p. 17 de l'auteur. La page commence au milieu d'un argument : la relation (59) et les notations (58) précèdent le lot.
\text{(59)}\qquad \rho_{n-1}\rho_{n-2}\cdots\rho_1\rho_0 = 1 ,
et on trouve en fait
\text{(60)}\qquad \Pi_P \simeq \Pi_{P_0} \simeq
\{\rho_0,\rho_1,\ldots,\rho_{n-1} \mid \rho_{n-1}\rho_{n-2}\cdots\rho_1\rho_0 = 1\} ,
où P_0 désigne le polygone combinatoire-type d'ordre n, i.e. muni d'un épinglage par un repère.
Venons-en à \Pi^\tau, on introduit les
\text{(61)}\qquad \tau_a = (\lambda_a, \tau) \in \Pi_P^\tau \qquad (a \in A)
on trouve que
\text{(62)}\qquad \Pi^\tau \simeq \{(\tau_a)_{a\in A} \mid \tau_a^2 = 1\} ,
les relations entre les \tau_a et les \rho_s étant données par
\text{(63)}\qquad \rho_s = \tau_a \tau_{a'} ,
où a, a' sont les deux arêtes incidentes à s,
Si on choisit
Considérons maintenant le stabilisateur de P_\omega dans D_P \times \{1,\tau\}, il est formé des
\text{(66)}\qquad \tilde g^{0} = (g, \tau^{\alpha(g)}) \qquad
\alpha(g) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\quad
\alpha(g) = \begin{cases} 0 & \text{si } \operatorname{sg}(g) = 1 \\ 1 & \text{si } \operatorname{sg}(g) = -1 \end{cases}
On a alors un homomorphisme canonique, également noté g \mapsto \tilde g (g \mapsto \tilde g_\pi )
\text{(67)}\qquad D \xrightarrow{\ \sim\ } (D \times \{1,\tau\})_{P_\omega} \longrightarrow \Pi_P^{D,\tau}
qui peut s'expliciter comme
\text{(68)}\qquad g \longmapsto \tilde g = (1_{P_\omega}, \tilde g^{0})
un indice \pi est biffé sous le \tilde g de gauche.
où 1_{P_\omega} est le chemin trivial ponctuel de P_\omega vers lui-même. On trouve en particulier
\text{(69)}\qquad \rho \overset{\text{déf}}{=} \tilde\omega_\pi \in \Pi_P^D \subset \Pi_P^{D,\tau} \qquad (\rho^n = 1)
et des éléments
\text{(70)}\qquad \tilde\sigma_a = (\sigma_a^0)^{\sim} \in \Pi_P^{D,\tau} \quad \text{pour } a \in A \qquad (\tilde\sigma_a^2 = 1),
où
\text{(71)}\qquad \sigma_a^0 \in D_P
est l'unique \neq \mathrm{id} qui fixe a (agissant sur \Sigma comme la symétrie p.r. à l'axe de \Sigma qui passe par Q_a).
Je mets l'exposant \sim, pour le distinguer de l'élément de \Pi_P^D , introduit ensuite en (72)
On pose alors
\text{(72)}\qquad \sigma_a = \tilde\sigma_a \tau_a = \tau_a \tilde\sigma_a = (\lambda_a, \sigma_a^0) \in \Pi_P^D \subset \Pi_P^{D,\tau}
c'est donc un élément d'ordre 2 de \Pi_P^D.
On reconstitue les \rho_s Notons les formules
\text{(73)}\qquad
\begin{cases}
\rho(\tau_a) = \tau_{\rho(a)} \\
\rho(\tilde\sigma_a) = \tilde\sigma_{\rho(a)} \\
\rho(\sigma_a) = \sigma_{\rho(a)}
\end{cases}
Introduisons aussi les
\text{(74)}\qquad \varepsilon_s = \sigma_a \rho = (\lambda_a, \sigma_s^0) \in \Pi_P^D
\qquad s \in S, \text{ où } a = a(s,\omega)
après \sigma_a un mot est biffé, et l'indice de \lambda est corrigé en a.
\text{(75)}\qquad \text{où } \sigma_s^0 \in D_P \text{ est l'unique \ill{} } \neq 1 \text{ de } P \text{ qui fixe le sommet } s \in S
NB On a \varepsilon_s^{-1} = \rho^{-1}\sigma_a = (\lambda_{a'}, \sigma_s^0) (74), a' = \omega' a l'autre arête incidente à s.
p. 18 de l'auteur.
On a alors (cf. (56) pour la définition de \rho_s)
\text{(76)}\qquad \rho_s = \varepsilon_s^2 = \sigma_a \rho \sigma_a \rho
la suite de la ligne (76) est biffée et illisible.
NB \rho_0 = \sigma_{a_0}\rho\sigma_{a_0}\rho, \rho_1 = \rho(\rho_0) = \rho\sigma_{a_0}\rho\sigma_{a_0}
Cela (76) et (73 c) montre que \rho, \sigma_{a_0} engendrent \Pi_P^D, et on trouve facilement
\text{(77)}\qquad \Pi_P^D \simeq (\rho, \sigma_{a_0} \mid \rho^n = \sigma_{a_0}^2 = 1) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
(car la relation (59) est déjà conséquence, moyennant (76) et (73 c), des deux relations fondamentales
\text{(78)}\qquad \rho^n = 1, \quad \sigma_{a_0}^2 = 1 .
NB Pour n=3, on identifie les notations \sigma_{a_0}
Les formules (73) se complètent en
\text{(79)}\qquad
\begin{cases}
\rho(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\rho(s)} \\
\rho(\rho_s) = \rho_{\rho(s)}
\end{cases}
\qquad (s \in S)
conséquence immédiate de (73), (74), (76), ce qui nous montre la façon dont \rho opère sur \Pi_P.
Quant aux \tilde\sigma_b (b \in A), ils opèrent par transport de structure
\text{\struck{(80)}}\qquad
\text{\struck{$\tilde\sigma_b(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\sigma_b^0(s)}^{-1}$}}, \qquad
\text{\struck{$\tilde\sigma_b(\rho_s) = \rho_{\sigma_b^0(s)}^{-1}$}}, \qquad
\text{\struck{$\forall s \in S,\ b \in A$}}
trouvons l'opération
passage encadré et barré en croix ; des flèches le relient aux formules qui suivent.
À rectifier : \tau_a(\rho_s) = \rho_s^{-1} si s incident à a \in A
On trouve (directement sur (65) et (62 bis))
\text{(80)}\qquad
\begin{aligned}
&\tau_{a_0}(\rho_0) = \rho_0^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\rho_1) = \rho_1^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\rho_2) = \rho_1^{-1}(\rho_2^{-1}) \quad \cdots \\
&\tau_{a_0}(\rho_i) = (\rho_{i-1}\rho_{i-2}\cdots\rho_1)^{-1}(\rho_i^{-1}) \\
&\phantom{\tau_{a_0}(\rho_i)} = (\rho_{n-1}\cdots\rho_{i+1})(\rho_i^{-1}) \qquad 0 \leq i \leq n-1
\end{aligned}
sous le dernier produit, une remarque à peine lisible : « avec \rho_0, pas \rho_{n-1} ! ».
Attention, j'ai pris ici \tau_{a_0} au lieu de \tau_0, (80) car pour n=3 la « notation reçue » pour \tau_{a_0} est \tau_\infty, et non \tau_0 !
NB L'action de \tau_a sur \Pi_P est la composée de \tau : \pi_1(\Sigma^*, P_\omega) \to \pi_1(\Sigma^*, P_{\omega'}) avec \lambda_a : \pi_1(\Sigma^*, P_{\omega'}) \to \pi_1(\Sigma^*, P_\omega)
Pour Les relations (79) se généralisent ainsi : en
\text{(81)}\qquad
\begin{cases}
\tilde g(\varepsilon_s) = (\varepsilon_{g^0(s)})^{\operatorname{sg}(g)} \\
\tilde g(\rho_s) = (\rho_{g^0(s)})^{\operatorname{sg}(g)}
\end{cases}
\qquad (g \in D_P,\ s \in S),
NB L'action de \tilde D_P \subset \Pi_P^{D,\tau} sur \Pi est par « transport de structure » via celle de D_P^0 \subset D_P \times \{1,\tau\} sur (\Sigma^*, P_\omega)
(et en particulier, si g de la forme \sigma_a^0, on trouve
\text{(82)}\qquad
\begin{cases}
\tilde\sigma_a(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\sigma_a^0(s)}^{-1} \\
\tilde\sigma_a(\rho_s) = \rho_{\sigma_a^0(s)}^{-1}
\end{cases}
\qquad s \in S,\ a \in A
ce qui donne l'opération des \tilde\sigma_a sur \Pi_P,
Or On trouve d'ailleurs \Pi_P^\tau
\text{(84)}\qquad \Pi_{P_\omega}^{D,\tau} \simeq \Pi_P^D \cdot \{1, \tau_{a_0}\}
produit semi-direct, il faut expliciter encore l'opération de \tau_{a_0} sur \Pi_P^D i.e. sur \rho et sur \sigma_{a_0}, on a
\text{(85)}\qquad \tau_{a_0}(\rho) = \rho^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\sigma_{a_0}) = \sigma_{a_0} ,
dans (85), un \sigma_{a_0} est biffé devant (\rho^{-1}) ; il n'y a pas de (83) sur la page.
la deuxième relation est déjà notée (72), la première s'obtient en écrivant
\tau_{a_0}\underbrace{\rho\,\tau_{a_0}\rho^{-1}}_{\tau_{a_1}} = \tau_{a_0}\tau_{a_1} = \rho_1^{-1}
= (\rho\sigma_{a_0}\rho\sigma_{a_0})^{-1} = \sigma_{a_0}\rho^{-1}\sigma_{a_0}\rho^{-1}
l'accolade tombe sous \rho\tau_{a_0}\rho^{-1} ; un \rho initial est biffé.
d'où (85) ; qui s'écrivent plus simplement elles s'écrivent
\tilde\sigma_{a_0}(\rho) = \rho^{-1}
qui est trivial, puisque pour \rho = \tilde\omega
p. 19 de l'auteur.
ce qui s'écrit aussi
\text{(87)}\qquad \Pi_P^{D,\tau} \simeq D(\rho) \underset{D_1}{*} D(\sigma_a)
somme amalgamée de groupes, sous D_1 = \{1, \tilde\sigma_a\}, où
\text{(88)}\qquad
\begin{cases}
D(\rho) = D^+ \cdot \{1, \tilde\sigma_a\} \\
D(\sigma_a) = \{1, \sigma_a\} \times \{1, \tilde\sigma_a\} \\
D_1 = \{1, \tilde\sigma_a\}
\end{cases}
avec, pour D(\rho) : groupe diédral d'indice n engendré défini par \rho (sous D^+ : « engendré par \rho, avec \rho^n = 1 ») ; pour D(\sigma_a) : groupe diédral d'indice 2 défini par \sigma_a.
à la première ligne de (88), un D(\tilde\sigma_a) est biffé après \{1,\tilde\sigma_a\}.
L'écriture (77) s'écrit aussi
\text{(89)}\qquad \Pi_P^D \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle
= \pi_1\bigl(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \underbrace{\infty\cdot(0) + 2(1) + n(\infty)}_{\text{signature}} ; P_+\bigr)
en transformant (\rho, \sigma_{a_0}) en (\rho_\infty, \rho_1). Une façon a priori d'obtenir un isomorphisme (89) est de considérer la courbe complexe quotient de \Sigma_P par l'action de D_P, qui action fidèle qui a comme points de ramification les R_s (ramification 2), les Q_s (ramification 2), et P_\omega, P_{\omega'} (ramification n) — le quotient est une courbe alg. complexe isomorphe à \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, l'isomorphisme étant uniquement déterminé quand on le normalise par
\text{(90)}\qquad
\begin{cases}
R_s \longmapsto 0 & (s \in S) \\
Q_a \longmapsto 1 & (a \in A) \\
P_\omega \longmapsto \infty & (\omega \in \underline{\omega})
\end{cases}
\qquad (\Sigma_P \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}) .
On peut aussi préciser que la carte envisagée sur \Sigma_P est l'image inverse de la carte universelle, par un morphisme \Sigma_P \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} bien déterminé, qui [Dans le cas épinglé
C'est un peu une tricherie, car pour construire cette carte, l'explicitation qui point , il conviendrait morphisme \Sigma_P \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, cf. plus bas
\text{(91)}\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
P = P_0 = \text{polygone comb. formé des } S_0 = \mu_n(\mathbb{C}) \\
\text{et des arcs de cercle sur } U = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\} \\
\text{qui les joignent (car } P \text{ \emph{épinglé})}
\end{array}
\right.
\Sigma_P = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} = \hat{\mathbb{C}}, \qquad
D_P^+ = \mu_n(\mathbb{C}) \text{ opérant par homothéties}, \qquad
\tau(z) = 1/\bar z
L'application On peut considérer que la carte envisagée X_n est l'image inverse, par
z \longmapsto z^n \qquad \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})
de la carte cyclotomique d'ordre 1, X_1, déjà considérée (p. 7), ayant un seul sommet, un seul arc et deux faces (qui sont des monogones) (cercle -1, qui sépare les faces X_1^+ et X_1^- contenant 0 et \infty), qui est image inverse de la carte universelle X_0 : \{0\} \subset [0,1] \subset \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, par l'application
z \longmapsto -\frac{1}{4z}(z-1)^2 \qquad \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})
petite sphère en marge : 0 au pôle supérieur, \infty au pôle inférieur, l'équateur marqué des points 1 et -1.
(cf. (23)) de sorte que l'application cherchée X_n \to X_0 est
\text{(92)}\qquad z \longmapsto -\frac{1}{4z^n}(z^n - 1)^2 \qquad
\underbrace{X_n}_{\substack{\text{carte cyclotomique}\\ \text{type d'ordre } n}} \xrightarrow{\ g_n\ }
\underbrace{X_0}_{\substack{\text{carte}\\ \text{universelle}}} . \;]
le crochet fermant clôt le passage ouvert p. 85 par « [Dans le cas épinglé ». Au-dessus de g_n, un mot est biffé.
Ainsi, X_n devient un revêtement galoisien de X_0, de groupe de Galois \mathbb{D}_n = D_{P_0}, ramifié comme il se doit sur les seuls points 0, 1, \infty, avec en ces points la ramification 2, 2, n respectivement, et \Sigma_{P_0}^* = X_n^* devient un revêtement fini ramifié galoisien de X_0 \setminus \{0\}, ramifié sur les seuls points 1, \infty, avec ramification 2, n en ces
p. 20 de l'auteur.
points. D'après la théorie générale des groupes fondamentaux mixtes et de leurs relations avec les groupes fondamentaux à signatures, on en tire donc un isomorphisme (extérieur pour le moment) canonique
\text{(93)}\qquad
\begin{aligned}
\pi_1(X_n^*, P_{n+}) &\xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1\bigl(\underbrace{X_0^*}_{X_0 \setminus \{0\}}, 2\{1\} + n\{\infty\} ; \underbrace{P_{0+}}_{\exp 2i\pi/6}\bigr) \\
&\simeq \pi_1\bigl(\underbrace{X_0}_{\mathbb{P}^1(\mathbb{C})}, \infty\{0\} + 2\{1\} + n\{\infty\} ; P_{0+}\bigr)
\end{aligned}
sous P_{n+} est écrit « = 0 » (lecture douteuse) ; après X_0 un exposant est surchargé.
Pour trouver un isomorphisme pas extérieur, il faut changer le point base P_{n+} = \ill{} en un autre, qui s'envoie dans
deux sphères reliées par une flèche. À gauche, X_n : pôles P_\omega (haut) et P_{\omega'} (bas), sur l'équateur R_0, Q_{a_0}, R_1 ; méridiens ; le point P près de P_\omega, avec les chemins \alpha, \alpha_\rho vers \rho(P), \rho(\alpha), et sous l'équateur \alpha_\sigma, \sigma_{a_0}^0(P), \sigma_{a_0}^0(\alpha), \lambda_{a_0}. À droite, X_0 : le pôle P_+, le point \infty, le segment [0,1] sur l'équateur, les hémisphères X_0^+ et X_0^-, et le lacet g_n(\alpha_\rho).
On considère la subdivision barycentrique de la carte X_n, image inverse de la subdivision barycentrique de X_0, dont les deux faces sont les deux hémisphères X_0^+ et X_0^- — les images inverses de celles-ci sont les 4n « repères » ou « drapeaux » de la subdivision barycentrique de X_n, dont les 2n repères directs qui correspondant aux 2n repères du polygone P. L'épinglage de ce dernier nous fournit un repère origine
\text{(94)}\qquad r_0 = (R_0, Q_{a_0}, P_\omega) \qquad \bigl(\xrightarrow{\ g_n\ } X_0^+\bigr)
qui par g_n est appliqué homéomorphiquement sur X_0^+, avec R_0
g_n : \quad R_0 \longmapsto 0, \quad Q_{a_0} \longmapsto 1, \quad P_\omega \longmapsto \infty
Prenons le point P \in r_0 qui s'envoie sur le « pôle nord » P_+ (= \exp 2i\pi/6) \in X_0^+,
g_n : \quad P \longmapsto P_+ .
La théorie générale donne donc un iso (pas extérieur !)
\text{(95)}\qquad
\begin{aligned}
\pi_1(X_n^*, \text{\add{$\mathbb{D}_n;$}}\, P) &\xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1\bigl(X_0^*, 2\{1\} + n\{\infty\} ; P_+\bigr) \qquad X_0^* \overset{\text{déf}}{=} X_0 \setminus \{0\} \\
&\simeq \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle ,
\end{aligned}
pour obtenir un isomorphisme précis (93), il faut composer (95) avec un isomorphisme
\text{(96)}\qquad \pi_1(X_n^*, \text{\add{$\mathbb{D}_n;$}}\, P_+) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P)
déduit d'une classe de chemins P_+ \to P dans X_n^* — on prendra la unique classe de chemins provenant d'un chemin \alpha dans r_0, comme choix le plus naturel, ce qui précise 96. L'homomorphisme (95), quand à lui, est donné par la formule des plus évidentes
(l, g) \longmapsto g_n(l)
où g \in \mathbb{D}_n, l : g(P_*) \to P_* [chemin dans X_n^*, ou mieux, chemin dans X_n^{**} = X_n^* \setminus \{(Q_a), P_\omega, P_{\omega'}\} = X_n \setminus \{\text{pts de ramification}\} = X_n \mid U_{0,3}], d'où g_n(l) : g_n(P) \to g_n(P) un lacet dans P_+ = g_n(P) dont on prend la classe dans le quotient de \Pi_{0,3} — qui ne dépend pas des choix faits, mais seulement de l'élément de \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P) représenté par (l, g) ….
l'indice de P_* est surchargé ; on attendrait P.
Considérons donc l'application nous intéresse composée des (95) (96), qui
\text{(97)}\qquad
\begin{aligned}
\pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P_+) &\xrightarrow{\ g_n\ } \pi_1\bigl(X_0, \infty\cdot\{0\} + 2\cdot\{1\} + n\{\infty\} ; P_+\bigr) \\
&\simeq \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle
\end{aligned}
et calculons ses valeurs pour \rho, \sigma_{a_0}. L'image de \rho par (96), est donnée par le chemin
\rho(P) \xrightarrow{\ \alpha_\rho\ } P \qquad \text{dans } X_n^{**}
qui franchit le 1-squelette de la subdivision
NB \alpha_\rho est obtenu par déformation dans X_n^* du chemin composé \alpha \circ \rho(\alpha)^{-1}
p. 21 de l'auteur. Les arcs (\infty,0), (\infty,1), (0,1), (1,\infty) sont surmontés d'un arc sur la page.
barycentrique juste deux fois, qui en P_+, qui franchit traverse une fois l'arc (\infty,0) de l'équateur, une fois l'arc (\infty,1), dans cet ordre. Sa classe dans \Pi_{0,3} est donc \rho_\infty^{-1} :
(*)\qquad g_n(\rho) = \rho_\infty^{-1} .
L'élément de L'image de \sigma_{a_0} = (\lambda_{a_0}, \sigma_{a_0}^0) par (96) est représentée par \sigma_{a_0}^0(P) \to P, qui est le composé dans \Pi_1(X_n^*) est a la classe \rho_1^{-1}. On On aurait pu prendre aussi \alpha'_\sigma : \sigma_{a_0}^0(P) \to P, franchissant d'abord (Q_{a_0}, R_1) \bigl(\xmapsto{g_n} (0,1)\bigr) puis (Q_{a_0}, P_\omega) \bigl(\xmapsto{g_n} (1,\infty)\bigr) — on aurait trouverait g_n(\alpha'_\sigma) = \rho_1 — mais dans le quotient \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle, \rho_1 et \rho_1^{-1} sont égaux, comme il se doit. Donc on trouve aussi,
(**)\qquad g_n(\sigma_{a_0}) = \rho_1 \quad (= \rho_1^{-1})
et en comparant (*) et (**) on trouve
g_n(\underbrace{\varepsilon_0}_{\sigma_{a_0}\rho}) = g_n(\sigma_{a_0})\, g_n(\rho) = \rho_1^{-1}\rho_\infty^{-1} = (\rho_\infty\rho_1)^{-1} = \rho_0
En résumé, on trouve donc
\text{(98)}\qquad
\begin{cases}
g_n : \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P_{n+}) \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle \\
\qquad\qquad = \pi_1\bigl(\underbrace{X_0}_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}}, \underbrace{\infty\{0\} + 2\{1\} + n\{\infty\}}_{\text{signature } \nu_n} ; P_+\bigr) \\
\varepsilon_0 \longmapsto \rho_0 \\
\sigma_{a_0} \longmapsto \rho_1 = \rho_1^{-1} \\
\rho \longmapsto \rho_\infty^{-1}
\end{cases}
Par le même principe, on trouve un isomorphisme
\text{(99)}\qquad
\begin{aligned}
g_n : \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n \times \{1,\tau\} ; P_{n+}) &\xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(X_0, \nu_n, \{1,\tau\} ; P_+) \\
\simeq \Pi_n^{D,\tau} \simeq \Pi_n^D \cdot \{1, \tilde\sigma_{a_0}\}
&\simeq \bigl(\Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle\bigr) \cdot \{1, \ill{}\}
\end{aligned}
dans (99), un symbole est biffé avant \nu_n ; le dernier facteur est surchargé.
NB \tau_\infty(\rho_0) = \rho_0^{-1}, \tau_\infty(\rho_1) = \rho_1^{-1}, \tau_\infty(\rho_\infty) = \rho_0(\rho_\infty^{-1}) cf. (80) dans le cas n=3, ici \tau_\infty = \tau_{a_0} par définition …
qui prolonge (97) = (98), et qui se calcule de la même façon. Il suffit, pour achever de déterminer g_n, de calculer sa valeur sur donc son image dans \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n \times \{1,\tau\} ; P) est définie par le chemin qui dans X_n^{**}, qui franchit la subdivision barycentrique une seule fois, en P_+ Q_{a_0} \bigl(\xmapsto{g_n} (\infty,1)\bigr).
en marge, une sphère : le pôle P_+, sur l'équateur R_0, Q_{a_0}, R_1 ; les chemins \alpha et \tilde\sigma_{a_0}^0(\alpha) = \alpha' descendent vers P et P' = \tilde\sigma_{a_0}^0(P), reliés par \tilde\alpha_\sigma.
p. 22 de l'auteur.
Par g_n ce chemin devient un chemin dans U_{0,3}
g_n(\tilde\alpha_\sigma) : \quad g_n(P') = g_n(\tilde\sigma_{a_0}^0(P)) = \tau\, g_n(P) = \tau(P_+) = P_- \longrightarrow g_n(P) = P_+
qui franchit l'équateur
7. Dans toutes ces considérations du §6, on a un peu perdu de vue les cartes, dont il n'a plus été question. Pourtant, le groupe \Pi_P^\tau s'interprète comme un des groupes « cartographiques pondéré
en tête de page, la marque « B ».
les arêtes de P — s'interprètent en termes de telles cartes, mais en supposant que les \tau_a opèrent sans points fixes. faces, on trouve en effet un ensemble où des opérations \tau_a où \tau_a correspondant à la symétrie p.r. orientée d'une numérotation circulaire) des L'équivalence induit une équivalence
\text{(102)}\qquad
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{c}\text{cartes $P$-pondérées}\\ \text{finies \emph{orientées}}\end{array}
& \xrightarrow{\ \approx\ } & \Pi_P\text{-ens. finis} \\[2pt]
X & \longmapsto & R^+(X)
\end{array}
devant (102), un \Pi_P^\tau suivi d'un mot est biffé, ainsi que « statiques » après « P-pondérées ».
en associant à chaque telle carte l'ensemble R^+(X) de ses repères faces « directes », i.e.
p. 23 de l'auteur.
de la face. On notera que pour décrire le groupe \Pi_P^\tau, et l'équivalence (101), on n'a pas besoin d'autre donnée que du pol. combinatoire P, le groupe \Pi_P^\tau est défini simplement par (62) (sans référence au choix d'un point-base P_\omega dans un espace \Sigma_P^* !). Par contre, pour définir \Pi_P et l'équivalence (102), on a besoin du choix d'une orientation ω de P, ce qui permet d'introduire \Pi_P p.ex. comme \pi_1(\Sigma_P^*, P_\omega). À vrai dire, on pourrait définir \Pi_P, sans choix de \omega, comme noyau de l'homom. can. \Pi_P^\tau \to \{\pm 1\}, de façon à avoir la suite exacte
\text{(103)}\qquad
\begin{array}{ccccccccc}
1 & \to & \Pi_P & \to & \Pi_P^\tau & \longrightarrow & \{\pm 1\} & \longrightarrow & 1 \\
& & & & \tau_a & \longmapsto & -1 & &
\end{array}
mais il reste que le choix d'un foncteur (102) dépend du choix d'une orientation \omega de P.
Un foncteur quasi-inverse de (102) s'obtient en interprétant le deuxième membre par la théorie de Galois des revêtements étales de \Sigma_P^*
\text{(104)}\qquad
\Pi_P\text{-ens. finis} \xrightarrow{\ \approx\ }
\begin{array}{l}\text{revêtements ramifiés}\\ \text{finis de } \Sigma_P \text{, étales}\\ \text{au-dessus de } \Sigma_P^* ,\end{array}
si on a un tel revêtement carte P-pondérée orientée universelle)
en tête de page, un chiffre biffé.
est la carte P-pondérée cherchée orientée cherchée.
Pour avoir un foncteur quasi-inverse de (101), on procède de façon analogue, en utilisant une orientation de P. Ce faisant, on utilise l'un \omega pour tordre le corps \mathbb{C}, et le remplacer par \mathbb{C}(\omega), et on considère la sphère \mathbb{C}(\omega)-courbe \Sigma_P(\mathbb{C}(\omega)) au lieu de \Sigma_P(\mathbb{C}), qui a aussi un point canonique P_+ pouvant servir de pt base). On passe interprète \Pi_P^\tau comme \pi_1(\Sigma_P^*, \{1,\tau\} ; P_\omega), et on procède comme p. 9' (dans le cas n=3, dont ici une généralisation …).
Sûrement on doit pouvoir généraliser aussi quelconque, les considérations du §5 (p. 12'-14), qui précisent (en relation avec
p. 24 de l'auteur. Ici commence un nouveau paragraphe ; sa numérotation des formules repart de (1).
8. Une façon d'obtenir une configuration « polygone régulier à n côtés » P_n dans une sphère complexe \Sigma, espace plan vectoriel réel V_{\tilde P_{2n}} (centre du polygone régulier) et de poser
P_n = P = (S, A, R \subset S \times A)
\text{(1)}\qquad \Sigma = \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}})(\mathbb{C})
en prenant
\text{(2)}\qquad P_n = \tilde P_{2n}/\{\pm 1\}
NB -1 opère sur le polygone combinatoire \tilde P_{2n} par antipodisme
et on donc
S = \tilde S/\pm 1, \qquad A = \tilde A/\pm 1, \qquad R = \tilde R/\pm 1 ,
et on définit le plongement
\text{(3)}\qquad S \hookrightarrow \Sigma
par passage au quotient en termes de
\begin{array}{rcl}
\tilde S & \longrightarrow & \Sigma \\
R_{\tilde s} & \longmapsto & \mathbb{C}\cdot R_{\tilde s} \in \mathbb{P}(V_{\mathbb{C}})(\ldots) = \mathbb{P}(V)(\mathbb{C}) .
\end{array}
Directement réelle \mathbb{P}(\underbrace{V_{\tilde P_{2n}}}_{V}), et l'application (3) se factorise par
La représentation naturelle de D_{\tilde P}
\text{(6)}\qquad D_{\tilde P_{2n}} \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Aut}_{\text{comb}}(\tilde P_{2n}) \qquad (\simeq \mathbb{D}_{2n})
sur V_{\tilde P_{2n}} définit une action de D_{\tilde P_{2n}} sur \Sigma_{\tilde P_{2n}} et par là sur \Sigma, mais qui est triviale sur le sous-groupe \pm 1, et se factorise donc par une action de
\text{(7)}\qquad D_{P_n} \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Aut}_{\text{comb}}(P_n) \simeq D_{\tilde P_{2n}}/\{\pm 1\}
sur \Sigma = \Sigma_{P_n}, qui n'est autre que son action naturelle par transport de structure, quand on interprète \Sigma directement comme défini en termes de P_n.
Si n est impair, la suite exacte canonique
\text{(8)}\qquad 1 \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow D_{\tilde P_{2n}} \longrightarrow D_{P_n} \longrightarrow 1
est scindée pour n impair
en marge, un hexagone régulier inscrit dans un cercle, de sommets A, C', B, A', C, B' ; les deux triangles ABC et A'B'C' y sont tracés.
p. 25 de l'auteur.
\text{(9)}\qquad
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{c}\text{Polygones combinatoires $\tilde P_{2n}$}\\ \text{d'ordre $2n$, avec un}\\ \text{sous-polygone d'ordre}\\ \text{$n$ marqué, soit $P'_n$}\end{array}
& \xrightarrow{\ \approx\ } &
\begin{array}{c}\text{polygones}\\ \text{combinatoires $P_n$}\\ \text{d'ordre $n$}\end{array} \\[2pt]
(\tilde P_{2n}, P'_n) & \longmapsto & P'_n
\end{array}
\qquad (n \text{ \emph{impair}})
Donc l'représentation opération naturelle de D_{P_n} sur \Sigma, ou mieux sur \Sigma_{\tilde P_{2n}} = \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}}), se relève en une représentation opération linéaire de D_{P_n} sur V_{\tilde P_{2n}}. En fait, on peut même prendre donc on a
\text{(10)}\qquad V_{\tilde P_{2n}} = \underbrace{V_{P'_n} \simeq V_{P_n}}_{\text{car } P'_n \simeq P_n}
et l'action de D_n sur V_{\tilde P_{2n}} peut s'identifier à son action sur V_{P_n}. \Sigma_{\tilde P_{2n}} Ici \Sigma_{\tilde P_{2n}} s'identifie à la droite projective L'isomorphisme (10) fournit d'ailleurs
\text{(11)}\qquad \underset{\textstyle \Sigma_{P_n}}{\Sigma_{\tilde P_{2n}}} = \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{P}(V_{P_n}) , \qquad (n \text{ \emph{impair}})
et ce qui et cette explicitation de \Sigma_{P_n} comme \mathbb{P}(V_{P_n}) est injective pour n impair — de sorte que
\mathbb{P}(V_{P_n})(\mathbb{C}) satisfait
Si par contre n est pair, l'homomorphisme Donc Comme l'extension (8) de D_{P_n} par \{\pm 1\} n'est autre que l'extension réciproque de
1 \to \{\pm 1\} \to \operatorname{Sl}(V_{\tilde P_{2n}}) \to \underset{\textstyle \operatorname{Aut}(\Sigma_{P_n})}{\operatorname{GP}(V_{\tilde P_{2n}})} \longrightarrow 1
par D_{P_n} \to \operatorname{Aut}(\Sigma_{P_n}), cela montre que l'opération de D_{P_n} sur \Sigma_{P_n} ne se remonte pas en une opération vectorielle —
p. 26 de l'auteur.
en une opération de D_{P_n} sur (\Sigma_{P_n}, \mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1)) où \mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1) désigne un faisceau inversible sur \Sigma_{P_n}, de degré 1 (p.ex. celui provenant de la description
Dans tous les cas, n impair ou pair, je m'intéresse : l'action de D_{\tilde P_{2n}} sur (12), et sur le groupe
\text{(13)}\qquad P\Sigma_{P_n}^* = P\Sigma_{P_n} \mid \Sigma_{P_n}^* ,
qui est un fibré principal de groupe \mathbb{C}^* sur \Sigma_{P_n}^*. De façon précise, je m'intéresse au groupoïde fondamental de P\Sigma_{P_n}^* et l'action
de D_{\tilde P_{2n}} dessus — et en particulier, au groupe fondamental mixte de P\Sigma_{P_n}^*, pour cette action de D_{\tilde P_{2n}}
Quand
la page s'arrête sur ce mot ; la suite manque dans le lot.