Cote n° 145 · pages 1–37 · Lecture modernisée · Printemps 81 (vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1981
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–37

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

• Trois feuillets épars (pages 1 à 3), sur trois papiers différents, sans pagination de sa main : le groupe \(H\) des éléments qui descendent en isomorphismes entre revêtements finis (un commensurateur, page 1) ; les automorphismes à lacets commutant à \(\sigma_0\) (page 2) ; une page barrée sur les espaces classifiants et les automorphismes compatibles à un morphisme (page 3).
• Première rédaction (pages 4 à 14, ses pages 1 à 3 et suivantes) : « Automorphismes extérieurs des groupes à lacets profinis ». L'action extérieure de \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) sur \(\widehat{\pi}\) ; les automorphismes extérieurs commutant à \(\rho\), puis à \(\mathfrak{S}_3\), décrits par \((p, g)\) ; les racines quasi-carrées \(\varepsilon_i\).
• Seconde rédaction, le groupe discret (pages 14 à 22) : la critique de la page 14 ; la sphère et ses symétries ; l'extension \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_{0,3}\) « à la Malgoire » ; sa présentation ; le relèvement canonique du stabilisateur de \(P\) ; le groupe cartographique.
• Le complété et les automorphismes à lacets (pages 22 à 25) : \(\widehat{\mathcal{E}} \subset \hat{\hat{\mathcal{E}}} = \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\), le centralisateur \(\boldsymbol{\Gamma}\) de \(\mathfrak{S}_3\), la première forme de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\).
• Scindages partiels et présentations de \(\mathcal{E}\) (pages 26 à 31) : les sous-groupes finis, points fixes par points fixes ; une présentation par trois générateurs.
• Le groupe \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) (pages 32 à 37, ses pages 15 à 17) : description en coordonnées, loi de groupe, le sous-groupe des « rectificateurs » triviaux, l'exercice de la page 35, les centralisateurs de \(\tilde\rho\) et \(\tilde\sigma_0\).

Les deux rédactions ne sont pas deux versions à fusionner. La première calcule dans \(\mathrm{Aut}(\widehat{\pi})\) avec la relation \(l_0 l_1 l_\infty = 1\) ; la seconde construit un groupe discret à partir de chemins sur la sphère, et la même géométrie lui impose l'ordre opposé, \(l_\infty l_1 l_0 = 1\) — il le souligne (« et non \(l_0 l_1 l_\infty = 1\) ! »). Les éléments \(\sigma_i\), \(\rho\), \(\varepsilon_i\) ne sont donc pas les mêmes d'une rédaction à l'autre, et chacune est lue ici dans ses propres conventions.

La page 20, sans numéro de sa main, porte les formules (13) à (16) ; elles suivent (11) et (12), qui sont à la page 21 (sa page 9). On lit donc la page 20 après la page 21.

Les conventions

Groupes. \(\pi = \pi_{0,3} = \pi_1(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\})\) est le groupe discret, libre sur deux des trois lacets \(l_0, l_1, l_\infty\) ; \(\widehat{\pi}\) est son complété profini, libre profini de rang \(2\)¹ . \(L_i\) désigne le sous-groupe (fermé) engendré par \(l_i\), isomorphe à \(\widehat{\mathbb{Z}}\) dans \(\widehat{\pi}\). On écrit \(\mathrm{int}(g)(x) = g x g^{-1}\), et les automorphismes se composent comme des applications ; comme \(\widehat{\pi}\) est de centre trivial, \(g \mapsto \mathrm{int}(g)\) identifie \(\widehat{\pi}\) à un sous-groupe de \(\mathrm{Aut}(\widehat{\pi})\), et l'on écrit souvent \(g\) pour \(\mathrm{int}(g)\), comme le fait le dossier.

Symétries visibles. \(\mathfrak{S}_3\) est le groupe des permutations de \(\{0, 1, \infty\}\) ; \(\rho\) est la permutation circulaire \(0 \mapsto 1 \mapsto \infty \mapsto 0\), et \(\sigma_i\) la transposition qui fixe \(i\). Sur la sphère, \(\rho(z) = 1/(1-z)\), \(\sigma_0(z) = z/(z-1)\), \(\sigma_1(z) = 1/z\), \(\sigma_\infty(z) = 1-z\), et \(\tau(z) = \bar z\). On pose \(\Gamma = \Gamma_{0,3} = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\), le second facteur engendré par \(\tau\) ; quand il faut distinguer un élément de \(\Gamma\) de ses relèvements, on le pointe : \(\dot\sigma_i\), \(\dot\rho\).

Automorphismes à lacets. Un automorphisme \(u\) de \(\widehat{\pi}\) est à lacets s'il existe \(\sigma \in \mathfrak{S}_3\) et \(p \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) tels que \(u(l_i)\) soit conjugué à \(l_{\sigma(i)}^{p}\) pour \(i = 0, 1, \infty\) ; \(p = \chi(u)\) est son multiplicateur. On note \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\) leur groupe, et \(\mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\) son image dans \(\mathrm{Out}(\widehat{\pi})\)² . Le centralisateur de \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\) est noté \(\boldsymbol{\Gamma}\) dans tout le document³ . L'exposant \(!\) du dossier (\(\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\), \(\hat{\hat\Gamma}^{!}\)) désigne la partie « pure », où \(\sigma = 1\).

1–3

Trois feuillets épars (pages 1 à 3)

1–1

Le groupe \(H\) : un commensurateur (page 1)

Soit \(U\) une courbe, \(D = \widetilde{U(\mathbb{C})}\) le revêtement universel de \(U(\mathbb{C})\), \(\pi\) le groupe des automorphismes de \(D\) au-dessus de \(U(\mathbb{C})\), et \(G\) un groupe d'automorphismes de \(D\) contenant \(\pi\)⁴ . La page définit \[ H = \bigl\{\, u \in G \bigm| \exists\, \pi', \pi'' \subset \pi \text{ d'indice fini et } v : D/\pi' \xrightarrow{\sim} D/\pi'' \text{ avec } p'' u = v p' \,\bigr\}, \] où \(p' : D \to D/\pi'\) et \(p'' : D \to D/\pi''\) sont les projections : \(u\) descend en un isomorphisme entre deux revêtements finis de \(U(\mathbb{C})\). Alors \(u \pi' u^{-1} = \pi''\), et l'isomorphisme \(v_* : \pi' \to \pi''\) induit est la conjugaison par \(u\). Inversement, si \(u \pi u^{-1} \cap \pi\) est d'indice fini dans \(\pi\) et dans \(u\pi u^{-1}\), on prend \(\pi' = \pi \cap u^{-1}\pi u\) et \(\pi'' = u\pi' u^{-1}\). Donc \(H\) est le commensurateur de \(\pi\) dans \(G\)⁵ . Les remarques de la page se lisent ainsi :

• \(\pi'\) et \(\pi''\) ont le même indice dans \(\pi\) quand \(u\) préserve une mesure pour laquelle \(D/\pi\) est de volume fini — par exemple quand \(u\) est une isométrie hyperbolique : \(D/\pi'\) et \(D/\pi''\) ont alors même aire, \([\pi:\pi']\) et \([\pi:\pi'']\) fois celle de \(D/\pi\)⁶ ;
• \(v\) fixé, \(u\) n'est connu qu'à multiplication à gauche près par un élément de \(\pi''\) (les automorphismes du revêtement \(D \to D/\pi''\)), et \(H\) contient \(\pi\) ;
• \(v\) est déterminé, à homotopie près, par \(v_*\) à conjugaison près, puisque les \(D/\pi'\) sont des \(K(\pi', 1)\)⁷ .

Pour \(n \geq 1\), \(H_n\) est l'ensemble des \(u\) pour lesquels on peut prendre \(\pi'\), \(\pi''\) d'indice \(n\) ; \(H = \bigcup_n H_n\) et \(H_n = H_n^{-1}\). La page affirme que \(H_n\) est un sous-groupe et s'arrête sur « et \(\pi\) d'indice » ; ce n'est pas évident — pour un produit \(uw\) on ne dispose a priori que de sous-groupes d'indice au plus \(n^2\) — et nous ne l'affirmons pas⁸ .

2–2

Automorphismes à lacets commutant à \(\sigma_0\) (page 2)

La page cherche les automorphismes à lacets \(u\) de \(\widehat{\pi}\) qui commutent exactement à \(\sigma_0\) et, à un automorphisme intérieur près, à \(\rho\). Commuter à \(\sigma_0\), qui échange \(l_1\) et \(l_\infty\), force la forme \[ u(l_1) = \mathrm{int}(g_1)(l_1^{p}), \qquad u(l_\infty) = \mathrm{int}\bigl(\sigma_0(g_1)\bigr)(l_\infty^{p}), \] avec \(p \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) et \(g_1 \in \widehat{\pi}\) défini modulo \(L_1\) à droite. Posant \(h_1 = \sigma_0(g_1)^{-1} g_1\), la page énonce deux conditions encadrées, où \(\beta, \gamma \in \widehat{\mathbb{Z}}\) sont « uniquement déterminés par \(g_1, p\) » : \[ \begin{aligned} (1)\quad & l_\infty^{p} \cdot \mathrm{int}(h_1)(l_1^{p}) \cdot \mathrm{int}\bigl(h_1 l_1^{-\gamma} \rho^{-1}(h_1)\bigr)(l_0^{p}) = 1, \\ (2)\quad & \rho(h_1)\, l_\infty^{-\gamma}\, h_1\, l_1^{-\gamma}\, \rho^{-1}(h_1) = l_0^{\beta}. \end{aligned} \] La feuille ne fixe ni l'ordre de la relation fondamentale ni la normalisation qui définit \(\gamma\), et ces deux relations ne sont pas vérifiées ici⁹ . Ce qui suit en découle, et l'algèbre en est juste : (2) s'écrit \(h_1 l_1^{-\gamma} \rho^{-1}(h_1) = l_\infty^{\gamma} \rho(h_1)^{-1} l_0^{\beta}\), et comme \(l_0^{\beta}\) commute à \(l_0^{p}\), (1) devient \[ (1')\qquad l_\infty^{p} \cdot \mathrm{int}(h_1)(l_1^{p}) \cdot \mathrm{int}\bigl(l_\infty^{\gamma} \rho(h_1)^{-1}\bigr)(l_0^{p}) = 1 . \] Enfin, changer \(g_1\) en \(g_1 l_1^{\mu}\) change \(h_1\) en \(h'_1 = l_\infty^{-\mu} h_1 l_1^{\mu}\), puisque \(\sigma_0(l_1) = l_\infty\) ; la page en conclut que \(\gamma\) se décale et que \(\beta\) ne change pas¹⁰ .

3–3

Automorphismes compatibles à un morphisme (page 3, barrée)

La page entière est barrée de deux longs traits. Elle place côte à côte les espaces classifiants \(B_{\pi,\Gamma} \leftarrow B_\pi\) d'une extension et ceux d'un quotient \(\varphi : \pi \to \pi'\), et pose la question suivante : si \(u \in \mathrm{Aut}(\pi)\) est « compatible avec \(\varphi\) », existe-t-il un unique \(u' \in \mathrm{Aut}(\pi')\) tel que \(u' \varphi = \varphi u\) ? L'unicité est vraie dès que \(\varphi\) est surjectif, et l'existence équivaut alors à \(u(\ker \varphi) = \ker \varphi\)¹¹ . Le sous-groupe \(\mathcal{E}_\varphi\) de ces \(u\) est défini et la page s'arrête.

4–14

Première rédaction : automorphismes extérieurs à lacets de \(\widehat{\pi}_{0,3}\) (pages 4 à 14)

4–6

L'action extérieure de \(\Gamma_{0,3}\) (pages 4 à 6)

Dans toute cette rédaction, \(\widehat{\pi}\) est présenté par \(l_0, l_1, l_\infty\) et la relation \[ l_0\, l_1\, l_\infty = 1 . \] Un endomorphisme est donné par trois éléments \(l'_0, l'_1, l'_\infty\) satisfaisant la même relation, et c'est un automorphisme dès qu'ils engendrent topologiquement \(\widehat{\pi}\) : un groupe profini de type fini est hopfien, tout endomorphisme surjectif est bijectif¹² .

La permutation circulaire \(\rho(l_0) = l_1\), \(\rho(l_1) = l_\infty\), \(\rho(l_\infty) = l_0\) est un automorphisme d'ordre \(3\). La transposition \(\sigma_\infty\) est définie par \[ \sigma_\infty(l_0) = l_1, \qquad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \qquad \sigma_\infty(l_\infty) = l_0^{-1} l_1^{-1} = \mathrm{int}(l_0^{-1})(l_\infty), \] et \(\sigma_\infty^2 = \mathrm{id}\) ; on pose \(\sigma_0 = \rho\,\sigma_\infty\, \rho^{-1}\) et \(\sigma_1 = \rho\,\sigma_0\,\rho^{-1}\), de sorte que \(\rho \sigma_i \rho^{-1} = \sigma_{\rho(i)}\). Explicitement, \(\sigma_0\) échange \(l_1\) et \(l_\infty\) et envoie \(l_0\) sur \(l_1^{-1} l_\infty^{-1}\). Le sous-groupe \(\mathfrak{S}_3^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\) agit donc vraiment. Mais pas \(\mathfrak{S}_3\) : dans \(\mathfrak{S}_3\) on a \(\sigma_0\sigma_1 = \sigma_1\sigma_\infty = \sigma_\infty\sigma_0 = \rho\), tandis que dans \(\mathrm{Aut}(\widehat{\pi})\) \[ \sigma_0\sigma_1 = \mathrm{int}(l_1^{-1})\,\rho, \qquad \sigma_1\sigma_\infty = \mathrm{int}(l_\infty^{-1})\,\rho, \qquad \sigma_\infty\sigma_0 = \mathrm{int}(l_0^{-1})\,\rho . \] \(\mathfrak{S}_3\) n'agit que par automorphismes extérieurs. Pour le groupe discret, on ne peut pas mieux faire : une action vraie de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(\pi\) relevant cette action extérieure scinderait l'extension correspondante, et les sous-groupes finis de celle-ci fixent un point du revêtement universel ; or \(\mathfrak{S}_3\) n'a pas de point fixe sur \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0, 1, \infty\}\)¹³ . Si \(\mathbb{Z}/3\) agit vraiment, c'est que son action sur la sphère a deux points fixes, \(-j\) et \(-j^2 = -\bar j\), les racines primitives sixièmes de l'unité \(e^{\pm i\pi/3}\), et qu'on peut prendre l'un d'eux pour point base¹⁴ .

La conjugaison complexe, élément du groupe de Teichmüller \(\Gamma_{0,3}\), agit par \[ \tau(l_0) = l_0^{-1}, \qquad \tau(l_1) = l_1^{-1}, \qquad \tau(l_\infty) = l_1 l_0 = \mathrm{int}(l_1)(l_\infty^{-1}), \] automorphisme à lacets de multiplicateur \(-1\), avec \(\tau^2 = 1\). Il commute à \(\mathfrak{S}_3\) modulo automorphismes intérieurs, d'où une action extérieure de \(\mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\} = \Gamma_{0,3}\), qui est l'action canonique¹⁵ .

6–11

Les automorphismes extérieurs qui commutent à \(\mathfrak{S}_3\) (pages 6 à 11)

Normalisation. Tout automorphisme extérieur à lacets de multiplicateur \(p\) et de permutation triviale sur \(0\) se représente par un \(u\) tel que \[ (*)\qquad u(l_0) = l_0^{p}, \] et ce représentant est unique à composition près par \(\mathrm{int}(\lambda)\), \(\lambda \in L_0\), puisque le normalisateur de \(L_0\) dans \(\widehat{\pi}\) est \(L_0\)¹⁶ .

Commutation à \(\rho\). Si la classe de \(u\) commute à celle de \(\rho\), il existe un unique \(g \in \widehat{\pi}\) tel que \[ (**)\qquad u\,\rho = \mathrm{int}(g)\,\rho\, u , \] et remplacer \(u\) par \(\mathrm{int}(\lambda) u\), \(\lambda = l_0^{\alpha}\), remplace \(g\) par \[ \lambda\, g\, \rho(\lambda)^{-1} = l_0^{\alpha}\, g\, l_1^{-\alpha}, \qquad \alpha \in \widehat{\mathbb{Z}}. \] L'exposant \(\alpha\) parcourt \(\widehat{\mathbb{Z}}\), puisque \(\lambda\) parcourt \(L_0\)¹⁷ . Réciproquement, \((*)\) et \((**)\) déterminent \(u\) en fonction de \(p\) et \(g\) : \[ u(l_0) = l_0^{p}, \qquad u(l_1) = \mathrm{int}(g)(l_1^{p}), \qquad u(l_\infty) = \mathrm{int}\bigl(g\rho(g)\bigr)(l_\infty^{p}), \] car \(u(l_1) = u\rho(l_0) = \mathrm{int}(g)\rho(l_0^{p})\) et \(u(l_\infty) = u\rho(l_1) = \mathrm{int}(g)\,\mathrm{int}(\rho(g))\,\rho(l_1^{p})\) ; \((**)\) est alors vraie, les deux membres coïncidant sur \(l_0\) et \(l_1\). Pour que ces formules définissent un endomorphisme, il faut et il suffit de la relation \[ \boxed{\; l_0^{p} \cdot \mathrm{int}(g)(l_1^{p}) \cdot \mathrm{int}\bigl(g\rho(g)\bigr)(l_\infty^{p}) = 1 \;} \] soit, en développant puis en conjuguant par \(g^{-1}\), \(\mathrm{int}(g^{-1})(l_0^{p})\cdot l_1^{p} \cdot \mathrm{int}(\rho(g))(l_\infty^{p}) = 1\). Pour un automorphisme, il faut de plus que les trois images engendrent \(\widehat{\pi}\) ; « Ça semble délicat… », dit la page, et le dossier n'y revient pas¹⁸ .

Pour \(\tau\), \(p = -1\) et \(g = l_1\) : on vérifie \(\tau\rho = \mathrm{int}(l_1)\, \rho\,\tau\).

Commutation à \(\sigma_\infty\). \(\mathfrak{S}_3\) étant engendré par \(\rho\) et \(\sigma_\infty\), reste à écrire qu'il existe \(h \in \widehat{\pi}\) avec \(u\,\sigma_\infty = \mathrm{int}(h)\,\sigma_\infty\, u\), et il suffit de l'évaluer en \(l_0\) et \(l_1\). En \(l_0\) : \(\mathrm{int}(g)(l_1^{p}) = \mathrm{int}(h)(l_1^{p})\), donc \(g^{-1}h\) centralise \(l_1^{p}\), donc est dans \(L_1\) : \(h = g\, l_1^{q}\) avec \(q \in \widehat{\mathbb{Z}}\). En \(l_1\) : \(l_0^{p} = \mathrm{int}\bigl(h\,\sigma_\infty(g)\bigr)(l_0^{p})\), d'où la condition \[ \boxed{\; g\, l_1^{q}\, \sigma_\infty(g) = l_0^{r} \;} \qquad (q, r \in \widehat{\mathbb{Z}}), \] qui ne dépend que de \(g\), pas de \(p\)¹⁹ . Le changement \(g \mapsto l_0^{\alpha} g l_1^{-\alpha}\) la laisse invariante avec les mêmes \((q, r)\) — ils ne dépendent que de l'automorphisme extérieur. Pour \(\tau\), \(l_1 l_1^{q} l_0 = l_0^{r}\) donne \(q = -1\), \(r = 1\).

La note marginale de la page 9 propose d'écrire plutôt la relation sous la forme \(\sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta} g\, l_1^{\gamma}\). Tirant \(\sigma_\infty(g) = l_1^{-q} g^{-1} l_0^{r}\) et inversant, on trouve \(\beta = -r\) et \(\gamma = q\)²⁰ . Mieux : \(\beta = \gamma\). En appliquant l'involution \(\sigma_\infty\) à la relation, on obtient \(g\, l_1^{\beta-\gamma} g^{-1} = l_0^{\beta-\gamma}\), et dans l'abélianisé, où \(\bar l_0\) et \(\bar l_1\) sont indépendants, cela force \(\beta = \gamma\). La relation de commutation à \(\mathfrak{S}_3\) est donc \[ \sigma_\infty(g^{-1}) = l_0^{\beta}\, g\, l_1^{\beta}, \] exactement comme l'écrit la page 11, et le couple \((q, r)\) de la page 9 est un seul invariant : \(r = -q = -\beta\)²¹ .

Le cas discret. Pour le groupe discret \(\pi\), les seules solutions sont l'identité et \(\tau\) : le groupe des automorphismes extérieurs à lacets de \(\pi\) est \(\Gamma_{0,3}\) (Dehn–Nielsen–Baer), et le centralisateur de \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) est \(\{1, \tau\}\). La page décrit la classe de \(g\) pour \(\tau\) : \(g = l_0^{a} l_1^{b}\) avec \(a + b = 1\), orbite de \(l_1\) sous \(g \mapsto l_0^{a} g l_1^{-a}\)²² .

Le groupe \(\boldsymbol{\Gamma}\). Normaliser en \(L_1\) plutôt qu'en \(L_0\) revient à remplacer \(u\) par \(\mathrm{int}(g^{-1})u\), et \(g\) par \(\rho(g)\) : on vérifie \(\mathrm{int}(g^{-1})u\,\rho = \mathrm{int}(\rho(g))\,\rho\, \mathrm{int}(g^{-1})u\). Sur le groupe \(\boldsymbol{\Gamma}\) des automorphismes extérieurs à lacets commutant à \(\mathfrak{S}_3\) on a donc le multiplicateur \(\chi : \boldsymbol{\Gamma} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), l'invariant \(\beta\) à valeurs dans \(\widehat{\mathbb{Z}}\), et la classe \(\gamma(u)\) de \(g\) dans l'ensemble des orbites de \(\widehat{\mathbb{Z}}\) agissant sur \(\widehat{\pi}\) par \(\varphi(\alpha)\cdot g = l_0^{\alpha} g\, l_1^{-\alpha}\). L'application \[ (\gamma, \chi) : \boldsymbol{\Gamma} \longrightarrow \widehat{\pi}/\varphi(\widehat{\mathbb{Z}}) \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \] est injective, puisque \((p, g)\) détermine \(u\), et son image est formée des \((g, p)\) satisfaisant les deux relations encadrées (et la condition de génération)²³ .

On reconnaît là, vingt ans avant, la forme des deux premières relations de définition du groupe de Grothendieck–Teichmüller \(\widehat{GT}\) : dans la présentation de Drinfeld (1990), un élément \((\lambda, f)\) agit par \(x \mapsto x^{\lambda}\), \(y \mapsto f^{-1} y^{\lambda} f\), et ses relations (I) et (II) traduisent la commutation, modulo automorphismes intérieurs, à la transposition \(x \leftrightarrow y\) et à la permutation circulaire²⁴ .

11–14

Les racines quasi-carrées \(\varepsilon_i\) (pages 11 à 14)

Dans l'extension de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\widehat{\pi}\) que forment, dans \(\mathrm{Aut}(\widehat{\pi})\), les \(\mathrm{int}(g)\) et les \(\sigma_i\), la page cherche de « plus jolis générateurs » que les six \(l_i, \sigma_i\) : pour chaque \(i\), un élément \(\varepsilon_i\) au-dessus de \(\sigma_i\), qui fixe \(l_i\) et dont le carré est \(l_i\). Puisque \(\mathrm{int}(l_0)\sigma_\infty\) fixe \(l_\infty\), on cherche \(\varepsilon_\infty = l_0\,\sigma_\infty\, l_\infty^{\alpha}\), et \(\varepsilon_\infty^2 = l_\infty\) impose \(\alpha = 1\)²⁵ . D'où, par \(\rho\), \[ \varepsilon_\infty = l_0\,\sigma_\infty\, l_\infty, \qquad \varepsilon_0 = l_1\,\sigma_0\, l_0, \qquad \varepsilon_1 = l_\infty\,\sigma_1\, l_1, \qquad \varepsilon_i^2 = l_i, \] et \(\rho\,\varepsilon_i\,\rho^{-1} = \varepsilon_{\rho(i)}\). On a en retour \(\sigma_0 = \varepsilon_0 \varepsilon_1^2\), \(\sigma_1 = \varepsilon_1 \varepsilon_\infty^2\), \(\sigma_\infty = \varepsilon_\infty \varepsilon_0^2\), et les relations \[ \varepsilon_0^2\,\varepsilon_1^2\,\varepsilon_\infty^2 = 1, \qquad (\varepsilon_0\varepsilon_1^2)^2 = (\varepsilon_1\varepsilon_\infty^2)^2 = (\varepsilon_\infty\varepsilon_0^2)^2 = 1 . \] De \(\rho = l_1\sigma_0\sigma_1\) on tire \(\rho = \varepsilon_1^2\,\varepsilon_0\, \varepsilon_1\, \varepsilon_0^{-2}\), et ses deux conjugués circulaires. En multipliant les trois expressions et en écrivant \(\rho^3 = 1\), on trouve \[ (\varepsilon_0\,\varepsilon_1\,\varepsilon_\infty)^2 = 1 . \]

La page juge cela « inquiétant, car il n'y a pas d'élément d'ordre fini dans le groupe discret », en conclut \(\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_\infty = 1\), puis \(\sigma_\infty\sigma_1\sigma_0 = 1\), « relation inattendue » — et barre tout ce passage. Il a raison de le barrer : les deux relations sont fausses. Le produit \(\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_\infty\) n'est pas dans \(\widehat{\pi}\), il est au-dessus de la transposition \(\sigma_0\sigma_1 \sigma_\infty = \sigma_1\), et une extension de \(\mathfrak{S}_3\) a bien des éléments d'ordre \(2\) ; en fait \[ \varepsilon_0\,\varepsilon_1\,\varepsilon_\infty = \sigma_1 , \] comme le dit la ligne non barrée qui suit (« Sans doute \(\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_\infty = \sigma_1\) »), et \(\sigma_\infty\sigma_1\sigma_0\) est une transposition, non l'identité. Avec \(\sigma_1 = \varepsilon_1\varepsilon_\infty^2\), cette égalité équivaut à \(\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_\infty\varepsilon_1^{-1}\), et l'on a de même \[ \varepsilon_0 = \varepsilon_1\,\varepsilon_\infty\,\varepsilon_1^{-1}, \qquad \varepsilon_1 = \varepsilon_\infty\,\varepsilon_0\,\varepsilon_\infty^{-1}, \qquad \varepsilon_\infty = \varepsilon_0\,\varepsilon_1\,\varepsilon_0^{-1}, \] les trois relations que la page écrit à sa dernière ligne avant la critique²⁶ .

14–22

Seconde rédaction : l'extension discrète \(\mathcal{E}_{0,3}\) (pages 14 à 22)

14–16

La critique, et la géométrie de la sphère (pages 14 à 16)

« Critique des notations et de l'approche » : les éléments \(l_i\), \(\sigma_i\), \(\varepsilon_i\), \(\rho\) vivent dans le groupe discret, qu'il faut distinguer du groupe profini, et pour le groupe discret — et, dans une certaine mesure, pour le profini — il faut utiliser le langage géométrique du groupoïde fondamental.

On munit \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) de sa structure de sphère orientée pour laquelle \(\rho\) est la rotation d'angle \(+2\pi/3\) autour de l'axe \(P\overline{P}\), où \(P, \overline{P} = e^{\pm i\pi/3}\) sont ses deux points fixes ; les \(\sigma_i\) sont les demi-tours autour des axes \((0, 2)\), \((1, -1)\) et \((\infty, \frac12)\), et \(\tau\) la symétrie par rapport au plan du cercle réel. On pose \(U = U_{0,3} = \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{0, 1, \infty\}\) et \(\pi = \pi_1(U, P)\).

Le groupe fondamental mixte. L'extension \(\mathcal{E} = \pi_1(U, \Gamma; P)\) de \(\Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) par \(\pi\) est définie « à la Malgoire » : ses éléments sont les couples \((\gamma, l)\) d'un \(\gamma \in \Gamma\) et d'une classe d'homotopie de chemins \(l\) de \(P\) à \(\gamma^{-1}(P)\), avec \[ (\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma',\; \gamma'^{-1}(l) \circ l'\bigr), \] les chemins se composant comme des fonctions²⁷ . C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le groupe fondamental orbifold (ou équivariant) de \(U\) sous \(\Gamma\) : le \(\pi_1\) de la construction de Borel \(U_{h\Gamma}\), qui s'insère dans \(1 \to \pi \to \mathcal{E} \to \Gamma \to 1\). Comme \(\pi\) est de centre trivial et que le centralisateur de \(\pi\) dans \(\mathcal{E}\) est trivial, \(\mathcal{E}\) se plonge dans \(\mathrm{Aut}(\pi)\), et c'est là qu'on vérifie les relations ci-dessous.

Les lacets. On relève les \(\sigma_i\) en des éléments de \(\mathcal{E}\) en les accompagnant du demi-grand cercle de \(P\) à \(\overline{P} = \sigma_i(P)\) fixé par la symétrie \(\tau\sigma_i\) ; \(\rho\) se relève avec le chemin constant. Soit \(l_i\) le lacet de \(P\) qui va vers \(i\) par un arc de grand cercle, en fait le tour dans le sens direct et revient. Alors \[ (1)\qquad l_\infty\, l_1\, l_0 = 1, \] « et non \(l_0 l_1 l_\infty = 1\) ! » : la composition « comme des fonctions » renverse l'ordre de la première rédaction.

17–19

Présentation de \(\mathcal{E}^{+}\), et les \(\varepsilon_i\) revus (pages 17 à 19)

On note \(\mathcal{E}^{+}\) l'image inverse de \(\mathfrak{S}_3\). Les relevés satisfont \[ (2)\qquad \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = 1, \qquad \sigma_0\sigma_1 = \rho\, l_0, \quad \sigma_1\sigma_\infty = \rho\, l_1, \quad \sigma_\infty\sigma_0 = \rho\, l_\infty, \] avec \(\rho\sigma_i\rho^{-1} = \sigma_{\rho(i)}\), et les conjugaisons \[ (7)\qquad \mathrm{int}(\rho)(l_i) = l_{\rho(i)}, \qquad \mathrm{int}(\sigma_0) : l_1 \leftrightarrow l_\infty,\; l_0 \mapsto l_\infty^{-1} l_1^{-1} = \mathrm{int}(l_1)(l_0), \] et de même, par \(\rho\), pour \(\sigma_1\) et \(\sigma_\infty\)²⁸ .

On ne voit pas d'expression de \(\rho\) par les seuls \(\sigma_i\), et pour cause : une première affirmation, que les relations d'une présentation de \(\mathfrak{S}_3\) jointes à (1) et (2) présentent \(\mathcal{E}^{+}\), est barrée et jugée « fausse » en marge. La page 19 propose alors : générateurs \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty, \rho\), et relations \[ (4)\quad (\rho^{-1}\sigma_\infty\sigma_0)(\rho^{-1}\sigma_1\sigma_\infty) (\rho^{-1}\sigma_0\sigma_1) = 1, \qquad (5)\quad \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = 1, \qquad (6)\quad \rho^3 = 1, \] où (4) est (1) après élimination des \(l_i\) par (2). Ces relations sont vraies dans \(\mathcal{E}^{+}\), mais elles ne le présentent pas : le groupe qu'elles définissent a pour abélianisé \((\mathbb{Z}/2)^3 \times \mathbb{Z}/3\), alors que celui de \(\mathcal{E}^{+}\) est \(\mathbb{Z}/6\). Il faut ajouter les relations \(\rho\sigma_i\rho^{-1} = \sigma_{\rho(i)}\) — ce que dit la note marginale de la même page (« Il faut ajouter la relation … \(\rho\sigma_0\rho^{-1} = \sigma_1\) »). Elles rendent \(\sigma_1, \sigma_\infty\) superflus, et (4) devient alors conséquence de \(\sigma_0^2 = \rho^3 = 1\) ; il reste \[ \mathcal{E}^{+} = \langle\, \sigma_0, \rho \mid \sigma_0^2 = \rho^3 = 1 \,\rangle \simeq \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/3 \simeq PSL_2(\mathbb{Z}) . \] En effet, la fonction modulaire \(\lambda\) identifie \(U\) au quotient du demi-plan de Poincaré par l'image \(\overline{\Gamma(2)}\) du sous-groupe de congruence \(\Gamma(2)\), et l'action anharmonique de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(U\) à celle de \(PSL_2(\mathbb{Z})/\overline{\Gamma(2)} \simeq PSL_2(\mathbb{F}_2)\) ; le groupe des relèvements au demi-plan, qui est \(\mathcal{E}^{+}\), est donc \(PSL_2(\mathbb{Z})\). Celui-ci est engendré par \(\sigma_0\) et \(\rho\), ce qui donne une surjection de \(\mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/3\) sur un groupe qui lui est isomorphe ; comme il est de type fini et résiduellement fini, donc hopfien, c'est un isomorphisme²⁹ .

Les \(\varepsilon_i\), seconde version (page 18). Dans les nouvelles conventions, \[ (8)\qquad \varepsilon_0 = l_0\,\sigma_0\, l_1, \qquad \varepsilon_1 = l_1\,\sigma_1\, l_\infty, \qquad \varepsilon_\infty = l_\infty\,\sigma_\infty\, l_0, \] avec \(\varepsilon_i^2 = l_i\) (la page le vérifie pour \(\varepsilon_0\), par \(\sigma_0(l_1 l_0) = l_1^{-1}\)) et \(\rho\varepsilon_i\rho^{-1} = \varepsilon_{\rho(i)}\)³⁰ . On a aussi \(\varepsilon_1 = \sigma_0\,\rho\) : les \(\varepsilon_i\) sont, dans \(PSL_2(\mathbb{Z})\), les générateurs paraboliques des stabilisateurs de pointes, dont les carrés engendrent ceux de \(\overline{\Gamma(2)}\) — c'est pourquoi ils sont « racines carrées » des lacets. Le calcul de la page donne \[ (9)\qquad \varepsilon_0\varepsilon_1 = l_0\, l_\infty^2\, \rho\, l_0\, l_\infty, \qquad \varepsilon_1\varepsilon_\infty = l_1\, l_0^2\, \rho\, l_1\, l_0, \qquad \varepsilon_\infty\varepsilon_0 = l_\infty\, l_1^2\, \rho\, l_\infty\, l_1, \] et, en éliminant les \(l_i = \varepsilon_i^2\), la page 21 écrit le système \[ (10)\qquad \rho^3 = 1, \quad \varepsilon_\infty^2\varepsilon_1^2\varepsilon_0^2 = 1, \quad \begin{aligned} \varepsilon_1 &= \varepsilon_0\,\varepsilon_\infty^{4}\,\rho\,\varepsilon_0^{2}\,\varepsilon_\infty^{2},\\ \varepsilon_\infty &= \varepsilon_1\,\varepsilon_0^{4}\,\rho\,\varepsilon_1^{2}\,\varepsilon_0^{2},\\ \varepsilon_0 &= \varepsilon_\infty\,\varepsilon_1^{4}\,\rho\,\varepsilon_\infty^{2}\,\varepsilon_1^{2}, \end{aligned} \] qui est exactement (1) et (9) récrits³¹ . La note marginale de la page 21 demande d'y ajouter « (au moins !) » les relations \(\rho\varepsilon_0\rho^{-1} = \varepsilon_1\), etc. ; avec elles, \(\mathcal{E}^{+} = \langle \varepsilon_1, \rho \mid \rho^3 = (\varepsilon_1\rho^{-1})^2 = 1 \rangle\), puisque \(\sigma_0 = \varepsilon_1\rho^{-1}\).

20–21

Le relèvement canonique du stabilisateur de \(P\) (pages 21 et 20)

Le stabilisateur de \(P\) dans \(\Gamma\) est d'ordre \(6\) : \(\{1, \dot\rho, \dot\rho^2, \dot\sigma_0\tau, \dot\sigma_1\tau, \dot\sigma_\infty\tau\}\), car les \(\sigma_i\) et \(\tau\) échangent \(P\) et \(\overline{P}\). C'est l'image de la section \[ (11)\qquad \varphi : \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \Gamma, \qquad \sigma \longmapsto \bigl(\sigma, \tau^{\,(1-\operatorname{sg}\sigma)/2}\bigr), \] qu'on note \(\Gamma_P\). Puisque \(P\) est fixe, ses éléments se relèvent canoniquement dans \(\mathcal{E}\), avec le chemin constant : \[ (12)\qquad \sigma \longmapsto \tilde\sigma : \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \mathcal{E}, \qquad \tilde\rho = \rho, \] et \(\tilde\sigma_i\) est la symétrie par rapport au plan \((P, \overline{P}, i)\). On a donc \[ (13)\qquad \tilde\sigma_0^2 = \tilde\sigma_1^2 = \tilde\sigma_\infty^2 = 1, \qquad \tilde\sigma_0\tilde\sigma_1 = \tilde\sigma_1\tilde\sigma_\infty = \tilde\sigma_\infty\tilde\sigma_0 = \rho, \] d'où \(\rho^3 = 1\), et l'image inverse de \(\Gamma_P\) dans \(\mathcal{E}\) est le produit semi-direct \(\pi \rtimes \mathfrak{S}_3\)³² . Les \(\tilde\sigma_i\) renversent l'orientation, donc les lacets : \[ (14)\qquad \tilde\sigma_0\, l_0\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_0^{-1}, \qquad \tilde\sigma_0\, l_1\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_\infty^{-1}, \qquad \tilde\sigma_0\, l_\infty\, \tilde\sigma_0^{-1} = l_1^{-1}, \] et de même, par \(\rho\), pour \(\tilde\sigma_1, \tilde\sigma_\infty\). Les relations (13), (14) et (1) présentent cette image inverse. Enfin \[ (15)\qquad \tau_i = \sigma_i\,\tilde\sigma_i = \tilde\sigma_i\,\sigma_i \qquad (i = 0, 1, \infty), \qquad (16)\qquad \tau_i^2 = 1, \] trois relevés de \(\tau\) dans \(\mathcal{E}\), avec \(\rho\,\tau_i\,\rho^{-1} = \tau_{\rho(i)}\)³³ .

22–22

Le groupe cartographique (page 22)

L'image inverse \(\mathcal{E}_\tau\) de \(\{1, \tau\}\) est engendrée par \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\), avec \[ (17)\qquad l_0 = \tau_\infty\,\tau_1, \qquad l_1 = \tau_0\,\tau_\infty, \qquad l_\infty = \tau_1\,\tau_0, \] et les seules relations (16) : \(\mathcal{E}_\tau \simeq \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/2\), et \(\pi\) est le noyau du morphisme \(\tau_i \mapsto -1\) vers \(\{\pm 1\}\), libre sur les \(l_i\) définis par (17). C'est le « groupe cartographique de Malgoire » : le groupe qui décrit les cartes tracées sur une surface par son action sur les drapeaux, et dont le sous-groupe d'indice \(2\) des mots de longueur paire est \(\pi_{0,3}\)³⁴ .

22–25

Le complété et les automorphismes à lacets (pages 22 à 25)

Soit \(\widehat{\mathcal{E}}\) le complété profini de \(\mathcal{E}\), extension de \(\widehat{\Gamma} = \Gamma\) par \(\widehat{\pi}\), et \(\hat{\hat{\mathcal{E}}} = \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\), extension de \(\hat{\hat\Gamma} = \mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\) par \(\widehat{\pi}\) : \[ (18)\qquad 1 \longrightarrow \widehat{\pi} \longrightarrow \hat{\hat{\mathcal{E}}} \longrightarrow \hat{\hat\Gamma} \longrightarrow 1, \] qui contient \(\widehat{\mathcal{E}}\) comme sous-extension. Soit \(\boldsymbol{\Gamma}\) le centralisateur de \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\hat{\hat\Gamma}\) — le groupe des pages 6 à 11 — et \(\mathbf{E}\) son image inverse dans \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}\). Alors \(\Gamma \cap \boldsymbol{\Gamma} = \{1, \tau\}\) et \(\boldsymbol{\Gamma} \cap \mathfrak{S}_3 = \{1\}\), puisque \(\mathfrak{S}_3\) est de centre trivial³⁵ .

Un élément de \(\boldsymbol{\Gamma}\) agit trivialement sur les trois classes d'inertie (sa permutation commute à tout \(\mathfrak{S}_3\)), donc \(\boldsymbol{\Gamma} \subset \hat{\hat\Gamma}^{!}\), la partie pure ; et comme \(\mathfrak{S}_3\) se relève dans \(\hat{\hat\Gamma}\), \(\hat{\hat\Gamma} = \hat{\hat\Gamma}^{!} \rtimes \mathfrak{S}_3 \supset \mathfrak{S}_3 \times \boldsymbol{\Gamma}\). La note marginale de la page 23 dit : « j'ignore si elles coïncident », c'est-à-dire si \(\boldsymbol{\Gamma} = \hat{\hat\Gamma}^{!}\) — si tout automorphisme extérieur à lacets pur commute à \(\mathfrak{S}_3\). Le dossier ne tranche pas, et nous non plus³⁶ .

Description symétrique. Pour décrire \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) sans privilégier \(L_0\), on donne \(u\) par son multiplicateur et trois éléments : \[ (19)\quad p = \chi(u) \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*}, \qquad (20)\quad g_i \in \widehat{\pi}, \qquad (21)\quad u(l_i) = \mathrm{int}(g_i)(l_i^{p}) \quad (i = 0, 1, \infty), \] liés par \[ (22)\qquad \mathrm{int}(g_\infty)(l_\infty^{p})\cdot \mathrm{int}(g_1)(l_1^{p})\cdot \mathrm{int}(g_0)(l_0^{p}) = 1, \] et par la condition que les trois facteurs engendrent \(\widehat{\pi}\)³⁷ . Pour \(u\) donné, \(p\) est unique et chaque \(g_i\) est défini à multiplication à droite près par un élément de \(L_i\) ; composer \(u\) avec \(\mathrm{int}(g)\) garde \(p\) et remplace les \(g_i\) par les \(g\,g_i\)³⁸ . Si \(v\) est donné par \(q\) et \((h_i)\), \[ (23)\qquad vu(l_i) = \mathrm{int}\bigl(v(g_i)\, h_i\bigr)(l_i^{pq}). \]

L'extension \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\). Soit \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) le groupe des systèmes \((p, g_0, g_1, g_\infty) \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \times \widehat{\pi}^{\{0, 1, \infty\}}\) satisfaisant (22) et la condition de génération, avec la loi que donne (23). C'est une extension de \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) par \(\widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\) (le choix des \(g_i\) modulo \(L_i\)), et les trois fonctions \(\gamma_i : (u, (g_j)) \mapsto g_i\) satisfont \[ (24)\qquad \gamma_i(\tilde v\tilde u) = \tilde v\bigl(\gamma_i(\tilde u)\bigr)\, \gamma_i(\tilde v) : \] \((\gamma_i)\) est un \(1\)-cocycle de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) à valeurs dans \(\widehat{\pi}^{\{0,1,\infty\}}\)³⁹ . Le noyau de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} \to \mathrm{Out}^{!}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\) s'identifie au produit \[ \widehat{\pi} \times \prod_{i} L_i \simeq \widehat{\pi} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}, \qquad (g, (\alpha_i)) \longmapsto \bigl(1, (g\, l_i^{\alpha_i})_i\bigr). \]

La page 25 se donne pour tâche d'expliciter l'action des \(\sigma_i\), des \(\varepsilon_i\) et de \(\rho\) sur ces groupes, et en particulier la « covariance » des \(\gamma_i\) par \(\rho\). La formule juste est celle que donnera (15) à la page 36 : \[ \gamma_{\rho(i)}\bigl(\tilde\rho\,\tilde u\,\tilde\rho^{-1}\bigr) = \rho\bigl(\gamma_i(\tilde u)\bigr). \] C'est la forme que prend la covariance⁴⁰ . Une note marginale annonce aussi le groupe \(S\widehat{\mathcal{E}}\), extension de \(\widehat{\mathcal{E}}\) par \(\widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\), et les relèvements des \(\sigma_i\) et de \(\rho\) dans ce groupe.

26–31

Scindages partiels et présentations de \(\mathcal{E}\) (pages 26 à 31)

26–28

Les sous-groupes finis, point fixe par point fixe (pages 26 à 28)

Les classes de conjugaison de scindages partiels maximaux de \(\mathcal{E}\) — de ses sous-groupes finis maximaux — correspondent aux points de \(U\) fixés par un élément non trivial de \(\Gamma\), et aux composantes connexes des lieux fixes des involutions antiholomorphes⁴¹ . La page les passe en revue.

• Les points \(P\), \(\overline{P}\), fixes de \(\dot\rho\), de stabilisateur \(\Gamma_P\) d'ordre \(6\). Le relèvement correspondant est celui des pages 21 et 20 ; ceux relatifs à \(\overline{P}\) s'en déduisent en conjuguant par un élément de \(\mathcal{E}\) au-dessus d'un élément de \(\Gamma\) qui envoie \(P\) sur \(\overline{P}\) (\(\dot\sigma_i\), \(\tau\), \(\tau\dot\rho\), \(\tau\dot\rho^2\)).
• Les points \(0' = 2\), \(1' = -1\), \(\infty' = \frac12\), seuls points fixes dans \(U\) de \(\dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty\) (l'autre point fixe, \(0\), \(1\) ou \(\infty\), est ôté). Leurs stabilisateurs \(\Gamma_{i'} = \langle \dot\sigma_i, \tau\rangle \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) se relèvent par \(\dot\sigma_i \mapsto \sigma_i\), \(\tau \mapsto \tau_i\) ; pour \(0'\), le chemin est le quart de grand cercle qui joint \(P\) au milieu \(2\) de l'arc \((1, \infty)\) opposé à \(0\)⁴² .
• Le lieu fixe de \(\tau\) : \(U^{\tau}\) a trois composantes, les arcs \((0,1)\), \((1,\infty)\), \((\infty, 0)\) du cercle réel, contenant chacun un seul des points \(\infty', 0', 1'\) ; les relèvements correspondants de \(\{1, \tau\}\) sont \(\tau_\infty\), \(\tau_0\), \(\tau_1\), et ne donnent rien de nouveau.
• Le lieu fixe de \(\tau\dot\sigma_1\), \(z \mapsto 1/\bar z\) : c'est \(\{|z| = 1\} \setminus \{1\}\), connexe, contenant \(P\) et \(\overline{P}\) ; il redonne le relèvement \(\tilde\sigma_1\) de \(\dot\sigma_1\tau\). De même, par \(\rho\), pour \(\tau\dot\sigma_\infty\) et \(\tau\dot\sigma_0\).

28–30

Présentations de \(\mathcal{E}\) (pages 28 à 30)

Un premier essai, par un générateur \(\rho'\) d'ordre \(6\) avec \(\rho'^3 = \tau\), est barré⁴³ . La page 29 part de la présentation de \(\Gamma\) par \(\dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty, \dot\rho, \tau\) et relève en \(\sigma_i, \rho, \tau_i\). Les relations vraies dans \(\mathcal{E}\) sont \[ \begin{gathered} \sigma_i^2 = \tau_i^2 = 1, \qquad \rho^3 = 1, \qquad \rho\,\tau_i\,\rho^{-1} = \tau_{\rho(i)}, \qquad \rho\,\sigma_i\,\rho^{-1} = \sigma_{\rho(i)}, \qquad \tau_i\,\sigma_i = \sigma_i\,\tau_i, \\ \sigma_0\sigma_1 = \rho\,\tau_\infty\tau_1 = \tau_0\tau_\infty\,\rho, \qquad \sigma_1\sigma_\infty = \tau_1\tau_0\,\rho, \qquad \sigma_\infty\sigma_0 = \tau_\infty\tau_1\,\rho, \end{gathered} \] la dernière ligne étant (2) récrite par (17), \(\rho\, l_0 = l_1\,\rho\)⁴⁴ .

La page 30 réduit les générateurs à \(\rho, \sigma_0, \tau_0\), les autres s'en déduisant par conjugaison par \(\rho\). La relation qui reste, tirée de \(\sigma_0\sigma_1 = \rho\,\tau_\infty\tau_1\) avec \(\sigma_1 = \rho\sigma_0 \rho^{-1}\), \(\tau_\infty = \rho^2\tau_0\rho^{-2}\), \(\tau_1 = \rho\tau_0\rho^{-1}\), est \[ \sigma_0\,\rho\,\sigma_0\,\rho^{-1} = \tau_0\,\rho^{-1}\,\tau_0\,\rho^{-1}, \qquad \text{soit} \qquad (\sigma_0\,\tau_0\,\rho)^2 = 1 , \] et \[ \mathcal{E} = \bigl\langle\, \rho, \sigma_0, \tau_0 \bigm| \sigma_0^2 = \tau_0^2 = (\sigma_0\tau_0)^2 = \rho^3 = (\sigma_0\tau_0\rho)^2 = 1 \,\bigr\rangle , \] quotient du produit libre \((\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2) * \mathbb{Z}/3\) par une seule relation, comme le dit la page⁴⁵ . Avec \(a = \tau_0\), \(b = \tilde\sigma_0 = \sigma_0\tau_0\) et \(c = \tilde\sigma_1 = \tilde\sigma_0\,\rho\), c'est la présentation du groupe de Coxeter \(\langle a, b, c \mid a^2, b^2, c^2, (ab)^2, (bc)^3 \rangle\) du triangle d'angles \(\pi/2, \pi/3, 0\), c'est-à-dire du groupe modulaire étendu \(PGL_2(\mathbb{Z})\). En effet, les relations valant dans \(\mathcal{E}\), on a un morphisme surjectif de ce groupe de Coxeter sur \(\mathcal{E}\) ; il envoie le sous-groupe d'indice \(2\) des mots pairs, engendré par \(ab = \sigma_0\) et \(bc = \rho\) et classiquement isomorphe à \(\mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/3\), isomorphiquement sur \(\mathcal{E}^{+}\) (page 19), et il est compatible aux deux morphismes vers \(\mathbb{Z}/2\) ; c'est donc un isomorphisme⁴⁶ .

La page remarque enfin une symétrie qui échange \(\sigma_0\) et \(\tau_0\), et \(\rho\) et \(\rho^{-1}\) ; elle respecte bien les relations ci-dessus, puisque \(\tilde\sigma_0\) conjugue \(\rho\) en \(\rho^{-1}\). Mais elle n'est pas compatible avec la structure d'extension : si elle préservait \(\pi\), elle induirait sur \(\Gamma\) un automorphisme échangeant \(\tau\), central, et \(\dot\sigma_0\), qui ne l'est pas⁴⁷ .

31–31

L'extension \(S\Gamma\) (page 31)

Il faudrait encore expliciter l'extension \(S\Gamma = S\Gamma_{0,3}\) de \(\Gamma\) par \(\mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}}\), d'où, par produit fibré, \(S\mathcal{E} = S\Gamma \times_\Gamma \mathcal{E}\). La page s'arrête là ; la suite (pages 32 à 37) construit d'abord le groupe complété et revient à \(S\mathcal{E}\) par restriction.

32–37

Le groupe \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) (pages 32 à 37)

32–33

Coordonnées et loi de groupe (pages 32 et 33)

« (2) Le groupe \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) » : c'est l'ensemble des systèmes \[ (1)\qquad \tilde u = (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty), \qquad p \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*},\ \sigma \in \mathfrak{S}_3,\ g_i \in \widehat{\pi}, \] satisfaisant \[ (2)\qquad \mathrm{int}(g_\infty)(l_{\sigma(\infty)}^{p}) \cdot \mathrm{int}(g_1)(l_{\sigma(1)}^{p}) \cdot \mathrm{int}(g_0)(l_{\sigma(0)}^{p}) = 1, \] et tels que les trois facteurs engendrent \(\widehat{\pi}\) ; à \(\tilde u\) est associé l'automorphisme à lacets \[ (3)\qquad u(l_i) = \mathrm{int}(g_i)(l_{\sigma(i)}^{p}), \qquad (4)\qquad S\hat{\hat{\mathcal{E}}} \longrightarrow \hat{\hat{\mathcal{E}}} = \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi}), \quad \tilde u \mapsto u . \] Le morphisme \[ (5)\qquad i : \widehat{\pi} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}} \longrightarrow S\hat{\hat{\mathcal{E}}}, \qquad (6)\qquad i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty) = (1, 1, g\, l_0^{\alpha_0}, g\, l_1^{\alpha_1}, g\, l_\infty^{\alpha_\infty}), \] est un homomorphisme injectif du produit direct, et (7) l'image de \(i(g; \alpha)\) par (4) est \(\mathrm{int}(g)\). Donc (4) est surjectif, de noyau \(i(\{1\} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}})\), et \(i(\widehat{\pi} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}})\) est le noyau du composé \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}} \to \mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\)⁴⁸ . La multiplication est \[ (8)\qquad (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)\,(p', \sigma', g'_0, g'_1, g'_\infty) = \bigl(pp',\ \sigma\sigma',\ (u(g'_i)\, g_{\sigma'(i)})_{i}\bigr), \] comme on le vérifie en appliquant \(u\) à \(u'(l_i) = \mathrm{int}(g'_i) (l_{\sigma'(i)}^{p'})\). Elle n'est pas « entièrement explicite », note la page, puisqu'elle fait intervenir \(u(g'_i)\), calculable seulement quand \(g'_i\) est donné comme un mot (ou une limite de mots) en les \(l_j\). Elle l'est quand le premier facteur est dans l'image de \(i\) : \[ (9)\qquad i(g; \alpha)\,(p, \sigma, g_i) = \bigl(p, \sigma, (g\, g_i\, l_{\sigma(i)}^{\alpha_{\sigma(i)}})_i\bigr), \] ce qui pour \(\sigma = 1\) donne (9') \((p, 1, (g\, g_i\, l_i^{\alpha_i})_i)\) ; et l'action de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) par conjugaison sur l'image de \(i\) ne dépend que de \(u\) : \[ (10)\qquad \tilde u\; i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\; \tilde u^{-1} = i\bigl(u(g);\ p\,\alpha_{\sigma^{-1}(0)},\ p\,\alpha_{\sigma^{-1}(1)},\ p\,\alpha_{\sigma^{-1}(\infty)}\bigr), \] avec la même réserve sur l'explicitation de \(u(g)\)⁴⁹ . En particulier \(i(\widehat{\pi})\) est distingué, et le quotient \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}/i(\widehat{\pi})\) est une extension de \(\mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat{\pi})\) par \(\widehat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\) dont \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) est le produit fibré avec \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) : c'est la forme complétée du \(S\mathcal{E} = S\Gamma \times_\Gamma \mathcal{E}\) de la page 31⁵⁰ .

34–35

Les rectificateurs triviaux (pages 34 et 35)

On regarde la partie \(S\widehat{\mathcal{E}}\) de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) au-dessus de \(\Gamma \subset \hat{\hat\Gamma}\), et les éléments \(\rho\), \(\sigma_i\), \(\tau_i\), qui sont même dans \(\mathcal{E}\). Le relèvement multiplicatif \(\dot\rho \mapsto \rho\), \(\dot\sigma_0\tau \mapsto \tilde\sigma_0 = \sigma_0\tau_0\) de \(\Gamma_P\) dans \(\mathcal{E}\) se remonte à \(S\mathcal{E}\) par \[ (11)\qquad \varphi : \Gamma_P \longrightarrow S\mathcal{E}, \qquad (12)\qquad \begin{aligned} \dot\rho &\longmapsto (1, \rho, 1, 1, 1) =: \tilde\rho,\\ (\dot\sigma_i, \tau) &\longmapsto (-1, \sigma_i, 1, 1, 1) =: \tilde\sigma'_i , \end{aligned} \] où \(\tilde\rho\) est la permutation \(l_i \mapsto l_{\rho(i)}\) et \(\tilde\sigma'_i\) l'automorphisme \(l_j \mapsto l_{\sigma_i(j)}^{-1}\) — pour \(i = 0\), celui de (14)⁵¹ .

L'ensemble des \((p, \sigma, 1, 1, 1)\) est un sous-groupe (par (8)), formé des \((p, \sigma)\) tels que \[ (13)\qquad l_{\sigma(\infty)}^{p}\, l_{\sigma(1)}^{p}\, l_{\sigma(0)}^{p} = 1 \] — c'est (2) avec \(g_i = 1\)⁵² . Dans \(S\mathcal{E}\), où \(p = \pm 1\), les solutions sont exactement les \((\operatorname{sg}\sigma, \sigma)\) : pour \(p = 1\), il faut que \((\sigma(\infty), \sigma(1), \sigma(0))\) soit une permutation circulaire de \((\infty, 1, 0)\), et pour \(p = -1\), que \((\sigma(0), \sigma(1), \sigma(\infty))\) le soit. Le sous-groupe \(\tilde\Gamma_P = \varphi(\Gamma_P)\) est donc caractérisé dans \(S\mathcal{E}\) comme celui des automorphismes qui préservent \(L_0, L_1, L_\infty\), affectés des « rectificateurs » \(g_0 = g_1 = g_\infty = 1\).

L'exercice. La page conjecture (« Sans doute ») que le même résultat vaut dans \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\), c'est-à-dire que (13) force \(p = \pm 1\), le ramène — quitte à multiplier par un \(\tilde\sigma'_i\) pour rendre \(\sigma\) paire, ce qui change \(p\) en \(-p\) — à l'énoncé : pour \(p \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), \[ (14)\qquad l_\infty^{p}\, l_1^{p}\, l_0^{p} = 1 \quad\Longrightarrow\quad p = 1, \] et le laisse en « Exercice ! ». C'est vrai, et voici une solution⁵³ . Par (1), \(l_\infty = (l_1 l_0)^{-1}\), et (14) s'écrit \((l_1 l_0)^{p} = l_1^{p} l_0^{p}\). Si \(p \neq 1\), il existe un entier \(N \geq 3\) tel que \(p \not\equiv 1 \pmod N\). Envoyons \(l_0, l_1\) — c'est permis, \(\widehat{\pi}\) étant libre profini sur eux — sur deux réflexions \(x, y\) du groupe diédral d'ordre \(2N\) dont le produit \(r = yx\) est une rotation d'ordre \(N\). Comme \(p\) est impair, \(x^{p} = x\) et \(y^{p} = y\), donc \(l_1^{p} l_0^{p} \mapsto r\), tandis que \((l_1 l_0)^{p} \mapsto r^{p} \neq r\). Donc (14) entraîne \(p = 1\), et (13) entraîne \(p = \pm 1\) et \((\sigma, p) \in \Gamma_P\) dans \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) aussi.

36–37

Relèvements des \(2\)-Sylow ; centralisateurs de \(\tilde\rho\) et \(\tilde\sigma_0\) (pages 36 et 37)

Les \(2\)-sous-groupes de Sylow \(\langle \dot\sigma_i, \tau \rangle \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) de \(\Gamma\), qui se relèvent dans \(\mathcal{E}\) (pages 26 à 28), ne se relèvent pas dans \(S\mathcal{E}\) : déjà \(\dot\sigma_0\) ne se relève pas en un élément d'ordre \(2\). L'argument de la page est que l'extension locale en \(0\) n'est pas scindée : aucun élément d'ordre \(2\) de \(\mathcal{E}\) au-dessus de \(\dot\sigma_0\) ne centralise \(L_0\). En effet le centralisateur de \(L_0\) dans \(\mathcal{E}^{+} \simeq PSL_2(\mathbb{Z})\) est le stabilisateur d'une pointe, infini cyclique engendré par \(\varepsilon_0\), sans torsion. Et si \(\tilde u = (1, \sigma_0, g_0, g_1, g_\infty)\) était d'ordre \(2\) dans \(S\mathcal{E}\), (8) donnerait \(u^2 = 1\) et \(u(g_0)\,g_0 = 1\), et \(w = \mathrm{int}(g_0^{-1})\,u\) serait un élément de \(\mathcal{E}\) au-dessus de \(\dot\sigma_0\), fixant \(l_0\), avec \(w^2 = \mathrm{int}\bigl((u(g_0)g_0)^{-1}\bigr) = 1\) — contradiction⁵⁴ .

Plutôt que de présenter \(S\Gamma\) et \(S\mathcal{E}\) par générateurs et relations (« je ne vais pas m'y attarder »), la page donne l'action des automorphismes intérieurs de \(\tilde\rho\) et \(\tilde\sigma'_0\) : \[ \begin{aligned} (15)\quad & \mathrm{int}(\tilde\rho)(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = \bigl(p,\ \rho\sigma\rho^{-1},\ \rho(g_\infty),\ \rho(g_0),\ \rho(g_1)\bigr),\\ (16)\quad & \mathrm{int}(\tilde\sigma'_0)(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = \bigl(p,\ \sigma_0\sigma\sigma_0,\ \tilde\sigma_0(g_0),\ \tilde\sigma_0(g_\infty),\ \tilde\sigma_0(g_1)\bigr), \end{aligned} \] où, dans (16), \(\tilde\sigma_0\) désigne l'automorphisme (14) de \(\widehat{\pi}\) sous-jacent à \(\tilde\sigma'_0\)⁵⁵ . D'où :

1. a)\(\tilde u\) commute à \(\tilde\rho\) si et seulement si \(\sigma\) commute à \(\rho\), soit \(\sigma \in \mathfrak{S}_3^{+} = \{1, \rho, \rho^2\}\), et \[ (17)\qquad g_1 = \rho(g_0), \qquad g_\infty = \rho(g_1), \qquad g_0 = \rho(g_\infty), \] où la troisième égalité suit des deux premières, \(\rho\) étant d'ordre \(3\). Ces \(\tilde u\) correspondent donc aux \((p, \sigma, g_0) \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \times \mathfrak{S}_3^{+} \times \widehat{\pi}\) tels que \[ (18)\qquad \mathrm{int}\bigl(\rho^2(g_0)\bigr)(l_{\sigma(\infty)}^{p}) \cdot \mathrm{int}\bigl(\rho(g_0)\bigr)(l_{\sigma(1)}^{p}) \cdot \mathrm{int}(g_0)(l_{\sigma(0)}^{p}) = 1, \] et que les trois facteurs engendrent \(\widehat{\pi}\) — l'analogue, dans les nouvelles coordonnées, de la relation encadrée de la page 7.
2. b)\(\tilde u\) commute à \(\tilde\sigma'_0\) si et seulement si \(\sigma \in \{1, \sigma_0\}\) et \(g_0 = \tilde\sigma_0(g_0)\), \(g_\infty = \tilde\sigma_0(g_1)\) (donc \(g_1 = \tilde\sigma_0(g_\infty)\))⁵⁶ .

Le dossier s'arrête sur une phrase qui annonce le vrai problème, et n'est pas suivie : « À vrai dire, nous nous intéressons plutôt à la commutation dans \(\hat{\hat\Gamma}\), i.e. la commutation modulo automorphismes intérieurs » — c'est-à-dire au groupe \(\boldsymbol{\Gamma}\) des pages 6 à 11 et 23, qu'il s'agissait de décrire dans les nouvelles coordonnées.