à partir d'une extension et d'un torseur.

99–124

\(S_0\mathcal{T}_G\) en général et les morphismes de généralisation (pages 99 à 124)

99–100

Graphes à sommets de genre \(0\) et d'ordre au plus \(4\) (pages 99 et 100)

Pour un graphe MD dont tous les sommets sont de genre \(0\) et d'ordre \(3\) ou \(4\), la page 99 écrit \(S_0\mathcal{T}_G\) comme le produit des \(S_0\mathcal{T}_{0, \hat{\vec A}_s}\), groupoïdes à opérateurs \((\mathbb{Z}^{\hat{\vec A}_s}, \mu_2^{\hat{\vec A}_s})\), poussé le long de \((\mathbb{Z}^{\hat{\vec A}}, \mu_2^{\hat{\vec A}}) \to (\mathbb{Z}^{\hat A}, \mu_2^{\hat A})\) : un groupoïde à opérateurs \((\mathbb{Z}^{\hat A}, \mu_2^{\hat A})\), sur les objets duquel \(\mu_2^{\hat A}\) agit librement, et dont le quotient par tous les opérateurs est \[ R_0\mathcal{T}_G = \prod_{s \in S} \mathcal{T}_{0, \hat{\vec A}_s}, \] où seuls comptent les sommets d'ordre \(4\), ceux d'ordre \(3\) donnant le groupoïde ponctuel. Pour un graphe quelconque, de genre virtuel nul, la page annonce \(S_0\mathcal{T}_G\) comme limite inductive filtrante de tels groupoïdes, indexée par un ensemble ordonné d'arbres finis sans sommet d'ordre \(2\), et s'arrête sur des points de suspension⁴² .

102–103

Réductions (pages 102 et 103)

Le fibré \(SP_G\) et tous ses quotients \(P_{G,K}\) se déduisent d'un fibré plus fin \(SP_{G^b}\), de groupe \(\mathbb{G}_m^{\vec A}\), par \(\mathbb{G}_m^{\vec A} \to \mathbb{G}_m^{A}\) ; donc \(S\mathcal{T}_G\) se déduit de \(S\mathcal{T}_{G^b}\) par \(\mathbb{Z}^{\vec A} \to \mathbb{Z}^A\). Comme \(\mathcal{T}_G\) est une extension de \(R\mathcal{T}_G\) par \(\mathbb{Z}^A\), connue dès qu'on connaît les extensions par \(\mathbb{Z}\) attachées à chaque arc, tout se ramène à construire les \(S\mathcal{T}_{g,I} \simeq \mathcal{T}^{!}_{g,\nu}\), extensions de \(\mathcal{T}_{g,I}\) par \(\mathbb{Z}^I\) — ou les extensions par \(\mathbb{Z}\) attachées à chaque \(i \in I\)⁴³ . De même, les morphismes de généralisation \(S\mathcal{T}_G \to S\mathcal{T}_{G'}\) se ramènent au cas où \(G' = G^{\natural}\) est la généralisation maximale de \(G\) (toutes les arêtes liées contractées : la courbe lisse).

Pour une contraction \(G \to G' = G/C\), \(C \subset A\) (la section « Graphes MD » ci-dessous), la page 103 dessine les tours de fibrés \[ SP_G \xrightarrow{\ \mathbb{G}_m^{I}\ } P_G \xrightarrow{\ \mathbb{G}_m^{A'}\ } P_{G,C} \xrightarrow{\ \mathbb{G}_m^{C}\ } RP_G = M_G, \] où \(A' = A \smallsetminus C\) sont les arêtes de \(G'\), et leurs images vers celles de \(G'\) et de \(G^{\natural}\), les carrés étant cartésiens ; les flèches horizontales ne sont définies que dans la catégorie homotopique, et commutent aux groupes d'opérateurs. Par passage aux groupoïdes fondamentaux : \[ S\mathcal{T}_G \xrightarrow{\ \mathbb{Z}^{I}\ } \mathcal{T}_G \xrightarrow{\ \mathbb{Z}^{A'}\ } \mathcal{T}_{G,C} \xrightarrow{\ \mathbb{Z}^{C}\ } R\mathcal{T}_G, \qquad S\mathcal{T}_G \to S\mathcal{T}_{G'} \to S\mathcal{T}_{G^\natural}, \] avec \(P_{G,K} = \prod_{a \in K} P_{G,a}\), \(SP_G = P_{G,\hat A}\), \(P_G = P_{G,A}\), \(SRP_G = P_{G,I}\), \(RP_G = P_{G,\emptyset}\), et le carré cartésien \(SP_G \to SRP_G\), \(P_G \to RP_G\) (groupes \(\mathbb{G}_m^{A}\) horizontalement, \(\mathbb{G}_m^{I}\) verticalement)⁴⁴ .

105–111

La chirurgie holomorphe (pages 105 à 111)

Soit \(G \to G' = G/C\) une contraction, et \(X\) une courbe sur \(\mathbb{C}\) de type \(G\) ; \(C \subset A = \mathrm{Sing}(X)\), \(B = A \smallsetminus C\). Soit \(\widetilde{X}\) la normalisée de \(X\) en les points de \(C\), et \(\widetilde{C}\) l'image inverse de \(C\). On choisit autour de chaque \(x \in \widetilde{C}\) un disque fermé \(D_x\) à bord analytique réel (ou seulement \(C^1\)), ces disques deux à deux disjoints et évitant les autres nœuds. L'espace de ces choix devrait être contractible, c'est-à-dire que l'espace \(M^C_G\) des courbes de type \(G\) munies de disques devrait se projeter sur \(M_G\) par une équivalence d'homotopie⁴⁵ . Alors \(X_1 = \widetilde{X} \smallsetminus \bigcup D_x^{\circ}\) est une surface holomorphe à bord, et chaque cercle \(\partial D_x\) est un \(\mathbb{U}\)-torseur, d'orientation opposée à celle de bord de \(X_1\) ; il s'identifie au torseur \(T_x = (T_x\widetilde{X} \smallsetminus 0)/\mathbb{R}^{*}_{+}\) des directions tangentes, indépendamment du choix du disque. On récupère \(X\) en recollant à \(X_1\) les cônes sur ces cercles.

Pour un nœud \(x \in C\), de branches \(x', x''\), l'espace des anti-isomorphismes de torseurs \[ \mathrm{Isom}^{-}_{\mathbb{U}}(T_{x'}, T_{x''}) \simeq \mathrm{Isom}_{\mathbb{U}}(T_{x'}^{-1}, T_{x''}) \simeq T_{x'} \wedge T_{x''} = T_x \] est un \(\mathbb{U}\)-torseur, et \(P_C = \prod_{x \in C} T_x\) un \(\mathbb{U}^{C}\)-torseur. Pour \(t = (t_x) \in P_C\), on obtient une courbe \(X'_t\) de type \(G'\) en recollant, pour chaque \(x \in C\), les deux bords \(\partial D_{x'}\) et \(\partial D_{x''}\) de \(X_1\) selon l'anti-isomorphisme \(t_x\). C'est la construction qu'on appelle aujourd'hui l'ouverture des nœuds par recollement (« plumbing »), et \(T_{x'} \wedge T_{x''}\) est le torseur unitaire de \(T_{x'} \otimes T_{x''}\), la droite où vit le paramètre de lissage du nœud⁴⁶ . Quand \((X, (D_x))\) varie, les \(P_C\) forment un \(\mathbb{U}^C\)-torseur \(\widetilde{M}^C_G\) sur \(M^C_G\), et l'on obtient un morphisme \(\widetilde{M}^C_G \to M_{G'}\), avec \[ 1 \to \mathbb{Z}^C \to \pi_1(\widetilde{M}^C_G) \to \pi_1(M^C_G) \simeq \pi_1(M_G) \to 1, \qquad \pi_1(\widetilde{M}^C_G) \to \pi_1(M_{G'}). \]

Pour relever aux fibrés tangents, soit \(P_B\) le fibré principal des directions aux nœuds non ouverts et aux points marqués, de groupe \(\mathbb{U}^{B}\) où \(B\) est ici \(\hat A \smallsetminus C\)⁴⁷ , de sorte que \(SP_G = P_C \times_{M_G} P_B\). Le changement de base par l'équivalence d'homotopie \(M^C_G \to M_G\) donne \(\widetilde{P}^B_G\) et \(S\mathcal{T}_G = \pi_1(SP_G) \xleftarrow{\sim} \pi_1(\widetilde{P}^B_G)\) ; et le carré

\begin{tikzcd}
\widetilde{P}^B_G \arrow[r] \arrow[d] & SP_{G'} \arrow[d] \\
\widetilde{M}^C_G \arrow[r] & M_{G'}
\end{tikzcd}

est cartésien : pour \(X'\) construite à partir de \((X, (D_x))\), les directions en \(B\) ne changent pas. D'où le morphisme cherché \[ S\mathcal{T}_G \simeq \pi_1(\widetilde{P}^B_G) \longrightarrow \pi_1(SP_{G'}) = S\mathcal{T}_{G'} . \]

Le monoïde multiplicatif \(]0,1]^{C}\) agit sur \(\widetilde{M}^C_G\) par homothétie des disques, le même rayon aux deux branches d'un nœud, et le morphisme \(]0,1]^C \times \widetilde{M}^C_G \to M_{G'}\) joue le rôle de l'inclusion dans \(M_{G'}\) du voisinage tubulaire épointé de \(M_G\) dans \(\widehat{M}_{G'}\)⁴⁸ . Si \(M^C_G \to M_G\) a une section (« y en a-t-il toujours ?? — je pense que oui… »), on a un carré cartésien \(SP_G \times\, ]0,1]^C \to SP_{G'}\) au-dessus de \(P_C \times\, ]0,1]^C \to M_{G'}\), et \(P_C \times\, ]0,1]^C\) s'identifie, « dans un sens très fort », à une forme du voisinage tubulaire : le fibré en polydisques épointés \(\prod_{x \in C} (T_{x'} \otimes T_{x''})^{*}\).

Les cas les plus intéressants, conclut la page 111, sont \(G' = G^\natural\), et ceux où \(G\) est de dimension modulaire \(0\) ou \(1\) et \(G'\) de dimension modulaire au plus \(2\), notamment les généralisations immédiates (\(\operatorname{card} C = 1\)).

111–116

Dimension modulaire nulle : les points de base réels (pages 111 à 116)

Si \(G\) est de dimension modulaire nulle, \(X\) est déterminée par \(G\) à isomorphisme unique près, et \(M_G\) est un point. On choisit les disques canoniquement. Sur \(\mathbb{P}^1\) marquée par \(0, 1, \infty\), de groupe d'automorphismes \(\mathfrak{S}_3\), on prend la métrique de la sphère ronde de rayon \(1\) invariante par \(\mathfrak{S}_3\), les trois points formant un triangle équilatéral sur un grand cercle \(\Sigma_{\mathbb{R}}\), et autour de chaque \(i\) le cercle \(\Gamma_{i\rho}\) de centre \(i\) et de rayon rectiligne \(\rho\), assez petit pour que les trois disques soient disjoints⁴⁹ . Le cercle \(\Gamma_{i\rho}\) coupe \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) en deux points diamétralement opposés, en bijection canonique avec \(I \smallsetminus \{i\}\) (le plus proche), d'où \[ \Gamma_{i\rho} \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm1\}} (I \smallsetminus \{i\}). \] En chaque point marqué, on a donc deux directions réelles, celles qui pointent vers les deux autres points.

Pour la courbe \(X_G\), de normalisée \(\coprod_s \Sigma_{\hat{\vec A}_s}\) recollée selon \(\sigma\), on a pour chaque arête \(a\) un ensemble à deux éléments \(\varepsilon_a\) et \(T_a \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm1\}} \varepsilon_a\) : \[ \varepsilon_a = \hat{\vec A}_s \smallsetminus \{a\} \ \text{ si } a \in I, \qquad \varepsilon_a = \bigwedge_{\tilde a \text{ sur } a} \bigl(\hat{\vec A}_{\mathrm{or}(\tilde a)} \smallsetminus \{\tilde a\}\bigr) \ \text{ si } a \in A, \] le second étant canoniquement trivial quand \(a\) est une boucle⁵⁰ . D'où \[ SP_G = \prod_{a \in \hat A} T_a = \mathbb{U}^{\hat A} \wedge_{\{\pm1\}^{\hat A}} S\varepsilon_G, \qquad S\varepsilon_G = \prod_{a \in \hat A} \varepsilon_a , \] et \(S\varepsilon_G \subset SP_G\) est un ensemble de \(2^{\operatorname{card} \hat A}\) points de base⁵¹ . La chirurgie, avec des rayons dans \(]0,1[^{\vec A}\), donne un morphisme \(]0,1[^{\vec A} \times SP_G \to SP_{G^\natural}\), donc \(S\mathcal{T}_G = \pi_1(SP_G) \simeq \mathbb{Z}^{\hat A} \to S\mathcal{T}_{G^\natural}\), et mieux un morphisme de groupoïdes fondamentaux ; comme \(]0,1[^{\vec A}\) est contractile, chaque point de \(S\varepsilon_G\) donne un point de base de \(S\mathcal{T}_{G^\natural}\) — un point base « à l'infini » de l'espace des courbes lisses⁵² . Soit \(S_0\mathcal{T}'_G\) le sous-groupoïde plein de \(S\mathcal{T}_G\) induit sur \(S\varepsilon_G\) ; on a \(S_0\mathcal{T}'_G \to S\mathcal{T}_{G^\natural}\).

Présentation. Pour \(\xi \in S\varepsilon_G\) et \(\alpha \in \{\pm1\}^{\hat A}\), soit \(u_{\alpha, \xi} : \xi \to \alpha\xi\) le chemin qui fait faire un demi-tour, \(t \mapsto e^{i\pi t}\xi_a\), aux coordonnées où \(\alpha_a = -1\) et fixe les autres. Alors \(u_{\beta, \alpha\xi}\, u_{\alpha, \xi} = u_{\alpha\beta, \xi} + n(\alpha, \beta)\), où \(n(\alpha,\beta)_a = 1\) si \(\alpha_a = \beta_a = -1\) et \(0\) sinon (deux demi-tours font un tour, qui est l'unité de \(\mathbb{Z}^{\hat A}\)). Sans utiliser la \(\mathbb{Z}^{\hat A}\)-structure : générateurs \(u_{a, \xi} : \xi \to \sigma_a \xi\), pour \(a \in \hat A\), où \(\sigma_a\) change la seule coordonnée \(a\), et relations

1. (1)les carrés \(u_{b, \sigma_a\xi}\, u_{a, \xi} = u_{a, \sigma_b\xi}\, u_{b, \xi}\) pour \(a \neq b\) ;
2. (2)les tours complets \(v^a_\xi = u_{a, \sigma_a \xi}\, u_{a, \xi}\) commutent entre eux, \(\xi\) fixé.

Le groupoïde ainsi présenté est \(S_0\mathcal{T}'_G\). C'est juste, et (2) est même conséquence de (1) : les objets, les générateurs et les carrés (1) sont les cellules de dimension \(0\), \(1\) et \(2\) de la décomposition cellulaire produit du tore \((\mathbb{U})^{\hat A}\) où chaque cercle a deux sommets \(\pm 1\), et le groupoïde fondamental d'un complexe cellulaire ne dépend que de son \(2\)-squelette⁵³ .

En prenant les seules arêtes liées, \(\varepsilon_G = \prod_{a \in A} \varepsilon_a \subset P_G\), on obtient de même \({}_0\mathcal{T}_G\), et le carré commutatif \[ S_0\mathcal{T}'_G \to S\mathcal{T}_{G^\natural}, \qquad {}_0\mathcal{T}_G \to \mathcal{T}_{G^\natural} \] (flèches verticales d'oubli des points marqués). Le lien avec les \(\varepsilon(G)\) des pages 10 à 12 : une orientation de \(\hat{\vec A}_s\) désigne, pour chaque arc en \(s\), l'arc qui le suit, d'où une application \(\varepsilon(G) \to S\varepsilon_G\) compatible à \(\{\pm1\}^S \to \{\pm1\}^{\hat A}\), et un foncteur pleinement fidèle \(S_0\mathcal{T}_G \to S_0\mathcal{T}'_G\)⁵⁴ .

117–124

Dimension modulaire \(1\) (pages 117 à 124)

Tous les sommets sont de genre \(0\) et d'ordre \(3\), sauf un, \(s_0\), qui est de genre \(0\) et d'ordre \(4\), ou de genre \(1\) et d'ordre \(1\). La page traite le premier cas. Soit \(J = \hat{\vec A}_{s_0}\), à quatre éléments ; alors \(M_G \simeq M_{0,J} \simeq \mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\) (après numérotation), et \(M_{0,J} = \mathrm{Rep}(J) \wedge_{\mathfrak{S}_4} M^{!}_{0,4}\), où \(\mathfrak{S}_4\) agit sur \(M^{!}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0,1,\infty\}\) à travers \(\mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_3\), le groupe des permutations des trois partitions de type \((2,2)\)⁵⁵ . Une courbe de type \(G\) équivaut à une droite projective \(Y\) marquée par \(J\).

Les arêtes qui ne touchent pas \(s_0\), \(\hat A_1\), ont leurs torseurs comme en dimension nulle. Celles qui touchent \(s_0\) sont de trois sortes, selon l'arc \(i \in J\) qui les porte : (I) une arête libre en \(s_0\) ; (II) une boucle en \(s_0\), d'où une involution sans point fixe sur la partie \(J_{\mathrm{II}}\) ; (III) une arête de \(s_0\) vers un autre sommet \(s\), d'où, pour chaque \(i \in J_{\mathrm{III}}\), un ensemble à deux éléments \(\tilde J_{\mathrm{III},i} = \hat{\vec A}_s \smallsetminus \{\bar\imath\}\). Avec \(J = J_{\mathrm{I}} \amalg J_{\mathrm{II}} \amalg J_{\mathrm{III}}\), \[ T^Y_{J_{\mathrm{I}}} = \prod_{i \in J_{\mathrm{I}}} T_i, \qquad T^Y_{J_{\mathrm{II}}} = \prod_{\alpha \in J_{\mathrm{II}}/\sigma} \ \bigwedge_{i \text{ sur } \alpha} T_i, \qquad T^Y_{J_{\mathrm{III}}} = \prod_{i \in J_{\mathrm{III}}} T_i \wedge_{\{\pm1\}} \tilde J_{\mathrm{III},i}, \] où \(T_i\) est le torseur tangent de \(Y\) en \(i\) ; ce sont des \(\mathbb{U}\)-torseurs sur \(M_{0,J}\), et \[ SP_G \simeq T_{\hat A_1} \times T_{A_2}, \qquad A_2 = \hat A \smallsetminus \hat A_1 \simeq J_{\mathrm{I}} \amalg J_{\mathrm{II}}/\sigma \amalg J_{\mathrm{III}}, \] \(T_{\hat A_1}\) étant un \(\mathbb{U}^{\hat A_1}\)-torseur constant et \(T_{A_2}\) un \(\mathbb{U}^{A_2}\)-torseur sur \(M_{0,J}\)⁵⁶ .

Les points de base. On les prend au-dessus des points de \(M_{0,J}\) où \((Y, J)\) a plus d'automorphismes que le groupe de Klein d'ordre \(4\) qu'a toute configuration de quatre points : les points de ramification de \(M_{0,J} \to M_{0,J}/\mathfrak{S}_3\), au nombre de cinq⁵⁷ . Il y en a de deux sortes.

a) Les trois configurations harmoniques, où \(J\) est l'ensemble des sommets d'un carré, les automorphismes du carré étant induits par des automorphismes projectifs (groupe d'ordre \(8\)). Une structure de carré \(Q\) sur \(J\) équivaut à une partition de type \((2,2)\), celle des diagonales⁵⁸ . Le groupe des rotations du carré agit simplement transitivement sur \(J\) et identifie les \(T_i\) entre eux ; une orientation \(\omega_Q\) du carré donne en chaque sommet la direction vers le suivant, d'où \(T_i \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm1\}} \omega_Q\), et \[ T^Y_{J_{\mathrm{I}}} = \mathbb{U}^{J_{\mathrm{I}}} \wedge_{\{\pm1\}} \omega_Q \ (\text{diagonalement}), \qquad T^Y_{J_{\mathrm{II}}} \simeq \mathbb{U}^{J_{\mathrm{II}}/\sigma}, \qquad T^Y_{J_{\mathrm{III}}} \simeq \prod_{i \in J_{\mathrm{III}}} \mathbb{U} \wedge_{\{\pm1\}} (\omega_Q \wedge \tilde J_{\mathrm{III},i}), \] le deuxième parce que le produit contracté de deux copies de \(\mathbb{U} \wedge \omega_Q\) est canoniquement \(\mathbb{U}\)⁵⁹ . Si \(J_{\mathrm{I}} \neq \emptyset\), on pose \[ \varepsilon_{G,Q} = \Bigl(\prod_{a \in \hat A_1} \varepsilon_a\Bigr) \times \omega_Q \times \prod_{i \in J_{\mathrm{III}}} (\omega_Q \wedge \tilde J_{\mathrm{III},i}), \] torseur sous \(\gamma_G = \{\pm1\}^{\hat A_1} \times \{\pm1\} \times \{\pm1\}^{J_{\mathrm{III}}}\), qui s'envoie dans \(\mathbb{U}^{\hat A}\) par les inclusions évidentes et, sur le facteur du milieu, diagonalement dans \(\mathbb{U}^{J_{\mathrm{I}}}\) ; et l'on a \(SP^Y_G \simeq \mathbb{U}^{\hat A} \wedge_{\gamma_G} \varepsilon_{G,Q}\) ; si \(J_{\mathrm{I}} = \emptyset\), on omet le facteur \(\omega_Q\)⁶⁰ . Le groupoïde \(S_0\mathcal{T}^Q_G\) est le sous-groupoïde plein du groupoïde fondamental basé en \(\varepsilon_{G,Q}\) ; ses formules explicites par générateurs et relations sont renvoyées à plus tard (« j'y reviendrai »).

b) Les deux configurations équianharmoniques (page 124), où les automorphismes de \((Y, J)\) fixant un point \(i_0\) forment un groupe d'ordre \(3\) (le groupe total, \(\mathfrak{A}_4\), est d'ordre \(12\)). Les permutations circulaires des trois autres points forment un \(\mu_3\)-torseur \(\eta_{i_0}\), et le torseur tangent en \(i_0\) est \(\mathbb{U} \times_{\mu_3} \eta_{i_0}\), par l'inclusion \(\mu_3 \hookrightarrow \mathbb{U}\)⁶¹ . La page s'arrête sur « On ».

125–132

Graphes MD (pages 125 à 132)

La chemise de la page 125 ouvre six pages qui fixent la combinatoire utilisée depuis la page 2.

Le tableau (page 126). Pour chaque type \((g, \nu)\) de petite dimension, les graphes MD du type, reliés par des flèches de spécialisation vers les plus dégénérés, certaines affectées d'une multiplicité (\(2\), \(3\)), et en regard la dimension \(3g - 3 + \nu\) : \(0\) pour \((0,3)\), \(1\) pour \((0,4)\) et \((1,1)\), \(2\) pour \((0,5)\) et \((1,2)\), \(3\) pour \((0,6)\), \((1,3)\) et \((2,0)\), \(4\) pour \((2,1)\), ce dernier inachevé.

Les définitions (pages 127 et 128). Un graphe pondéré est un quintuple \((S, \hat{\vec A}, \mathrm{or}, \sigma, g)\) comme dans les conventions ci-dessus ; la condition de stabilité est \[ (4)\qquad 2g_s + \hat\nu_s \geq 3 \quad \text{pour tout } s \in S, \] soit \(\hat\nu_s \geq 3\) si \(g_s = 0\), \(\hat\nu_s \geq 1\) si \(g_s = 1\), rien si \(g_s \geq 2\). On pose \(\nu(G) = \operatorname{card} I\), l'ordre marqué ; \(c(G) = \operatorname{card} A\), le nombre d'arêtes liées, codimension modulaire ; et le genre virtuel \[ (8)\qquad g = \sum_{s \in S} g_s + h^1(G), \] qui est \(\dim H^1(X, \mathcal{O}_X)\) pour une courbe de type \(G\), \(G\) connexe. La dimension du type est \(3g - 3 + \nu\), et celle de la strate est \[ \delta(G) = \dim M_G = \sum_{s} (3g_s - 3 + \hat\nu_s) = 3g - 3 + \nu - c(G), \] d'où \[ (10)\qquad \delta(G) + c(G) = 3g - 3 + \nu . \] La formule (9) de la page est donc la dimension du type⁶² .

La contraction. Un morphisme \(u : G \to G'\) (que la page appelle homomorphisme de spécialisation, et les pages 103 et 105 de généralisation : une courbe de type \(G\) est une dégénérescence des courbes de type \(G'\)) est un couple \(u_s : S \to S'\), \(u_a : \hat{\vec A} \to \hat{\vec A}' \amalg S'\) tel que \(\vec B = u_a^{-1}(\hat{\vec A}')\) contienne \(I\) et soit stable par \(\sigma\), que \(u_a|_{\vec B}\) commute aux involutions et aux origines, que les arcs contractés \(\vec C = u_a^{-1}(S')\) aillent sur le sommet image de leur origine, que \(S/R \to S'\) et \(\vec B \to \hat{\vec A}'\) soient bijectifs (\(R\) la relation d'équivalence engendrée par les arêtes contractées), et que le genre de \(s'\) soit le genre virtuel du sous-graphe contracté sur \(s'\). Le graphe \(G'\) se déduit alors de \(G\) et de \(C = \vec C/\sigma\) à isomorphisme unique près : \[ S' = \pi_0(G_{0C}), \quad \hat{\vec A}' = \hat{\vec A} \smallsetminus \vec C, \quad \mathrm{or}' = \text{la composée } \hat{\vec A}' \to S \to S', \quad \sigma' = \sigma|, \quad g_{s'} = g(G_{0C,s'}), \] où \(G_{0C}\) est le sous-graphe pondéré de sommets \(S\) et d'arcs \(\vec C\) ; on a \(I \simeq I'\) et \(\pi_0(G) \simeq \pi_0(G')\), avec les mêmes genres virtuels par composante. C'est la contraction des graphes stables d'aujourd'hui, celle qui décrit l'adhérence des strates⁶³ .

Les opérations (pages 130 et 132). 1) Le « décampage » d'arêtes et le recollement d'arêtes libres correspondent à la normalisation partielle et au recollement ; \(S\), les genres et les ordres totaux sont conservés, et \(M_G \simeq M_{G'}\) : c'est ce qui sert à écrire \(M_G\) comme le produit des \(M_{g_s, \hat{\vec A}_s}\) (pages 2 et 10). 2) Les homomorphismes ordinaires de graphes pondérés, compatibles aux genres, et les morphismes \(M_G \to M_{G'}\) qu'ils induisent — ceux de transition entre les \(M_{g,\nu}\)⁶⁴ . 3) Les homomorphismes d'induction \(u : G' \to G\), compatibles aux origines et aux genres, injectifs sur les arcs de chaque sommet, envoyant \(\vec A'\) dans \(\vec A\) en commutant aux involutions, mais sans compatibilité aux extrémités : d'une courbe \(X\) de type \(G\), de normalisée \(\coprod_s \widetilde{X}_s\), on tire une courbe \(X'\) de type \(G'\) en posant \(\widetilde{X}'_{s'} = \widetilde{X}_{u(s')}\), marquée par les arcs de \(s'\), et en recollant selon \(\sigma'\) ; on a un morphisme fini et net (non ramifié) \(X' \to X\), qui envoie \(I'\) dans \(I \amalg \mathrm{Sing}\,X\). Le dossier s'arrête sur la réciproque : « Inversement … un tel morphisme ».