Fonds Grothendieck, cote n° 145, pages 1–20

Feuillets épars : le groupe H, automorphismes à lacets, et un diagramme de B_{\pi,\Gamma}

ce titre est de l'édition. Les pages 1 à 3 sont trois feuillets de papiers différents (papier blanc, papier listing perforé, papier à musique), sans pagination de sa main ; ils ne se suivent pas

~~bien déterminé \overline{D}_{J,\alpha} de \overline{D}_J, cf.~~

\begin{tikzcd} \overline{U}_{J',\alpha'} \arrow[r] \arrow[d] & \overline{U}_{J,\alpha} \arrow[r] \arrow[d] & \overline{U} \arrow[d] \\ U_{J',\alpha'} \arrow[r] & U_{J,\alpha} \arrow[r] & U \end{tikzcd}

la ligne du haut et le diagramme sont barrés de grandes croix

\begin{tikzcd} D = U(\mathbb{C})^{\sim} \arrow[rr] \arrow[dr, "\pi"'] & & \widetilde{U}(\mathbb{C}) \arrow[dl, "\hat\pi"] \\ & U(\mathbb{C}) & \end{tikzcd}

\pi \subset G H = \Bigl\{ u \in G \Bigm| \exists\; \underbrace{\pi' \subset \pi}_{\substack{\text{ss-gr.} \\ \text{d'indice fini}}},\; \underbrace{\pi'' \subset \pi}_{\text{id.}}, iso v : D/\pi' \simeq D/\pi'', avec

\begin{tikzcd} D \arrow[r, "u"] \arrow[d, "p'"'] & D \arrow[d, "p''"] \\ D/\pi' \arrow[r, "\sim"'] & D/\pi'' \end{tikzcd}

commutatif

après \widetilde{U}(\mathbb{C}), un signe biffé. L'accolade fermante de H n'est pas écrite ; un signe « \sim » est porté au centre du carré

NB On aura, pour v, \pi', \pi'', u comme dessus, un iso v_* : \pi' \longrightarrow \pi'' (induit par u on aura d'ailleurs \pi' et \pi'' de même indice dans \pi. u est déterminé par v_*

NB v est connu quand on connaît v_* (cas connexe ), et quand v est connu, on ne connaît u qu'à multiplication : à gauche par un élt de \pi''. \begin{array}{c} \pi \\ \cup \quad \cup \\ \pi' \simeq \pi'' \\ \pi'_i \simeq \pi''_i \end{array}

H est un groupe \supset \pi, et H/\pi (classes à droite) s'identifie à un sous- de l'un des « groupoïdes » d'isom. H-groupoïde d'indice de \pi de indice p'' u = v p', \qquad \struck{p'' u \gamma =}, \qquad p''(\gamma u) = (p''\gamma) u = p'' u = v p' \struck{\pi \subset H} H_n = sous-ens. de H formé des u pour lesquels on peut prendre \pi', \pi'' d'indice n.

H_n est un ss-groupe, et \pi d'indice

la page s'arrête sur ces mots

Les autom. à lacets de \hat\Pi_{0,3} = \hat\pi commutant à \sigma_0, et commutant extérieurement à \rho, sont donnés par \begin{aligned} u(l_1) &= \mathrm{int}(g_1)\, l_1^{p} \\ u(l_\infty) &= \mathrm{int}(\underbrace{\sigma_0(g_1)}_{g_\infty})\, l_\infty^{p} \end{aligned} avec g_1 \in \pi \bmod L_1, \qquad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \quad \text{satisfaisant} la condition (où \beta, \gamma \in \hat{\mathbb{Z}} sont uniquement déterminés par g_1, p) (1) \qquad \boxed{l_\infty^{p}\,.\,\mathrm{int}(h_1)(l_1^{p})\,.\, \mathrm{int}\bigl(h_1\, l_1^{-\gamma}\, \rho^{-1}(h_1)\bigr)(l_0^{p}) = 1} \text{et} \quad (2) \qquad \boxed{\rho(h_1)\bigl(l_\infty^{-\gamma}\, h_1\, l_1^{-\gamma}\bigr)\rho^{-1}(h_1) = l_0^{\beta}} où h_1 = \sigma_0(g_1)^{-1}\, g_1

l'indice de u(l_1) est surchargé ; « à lacets » est un ajout interlinéaire

NB On aura u(l_0) = \mathrm{int}\bigl(g_1\, l_1\, \rho^{-1}(h_1)\bigr).\, l_0^{p}, avec g_0 sous le premier facteur

à près !

NB. On doit \beta \Pi_{0,3}

la première note marginale est écrite en oblique dans l'angle supérieur droit ; les deux autres, dans la marge gauche, ne se lisent que par fragments

La deuxième relation s'écrit aussi h_1\, l_1^{-\gamma}\, \rho^{-1}(h_1) = \struck{l_\infty} l_\infty^{\gamma}\, \rho(h_1)^{-1}\, l_0^{\beta} et en portant dans la première relation celle-ci prend la forme (1') \qquad \boxed{l_\infty^{p}\,.\,\mathrm{int}(h_1)(l_1^{p})\,.\, \mathrm{int}\bigl(l_\infty^{\gamma}\, \rho(h_1)^{-1}\bigr)(l_0^{p}) = 1}

NB Si on change g_1 en g'_1 = g_1\, l_1^{\mu}, h_1 est remplacé par h'_1 = l_\infty^{-\mu}\, h_1\, l_1^{\mu} et la relation (1') donne, avec \mathrm{int}(l_\infty^{-\mu}) : l_\infty^{p}\,.\,\mathrm{int}(\uncertain{h'_1})(l_1^{p})\,.\, \mathrm{int}\bigl(\struck{\ill{}}\; l_\infty^{\gamma - \mu}\, \rho^{-1}(h_1'^{-1})\bigr)(l_0^{p}) = 1 (i.e. \gamma' = \gamma \ill{}) et on a aussi la relation correspondante (2), avec \beta' = \beta.

dans la dernière formule, les exposants de l_\infty et la place de \rho^{-1} sont surchargés ; la parenthèse « (i.e. \gamma' = \gamma \ldots » se termine par un signe gratté

\begin{tikzcd} \pi \arrow[d, "\varphi"'] & \Gamma & B_{\pi,\Gamma} \arrow[d] & B_{\pi} \arrow[l] \arrow[d] & \widetilde{B}_{\pi} \arrow[l] \\ \pi' & \Gamma & B_{\pi',\Gamma} \arrow[d, no head] & B_{\pi'} \arrow[l] \arrow[d] & \\ & & B_{\Gamma} & \widetilde{B}_{\Gamma} \arrow[l] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} B_{\pi,\Gamma} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & B_{\pi,\Gamma_i} \arrow[d, no head] & B_{\pi} \arrow[l] \arrow[d, no head] \\ B_{\pi',\Gamma} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & B_{\pi',\Gamma_i} \arrow[d, no head] & B_{\pi'} \arrow[l] \arrow[d, no head] \\ B_{\Gamma} \arrow[r, no head] & B_{\Gamma_i} \arrow[r, no head] & \widetilde{B}_{\Gamma} \end{tikzcd}

le second diagramme est écrit à droite du premier, en plus petit ; ses traits sont sans flèche sauf les deux horizontales de droite des deux premières lignes

u automorphisme de \pi, compatible avec \varphi

\exists ! u' automorphisme de \pi', compatible avec \varphi,

tel que u'\varphi(g) = \varphi(ug) \forall g \in \pi \struck{u''\varphi} \qquad u'\varphi u^{-1} = \varphi u'\varphi = \varphi u \qquad u'\varphi = v' v'\varphi = \varphi u u'\varphi u^{-1} = \mathrm{int}(g)\, \varphi u u'\varphi = \struck{\varphi u}\; \mathrm{int}(g)\, \varphi(u)

à gauche des deux dernières lignes, un u au-dessus d'un trait vertical

Soit ~~\mathcal{E}~~ \mathcal{E}_{\varphi} = \bigl\{ u \in \mathrm{Aut}(\pi) \bigm| \exists\, u' \in \mathrm{Aut}(\pi')\; \ldots

\begin{tikzcd} \pi \arrow[d, "\varphi"'] & \hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi, I') \arrow[d, "\wr\; \Psi_{I'}"] & 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] \arrow[d, "f_{\pi}"] & \hat{\hat{\mathfrak{S}}}(\pi, I') \arrow[r] \arrow[d, "f_{\hat{\hat{\mathfrak{S}}}}"] & {} \\ \pi' & \hat{\hat{\mathfrak{S}}}(\pi') \arrow[d, "p"] & 1 \arrow[r] & \pi' \arrow[r] & \hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi') \arrow[r] & {} \\ & \hat{\hat{\mathcal{C}}}(\pi') & & & & \end{tikzcd}

sous \hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi'), entre parenthèses : « \simeq \hat{\hat{\mathcal{C}}}(\pi, I') ». Une flèche courbe va de \hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi, I') à \hat{\hat{\mathcal{C}}}(\pi'), marquée « compatible avec \varphi ». Les lettres rondes, surmontées de deux chapeaux, sont mal distinguées l'une de l'autre ; les lectures \mathcal{E}, \mathfrak{S} et \mathcal{C} sont douteuses

toute la page est barrée de deux longs traits obliques

Automorphismes extérieurs des groupes à lacets profinis \hat\Pi = \hat\Pi_{0,3}

ce titre est le sien ; il ouvre la page 4, que coiffent « [C] » et un « ① » cerclé

p. 1 de l'auteur

et structure d'extension de \mathcal{E} = \mathcal{E}_{0,3}

On prend la présentation par les générateurs l_0, l_1, l_\infty liés par l_0\, l_1\, l_\infty = 1 Un endomorphisme de \Pi_{0,3} est donc donné par des éléments l'_0, l'_1, l'_\infty satisfaisant la même relation — sauf erreur ce sera un automorphisme s'ils engendrent \pi (topologiquement).

Soit \rho l'automorphisme défini par la permutation circulaire \rho(l_0) = l_1, \quad \rho(l_1) = l_\infty, \quad \rho(l_\infty) = l_0 (donc aussi \rho^3 = \mathrm{id}). Considérons aussi la transposition ~~On s'intéresse aux~~ \sigma_\infty(l_0) = l_1, \quad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \quad \sigma_\infty(l_\infty) = (l_1 l_0)^{-1} = l_0^{-1} l_1^{-1} \quad \bigl(= \mathrm{int}(l_0^{-1}).\, l_\infty\bigr) on a évidemment \sigma_\infty^2 = \mathrm{id}. On définit de même \sigma_0, \sigma_1 (échangeant l_1 et l_\infty resp. l_\infty et l_0), de sorte que \rho\, \sigma_i\, \rho^{-1} = \sigma_{\rho(i)} en désignant par \rho aussi la permutation circulaire sur 0, 1, \infty. On considère \rho et les \sigma_i comme des éléments du groupe \mathfrak{S}_3 des permutations de l'ens. \{0, 1, \infty\}, qu'on se propose de faire opérer sur \pi, en respectant la structure locale (avec correction multiplicateur 1). On a bien une vraie représentation du ss-groupe \mathfrak{S}_3^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} engendré

par \rho, mais pas de \mathfrak{S}_3, car on a p.ex \sigma_0\sigma_1 \;\bigl(= \sigma_1\sigma_\infty = \sigma_\infty\sigma_0\bigr) = \rho \struck{[\sigma_0, \sigma_1] \ill{}} = \struck{(\sigma_0\sigma_1)^2 = \rho^2} \qquad \text{dans } \mathfrak{S}_3

la seconde ligne est hachurée ; on y devine un commutateur [\sigma_0, \sigma_1] et (\sigma_0\sigma_1)^2 = \rho^2

mais dans \mathrm{Aut}(\pi), ~~\sigma_0\sigma_1~~ \begin{aligned} \sigma_0\sigma_1(l_0) &= \sigma_0(l_\infty) = l_1 = \rho(l_0) \\ \sigma_0\sigma_1(l_1) &= \sigma_0(l_\infty^{-1} l_0^{-1}) = \sigma_0(l_\infty)^{-1}\sigma_0(l_0)^{-1} = l_1^{-1}\,(l_1^{-1} l_\infty^{-1})^{-1} = l_1^{-1}\, l_\infty\, l_1 \\ \sigma_0\sigma_1(l_\infty) &= (l_1^{-1} l_\infty l_1)^{-1}\, l_1^{-1} = l_1^{-1} l_\infty^{-1} \struck{l_1} = l_1^{-1}\,(l_\infty^{-1} l_1^{-1})\, l_1 = l_1^{-1}\, l_0\, l_1 \end{aligned} donc \sigma_0\sigma_1 = \mathrm{int}(l_1^{-1})\,\rho \qquad \text{dans } \mathrm{Aut}(\pi) et de même \sigma_1\sigma_\infty = \mathrm{int}(l_\infty^{-1})\,\rho, \qquad \sigma_\infty\sigma_0 = \mathrm{int}(l_0^{-1})\,\rho

On a une représentation de \mathfrak{S}_3 dans le groupe extérieur à lacets seulement. Notons qu'on ne peut espérer réaliser cette opération extérieure par une vraie opération (en restant pour le groupe discret) vu que \mathfrak{S}_3 opérant sur \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0, 1, \infty\} n'a pas de pt fixe. Le fait qu'on ait pu faire opérer sur \Pi lui-même \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} provient du fait que son action sur \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} - \{0, 1, \infty\} admet un (et même deux !) point fixe, qui peut être pris comme origine pour calculer le \pi_1 , savoir \pm j (racine primitive troisième de 1). Signalons aussi qu'on écrira dans le groupe \Gamma_{0,3} opérant sur \Pi_{0,3} de Teichmüller) la « conjugaison complexe »

les ajouts « sur \Pi lui-même », « savoir \pm j (racine primitive troisième de 1) » et « \Gamma_{0,3} opérant sur \Pi_{0,3} » sont interlinéaires, reliés au texte par des traits ; la parenthèse ouvrante avant « de Teichmüller » manque

p. 2 de l'auteur

\tau, dont l'opération sur \Pi_{0,3} peut se décrire par \tau(l_0) = l_0^{-1}, \qquad \tau(l_1) = l_1^{-1}, \qquad \tau(l_\infty) = l_1\, l_0 = \mathrm{int}(l_1)\, l_\infty^{-1} C'est donc un autom. du groupe à lacets, de multiplicateur -1, satisfaisant \tau^2 = 1

On vérifie qu'il commute à l'action de \mathfrak{S}_3 mod autom. extérieurs — ce qui donne une op. extérieure de \mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\} = \Gamma_{0,3}, qui n'est autre que l'action canonique.

On s'intéresse maintenant aux autom. extérieurs qui commutent à \rho. Notons que tout autom. extérieur provient d'un autom u qui normalise L_0 (= \hat{\mathbb{Z}} engendré par l_0) qui normalise la classe de conj. de l_0 et u est unique mod. conjugaison par un \lambda \in L_0. Si p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} = \chi(u), ~~est~~ est le multiplicateur de u, on aura donc (*) \qquad u(l_0) = l_0^{p} Soit g \in \pi tel que (**) \qquad u\rho = \struck{\rho u}\; \mathrm{int}(g)\, \rho u , ce qui détermine g de façon unique, u étant

« qui normalise la classe de conj. de l_0 » est écrit sous la ligne, en petit, sans marque d'insertion ; « = \chi(u), » est ajouté au-dessus de « p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} »

choisi — si on multiplie remplace u par \mathrm{int}(\lambda)u avec \lambda = l_0^{\alpha} \in L_0 (\alpha \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}), alors g est remplacé par \lambda\, g\, \rho(\lambda)^{-1} = \mathbf{l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}}. Ceci posé,

les relations (*) et (**) déterminent u en termes de p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} et de g \in \pi, par \begin{cases} u(l_0) = l_0^{p} \\ u(l_1) = u\rho(l_0) = \mathrm{int}(g)\,\rho\, \underbrace{u(l_0)}_{l_0^{p}} = \mathrm{int}(g)\, l_1^{p} \\ u(l_\infty) = u\rho(l_1) = \mathrm{int}(g)\, \rho\, \underbrace{u(l_1)} = \mathrm{int}(g)\, \underbrace{\rho\, \mathrm{int}(g)\, \rho^{-1}}_{\mathrm{int}(\rho(g))}\, \underbrace{(\rho\, l_1^{p})}_{l_\infty^{p}} = \struck{\mathrm{int}(g\rho(g))\ill{}} \end{cases} \mathrm{int}\, g\rho(g))\, l_\infty^{p}

sous u(l_1) dans la troisième ligne, l'accolade porte \mathrm{int}(g)\, l_1^{p} ; le résultat biffé en bout de ligne est récrit au-dessus, à droite : \mathrm{int}(g\rho(g))\, l_\infty^{p} — la parenthèse ouvrante manque

NB On sait que automorphismes respectant la structure à lacets multiplicateur p

note oblique de la marge gauche, en regard du système

Il faut vérifier, pour qu'on ait bien un endom. de \pi, la relation l'_0\, l'_1\, l'_\infty = 1 i.e. \boxed{l_0^{p}\,.\,\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}\,.\,\mathrm{int}\bigl(g\rho(g)\bigr)\, l_\infty^{p} = 1} ou encore l_0^{p}\,\bigl(g\, l_1^{p}\, g^{-1}\bigr)\bigl(g\rho(g)\, l_\infty^{p}\, \rho(g)^{-1} g^{-1}\bigr) = 1 i.e. l_0^{p}\, g\, l_1^{p}\, \rho(g)\, l_\infty^{p}\, \rho(g)^{-1}\, g^{-1} = 1 soit encore, en faisant passer le g^{-1} à gauche \struck{l_0^{p}\,.\,\mathrm{int}(g)\bigl(l_1^{p}\,.\,\mathrm{int}(\rho(g))(l_\infty^{p})\bigr) = 1} \mathrm{int}(g^{-1})\, l_0^{p}\,.\, l_1^{p}\,.\,\mathrm{int}(\rho(g))(l_\infty^{p}) = 1

Les relations (*) et (**) sont vérifiées par construction (pour (**), il suffit de la vérifier pour la valeur aux deux arguments l_0, l_1).

« (*) et (**) » : le second signe est surchargé

p. 3 de l'auteur

Mais comment vérifier que (p, g) définissent non seulement un endomorphisme, mais un automorphisme ? Ça semble délicat …

Dans le cas de \tau, on a p = -1, et g = l_1 : \tau\rho = \mathrm{int}(l_1)\, \rho\, \tau

On veut exprimer la commutation de u respectant la structure à lacets, autom. ext.) non seulement à \rho i.e. \mathfrak{S}_3^{+}, mais à \mathfrak{S}_3 tout entier. Il suffit d'exprimer la commutation mod autom. intérieurs à \sigma_\infty, i.e. d'écrire qu'il existe h \in \pi (également unique) tel que u\,\sigma_\infty = \mathrm{int}(h)\, \struck{\ill{}}\, \sigma_\infty\, u , et il suffira de l'exprimer pour les arguments l_0 et l_1. On trouve les conditions \underbrace{u\,\sigma_\infty(l_0)}_{\substack{\| \\ u(l_1) \\ \mathrm{int}(g)\, l_1^{p}}} = \mathrm{int}(h)\, \underbrace{\sigma_\infty(l_0^{p})}_{l_1^{p}} \qquad \text{i.e.} \qquad \mathrm{int}(g^{-1}h)\, l_1^{p} = l_1^{p} \text{i.e.} \qquad g^{-1}h \in L_1 \quad \text{i.e.} \quad h = g\, l_1^{q},\; q \in \hat{\mathbb{Z}} et \underbrace{u\,\sigma_\infty(l_1)}_{l_0} = \mathrm{int}(h)\, \sigma_\infty\, \underbrace{u(l_1)}_{\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}} \qquad \text{i.e.} l_0^{p} = \mathrm{int}\bigl(h\, \sigma_\infty(g)\bigr)\, l_0^{p} \qquad \text{soit} l_0^{p} = \mathrm{int}\bigl(g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g)\bigr)\, l_0^{p} ce qui équivaut à \struck{\mathrm{int}(g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty g)\, L_1 = L_0} \qquad \text{i.e. la condition} \exists\, q \quad \text{tel que} \quad g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g) \in L_0

sous u\sigma_\infty(l_0), un signe = vertical et u(l_1), puis l'accolade \mathrm{int}(g)\, l_1^{p} ; le premier membre est surchargé. Dans la seconde condition, l'accolade sous u\sigma_\infty(l_1) porte l_0, et le premier membre écrit est l_0^{p}

NB Ceci implique qu'il existe \Gamma très sous-groupe extérieur qui

note oblique de la marge gauche, en regard de « \mathfrak{S}_3^{+} »

on aura \exists\, q, r \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \quad \text{tels que} \quad \boxed{g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g) = l_0^{r}} (condition qui ne dépend que de g, pas de p ; si g est remplacé par g' = l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}, on aura \sigma_\infty(g') = l_1^{\alpha}\, \sigma_\infty(g)\, l_0^{-\alpha}, et la relation g'\, l_1^{q'}\, \sigma_\infty(g') = l_0^{r'} s'écrit l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}\, l_1^{q'}\, l_1^{\alpha}\, \sigma_\infty(g)\, l_0^{-\alpha} = l_0^{r'} i.e. en simplifiant g\, l_1^{q'}\, \sigma_\infty(g) = l_0^{r'} donc q = q', r = r' i.e. (q, r) ne dépend que de l'autom. ext. défini par u, et pas du ~~choix~~ des représentants dans le normalisateur de L_0.

la parenthèse ouverte avant « condition » n'est pas refermée

il vaut mieux écrire la relation sous la forme \sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, \struck{\ill{}}\, g\, l_1^{\gamma} (conditions de définition) on trouve (i.e. \beta = r, \gamma = -q) donc \sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, g\, l_1^{\gamma}

la note est écrite en oblique, de bas en haut, dans la marge gauche, en regard des premières lignes de la page

Dans le cas de \tau, où g = l_1, la relation devient l_1\, l_1^{q}\, l_0 = l_0^{r} \qquad \text{donc} \qquad q = -1,\; r = 1 .

On sait que, travaillant avec les groupes discrets, en plus de l'autom. ext. identique, il n'y a qu'une seule autre solution de nos équations (en exigeant des p = \pm 1 et que l_0^{p} et \mathrm{int}(g)\, l_1^{p} engendrent \pi, en plus des relations fondamentales

plus haut, savoir \tau, correspondant à \begin{cases} p = -1, \qquad g = l_0^{\alpha}\, l_1^{\beta} \quad (\alpha + \beta = 1), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{Z}) \\ q = -1, \quad r = 1 \qquad \uncertain{au moins}, \quad \beta = -1 \end{cases}

« savoir \tau » est porté au-dessus d'un passage biffé ; la fin de la seconde ligne du système se lit mal

NB Si on remplace dans les calculs qui précèdent L_0 par L_1, alors g est remplacé par \rho(g), q et r restent inchangés. On trouve ainsi, en plus de la fonction \chi, fonctions \beta, sur le groupe \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{0,3}, \mathfrak{S}_3) \overset{\text{déf}}{=} \Pi, \gamma à valeurs dans \hat{\mathbb{Z}}, et une autre à valeurs dans \pi/\hat{\mathbb{Z}}, en faisant opérer \hat{\mathbb{Z}} sur \pi par une opération \varphi \varphi(\alpha).g = l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}

« lac » est écrit en indice sous « Aut ext » ; au-dessus du premier argument, un \pi et un signe « \| » qui le relient au \hat\pi_{0,3}

L'application (\gamma, \chi) : \Pi \longrightarrow \pi/\hat{\mathbb{Z}} \times \hat{\mathbb{Z}}^{*}, \qquad u \longmapsto (\gamma(u), \chi(u)) est injective, \beta étant défini par \gamma \gamma prend ses valeurs dans les classes des g \in \pi (mod \varphi(\hat{\mathbb{Z}})) satisfaisant une relation

NB \gamma : E_0 \to \pi cocycle sur \Pi (\pi, L_0) 1-cocycle

la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, en regard des trois dernières lignes ; elle ne se lit que par fragments

\sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, g\, l_1^{\beta}.

Ce qui détermine \beta de façon unique en fonction de g.

~~Appliquant la relation fondamentale ug = \mathrm{int}(g)\, \uncertain{\rho}\, u à l_0, on trouve, puisque u(l_0) = l_0, \rho(l_0) = l_1,~~ \struck{u(l_1) = \mathrm{int}(g)(l_1)} ~~et ceci détermine~~ ~~une multiplication à droite par une puissance de l_1, près, le donnée de u~~

ce passage (de « Appliquant » à « le donnée de u ») est barré de deux grandes croix ; « le donnée » est tel quel

On a de plus jolis générateurs de la sous-extension dans \mathrm{Autext}(\pi), de \mathfrak{S}_3 par \pi que les six générateurs l_0, l_1, l_\infty, \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty (donnant \rho par \sigma_0\sigma_1 = l_1\rho par ex. i.e. \rho = \sigma_0\sigma_1 l_1 p. ex.), en introduisant les de ramification dans les pts 0, 1, \infty, qui conjugués : \hat{\mathbb{Z}},

« sous- » et « dans \mathrm{Autext}(\pi), » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; « \mathrm{Autext} » se lit « Aut ext »

On définira donc \varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty par les relations \varepsilon_0^2 = l_0, \quad \varepsilon_1^2 = l_1, \quad \varepsilon_\infty^2 = l_\infty et plus précisément, \varepsilon_i sera l'unique dans le \pi de \sigma_i, et qui fixe l_i et est

comme \mathrm{int}(l_0)\sigma_\infty fixe l_\infty (mais aussi peut-être par avec l_\infty), on doit multiplier à droite par un \mathrm{int}(l_\infty^{\alpha}) (\alpha \in \hat{\mathbb{Z}}).

\struck{\varepsilon_\infty(l_\infty) = l_\infty, \quad \varepsilon_\infty(l_0) = } \varepsilon_\infty = \bigl(\mathrm{int}(l_0)\sigma_\infty\bigr)^{\mathrm{int}(l_\infty^{\alpha})} \quad \text{i.e.} \quad \varepsilon_\infty(l_0) = l_0 l_1 l_0^{-1}, \quad \varepsilon_\infty(l_1) = l_0, \quad \varepsilon_\infty(l_\infty) = l_\infty

« \mathrm{int}(l_\infty^{\alpha}) » est écrit en exposant au-dessus de la parenthèse ; la lecture comme exposant est douteuse. Une accolade relie la ligne biffée qui précède aux lignes suivantes

~~et de même~~ \struck{\varepsilon_0 = \mathrm{int}(l_1)\sigma_0, \qquad \varepsilon_1 = \mathrm{int}(l_\infty)\sigma_1}

On ~~aura~~ Écrivant que g au \mathrm{int}(g) pour g \in \pi, i.e. identifiant \pi à un sous-groupe de \mathrm{Aut}(\pi), on trouve ~~comme \varepsilon_\infty = l_0\sigma_\infty~~ \varepsilon_\infty = l_0\, \sigma_\infty\, l_\infty^{\alpha}. doit écrire \varepsilon_0^2 = l_\infty

la note « doit écrire \varepsilon_0^2 = l_\infty », interlinéaire, remplace un mot biffé ; l'indice 0 se lit mal, et la relation cherchée plus bas est \varepsilon_\infty^2 = l_\infty

\struck{\varepsilon_\infty^2 = l_0\sigma_\infty l_0 \sigma_\infty = l_0 \sigma_\infty l_0 \sigma_\infty^{-1} = l_0\, \sigma_\infty(l_0)} donc \begin{aligned} \varepsilon_\infty^2 &= l_0\, \underbrace{\sigma_\infty\, l_\infty^{\alpha}\, l_0\, \sigma_\infty}\, l_\infty^{\alpha} \\ &= l_0\, \sigma_\infty(l_\infty^{\alpha} l_0)\, l_\infty^{\alpha} = l_0\, (l_0^{-1} l_1^{-1})^{\alpha}\, l_1\, (l_1^{-1} l_0^{-1})^{\alpha} \\ &= \struck{l_0\, \sigma_\infty(l_\infty)\, \sigma_\infty(l_0)^{\alpha-1}\, \sigma_\infty(l_0)\, l_\infty^{\alpha}} \end{aligned} sous la ligne biffée, deux ébauches également biffées : l_0 l_\infty et l_1^{-1} l_0^{-1}

et la relation \varepsilon_\infty^2 = l_\infty s'écrit ainsi, en multipliant par l_0 l_1

\struck{l_0 l_\infty\, \sigma_\infty(l_\infty)^{\alpha-1}\, \sigma_\infty(l_0)\, l_\infty^{\alpha-1} = 1} \struck{\text{i.e.}\quad l_0^{-1} l_1\; l_0^{1-\alpha}\, l_1^{2-\alpha}\, l_\infty^{\alpha} = 1}

ces deux lignes sont barrées de traits obliques ; sous la première, les accolades donnent (l_0^{-1} l_1^{-1})^{\alpha-1} et l_1 pour les deux facteurs soulignés

l_0 l_1 l_0\, (l_0^{-1} l_1^{-1})^{\alpha}\, l_1\, (l_1^{-1} l_0^{-1})^{\alpha} = 1 prenons \alpha = 1 ?

\struck{l_0 l_1 l_0 l_0^{-1} l_1^{-1} l_0^{-1} l_1^{-1} l_1 l_1^{-1} l_0^{-1} l_1 l_0^{-1} = 1 \quad ? \quad \text{Non !}} \struck{l_0 l_1 l_0 l_0^{-1} l_1^{-1} l_1 l_1^{-1} l_0^{-1} = 1} \quad \text{ok}

les deux dernières lignes sont barrées lettre par lettre de traits obliques (la première, en plus, d'un trait horizontal) ; le « ok » qui suit la seconde n'est pas barré, et « donc » enchaîne

donc \begin{cases} \varepsilon_\infty = l_0\, \sigma_\infty\, l_\infty & \bigl(\text{ou encore } \mathrm{int}(l_0)\,\sigma_\infty\, \mathrm{int}(l_\infty)\bigr) \\ \varepsilon_0 = l_1\, \sigma_0\, l_0 \\ \varepsilon_1 = l_\infty\, \sigma_1\, l_1 \end{cases}

donc \varepsilon_0^2 = l_0, \qquad \varepsilon_1^2 = l_1, \qquad \varepsilon_\infty^2 = l_\infty

Ceux qui redonnent les l_i, et aussi les \sigma_i, par en termes des \varepsilon_i \sigma_0 = \varepsilon_0\, \varepsilon_1^2, \qquad \sigma_1 = \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty^2, \qquad \sigma_\infty = \varepsilon_\infty\, \varepsilon_0^2

D'où les relations \begin{cases} \varepsilon_0^2\, \varepsilon_1^2\, \varepsilon_\infty^2 = 1 \\ (\varepsilon_0\, \varepsilon_1^2)^2 = 1 \\ (\varepsilon_1\, \varepsilon_\infty^2)^2 = 1 \\ (\varepsilon_\infty\, \varepsilon_0^2)^2 = 1 \end{cases}

Pour obtenir \rho par \sigma_0 \sigma_1 = l_1^{-1} \rho \qquad \text{donc} \qquad \rho = l_1 \sigma_0 \sigma_1 = \varepsilon_1^2\, \varepsilon_0\, \varepsilon_1^2\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty^2 = \varepsilon_1^2\, \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \underbrace{\varepsilon_1^2\, \varepsilon_\infty^2}_{\varepsilon_0^{-2}} \struck{\rho = \sigma_0\sigma_1 = \sigma_1\sigma_\infty = \sigma_\infty\sigma_0} \qquad\qquad \struck{\varepsilon_0\, \varepsilon_1^3\, \varepsilon_{\ill{}}}

la ligne biffée est suivie, sous son premier membre, d'un signe « \| » et de l'expression \varepsilon_0\varepsilon_1^3\varepsilon_{\ldots}, biffée elle aussi

\begin{aligned} \rho &= \varepsilon_1^2\, \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_0^{-2} \\ &= \varepsilon_\infty^2\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty\, \varepsilon_1^{-2} \\ &= \varepsilon_0^2\, \varepsilon_\infty\, \varepsilon_0\, \varepsilon_\infty^{-2}. \end{aligned} ces relations se déduisent par conjugaison des autres

la remarque marginale est séparée des trois égalités par un trait vertical

Multipliant ~~dans~~ ces relations dans l'ordre inverse et écrivant \rho^3 = 1, on trouve (\varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty)^2 = 1 ce qui est inquiétant, car il n'y a pas d'élément

d'ordre fini dans le groupe discret qu'il fixé par \rho faudrait donc avoir \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty = 1 i.e. en termes des l_i, \sigma_i l_1 \underbrace{\sigma_0\, l_0}\, l_\infty\, \underbrace{\sigma_1\, l_1}\, l_0\, \underbrace{\sigma_\infty\, l_\infty} = 1 \qquad \text{i.e.} \qquad l_\infty^{-1}\, l_0\, l_1^{-1} = 1 \quad \text{ok}

sous les trois accolades : \struck{l_1 \sigma_\infty} ou \struck{l_1^{-1} l_\infty^{-1} \sigma_0} (deux essais, biffés), puis l_\infty^{-1} l_0^{-1} et l_0^{-1} l_1^{-1}. Le « ok » se lit sous la ligne, à droite

On a bien \boxed{\varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty = 1}

On peut en déduire de plus jolies expressions pour les \sigma_i \sigma_0 = \varepsilon_\infty^{-1} \varepsilon_1, \qquad \sigma_1 = \varepsilon_0^{-1} \varepsilon_\infty, \qquad \sigma_\infty = \varepsilon_1^{-1} \varepsilon_0 donc aussi la relation inattendue \sigma_\infty\, \sigma_1\, \sigma_0 = 1

tout ce qui précède, depuis le haut de la page jusqu'à « la relation inattendue \sigma_\infty\sigma_1\sigma_0 = 1 », est barré de deux longs traits obliques

Sans doute \varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_\infty = \uncertain{\sigma_1} \text{i.e.} \qquad \varepsilon_0 = \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty\, \varepsilon_1^{-1}, \qquad \varepsilon_1 = \varepsilon_\infty\, \varepsilon_0\, \varepsilon_\infty^{-1}, \qquad \varepsilon_\infty = \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_0^{-1}

le second membre de « Sans doute » est un signe court, lu \sigma_1 sans conviction ; les trois relations qui suivent sont celles qu'on obtient en supposant que les \varepsilon_i se conjuguent circulairement

Critique des notations

ce titre est de l'édition ; il reprend les premiers mots du paragraphe

Critique des notations et de l'approche. Les éléments l_i, \sigma_i, \varepsilon_i, \rho … sont dans le groupe discret, qu'il faudrait distinguer du groupe profini — de plus il faudrait pour le groupe discret ~~utiliser~~ pour le

profini, dans une certaine mesure !) utiliser le langage géométrique du groupoïde fondamental de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) - \{0, 1, \infty\}. ~~On pose~~ On notera donc \Pi = \Pi_{0,3} le groupe discret \Pi = \pi_1\bigl(\overbrace{\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) - \{0, 1, \infty\}}^{U = U_{0,3}},\, P\bigr) où \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) est muni de la structure de sphère riemannienne orientée unique pour laquelle la rotation \rho d'angle +\frac{2\pi}{3} autour de l'axe P, \overline{P} induit sur (0, 1, \infty) la permutation circulaire 0 \to 1 \to \infty \to 0 (ceci correspond à l'orientation habituelle de la sphère), et où les \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty sont les automorphismes de \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} qui ~~fixent~~ induisent sur (0, 1, \infty) les transpositions fixant resp. 0, 1, \infty, i.e. les symétries ~~rotations~~ autour des axes (0, 2), (1, -1) et (\infty, \frac{1}{2}). Quant à la conjugaison complexe, c'est la symétrie p.r. au plan (0, 1, \infty). On considère \mathfrak{S}_3 comme opérant sur (0, 1, \infty) dans cet ordre, et \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2 comme opérant sur la sphère, via les \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty \in \mathfrak{S}_3 et \tau \in \mathbb{Z}/2. On considère l'extension de \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2 par \Pi, notée \mathcal{E} \mathcal{E}_{0,3} ou, définie par \mathcal{E} = \pi_1\bigl(\underset{\substack{\| \\ U_{0,3}}}{U},\; \underbrace{\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2}_{\Gamma};\; P\bigr)

« de sphère », « orientée », « symétries » et « \mathcal{E}_{0,3} ou » sont des ajouts interlinéaires ; un mot biffé en oblique dans la marge gauche, en regard de « Quant à la conjugaison », ne se lit pas

sur la sphère on a \sigma_0(z) = \frac{-z}{1-z} = \frac{z}{z-1}, \sigma_1(z) = \frac{1}{z}, \sigma_\infty(z) = 1 - z, \rho(z) = \frac{1}{1-z}, \rho^2(z) = 1 - \frac{1}{z}

cette note est écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de « (1,-1) et (\infty, \frac{1}{2}) » et des lignes suivantes

p. 7 de l'auteur

Le groupe fondamental mixte est défini à la Malgoire, ~~correspondant~~ les classes (\gamma, \lambda) d'un \gamma \in \Gamma et d'une classe de chemins l/de P dans \gamma^{-1}(P), en définissant (\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma',\; \gamma'^{-1}(l) \circ l'\bigr) i.e. « composant les chemins comme des fonctions » (c'est la convention pour faire opérer à gauche le groupoïde fondamental sur les fibres d'un rev. étale U'/U, à une classe de chemins l de x à y étant associé l_* : U'_x \to U'_y …)

la classe est notée (\gamma, \lambda) puis (\gamma, l) ; dans la formule, « \gamma\gamma' » est ajouté au-dessus de la première composante

On choisit des éléments \dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty \quad \text{sur} \quad \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty comme les couples d'un \sigma_i, et du chemin/des chemins de P à \overline{P} = \sigma_i P qui se fait sur celui des demi-grands cercles de P à \overline{P}, qui est fixé par la symétrie \tau\sigma_i = \sigma_i\tau (symétrie p.r. au plan passant par P, \overline{P}, a_i (= 0, 1 \ldots \infty) et échangeant les deux autres a_j, a_k), et un pour 1(-1). Désignant par l_0, l_1, l_\infty les lacets par a_i. Désignant par l_0, l_1, l_\infty les lacets en sens direct autour de 0, 1, \infty à partir de P, en allant vers 0, 1, \infty suivant des segments de grands cercles, on trouve (1) \qquad l_\infty\, l_1\, l_0 = 1 (et non l_0 l_1 l_\infty = 1 ! Voir par l'écriture l_0^{-1} l_1^{-1} l_\infty^{-1} = 1) et les relations

le passage de « qui se fait sur » à « a_j, a_k » est très corrigé ; « celui des » est ajouté au-dessus d'un mot biffé. Les mots « pour 1(-1) » sont entre parenthèses en bout de ligne, et la phrase « Désignant par l_0, l_1, l_\infty les lacets … par a_i » est laissée inachevée avant d'être reprise

(2) \qquad \begin{cases} \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = 1 \\ \sigma_0\sigma_1 = \rho\, l_0, \qquad \sigma_1\sigma_\infty = \rho\, l_1, \qquad \sigma_\infty\sigma_0 = \rho\, l_\infty \end{cases}

les seconds membres sont récrits : sous chacun on devine une première écriture biffée, l_0 \rho, l_1\rho et l_\infty\rho, et \rho\, l_0, \rho\, l_1, \rho\, l_\infty sont portés au-dessus ou au-dessous

où \rho au-dessus de \rho, est défini par le chemin direct de P à P. On a donc \begin{cases} \rho\sigma_0\rho^{-1} = \sigma_1 \\ \rho\sigma_1\rho^{-1} = \sigma_\infty \\ \rho\sigma_\infty\rho^{-1} = \sigma_0 \end{cases} \qquad \text{i.e.} \qquad \begin{cases} \rho\sigma_0 = \sigma_1\rho \\ \rho\sigma_1 = \sigma_\infty\rho \\ \rho\sigma_\infty = \sigma_0\rho \end{cases}

NB Comme \sigma_1 = \rho\sigma_0\rho^{-1}, ces relations s'écrivent aussi l_0 = \rho^{-1}\sigma_0\rho\sigma_0\rho^{-1}, = \rho^{-1}[\sigma_0, \rho] — \sigma_0(l_0) = l_0^{-1} l_1^{-1}, \sigma_0(l_1) = l_\infty, \sigma_0(l_\infty) = l_1

la note marginale occupe la marge droite, séparée du texte par un trait vertical ; ses premières lignes sont surchargées et en partie hachurées

On ne voit pas apparaître d'expression de \rho en fonction des \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty seuls — on voit en (utilisant le fait que l_0, l_1, l_\infty \sigma avec les relations fondamentales (1) sont une présentation de \Pi, que \rho doit s'exprimer en fonction des l_i, \rho puissance (\sigma_0\sigma_1)^3 (p. ex.) \struck{\rho = l_0 l_1 l_\infty} ~~\sigma_i^2 = 1~~, il faudrait que \rho soit produit de termes \sigma_i pris deux consécutifs et \sigma ~~abstraitement \sigma_0\sigma_1\sigma_0 =~~,

le passage de « on voit » à « il faudrait » est barré d'une série de traits obliques ; « deux consécutifs » est souligné

\begin{cases} \dot\sigma_0^2 = \dot\sigma_1^2 = \dot\sigma_\infty^2 = 1 \\ \dot\sigma_0\dot\sigma_1 = \dot\sigma_1\dot\sigma_\infty = \dot\sigma_\infty\dot\sigma_0 = \dot\rho \\ \dot\rho^3 = 1 \end{cases} en est une présentation de \mathfrak{S}_3), que les symétries des relations (1)(2) et autres \rho^3 = 1 donnent une présentation de l'image inverse de \mathfrak{S}_3 dans \mathcal{E} (ou dans \widehat{\mathcal{E}}, au pt de vue profini).

C'est faux (+) comme on voit relations \rho = 1, \sigma_0\rho(\uncertain{?}) = \ill{}

la note marginale est écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche ; elle ne se lit que par fragments. Le signe (+) renvoie peut-être à la dernière phrase

(8) \qquad \begin{cases} \varepsilon_0 = l_0^{\ill{}}\, \sigma_0\, l_1^{\ill{}} \\ \varepsilon_1 = l_1^{\ill{}}\, \sigma_1\, l_\infty^{\ill{}} \\ \varepsilon_\infty = l_\infty\, \sigma_\infty\, l_0^{\ill{}} \end{cases} \qquad\qquad \text{NB} \quad \rho\,\varepsilon_i\,\rho^{-1} = \varepsilon_{\rho(i)} \quad \text{i.e.} \quad \begin{cases} \rho\varepsilon_0\rho^{-1} = \varepsilon_1 \\ \rho\varepsilon_1\rho^{-1} = \varepsilon_\infty \\ \rho\varepsilon_\infty\rho^{-1} = \varepsilon_0 \end{cases}

dans (8), les lettres et les indices sont repassés à l'encre épaisse et chaque l porte en exposant un petit signe surchargé qui ne se lit pas

On a bien \varepsilon_0^2 = l_0\, \underbrace{\sigma_0\, l_1\, l_0\, \sigma_0}\, l_1 = l_0\, l_\infty\, l_\infty^{-1}\, l_1^{-1}\, l_1 = l_0 \qquad \text{ok} \sigma_0(l_1 l_0) = \sigma_0(l_1)\, \sigma_0(l_0) = l_\infty\, (l_1 l_\infty)^{-1} = l_1^{-1}

le second facteur l_0 et le dernier l_1 de la première ligne sont surchargés

NB Les \varepsilon_i ici sont les \varepsilon_i^{-1} de tantôt ! ~~qu'il faudrait noter \varepsilon'_i …~~)

Ceci dit, on a une présentation de \mathcal{E}^{+} par générateurs et relations, l_0, l_1, l_\infty, \varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty, \rho ~~de \mathcal{E}^{+}~~, les relations \begin{cases} l_\infty\, l_1\, l_0 = 1 \\ \varepsilon_0^2 = l_0, \quad \varepsilon_1^2 = l_1, \quad \varepsilon_\infty^2 = l_\infty \\ \varepsilon_0\varepsilon_1 = \rho(\ldots), \quad \varepsilon_1\varepsilon_\infty = \ldots, \quad \varepsilon_\infty\varepsilon_0 = \ldots, \quad \rho^3 = 1 \end{cases} où il faut compléter l'expression de \varepsilon_0\varepsilon_1 etc comme produit de \rho par des expressions en les l_i. ~~\varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\sigma l_1~~

\varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\sigma_0 l_1\, l_1\sigma_1 l_\infty = l_0\, \underbrace{\sigma_0\, l_1^2\, \sigma_0^{-1}}_{l_\infty^2}\, \underbrace{\sigma_0\sigma_1}_{\rho\, l_0}\, l_\infty = l_0\, l_\infty^2\, \rho\, l_0\, l_\infty

donc finalement (9) \qquad \begin{cases} \varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\, l_\infty^2\, \rho\, l_0\, l_\infty \\ \varepsilon_1\varepsilon_\infty = l_1\, l_0^2\, \rho\, l_1\, l_0 \\ \varepsilon_\infty\varepsilon_0 = l_\infty\, l_1^2\, \rho\, l_\infty\, l_1 \end{cases}

dans (9), les \rho sont écrits sur d'autres lettres, et le premier membre de la première ligne est repassé

Éliminant les l_i comme \varepsilon_i^2, on trouve des gén. \varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty, \rho, une relation de définition

p. 8 de l'auteur

Il revient au même de dire que \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty, \rho sont des générateurs, avec relations de définition \begin{aligned} &(4) \qquad \overbrace{(\rho^{-1}\sigma_\infty\sigma_0 \struck{\ill{}})}^{l_\infty}\, \overbrace{(\rho^{-1}\sigma_1\sigma_\infty \struck{\ill{}})}^{l_1}\, \overbrace{(\rho^{-1}\sigma_0\sigma_1 \struck{\ill{}})}^{l_0} = 1 \\ &(5) \qquad \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = 1 \\ &(6) \qquad \rho^3 = 1. \end{aligned}

NB \sigma_0(l_0) = l_\infty^{-1} l_1^{-1}, \sigma_0(l_1) = l_\infty, \sigma_0(l_\infty) = l_1 , et itou pour \sigma_1, \sigma_\infty

NB Si on y fait de plus \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty = 1, on trouve comme relation de définition \rho^3 = 1, sans plus, ce qui prouve aussi que \rho n'est pas p.r. aux \sigma_i …

l'ajout « de plus » est écrit au-dessus de « \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty » ; « = 1 » est en bout de formule

Tout ceci est compatible avec les relations des listes, ~~dans ces dernières, on par , et qu'on interprète l'_i = l_i^{-1}, \sigma'_i = \sigma_{\rho(i)}~~ ~~i.e. \sigma_i~~ si on y remplace les l_i par les l_i^{-1}.

Ceci dit, comme \sigma_i = \sigma^{-1}_{\uncertain{\rho(i)}} (7) \qquad \begin{cases} \mathrm{int}(\sigma_i) : \text{échange } l_j \text{ et } l_k \quad (i, j, k \text{ distincts}) \\ \mathrm{int}(\rho)\, l_i = l_{\rho(i)} \end{cases} ~~(et l_{\rho(i)}, déduit par (1))~~

« (i, j, k distincts) » est porté au-dessus d'un passage biffé ; le « comme \sigma_i = \ldots » qui introduit (7) est mal lu

On voudrait maintenant expliciter les \varepsilon_i \text{avec} \qquad \varepsilon_i^2 = l_i \quad (i = 0, 1, \infty), \varepsilon_i étant dans un générateur des automorphismes (ou normalisateurs, c'est à dire) des L_i dans \mathcal{E}^{+} (ou le normalisateur dans \mathcal{E}). Les calculs faits plus haut, avec les relations inexactes, donnant \struck{(8) \quad \begin{cases} \varepsilon_0 = l_0^{\ill{}}\, \sigma_1\, l_{\ill{}}^{\ill{}} \\ \varepsilon_1 = l_\infty^{-1}\, \sigma_\infty\, l_1^{-1} \\ \varepsilon_\infty = l_0^{-1}\, \sigma_0\, l_\infty \end{cases}}

ce premier (8) est barré ; la page 18 le récrit

Il faut ajouter la relation (4) \rho\sigma_0\rho^{-1} = \sigma_1 relations (5) Noter (7) l_0 = \ill{}, l_1 = \ill{}, l_\infty = l_0^{\ill{}} l_1, \mathrm{int}(\sigma_0) l_1 = l_\infty^{\ill{}}, \mathrm{int}(\sigma_0) l_\infty = l_1^{\ill{}}

la marge gauche de la page est couverte, en oblique, de calculs serrés et en partie hachurés, dont seuls ces fragments se lisent

Donc aussi les relations (13) \qquad \begin{cases} \tilde\sigma_0^2 = \tilde\sigma_1^2 = \tilde\sigma_\infty^2 = 1 \\ \tilde\sigma_0\tilde\sigma_1 = \tilde\sigma_1\tilde\sigma_\infty = \tilde\sigma_\infty\tilde\sigma_0 = \rho\, \struck{(\ill{})} \\ (\rho^3 = 1 \text{ est conséquence des précédentes}) \end{cases} et l'image inverse \widetilde{\Sigma} de \varphi(\mathfrak{S}_3) = \Gamma (ss-groupe diédral 2) est produit ½ direct de \mathfrak{S}_3 et de \Pi. Il faut expliciter les opérations des \tilde\sigma_i sur \Pi pour avoir la structure complète du groupe, on trouve pour \tilde\sigma_i ci-dessus \varphi(\tilde\sigma_i) i.e. la symétrie p.r. au plan (P, \overline{P}, a_i), qui transforme les lacets l_0^{-1}, l_1 en l_\infty^{-1} : (14) \qquad \begin{cases} \tilde\sigma_0\, l_0\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_0^{-1} \qquad \tilde\sigma_0\, l_1\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_\infty^{-1} \qquad \tilde\sigma_0\, l_\infty\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_1^{-1} \\ \tilde\sigma_1\, l_1\, \tilde\sigma_1^{-1} = l_1^{-1} \qquad \ldots \\ \ldots \end{cases}

la phrase « qui transforme les lacets … » est surchargée et se lit mal avant les deux points ; (14) la remplace

Les relations (13) (14), plus la relation fondamentale l_\infty l_1 l_0 = 1 (1), forment une présentation de \widetilde{\Sigma}, dont on peut (si on veut) éliminer \rho, se contentant d'écrire la relation qui le définit)

On peut maintenant revenir à nos trois , \sigma par (15) \qquad \begin{cases} \tau_0 = \sigma_0\tilde\sigma_0 = \tilde\sigma_0\sigma_0 \\ \tau_1 = \sigma_1\tilde\sigma_1 = \tilde\sigma_1\sigma_1 \\ \tau_\infty = \sigma_\infty\tilde\sigma_\infty = \tilde\sigma_\infty\sigma_\infty \end{cases} \qquad \text{donc} \qquad (16) \qquad \begin{cases} \tau_0^2 = 1 \\ \tau_1^2 = 1 \\ \tau_\infty^2 = 1 \end{cases}

NB \rho\tilde\sigma_i\rho^{-1} = \tilde\sigma_{\rho(i)} i.e. \rho\tilde\sigma_0\rho^{-1} = \tilde\sigma_1 \rho\tilde\sigma_\infty\rho^{-1} = \tilde\sigma_0

ce sont elles transport de structure des (\overline{P}, P)

Critique \tilde\sigma_0 s-groupe il vaut mieux écrire \tilde\sigma_0 plusieurs

la marge gauche porte, en oblique, trois notes de sa main ; seuls ces fragments se lisent