Fonds Grothendieck, cote n° 144, pages 61–80

p. 6 de l'auteur. La page reprend une phrase dont le début est sur la page précédente, hors de ce lot : la comparaison entre cartes et revêtements ramifiés de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) est commencée avant la p. 61. C'est ainsi que la cat. des les cartes cellulaires triangulées pondérées apparaissent comme équivalentes à : celles des surjectifs revêtements ramifiés de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), ramifiés au plus en les points 0, 1, \infty. Ces revêtements sont de façon connue des courbes algébriques (propres et lisses) sur \mathbb{C}, et la ~~carte~~ donnée par X est l'image inverse de l'équateur \mathbb{P}^1(\mathbb{R}), les sommets de type i formant les fibres en X au-dessus du point i \in \{0, 1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), les ordres réduits les pts de ramification ; les arêtes sont les composantes connexes des images inverses des segments ouverts ]1, \infty[, ]\infty, 0[, ]0, 1[. (subdivisions barycentriques des)

Le cas des cartes ordinaires est celui où : \rho_1^2 = 1 \;) , cette dernière se récupère en termes du revêtement en prenant l'image inverse du segment [0, 1] \subset U_{0,3} \subset \mathbb{C}, les sommets (ordinaires) sont les pts au-dessus de 0, tandis que les points au-dessus de 1 (comp. \infty) sont par définition les centres des arêtes resp. centres des faces. On trouve la carte orientée « universelle » ~~orientable~~ sur \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), comme ~~le segment~~, \text{(21)} \qquad S_0 = \{0\} \subset K_\infty = [0, 1] devant (21), un numéro biffé illisible.

et la subdivision barycentrique, donnée par \text{(22)} \qquad \left\{ \begin{array}{l} S_1 = \{1\}, \quad S_\infty = \{\infty\}, \quad K = \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) = K_0 \cup K_1 \cup K_\infty \\ \text{où} \quad K_0 = [1, \infty], \quad K_1 = [\infty, 0], \quad \underbrace{K_\infty = [0, 1]}_{\text{comme avant, cf.\ (21)}} \end{array} \right. Une sphère, coupée par l'équateur ; sur l'équateur, les points 0, 1, \infty et les arcs K_0, K_1, K_\infty (ce dernier, de 0 à 1, renforcé) ; l'hémisphère supérieur marqué \Gamma_+, l'inférieur \Gamma_-, avec une flèche d'orientation.

pour le cas de la carte orientée triangulée pondérée universelle, avec K_0, K_1, K_\infty comme arêtes de type 0, 1, \infty respectivement. Les deux ~~faces~~ triangles-repères dans la situation universelle orientée triangulée pondérée sont l'hémisphère nord \Gamma_+ et l'hémisphère sud \Gamma_-, qui apparaissent comme des « simplexes » topologiques, ayant comme sommets 0, 1, \infty, et comme arêtes K_0, K_1, K_\infty opposées à ceux-ci. Quant aux faces de la situation initiale (21), il y a une seule face, découpée de la sphère \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) suivant le segment K_\infty = [0, 1], avec comme bord l'~~une~~ arête unique 0'\,(\tfrac12)_-\,1'\,(\tfrac12)_+\,0' parcourue une boucle fermée ayant comme seul sommet 0' \mapsto 0, comme « milieu » le point 1' \mapsto 1, les deux arcs joignant 0' à 1' sur le bord de la découpure étant ceux qui passent par \Gamma_- (contenant (\tfrac12)_-) et \Gamma_+ respectivement. Vu depuis \infty, centre de l'unique face, en ici collant les deux bords de la découpure, celle-ci apparaît donc comme un disque de centre \infty, divisé par les deux rayons ~~(0', \infty)~~ (\infty, 0') et (\infty, 1'), joignant \infty à 0 \sim 0' et à 1 \sim 1' respectivement, en les deux repères \Gamma_+ et \Gamma_- de la subdivision barycentrique, \Gamma_+ ayant comme orientation propre celle induite par f, et \Gamma^- ayant comme orientation propre l'orientation opposée de celle induite par f. Par la

Dans la marge gauche, deux figures. En haut, la sphère avec la découpure le long de [0,1] : les bords 0', 1', (\tfrac12)_+, (\tfrac12)'_-, et des flèches parcourant le bord. En bas, le disque f vu depuis son centre \infty : diamètre horizontal pointillé de 1' (à gauche) à 0' (à droite), \Gamma^+ au-dessus, \Gamma^- au-dessous, avec leurs flèches d'orientation ; sur le cercle, (\tfrac12)'_+ en haut et (\tfrac12)'_- en bas, arcs marqués K'^{+}_{\infty} et K'^{-}_{\infty} ; une accolade f à gauche.

L'orientation marquée sur le bord de la découpure est celle induite par l'unique face f, non l'orientation habituelle héritée de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}).

Attention, si on place \Gamma^+ au-dessus dans l'« horizontale » 0'\infty 1', 0' doit être placé à droite et 1' à gauche !

p. 7 de l'auteur. théorie de la représentation conforme, ce disque holomorphe doit être isomorphe au disque standard \mathbb{D}, avec un isomorphisme unique g : \mathbb{D} \xrightarrow{\ \sim\ } f \qquad \begin{array}{l} 0 \longmapsto \infty \quad (\text{centre de } f) \\ 1 \longmapsto 0' \quad (\text{unique sommet de } f) \end{array} et tel que de plus \left\{ \begin{array}{l} g(-1) = 1' \\ g(i) = (\tfrac12)'_+ \\ g(-i) = (\tfrac12)'_- \end{array} \right. Dans la marge, le disque unité : les points 1 (renforcé), -1, i, -i et le centre 0, une flèche d'orientation sur le cercle.

Comment trouver g ? On ~~trouve~~ voit que le disque \mathbb{D} est l'hémisphère positif de la « sphère » standard ~~X_1~~ = \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), qui a comme seul sommet 1, comme seule arête l'équateur \mathbb{P}^1(\mathbb{R}), comme centres des deux faces 0 et \infty (qui forment l'axe polaire), comme milieu d'arête -1. Alors X_1 est un revêtement d'ordre 2 de X_0 = \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), ramifié ~~en dehors~~ au plus en \{0, 1, \infty\} (l'ordre du revêtement est le nb de repères directs, qui est 2)

Dans la marge, une sphère : 0 au pôle nord, \{\infty\} au pôle sud, 1 sur l'équateur, une flèche sur l'équateur.

où g : \quad \begin{array}{l} 1 \longmapsto 0 \\ -1 \longmapsto 1 \\ 0, \infty \longmapsto \infty \end{array} ce qui épuise les fibres en 0, 1, \infty, et montre que la ramification est 2 sur 0, 1, et pas de ramification p. ex. la situation analogue, g' : \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), mais où g' : \quad \begin{array}{l} 0 \longmapsto 0 \\ \infty \longmapsto \infty \\ 1, -1 \longmapsto 1 \end{array} on a évidemment g'(z) = z^2,

p. 8 de l'auteur. et on a g(z) = \varphi\, g'(\psi(z)) où \varphi, \psi sont les transformations homographiques \psi : \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ -1 \\ 0, \infty \end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ \infty \\ 1, -1 \end{array} \right. \qquad \varphi : \left\{ \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ \infty & 1 \\ 1 & \infty \end{array} \right. donc \psi(z) = \frac{z-1}{z+1} \qquad \varphi(z) = \sigma_0(z) = \frac{z}{z-1} d'où g(z) = \frac{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2} {\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2 + 1} = \frac{(z-1)^2}{(z-1)^2 - (z+1)^2} = \frac{(z-1)^2}{-4z} le dénominateur du premier membre se lit +1 ; la valeur de \varphi et le membre suivant demandent -1. \text{(23)} \qquad g(z) = -\frac{1}{4z}\,(z-1)^2 réalise l'isomorphisme conforme du disque unité \mathbb{D} sur le découpage f de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) suivant [0, 1], avec les valeurs annoncées plus haut…

un trait horizontal sépare ici deux développements.

Le groupe \Pi_{0,3}^\tau apparaît comme un groupe fondamental mixte \text{(24)} \qquad \Pi_{0,3}^\tau \simeq \Pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\}; P_+) NB Ici \rho_i = \lambda_{i+1} \lambda_{i-1}^{-1} Introduisant les chemins \lambda_i (i \in \{0, 1, \infty\}) de P_- à P_+, formés des demi-arcs de grand cercle passant par les Q_i (Q_i, milieux des arcs de grand cercle joignant j à k, où \{i, j, k\} = \{0, 1, \infty\}), on arrive, en tant que flèches de \Pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\}) : \tau_i = (\underbrace{\lambda_i}_{\tau P_+ = P_- \to P_+}, \underbrace{\tau}_{\{1, \tau\}}) (24) Dans la marge, une sphère : P_+ au pôle nord ; trois demi-méridiens \lambda_0, \lambda_1, \lambda_\infty qui y aboutissent, passant par Q_0 = 2, Q_1 = -1, Q_\infty = \tfrac12 ; les points 0, 1, \infty sur l'équateur ; des parties des arcs en pointillé. le Q_0 = 2 de la figure se lit ainsi ; les deux annotations sous \lambda_i et \tau sont transcrites comme accolades.

Cette interprétation montre que la catégorie des cartes isotropiques triangulées pondérées (de type \{0, 1, \infty\}) est équivalente : une ss-cat. pleine de celle des \{1, \tau\}-revêtements finis étales de U_{0,3}, ~~tels que~~ savoir ceux satisfaisant à une condition supplémentaire (savoir que sur l'ensemble opposé correspondant, \tau_0, \tau_1, \tau_\infty opèrent sans pts fixes). Mais on voit aisément, que pour le \{1, \tau\} revêtement U' de U_{0,3}, les points fixes de \tau_i correspondent aux composantes connexes de U'^\tau qui sont au-dessus de l'arc de U_{0,3}(\mathbb{R}) opposé à P_i i.e. ~~autour~~ de centre Q_i — donc la condition signifie que l'on a \text{(25)} \qquad U'^\tau = \emptyset \quad \text{i.e.} \quad X'^\tau = \emptyset où X' est le revêtement ramifié de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) qui prolonge U'. [NB a priori X'^\tau est une courbe analytique réelle ~~plongée~~ contenue dans X', qui donc est vide dès qu'elle se trouve dans U' = X' \smallsetminus \text{ramif.} () l'est.)] NB. (En termes de la carte pondérée initiale, X' est le revêtement de ses orientations locales, \tau_{X'} ~~est~~ l'automorphisme défini par : l'orientation \mapsto l'orientation opposée…, qui en effet doit être sans points fixes).

Indépendamment de la condition restrictive (25), la donnée du \{1, \tau\} revêtement ramifié de \Sigma = \mathbb{P}^1(\mathbb{C}),

p. 9 de l'auteur. étale au-dessus de \Sigma^* = U_{0,3}, ~~revient~~ i.e. la donnée d'un revêtement ramifié de \Sigma étale au-dessus de U_{0,3}, plus une op. de \{1, \tau\} dessus compatible avec l'opération sur \Sigma, revient : la donnée d'une donnée de descente de \mathbb{C} à \mathbb{R}, sur un revêtement ramifié, étale au-dessus de U_{0,3\,\mathbb{C}}, du \mathbb{C}-schéma \Sigma_{\mathbb{C}}. Donc la catégorie des revêtements mixtes est équivalente : celle des revêtements ramifiés du schéma ~~U_{0,3}~~ \Sigma_{\mathbb{R}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}, étales au-dessus de \text{\struck{$U$}} \ U_{0,3\,\mathbb{R}} = \Sigma^*_{\mathbb{R}} = \Sigma_{\mathbb{R}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\} . On trouve ainsi un foncteur pleinement fidèle \text{(26)} \quad \begin{array}{c} \text{cartes triangulées pondérées \textit{finies}} \\ \text{de type } \{0, 1, \infty\} \end{array} \hookrightarrow \begin{array}{l} \text{revêtements étales \textit{finis}} \\ \text{du schéma } \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \smallsetminus \{0,1,\infty\} \\ (\simeq \text{rev.\ ramifiés de } \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}, \\ \ \text{étales au-dessus de} \\ \ U^*_{03\,\mathbb{R}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \smallsetminus \{0,1,\infty\}) \end{array} dans (26), « finies » et « finis » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

L'image essentielle est formée des rev. X' tels que \text{(27)} \qquad X'(\mathbb{R}) = \emptyset interprétation qui en fait traduit (25) puisque X'(\mathbb{R}) = \underbrace{X'(\mathbb{C})^\tau}_{\text{\struck{\ill{}} $X'$ dans (25)}} .

Le foncteur en sens inverse est donné en associant : à un rev. ramifié X' de X, étale sur U_{0,3}, la carte X'(\mathbb{C}), munie de l'image inverse X'(\mathbb{C}) \,|\, (\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} = \Sigma_{\mathbb{R}}) de l'ens. des pts réels de \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) = \Sigma,

~~(B4. B_04)~~cette mention biffée, en haut à gauche, est à l'encre bleue ; la lecture en est douteuse. qui définit une triangulation (orientée) avec partition par les images inverses des pts 0, 1, \infty ~~par définition~~ (qui forment une partition de l'ens. des sommets de la triangulation, défini comme l'ensemble des pts au-dessus de \{0, 1, \infty\}), et en passant au quotient par la conjugaison complexe — ce qui donne une surface sans bord, grâce à la condition (27). Dans le cas où on ne passe pas par cette condition, l'espace quotient \text{(28)} \qquad X = X'(\mathbb{C}) / \tau est une surface à bord compacte (et munie d'une structure conforme…), et on pourrait étendre (de façon essent. unique) la définition des cartes finies triangulées pondérées aux surfaces compactes à bord, de telle façon que (26) devienne une équivalence de catégories.

(4) On peut introduire, sur une carte (orientée ou non), des conditions de la forme \text{(29)} \qquad \rho_i^{\nu_i} = 1 \qquad \text{\struck{type}} \ \text{où} \quad \nu_i \in \overline{\mathbb{N}^*}, qui signifie donc que

p. 10 de l'auteur. dans la carte triangulée pondérée envisagée, les sommets de type i ont un ordre réduit divisant \nu_i. Une telle condition peut être introduite pour un ou plusieurs indices i. Dans le cas des cartes ordinaires (interprétées comme définissant une triangulation pondérée, via la subdivision barycentrique) une relation \text{(30)} \qquad \rho_0^{\nu_0} = 1 \qquad (\text{resp.}\ \rho_\infty^{\nu_\infty} = 1) signifie que les sommets ont d'ordre divisant \nu_0 (resp. que les faces sont d'ordre divisant \nu_\infty). Quant à la relation \text{(31)} \qquad \rho_1^{\nu_1} = 1 \qquad ) comme déjà \rho_1^2 = 1, ou bien \nu_1 (tel ) et cette relation est automatiquement satisfaite, ou bien \nu_1 est impair, et elle implique \rho_1 = 1 ce qui signifie que la carte correspond à un revêtement de \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} ramifié seulement en 0 et \infty, donc : un revêtement « cyclotomique » z \mapsto z^n (n \in \mathbb{N}), ~~cas qu~~ donnant lieu : la carte régulière sphérique de groupe \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mu_n(\mathbb{C}) ayant un seul sommet, une seule face, et n arêtes disposées circulairement (cas isomorphe : se démêle, visiblement) — cas qui est relativement trivial. Donc on pourra En bas à gauche, une sphère : un sommet unique au pôle nord, d'où partent plusieurs méridiens, certains en pointillé (la carte cyclotomique à un sommet, une face et n arêtes).

Cette page porte un renvoi (deux traits obliques) vers un ajout encadré. que dans le cas des cartes ordinaires, les relations considérées sont du type (30), l'exclusion de (31). [On considère que \rho_i^\infty = 1 par définition, de sorte que l'on ~~les cartes~~ ] l'on peut considérer un système de conditions (29), où pour tout i \in \{0, 1, \infty\}, on a \text{(34)} \qquad \nu_i \in \overline{\mathbb{N}^*} = \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\} . le numéro se lit (34) ; il fait double emploi avec le (34) de la p. 70. Les cartes (finies) pondérées triangulées correspondantes sont déterminées par l'action du groupe quotient \text{(32)} \qquad \Pi_{0,3} / \langle \rho_0^{\nu_0}, \rho_1^{\nu_1}, \rho_\infty^{\nu_\infty} \rangle \qquad (\text{cas orienté}) ou par le quotient \text{(32 bis)} \qquad \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_0^{\nu_0}, \rho_1^{\nu_1}, \rho_\infty^{\nu_\infty} \rangle \qquad (\text{cas non orienté}) qui s'identifie : une extension de \{1, \tau\} par (32). Ce dernier groupe s'interprète comme un groupe fondamental « avec singularités » \text{(33)} \qquad \Pi_{0,3} / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle \simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*; P_+) \nu_* = (\nu_0 R_0 + \nu_1 R_1 + \nu_\infty R_\infty) \qquad \text{singularités sur } \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} ou encore comme un groupe fondamental de la multiplicité (topologique, analytique ou schématique, au choix — mais dans ce dernier cas il s'agit du complété profini…)

p. 11 de l'auteur. \text{(34)} \qquad \mathcal{X}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, \nu_*) = \text{\struck{catégorie}}\ \text{topos des \struck{espaces} \add{surfaces} topologiques}

~~(2 )~~ (non nécess. séparées) ramifiées sur \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, avec indices de ramification, ~~aux~~ en les points au-dessus d'un R_i (i \in S = supp. \nu_*), divisant \nu(R_i) = \nu_i

NB ce topos est une multiplicité topologique, loc. surface topologique, elle est canoniquement orientée.

i.e. on a un isom. canonique \text{(35)} \qquad \Pi_{03} / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle \simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*; P_+) \overset{\text{déf}}{=} \Pi_1(\mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*), P_+) , et de même \begin{aligned} \text{(36)} \qquad \Pi_{0,3}^\tau / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle &\simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \{1, \tau\}, \nu_*; P_+) \\ &\overset{\text{déf}}{=} \Pi_1(\mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*, \{1, \tau\}), P_+) \end{aligned} où \text{(37)} \qquad \mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*, \{1, \tau\}) = (\mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*), \{1, \tau\}) topos mixte défini par le topos (34) avec l'opération naturelle de \{1, \tau\} dessus. NB c'est encore une multiplicité topologique, localement une surface, mais elle n'est multiplicité n'est pas orientable…

Passant aux complétés profinis, on trouve \begin{aligned} \text{(38)} \qquad \widehat{\Pi}_{0,3} / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle &\simeq \Pi_1(\underbrace{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}}_{\text{schéma}}, \nu_*; P_+) \\ &\simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}}}, \nu_*; P_+) \end{aligned} \begin{aligned} \text{(39)} \qquad \widehat{\Pi}_{0,3}^\tau / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle &\simeq \Pi_1(\underbrace{\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}}_{\text{schéma}}, \nu_*; P_+) \\ &\simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}} \cap \mathbb{R}}, \nu_*; P_+) \end{aligned} (et l'interprétation (38) montre qu'il y a une

opération extérieure de \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) sur le premier membre de (38), et en particulier sur \widehat{\Pi}_{0,3} lui-même…).

Les cas les plus intéressants sont les ~~deux~~ suivants :

I) \nu_0 = \nu_1 = \nu_\infty = +\infty : on retrouve \Pi_{0,3} et \Pi_{0,3}^\tau, classifiant les cartes triangulées pondérées (resp. orientées).

II) \nu_0 = \nu_\infty = +\infty, \nu_1 = 2 : on retrouve les groupes \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2 \rangle \quad \text{et} \quad \Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2 \rangle , classifiant les cartes ordinaires.

III) \nu_0 = \infty, \nu_1 = 2, \nu_\infty = 3, donnant les groupes \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle \quad \text{et} \quad \Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle , classifiant les cartes ordinaires triangulaires (pas pondérées !), i.e. dont toutes les faces sont ~~des triangles~~ i.e. sont des triangles — dans le cas non orienté, et les les orientées. On trouve des isomorphismes (via (35), (36)) \underbrace{\Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle} _{\text{groupes cartographiques}} \xleftarrow{\ \sim\ } \underbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}; P_+)} _{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3, \tau}} \underset{\text{triangulés, non or.\ resp.\ orientés}} {\Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle} \xleftrightarrow{\ \sim\ } \overbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; P_+)}^{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3}} les deux membres de gauche sont réunis par une accolade, sous laquelle « groupes cartographiques triangulés, non or. resp. orientés » ; le second membre de gauche est rattaché par un trait double à \{\rho_1, \rho_\infty \mid \rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1\}, écrit dans la marge. Ces isomorphismes ne voilent pas une diversité d'opérations \Pi_1(X, G; P) groupe fondamental « orbifold » des triangulaires (40) note marginale écrite en diagonale, en partie illisible ; elle renvoie semble-t-il à un (40) à venir.

p. 12 de l'auteur. dont le deuxième est donné par \text{(41)} \qquad \boxed{\rho \longmapsto \rho_\infty^{-1}, \quad \sigma_\infty \longmapsto \rho_1} , \quad \underset{\sigma_\infty \rho}{\varepsilon_0} \longmapsto \rho_0 sous \rho_\infty^{-1}, une flèche et l'annotation « attention : l'exposant ! » ; sous \varepsilon_0, un signe = vertical renvoyant à \sigma_\infty\rho. et le premier par \text{(42)} \qquad \boxed{\tau_\infty \longmapsto \tau_\infty}, \quad \underset{\rho(\tau_\infty)}{\tau_0} \longmapsto \overbrace{\underbrace{\rho_\infty^{-1} \tau_\infty \rho_\infty} _{(\rho_\infty^{-1}\rho_1\rho_\infty^{-1}\rho_1)\tau_\infty}} ^{\tau_0\tau_1\tau_\infty\tau_1\tau_0} , \underset{\rho^2(\tau_\infty)}{\tau_1} \longmapsto \overbrace{\rho_\infty^{-2} \tau_\infty \rho_\infty^{2}} ^{\tau_1\tau_0\tau_\infty\tau_0\tau_1} = \rho_\infty \tau_\infty \rho_\infty^{-1} \quad (\text{car } \rho_\infty^3 = 1 \text{ dans } \Pi_{03}^\tau / \langle \cdots \rangle) au-dessus de la dernière accolade, entre parenthèses : = (\rho_\infty\rho_1\rho_\infty\rho_1)\tau_\infty. NB on utilise \rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1 et \tau_\infty(\rho_\infty) = \rho_0\rho_1 = \rho_1^{-1}\rho_\infty^{-1}\rho_1 = \rho_1\rho_\infty\rho_1 où \rho, \sigma_i, \varepsilon_i \ (i \in \{0, 1, \infty\}) \quad \text{dans} \quad \Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; P_+) = \Pi_{03}^{\mathbb{D}_3} sont définis de façon standard (on y reviendra dans un cas plus général un peu plus bas), et \tau_i \ (i \in \{0, 1, \infty\}) \in \underbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\}, P_+)}_{\Pi_{0,3}^\tau} \subset \underbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}; P_+)} _{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3, \tau}} sont définis dans (24) (cf. aussi les générateurs de \Pi_{0,3}^\tau \simeq \mathfrak{S}\mathfrak{l}_2 qui figurent dans (2)). Je vais revenir sur ces isomorphismes (40) dans un contexte un peu plus général, ci-dessous.

Enfin, dans le développement précédent, remplaçant U_{0,3} et l'action de \mathfrak{S}_3 resp. \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\} dessus, par ~~celle de~~ le demi-plan de Poincaré \Sigma^+ et l'action de \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 Gl resp. \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 dessus (par l'action homographique resp. homographique et « antihomographique »), on trouve aussi des isomorphismes remarquables \begin{aligned} \text{(43)} \qquad \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 &\xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3, \tau} \quad (\xleftarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle) \\ \text{(44)} \qquad \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 &\xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3} \quad (\xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle) \end{aligned} le numéro (40) renvoie aux isomorphismes de la p. 71, qui n'y portent pas de numéro lisible ; le (2) renvoie à une page antérieure à ce lot. La dernière flèche de (44) va vers la droite sur la page, celle de (43) vers la gauche.

permettant d'interpréter les éléments remarquables \rho, \sigma_i, \tau_i, \tilde{\sigma}_i, \struck{\ill{}}, \varepsilon_i, h_i de \Pi_{03}^{\mathbb{D}_3, \tau}, comme des éléments de \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 — que les eux aussi remontent de façon canonique en des éléments de \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z}), donnant lieu : une formulaire des plus sympathiques, que j'ai développé et utilisé intensivement dans mes notes de l'an dernier (1981). Si on veut généraliser ceci dans le sens que les iso. (40), au cas des groupes \Pi_{0n} et variantes associés aux polygones réguliers ( n \geq 3) il me semble qu'il faudra trouver une interprétation des groupes analogues : \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 resp. \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1, comme sous-groupes discrets remarquables des groupes \mathrm{Gl}(2, \mathbb{R})…

(5) Dans l'interprétation « cartographique », laissons — plutôt (40) s'explicitant comme deux équivalences de catégories, entre la cat. isotopique des cartes « triangulées » X (i.e. toutes les faces sont d'ordre divisant trois, i.e. sont des triangles), ~~éventuelles~~ et celle des ~~orientées~~ cartes triangulées pondérées X' munies d'une

p. 13 de l'auteur. opération de \mathfrak{S}_3 sur la carte pondérée sous-jacent, « échangeant les pondérations », suivant l'action de \mathfrak{S}_3 sur l'ensemble pondérant \{0, 1, \infty\} — équivalence tant dans la théorie orientée, que dans la théorie non orientée. On peut expliciter cette équivalence, dans le cas orienté pour fixer les idées, en disant que dans un sens : X' on fait correspondre X = X'/\mathfrak{S}_3, avec la « triangulation » déduite de la triangulation (pondérée) de X' en passant au quotient par \mathfrak{S}_3 — on ~~trouve~~ trouve une qui aux centres une ramification, plus, aux centres des faces (avec ramification divis. à 3), des centres d'arêtes (ramification divis. à 2), et aux sommets de la triangulation pondérée ordinaire, ~~et dans les~~ on considère la subdivision barycentrique, des de celle-ci, on obtient de l'un des sommets des triangles de l'orientation servi des : rejoindre ramification des carte orientables : la multiplicité est orientée triangulaire note marginale écrite en diagonale dans la marge gauche, en grande partie illisible. principal ~~d'ordre~~ du groupe \mathfrak{S}_3, défini par la « couleur » sur chaque défini entièrement par son voisin de la des pieces (qui en composent, comme un voisin des aux principe de la face qui le contient, par donné une pondération de ladite face…), et par le passage d'un drapeau aux drapeaux adjacents~~\tau_0(r), \tau_1(r), \tau_\infty(r)~~ (on trouve ainsi un ~~\tau_0, \tau_1, \tau_\infty~~ revêtement ramifié principal X' de X, de groupe \mathfrak{S}_3, dont lequel l'image inverse de la triangulation de départ

est naturellement pondérée, c'est X'. Si la « triangulaire » structure triangulaire X est orientée (par des moyens d'orientés plus) dans la variante non X' n'est ramifiée — plus que les sommets de façon générale il y a ramification en un sommet de X (ssi celui-ci est d'ordre impair. Comme toutes les ordres des sommets sont pairs, les on plus du fait que toutes les faces sont des triangles et qu'il y a pas d'arêtes multiples conditions plus (~~toutes~~) nécessaires pour que la structure de carte triangulaire sur X soit pondérable), dans le revêtement X' de X est non ramifié. Les orientations, correspondant 1–1 aux pondérations de la structure triangulaire sur X, s'y trouvent.

On peut décrire encore un peu plus la situation, dans le cas orienté que nous intéressons ici, en disant qu'une condition nécessaire de pondérabilité est l'existence d'un « coloriage » en deux « couleurs » + et -, des faces par deux, des faces adjacentes ayant des couleurs différentes. Les coloriages correspondent aux sections du fibré X'/\mathfrak{S}_3^{+} associé au fibré de groupe \mathfrak{S}_3, par \mathfrak{S}_3 \xrightarrow{\ \mathrm{sg}\ } \pm 1, dont un tordu la phrase se poursuit sur la page suivante.

p. 14 de l'auteur. au groupe alterné de \mathfrak{S}_3 : \mathfrak{S}_3^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}. Quand ~~toutes~~ les conditions précédentes sont satisfaites, y compris la donnée d'un tel coloriage des , on trouve un revêtement principal, canonique ~~X'^{+} \subset X de X~~, de X \text{(*)} \qquad X'^{+} \subset X' de groupe \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} — dont la classe d'isomorphie est un élément \text{(43)} \qquad \mathrm{cl}(X) \in H^1(X, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) qu'on peut considérer comme l'obstruction : l'existence d'une pondération, pour la carte triangulaire X : la nullité est nécessaire et suffisante pour cette existence. De plus, les pondérations pour lesquelles les faces + sont les faces directes (pour l'orientation donnée) sont en corr. 1–1 avec les sections du ~~fibré~~ torseur principal précédent de groupe \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}. ce numéro (43) fait double emploi avec le (43) de la p. 72. Le reste de la page est blanc, barré d'un trait oblique.

p. 15 de l'auteur. (6) Soit \text{(44)} \qquad P = (S, A, R \subset S \times A) un polygone combinatoire fini d'ordre n \geq 3, \text{(45)} \qquad \mathbb{D}_P = \mathbb{D} le groupe de ses automorphismes, \mathbb{D}_P^{+} = \mathbb{D}^{+} le sous-groupe d'indice 2 des automorphismes conservant l'orientation, ou rotations, \text{(46)} \qquad 1 \longrightarrow \mathbb{D}^{+} \longrightarrow \mathbb{D} \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow 1 . le numéro (46) se lit (45) sur la page, qui porte ainsi deux (45). On identifie l'ensemble \underline{\omega}_P = \underline{\omega} des orientations de P : l'ens. des deux générateurs privilégiés de \mathbb{D}^{+}, ~~conservant l'orientation~~ \text{(47)} \qquad \underset{\{\omega, \omega'\}}{\underline{\omega}} \subset \mathbb{D}^{+} de sorte que pour \omega \in \underline{\omega}, et pour tout s \in S, a \in A, \omega(s) est un sommet adjacent : s, \omega a une arête adjacente : a. Il existe un plongement, unique : isom. unique près, de P dans la sphère complexe \Sigma = \Sigma_P, de telle façon que les opérations de \mathbb{D} se prolongent en ~~anti~~automorphismes complexes de \Sigma_P : \text{(48)} \qquad S = S_P \hookrightarrow \Sigma = \Sigma_P — l'unicité est déjà garantie en exigeant le prolongement des opérations de \mathbb{D}^{+}, qui implique celle des opérations de \mathbb{D} tout entier. Alors le polygone P est réalisé canoniquement par des points de \Sigma et des arcs de grand cercle de \Sigma, ~~derniers~~ tous placés sur un même (grand) cercle, NB Cela revient : la donnée d'un corps des groupes d'un orienté — La démonstration se fait en puis \mathbb{C}^{*} 0, \infty \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} automorphismes \Sigma^{0} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \mathbb{D}_P^{+} (48) \mathbb{D}_P^{+} points R_{\infty} P_\omega \mapsto \infty ? la longue note marginale, écrite en diagonale le long de la marge gauche et descendant jusqu'au bas de la page, est en très grande partie illisible ; on n'en donne que les fragments sûrs. En bas à gauche, une sphère au crayon : l'équateur tracé en ellipse, avec des points marqués dessus (le polygone P plongé sur un grand cercle).

dont ils forment une subdivision cellulaire — ce cercle définit une structure réelle canonique sur la droite projective complexe \Sigma, il est donc (cf. dimensions constantes près) de \Sigma_{\mathbb{R}}, notée \Sigma(\mathbb{R}). ~~\Sigma_{\mathbb{R}}~~ De plus, il y a une métrique riemannienne homogène unique sur \Sigma invariante par \mathbb{D} (c'est pour elle que \Sigma(\mathbb{R}) est un grand cercle). \Sigma_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) partage \Sigma en deux hémisphères, en correspondance bijective canonique avec \underline{\omega} par la correspondance de Stokes \text{(49)} \qquad \pi_0(\Sigma \smallsetminus \Sigma_{\mathbb{R}}) \simeq \underline{\omega} . On a \Sigma^{\mathbb{D}} = \Sigma^{\mathbb{D}^+} = \Sigma^{\underline{\omega}} = \Sigma^{\{\omega\}} \subset \Sigma \smallsetminus \Sigma_{\mathbb{R}} \qquad (\omega \in \underline{\omega}) et \operatorname{card} \Sigma^{\mathbb{D}} = 2, de façon précise, chacun des hémisphères ouverts contient un pt et un seul de \Sigma^{\mathbb{D}}, d'où \text{(50)} \qquad \Sigma^{\mathbb{D}} \simeq \underline{\omega} , on désigne par P_\omega le point de \Sigma^{\mathbb{D}} qui correspond : \omega \in \underline{\omega}. Il est caractérisé par le fait que l'opération de \omega dans l'espace tangent : \Sigma en P_\omega est une rotation d'angle +2\pi/n (alors qu'en P_{\omega'} elle est d'angle -2\pi/n). Pour s \in S, on désigne par R_s le point correspondant de \Sigma_{\mathbb{R}}, pour a \in A on désigne par Q_a le centre de l'arête a.

p. 16 de l'auteur. En haut à gauche, une sphère : P_\omega au pôle nord, P_{\omega'} au pôle sud ; sur l'équateur, alternativement des points R_s, R_{\omega s}, R_{\omega' s} (gros points) et des centres d'arêtes Q_a, Q_{\omega a}, Q_{\omega' a} (croix) ; des demi-méridiens en pointillé \lambda_a, \lambda_{\omega a}, \lambda_{\omega' a} joignant P_{\omega'} à P_\omega en passant par les Q ; une flèche \tau_\omega autour de l'équateur. Sous la figure : « (s, a) = r d'orientation \omega ».

Je m'intéresse aux groupoïdes fondamentaux \Pi_1(\underbrace{\Sigma_P \smallsetminus S_P}_{\Sigma_P^{*} \text{ ou } \Sigma^{*}}) , et je vais écrire d'abord le groupe fondamental en un P_\omega, correspondant en donnée de \omega \in \underline{\omega}, qu'on note \text{(51)} \qquad \underset{\text{ou } \Pi_P \text{ ou } \Pi}{\Pi_{P,\omega}} = \Pi_1(\Sigma_P^{*}, P_\omega) . On considère aussi l'opération antiholomorphe unique qui fixe les pts de \Sigma_{\mathbb{R}}, et qui échange P_\omega et P_{\omega'}, c'est la conjugaison complexe pour la structure réelle canonique de \Sigma, on la note \tau.

Ainsi, le groupe \text{(52)} \qquad \mathbb{D}_P \times \{1, \tau\} \qquad \text{d'ordre } 4n le numéro se lit (52) ou (51) ; le suivant est (53). opère sur \Sigma, en respectant la « carte cyclotomique » sur \Sigma, le sous-groupe qui conserve l'orientation étant \mathbb{D}_P, alors qu'il induit l'identité sur S (ou sur P) est \{1, \tau\}. On va aussi regarder les groupoïdes fondamentaux mixtes de \Sigma^{*}, pour l'action sur \Sigma^{*} de \{1, \tau\}, de \mathbb{D}_P, ou de \mathbb{D}_P \times \{1, \tau\}. Les ~~Les groupes fondamentaux~~ posons \text{(53)} \qquad \left\{ \begin{aligned} \Pi_{P,\omega}^{\tau} &= \Pi_1(\Sigma^{*}, \{1, \tau\}; P_\omega) \\ \Pi_{P,\omega}^{\mathbb{D}} &= \Pi_1(\Sigma^{*}, \mathbb{D}; P_\omega) \\ \Pi_{P,\omega}^{\mathbb{D},\tau} &= \Pi_1(\Sigma^{*}, \mathbb{D} \times \{1, \tau\}; P_\omega) \end{aligned} \right. dans la deuxième ligne, l'exposant porte une marque surchargée, peut-être \mathbb{D}^{*}. qu'on écrira aussi \Pi^\tau, \Pi^{\mathbb{D}}, \Pi^{\mathbb{D},\tau} quand P est sous-entendu. On a donc ~~des~~ une des groupes d'extensions de

groupes fondamentaux (54) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Pi \arrow[dl, hook] \arrow[dr, hook] & \\ \Pi^{\mathbb{D}} \arrow[dr, hook] & & \Pi^{\tau} \arrow[dl, hook] \\ & \Pi^{\mathbb{D},\tau} & \end{tikzcd}

dans le losange (54), la flèche de \Pi vers \Pi^{\tau} porte le crochet d'inclusion du côté de \Pi mais sa pointe n'est pas visible ; on la transcrit comme les trois autres.

Pour exprimer commodément des générateurs remarquables de ces groupes, on introduit des chemins les indexés par a \in A, i.e. les arêtes du polygone) \text{(55)} \qquad \lambda_a : P_{\omega'} \longrightarrow P_\omega \quad \text{arc de demi-grand cercle passant par } Q_a Dans la marge gauche, une sphère : P_\omega en haut, P_{\omega'} en bas, deux demi-méridiens en pointillé \lambda passant par Q_{\omega' a} et Q_a sur l'équateur, avec R_s entre eux.

Pour tout s \in S, soit \left\{ \begin{array}{l} a(s, \omega) \text{ ou } a(s) \in A \text{ tel que } (s, a) \text{ soit un repère} \\ \text{d'orientation } \omega, \text{ i.e.\ } s = \mathrm{or}_\omega(a) \end{array} \right. après « i.e. », une première formule est biffée et illisible ; s = \mathrm{or}_\omega(a) est ajouté au-dessus. on pose \text{(56)} \qquad \rho_s = \lambda_a \lambda_{\omega' a}^{-1} , \qquad \text{où } a = a(s, \omega) ,\ \omega' = \omega^{-1} \text{donc} \quad \omega'(a) = a(\omega'(s), \omega) , \underset{\Pi_P = \Pi_1(\Sigma_P^{*}, P_\omega)}{\cap} le signe \cap (« appartient ») est placé sous \rho_s, avec en dessous \Pi_P = \Pi_1(\Sigma_P^{*}, P_\omega). On trouve alors, pour tout s \in S \text{(57)} \qquad \rho_{\omega^{n-1}s}\, \rho_{\omega^{n-2}s} \cdots \rho_{\omega s}\, \rho_s = 1 . Toutes ces n relations sont équivalentes entre elles. Si on choisit un sommet origine s_0 — ce qui, une fois choisi \omega, fait un repère de r = (s_0, a(s_0, \omega)) de P, donc aussi un repère de la carte cyclotomique associée), on pose aussi \text{(58)} \qquad \rho_i = \rho_{\omega^i s_0} \qquad (i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) — les indices sont entiers le plus souvent 0, 1, \ldots, n-1 — de sorte que (57), prenant la forme… la phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la page 81.