1) Groupe de Teichmüller spécial étendu du cylindre
titre de sa main, en tête de la page, numéroté « 1) ».
Considérons le cylindre standard
(1)\qquad X = \mathbb{U}\times\mathbb{I}, \quad\text{où}\quad
\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C} \mid |z|=1\},\quad \mathbb{I}=[-1,+1],
donc
(2)\qquad \partial X = \mathbb{U}\times\partial\mathbb{I}
= \mathbb{U}\times\{-1,+1\} = \mathbb{U}_{-1}\sqcup\mathbb{U}_{1}.
Choisissons le revêtement universel standard de \mathbb{U}_\varepsilon (\varepsilon\in\{\pm1\}), par
(3)\qquad
\begin{cases}
\widetilde{\mathbb{U}}_\varepsilon \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{R}_\varepsilon \longrightarrow \mathbb{U}_\varepsilon\\
(t,\varepsilon)\longmapsto (\exp(2i\pi t),\varepsilon).
\end{cases}
Considérons le groupe « dihédral torique » (\simeq O(2,\mathbb{R}))
(4)\qquad D_{\mathbb{U}} \overset{\text{déf}}{=} \{1,\sigma\}.\mathbb{U}\qquad(\tfrac12\text{ direct})
la parenthèse « (\simeq O(2,R)) » est ajoutée au-dessus de la ligne et reliée à « diédral torique » ; devant le O une lettre surchargée, peut-être un S biffé.
où \sigma est la conjugaison complexe de \mathbb{C}, opérant sur \mathbb{U} par z\mapsto z^{-1}, nous choisissons comme revêtement universel de ce groupe le groupe « dihédral réel »
(5)\qquad \widetilde{D}_{\mathbb{U}} \overset{\text{déf}}{=} D_{\mathbb{R}} = \{1,\sigma\}.\mathbb{R},
avec l'homomorphisme de revêtement
(6)\qquad \sigma^\nu.t \longmapsto \sigma^\nu \exp(2i\pi t),
\nu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
de sorte qu'on a une suite exacte
(7)\qquad 1\longrightarrow\mathbb{Z}\longrightarrow D_{\mathbb{R}}\longrightarrow D_{\mathbb{U}}\longrightarrow 1.
Nous faisons opérer D_{\mathbb{R}} sur \mathbb{R}_\varepsilon=\widetilde{\mathbb{U}}_\varepsilon par
(8)\qquad (\sigma^\nu.u).t_\varepsilon = (-1)^\nu(t+u)_\varepsilon
(N.B. t_\varepsilon=(t,\varepsilon), \varepsilon\in\{\pm1\}).
Cette opération passe au quotient en une opération de D_{\mathbb{U}} sur Pour ceci plus commodément, c'est le sous-groupe
(12)\qquad
\begin{gathered}
D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} \overset{\text{déf}}{=} \{1,\sigma\}.(\mathbb{R}\times\mathbb{R}) \hookrightarrow D_{\mathbb{R}}\times D_{\mathbb{R}}\qquad(\tfrac12\text{ direct})\\
\sigma^\nu.(u_{-1},u_1)\longmapsto(\sigma^\nu.u_{-1},\sigma^\nu.u_{+1})
\end{gathered}
qu'on va faire opérer, de façon à ce que ces opérations passent au quotient en une opération de D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} sur X lui-même. On
désignons, pour un élément
(u_{-1},u_1)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R},
ici et plus bas l'indice de D porte sur le premier \mathbb{R} une marque qu'on peut prendre pour un astérisque ; on lit \mathbb{R}\times\mathbb{R}, conformément à (12).
par
(13)\qquad s\longmapsto u_s
l'application affine de \mathbb{R} dans \mathbb{R} déf qui prend la valeur u_{-1} pour s=-1, la valeur u_1 pour s=+1,
Considérons le sous-groupe de D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} qui opère trivialement sur \partial X=\mathbb{U}\times\{-1,+1\}, c'est le sous-groupe
\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\subset D^{\circ}_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}.
Considérons deux éléments
(16)\qquad \sigma^\nu u_{\cdot}=\sigma^\nu.(u_{-1},u_1),\qquad \sigma^{\nu'}.u'_{\cdot}=\sigma^{\nu'}.(u'_{-1},u'_1)
de D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}, on voit de suite qu'ils ont même effet sur \widetilde{X} opère fidèlement sur \widetilde{X}, et même sur \partial\widetilde{X}=\widetilde{\partial X}.
Pour que les éléments (16) aient même action sur X, il faut et il suffit qu'on ait
(17)\qquad \nu=\nu' \quad\text{et}\quad u_s-u'_s\in\mathbb{Z}\quad \forall s\in\mathbb{I}
(la première condition \nu=\nu' exprime d'ailleurs que les deux opérations, envisagées , ont même effet sur l'orientation de X). La condition u_s-u'_s\in\mathbb{Z} \forall s\in\mathbb{I} s'explique par
(18)\qquad
\begin{cases}
\dfrac{u_1-u_{-1}}{2}=\dfrac{u'_1-u'_{-1}}{2} \quad\text{i.e.}\quad u_1-u_{-1}=u'_1-u'_{-1}\\[2ex]
\dfrac{u_1+u_{+1}}{2}\equiv\dfrac{u'_1+u'_{-1}}{2}\ (\mathbb{Z}) \quad \text{\struck{\ill{}}}
\end{cases}
au numérateur de gauche de la seconde ligne, le manuscrit porte u_{+1} ; on attend u_{-1}.
Écrivons Prenons comme nouveaux paramètres, pour repérer un élément \sigma^\nu(u_{-1},u_{+1}) de D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}, au lieu de (\nu et) u_{-1} et u_{+1}, mais les coefficients
a=\dfrac{u_1-u_{-1}}{2} et b=\dfrac{u_1+u_{-1}}{2} de (14), on pose
(19)\qquad f_{a,b}\overset{\text{déf}}{=}(u_{-1},u_1)\quad\text{où}\quad
\begin{cases} u_{-1}=-a+b\\ u_1=a+b.\end{cases}
Alors
(20)\qquad f_{a,b}=f_{a',b'} \iff a=a',\ b\equiv b'\ (\mathbb{Z})
il faut comprendre : même action sur X. Devant (20) un signe biffé.
Ainsi, le groupe quotient de D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} qui opère fidèlement sur X est le groupe
(21)\qquad D_{\mathbb{R}\times\mathbb{U}} \overset{\text{déf}}{=} \{1,\sigma\}.(\mathbb{R}\times\mathbb{U})\qquad(\tfrac12\text{ direct})
où \sigma opère encore sur \mathbb{R}\times\mathbb{U} par symétrie
\sigma(u,\theta)=(-u,\theta^{-1}).
On fait opérer D_{\mathbb{R}\times\mathbb{U}} sur X par
(22)\qquad
\begin{cases}
\sigma(z,s)=(z^{-1},s)\\
g_{a,\theta}(z,s)\overset{\text{déf}}{=}(z\exp(2i\pi as)\,\theta,\ s)\qquad (a\in\mathbb{R},\ \theta\in\mathbb{U})
\end{cases}
et cette action se relève en une action de D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} sur \widetilde{X} par
(23)\qquad
\begin{cases}
\sigma(t,s)\overset{\text{déf}}{=}(-t,s)\\
f_{a,b}(t,s)\overset{\text{déf}}{=}(t+(as+b),\ s)\qquad (a\in\mathbb{R},\ b\in\mathbb{R}).
\end{cases}
Considérons On fera opérer le groupe
(24)\qquad \{\pm1\}\times D_{\mathbb{R}\times\mathbb{U}}
(\tfrac12 direct, via op. de \pm1 sur D_{\mathbb{R}\times\mathbb{U}} par chgt de signe sur le facteur \mathbb{R})
sur X, par
(25)\qquad (\varepsilon\times\sigma^\nu.g_{a,\theta})(z,s)\overset{\text{déf}}{=}\bigl((z\exp(2i\pi as)\,\theta)^{(-1)^\nu},\ \varepsilon s\bigr) ;
après z, un exposant raturé.
cette opération se réalise en une op. de
(26)\qquad \{\pm1\}\times D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}
(\tfrac12 direct via op. de \pm1 sur D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} par chgt de signe sur le facteur a de f_{a,b} …)
sur \widetilde{X}, par
(27)\qquad (\varepsilon\times\sigma^\nu f_{a,b})(t,s)\overset{\text{déf}}{=}\bigl((-1)^\nu(t+(as+b)),\ \varepsilon s\bigr).
Considérons le sous-groupe de ont sur (\partial X)_{-1} et (\partial X)_{+1} sont des rotations op. d'ordre fini, ce qui s'exprime par les conditions
\theta\exp(-2i\pi a),\ \theta\exp 2i\pi a\in\mu_\infty(\mathbb{C})
(ens. des él. d'ordre fini de \mathbb{U})
soit encore
(28)\qquad \theta\in\mu_\infty(\mathbb{C}),\quad a\in\mathbb{Q}.
Ce sous-groupe est stable par l'opération de \{\pm1\}\times\{1,\sigma\}, opérant de la façon explicitée plus haut, un sous-groupe du groupe de (24), formé justement par les opérations (identité que) qui sur \partial X sont d'ordre fini. Ce sous-groupe
L'opération de \widetilde{G} sur \widetilde{X} est donnée par
(32)\qquad \bigl((\varepsilon,\varepsilon').f_{a,b}\bigr)(t,s)=\bigl(\varepsilon'(t+(as+b)),\ \varepsilon\varepsilon's\bigr)=\varepsilon'\bigl(t+(as+b),\ \varepsilon s\bigr)
(\varepsilon,\varepsilon'\in\mu,\quad a,b\in\mathbb{Q},\quad t\in\mathbb{R},\quad s\in\mathbb{I}),
dans la marge gauche, devant (32), une ligne biffée, illisible.
elle passe au quotient en l'action de G sur X
(33)\qquad \bigl((\varepsilon,\varepsilon').g_{a,\theta}\bigr)(z,s)=\bigl((z\theta\exp 2i\pi as)^{\varepsilon'},\ \varepsilon\varepsilon's\bigr)
\qquad(\varepsilon,\varepsilon'\in\mu,\ a\in\mathbb{Q},\ \theta\in\mu_\infty).
Pour l'opération (\varepsilon,\varepsilon').g_{a,b}, \varepsilon est le caractère d'orientation (l'orientation conservée ou renversée suivant que \varepsilon=+1 ou \varepsilon=-1), \varepsilon\varepsilon' est le signe qui indique l'action sur \pi_0(\partial X) (« ensemble des trous »). L'action de G sur \partial X s'obtient en oubliant, le signe \varepsilon\varepsilon' pris et par les indiquant s'il y a transposition entre les deux comp. connexes, et par les le signe \varepsilon' pris indiquant s'il faut composer avec une conjugaison complexe, par les deux rotations
\theta\exp(-2i\pi a),\quad \theta\exp(2i\pi a).
la suite de la page, jusqu'en haut de la page suivante, est barrée de traits obliques.
Exprimons que l'
\text{\struck{$(34)\quad \theta\exp(-2i\pi a)=-1,\quad \theta\exp 2i\pi a=-1$}}
on trouve les deux types de solutions
\text{\struck{$(35)\quad \theta=1,\ a\in\tfrac12+\mathbb{Z}\quad;\quad \theta=-1,\ a\in\mathbb{Z}$}}
ou plus simplement, si \theta=\exp 2i\pi b, en termes de a et b
\text{\struck{$(36)\quad a\equiv\tfrac12,\ b\equiv1\ (\mathbb{Z})\quad\text{ou}\quad a\equiv1,\ b\equiv\tfrac12\ (\mathbb{Z}).$}}
Nous nous intéresserons plus particulièrement aux sous-groupes
fin du passage barré.
Nous nous intéresserons au sous-groupe G_0 de G correspondant à la valeur \theta=1 ; on écrira g_a au lieu de g_{a,\theta}, donc
(34)\qquad g_a(z,s)=(z\exp 2i\pi as,\ s).
les numéros (34) et (35) sont repris après la rature.
Pour que cette opération induise l'identité sur \partial X, il faut et il suffit qu'on ait
(35)\qquad \exp 2i\pi a=1\quad\text{i.e.}\quad a\in\mathbb{Z}.
Nous nous intéresserons au sous-groupe
la phrase s'arrête ici ; le reste de la page est blanc.
changement d'encre (brune) : une nouvelle série de notes commence ici, sans lien explicite avec la numérotation (1)–(36) qui précède.
Cylindre
trois ensembles à 2 éléments
a) \pi_0\,\partial X — \varepsilon_0(X)
b) ens. des deux générateurs de \pi_1(X)\simeq H_1(X) — \varepsilon_1(X)
c) une des deux orientations de X — \omega(X)
les trois noms \varepsilon_0(X), \varepsilon_1(X), \omega(X) sont écrits en colonne à droite, séparés de la liste par un trait vertical.
On a une iso. canonique
\omega(X)\simeq\varepsilon_0(X)\wedge\varepsilon_1(X).
à gauche, un cylindre vertical ; sur le cercle du bas, une flèche tangente et une flèche verticale montant vers l'intérieur, marquant une orientation.
Si on a une compos. S du bord (\alpha\in\varepsilon_0(X)) et une orientation du bord (
Soit un automorphisme u de X induisant l'identité sur \partial X. Il peut se relever en un automorphisme \tilde u^{(S)} de \widetilde{X} unique induisant l'identité sur \widetilde{X}|S — alors son action sur \widetilde{X}|S' est de n\in H_1(S')\simeq H_1(X).
S'=\partial X\setminus S
Si on change remplace S par S', on trouve \tilde u^{(S')}, tel que
\tilde u^{S'}=\tau_n^{-1}\tilde u^{S}=\tau_{-n}\tilde u^{S}
\text{\struck{$\tilde\rho^{3}(\tilde\tau'_\infty)=\tilde\omega_0^{-1}\tilde\tau'_\infty\tilde\omega_0=\tilde\omega_0^{-1}\tilde\tau'_\infty\tilde\omega_0\tilde\tau'^{-1}_\infty\tilde\tau'_0$}}
\text{\struck{$=\tilde\omega_0^{-2}\tilde\tau'_0=\ldots$}}
ligne biffée, en tête de page ; sa fin n'est pas sûre. Elle renvoie à des notations (\tilde\rho, \tilde\omega_0, \tilde\tau'_\infty) qui ne sont pas introduites dans ce lot.
\tau'',\ \tau,\quad \xi_0,\ \xi_1,\ \xi_2
\begin{array}{lll}
\tau'',\ \xi_0,\ \xi_1 & \text{engendrent} & \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})\\
\tau'',\ \xi_2,\ \xi_1^{-1} & \text{———} & \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})\\
\tau'',\ \xi_1 & \text{———} & D_{\xi_1}
\end{array}
devant « engendrent », un mot biffé. Le tiret long répète « engendrent ».
\tau permute ces deux ss-groupes \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) et opère sur D_{\xi_1}
\mathcal{T}_{1,2}\ \overset{?}{\simeq}\ \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})\underset{D_\infty}{*}\mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})
un « ! » est écrit au-dessus de l'indice de \mathcal{T}, un « ? » au-dessus du signe d'isomorphie.
un grand cercle (une sphère) ; trois arcs descendent depuis le haut, issus d'un même voisinage du pôle, et s'arrêtent vers le milieu.
3g cylindres qui sont deux à deux en position standard (deux cylindres polaires de même pôle, ou un cylindre polaire et un transverse relatifs au même axe équatorial) ou ne se rencontrent pas.
2g+2\,\frac{g(g-1)}{2}=2g\Bigl(1+\frac{g-1}{2}\Bigr)=2\,\frac{g(g+1)}{2}
paires de cylindres en position standard^{4}, et les autres^{5} paires sont disjointes.
les exposants 4 et 5 sont sur la page ; leur sens n'est pas indiqué. Une étiquette imprimée est collée sur ces deux lignes et en masque une partie ; « paires de cylindres » se lit en partie sous l'étiquette.
en haut, deux figures d'un tore (ou d'une sphère à anse) traversé par un cylindre horizontal. Sur la première sont portées les étiquettes X' (deux fois), \xi', X_0^{*} et, sur le cylindre, \xi'' et une flèche marquée 5 ou S ; la seconde montre le même cylindre traversant une figure ovale, vue de face.
\tau',\ \tau'',\ \tau^{*}\qquad \text{\struck{$\xi$}}\ \ \xi^{*}\ \ \bar\xi'
la lecture des exposants sur la seconde ligne est incertaine ; le premier symbole est surchargé.
une surface ovale découpée par des arcs (méridiens et un équateur), avec, sur une face, deux flèches parallèles de sens opposés et une flèche en pointillé. À droite : « 4 rectangles, 10 arêtes, 4 sommets ».
un petit cercle d'où partent trois segments ; entre deux d'entre eux, un secteur hachuré.
\tau'^2=\tau''^2=\tau^2=\text{\struck{\ill{}}}=1,\qquad (\tau''\tau)^2=(\tau\tau')^2=(\tau'\tau'')^2=1
le « =1 » de la première égalité est restitué d'après la suite de la ligne ; le passage biffé est illisible.
\begin{aligned}
&\tau(\xi_0)=\xi_2\qquad(\tau(\xi_2)=\tau(\xi_1))\\
&\tau(\xi_1)=\xi_1^{-1}\\
&\tau'(\xi_0)=\tau''(\xi_0)=\xi_0^{-1}\\
&(\Rightarrow\ \tau'(\xi_2)=\tau''(\xi_2)=\xi_2^{-1})\\
&\tau'(\xi_1)=\tau''(\xi_1)=\xi_1^{-1}\\
&[\xi_0,\xi_2]=1
\end{aligned}
la parenthèse « (\tau(\xi_2)=\tau(\xi_1)) » se lit ainsi sur la page ; on attendrait \tau(\xi_2)=\xi_0. Dans la ligne marquée \Rightarrow, l'indice du premier \xi est surchargé (1 sur 2).
\rho_0\overset{\text{déf}}{=}(\xi_1\xi_0)^{-1}=\xi_0^{-1}\xi_1^{-1},\qquad
\tau(\rho_0)=(\xi_1^{-1}\xi_2)^{-1}\overset{\text{déf}}{=}\rho_2=\xi_2^{-1}\xi_1
ces deux formules, à droite, sont séparées du reste par un trait courbe qui borde aussi la ligne horizontale au-dessous.
\xi_0\underbrace{\xi_1\xi_0}_{\rho_0^{-1}}=\underbrace{\xi_1\xi_0}_{\rho_0^{-1}}\xi_1
\ \Longrightarrow\ (\underbrace{\xi_1\xi_0}_{\rho_0^{-1}})^3=(\underbrace{\xi_0\xi_1\xi_0}_{\sigma_0})^2
(\xi_1\xi_0)^6=1,\qquad (\xi_1\xi_0)^6=(\xi_0\xi_1\xi_0)^4
les deux dernières relations sont entourées d'un ovale, d'où part une flèche vers la ligne suivante. Dans la première formule, le terme de gauche se lit \xi_0\,\xi_1\xi_0 ; on attendrait \xi_0\xi_1\xi_0=\xi_1\xi_0\xi_1, la relation de tresse.
\xi_2\xi_1^{-1}\xi_2=\xi_1^{-1}\xi_2\xi_1^{-1}
\begin{array}{lll}
\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}) & \rho,\sigma & \bigm| \ \rho^3=\sigma^2,\ \sigma^4\,(=\rho^6)=1\\[1ex]
& \xi_0\,\xi_1 & \bigm| \ \xi_0\xi_1\xi_0=\xi_1\xi_0\xi_1,\ (\xi_1\xi_0)^6=1\\[2ex]
\mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) & \rho,\sigma,r_0 & \bigm| \ \rho^3=\sigma^2,\ \sigma^4\,(=\rho^6)=1,\ r_0^2=1,\\
& & \phantom{\bigm|}\ r_0(\rho)=\rho^{-1},\ r_0(\sigma)=\sigma^{-1}\\[1ex]
& r_0,r_\infty,r_1 & \bigm| \ r_0^2=r_1^2=r_\infty^2=1,\ (r_0r_\infty)^2=(r_1r_0)^3,\ (r_0r_\infty)^4=1\\[1ex]
& r_0,\xi_0,\xi_1 & \bigm| \ r_0^2=1,\ r_0(\xi_0)=\xi_1^{-1},\ r_0(\xi_1)=\xi_0^{-1},\\
& & \phantom{\bigm|}\ \xi_0\xi_1\xi_0=\xi_1\xi_0\xi_1,\ (\xi_1\xi_0)^6=1
\end{array}
dans la présentation de \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}) par \xi_0,\xi_1 comme dans la dernière de \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}), une relation (\xi_1\xi_0)^3(\xi_0\xi_1\xi_0)^{2}=1 est biffée et remplacée par la relation de tresse. Dans la présentation par r_0,r_\infty,r_1, l'exposant de (r_0r_\infty) est surchargé (2 sur 3 ou l'inverse), et les indices des générateurs sont surchargés eux aussi. Dans la dernière ligne, le second membre de la relation de tresse se lit \xi_1\xi_2\xi_1 ; on attend \xi_1\xi_0\xi_1.
\tilde\xi_0,\ \tilde\xi_1,\ \tilde r_0 relèvements dus au fait que \xi',\xi'',r_0 fixent le pt base au-dessus de \partial X (\xi',\xi'' sont = l'identité sur \partial X)
On définit ensuite
\begin{aligned}
\tilde\rho&=(\tilde\xi_1\tilde\xi_0)^{-1}=\tilde\xi_0^{-1}\tilde\xi_1^{-1}\quad\text{i.e.}\quad\tilde\xi_1\tilde\xi_0=\tilde\rho^{-1}\\
\tilde\sigma&=\tilde\xi_0\tilde\rho^{-1}\qquad\text{d'où}\quad\tilde\xi_0=\tilde\sigma\tilde\rho\\
&=\tilde\xi_0\tilde\xi_1\tilde\xi_0
\end{aligned}
à droite de la première ligne, un début de formule biffé ; sous la ligne \tilde\xi_0=\tilde\sigma\tilde\rho, une formule biffée et illisible.
a-t-on \tilde\rho(\tilde\xi_0)=\tilde\sigma(\tilde\xi_0) ?
On a
\begin{aligned}
&\tilde\sigma(\tilde\xi_0)=\sigma(\tilde\xi_0)=\tilde\xi_1\\
&\text{d'où}\quad \tilde\rho(\tilde\xi_0)=\tilde\sigma^{-1}(\tilde\xi_0)=\sigma^{-1}(\tilde\xi_0)=\sigma(\tilde\xi_0)=\tilde\xi_1
\end{aligned}
\tilde\rho^{-3}=(\tilde\xi_1\tilde\xi_0)^3,\qquad \tilde\sigma^2=(\tilde\xi_0\tilde\xi_1\tilde\xi_0)^2
on \tilde\rho=\tilde\sigma^{-1}\tilde\xi_0, d'où \tilde\xi_1=\tilde\rho\tilde\sigma et \tilde\sigma=\tilde\rho^{-1}\tilde\xi_1=\tilde\xi_1\tilde\xi_0\tilde\xi_1
cette remarque, à droite, est isolée du reste par un trait.
A-t-on
\tilde\rho^{-3}=\tilde\sigma^2\quad\text{i.e.}\quad
\tilde\xi_1\tilde\xi_0\tilde\xi_1\tilde\xi_0\tilde\xi_1\tilde\xi_0=\tilde\xi_0\tilde\xi_1\tilde\xi_0^{2}\tilde\xi_1\tilde\xi_0\ \ ?
oui
sous « \tilde\rho^{-3}=\tilde\sigma^2 », une accolade porte la mention \tilde\omega_0.
On voudrait de plus que
\tilde\rho^{-6}=\tilde\sigma^4
soit le générateur canonique du \operatorname{Ker}(\mathcal{T}^{+}_{1,1}\to\mathcal{T}_{1,1})
la notation \mathcal{T}^{+}_{1,1} est une lecture ; un signe surchargé précède \mathcal{T}.
\text{\struck{$\xi_0\ldots\tilde\xi_0$}}
\tilde\rho',\qquad \tilde\rho''=\sigma(\tilde\rho')
à gauche, un repère orthonormé d'axes e' (horizontal) et e'' (vertical), avec un carré centré à l'origine, de sommets a_0 (en bas à gauche), a_1, a_2, a_3 ; les côtés a_0a_1 et a_0a_3 sont repassés en gras, la demi-diagonale de a_0 à l'origine est en pointillé, une flèche courbe marque une rotation d'un quart de tour dans le sens direct. L'axe horizontal porte la mention « \tau'=\mathrm{c}^{\mathrm{te}} », l'axe vertical « \tau''=\mathrm{c}^{\mathrm{te}} ».
« \tau'=\mathrm{c}^{\mathrm{te}} » : lecture probable ; on comprend que l'axe est l'ensemble des points fixes de \tau'.
\begin{cases}
\tau'e'=e' & \tau''e'=-e'\\
\tau'e''=-e'' & \tau''e''=e''\\
\sigma e'=e'' & \sigma e''=-e'
\end{cases}
\tau'\tau''=\tau''\tau'=\sigma^2=\omega_0,\qquad \sigma^4=\omega_0^2=1
\qquad
\begin{cases}\omega_0e'=-e'\\ \omega_0e''=-e''\end{cases}
après \sigma^2, un signe surchargé ; sous ces lignes, deux lignes biffées et noircies, illisibles.
\sigma\tau'=\tau'_\infty=r_0\ :\quad e'\mapsto e'',\ \ e''\mapsto e'
\sigma\tau'=\tau'\sigma^{-1}=\sigma^{-1}\tau''=\tau''\sigma\qquad(\tau'=\sigma^2\tau'')
ces égalités sont écrites en colonne sous \sigma\tau', reliées par des signes = verticaux.
\begin{aligned}
\tau''&\longmapsto\tau_\infty=r_\infty\\
\sigma&\longmapsto\sigma=\sigma_\infty\\
\xi'&\longmapsto\xi_0\\
\xi''=\sigma(\xi')&\longmapsto\xi_1
\end{aligned}
\qquad\qquad
\begin{aligned}
\xi'(e')&=e'\\
\xi'e''&=e''-e'
\end{aligned}
\xi' était \rho' avant
dans \xi'\mapsto\xi_0 et dans les deux formules de droite, le \xi' est écrit par-dessus un e ou un \rho ; la note marginale le confirme.
\xi_0=\sigma\rho,\quad \xi_1=\rho\sigma,\qquad \xi_1\xi_0=\rho\sigma^2\rho=-\rho^2=\rho^{-1}
la formule \xi_1\xi_0=-\rho^2=\rho^{-1} est écrite ainsi ; l'étape intermédiaire \rho\sigma^2\rho est restituée par le transcripteur pour la lisibilité, elle n'est pas sur la page. Au-dessous, une ligne biffée : \xi_1\xi_0=\omega_0\xi_1\xi_0=\ldots
\text{\struck{$\xi_0\ \xi_1\ \xi_0=\rho\sigma$}}\qquad
\begin{cases}
\sigma(\xi')=\xi''\\
\tau'(\xi')=\tau''(\xi')=\xi'^{-1}\\
\tau'(\xi'')=\tau''(\xi'')=\xi''^{-1}
\end{cases}
\begin{cases}
\rho=(\xi_1\xi_0)^{-1}=\xi_0^{-1}\xi_1^{-1}\\
\sigma_\infty=\xi_0\rho^{-1}=\xi_0\xi_1\xi_0=\rho^{-1}\xi_1=\xi_1\xi_0\xi_1\\
r_0(\xi_0)=\xi_1^{-1}\\
r_0(\xi_1)=\xi_0^{-1}
\end{cases}
\qquad
\begin{bmatrix}
r_0(\rho)=\xi_1\xi_0=\rho^{-1}\\
r_0(\sigma)=\xi_1^{-1}\xi_0^{-1}\xi_1^{-1}=\xi_0^{-1}\xi_1^{-1}\xi_0^{-1}
\end{bmatrix}
devant r_0(\xi_0), un mot biffé ; au-dessus de \rho^{-1}\xi_1, une formule biffée.
\text{i.e.}\quad \xi_1\xi_0\xi_1=\xi_0\xi_1\xi_0
\text{\struck{$\rho\sigma\sigma\rho\rho\sigma=\sigma\rho\rho\sigma\sigma\rho$}}
\rho\sigma^2\rho^2\sigma=\sigma\rho^2\sigma^2\rho,\qquad -\rho^3\sigma=-\sigma\rho^3
sous la ligne biffée, une seconde ligne biffée en \xi_0,\xi_1, illisible. Sous -\rho^3\sigma=-\sigma\rho^3, les deux membres sont soulignés d'accolades portant chacune \sigma (au sens : \rho^3=\sigma^2).
\xi_0,\ \xi_1,\ r_0
fin du lot : la page suivante (p. 160) est un document administratif sans rapport. Le calcul sur les générateurs \xi_0,\xi_1,r_0 de \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) se poursuit peut-être au-delà du lot.