Fonds Grothendieck, cote n° 144, pages 121–140

Lettre : multiplication complexe et action de Galois

Les pp. 121 à 123 sont la fin de la seconde lettre de Pierre Deligne à Grothendieck, commencée au lot 6 (pp. 119–120), signée « Pierre » p. 123 : énoncé du théorème de Shimura–Taniyama et action de \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/K) sur les classes de courbes elliptiques à multiplication complexe par le groupe des classes d'idéaux. Correspondance d'un tiers, non transcrite (RIGHTS.md).

Groupes \mathfrak{S}, revêtements \mathcal{M} et indices

Feuille de papier kraft ; encre et crayon, sans phrases. On note \mathfrak{S} la lettre bouclée qu'il emploie aussi bien pour le groupe symétrique \mathfrak{S}_3 que pour les groupes \mathfrak{S}_{0,3}, \mathfrak{S}_{1,1}, \mathfrak{S}^+ des pages suivantes ; \mathcal{M} (souvent souligné) pour ses multiplicités modulaires.

Diagramme d'indices (en haut à gauche) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathcal{M}^!_0 \arrow[r, no head, "2"] \arrow[d, no head, "4"'] & \underline{\mathcal{M}}^! \arrow[r, no head, "6"] \arrow[d, no head, "4"'] & \mathcal{M} \arrow[d, no head, "4"] \\ \underline{\mathcal{M}}^{!\circ}_0 \arrow[r, no head, "2"] \arrow[d, no head] & \underline{\mathcal{M}}^{!\circ} \arrow[r, no head, "6"] \arrow[d, no head] & \underline{\mathcal{M}}^{\circ} \\ 1 \arrow[r, no head, "2"] & \mu & \end{tikzcd}

Le « 6 » de la deuxième ligne est surchargé (peut-être biffé) ; la lecture des exposants ^{!\circ} est incertaine.

\mathcal{M}^{!\circ}_0 \simeq \mathcal{M}(0)^{\circ}\cdot\Pi_0 avec, sous les deux facteurs, \cap\,4 et \cap\,12, puis \mathcal{M}(0)\cdot\mathfrak{S}^+.

à droite, sous l'inscription \mathcal{M}''^!_0, un réseau en perspective (double pyramide) dont les sommets sont \mathcal{M}^!_0, \underline{\mathcal{M}}^!, \underline{\mathcal{M}}, \underline{\mathcal{M}}', \mathcal{M}''', \underline{\mathcal{M}}'', \mathcal{M}'^!_0, \mathcal{M}'''^!_0, \mathcal{M}''^!_0, \mathcal{M}'^!, \mathcal{M}'''^!, \mathcal{M}''^!, \mathcal{M}^{!\circ}, \mathcal{M}^{\circ}, \underline{\mathcal{M}}^{!\circ}_0 ; les arêtes portent les indices 2, 6, 12, et des arêtes pointillées verticales relient les sommets ''' aux sommets voisins. Dessous, au crayon, l'esquisse d'un cube \mathcal{M}^!_0, \mathcal{M}^!, \mathcal{M}, \mathcal{M}^{!\circ}_0, \mathcal{M}^{!\circ} et d'autres polyèdres non étiquetés.

D_\rho,\ D_\sigma, \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{S}/\Pi_0 \times \mu \qquad (\varphi,\varepsilon_3) avec, au-dessus, une flèche verticale \mathcal{M}^{!\circ}_0 \to marquée \mu\times 1, et \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{S}_3 \times\mu\times\mu \longrightarrow \mathfrak{S}_3\times\mu\times\mu, \qquad \mathfrak{S}_3\times\mu . \underline{\mathcal{M}}/\underline{\mathcal{M}}^{!\circ} \simeq \mathfrak{S}_3\times\mu\times\mu, \qquad \underline{\mathcal{M}}/\underline{\mathcal{M}}^{!\circ}_0 \longrightarrow \cdots 1\to\mu\to\cdots\qquad 1\to \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \to \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \to (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* \to 1 sous \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) : 48 (48), une flèche marquée 8 vers 6 \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}), et 3\cdot 16. Le premier chiffre de « 3\cdot16 » est écrit sur un 6.

\mathbb{F}_2 — \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_2) \mathcal{M}''^!_\bullet \cap N^*_\rho = Z^{''!}_\rho Dans le membre de droite, une astérisque surchargée sous les accents ; l'indice \bullet de \mathcal{M}''^!_\bullet peut être un 0.

Le groupe \mathfrak{S}_{1,1} et ses générateurs

\mathfrak{S}_{1,1} \simeq \mathcal{T}_{1,2}^{\,!} au crayon, un réseau carré de points (une douzaine de points pleins) sur lequel sont tracées des flèches horizontales et verticales marquées \tilde u, \tilde v, et des diagonales marquées \tilde\rho, \tilde\sigma ; en haut à droite un cadre fléché.

Au crayon : \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \rho(,\tfrac{1}{2}) = (\tfrac12, -\tfrac12) Le premier argument de \rho est biffé ; le dénominateur du second se lit mal. r_0\,u\,r_0 \qquad (u r_1)^{-1} = r_1 u^{-1} \qquad (u r_\infty)^{-1} = r_\infty u^{-1} (u r_\infty)^{-1} \qquad (v r_\infty)^{-1} = r_\infty v^{-1} \qquad r_1 v^{-1} À l'encre : \tilde v^{-1}\,\tilde u\,\tilde v\,\tilde u^{-1} \qquad \tilde u\,\tilde v \qquad \tilde\rho (u,l)(u',l') = \bigl(uu',\, u(l')\,l\bigr) Le dernier facteur est lu « l » ; il pourrait s'agir d'un « e ». un petit triangle : a \xrightarrow{\,l\,} u(a), a\xrightarrow{\,l'\,} u'(a), puis u(a)\to uu'(a) et u'(a)\to uu'(a) ; une étiquette biffée. l : a\to ua,\qquad l' : a\to u'a, \qquad u'(l) : u'a \to u'ua,\qquad u(l') : ua \to uu'a a \xrightarrow{\ l\ } ua \longrightarrow uu'a

Notes au crayon et à l'encre en marge d'une affiche dactylographiée du séminaire de géométrie algébrique (USTL, novembre–décembre, avec un tampon « 30.10.80 ») ; seule l'écriture manuscrite est transcrite. (\gamma,l)(\gamma',l')(\gamma'',l'')

\begin{tikzcd}[column sep=small] a \arrow[r, "{l''}"] & \gamma''^{-1}(a) \arrow[r, "{\gamma''^{-1}(l')}"] & (\gamma'\gamma'')^{-1}(a) \arrow[d, "{(\gamma'\gamma'')^{-1}(l)}"] \\ & & (\gamma\gamma'\gamma'')^{-1}(a) \end{tikzcd}

À l'encre, sur la même feuille, des mots en \tilde u,\tilde v (avec exposants \pm1), en partie biffés de deux traits obliques, et deux lignes de calcul qu'on lit avec peine : \tilde v = [\tilde v,\tilde u^{-1}] \ldots \tilde v = [\tilde v\,\tilde u]\,\tilde u^{-1} = (\tilde u\,\tilde v

\tilde u,\ \tilde v \qquad [\tilde u,\tilde v] = l^{!\,-1}_0 \tilde\rho,\ \tilde\sigma,\ \tilde\omega_0 \tilde\rho^{\,3} = \tilde\omega_0,\qquad \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega_0^{-1} \tilde\omega_0^{\,2} = l^!_0 Devant l^{!\,-1}_0 dans la première ligne, un signe biffé ; après \tilde\omega_0^{\,2} = l^!_0, une suite biffée terminée par « =1 ». \left. \begin{aligned} \tilde r_0(\tilde\rho) &= \tilde\rho^{-1}\\ \tilde r_0(\tilde\sigma) &= \tilde\sigma^{-1} \end{aligned} \right\} \Longrightarrow\ r_0(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0^{-1} \text{déf} \begin{cases} \tilde r_1 = \tilde r_0\,\tilde\rho & \text{i.e. } \tilde\rho = \tilde r_0\,\tilde r_1\\ \tilde r_\infty = \tilde\sigma\,\tilde r_0 & \text{i.e. } \tilde\sigma = \tilde r_\infty\,\tilde r_0 \end{cases} \boxed{\ \tilde r_0^{\,2} = \tilde r_1^{\,2} = \tilde r_\infty^{\,2} = 1,\quad (\tilde r_0\tilde r_1)^3(\tilde r_\infty\tilde r_0)^2 = 1\ } En regard : \mathfrak{S}_{1,1} \simeq \mathcal{T}_{1,2}^{\,!} \ \supset\ S\mathcal{T}_{1,1} \simeq \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} = \mathrm{Norm}_{\mathfrak{S}_{1,1}}(L^!_0) (L^!_0 engendré par l^!_0)

NB \tilde r_1\,\tilde r_\infty = (\tilde\sigma\tilde\rho)^{-1} = \tilde\varepsilon_0^{-1} où \tilde\varepsilon_0 \overset{\text{déf}}{=} \tilde\sigma\tilde\rho \begin{aligned} \tilde\rho(\tilde u) &= (\tilde r_0\tilde r_1)(\tilde u) = \tilde v^{-1}\\ \tilde\rho(\tilde v) &= (\tilde r_0\tilde r_1)(\tilde v) = \tilde v\,\tilde u\\ \tilde\sigma(\tilde u) &= (\tilde r_\infty\tilde r_0)(\tilde u) = \tilde u(\tilde v) = \tilde u\,\tilde v\,\tilde u^{-1}\\ \tilde\sigma(\tilde v) &= (\tilde r_\infty\tilde r_0)(\tilde v) = \tilde u^{-1} \end{aligned} Dans chacune de ces quatre lignes, une expression biffée et illisible précède le second membre. \left. \begin{aligned} \tilde r_0(\tilde u) &= \tilde r_0\,\tilde u\,\tilde r_0 = \tilde v\\ \tilde r_0(\tilde v) &= \tilde r_0\,\tilde v\,\tilde r_0 = \tilde u \end{aligned} \right\} \Longrightarrow\ \tilde r_0(l^!_0) = l^{!\,-1}_0 \begin{aligned} \tilde r_\infty(\tilde u) &= \tilde r_\infty\,\tilde u\,\tilde r_\infty = \tilde u^{-1}\\ \tilde r_\infty(\tilde v) &= \tilde r_\infty\,\tilde v\,\tilde r_\infty = \tilde v^{\,?}\,[\tilde v^{-1},\tilde u]\\ &= \tilde u\,\tilde v\,\tilde u^{-1} = \tilde u(\tilde v) \end{aligned} Dans le calcul de \tilde r_\infty(\tilde v), deux expressions biffées ; l'exposant noté ? est illisible. \Longrightarrow \tilde r_\infty(l^!_0) = l^!_0 Cette conclusion est ajoutée au bord droit, serrée ; l'indice de \tilde r s'y lit plutôt « 1 ». \left. \begin{aligned} \tilde r_1(\tilde u) &= \tilde r_1\,\tilde u\,\tilde r_1 = \tilde u^{-1}\\ \tilde r_1(\tilde v) &= \tilde r_1\,\tilde v\,\tilde r_1 = \tilde u\,\tilde v \end{aligned} \right\} \Longrightarrow\ \tilde r_1(l^!_0) = l^{!\,-1}_0 D'où la présentation : \Bigl\{\tilde r_0,\tilde r_1,\tilde r_\infty,\tilde u,\tilde v \ \Bigm|\ \begin{array}{l} \tilde r_0^{\,2} = \tilde r_1^{\,2} = \tilde r_\infty^{\,2} = 1\\ (\tilde r_0\tilde r_1)^{6}\ \bigl(= (\tilde r_\infty\tilde r_0)^4\bigr) = [\tilde u,\tilde v]\\ \tilde r_0(\tilde u) = \tilde v,\ \tilde r_0(\tilde v) = \tilde u\\ \tilde r_\infty(\tilde u) = \tilde u^{-1},\ \tilde r_\infty(\tilde v) = \tilde u(\tilde v)\ \bigl(= \tilde u\tilde v\tilde u^{-1}\bigr)\\ r_1(\tilde u) = \tilde u^{-1};\ r_1(\tilde v) = \tilde u\,\tilde v \end{array} \Bigr\} = \Bigl\{\tilde r_0,\tilde r_1,\tilde r_\infty,\tilde\omega_0,\tilde u,\tilde v \ \Bigm|\ \begin{array}{l} r_0^2 = r_1^2 = r_\infty^2 = 1,\ (\tilde r_0\tilde r_1)^3 = (\tilde r_\infty\tilde r_0)^2 = \tilde\omega_0\\ \tilde\omega_0^{\,2} = [\tilde u,\tilde v]\\ \text{relations de conjugaison (C)} \end{array} \Bigr\} Dans la première relation, après \tilde r_\infty^{\,2} =, une ligne biffée (une première écriture de (\tilde r_0\tilde r_1)^3(\tilde r_\infty\tilde r_0)^2 = 1, recopiée au-dessus). L'exposant 6 de (\tilde r_0\tilde r_1) est surchargé et douteux.

Le cas (0,3) : positions relatives et diagrammes d'indices

\begin{array}{ccccc} 1 & & & & 1\\ \uparrow & & & & \uparrow\\ \mathfrak{S}_{0,3} & \longrightarrow & \mathcal{T}_{0,3} & = & \mathfrak{S}_{0,3}/\mathfrak{S}^{+!}_{0,3} \simeq \mathfrak{S}_3\times\mu_\tau\\ \uparrow & & \uparrow & & \\ \widetilde{\mathfrak{S}}^{+} & \longrightarrow & \widetilde{\mathcal{T}}_{0,3} & = & \cdots/(\mathfrak{S}^{!+}_{0,3})_0\\ \uparrow & & \uparrow & & \\ \mu & = & \mu & & \\ \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & & 1 & & \end{array} Le groupe de la colonne de gauche, lu \widetilde{\mathfrak{S}}^{+}, est surchargé et douteux ; le numérateur de \widetilde{\mathcal{T}}_{0,3} est un symbole biffé illisible. À côté du 1 du haut de la colonne de droite, un mot biffé. (\mathfrak{S}^{!+}_{0,3})_0 est souligné d'une accolade : « engendré par \lambda_0\lambda_1,\lambda_\infty (\lambda_i = -l_i) ». \mathfrak{S} = \Bigl\{\rho,\sigma,\tau' \ \Bigm|\ \begin{array}{l} \rho^6 = \sigma^4 = \tau'^2 = 1,\ \rho^3 = \sigma^2;\\ \tau'(\rho) = \rho^{-1},\ \tau'(\sigma) = \sigma^{-1} \end{array}\Bigr\} = \Bigl\{\rho,\sigma,\tau \ \Bigm|\ \begin{array}{l} \rho^6 = \sigma^4 = \tau^2 = 1,\ \rho^3 = \sigma^2\\ \tau(\rho) = \cdots,\ \tau(\sigma) = \sigma^{-1} \end{array}\Bigr\} La valeur de \tau(\rho) est surchargée ((\rho^{-1}) biffé, puis un signe illisible) ; après \sigma^{-1}, un signe biffé. NB \tau = \sigma\tau' = \tau'\sigma^{-1}

(I) Position relative de L_\rho et L_\sigma

un diagramme en perspective d'inclusions de sous-groupes, chaque flèche à crochet marquée de son indice : \{1\}\overset{2}{\hookrightarrow}\mu, \{1\} et \mu_{\tau'} reliés par un trait d'indice 2, \mu_{\tau'}\overset{2}{\hookrightarrow}D_{\tau'}, \mu et D_{\tau'} reliés par un trait d'indice 2 ; D_{\tau'}\overset{2}{\hookrightarrow}D_\sigma, D_{\tau'}\hookrightarrow\Pi_{\tau'}, D_{\tau'}\overset{3}{\hookrightarrow}D_\rho ; \mu\overset{2}{\hookrightarrow}L_\sigma, \mu\hookrightarrow\underline{\Pi}, \mu\overset{3}{\hookrightarrow}L_\rho ; L_\sigma et \Pi_{\tau'} reliés par un trait d'indice 2, L_\sigma et \underline\Pi de même, L_\rho et D_\rho (indice 2) ; \Pi_{\tau'}\overset{6}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}, D_\sigma\hookrightarrow\mathfrak{S}, D_\rho\hookrightarrow\mathfrak{S}, D_\rho\overset{6}{\hookrightarrow}\underline{\mathfrak{S}}^+, L_\rho\hookrightarrow\underline{\mathfrak{S}}^+, \mathfrak{S} et \mathfrak{S}^+ reliés par un trait d'indice 2. Des étiquettes au crayon, SD_\sigma et SZ_\sigma, sont esquissées.

à droite, le même diagramme passé au quotient par \Pi_0 : \{1\} et \mu (indice 2), \mu et D_2 (indice 2), D_2\overset{2}{\hookrightarrow}D_\sigma, L_\sigma et D_\sigma (indice 2), D_\sigma\overset{3}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}/\Pi_0, D_2\overset{3}{\hookrightarrow}D_\rho, \mu\overset{2}{\hookrightarrow}L_\sigma, \mu\overset{3}{\hookrightarrow}L_\rho, L_\rho et D_\rho (indice 2), D_\rho\overset{2}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}/\Pi_0, D_\rho\overset{3}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}^+/\Pi_0, L_\rho\overset{2}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}^+/\Pi_0, \mathfrak{S}/\Pi_0 et \mathfrak{S}^+/\Pi_0 (indice 2).

\text{ordre } 24\quad \mathfrak{S}/\Pi_0 = \Bigl\{\rho,\sigma,\tau \ \Bigm|\ \begin{array}{l} \rho^6 = \sigma^4 = \tau^2 = 1,\ \rho^3 = \sigma^2\\ \tau(\sigma) = \sigma^{-1},\ \tau(\rho) = \rho\\ \sigma(\rho) = \rho^{-1} \end{array}\Bigr\} \text{ordre } 12\quad \mathfrak{S}^+/\Pi_0 = \Bigl\{\rho,\sigma \ \Bigm|\ \begin{array}{l} \rho^6 = \sigma^4 = 1,\ \rho^3 = \sigma^2\\ \sigma(\rho) = \rho^{-1} \end{array}\Bigr\}

(II)

un cube d'inclusions : face avant \mu\times\mu_\tau = D_2 \overset{2}{\hookrightarrow} \mu\times\Pi'_0 = \mathfrak{S}^! = \Pi^!_0 (lecture incertaine) \overset{6}{\hookrightarrow}\mathfrak{S} ; \mu_\tau\overset{2}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}^!_0 = \Pi' ; face arrière \underline\mu \overset{2}{\hookrightarrow} \mu\times\Pi_0 = \mathfrak{S}^{!+} = \Pi \overset{6}{\hookrightarrow} \underline{\mathfrak{S}}^+, \{1\}\overset{2}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}^{!+}_0 = \Pi_0 ; toutes les arêtes verticales et diagonales d'indice 2 ; \mathfrak{S} et \mathfrak{S}^+ reliés par un trait d'indice 2. Une ligne courbe sépare ce cube de la partie (I).

\underline\mu \simeq \mu_\tau \simeq \{\pm1\} \mu_\tau = \{1,\tau\},\quad \mu_{\tau'} = \{1,\tau'\} \mu = \{\pm1\} \mathfrak{S} = \mathfrak{S}^+ \qquad \rho\longmapsto\rho,\quad \sigma\longmapsto -\sigma au crayon, très pâle, une esquisse d'un cube plus grand : \mathcal{M}^!(0)\to\mathcal{M}^!_\Pi[0], \mathcal{M}^!, \mu_\tau, D^\Pi_0, \mathcal{M}^!_{\mathfrak{S}}[0], \mathcal{M}, 1, L^\Pi_0, D^{\mathfrak{S}}_0, \Pi, \mathfrak{S}, L^{\mathfrak{S}}_0, \mathfrak{S}^+, et plus bas \Pi' = \mathfrak{S}^!, \Pi = \mathfrak{S}^{!+}, \mathfrak{S}^+, \mathcal{M}^{!+}, \mathcal{M}^+ — premier état du cube de la p. 135.

~~Position de~~ Les relations \Pi \simeq \Pi_0\times\{\pm1\},\qquad \Pi' = \{1,\tau\}\cdot\Pi = D_\tau\cdot\Pi_0 = \Pi'_0\times\mu (sous \Pi et \Pi_0 : \wr\,\mathfrak{S}^{+!} et \wr\,\mathfrak{S}^{+!}_0) \Pi'_0 = \{1,\tau\}\cdot\Pi_0

(II)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mu_\tau \arrow[rr, hook, "2"] \arrow[dd, no head, "2"'] \arrow[dr, hook, "2"] & & D_\tau = \mu_\tau\times\mu \arrow[dr, hook, "2"] \arrow[dd, no head, "2"'] & \\ & \mathfrak{S}^!_0 = \Pi'_0 \arrow[rr, hook, "2"] \arrow[dd, no head, "2"'] & & \Pi' = \Pi'_0\times\mu = \mathfrak{S}^! \arrow[dd, no head, "2"] \\ \{1\} \arrow[rr, hook, "2"] \arrow[dr, hook, "2"] & & \underline\mu \arrow[dr, hook, "2"] & \\ & \mathfrak{S}^{+!}_0 = \Pi_0 \arrow[rr, hook, "2"] & & \Pi = \Pi_0\times\mu = \mathfrak{S}^{+!} \end{tikzcd}

Les arêtes verticales sont tracées sans tête, avec un crochet à une extrémité : on les rend ici sans tête, marquées de leur indice 2.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathfrak{S}^! \arrow[r, hook, "6"] \arrow[d, hook] & \mathfrak{S} \arrow[d, no head, "2"] \arrow[dr, hook] & \\ \mathcal{M}^! \arrow[rr, hook, "6"] \arrow[d, no head, "\hat{\mathbb{Z}}^*"'] & \mathfrak{S}^+ \arrow[dr, hook] & \mathcal{M} \arrow[d, no head, "\hat{\mathbb{Z}}^*"] \\ \mathcal{M}^{+!} \arrow[rr, hook, "6"] & & \mathcal{M}^+ \end{tikzcd}

Dans l'original, \mathfrak{S}^{+!} \overset{6}{\hookrightarrow} \mathfrak{S}^+ (prolongeant la ligne \Pi = \mathfrak{S}^{+!} du cube) et \mathfrak{S}^{+!}\hookrightarrow\mathcal{M}^{+!} complètent ce cube ; les deux arêtes \hat{\mathbb{Z}}^* portent chacune un point noir.

\Pi_0 \simeq \{\lambda_0,\lambda_1,\lambda_\infty \mid \lambda_\infty\lambda_1\lambda_0 = 1\} \hookrightarrow \mathfrak{S},\qquad \lambda_i\longmapsto -l_i une variante du cube précédent (\Pi' = \mathfrak{S}^!, \mathcal{M}^!, \mathcal{M}, \mathcal{M}^{+!}, \mathcal{M}^+, \mathfrak{S}^{+!}\Rightarrow\mathfrak{S}^+), couverte de boucles qui la cancellent.

\mathfrak{S}/\Pi_0 ou \mathfrak{S}^+/\Pi_0 déduits de \mathfrak{S} \mathfrak{S}^+ en divisant par la relation \tau'(\rho) = \sigma(\rho) ou encore \tau(\rho) = \rho (NB \tau(\rho) = 1-(l_1^{-1})\rho !)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathcal{M}(0) \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, no head] & \mathcal{M}^{\Pi}[0] \arrow[rr, hook] \arrow[d, no head] \arrow[dr, hook, "6"] & & \mathcal{M}^! \arrow[dr, hook] \arrow[d, no head] & \\ \mu_\tau \arrow[r, hook] \arrow[d, no head] & D^{\Pi}_0 \arrow[d, no head] \arrow[dr, hook, "2"] & \mathcal{M}^{\mathfrak{S}}[0] \arrow[d, no head] & \Pi' = \mathfrak{S}^! \arrow[dr, hook] \arrow[d, no head] & \mathcal{M} \arrow[d, no head] \\ \{1\} \arrow[r, hook, "\hat{\mathbb{Z}}"] & L^{\Pi}_0 \arrow[dr, hook, "2"] & D^{\mathfrak{S}}_0 \arrow[d, no head] & \underline\Pi = \mathfrak{S}^{+!} \arrow[dr, hook, "6"] & \mathfrak{S} \arrow[d, no head] \\ & & L^{\mathfrak{S}}_0 & & \mathfrak{S}^+ \end{tikzcd}

Cube redessiné de façon simplifiée : sur la page, D^{\Pi}_0\hookrightarrow\Pi', L^{\Pi}_0\hookrightarrow\underline\Pi, \mathcal{M}^{\mathfrak{S}}[0]\hookrightarrow\mathcal{M}, D^{\mathfrak{S}}_0\hookrightarrow\mathfrak{S} et L^{\mathfrak{S}}_0\hookrightarrow\mathfrak{S}^+ sont des flèches horizontales qui traversent les arêtes verticales ; l'exposant de \mathcal{M}^{\Pi}[0] est surchargé. Au crayon, sous le cube, L^{\Pi_0}_0.

III

~~position de \mathcal{M}(0)~~

\mathcal{M}(0) et groupes associés

III \mathcal{M}(0)

un grand diagramme en perspective (trois couches de cubes accolés) d'inclusions marquées de leurs indices. Couche supérieure : \mathcal{M}(0)\overset{2}{\hookrightarrow}\mathcal{M}(0)\times\mu, \mathcal{M}^!_0\overset{2}{\hookrightarrow}\underline{\mathcal{M}}^! \simeq \mathcal{M}^!_0\times\mu \overset{6}{\hookrightarrow}\mathcal{M}, \mathcal{M}^{\Pi_0}_{[0]}, \mathcal{M}^{\Pi}[0] (ou \mathcal{M}^![0]) \overset{2}{\hookrightarrow}\mathcal{M}^{\mathfrak{S}}[0] ou \mathcal{M}[0]. Couche médiane : \mu_\tau, D_\tau, \{1\}\overset{2}{\hookrightarrow}\Pi'_0 = \mathfrak{S}^!_0\overset{2}{\hookrightarrow}\Pi' = \mathfrak{S}^!\overset{6}{\hookrightarrow}\mathfrak{S}, \underline\mu, D^{\Pi_0}_0\overset{2}{\hookrightarrow}D^{\Pi}_0\overset{2}{\hookrightarrow}D^{\mathfrak{S}}_0. Couche inférieure : \underline\Pi_0\overset{2}{\hookrightarrow}\underline\Pi = \mathfrak{S}^{+!}\overset{6}{\hookrightarrow}\underline{\mathfrak{S}}^+, L^{\Pi_0}_0\overset{2}{\hookrightarrow}L^{\Pi}_0\overset{2}{\hookrightarrow}L^{\mathfrak{S}}_0. Arêtes verticales et diagonales d'indice 2 ; à gauche, des arcs pointillés relient \mathcal{M}(0), \mu_\tau, \{1\} aux sommets \mathcal{M}^{\Pi_0}_{[0]}, D^{\Pi_0}_0, L^{\Pi_0}_0.

IV Z_\rho,\ N_\rho

un second diagramme en perspective, même disposition. On y lit : \mu_{\tau'}\cdot Z^!_{0\rho} = N^{?}_{0\rho} (biffé) \hookrightarrow N^{?}_\rho, avec au-dessus « \mu_{\tau'}\cdot Z^!_0 » en partie biffé ; Z^!_\rho\overset{6}{\hookrightarrow}N_\rho\hookrightarrow\mathcal{M} ; Z^!_{0\rho}\overset{2}{\hookrightarrow}Z^!_\rho\overset{3}{\hookrightarrow}Z_\rho ; \mathcal{M}^!, N_\rho (indice 6), \mathcal{M}' ; \mu_{\tau'}\hookrightarrow D_{\tau'}\hookrightarrow D_\rho ; \mathcal{M}'^!_0\overset{2}{\hookrightarrow}\mathcal{M}'^!\overset{6}{\hookrightarrow}\mathcal{M}' ; 1\overset{2}{\hookrightarrow}\mu\overset{3}{\hookrightarrow}L_\rho ; \underline\Pi_0\overset{2}{\hookrightarrow}\underline\Pi = \mathfrak{S}^{+!}\overset{6}{\hookrightarrow}\underline{\mathfrak{S}}^+ ; arêtes verticales et diagonales d'indices 2 et 3.

reprise au propre du diagramme IV de la p. 137, en trois blocs de cubes. Ligne supérieure : N^?_{0\rho} (biffé) \overset{2}{\hookrightarrow} N^?_\rho ; N^?_\rho (biffé) ; N^?_\rho \hookrightarrow \mathcal{M}^? \overset{6}{\hookrightarrow} \mathcal{M} ; \mathcal{M}^?_0\overset{2}{\hookrightarrow}\mathcal{M}^!. Ligne médiane : Z^!_{0\rho} = \mathcal{M}(\bar{\jmath})\overset{2}{\hookrightarrow}Z^!_\rho\hookrightarrow\mathcal{M}'^!\overset{6}{\hookrightarrow}\mathcal{M}' ; \mu_{\tau'}\overset{2}{\hookrightarrow}D_{\tau'}\hookrightarrow\Pi_{\tau'}\overset{6}{\hookrightarrow}\mathfrak{S} ; \mathcal{M}'^!_0\hookrightarrow\mathcal{M}'^! ; 1\overset{2}{\hookrightarrow}\underline\mu\hookrightarrow\underline\Pi\overset{6}{\hookrightarrow}\underline{\mathfrak{S}}^+. Ligne inférieure : \underline\Pi_0\overset{2}{\hookrightarrow}\underline\Pi, \mathcal{M}' ; puis \underline{\mathfrak{S}}^+ au bas d'une arête d'indice 6. Arêtes verticales et diagonales d'indice 2 ; deux arcs pointillés relient \underline\Pi et \underline{\mathfrak{S}}^+ (bloc de droite) à \underline\Pi et \underline{\mathfrak{S}}^+ (bloc de gauche). Au crayon, en bas de page, une esquisse antérieure du même diagramme : N^?_{0\rho} (biffé), N^?_\rho, N_\rho, \mathcal{M} ; Z^!_{0\rho} = \mathcal{M}(\bar{\jmath}), Z^!_\rho, Z_\rho, \mathcal{M}' ; \mu_{\tau'}, D_{\tau'}, D_\rho, \mathfrak{S} ; \mathcal{M}'^!_0, \mathcal{M}'^! ; \underline\mu, L_\rho, \underline{\mathfrak{S}}^+ ; \underline\Pi_0, \underline\Pi. Les étiquettes lues « 6 » sur les arêtes horizontales ont ici la forme d'un \sigma (lecture incertaine) ; sur la p. 137 les arêtes correspondantes portent nettement « 6 ».

S\mathcal{T}_{0,2}, S\mathcal{T}_{1,1}, S\mathcal{T}_{1,2} …

Titre inscrit en haut d'une feuille (p. 140) restée blanche par ailleurs, une couverture : ce sont ses mots. Ce qu'elle annonce se trouve vraisemblablement dans le lot suivant. Dans S\mathcal{T}_{1,1} le second indice est surchargé. Le dernier mot, rendu « … », se lit peut-être etc.