Cote n° 144, pages 81–100

Cote n° 144 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

81p. 17 de l'auteur. La page commence au milieu d'un argument : la relation (59) et les notations (58) précèdent le lot.

\[ \text{(59)}\qquad \rho_{n-1}\rho_{n-2}\cdots\rho_1\rho_0 = 1 , \] et on trouve en fait \[ \text{(60)}\qquad \Pi_P \simeq \Pi_{P_0} \simeq \{\rho_0,\rho_1,\ldots,\rho_{n-1} \mid \rho_{n-1}\rho_{n-2}\cdots\rho_1\rho_0 = 1\} , \] où $P_0$ désigne le polygone combinatoire-type d'ordre $n$, i.e. muni d'un épinglage par un repère.

Venons-en à $\Pi^\tau$, on introduit les \[ \text{(61)}\qquad \tau_a = (\lambda_a, \tau) \in \Pi_P^\tau \qquad (a \in A) \] on trouve que \[ \text{(62)}\qquad \Pi^\tau \simeq \{(\tau_a)_{a\in A} \mid \tau_a^2 = 1\} , \] les relations entre les $\tau_a$ et les $\rho_s$ étant données par \[ \text{(63)}\qquad \rho_s = \tau_a \tau_{a'} , \] où $a, a'$ sont les deux arêtes incidentes à $s$, […] avec […] $a = a(s,\omega)$ i.e. $a = \omega(a')$ i.e. $a' = \omega'(a)$.

Si on choisit […] une arête origine $a_0$ ⌜($\to R_\infty$ …)⌝ $a_0 = a(s_0,\omega)$, donc $(s_0,a_0)$ repère $\omega$-direct, et pour \[ \text{(64)}\qquad \tau_i = \tau_{\omega^i a_0} \qquad (i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] Attention, le $\tau_{a_0}$ noté ici $\tau_0$, est noté $\tau_\infty$ dans (64) […] des suites […] antérieures, puis) en fait […] (car $a_0$ est défini en […] $R_\infty$ …) on trouve donc, avec les notations (58) \[ \text{(65)}\qquad \rho_i = \tau_i \tau_{i-1} \] (de sorte que la relation (59) est conséquence des relations $\tau_i^2 = 1$). L'écriture (62) devient \[ \text{(62 bis)}\qquad \Pi^\tau \simeq \{\tau_0,\ldots,\tau_{n-1} \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \cdots = \tau_{n-1}^2 = 1\} . \]

Considérons maintenant le stabilisateur de $P_\omega$ dans $D_P \times \{1,\tau\}$, il est formé des \[ \text{(66)}\qquad \tilde g^{0} = (g, \tau^{\alpha(g)}) \qquad \alpha(g) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\quad \alpha(g) = \begin{cases} 0 & \text{si } \operatorname{sg}(g) = 1 \\ 1 & \text{si } \operatorname{sg}(g) = -1 \end{cases} \]

82On a alors un homomorphisme canonique, également noté $g \mapsto \tilde g$ ($g \mapsto \tilde g_\pi$ […]) \[ \text{(67)}\qquad D \xrightarrow{\ \sim\ } (D \times \{1,\tau\})_{P_\omega} \longrightarrow \Pi_P^{D,\tau} \] qui peut s'expliciter comme \[ \text{(68)}\qquad g \longmapsto \tilde g = (1_{P_\omega}, \tilde g^{0}) \] un indice $\pi$ est biffé sous le $\tilde g$ de gauche. où $1_{P_\omega}$ est le chemin trivial ponctuel de $P_\omega$ vers lui-même. On trouve en particulier \[ \text{(69)}\qquad \rho \overset{\text{déf}}{=} \tilde\omega_\pi \in \Pi_P^D \subset \Pi_P^{D,\tau} \qquad (\rho^n = 1) \] et des éléments \[ \text{(70)}\qquad \tilde\sigma_a = (\sigma_a^0)^{\sim} \in \Pi_P^{D,\tau} \quad \text{pour } a \in A \qquad (\tilde\sigma_a^2 = 1), \] où \[ \text{(71)}\qquad \sigma_a^0 \in D_P \] est l'unique […] $\neq \mathrm{id}$ qui fixe $a$ (agissant sur $\Sigma$ comme la symétrie p.r. à l'axe de $\Sigma$ qui passe par $Q_a$).

Je mets l'exposant $\sim$, pour le distinguer de l'élément de $\Pi_P^D$ […], introduit ensuite en (72)

On pose alors \[ \text{(72)}\qquad \sigma_a = \tilde\sigma_a \tau_a = \tau_a \tilde\sigma_a = (\lambda_a, \sigma_a^0) \in \Pi_P^D \subset \Pi_P^{D,\tau} \] c'est donc un élément d'ordre 2 de $\Pi_P^D$.

On reconstitue les $\rho_s$ ⌜Notons les formules⌝ \[ \text{(73)}\qquad \begin{cases} \rho(\tau_a) = \tau_{\rho(a)} \\ \rho(\tilde\sigma_a) = \tilde\sigma_{\rho(a)} \\ \rho(\sigma_a) = \sigma_{\rho(a)} \end{cases} \] Introduisons aussi les \[ \text{(74)}\qquad \varepsilon_s = \sigma_a \rho = (\lambda_a, \sigma_s^0) \in \Pi_P^D \qquad s \in S, \text{ où } a = a(s,\omega) \] après $\sigma_a$ un mot est biffé, et l'indice de $\lambda$ est corrigé en $a$. \[ \text{(75)}\qquad \text{où } \sigma_s^0 \in D_P \text{ est l'unique \ill{} } \neq 1 \text{ de } P \text{ qui fixe le sommet } s \in S \] NB On a $\varepsilon_s^{-1} = \rho^{-1}\sigma_a = (\lambda_{a'}, \sigma_s^0)$ (74), $a' = \omega' a$ l'autre arête incidente à $s$.

83p. 18 de l'auteur. On a alors (cf. (56) pour la définition de $\rho_s$) \[ \text{(76)}\qquad \rho_s = \varepsilon_s^2 = \sigma_a \rho \sigma_a \rho \] la suite de la ligne (76) est biffée et illisible. NB $\rho_0 = \sigma_{a_0}\rho\sigma_{a_0}\rho$, $\rho_1 = \rho(\rho_0) = \rho\sigma_{a_0}\rho\sigma_{a_0}$ Cela ⌜(76) et (73 c)⌝ montre que $\rho, \sigma_{a_0}$ engendrent $\Pi_P^D$, et on trouve facilement \[ \text{(77)}\qquad \Pi_P^D \simeq (\rho, \sigma_{a_0} \mid \rho^n = \sigma_{a_0}^2 = 1) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \] (car la relation (59) est déjà conséquence, moyennant (76) et (73 c), des deux relations fondamentales \[ \text{(78)}\qquad \rho^n = 1, \quad \sigma_{a_0}^2 = 1 . \] NB Pour $n=3$, on identifie […] les notations […] […] […] […] $\sigma_{a_0}$

Les formules (73) se complètent en \[ \text{(79)}\qquad \begin{cases} \rho(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\rho(s)} \\ \rho(\rho_s) = \rho_{\rho(s)} \end{cases} \qquad (s \in S) \] conséquence immédiate de (73), (74), (76), ce qui nous montre la façon dont $\rho$ opère sur $\Pi_P$.

Quant aux $\tilde\sigma_b$ $(b \in A)$, ils opèrent par transport de structure \[ \text{\struck{(80)}}\qquad \text{\struck{$\tilde\sigma_b(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\sigma_b^0(s)}^{-1}$}}, \qquad \text{\struck{$\tilde\sigma_b(\rho_s) = \rho_{\sigma_b^0(s)}^{-1}$}}, \qquad \text{\struck{$\forall s \in S,\ b \in A$}} \] […] trouvons l'opération passage encadré et barré en croix ; des flèches le relient aux formules qui suivent.

À rectifier : $\tau_a(\rho_s) = \rho_s^{-1}$ si $s$ incident à $a \in A$

On trouve […] (directement sur (65) et (62 bis)) \[ \text{(80)}\qquad \begin{aligned} &\tau_{a_0}(\rho_0) = \rho_0^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\rho_1) = \rho_1^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\rho_2) = \rho_1^{-1}(\rho_2^{-1}) \quad \cdots \\ &\tau_{a_0}(\rho_i) = (\rho_{i-1}\rho_{i-2}\cdots\rho_1)^{-1}(\rho_i^{-1}) \\ &\phantom{\tau_{a_0}(\rho_i)} = (\rho_{n-1}\cdots\rho_{i+1})(\rho_i^{-1}) \qquad 0 \leq i \leq n-1 \end{aligned} \] sous le dernier produit, une remarque à peine lisible : « […] avec $\rho_0$, pas $\rho_{n-1}$ ! ». Attention, j'ai pris ici $\tau_{a_0}$ au lieu de $\tau_0$, (80) car pour $n=3$ la « notation reçue » pour $\tau_{a_0}$ est $\tau_\infty$, et non $\tau_0$ ! NB L'action de $\tau_a$ sur $\Pi_P$ est la composée de $\tau : \pi_1(\Sigma^*, P_\omega) \to \pi_1(\Sigma^*, P_{\omega'})$ avec $\lambda_a : \pi_1(\Sigma^*, P_{\omega'}) \to \pi_1(\Sigma^*, P_\omega)$

Pour Les relations (79) se généralisent ainsi : en \[ \text{(81)}\qquad \begin{cases} \tilde g(\varepsilon_s) = (\varepsilon_{g^0(s)})^{\operatorname{sg}(g)} \\ \tilde g(\rho_s) = (\rho_{g^0(s)})^{\operatorname{sg}(g)} \end{cases} \qquad (g \in D_P,\ s \in S), \] NB L'action de $\tilde D_P \subset \Pi_P^{D,\tau}$ sur $\Pi$ est par « transport de structure » via celle de $D_P^0 \subset D_P \times \{1,\tau\}$ sur $(\Sigma^*, P_\omega)$

84(et en particulier, si $g$ de la forme $\sigma_a^0$, on trouve \[ \text{(82)}\qquad \begin{cases} \tilde\sigma_a(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\sigma_a^0(s)}^{-1} \\ \tilde\sigma_a(\rho_s) = \rho_{\sigma_a^0(s)}^{-1} \end{cases} \qquad s \in S,\ a \in A \] ce qui donne l'opération des $\tilde\sigma_a$ sur $\Pi_P$, […] d'où ⌜en principe⌝ […] (avec celle des $\tau_a$) l'opération des […] sur $\Pi_P$ ⌜(comme $\sigma_{a_0} = \tilde\sigma_{a_0}\tau_{a_0}$)⌝. En particulier, \[ \begin{aligned} &\sigma_{a_0}(\rho_0) = \rho_1, \quad \sigma_{a_0}(\rho_1) = \rho_0, \quad \sigma_{a_0}(\rho_i) = \tau_{a_0}(\rho_{n+1-i}^{-1}) \\ &\phantom{\sigma_{a_0}(\rho_i)} = (\rho_{i-1}\cdots\rho_{n+3-i})(\rho_{n+1-i}) \qquad \text{pour } 2 \leq i \leq n-1 . \end{aligned} \] les indices de cette dernière ligne sont serrés et de lecture douteuse. d'où $\tilde\sigma_{a_0}(\rho_i) = \rho_{1-i}^{-1}$ NB L'action de $\sigma_a$ sur $\Pi_P$ est la composée de $\pi_1(\sigma_a^0) : \pi_1(\Sigma^*, P_\omega) \to \pi_1(\Sigma^*, P_{\omega'})$ avec $\lambda_a : \pi_1(\Sigma^*, P_{\omega'}) \to \pi_1(\Sigma^*, P_\omega)$ […]

Or On trouve d'ailleurs $\Pi_P^\tau$ \[ \text{(84)}\qquad \Pi_{P_\omega}^{D,\tau} \simeq \Pi_P^D \cdot \{1, \tau_{a_0}\} \] produit semi-direct, il faut expliciter encore l'opération de $\tau_{a_0}$ sur $\Pi_P^D$ i.e. sur $\rho$ et sur $\sigma_{a_0}$, on a \[ \text{(85)}\qquad \tau_{a_0}(\rho) = \rho^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\sigma_{a_0}) = \sigma_{a_0} , \] dans (85), un $\sigma_{a_0}$ est biffé devant $(\rho^{-1})$ ; il n'y a pas de (83) sur la page. la deuxième relation est déjà notée (72), la première s'obtient en écrivant \[ \tau_{a_0}\underbrace{\rho\,\tau_{a_0}\rho^{-1}}_{\tau_{a_1}} = \tau_{a_0}\tau_{a_1} = \rho_1^{-1} = (\rho\sigma_{a_0}\rho\sigma_{a_0})^{-1} = \sigma_{a_0}\rho^{-1}\sigma_{a_0}\rho^{-1} \] l'accolade tombe sous $\rho\tau_{a_0}\rho^{-1}$ ; un $\rho$ initial est biffé. d'où (85) ; qui s'écrivent ⌜plus simplement⌝ elles s'écrivent \[ \tilde\sigma_{a_0}(\rho) = \rho^{-1} \] qui est trivial, puisque pour $\rho = \tilde\omega$ […] et que $g \mapsto \tilde g$ est un homomorphisme de groupes $D_P \to \Pi_1^{D,\tau}$, enfin $\sigma_{a_0}^0(\rho) = \rho^{-1}$ …. Je […] plus […] peut-être d'erreur \[ \text{(86)}\qquad \begin{cases} \Pi_P^{D,\tau} \simeq \Pi_P^D \cdot \{1, \tilde\sigma_{a_0}\} \\ \tilde\sigma_{a_0}(\rho) = \rho^{-1}, \quad \tilde\sigma_{a_0}(\sigma_{a_0}) = \sigma_{a_0} \end{cases} \] \[ \Bigl[ = \{\rho, \sigma_{a_0}, \tilde\sigma_{a_0} \mid \rho^n = \sigma_{a_0}^2 = \tilde\sigma_{a_0}^2 = (\sigma_{a_0}\tilde\sigma_{a_0})^2 = \tilde\sigma_{a_0}(\rho)\rho = 1\} \Bigr] \]

85p. 19 de l'auteur. ce qui s'écrit aussi \[ \text{(87)}\qquad \Pi_P^{D,\tau} \simeq D(\rho) \underset{D_1}{*} D(\sigma_a) \] somme amalgamée de groupes, sous $D_1 = \{1, \tilde\sigma_a\}$, où \[ \text{(88)}\qquad \begin{cases} D(\rho) = D^+ \cdot \{1, \tilde\sigma_a\} \\ D(\sigma_a) = \{1, \sigma_a\} \times \{1, \tilde\sigma_a\} \\ D_1 = \{1, \tilde\sigma_a\} \end{cases} \] avec, pour $D(\rho)$ : groupe diédral d'indice $n$ engendré ⌜défini⌝ par $\rho$ (sous $D^+$ : « engendré par $\rho$, avec $\rho^n = 1$ ») ; pour $D(\sigma_a)$ : groupe diédral d'indice 2 défini par $\sigma_a$. à la première ligne de (88), un $D(\tilde\sigma_a)$ est biffé après $\{1,\tilde\sigma_a\}$.

L'écriture (77) s'écrit aussi \[ \text{(89)}\qquad \Pi_P^D \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle = \pi_1\bigl(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \underbrace{\infty\cdot(0) + 2(1) + n(\infty)}_{\text{signature}} ; P_+\bigr) \] en transformant $(\rho, \sigma_{a_0})$ en $(\rho_\infty, \rho_1)$. Une façon a priori d'obtenir un isomorphisme (89) est de considérer la courbe complexe quotient de $\Sigma_P$ par l'action de $D_P$, qui action ⌜fidèle⌝ qui a comme points de ramification les $R_s$ (ramification 2), les $Q_s$ (ramification 2), et $P_\omega, P_{\omega'}$ (ramification $n$) — le quotient est ⌜une courbe alg. complexe⌝ isomorphe à $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$, l'isomorphisme étant uniquement déterminé quand on le normalise par \[ \text{(90)}\qquad \begin{cases} R_s \longmapsto 0 & (s \in S) \\ Q_a \longmapsto 1 & (a \in A) \\ P_\omega \longmapsto \infty & (\omega \in \underline{\omega}) \end{cases} \qquad (\Sigma_P \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}) . \] On peut aussi ⌜préciser⌝ que la carte envisagée sur $\Sigma_P$ est l'image inverse de la carte universelle, par un morphisme $\Sigma_P \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ bien déterminé, qui [Dans le cas épinglé C'est un peu une tricherie, car pour construire cette carte, […] l'explicitation qui […] […] point […], il conviendrait […] […] morphisme $\Sigma_P \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$, cf. plus bas

86\[ \text{(91)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} P = P_0 = \text{polygone comb. formé des } S_0 = \mu_n(\mathbb{C}) \\ \text{et des arcs de cercle sur } U = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\} \\ \text{qui les joignent (car } P \text{ \emph{épinglé})} \end{array} \right. \] \[ \Sigma_P = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} = \hat{\mathbb{C}}, \qquad D_P^+ = \mu_n(\mathbb{C}) \text{ opérant par homothéties}, \qquad \tau(z) = 1/\bar z \] L'application On peut considérer que la carte envisagée ⌜$X_n$⌝ est l'image inverse, par \[ z \longmapsto z^n \qquad \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \] de la carte cyclotomique d'ordre 1, $X_1$, déjà considérée (p. 7), ayant un seul sommet, un seul arc et deux faces (qui sont des monogones) (cercle […] $-1$, qui sépare les faces $X_1^+$ et $X_1^-$ contenant $0$ et $\infty$), qui est image inverse de la carte universelle $X_0 : \{0\} \subset [0,1] \subset \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$, par l'application \[ z \longmapsto -\frac{1}{4z}(z-1)^2 \qquad \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \] petite sphère en marge : $0$ au pôle supérieur, $\infty$ au pôle inférieur, l'équateur marqué des points $1$ et $-1$. (cf. (23)) de sorte que l'application cherchée $X_n \to X_0$ est \[ \text{(92)}\qquad z \longmapsto -\frac{1}{4z^n}(z^n - 1)^2 \qquad \underbrace{X_n}_{\substack{\text{carte cyclotomique}\\ \text{type d'ordre } n}} \xrightarrow{\ g_n\ } \underbrace{X_0}_{\substack{\text{carte}\\ \text{universelle}}} . \;] \] le crochet fermant clôt le passage ouvert p. 85 par « [Dans le cas épinglé ». Au-dessus de $g_n$, un mot est biffé.

Ainsi, $X_n$ devient un revêtement galoisien de $X_0$, de groupe de Galois $\mathbb{D}_n = D_{P_0}$, ramifié comme il se doit sur les seuls points $0, 1, \infty$, avec en ces points la ramification $2, 2, n$ respectivement, et $\Sigma_{P_0}^* = X_n^*$ devient un revêtement fini ramifié ⌜galoisien⌝ de $X_0 \setminus \{0\}$, ramifié sur les seuls points $1, \infty$, avec ramification $2, n$ en ces

87p. 20 de l'auteur. points. D'après la théorie générale des groupes fondamentaux mixtes et de leurs relations avec les groupes fondamentaux à signatures, on en tire donc un isomorphisme (extérieur pour le moment) canonique \[ \text{(93)}\qquad \begin{aligned} \pi_1(X_n^*, P_{n+}) &\xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1\bigl(\underbrace{X_0^*}_{X_0 \setminus \{0\}}, 2\{1\} + n\{\infty\} ; \underbrace{P_{0+}}_{\exp 2i\pi/6}\bigr) \\ &\simeq \pi_1\bigl(\underbrace{X_0}_{\mathbb{P}^1(\mathbb{C})}, \infty\{0\} + 2\{1\} + n\{\infty\} ; P_{0+}\bigr) \end{aligned} \] sous $P_{n+}$ est écrit « $= 0$ » (lecture douteuse) ; après $X_0$ un exposant est surchargé. Pour trouver un isomorphisme pas extérieur, il faut changer le point base $P_{n+} = \ill{}$ en un autre, qui s'envoie dans […] $X_0^* \setminus \{1,\infty\} = X_0 \setminus \{0,1,\infty\} = U_{0,3}$,

deux sphères reliées par une flèche. À gauche, $X_n$ : pôles $P_\omega$ (haut) et $P_{\omega'}$ (bas), sur l'équateur $R_0$, $Q_{a_0}$, $R_1$ ; méridiens ; le point $P$ près de $P_\omega$, avec les chemins $\alpha$, $\alpha_\rho$ vers $\rho(P)$, $\rho(\alpha)$, et sous l'équateur $\alpha_\sigma$, $\sigma_{a_0}^0(P)$, $\sigma_{a_0}^0(\alpha)$, $\lambda_{a_0}$. À droite, $X_0$ : le pôle $P_+$, le point $\infty$, le segment $[0,1]$ sur l'équateur, les hémisphères $X_0^+$ et $X_0^-$, et le lacet $g_n(\alpha_\rho)$.

On considère la subdivision barycentrique de la carte $X_n$, image inverse de la subdivision barycentrique de $X_0$, dont les deux faces sont les deux hémisphères $X_0^+$ et $X_0^-$ — les images inverses de celles-ci sont les $4n$ « repères » ⌜ou « drapeaux »⌝ de la subdivision barycentrique de $X_n$, dont les $2n$ repères directs qui correspondant aux $2n$ repères du polygone $P$. L'épinglage de ce dernier nous fournit un repère origine \[ \text{(94)}\qquad r_0 = (R_0, Q_{a_0}, P_\omega) \qquad \bigl(\xrightarrow{\ g_n\ } X_0^+\bigr) \] qui par $g_n$ est appliqué homéomorphiquement sur $X_0^+$, avec $R_0$ \[ g_n : \quad R_0 \longmapsto 0, \quad Q_{a_0} \longmapsto 1, \quad P_\omega \longmapsto \infty \] Prenons le point $P \in r_0$ qui s'envoie sur le « pôle nord » $P_+$ $(= \exp 2i\pi/6) \in X_0^+$, \[ g_n : \quad P \longmapsto P_+ . \]

88La théorie générale donne donc un iso (pas extérieur !) \[ \text{(95)}\qquad \begin{aligned} \pi_1(X_n^*, \text{\add{$\mathbb{D}_n;$}}\, P) &\xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1\bigl(X_0^*, 2\{1\} + n\{\infty\} ; P_+\bigr) \qquad X_0^* \overset{\text{déf}}{=} X_0 \setminus \{0\} \\ &\simeq \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle , \end{aligned} \] pour obtenir un isomorphisme précis (93), il faut composer (95) avec un isomorphisme \[ \text{(96)}\qquad \pi_1(X_n^*, \text{\add{$\mathbb{D}_n;$}}\, P_+) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P) \] déduit d'une classe de chemins $P_+ \to P$ dans $X_n^*$ — on prendra la ⌜unique⌝ classe de chemins provenant d'un chemin $\alpha$ dans $r_0$, comme choix le plus naturel, ce qui précise 96. L'homomorphisme (95), quand à lui, est donné par la formule des plus évidentes \[ (l, g) \longmapsto g_n(l) \] où $g \in \mathbb{D}_n$, $l : g(P_*) \to P_*$ [chemin dans $X_n^*$, ou mieux, chemin dans $X_n^{**} = X_n^* \setminus \{(Q_a), P_\omega, P_{\omega'}\} = X_n \setminus \{\text{pts de ramification}\} = X_n \mid U_{0,3}$], d'où $g_n(l) : g_n(P) \to g_n(P)$ un lacet dans $P_+ = g_n(P)$ dont on prend la classe dans le quotient de $\Pi_{0,3}$ — qui ne dépend pas des choix faits, mais seulement de l'élément de $\pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P)$ représenté par $(l, g)$ …. l'indice de $P_*$ est surchargé ; on attendrait $P$.

Considérons donc l'application ⌜nous intéresse […]⌝ composée des (95) (96), qui \[ \text{(97)}\qquad \begin{aligned} \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P_+) &\xrightarrow{\ g_n\ } \pi_1\bigl(X_0, \infty\cdot\{0\} + 2\cdot\{1\} + n\{\infty\} ; P_+\bigr) \\ &\simeq \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle \end{aligned} \] et calculons ses valeurs pour $\rho, \sigma_{a_0}$. L'image de $\rho$ par (96), est donnée par le chemin \[ \rho(P) \xrightarrow{\ \alpha_\rho\ } P \qquad \text{dans } X_n^{**} \] qui franchit le 1-squelette de la subdivision NB $\alpha_\rho$ est obtenu par déformation dans $X_n^*$ du chemin composé $\alpha \circ \rho(\alpha)^{-1}$

89p. 21 de l'auteur. Les arcs $(\infty,0)$, $(\infty,1)$, $(0,1)$, $(1,\infty)$ sont surmontés d'un arc sur la page. barycentrique juste deux fois, […] en traversant respectivement les arêtes $P_\omega R_1$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (\infty,0)\bigr)$ et $P_\omega Q_{a_0}$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (\infty,1)\bigr)$ — donc $g_n(\alpha_\rho)$ est un lacet dans $U_{0,3} = X_0^* \setminus \{1,\infty\}$ qui en $P_+$, qui franchit traverse une fois l'arc $(\infty,0)$ de l'équateur, une fois l'arc $(\infty,1)$, dans cet ordre. Sa classe dans $\Pi_{0,3}$ est donc $\rho_\infty^{-1}$ : \[ (*)\qquad g_n(\rho) = \rho_\infty^{-1} . \] L'élément de ⌜L'image de⌝ $\sigma_{a_0} = (\lambda_{a_0}, \sigma_{a_0}^0)$ par (96) est représentée par $\sigma_{a_0}^0(P) \to P$, qui est le composé dans $\Pi_1(X_n^*)$ […] $\alpha\, \lambda_{a_0} \sigma_{a_0}^0(\alpha)^{-1}$, lequel chemin peut se déformer en le chemin […] \[ \alpha_\sigma : \sigma_{a_0}^0(P) \longrightarrow P \] situé tout entier dans $X_n^{**}$, qui franchit le 1-squelette ⌜de la⌝ subdivision barycentrique en exactement deux pts, qui sont respectivement sur les arcs $P_\omega Q_{a_0}$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (\infty,1)\bigr)$ et $(Q_{a_0}, R_0)$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (0,1)\bigr)$, donc $g_n(\alpha_\sigma)$ est un lacet en $P_+$ qui franchit $(\infty,1)$ puis $(0,1)$ dans cet ordre, donc qui est a la classe $\rho_1^{-1}$. On On aurait pu prendre aussi $\alpha'_\sigma : \sigma_{a_0}^0(P) \to P$, franchissant d'abord $(Q_{a_0}, R_1)$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (0,1)\bigr)$ puis $(Q_{a_0}, P_\omega)$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (1,\infty)\bigr)$ — on aurait trouverait $g_n(\alpha'_\sigma) = \rho_1$ — mais dans le quotient $\Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle$, $\rho_1$ et $\rho_1^{-1}$ sont égaux, comme il se doit. Donc on trouve aussi, \[ (**)\qquad g_n(\sigma_{a_0}) = \rho_1 \quad (= \rho_1^{-1}) \]

90et en comparant (*) et (**) on trouve \[ g_n(\underbrace{\varepsilon_0}_{\sigma_{a_0}\rho}) = g_n(\sigma_{a_0})\, g_n(\rho) = \rho_1^{-1}\rho_\infty^{-1} = (\rho_\infty\rho_1)^{-1} = \rho_0 \] En résumé, on trouve donc \[ \text{(98)}\qquad \begin{cases} g_n : \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n ; P_{n+}) \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle \\ \qquad\qquad = \pi_1\bigl(\underbrace{X_0}_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}}, \underbrace{\infty\{0\} + 2\{1\} + n\{\infty\}}_{\text{signature } \nu_n} ; P_+\bigr) \\ \varepsilon_0 \longmapsto \rho_0 \\ \sigma_{a_0} \longmapsto \rho_1 = \rho_1^{-1} \\ \rho \longmapsto \rho_\infty^{-1} \end{cases} \]

Par le même principe, on trouve un isomorphisme \[ \text{(99)}\qquad \begin{aligned} g_n : \pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n \times \{1,\tau\} ; P_{n+}) &\xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(X_0, \nu_n, \{1,\tau\} ; P_+) \\ \simeq \Pi_n^{D,\tau} \simeq \Pi_n^D \cdot \{1, \tilde\sigma_{a_0}\} &\simeq \bigl(\Pi_{0,3}/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle\bigr) \cdot \{1, \ill{}\} \end{aligned} \] dans (99), un symbole est biffé avant $\nu_n$ ; le dernier facteur est surchargé. NB $\tau_\infty(\rho_0) = \rho_0^{-1}$, $\tau_\infty(\rho_1) = \rho_1^{-1}$, $\tau_\infty(\rho_\infty) = \rho_0(\rho_\infty^{-1})$ cf. (80) dans le cas $n=3$, ici $\tau_\infty = \tau_{a_0}$ par définition … qui prolonge (97) = (98), et qui se calcule de la même façon. Il suffit, pour achever de déterminer $g_n$, de calculer sa valeur sur […] $\tilde\sigma_{a_0} = (1_{P_+}, \tilde\sigma_{a_0}^0)$. Ici $\tilde\sigma_{a_0}^0$ agit sur $X_n$ par la symétrie par rapport au grand cercle $P_\omega Q_{a_0} P_{\omega'}$, donc son image dans $\pi_1(X_n^*, \mathbb{D}_n \times \{1,\tau\} ; P)$ est définie par le chemin […] \[ P' = \tilde\sigma_{a_0}^0(P) \longrightarrow P \] donné par $\alpha \circ \alpha'^{-1}$, où $\alpha' = \tilde\sigma_{a_0}^0(\alpha)$, ce chemin est homotope dans $X_n^*$ au chemin $\tilde\alpha_\sigma$, qui dans $X_n^{**}$, qui franchit la subdivision barycentrique une seule fois, en $P_+ Q_{a_0}$ $\bigl(\xmapsto{g_n} (\infty,1)\bigr)$. en marge, une sphère : le pôle $P_+$, sur l'équateur $R_0$, $Q_{a_0}$, $R_1$ ; les chemins $\alpha$ et $\tilde\sigma_{a_0}^0(\alpha) = \alpha'$ descendent vers $P$ et $P' = \tilde\sigma_{a_0}^0(P)$, reliés par $\tilde\alpha_\sigma$.

91p. 22 de l'auteur. Par $g_n$ ce chemin devient un chemin dans $U_{0,3}$ \[ g_n(\tilde\alpha_\sigma) : \quad g_n(P') = g_n(\tilde\sigma_{a_0}^0(P)) = \tau\, g_n(P) = \tau(P_+) = P_- \longrightarrow g_n(P) = P_+ \] qui franchit l'équateur […] exactement une fois, en traversant l'arc $(1,\infty)$ — c'est donc $\tau_{a_1}$, noté aussi $\tau_0$ (car $a_1$ est opposé au sommet $0$) donc on trouve \[ (**)\qquad g_n(\tilde\sigma_{a_0}) = \tau_0 \in \Pi_{0,3}^\tau/\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle \] petite sphère en marge : sur l'équateur $0$, $a_0$, $1$ ; derrière, $a_\infty$, $\infty$, $a_1$. Pour se rassurer, on va vérifier que conformément à (86), $\tilde\sigma_{a_0}(\rho) = \rho^{-1}$, $\tilde\sigma_{a_0}(\sigma_{a_0}) = \sigma_{a_0}$, on a bien \[ \tau_0(\rho_\infty^{-1}) = \rho_\infty, \qquad \tau_0(\rho_1) = \rho_1^{-1} \] l'exposant de $\rho_\infty$ dans le second membre est surchargé. ce qui est contenu en effet dans les […] (deux premières) formules (80) pour $n=3$, en prenant ici […] $a_0$ le côté $(1,\infty)$ du triangle $(0,1,\infty)$ dans $X_0$ …. On tire de […] (*) \[ g_n(\tau_{a_0}) = g_n(\tilde\sigma_{a_0} \cdot \sigma_{a_0}) = g_n(\tilde\sigma_{a_0})\, g_n(\sigma_{a_0}) = \tau_0 \rho_1 = \tau_\infty \] puisque $\rho_1 = \tau_0 \tau_\infty$, donc en résumé \[ \text{(100)}\qquad g_n(\tilde\sigma_{a_0}) = \tau_0, \qquad g_n(\tau_{a_0}) = \tau_\infty . \]

7. Dans toutes ces considérations ⌜du §6⌝, on a un peu perdu de vue les cartes, dont il n'a plus été question. Pourtant, le groupe $\Pi_P^\tau$ s'interprète comme un des groupes « cartographiques pondéré […]-polygonal », qui est tel que

92en tête de page, la marque « B ». les […] ensembles finis où opère $\Pi_P^\tau$ — i.e. munis d'endomorphismes […] involutifs $\tau_a$, indexés par les arêtes de $P$ — s'interprètent en termes de telles cartes, mais en supposant que les $\tau_a$ opèrent sans points fixes. […] Si on associe à la carte $X$ $P$-pondérée l'ensemble ⌜$R(X)$⌝ de ses faces, on trouve en effet un ensemble où des opérations $\tau_a$ ⌜où $\tau_a$⌝ correspondant à la symétrie p.r. […] : l'arête de type $a$ d'une face. Ici, la pondération (disons, ⌜orientée d'une⌝ numérotation circulaire) des […] ⌜faces⌝ pourrait plutôt commencer par celle des sommets. Le foncteur Une pondération de type $P$ \[ \text{(101)}\qquad \begin{array}{ccc} X & \longmapsto & R(X) \\[2pt] \begin{array}{c}\text{cartes $P$-pondérées}\\ \text{finies}\\ \text{(cat. isotopique)}\end{array} & \xrightarrow{\ \approx\ } & \begin{array}{c}\Pi_P^\tau\text{-ensembles finis}\\ \text{spéciaux}\\ \text{(i.e. où les $\tau_i$}\\ \text{opèrent ss pts fixes)}\end{array} \end{array} \] en marge gauche, un assemblage de faces quadrangulaires numérotées (côtés marqués $0$, $1$, $2$, $3$) autour d'une face centrale $r$ munie d'une flèche de rotation ; les faces voisines portent $\tau_0 r$, $\tau_1 r$, $\tau_2 r$, $\tau_3 r$. l'étiquette (101) est surchargée sous le dessin. est une équivalence de catégories. ⌜Elle⌝ L'équivalence ⌜induit une équivalence⌝ […] […] […] […] \[ \text{(102)}\qquad \begin{array}{ccc} \begin{array}{c}\text{cartes $P$-pondérées}\\ \text{finies \emph{orientées}}\end{array} & \xrightarrow{\ \approx\ } & \Pi_P\text{-ens. finis} \\[2pt] X & \longmapsto & R^+(X) \end{array} \] devant (102), un $\Pi_P^\tau$ suivi d'un mot est biffé, ainsi que « statiques » après « $P$-pondérées ». en associant à chaque telle carte l'ensemble $R^+(X)$ de ses repères faces « directes », i.e. […] l'orientation induite par $X$ et celle définie par $\omega \in \underline{\omega}$, définissant un ordre circulaire sur l'une des sommets (ou des arêtes)

93p. 23 de l'auteur. de la face. On notera que pour décrire le groupe $\Pi_P^\tau$, et l'équivalence (101), on n'a pas besoin d'autre donnée que du pol. combinatoire $P$, le groupe $\Pi_P^\tau$ est défini simplement par (62) (sans référence au choix d'un point-base $P_\omega$ dans un espace $\Sigma_P^*$ !). Par contre, pour définir $\Pi_P$ et l'équivalence (102), on a besoin du choix d'une orientation ω de $P$, ce qui permet d'introduire $\Pi_P$ p.ex. comme $\pi_1(\Sigma_P^*, P_\omega)$. À vrai dire, on pourrait définir $\Pi_P$, sans choix de $\omega$, comme noyau de l'homom. can. $\Pi_P^\tau \to \{\pm 1\}$, de façon à avoir la suite exacte \[ \text{(103)}\qquad \begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \Pi_P & \to & \Pi_P^\tau & \longrightarrow & \{\pm 1\} & \longrightarrow & 1 \\ & & & & \tau_a & \longmapsto & -1 & & \end{array} \] mais il reste que le choix d'un foncteur (102) dépend du choix d'une orientation $\omega$ de $P$.

Un foncteur quasi-inverse de (102) s'obtient en interprétant le deuxième membre par la théorie de Galois des revêtements étales de $\Sigma_P^*$ \[ \text{(104)}\qquad \Pi_P\text{-ens. finis} \xrightarrow{\ \approx\ } \begin{array}{l}\text{revêtements ramifiés}\\ \text{finis de } \Sigma_P \text{, étales}\\ \text{au-dessus de } \Sigma_P^* ,\end{array} \] si on a un tel revêtement […] $X$ de $\Sigma_P$, l'image inverse de la carte […] ⌜canonique⌝ sur $\Sigma_P$ (jouant le rôle de carte $P$-pondérée orientée universelle)

94en tête de page, un chiffre biffé. est la carte $P$-pondérée cherchée ⌜orientée⌝ cherchée.

Pour avoir un foncteur quasi-inverse de (101), on procède de façon analogue, en utilisant une orientation de $P$. Ce faisant, on utilise l'un $\omega$ pour tordre le corps $\mathbb{C}$, et le remplacer par $\mathbb{C}(\omega)$, et on considère la sphère $\mathbb{C}(\omega)$-courbe $\Sigma_P(\mathbb{C}(\omega))$ au lieu de $\Sigma_P(\mathbb{C})$, qui a aussi un point canonique $P_+$ pouvant servir de pt base). On passe interprète $\Pi_P^\tau$ comme $\pi_1(\Sigma_P^*, \{1,\tau\} ; P_\omega)$, et on procède comme p. 9' (dans le cas $n=3$, dont […] ici une généralisation …).

Sûrement on doit pouvoir généraliser aussi […] quelconque, les considérations du §5 (p. 12'-14), qui précisent (en relation avec […] les iso. (97) (99)) les relations entre cartes $P$-pondérées, et cartes $n$-gonales (i.e. dont toutes les faces sont $n$-gonales …). Je ne vais pas détailler ce point ici.

95p. 24 de l'auteur. Ici commence un nouveau paragraphe ; sa numérotation des formules repart de (1). 8. Une façon d'obtenir une configuration « polygone régulier à $n$ côtés » ⌜$P_n$⌝ dans une sphère complexe ⌜$\Sigma$⌝, […] i.e. dans une droite projective complexe, est de partir d'un polygone régulier à $2n$ côtés $\tilde P_{2n}$ (combinatoire, un revêtement de degré 2 de $P_n$) plongé dans un espace ⌜plan⌝ vectoriel réel $V_{\tilde P_{2n}}$ (centre du polygone régulier) et de poser $P_n = P = (S, A, R \subset S \times A)$ \[ \text{(1)}\qquad \Sigma = \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}})(\mathbb{C}) \] en prenant \[ \text{(2)}\qquad P_n = \tilde P_{2n}/\{\pm 1\} \] NB $-1$ opère sur le polygone combinatoire $\tilde P_{2n}$ par antipodisme et on donc \[ S = \tilde S/\pm 1, \qquad A = \tilde A/\pm 1, \qquad R = \tilde R/\pm 1 , \] et on définit le plongement \[ \text{(3)}\qquad S \hookrightarrow \Sigma \] par passage au quotient en termes de \[ \begin{array}{rcl} \tilde S & \longrightarrow & \Sigma \\ R_{\tilde s} & \longmapsto & \mathbb{C}\cdot R_{\tilde s} \in \mathbb{P}(V_{\mathbb{C}})(\ldots) = \mathbb{P}(V)(\mathbb{C}) . \end{array} \] Directement […] En fait, ⌜la construction $\Sigma$ provient⌝ de la droite projective réelle $\mathbb{P}(\underbrace{V_{\tilde P_{2n}}}_{V})$, et l'application (3) se factorise par […] \[ \text{(4)}\qquad \Sigma_{\mathbb{R}} = \Sigma_{\tilde P_{2n}}(\mathbb{R}) \] où on a posé \[ \text{(5)}\qquad \underset{\textstyle \Sigma_{P_n}}{\Sigma_{\tilde P_{2n}}} = \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}}) \qquad \text{(ne dépend en fait que de } P_n = \tilde P_{2n}/\pm 1\text{)} \] sous $\Sigma_{\tilde P_{2n}}$ dans (5), un signe d'égalité vertical renvoie à $\Sigma_{P_n}$.

96La représentation naturelle de $D_{\tilde P}$ \[ \text{(6)}\qquad D_{\tilde P_{2n}} \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Aut}_{\text{comb}}(\tilde P_{2n}) \qquad (\simeq \mathbb{D}_{2n}) \] sur $V_{\tilde P_{2n}}$ définit une action de $D_{\tilde P_{2n}}$ sur $\Sigma_{\tilde P_{2n}}$ et par là sur $\Sigma$, mais qui est triviale sur le sous-groupe $\pm 1$, et se factorise donc par une action de \[ \text{(7)}\qquad D_{P_n} \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Aut}_{\text{comb}}(P_n) \simeq D_{\tilde P_{2n}}/\{\pm 1\} \] sur $\Sigma = \Sigma_{P_n}$, qui n'est autre que son action naturelle par transport de structure, quand on interprète $\Sigma$ directement comme défini en termes de $P_n$.

Si $n$ est impair, la suite exacte canonique \[ \text{(8)}\qquad 1 \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow D_{\tilde P_{2n}} \longrightarrow D_{P_n} \longrightarrow 1 \] est scindée […] (le scindage ⌜choix d'un⌝ dépendant du choix d'un « sous-$n$-gône » ⌜des deux⌝ $P'_n$, $P''_n$ du $2n$-gône combinatoire $\tilde P_{2n}$ (pour $n = 3$, le choix d'un des deux triangles $ABC$, $A'B'C'$ marqués sur la figure). Cela est lié au fait qu'on a une équivalence de catégories, pour $n$ impair en marge, un hexagone régulier inscrit dans un cercle, de sommets $A$, $C'$, $B$, $A'$, $C$, $B'$ ; les deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ y sont tracés.

97p. 25 de l'auteur. \[ \text{(9)}\qquad \begin{array}{ccc} \begin{array}{c}\text{Polygones combinatoires $\tilde P_{2n}$}\\ \text{d'ordre $2n$, avec un}\\ \text{sous-polygone d'ordre}\\ \text{$n$ marqué, soit $P'_n$}\end{array} & \xrightarrow{\ \approx\ } & \begin{array}{c}\text{polygones}\\ \text{combinatoires $P_n$}\\ \text{d'ordre $n$}\end{array} \\[2pt] (\tilde P_{2n}, P'_n) & \longmapsto & P'_n \end{array} \qquad (n \text{ \emph{impair}}) \] Donc l'représentation ⌜opération⌝ naturelle de $D_{P_n}$ sur $\Sigma$, ou mieux sur $\Sigma_{\tilde P_{2n}}$ ⌜$= \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}})$⌝, se relève en une représentation ⌜opération linéaire⌝ de $D_{P_n}$ sur $V_{\tilde P_{2n}}$. En fait, on peut même prendre donc ⌜on a⌝ \[ \text{(10)}\qquad V_{\tilde P_{2n}} = \underbrace{V_{P'_n} \simeq V_{P_n}}_{\text{car } P'_n \simeq P_n} \] et l'action de $D_n$ sur $V_{\tilde P_{2n}}$ peut s'identifier à son action sur $V_{P_n}$. […] $\Sigma_{\tilde P_{2n}}$ Ici $\Sigma_{\tilde P_{2n}}$ s'identifie à la droite projective L'isomorphisme (10) fournit d'ailleurs \[ \text{(11)}\qquad \underset{\textstyle \Sigma_{P_n}}{\Sigma_{\tilde P_{2n}}} = \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{P}(V_{P_n}) , \qquad (n \text{ \emph{impair}}) \] et ce qui et cette explicitation de $\Sigma_{P_n}$ comme $\mathbb{P}(V_{P_n})$ est […] d'ailleurs évidente a priori, car l'application \[ \begin{cases} S = S_{P_n} \longrightarrow \mathbb{P}(V_{P_n})(\mathbb{R}) \\ s \longmapsto \mathbb{R}s \end{cases} \] est injective pour $n$ impair — de sorte que

98$\mathbb{P}(V_{P_n})(\mathbb{C})$ satisfait […] la propriété caractéristique de $\Sigma_{P_n}$, comme enveloppe-droite-projective de […] $S_{P_n}$, « stable » compatible avec l'action de $D_{P_n}$.

Si par contre $n$ est pair, l'homomorphisme […] $D_{\tilde P_{2n}} \to D_{P_n}$ ne se scinde pas, car l'homomorphisme \[ \begin{array}{ccc} D_{\tilde P_{2n}}^+ & \longrightarrow & D_{P_n}^+ \\ \wr & & \wr \\ \mathbb{Z}/2n & & \mathbb{Z}/n \end{array} \] ne se scinde pas (il est isomorphe à l'homom. de passage au quotient canonique $\mathbb{Z}/2m \to \mathbb{Z}/m$, qui se prolonge au quotient par […] $m\cdot\mathbb{Z}$ (où $n = 2m$) dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, qui n'est pas scindée. Donc Comme l'extension (8) de $D_{P_n}$ par $\{\pm 1\}$ n'est autre que l'extension réciproque de \[ 1 \to \{\pm 1\} \to \operatorname{Sl}(V_{\tilde P_{2n}}) \to \underset{\textstyle \operatorname{Aut}(\Sigma_{P_n})}{\operatorname{GP}(V_{\tilde P_{2n}})} \longrightarrow 1 \] par $D_{P_n} \to \operatorname{Aut}(\Sigma_{P_n})$, cela montre que l'opération de $D_{P_n}$ sur $\Sigma_{P_n}$ ne se remonte pas en une opération vectorielle — […] ⌜[…]⌝ qui reviendrait au même, qu'elle ne se remonte pas

99p. 26 de l'auteur. en une opération de $D_{P_n}$ sur $(\Sigma_{P_n}, \mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1))$ où $\mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1)$ désigne un faisceau inversible sur $\Sigma_{P_n}$, de degré 1 (p.ex. celui provenant de la description […] $\Sigma_{P_n} \simeq \mathbb{P}(V_{\tilde P_{2n}})(\mathbb{C})$). Si donc on s'intéresse au fibré principal \[ \text{(12)}\qquad P\Sigma_{P_n} = \check{\mathbb{V}}(\mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1))^* \] sur $\Sigma_{P_n}$, il n'y a pas d'action naturelle de $D_{P_n}$ sur ce fibré — mais (une fois choisi le revêtement $\tilde P_{2n}$ de degré 2 de $P_n$, ce qui précise le choix de $\mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1)$ en termes de $V_{\tilde P_{2n}}$), on trouve une action de $D_{\tilde P_{2n}}$ sur (12).

Dans tous les cas, $n$ impair ou pair, je m'intéresse : l'action de $D_{\tilde P_{2n}}$ sur (12), et sur le groupe \[ \text{(13)}\qquad P\Sigma_{P_n}^* = P\Sigma_{P_n} \mid \Sigma_{P_n}^* , \] qui est un fibré principal de groupe $\mathbb{C}^*$ sur $\Sigma_{P_n}^*$. De façon précise, je m'intéresse au groupoïde fondamental de $P\Sigma_{P_n}^*$ et l'action

100de $D_{\tilde P_{2n}}$ dessus — et en particulier, au groupe fondamental mixte de $P\Sigma_{P_n}^*$, pour cette action de $D_{\tilde P_{2n}}$ […], ou […] pour l'action de $D_{\tilde P_{2n}} \times \{1,\tau\}$. […]

Quand la page s'arrête sur ce mot ; la suite manque dans le lot.