Cote n° 145 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Printemps 81 (vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1981
Édition de démonstration

Feuillets épars : le groupe \(H\), automorphismes à lacets, et un diagramme de \(B_{\pi,\Gamma}\)

ce titre est de l'édition. Les pages 1 à 3 sont trois feuillets de papiers différents (papier blanc, papier listing perforé, papier à musique), sans pagination de sa main ; ils ne se suivent pas

1

bien déterminé […] \(\overline{D}_{J,\alpha}\) de \(\overline{D}_J\), cf. […]

\begin{tikzcd}
\overline{U}_{J',\alpha'} \arrow[r] \arrow[d] & \overline{U}_{J,\alpha} \arrow[r] \arrow[d] & \overline{U} \arrow[d] \\
U_{J',\alpha'} \arrow[r] & U_{J,\alpha} \arrow[r] & U
\end{tikzcd}

la ligne du haut et le diagramme sont barrés de grandes croix

\begin{tikzcd}
D = U(\mathbb{C})^{\sim} \arrow[rr] \arrow[dr, "\pi"'] & & \widetilde{U}(\mathbb{C}) \arrow[dl, "\hat\pi"] \\
 & U(\mathbb{C}) &
\end{tikzcd}

\[ \pi \subset G \] \[ H = \Bigl\{ u \in G \Bigm| \exists\; \underbrace{\pi' \subset \pi}_{\substack{\text{ss-gr.} \\ \text{d'indice fini}}},\; \underbrace{\pi'' \subset \pi}_{\text{id.}}, \] iso \(v : D/\pi' \simeq D/\pi''\), avec

\begin{tikzcd}
D \arrow[r, "u"] \arrow[d, "p'"'] & D \arrow[d, "p''"] \\
D/\pi' \arrow[r, "\sim"'] & D/\pi''
\end{tikzcd}

commutatif

après \(\widetilde{U}(\mathbb{C})\), un signe biffé. L'accolade fermante de \(H\) n'est pas écrite ; un signe « \(\sim\) » est porté au centre du carré

NB On aura, pour \(v\), \(\pi'\), \(\pi''\), \(u\) comme dessus, un iso \[ v_* : \pi' \longrightarrow \pi'' \] (induit par \(u\) on aura d'ailleurs \(\pi'\) et \(\pi''\) de même indice dans \(\pi\). \(u\) est déterminé par \(v_*\)

NB \(v\) est connu quand on connaît \(v_*\) (cas connexe […]), et quand \(v\) est connu, on ne connaît […] \(u\) qu'à […] multiplication : à gauche par un élt de \(\pi''\). \[ \begin{array}{c} \pi \\ \cup \quad \cup \\ \pi' \simeq \pi'' \\ \pi'_i \simeq \pi''_i \end{array} \]

\(H\) est un groupe \(\supset \pi\), et \(H/\pi\) (classes à droite) s'identifie à un sous-[…] de l'un des « groupoïdes » d'isom. […] H-groupoïde d'indice […] de \(\pi\) de […] indice \[ p'' u = v p', \qquad \struck{p'' u \gamma =}, \qquad p''(\gamma u) = (p''\gamma) u = p'' u = v p' \] \[ \struck{\pi \subset H} \] \(H_n\) = sous-ens. de \(H\) formé des \(u\) pour lesquels on peut prendre \(\pi'\), \(\pi''\) d'indice \(n\).

\(H_n\) est un ss-groupe, et \(\pi\) d'indice

la page s'arrête sur ces mots

2

Les autom. [à lacets] de \(\hat\Pi_{0,3} = \hat\pi\) commutant […] à \(\sigma_0\), et commutant extérieurement à \(\rho\), sont donnés par \[ \begin{aligned} u(l_1) &= \mathrm{int}(g_1)\, l_1^{p} \\ u(l_\infty) &= \mathrm{int}(\underbrace{\sigma_0(g_1)}_{g_\infty})\, l_\infty^{p} \end{aligned} \] avec \[ g_1 \in \pi \bmod L_1, \qquad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \quad \text{satisfaisant} \] la condition (où \(\beta, \gamma \in \hat{\mathbb{Z}}\) sont uniquement déterminés par \(g_1, p\)) \[ (1) \qquad \boxed{l_\infty^{p}\,.\,\mathrm{int}(h_1)(l_1^{p})\,.\, \mathrm{int}\bigl(h_1\, l_1^{-\gamma}\, \rho^{-1}(h_1)\bigr)(l_0^{p}) = 1} \] \[ \text{et} \quad (2) \qquad \boxed{\rho(h_1)\bigl(l_\infty^{-\gamma}\, h_1\, l_1^{-\gamma}\bigr)\rho^{-1}(h_1) = l_0^{\beta}} \] où \[ h_1 = \sigma_0(g_1)^{-1}\, g_1 \]

l'indice de \(u(l_1)\) est surchargé ; « à lacets » est un ajout interlinéaire

NB On aura \(u(l_0) = \mathrm{int}\bigl(g_1\, l_1\, \rho^{-1}(h_1)\bigr).\, l_0^{p}\), avec \(g_0\) sous le premier facteur

[…] à […] près ! […]

NB. On doit […] […] \(\beta\) […] \(\Pi_{0,3}\) […]

la première note marginale est écrite en oblique dans l'angle supérieur droit ; les deux autres, dans la marge gauche, ne se lisent que par fragments

La deuxième relation s'écrit aussi \[ h_1\, l_1^{-\gamma}\, \rho^{-1}(h_1) = \struck{l_\infty} l_\infty^{\gamma}\, \rho(h_1)^{-1}\, l_0^{\beta} \] et en portant dans la première relation celle-ci prend la forme \[ (1') \qquad \boxed{l_\infty^{p}\,.\,\mathrm{int}(h_1)(l_1^{p})\,.\, \mathrm{int}\bigl(l_\infty^{\gamma}\, \rho(h_1)^{-1}\bigr)(l_0^{p}) = 1} \]

NB Si on change \(g_1\) en \(g'_1 = g_1\, l_1^{\mu}\), \(h_1\) est remplacé par \[ h'_1 = l_\infty^{-\mu}\, h_1\, l_1^{\mu} \] et la relation (1') donne, avec \(\mathrm{int}(l_\infty^{-\mu})\) : \[ l_\infty^{p}\,.\,\mathrm{int}(\uncertain{h'_1})(l_1^{p})\,.\, \mathrm{int}\bigl(\struck{\ill{}}\; l_\infty^{\gamma - \mu}\, \rho^{-1}(h_1'^{-1})\bigr)(l_0^{p}) = 1 \] (i.e. \(\gamma' = \gamma \ill{}\)) et on a aussi la relation correspondante (2), avec \(\beta' = \beta\).

dans la dernière formule, les exposants de \(l_\infty\) et la place de \(\rho^{-1}\) sont surchargés ; la parenthèse « (i.e. \(\gamma' = \gamma \ldots\) » se termine par un signe gratté

3

\begin{tikzcd}
\pi \arrow[d, "\varphi"'] & \Gamma & B_{\pi,\Gamma} \arrow[d] & B_{\pi} \arrow[l] \arrow[d] & \widetilde{B}_{\pi} \arrow[l] \\
\pi' & \Gamma & B_{\pi',\Gamma} \arrow[d, no head] & B_{\pi'} \arrow[l] \arrow[d] & \\
 & & B_{\Gamma} & \widetilde{B}_{\Gamma} \arrow[l] &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
B_{\pi,\Gamma} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & B_{\pi,\Gamma_i} \arrow[d, no head] & B_{\pi} \arrow[l] \arrow[d, no head] \\
B_{\pi',\Gamma} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & B_{\pi',\Gamma_i} \arrow[d, no head] & B_{\pi'} \arrow[l] \arrow[d, no head] \\
B_{\Gamma} \arrow[r, no head] & B_{\Gamma_i} \arrow[r, no head] & \widetilde{B}_{\Gamma}
\end{tikzcd}

le second diagramme est écrit à droite du premier, en plus petit ; ses traits sont sans flèche sauf les deux horizontales de droite des deux premières lignes

\(u\) automorphisme de \(\pi\), compatible avec \(\varphi\)

\(\exists !\) \(u'\) automorphisme de \(\pi'\), compatible avec \(\varphi\),

tel que \(u'\varphi(g) = \varphi(ug)\) \(\forall g \in \pi\) \[ \struck{u''\varphi} \qquad u'\varphi u^{-1} = \varphi \] \[ u'\varphi = \varphi u \qquad u'\varphi = v' \] \[ v'\varphi = \varphi u \] \[ u'\varphi u^{-1} = \mathrm{int}(g)\, \varphi u \] \[ u'\varphi = \struck{\varphi u}\; \mathrm{int}(g)\, \varphi(u) \]

à gauche des deux dernières lignes, un \(u\) au-dessus d'un trait vertical

Soit \(\mathcal{E}\) \[ \mathcal{E}_{\varphi} = \bigl\{ u \in \mathrm{Aut}(\pi) \bigm| \exists\, u' \in \mathrm{Aut}(\pi')\; \ldots \]

\begin{tikzcd}
\pi \arrow[d, "\varphi"'] & \hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi, I') \arrow[d, "\wr\; \Psi_{I'}"] & 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] \arrow[d, "f_{\pi}"] & \hat{\hat{\mathfrak{S}}}(\pi, I') \arrow[r] \arrow[d, "f_{\hat{\hat{\mathfrak{S}}}}"] & {} \\
\pi' & \hat{\hat{\mathfrak{S}}}(\pi') \arrow[d, "p"] & 1 \arrow[r] & \pi' \arrow[r] & \hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi') \arrow[r] & {} \\
 & \hat{\hat{\mathcal{C}}}(\pi') & & & &
\end{tikzcd}

sous \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi')\), entre parenthèses : « \(\simeq \hat{\hat{\mathcal{C}}}(\pi, I')\) ». Une flèche courbe va de \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}(\pi, I')\) à \(\hat{\hat{\mathcal{C}}}(\pi')\), marquée « compatible avec \(\varphi\) ». Les lettres rondes, surmontées de deux chapeaux, sont mal distinguées l'une de l'autre ; les lectures \(\mathcal{E}\), \(\mathfrak{S}\) et \(\mathcal{C}\) sont douteuses

toute la page est barrée de deux longs traits obliques

Automorphismes extérieurs des groupes à lacets profinis \(\hat\Pi = \hat\Pi_{0,3}\)

ce titre est le sien ; il ouvre la page 4, que coiffent « [C] » et un « ① » cerclé

4p. 1 de l'auteur

et structure d'extension de \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_{0,3}\)

On prend la présentation par les générateurs \(l_0, l_1, l_\infty\) liés par \[ l_0\, l_1\, l_\infty = 1 \] Un endomorphisme de \(\Pi_{0,3}\) est donc donné par des éléments \(l'_0, l'_1, l'_\infty\) satisfaisant la même relation — sauf erreur ce sera un automorphisme s'ils engendrent \(\pi\) (topologiquement).

Soit \(\rho\) l'automorphisme défini par la permutation circulaire \[ \rho(l_0) = l_1, \quad \rho(l_1) = l_\infty, \quad \rho(l_\infty) = l_0 \] (donc aussi \(\rho^3 = \mathrm{id}\)). Considérons aussi la transposition On s'intéresse aux \[ \sigma_\infty(l_0) = l_1, \quad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \quad \sigma_\infty(l_\infty) = (l_1 l_0)^{-1} = l_0^{-1} l_1^{-1} \quad \bigl(= \mathrm{int}(l_0^{-1}).\, l_\infty\bigr) \] on a évidemment \(\sigma_\infty^2 = \mathrm{id}\). On définit de même \(\sigma_0\), \(\sigma_1\) (échangeant \(l_1\) et \(l_\infty\) resp. \(l_\infty\) et \(l_0\)), de sorte que \[ \rho\, \sigma_i\, \rho^{-1} = \sigma_{\rho(i)} \] en désignant par \(\rho\) aussi la permutation circulaire sur \(0, 1, \infty\). On considère \(\rho\) et les \(\sigma_i\) comme des éléments du groupe \(\mathfrak{S}_3\) des permutations de l'ens. \(\{0, 1, \infty\}\), qu'on se propose de faire opérer sur \(\pi\), en respectant la structure locale (avec correction multiplicateur 1). On a bien une vraie représentation du ss-groupe \(\mathfrak{S}_3^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) engendré

5

par \(\rho\), mais pas de \(\mathfrak{S}_3\), car on a p.ex \[ \sigma_0\sigma_1 \;\bigl(= \sigma_1\sigma_\infty = \sigma_\infty\sigma_0\bigr) = \rho \] \[ \struck{[\sigma_0, \sigma_1] \ill{}} = \struck{(\sigma_0\sigma_1)^2 = \rho^2} \qquad \text{dans } \mathfrak{S}_3 \]

la seconde ligne est hachurée ; on y devine un commutateur \([\sigma_0, \sigma_1]\) et \((\sigma_0\sigma_1)^2 = \rho^2\)

mais dans \(\mathrm{Aut}(\pi)\), \(\sigma_0\sigma_1\) \[ \begin{aligned} \sigma_0\sigma_1(l_0) &= \sigma_0(l_\infty) = l_1 = \rho(l_0) \\ \sigma_0\sigma_1(l_1) &= \sigma_0(l_\infty^{-1} l_0^{-1}) = \sigma_0(l_\infty)^{-1}\sigma_0(l_0)^{-1} = l_1^{-1}\,(l_1^{-1} l_\infty^{-1})^{-1} = l_1^{-1}\, l_\infty\, l_1 \\ \sigma_0\sigma_1(l_\infty) &= (l_1^{-1} l_\infty l_1)^{-1}\, l_1^{-1} = l_1^{-1} l_\infty^{-1} \struck{l_1} = l_1^{-1}\,(l_\infty^{-1} l_1^{-1})\, l_1 = l_1^{-1}\, l_0\, l_1 \end{aligned} \] donc \[ \sigma_0\sigma_1 = \mathrm{int}(l_1^{-1})\,\rho \qquad \text{dans } \mathrm{Aut}(\pi) \] et de même \[ \sigma_1\sigma_\infty = \mathrm{int}(l_\infty^{-1})\,\rho, \qquad \sigma_\infty\sigma_0 = \mathrm{int}(l_0^{-1})\,\rho \]

On a une représentation de \(\mathfrak{S}_3\) dans le groupe extérieur à lacets seulement. Notons qu'on ne peut espérer réaliser cette opération extérieure par une vraie opération (en restant pour le groupe discret) vu que \(\mathfrak{S}_3\) opérant sur \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0, 1, \infty\}\) n'a pas de pt fixe. Le fait qu'on ait pu faire opérer sur \(\Pi\) lui-même \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) provient du fait que son action sur \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} - \{0, 1, \infty\}\) admet un (et même deux !) point fixe, qui peut être […] pris comme origine pour calculer le \(\pi_1\) , savoir \(\pm j\) (racine primitive troisième de 1). Signalons aussi qu'on écrira dans le groupe \(\Gamma_{0,3}\) opérant sur \(\Pi_{0,3}\) de Teichmüller) la « conjugaison complexe »

les ajouts « sur \(\Pi\) lui-même », « savoir \(\pm j\) (racine primitive troisième de 1) » et « \(\Gamma_{0,3}\) opérant sur \(\Pi_{0,3}\) » sont interlinéaires, reliés au texte par des traits ; la parenthèse ouvrante avant « de Teichmüller » manque

6p. 2 de l'auteur

\(\tau\), dont l'opération sur \(\Pi_{0,3}\) peut se décrire par \[ \tau(l_0) = l_0^{-1}, \qquad \tau(l_1) = l_1^{-1}, \qquad \tau(l_\infty) = l_1\, l_0 = \mathrm{int}(l_1)\, l_\infty^{-1} \] C'est donc un autom. du groupe à lacets, de multiplicateur \(-1\), satisfaisant \[ \tau^2 = 1 \]

On vérifie qu'il commute à l'action de \(\mathfrak{S}_3\) mod autom. extérieurs — ce qui donne une op. extérieure de \(\mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\} = \Gamma_{0,3}\), qui n'est autre que l'action canonique.

On s'intéresse maintenant aux autom. extérieurs qui commutent à \(\rho\). Notons que tout autom. extérieur provient d'un autom \(u\) qui normalise \(L_0\) (\(= \hat{\mathbb{Z}}\) engendré par \(l_0\)) qui normalise la classe de conj. de \(l_0\) et \(u\) est unique mod. conjugaison par un \(\lambda \in L_0\). Si \(p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\) \(= \chi(u)\), est est le multiplicateur de \(u\), on aura donc \[ (*) \qquad u(l_0) = l_0^{p} \] Soit \(g \in \pi\) tel que \[ (**) \qquad u\rho = \struck{\rho u}\; \mathrm{int}(g)\, \rho u , \] ce qui détermine \(g\) de façon unique, u étant […]

« qui normalise la classe de conj. de \(l_0\) » est écrit sous la ligne, en petit, sans marque d'insertion ; « \(= \chi(u)\), » est ajouté au-dessus de « \(p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\) »

7

choisi — si on multiplie remplace \(u\) par \(\mathrm{int}(\lambda)u\) avec \(\lambda = l_0^{\alpha} \in L_0\) \((\alpha \in \hat{\mathbb{Z}}^{*})\), alors \(g\) est remplacé par \[ \lambda\, g\, \rho(\lambda)^{-1} = \mathbf{l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}}. \] Ceci posé,

les relations \((*)\) et \((**)\) déterminent \(u\) en termes de \(p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\) et de \(g \in \pi\), par \[ \begin{cases} u(l_0) = l_0^{p} \\ u(l_1) = u\rho(l_0) = \mathrm{int}(g)\,\rho\, \underbrace{u(l_0)}_{l_0^{p}} = \mathrm{int}(g)\, l_1^{p} \\ u(l_\infty) = u\rho(l_1) = \mathrm{int}(g)\, \rho\, \underbrace{u(l_1)} = \mathrm{int}(g)\, \underbrace{\rho\, \mathrm{int}(g)\, \rho^{-1}}_{\mathrm{int}(\rho(g))}\, \underbrace{(\rho\, l_1^{p})}_{l_\infty^{p}} = \struck{\mathrm{int}(g\rho(g))\ill{}} \end{cases} \] \(\mathrm{int}\, g\rho(g))\, l_\infty^{p}\)

sous \(u(l_1)\) dans la troisième ligne, l'accolade porte \(\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}\) ; le résultat biffé en bout de ligne est récrit au-dessus, à droite : \(\mathrm{int}(g\rho(g))\, l_\infty^{p}\) — la parenthèse ouvrante manque

NB On sait que […] automorphismes […] respectant la structure […] à lacets […] multiplicateur \(p\)

note oblique de la marge gauche, en regard du système

Il faut vérifier, pour qu'on ait bien un endom. de \(\pi\), la relation \(l'_0\, l'_1\, l'_\infty = 1\) i.e. \[ \boxed{l_0^{p}\,.\,\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}\,.\,\mathrm{int}\bigl(g\rho(g)\bigr)\, l_\infty^{p} = 1} \] ou encore \[ l_0^{p}\,\bigl(g\, l_1^{p}\, g^{-1}\bigr)\bigl(g\rho(g)\, l_\infty^{p}\, \rho(g)^{-1} g^{-1}\bigr) = 1 \] i.e. \[ l_0^{p}\, g\, l_1^{p}\, \rho(g)\, l_\infty^{p}\, \rho(g)^{-1}\, g^{-1} = 1 \] soit encore, en faisant passer le \(g^{-1}\) à gauche \[ \struck{l_0^{p}\,.\,\mathrm{int}(g)\bigl(l_1^{p}\,.\,\mathrm{int}(\rho(g))(l_\infty^{p})\bigr) = 1} \] \[ \mathrm{int}(g^{-1})\, l_0^{p}\,.\, l_1^{p}\,.\,\mathrm{int}(\rho(g))(l_\infty^{p}) = 1 \]

Les relations \((*)\) et \((**)\) sont vérifiées par construction (pour \((**)\), il suffit […] de la vérifier pour la valeur aux deux arguments \(l_0, l_1\)).

« \((*)\) et \((**)\) » : le second signe est surchargé

8p. 3 de l'auteur

Mais comment vérifier que \((p, g)\) définissent non seulement un endomorphisme, mais un automorphisme ? Ça semble délicat …

Dans le cas de \(\tau\), on a \(p = -1\), et \(g = l_1\) : \[ \tau\rho = \mathrm{int}(l_1)\, \rho\, \tau \]

On veut exprimer la commutation de \(u\) respectant la structure à lacets, […] autom. ext.) non seulement à \(\rho\) i.e. \(\mathfrak{S}_3^{+}\), mais à \(\mathfrak{S}_3\) tout entier. Il suffit d'exprimer la commutation mod autom. intérieurs à \(\sigma_\infty\), i.e. d'écrire qu'il existe \(h \in \pi\) (également unique) tel que \[ u\,\sigma_\infty = \mathrm{int}(h)\, \struck{\ill{}}\, \sigma_\infty\, u , \] et il suffira de l'exprimer pour les arguments \(l_0\) et \(l_1\). On trouve les conditions \[ \underbrace{u\,\sigma_\infty(l_0)}_{\substack{\| \\ u(l_1) \\ \mathrm{int}(g)\, l_1^{p}}} = \mathrm{int}(h)\, \underbrace{\sigma_\infty(l_0^{p})}_{l_1^{p}} \qquad \text{i.e.} \qquad \mathrm{int}(g^{-1}h)\, l_1^{p} = l_1^{p} \] \[ \text{i.e.} \qquad g^{-1}h \in L_1 \quad \text{i.e.} \quad h = g\, l_1^{q},\; q \in \hat{\mathbb{Z}} \] et \[ \underbrace{u\,\sigma_\infty(l_1)}_{l_0} = \mathrm{int}(h)\, \sigma_\infty\, \underbrace{u(l_1)}_{\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}} \qquad \text{i.e.} \] \[ l_0^{p} = \mathrm{int}\bigl(h\, \sigma_\infty(g)\bigr)\, l_0^{p} \qquad \text{soit} \] \[ l_0^{p} = \mathrm{int}\bigl(g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g)\bigr)\, l_0^{p} \] ce qui équivaut à \[ \struck{\mathrm{int}(g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty g)\, L_1 = L_0} \qquad \text{i.e. la condition} \] \[ \exists\, q \quad \text{tel que} \quad g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g) \in L_0 \]

sous \(u\sigma_\infty(l_0)\), un signe \(=\) vertical et \(u(l_1)\), puis l'accolade \(\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}\) ; le premier membre est surchargé. Dans la seconde condition, l'accolade sous \(u\sigma_\infty(l_1)\) porte \(l_0\), et le premier membre écrit est \(l_0^{p}\)

NB Ceci implique qu'il existe […] […] \(\Gamma\) […] très […] […] sous-groupe extérieur […] qui […]

note oblique de la marge gauche, en regard de « \(\mathfrak{S}_3^{+}\) »

9

on aura \[ \exists\, q, r \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \quad \text{tels que} \quad \boxed{g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g) = l_0^{r}} \] (condition qui ne dépend que de \(g\), pas de \(p\) ; si \(g\) est remplacé par \(g' = l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}\), on aura \[ \sigma_\infty(g') = l_1^{\alpha}\, \sigma_\infty(g)\, l_0^{-\alpha}, \] et la relation \[ g'\, l_1^{q'}\, \sigma_\infty(g') = l_0^{r'} \] s'écrit \[ l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}\, l_1^{q'}\, l_1^{\alpha}\, \sigma_\infty(g)\, l_0^{-\alpha} = l_0^{r'} \] i.e. en simplifiant \[ g\, l_1^{q'}\, \sigma_\infty(g) = l_0^{r'} \] donc \(q = q'\), \(r = r'\) i.e. \((q, r)\) ne dépend que de l'autom. ext. défini par \(u\), et pas du choix des représentants dans le normalisateur de \(L_0\).

la parenthèse ouverte avant « condition » n'est pas refermée

il vaut mieux écrire la relation sous la forme \(\sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, \struck{\ill{}}\, g\, l_1^{\gamma}\) (conditions de définition) […] on trouve […] […] (i.e. \(\beta = r\), \(\gamma = -q\)) donc \(\sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, g\, l_1^{\gamma}\)

la note est écrite en oblique, de bas en haut, dans la marge gauche, en regard des premières lignes de la page

Dans le cas de \(\tau\), où \(g = l_1\), la relation devient \[ l_1\, l_1^{q}\, l_0 = l_0^{r} \qquad \text{donc} \qquad q = -1,\; r = 1 . \]

On sait que, travaillant avec les groupes discrets, en plus de l'autom. ext. identique, il n'y a qu'une seule autre solution de nos équations (en exigeant des \(p = \pm 1\) et que \(l_0^{p}\) et \(\mathrm{int}(g)\, l_1^{p}\) engendrent \(\pi\), en plus des relations fondamentales

10plus haut, […] savoir \(\tau\), correspondant […] à \[ \begin{cases} p = -1, \qquad g = l_0^{\alpha}\, l_1^{\beta} \quad (\alpha + \beta = 1), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{Z}) \\ q = -1, \quad r = 1 \qquad \uncertain{au moins}, \quad \beta = -1 \end{cases} \]

« savoir \(\tau\) » est porté au-dessus d'un passage biffé ; la fin de la seconde ligne du système se lit mal

NB Si on remplace dans les calculs qui précèdent \(L_0\) par \(L_1\), alors \(g\) est remplacé par \(\rho(g)\), \(q\) et \(r\) restent inchangés. On trouve ainsi, en plus de la fonction \(\chi\), […] […] fonctions […] \(\beta\), sur le groupe \[ \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{0,3}, \mathfrak{S}_3) \overset{\text{déf}}{=} \Pi, \] […] \(\gamma\) à valeurs dans \(\hat{\mathbb{Z}}\), et une autre à valeurs dans \(\pi/\hat{\mathbb{Z}}\), en faisant opérer \(\hat{\mathbb{Z}}\) sur \(\pi\) par une opération \(\varphi\) \[ \varphi(\alpha).g = l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha} \]

« lac » est écrit en indice sous « Aut ext » ; au-dessus du premier argument, un \(\pi\) et un signe « \(\|\) » qui le relient au \(\hat\pi_{0,3}\)

L'application \[ (\gamma, \chi) : \Pi \longrightarrow \pi/\hat{\mathbb{Z}} \times \hat{\mathbb{Z}}^{*}, \qquad u \longmapsto (\gamma(u), \chi(u)) \] est injective, […] \(\beta\) étant défini par \(\gamma\) […] \(\gamma\) prend ses valeurs dans les classes des \(g \in \pi\) (mod \(\varphi(\hat{\mathbb{Z}})\)) satisfaisant une relation

NB \(\gamma : E_0 \to \pi\) […] cocycle sur \(\Pi\) […] \((\pi, L_0)\) […] 1-cocycle […]

la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, en regard des trois dernières lignes ; elle ne se lit que par fragments

11

\[ \sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, g\, l_1^{\beta}. \]

Ce qui détermine \(\beta\) de façon unique en fonction de \(g\).

Appliquant la relation fondamentale \(ug = \mathrm{int}(g)\, \uncertain{\rho}\, u\) à \(l_0\), on trouve, puisque \(u(l_0) = l_0\), \(\rho(l_0) = l_1\), \[ \struck{u(l_1) = \mathrm{int}(g)(l_1)} \] et ceci détermine […] […] une multiplication à droite par une puissance de \(l_1\), près, le donnée de \(u\)

ce passage (de « Appliquant » à « le donnée de \(u\) ») est barré de deux grandes croix ; « le donnée » est tel quel

On a de plus jolis générateurs de [la] sous-extension dans \(\mathrm{Autext}(\pi)\), de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\pi\) que les six générateurs \(l_0, l_1, l_\infty, \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\) (donnant \(\rho\) par \(\sigma_0\sigma_1 = l_1\rho\) par ex. i.e. \(\rho = \sigma_0\sigma_1 l_1\) p. ex.), en introduisant les […] de ramification dans les pts \(0, 1, \infty\), qui […] conjugués […] : \(\hat{\mathbb{Z}}\),

« sous- » et « dans \(\mathrm{Autext}(\pi)\), » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; « \(\mathrm{Autext}\) » se lit « Aut ext »

On définira donc \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty\) par les relations \[ \varepsilon_0^2 = l_0, \quad \varepsilon_1^2 = l_1, \quad \varepsilon_\infty^2 = l_\infty \] et plus précisément, \(\varepsilon_i\) sera l'unique […] […] dans le […] \(\pi\) de \(\sigma_i\), et qui fixe \(l_i\) et est […]

12

comme \(\mathrm{int}(l_0)\sigma_\infty\) fixe \(l_\infty\) (mais aussi peut-être par […] avec \(l_\infty\)), on doit […] multiplier à droite par un \(\mathrm{int}(l_\infty^{\alpha})\) \((\alpha \in \hat{\mathbb{Z}})\).

\[ \struck{\varepsilon_\infty(l_\infty) = l_\infty, \quad \varepsilon_\infty(l_0) = } \] \[ \varepsilon_\infty = \bigl(\mathrm{int}(l_0)\sigma_\infty\bigr)^{\mathrm{int}(l_\infty^{\alpha})} \quad \text{i.e.} \quad \varepsilon_\infty(l_0) = l_0 l_1 l_0^{-1}, \quad \varepsilon_\infty(l_1) = l_0, \quad \varepsilon_\infty(l_\infty) = l_\infty \]

« \(\mathrm{int}(l_\infty^{\alpha})\) » est écrit en exposant au-dessus de la parenthèse ; la lecture comme exposant est douteuse. Une accolade relie la ligne biffée qui précède aux lignes suivantes

et de même \[ \struck{\varepsilon_0 = \mathrm{int}(l_1)\sigma_0, \qquad \varepsilon_1 = \mathrm{int}(l_\infty)\sigma_1} \]

On aura […] Écrivant que \(g\) […] au \(\mathrm{int}(g)\) pour \(g \in \pi\), i.e. identifiant \(\pi\) à un sous-groupe de \(\mathrm{Aut}(\pi)\), on trouve comme \(\varepsilon_\infty = l_0\sigma_\infty\) \[ \varepsilon_\infty = l_0\, \sigma_\infty\, l_\infty^{\alpha}. \] doit écrire \(\varepsilon_0^2 = l_\infty\) […]

la note « doit écrire \(\varepsilon_0^2 = l_\infty\) », interlinéaire, remplace un mot biffé ; l'indice \(0\) se lit mal, et la relation cherchée plus bas est \(\varepsilon_\infty^2 = l_\infty\)

\[ \struck{\varepsilon_\infty^2 = l_0\sigma_\infty l_0 \sigma_\infty = l_0 \sigma_\infty l_0 \sigma_\infty^{-1} = l_0\, \sigma_\infty(l_0)} \] donc \[ \begin{aligned} \varepsilon_\infty^2 &= l_0\, \underbrace{\sigma_\infty\, l_\infty^{\alpha}\, l_0\, \sigma_\infty}\, l_\infty^{\alpha} \\ &= l_0\, \sigma_\infty(l_\infty^{\alpha} l_0)\, l_\infty^{\alpha} = l_0\, (l_0^{-1} l_1^{-1})^{\alpha}\, l_1\, (l_1^{-1} l_0^{-1})^{\alpha} \\ &= \struck{l_0\, \sigma_\infty(l_\infty)\, \sigma_\infty(l_0)^{\alpha-1}\, \sigma_\infty(l_0)\, l_\infty^{\alpha}} \end{aligned} \] sous la ligne biffée, deux ébauches également biffées : \(l_0 l_\infty\) et \(l_1^{-1} l_0^{-1}\)

et la relation \(\varepsilon_\infty^2 = l_\infty\) s'écrit ainsi, en multipliant par \(l_0 l_1\)

\[ \struck{l_0 l_\infty\, \sigma_\infty(l_\infty)^{\alpha-1}\, \sigma_\infty(l_0)\, l_\infty^{\alpha-1} = 1} \] \[ \struck{\text{i.e.}\quad l_0^{-1} l_1\; l_0^{1-\alpha}\, l_1^{2-\alpha}\, l_\infty^{\alpha} = 1} \]

ces deux lignes sont barrées de traits obliques ; sous la première, les accolades donnent \((l_0^{-1} l_1^{-1})^{\alpha-1}\) et \(l_1\) pour les deux facteurs soulignés

\[ l_0 l_1 l_0\, (l_0^{-1} l_1^{-1})^{\alpha}\, l_1\, (l_1^{-1} l_0^{-1})^{\alpha} = 1 \] prenons \(\alpha = 1\) ?

\[ \struck{l_0 l_1 l_0 l_0^{-1} l_1^{-1} l_0^{-1} l_1^{-1} l_1 l_1^{-1} l_0^{-1} l_1 l_0^{-1} = 1 \quad ? \quad \text{Non !}} \] \[ \struck{l_0 l_1 l_0 l_0^{-1} l_1^{-1} l_1 l_1^{-1} l_0^{-1} = 1} \quad \text{ok} \]

les deux dernières lignes sont barrées lettre par lettre de traits obliques (la première, en plus, d'un trait horizontal) ; le « ok » qui suit la seconde n'est pas barré, et « donc » enchaîne

donc \[ \begin{cases} \varepsilon_\infty = l_0\, \sigma_\infty\, l_\infty & \bigl(\text{ou encore } \mathrm{int}(l_0)\,\sigma_\infty\, \mathrm{int}(l_\infty)\bigr) \\ \varepsilon_0 = l_1\, \sigma_0\, l_0 \\ \varepsilon_1 = l_\infty\, \sigma_1\, l_1 \end{cases} \]

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donc \[ \varepsilon_0^2 = l_0, \qquad \varepsilon_1^2 = l_1, \qquad \varepsilon_\infty^2 = l_\infty \]

Ceux qui redonnent les \(l_i\), et aussi les \(\sigma_i\), par en termes des \(\varepsilon_i\) \[ \sigma_0 = \varepsilon_0\, \varepsilon_1^2, \qquad \sigma_1 = \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty^2, \qquad \sigma_\infty = \varepsilon_\infty\, \varepsilon_0^2 \]

D'où les relations \[ \begin{cases} \varepsilon_0^2\, \varepsilon_1^2\, \varepsilon_\infty^2 = 1 \\ (\varepsilon_0\, \varepsilon_1^2)^2 = 1 \\ (\varepsilon_1\, \varepsilon_\infty^2)^2 = 1 \\ (\varepsilon_\infty\, \varepsilon_0^2)^2 = 1 \end{cases} \]

Pour obtenir \(\rho\) […] par \[ \sigma_0 \sigma_1 = l_1^{-1} \rho \qquad \text{donc} \qquad \rho = l_1 \sigma_0 \sigma_1 = \varepsilon_1^2\, \varepsilon_0\, \varepsilon_1^2\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty^2 = \varepsilon_1^2\, \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \underbrace{\varepsilon_1^2\, \varepsilon_\infty^2}_{\varepsilon_0^{-2}} \] \[ \struck{\rho = \sigma_0\sigma_1 = \sigma_1\sigma_\infty = \sigma_\infty\sigma_0} \qquad\qquad \struck{\varepsilon_0\, \varepsilon_1^3\, \varepsilon_{\ill{}}} \]

la ligne biffée est suivie, sous son premier membre, d'un signe « \(\|\) » et de l'expression \(\varepsilon_0\varepsilon_1^3\varepsilon_{\ldots}\), biffée elle aussi

\[ \begin{aligned} \rho &= \varepsilon_1^2\, \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_0^{-2} \\ &= \varepsilon_\infty^2\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty\, \varepsilon_1^{-2} \\ &= \varepsilon_0^2\, \varepsilon_\infty\, \varepsilon_0\, \varepsilon_\infty^{-2}. \end{aligned} \] ces relations se déduisent […] par conjugaison des autres

la remarque marginale est séparée des trois égalités par un trait vertical

Multipliant dans ces relations dans l'ordre inverse et écrivant \(\rho^3 = 1\), on trouve \[ (\varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty)^2 = 1 \] ce qui est inquiétant, car il n'y a pas d'élément

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d'ordre fini dans le groupe discret […] qu'il […] fixé par \(\rho\) faudrait donc avoir \[ \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty = 1 \] i.e. en termes des \(l_i\), \(\sigma_i\) \[ l_1 \underbrace{\sigma_0\, l_0}\, l_\infty\, \underbrace{\sigma_1\, l_1}\, l_0\, \underbrace{\sigma_\infty\, l_\infty} = 1 \qquad \text{i.e.} \qquad l_\infty^{-1}\, l_0\, l_1^{-1} = 1 \quad \text{ok} \]

sous les trois accolades : \(\struck{l_1 \sigma_\infty}\) ou \(\struck{l_1^{-1} l_\infty^{-1} \sigma_0}\) (deux essais, biffés), puis \(l_\infty^{-1} l_0^{-1}\) et \(l_0^{-1} l_1^{-1}\). Le « ok » se lit sous la ligne, à droite

On a bien \[ \boxed{\varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty = 1} \]

On peut en déduire de plus jolies expressions pour les \(\sigma_i\) \[ \sigma_0 = \varepsilon_\infty^{-1} \varepsilon_1, \qquad \sigma_1 = \varepsilon_0^{-1} \varepsilon_\infty, \qquad \sigma_\infty = \varepsilon_1^{-1} \varepsilon_0 \] donc aussi la relation inattendue \[ \sigma_\infty\, \sigma_1\, \sigma_0 = 1 \]

tout ce qui précède, depuis le haut de la page jusqu'à « la relation inattendue \(\sigma_\infty\sigma_1\sigma_0 = 1\) », est barré de deux longs traits obliques

Sans doute \(\varepsilon_0 \varepsilon_1 \varepsilon_\infty = \uncertain{\sigma_1}\) \[ \text{i.e.} \qquad \varepsilon_0 = \varepsilon_1\, \varepsilon_\infty\, \varepsilon_1^{-1}, \qquad \varepsilon_1 = \varepsilon_\infty\, \varepsilon_0\, \varepsilon_\infty^{-1}, \qquad \varepsilon_\infty = \varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_0^{-1} \]

le second membre de « Sans doute » est un signe court, lu \(\sigma_1\) sans conviction ; les trois relations qui suivent sont celles qu'on obtient en supposant que les \(\varepsilon_i\) se conjuguent circulairement

Critique des notations

ce titre est de l'édition ; il reprend les premiers mots du paragraphe

Critique des notations et de l'approche. Les éléments \(l_i\), \(\sigma_i\), \(\varepsilon_i\), \(\rho\) … sont dans le groupe discret, qu'il faudrait distinguer du groupe profini — de plus il faudrait pour le groupe discret utiliser […] pour le

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profini, dans une certaine mesure !) utiliser le langage géométrique du groupoïde fondamental de \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) - \{0, 1, \infty\}\). On pose On notera donc \(\Pi = \Pi_{0,3}\) le groupe discret \[ \Pi = \pi_1\bigl(\overbrace{\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) - \{0, 1, \infty\}}^{U = U_{0,3}},\, P\bigr) \] où \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) est muni de la structure de sphère riemannienne orientée unique pour laquelle la rotation \(\rho\) d'angle \(+\frac{2\pi}{3}\) autour de l'axe \(P, \overline{P}\) […] induit sur \((0, 1, \infty)\) la permutation circulaire \(0 \to 1 \to \infty \to 0\) (ceci correspond à l'orientation habituelle de la sphère), et où les \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\) […] sont les automorphismes […] de \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\) qui […] fixent induisent sur \((0, 1, \infty)\) les transpositions fixant resp. \(0, 1, \infty\), i.e. les symétries rotations autour des axes \((0, 2)\), \((1, -1)\) et \((\infty, \frac{1}{2})\). Quant à la conjugaison complexe, c'est la symétrie p.r. au plan \((0, 1, \infty)\). On considère \(\mathfrak{S}_3\) comme opérant sur \((0, 1, \infty)\) dans cet ordre, et \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) comme opérant sur la sphère, via les \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty \in \mathfrak{S}_3\) et \(\tau \in \mathbb{Z}/2\). On considère l'extension […] de \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) par \(\Pi\), notée \(\mathcal{E}\) \(\mathcal{E}_{0,3}\) ou, définie par \[ \mathcal{E} = \pi_1\bigl(\underset{\substack{\| \\ U_{0,3}}}{U},\; \underbrace{\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2}_{\Gamma};\; P\bigr) \]

« de sphère », « orientée », « symétries » et « \(\mathcal{E}_{0,3}\) ou » sont des ajouts interlinéaires ; un mot biffé en oblique dans la marge gauche, en regard de « Quant à la conjugaison », ne se lit pas

sur la sphère on a \(\sigma_0(z) = \frac{-z}{1-z} = \frac{z}{z-1}\), \(\sigma_1(z) = \frac{1}{z}\), \(\sigma_\infty(z) = 1 - z\), \(\rho(z) = \frac{1}{1-z}\), \(\rho^2(z) = 1 - \frac{1}{z}\)

cette note est écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de « \((1,-1)\) et \((\infty, \frac{1}{2})\) » et des lignes suivantes

16p. 7 de l'auteur

Le groupe fondamental mixte est défini à la Malgoire, correspondant les classes \((\gamma, \lambda)\) d'un \(\gamma \in \Gamma\) et d'une classe de chemins \(l\)/de \(P\) dans \(\gamma^{-1}(P)\), en définissant \[ (\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma',\; \gamma'^{-1}(l) \circ l'\bigr) \] i.e. « composant les chemins comme des fonctions » (c'est la convention pour faire opérer à gauche le groupoïde fondamental sur les fibres d'un rev. étale \(U'/U\), à une classe de chemins \(l\) de \(x\) à \(y\) étant associé \(l_* : U'_x \to U'_y\) …)

la classe est notée \((\gamma, \lambda)\) puis \((\gamma, l)\) ; dans la formule, « \(\gamma\gamma'\) » est ajouté au-dessus de la première composante

On choisit des éléments \[ \dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty \quad \text{sur} \quad \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty \] comme les couples d'un \(\sigma_i\), et du chemin/des chemins de \(P\) à \(\overline{P} = \sigma_i P\) qui se fait sur […] celui des demi-grands cercles de \(P\) à \(\overline{P}\), […] qui est fixé par la symétrie \(\tau\sigma_i = \sigma_i\tau\) (symétrie p.r. au plan passant par \(P, \overline{P}, a_i\) \((= 0, 1 \ldots \infty)\) et échangeant les deux autres \(a_j, a_k\)), et un […] pour \(1(-1)\). […] Désignant par \(l_0, l_1, l_\infty\) les lacets […] par \(a_i\). Désignant par \(l_0, l_1, l_\infty\) les lacets en sens direct autour de \(0, 1, \infty\) à partir de \(P\), en allant vers \(0, 1, \infty\) suivant des segments de grands cercles, on trouve \[ (1) \qquad l_\infty\, l_1\, l_0 = 1 \] (et non \(l_0 l_1 l_\infty = 1\) ! Voir par l'écriture \(l_0^{-1} l_1^{-1} l_\infty^{-1} = 1\)) et les relations

le passage de « qui se fait sur » à « \(a_j, a_k\) » est très corrigé ; « celui des » est ajouté au-dessus d'un mot biffé. Les mots « pour \(1(-1)\) » sont entre parenthèses en bout de ligne, et la phrase « Désignant par \(l_0, l_1, l_\infty\) les lacets … par \(a_i\) » est laissée inachevée avant d'être reprise

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\[ (2) \qquad \begin{cases} \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = 1 \\ \sigma_0\sigma_1 = \rho\, l_0, \qquad \sigma_1\sigma_\infty = \rho\, l_1, \qquad \sigma_\infty\sigma_0 = \rho\, l_\infty \end{cases} \]

les seconds membres sont récrits : sous chacun on devine une première écriture biffée, \(l_0 \rho\), \(l_1\rho\) et \(l_\infty\rho\), et \(\rho\, l_0\), \(\rho\, l_1\), \(\rho\, l_\infty\) sont portés au-dessus ou au-dessous

où \(\rho\) au-dessus de \(\rho\), est défini par le chemin direct de \(P\) à \(P\). On a donc \[ \begin{cases} \rho\sigma_0\rho^{-1} = \sigma_1 \\ \rho\sigma_1\rho^{-1} = \sigma_\infty \\ \rho\sigma_\infty\rho^{-1} = \sigma_0 \end{cases} \qquad \text{i.e.} \qquad \begin{cases} \rho\sigma_0 = \sigma_1\rho \\ \rho\sigma_1 = \sigma_\infty\rho \\ \rho\sigma_\infty = \sigma_0\rho \end{cases} \]

NB Comme \(\sigma_1 = \rho\sigma_0\rho^{-1}\), ces relations s'écrivent aussi […] \(l_0 = \rho^{-1}\sigma_0\rho\sigma_0\rho^{-1}\), […] \(= \rho^{-1}[\sigma_0, \rho]\) […] — \(\sigma_0(l_0) = l_0^{-1} l_1^{-1}\), \(\sigma_0(l_1) = l_\infty\), \(\sigma_0(l_\infty) = l_1\)

la note marginale occupe la marge droite, séparée du texte par un trait vertical ; ses premières lignes sont surchargées et en partie hachurées

On ne voit pas apparaître d'expression de \(\rho\) en fonction des \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\) seuls — on voit en […] (utilisant le fait que \(l_0, l_1, l_\infty\) […] \(\sigma\) […] avec les relations fondamentales (1) sont une présentation de \(\Pi\), que \(\rho\) doit s'exprimer en fonction des \(l_i\), \(\rho\) puissance […] \((\sigma_0\sigma_1)^3\) (p. ex.) \[ \struck{\rho = l_0 l_1 l_\infty} \] […] \(\sigma_i^2 = 1\), il faudrait que \(\rho\) soit produit de termes \(\sigma_i\) pris deux consécutifs et \(\sigma\) abstraitement […] \(\sigma_0\sigma_1\sigma_0 =\),

le passage de « on voit » à « il faudrait » est barré d'une série de traits obliques ; « deux consécutifs » est souligné

\[ \begin{cases} \dot\sigma_0^2 = \dot\sigma_1^2 = \dot\sigma_\infty^2 = 1 \\ \dot\sigma_0\dot\sigma_1 = \dot\sigma_1\dot\sigma_\infty = \dot\sigma_\infty\dot\sigma_0 = \dot\rho \\ \dot\rho^3 = 1 \end{cases} \] […] en […] est une présentation de \(\mathfrak{S}_3\)), que les symétries des relations (1)(2) et autres \[ \rho^3 = 1 \] donnent une présentation de l'image inverse de \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\mathcal{E}\) (ou dans \(\widehat{\mathcal{E}}\), au pt de vue profini).

C'est faux (+) comme on voit […] […] relations […] \(\rho = 1\), […] \(\sigma_0\rho(\uncertain{?}) = \ill{}\)

la note marginale est écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche ; elle ne se lit que par fragments. Le signe (+) renvoie peut-être à la dernière phrase

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\[ (8) \qquad \begin{cases} \varepsilon_0 = l_0^{\ill{}}\, \sigma_0\, l_1^{\ill{}} \\ \varepsilon_1 = l_1^{\ill{}}\, \sigma_1\, l_\infty^{\ill{}} \\ \varepsilon_\infty = l_\infty\, \sigma_\infty\, l_0^{\ill{}} \end{cases} \qquad\qquad \text{NB} \quad \rho\,\varepsilon_i\,\rho^{-1} = \varepsilon_{\rho(i)} \quad \text{i.e.} \quad \begin{cases} \rho\varepsilon_0\rho^{-1} = \varepsilon_1 \\ \rho\varepsilon_1\rho^{-1} = \varepsilon_\infty \\ \rho\varepsilon_\infty\rho^{-1} = \varepsilon_0 \end{cases} \]

dans (8), les lettres et les indices sont repassés à l'encre épaisse et chaque \(l\) porte en exposant un petit signe surchargé qui ne se lit pas

On a bien \[ \varepsilon_0^2 = l_0\, \underbrace{\sigma_0\, l_1\, l_0\, \sigma_0}\, l_1 = l_0\, l_\infty\, l_\infty^{-1}\, l_1^{-1}\, l_1 = l_0 \qquad \text{ok} \] \[ \sigma_0(l_1 l_0) = \sigma_0(l_1)\, \sigma_0(l_0) = l_\infty\, (l_1 l_\infty)^{-1} = l_1^{-1} \]

le second facteur \(l_0\) et le dernier \(l_1\) de la première ligne sont surchargés

NB Les \(\varepsilon_i\) ici sont les \(\varepsilon_i^{-1}\) de tantôt ! qu'il faudrait […] noter \(\varepsilon'_i\) …)

Ceci dit, on a une présentation de \(\mathcal{E}^{+}\) par générateurs et relations, \(l_0, l_1, l_\infty, \varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty, \rho\) de \(\mathcal{E}^{+}\), les relations \[ \begin{cases} l_\infty\, l_1\, l_0 = 1 \\ \varepsilon_0^2 = l_0, \quad \varepsilon_1^2 = l_1, \quad \varepsilon_\infty^2 = l_\infty \\ \varepsilon_0\varepsilon_1 = \rho(\ldots), \quad \varepsilon_1\varepsilon_\infty = \ldots, \quad \varepsilon_\infty\varepsilon_0 = \ldots, \quad \rho^3 = 1 \end{cases} \] où il faut compléter l'expression de \(\varepsilon_0\varepsilon_1\) etc comme produit de \(\rho\) par des expressions en les \(l_i\). \(\varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\sigma l_1\)

\[ \varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\sigma_0 l_1\, l_1\sigma_1 l_\infty = l_0\, \underbrace{\sigma_0\, l_1^2\, \sigma_0^{-1}}_{l_\infty^2}\, \underbrace{\sigma_0\sigma_1}_{\rho\, l_0}\, l_\infty = l_0\, l_\infty^2\, \rho\, l_0\, l_\infty \]

donc finalement \[ (9) \qquad \begin{cases} \varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\, l_\infty^2\, \rho\, l_0\, l_\infty \\ \varepsilon_1\varepsilon_\infty = l_1\, l_0^2\, \rho\, l_1\, l_0 \\ \varepsilon_\infty\varepsilon_0 = l_\infty\, l_1^2\, \rho\, l_\infty\, l_1 \end{cases} \]

dans (9), les \(\rho\) sont écrits sur d'autres lettres, et le premier membre de la première ligne est repassé

Éliminant les \(l_i\) comme \(\varepsilon_i^2\), on trouve des gén. \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty, \rho\), une relation de définition

19p. 8 de l'auteur

Il revient au même de dire que \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty, \rho\) sont des générateurs, avec relations de définition \[ \begin{aligned} &(4) \qquad \overbrace{(\rho^{-1}\sigma_\infty\sigma_0 \struck{\ill{}})}^{l_\infty}\, \overbrace{(\rho^{-1}\sigma_1\sigma_\infty \struck{\ill{}})}^{l_1}\, \overbrace{(\rho^{-1}\sigma_0\sigma_1 \struck{\ill{}})}^{l_0} = 1 \\ &(5) \qquad \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = 1 \\ &(6) \qquad \rho^3 = 1. \end{aligned} \]

NB \(\sigma_0(l_0) = l_\infty^{-1} l_1^{-1}\), \(\sigma_0(l_1) = l_\infty\), \(\sigma_0(l_\infty) = l_1\) […], et itou pour \(\sigma_1, \sigma_\infty\)

NB Si on y fait [de plus] \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty = 1\), on trouve comme relation de définition \(\rho^3 = 1\), […] sans plus, ce qui prouve aussi que \(\rho\) n'est pas […] p.r. aux \(\sigma_i\) …

l'ajout « de plus » est écrit au-dessus de « \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\) » ; « \(= 1\) » est en bout de formule

Tout ceci est compatible avec les relations des listes, […] dans ces dernières, on […] par […], et qu'on interprète \(l'_i = l_i^{-1}\), \(\sigma'_i = \sigma_{\rho(i)}\) i.e. \(\sigma_i\) […] si on y remplace les \(l_i\) par les \(l_i^{-1}\).

Ceci dit, comme \(\sigma_i = \sigma^{-1}_{\uncertain{\rho(i)}}\) \[ (7) \qquad \begin{cases} \mathrm{int}(\sigma_i) : \text{échange } l_j \text{ et } l_k \quad (i, j, k \text{ distincts}) \\ \mathrm{int}(\rho)\, l_i = l_{\rho(i)} \end{cases} \] (et […] \(l_{\rho(i)}\), […] déduit par (1))

« \((i, j, k\) distincts\()\) » est porté au-dessus d'un passage biffé ; le « comme \(\sigma_i = \ldots\) » qui introduit (7) est mal lu

On voudrait maintenant expliciter les \(\varepsilon_i\) \[ \text{avec} \qquad \varepsilon_i^2 = l_i \quad (i = 0, 1, \infty), \] \(\varepsilon_i\) étant dans un générateur des automorphismes (ou normalisateurs, c'est à dire) des \(L_i\) dans \(\mathcal{E}^{+}\) (ou le normalisateur dans \(\mathcal{E}\)). Les calculs faits plus haut, avec les relations inexactes, donnant \[ \struck{(8) \quad \begin{cases} \varepsilon_0 = l_0^{\ill{}}\, \sigma_1\, l_{\ill{}}^{\ill{}} \\ \varepsilon_1 = l_\infty^{-1}\, \sigma_\infty\, l_1^{-1} \\ \varepsilon_\infty = l_0^{-1}\, \sigma_0\, l_\infty \end{cases}} \]

ce premier (8) est barré ; la page 18 le récrit

Il faut ajouter la relation (4) […] \(\rho\sigma_0\rho^{-1} = \sigma_1\) […] relations (5) […] Noter […] (7) […] \(l_0 = \ill{}\), \(l_1 = \ill{}\), \(l_\infty = l_0^{\ill{}} l_1\), \(\mathrm{int}(\sigma_0) l_1 = l_\infty^{\ill{}}\), \(\mathrm{int}(\sigma_0) l_\infty = l_1^{\ill{}}\)

la marge gauche de la page est couverte, en oblique, de calculs serrés et en partie hachurés, dont seuls ces fragments se lisent

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Donc aussi les relations \[ (13) \qquad \begin{cases} \tilde\sigma_0^2 = \tilde\sigma_1^2 = \tilde\sigma_\infty^2 = 1 \\ \tilde\sigma_0\tilde\sigma_1 = \tilde\sigma_1\tilde\sigma_\infty = \tilde\sigma_\infty\tilde\sigma_0 = \rho\, \struck{(\ill{})} \\ (\rho^3 = 1 \text{ est conséquence des précédentes}) \end{cases} \] et l'image inverse \(\widetilde{\Sigma}\) de \(\varphi(\mathfrak{S}_3) = \Gamma\) (ss-groupe diédral 2) est produit ½ direct de \(\mathfrak{S}_3\) et de \(\Pi\). Il faut expliciter les opérations des \(\tilde\sigma_i\) sur \(\Pi\) pour avoir la structure complète du groupe, on trouve pour \(\tilde\sigma_i\) ci-dessus \(\varphi(\tilde\sigma_i)\) i.e. la symétrie p.r. au plan \((P, \overline{P}, a_i)\), qui transforme les lacets \(l_0^{-1}\), […] \(l_1\) en \(l_\infty^{-1}\) […] : \[ (14) \qquad \begin{cases} \tilde\sigma_0\, l_0\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_0^{-1} \qquad \tilde\sigma_0\, l_1\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_\infty^{-1} \qquad \tilde\sigma_0\, l_\infty\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_1^{-1} \\ \tilde\sigma_1\, l_1\, \tilde\sigma_1^{-1} = l_1^{-1} \qquad \ldots \\ \ldots \end{cases} \]

la phrase « qui transforme les lacets … » est surchargée et se lit mal avant les deux points ; (14) la remplace

Les relations (13) (14), plus la relation fondamentale \(l_\infty l_1 l_0 = 1\) (1), forment une présentation de \(\widetilde{\Sigma}\), dont on peut (si on veut) éliminer \(\rho\), se contentant d'écrire la relation qui le définit)

On peut maintenant revenir à nos trois […], \(\sigma\) par \[ (15) \qquad \begin{cases} \tau_0 = \sigma_0\tilde\sigma_0 = \tilde\sigma_0\sigma_0 \\ \tau_1 = \sigma_1\tilde\sigma_1 = \tilde\sigma_1\sigma_1 \\ \tau_\infty = \sigma_\infty\tilde\sigma_\infty = \tilde\sigma_\infty\sigma_\infty \end{cases} \qquad \text{donc} \qquad (16) \qquad \begin{cases} \tau_0^2 = 1 \\ \tau_1^2 = 1 \\ \tau_\infty^2 = 1 \end{cases} \]

NB \(\rho\tilde\sigma_i\rho^{-1} = \tilde\sigma_{\rho(i)}\) i.e. \(\rho\tilde\sigma_0\rho^{-1} = \tilde\sigma_1\) […] \(\rho\tilde\sigma_\infty\rho^{-1} = \tilde\sigma_0\)

ce sont elles […] transport de structure […] des […] \((\overline{P}, P)\)

Critique […] \(\tilde\sigma_0\) […] s-groupe […] […] il vaut mieux écrire \(\tilde\sigma_0\) […] plusieurs […]

la marge gauche porte, en oblique, trois notes de sa main ; seuls ces fragments se lisent