Cote n° 144, pages 61–80

Cote n° 144 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

61p. 6 de l'auteur. La page reprend une phrase dont le début est sur la page précédente, hors de ce lot : la comparaison entre cartes et revêtements ramifiés de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ est commencée avant la p. 61. C'est ainsi que ⌜la cat. des⌝ les cartes cellulaires triangulées pondérées apparaissent comme équivalentes ⌜à⌝ : celles des ⌜surjectifs⌝ revêtements ⌜ramifiés⌝ de […] $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, ramifiés au plus en les points $0, 1, \infty$. Ces revêtements sont de façon connue […] des courbes algébriques (propres et lisses) sur $\mathbb{C}$, et la carte ⌜donnée par $X$⌝ est l'image inverse de ⌜l'équateur⌝ $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$, les sommets de type $i$ ⌜formant⌝ les fibres en $X$ au-dessus du point $i \in \{0, 1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, les ordres réduits les pts de ramification ; les arêtes sont les composantes connexes des images inverses des segments ouverts $]1, \infty[$, $]\infty, 0[$, $]0, 1[$. ⌜(subdivisions barycentriques des)⌝

Le cas des cartes ordinaires est celui où […] : \[ \rho_1^2 = 1 \;) , \] cette dernière se récupère en termes du revêtement en prenant l'image inverse du segment $[0, 1] \subset U_{0,3} \subset \mathbb{C}$, les sommets (ordinaires) sont les pts au-dessus de $0$, tandis que les points au-dessus de $1$ (comp. $\infty$) sont par définition les centres des arêtes resp. centres des faces. On trouve la carte ⌜orientée⌝ « universelle » orientable sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, comme le segment, \[ \text{(21)} \qquad S_0 = \{0\} \subset K_\infty = [0, 1] \] devant (21), un numéro biffé illisible.

62et la subdivision barycentrique, donnée par \[ \text{(22)} \qquad \left\{ \begin{array}{l} S_1 = \{1\}, \quad S_\infty = \{\infty\}, \quad K = \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) = K_0 \cup K_1 \cup K_\infty \\ \text{où} \quad K_0 = [1, \infty], \quad K_1 = [\infty, 0], \quad \underbrace{K_\infty = [0, 1]}_{\text{comme avant, cf.\ (21)}} \end{array} \right. \] Une sphère, coupée par l'équateur ; sur l'équateur, les points $0$, $1$, $\infty$ et les arcs $K_0$, $K_1$, $K_\infty$ (ce dernier, de $0$ à $1$, renforcé) ; l'hémisphère supérieur marqué $\Gamma_+$, l'inférieur $\Gamma_-$, avec une flèche d'orientation.

pour le cas de la carte orientée triangulée pondérée universelle, avec $K_0, K_1, K_\infty$ comme arêtes de type $0, 1, \infty$ respectivement. Les deux faces ⌜triangles-repères⌝ dans la situation universelle orientée triangulée pondérée sont l'hémisphère nord $\Gamma_+$ et l'hémisphère sud $\Gamma_-$, qui apparaissent comme des « simplexes » topologiques, ayant comme sommets $0, 1, \infty$, et comme arêtes $K_0, K_1, K_\infty$ opposées à ceux-ci. Quant aux faces de la situation initiale (21), il y a une seule face, découpée de la sphère $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ suivant le segment $K_\infty = [0, 1]$, avec ⌜comme bord l'⌝une arête unique $0'\,(\tfrac12)_-\,1'\,(\tfrac12)_+\,0'$ […] ⌜parcourue⌝ une boucle fermée ayant comme seul sommet $0' \mapsto 0$, comme « milieu » le point $1' \mapsto 1$, les deux arcs joignant $0'$ à $1'$ sur le bord de la découpure étant ceux qui passent par $\Gamma_-$ (contenant $(\tfrac12)_-$) et $\Gamma_+$ respectivement. Vu depuis $\infty$, centre de l'unique face, en ici collant les deux bords de la découpure, ⌜celle-ci⌝ […] apparaît donc comme un disque de centre $\infty$, divisé par les deux rayons $(0', \infty)$ $(\infty, 0')$ et $(\infty, 1')$, joignant $\infty$ à $0 \sim 0'$ et à $1 \sim 1'$ respectivement, en les deux repères $\Gamma_+$ et $\Gamma_-$ de la subdivision barycentrique, $\Gamma_+$ ayant […] comme orientation propre celle induite par $f$, […] et $\Gamma^-$ ayant comme orientation propre l'orientation opposée de celle induite par $f$. Par la

Dans la marge gauche, deux figures. En haut, la sphère avec la découpure le long de $[0,1]$ : les bords $0'$, $1'$, $(\tfrac12)_+$, $(\tfrac12)'_-$, et des flèches parcourant le bord. En bas, le disque $f$ vu depuis son centre $\infty$ : diamètre horizontal pointillé de $1'$ (à gauche) à $0'$ (à droite), $\Gamma^+$ au-dessus, $\Gamma^-$ au-dessous, avec leurs flèches d'orientation ; sur le cercle, $(\tfrac12)'_+$ en haut et $(\tfrac12)'_-$ en bas, arcs marqués $K'^{+}_{\infty}$ et $K'^{-}_{\infty}$ ; une accolade $f$ à gauche.

L'orientation marquée sur le bord de la découpure est celle induite par l'unique face $f$, non l'orientation habituelle héritée de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$.

Attention, si on place $\Gamma^+$ au-dessus dans l'« horizontale » $0'\infty 1'$, $0'$ doit être placé à droite et $1'$ à gauche !

63p. 7 de l'auteur. théorie de la représentation conforme, ce disque holomorphe doit être isomorphe au disque standard $\mathbb{D}$, avec un isomorphisme unique \[ g : \mathbb{D} \xrightarrow{\ \sim\ } f \qquad \begin{array}{l} 0 \longmapsto \infty \quad (\text{centre de } f) \\ 1 \longmapsto 0' \quad (\text{unique sommet de } f) \end{array} \] et tel que de plus \[ \left\{ \begin{array}{l} g(-1) = 1' \\ g(i) = (\tfrac12)'_+ \\ g(-i) = (\tfrac12)'_- \end{array} \right. \] Dans la marge, le disque unité : les points $1$ (renforcé), $-1$, $i$, $-i$ et le centre $0$, une flèche d'orientation sur le cercle.

Comment trouver $g$ ? On trouve ⌜voit⌝ que le disque $\mathbb{D}$ est l'hémisphère positif de la « sphère » standard $X_1$ ⌜$= \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$⌝, qui […] a comme seul sommet $1$, comme seule arête l'équateur $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$, comme centres des ⌜deux⌝ faces $0$ et $\infty$ (qui forment l'axe polaire), comme milieu d'arête $-1$. Alors ⌜$X_1$⌝ […] est un revêtement d'ordre $2$ de $X_0 = \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, ramifié en dehors au plus en $\{0, 1, \infty\}$ (l'ordre du revêtement est le nb de repères ⌜directs⌝, qui est $2$)

Dans la marge, une sphère : $0$ au pôle nord, $\{\infty\}$ au pôle sud, $1$ sur l'équateur, une flèche sur l'équateur.

où […] \[ g : \quad \begin{array}{l} 1 \longmapsto 0 \\ -1 \longmapsto 1 \\ 0, \infty \longmapsto \infty \end{array} \] ce qui épuise les fibres en $0, 1, \infty$, et montre que la ramification est $2$ sur $0, 1$, et pas de ramification […] ⌜p. ex.⌝ […] la situation ⌜analogue,⌝ $g' : \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, mais où \[ g' : \quad \begin{array}{l} 0 \longmapsto 0 \\ \infty \longmapsto \infty \\ 1, -1 \longmapsto 1 \end{array} \] on a […] évidemment $g'(z) = z^2$,

64p. 8 de l'auteur. et on a \[ g(z) = \varphi\, g'(\psi(z)) \] où $\varphi, \psi$ sont les transformations homographiques \[ \psi : \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ -1 \\ 0, \infty \end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ \infty \\ 1, -1 \end{array} \right. \qquad \varphi : \left\{ \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ \infty & 1 \\ 1 & \infty \end{array} \right. \] donc \[ \psi(z) = \frac{z-1}{z+1} \qquad \varphi(z) = \sigma_0(z) = \frac{z}{z-1} \] d'où \[ g(z) = \frac{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2} {\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2 + 1} = \frac{(z-1)^2}{(z-1)^2 - (z+1)^2} = \frac{(z-1)^2}{-4z} \] le dénominateur du premier membre se lit $+1$ ; la valeur de $\varphi$ et le membre suivant demandent $-1$. \[ \text{(23)} \qquad g(z) = -\frac{1}{4z}\,(z-1)^2 \] réalise l'isomorphisme conforme du disque unité $\mathbb{D}$ sur le découpage $f$ de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ suivant $[0, 1]$, avec les valeurs annoncées plus haut…

un trait horizontal sépare ici deux développements.

Le groupe $\Pi_{0,3}^\tau$ apparaît comme un groupe fondamental mixte \[ \text{(24)} \qquad \Pi_{0,3}^\tau \simeq \Pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\}; P_+) \] NB Ici $\rho_i = \lambda_{i+1} \lambda_{i-1}^{-1}$ Introduisant les chemins ⌜$\lambda_i$ ($i \in \{0, 1, \infty\}$)⌝ de $P_-$ à $P_+$, formés des demi-arcs de grand cercle passant par les $Q_i$ (⌜$Q_i$,⌝ milieux des arcs de grand cercle joignant $j$ à $k$, où $\{i, j, k\} = \{0, 1, \infty\}$), on arrive, en tant que flèches de $\Pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\})$ : \[ \tau_i = (\underbrace{\lambda_i}_{\tau P_+ = P_- \to P_+}, \underbrace{\tau}_{\{1, \tau\}}) \] (24) Dans la marge, une sphère : $P_+$ au pôle nord ; trois demi-méridiens $\lambda_0$, $\lambda_1$, $\lambda_\infty$ qui y aboutissent, passant par $Q_0 = 2$, $Q_1 = -1$, $Q_\infty = \tfrac12$ ; les points $0$, $1$, $\infty$ sur l'équateur ; des parties des arcs en pointillé. le $Q_0 = 2$ de la figure se lit ainsi ; les deux annotations sous $\lambda_i$ et $\tau$ sont transcrites comme accolades.

65Cette interprétation montre que la catégorie des cartes ⌜isotropiques⌝ triangulées pondérées (de type $\{0, 1, \infty\}$) est équivalente : ⌜une ss-cat. pleine de⌝ celle des ⌜$\{1, \tau\}$-⌝revêtements ⌜finis⌝ étales de $U_{0,3}$, tels que ⌜savoir ceux⌝ satisfaisant à une condition supplémentaire (savoir que sur l'ensemble opposé correspondant, $\tau_0, \tau_1, \tau_\infty$ opèrent sans pts fixes). Mais on voit aisément, […] que pour le ⌜$\{1, \tau\}$⌝ revêtement $U'$ de $U_{0,3}$, les points fixes de $\tau_i$ correspondent aux composantes connexes de $U'^\tau$ qui sont au-dessus de l'arc de $U_{0,3}(\mathbb{R})$ opposé à $P_i$ i.e. autour de centre $Q_i$ — donc la condition signifie que […] l'on a \[ \text{(25)} \qquad U'^\tau = \emptyset \quad \text{i.e.} \quad X'^\tau = \emptyset \] où $X'$ est le revêtement ramifié de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ qui prolonge $U'$. [NB […] a priori $X'^\tau$ est une courbe analytique réelle plongée ⌜contenue⌝ dans $X'$, qui […] ⌜donc⌝ est vide dès qu'elle se trouve dans $U' = X' \smallsetminus \text{ramif.}$ ([…]) l'est.)] ⌜NB.⌝ (En termes de la carte pondérée initiale, $X'$ est le revêtement de ses orientations ⌜locales⌝, $\tau_{X'}$ est l'automorphisme défini par […] : l'orientation $\mapsto$ l'orientation opposée…, qui en effet doit être sans points fixes).

Indépendamment de la condition restrictive (25), la donnée du $\{1, \tau\}$ revêtement ⌜ramifié⌝ de $\Sigma = \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$,

66p. 9 de l'auteur. étale au-dessus de ⌜$\Sigma^* =$⌝ $U_{0,3}$, revient ⌜i.e.⌝ la donnée d'un revêtement ramifié de $\Sigma$ étale au-dessus de $U_{0,3}$, plus une op. de $\{1, \tau\}$ dessus compatible avec l'opération sur $\Sigma$, revient : la donnée d'une donnée de descente de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}$, sur un revêtement ramifié, étale au-dessus de $U_{0,3\,\mathbb{C}}$, du ⌜$\mathbb{C}$-⌝schéma $\Sigma_{\mathbb{C}}$. Donc la catégorie des revêtements mixtes ⌜est⌝ équivalente : celle des revêtements ramifiés du schéma $U_{0,3}$ ⌜$\Sigma_{\mathbb{R}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$⌝, étales au-dessus de \[ \text{\struck{$U$}} \ U_{0,3\,\mathbb{R}} = \Sigma^*_{\mathbb{R}} = \Sigma_{\mathbb{R}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\} . \] On trouve ainsi un foncteur pleinement fidèle \[ \text{(26)} \quad \begin{array}{c} \text{cartes triangulées pondérées \textit{finies}} \\ \text{de type } \{0, 1, \infty\} \end{array} \hookrightarrow \begin{array}{l} \text{revêtements étales \textit{finis}} \\ \text{du schéma } \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \smallsetminus \{0,1,\infty\} \\ (\simeq \text{rev.\ ramifiés de } \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}, \\ \ \text{étales au-dessus de} \\ \ U^*_{03\,\mathbb{R}} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \smallsetminus \{0,1,\infty\}) \end{array} \] dans (26), « finies » et « finis » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

L'image essentielle est formée des rev. $X'$ tels que […] \[ \text{(27)} \qquad X'(\mathbb{R}) = \emptyset \] interprétation qui en fait traduit (25) puisque \[ X'(\mathbb{R}) = \underbrace{X'(\mathbb{C})^\tau}_{\text{\struck{\ill{}} $X'$ dans (25)}} . \]

Le foncteur en sens inverse est donné en associant : à un rev. ⌜ramifié⌝ $X'$ de $X$, étale sur $U_{0,3}$, la carte $X'(\mathbb{C})$, munie de l'image inverse $X'(\mathbb{C}) \,|\, (\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} = \Sigma_{\mathbb{R}})$ de l'ens. des pts réels de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) = \Sigma$,

67(B4. B$_0$4)cette mention biffée, en haut à gauche, est à l'encre bleue ; la lecture en est douteuse. qui définit une triangulation (orientée) avec partition par les images inverses des pts $0, 1, \infty$ par définition (qui forment ⌜une partition de l'ens. des⌝ sommets de la triangulation, défini comme l'ensemble des pts au-dessus de $\{0, 1, \infty\}$), et en passant au quotient par la conjugaison complexe — ce qui donne une surface sans bord, grâce à la condition (27). Dans le cas où on ne passe pas par cette condition, l'espace quotient \[ \text{(28)} \qquad X = X'(\mathbb{C}) / \tau \] est une surface à bord compacte (et munie d'une structure conforme…), et on pourrait étendre ⌜(de façon essent. unique)⌝ la définition des cartes ⌜finies⌝ triangulées pondérées aux surfaces compactes à bord, de telle façon que (26) devienne une équivalence de catégories.

(4) On peut introduire, sur une carte (orientée ou non), des conditions de la forme \[ \text{(29)} \qquad \rho_i^{\nu_i} = 1 \qquad \text{\struck{type}} \ \text{où} \quad \nu_i \in \overline{\mathbb{N}^*}, \] qui signifie donc que

68p. 10 de l'auteur. dans la carte triangulée pondérée envisagée, les sommets de type $i$ […] ⌜ont un⌝ ordre réduit divisant $\nu_i$. Une telle condition peut être introduite pour un ou plusieurs indices $i$. Dans le cas des cartes ordinaires (interprétées comme définissant une triangulation pondérée, via la subdivision barycentrique) une relation \[ \text{(30)} \qquad \rho_0^{\nu_0} = 1 \qquad (\text{resp.}\ \rho_\infty^{\nu_\infty} = 1) \] signifie que les sommets […] ont d'ordre divisant $\nu_0$ (resp. que les faces sont d'ordre divisant $\nu_\infty$). Quant à la relation \[ \text{(31)} \qquad \rho_1^{\nu_1} = 1 \qquad ) \] comme […] déjà $\rho_1^2 = 1$, ou bien $\nu_1$ ⌜(tel […])⌝ et cette relation est automatiquement satisfaite, ou bien $\nu_1$ est impair, et elle implique \[ \rho_1 = 1 \] ce qui signifie que la carte correspond à un revêtement de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ ramifié seulement en $0$ et $\infty$, donc : un revêtement « cyclotomique » $z \mapsto z^n$ ($n \in \mathbb{N}$), cas qu donnant lieu : la carte régulière ⌜sphérique⌝ de groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mu_n(\mathbb{C})$ ayant un seul sommet, une seule face, et $n$ arêtes disposées circulairement (cas […] isomorphe : se démêle, visiblement) — cas qui est relativement trivial. Donc on pourra En bas à gauche, une sphère : un sommet unique au pôle nord, d'où partent plusieurs méridiens, certains en pointillé (la carte cyclotomique à un sommet, une face et $n$ arêtes).

69[…] Cette page porte un renvoi (deux traits obliques) vers un ajout encadré. que dans le cas des cartes ordinaires, les relations considérées sont du type (30), l'exclusion de (31). [On considère que $\rho_i^\infty = 1$ par définition, de sorte que ⌜l'on⌝ les cartes […]] l'on peut considérer un système de conditions (29), où pour tout $i \in \{0, 1, \infty\}$, on a \[ \text{(34)} \qquad \nu_i \in \overline{\mathbb{N}^*} = \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\} . \] le numéro se lit (34) ; il fait double emploi avec le (34) de la p. 70. Les cartes (finies) pondérées triangulées correspondantes sont déterminées par l'action du groupe quotient \[ \text{(32)} \qquad \Pi_{0,3} / \langle \rho_0^{\nu_0}, \rho_1^{\nu_1}, \rho_\infty^{\nu_\infty} \rangle \qquad (\text{cas orienté}) \] ou par le quotient \[ \text{(32 bis)} \qquad \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_0^{\nu_0}, \rho_1^{\nu_1}, \rho_\infty^{\nu_\infty} \rangle \qquad (\text{cas non orienté}) \] qui s'identifie : une extension de $\{1, \tau\}$ par (32). Ce dernier groupe s'interprète comme un groupe fondamental « avec singularités » \[ \text{(33)} \qquad \Pi_{0,3} / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle \simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*; P_+) \] \[ \nu_* = (\nu_0 R_0 + \nu_1 R_1 + \nu_\infty R_\infty) \qquad \text{singularités sur } \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \] ou encore comme un groupe fondamental de la multiplicité (topologique, analytique ou schématique, au choix — mais dans ce dernier cas il s'agit du complété profini…)

70p. 11 de l'auteur. \[ \text{(34)} \qquad \mathcal{X}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, \nu_*) = \text{\struck{catégorie}}\ \text{topos des \struck{espaces} \add{surfaces} topologiques} \]

(2 […]) (non nécess. séparées) ramifiées sur $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$, avec indices de ramification, aux ⌜en⌝ les points au-dessus d'un $R_i$ ($i \in S$ = supp. $\nu_*$), divisant $\nu(R_i) = \nu_i$

NB ce topos est une multiplicité topologique, loc. surface topologique, elle est canoniquement orientée.

i.e. on a un isom. canonique \[ \text{(35)} \qquad \Pi_{03} / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle \simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*; P_+) \overset{\text{déf}}{=} \Pi_1(\mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*), P_+) , \] et de même \[ \begin{aligned} \text{(36)} \qquad \Pi_{0,3}^\tau / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle &\simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \{1, \tau\}, \nu_*; P_+) \\ &\overset{\text{déf}}{=} \Pi_1(\mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*, \{1, \tau\}), P_+) \end{aligned} \] où \[ \text{(37)} \qquad \mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*, \{1, \tau\}) = (\mathcal{X}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*), \{1, \tau\}) \] topos mixte défini par le topos (34) avec l'opération naturelle de $\{1, \tau\}$ dessus. NB c'est encore une multiplicité topologique, localement une surface, mais elle n'est multiplicité n'est pas orientable…

Passant aux complétés profinis, on trouve \[ \begin{aligned} \text{(38)} \qquad \widehat{\Pi}_{0,3} / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle &\simeq \Pi_1(\underbrace{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}}_{\text{schéma}}, \nu_*; P_+) \\ &\simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}}}, \nu_*; P_+) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{(39)} \qquad \widehat{\Pi}_{0,3}^\tau / \langle (\rho_i^{\nu_i}) \rangle &\simeq \Pi_1(\underbrace{\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}}_{\text{schéma}}, \nu_*; P_+) \\ &\simeq \Pi_1(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}} \cap \mathbb{R}}, \nu_*; P_+) \end{aligned} \] (et […] l'interprétation ⌜(38)⌝ montre qu'il y a une

71opération extérieure de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ sur le premier membre de (38), et en particulier sur $\widehat{\Pi}_{0,3}$ lui-même…).

Les cas les plus intéressants sont les deux suivants :

I) $\nu_0 = \nu_1 = \nu_\infty = +\infty$ : on retrouve $\Pi_{0,3}$ et $\Pi_{0,3}^\tau$, classifiant les cartes triangulées pondérées (resp. orientées).

II) $\nu_0 = \nu_\infty = +\infty$, $\nu_1 = 2$ : on retrouve les groupes \[ \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2 \rangle \quad \text{et} \quad \Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2 \rangle , \] classifiant les cartes ordinaires.

III) $\nu_0 = \infty$, $\nu_1 = 2$, $\nu_\infty = 3$, donnant les groupes \[ \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle \quad \text{et} \quad \Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle , \] classifiant les cartes ordinaires triangulaires (pas pondérées !), i.e. dont toutes les faces sont des triangles ⌜i.e. sont des triangles⌝ — dans le cas non orienté, et les ⌜les⌝ […] orientées. On trouve des isomorphismes (via (35), (36)) \[ \underbrace{\Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle} _{\text{groupes cartographiques}} \xleftarrow{\ \sim\ } \underbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}; P_+)} _{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3, \tau}} \] \[ \underset{\text{triangulés, non or.\ resp.\ orientés}} {\Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle} \xleftrightarrow{\ \sim\ } \overbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; P_+)}^{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3}} \] les deux membres de gauche sont réunis par une accolade, sous laquelle « groupes cartographiques triangulés, non or. resp. orientés » ; le second membre de gauche est rattaché par un trait double à $\{\rho_1, \rho_\infty \mid \rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1\}$, écrit dans la marge. Ces isomorphismes ne voilent pas une diversité d'opérations […] […] […] […] $\Pi_1(X, G; P)$ groupe fondamental « orbifold » […] des […] triangulaires […] […] […] (40) note marginale écrite en diagonale, en partie illisible ; elle renvoie semble-t-il à un (40) à venir.

72p. 12 de l'auteur. dont le deuxième est donné par \[ \text{(41)} \qquad \boxed{\rho \longmapsto \rho_\infty^{-1}, \quad \sigma_\infty \longmapsto \rho_1} , \quad \underset{\sigma_\infty \rho}{\varepsilon_0} \longmapsto \rho_0 \] sous $\rho_\infty^{-1}$, une flèche et l'annotation « attention : l'exposant ! » ; sous $\varepsilon_0$, un signe $=$ vertical renvoyant à $\sigma_\infty\rho$. et le premier par \[ \text{(42)} \qquad \boxed{\tau_\infty \longmapsto \tau_\infty}, \quad \underset{\rho(\tau_\infty)}{\tau_0} \longmapsto \overbrace{\underbrace{\rho_\infty^{-1} \tau_\infty \rho_\infty} _{(\rho_\infty^{-1}\rho_1\rho_\infty^{-1}\rho_1)\tau_\infty}} ^{\tau_0\tau_1\tau_\infty\tau_1\tau_0} , \] \[ \underset{\rho^2(\tau_\infty)}{\tau_1} \longmapsto \overbrace{\rho_\infty^{-2} \tau_\infty \rho_\infty^{2}} ^{\tau_1\tau_0\tau_\infty\tau_0\tau_1} = \rho_\infty \tau_\infty \rho_\infty^{-1} \quad (\text{car } \rho_\infty^3 = 1 \text{ dans } \Pi_{03}^\tau / \langle \cdots \rangle) \] au-dessus de la dernière accolade, entre parenthèses : $= (\rho_\infty\rho_1\rho_\infty\rho_1)\tau_\infty$. NB on utilise $\rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1$ et $\tau_\infty(\rho_\infty) = \rho_0\rho_1 = \rho_1^{-1}\rho_\infty^{-1}\rho_1 = \rho_1\rho_\infty\rho_1$ où \[ \rho, \sigma_i, \varepsilon_i \ (i \in \{0, 1, \infty\}) \quad \text{dans} \quad \Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; P_+) = \Pi_{03}^{\mathbb{D}_3} \] sont définis de façon standard (on y reviendra dans un cas plus général un peu plus bas), et \[ \tau_i \ (i \in \{0, 1, \infty\}) \in \underbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\}, P_+)}_{\Pi_{0,3}^\tau} \subset \underbrace{\Pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}; P_+)} _{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3, \tau}} \] sont définis dans (24) (cf. […] aussi les générateurs de $\Pi_{0,3}^\tau \simeq \mathfrak{S}\mathfrak{l}_2$ qui figurent dans (2)). Je vais revenir sur ces isomorphismes (40) dans un contexte un peu plus général, ci-dessous.

Enfin, dans le développement précédent, remplaçant $U_{0,3}$ et l'action de $\mathfrak{S}_3$ resp. $\mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}$ dessus, par celle de le demi-plan de Poincaré $\Sigma^+$ et l'action de $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1$ ⌜Gl⌝ resp. $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1$ dessus (par l'action homographique resp. homographique et « antihomographique »), on trouve aussi des isomorphismes remarquables \[ \begin{aligned} \text{(43)} \qquad \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 &\xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3, \tau} \quad (\xleftarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}^\tau / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle) \\ \text{(44)} \qquad \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1 &\xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3}^{\mathbb{D}_3} \quad (\xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0,3} / \langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle) \end{aligned} \] le numéro (40) renvoie aux isomorphismes de la p. 71, qui n'y portent pas de numéro lisible ; le (2) renvoie à une page antérieure à ce lot. La dernière flèche de (44) va vers la droite sur la page, celle de (43) vers la gauche.

73permettant d'interpréter les éléments remarquables $\rho, \sigma_i, \tau_i, \tilde{\sigma}_i, \struck{\ill{}}, \varepsilon_i, h_i$ de $\Pi_{03}^{\mathbb{D}_3, \tau}$, comme des éléments de $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1$ — que les eux aussi remontent de façon canonique en des éléments de $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})$, donnant lieu : une formulaire des plus sympathiques, que j'ai développé et utilisé intensivement dans mes notes de l'an dernier (1981). Si on veut généraliser ceci dans le […] sens que les iso. (40), au cas des groupes […] $\Pi_{0n}$ ⌜et variantes⌝ associés aux polygones réguliers ([…] $n \geq 3$) il me semble qu'il faudra trouver une interprétation des groupes analogues : $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1$ resp. $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})/\pm 1$, comme sous-groupes discrets ⌜remarquables⌝ des groupes $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{R})$…

(5) Dans l'interprétation « cartographique », laissons — plutôt (40) s'explicitant comme deux équivalences de catégories, entre la cat. isotopique des cartes « triangulées » ⌜$X$⌝ (i.e. toutes […] les faces sont d'ordre divisant trois, i.e. sont des triangles), éventuelles ⌜et celle des⌝ orientées cartes triangulées pondérées ⌜$X'$⌝ munies d'une

74p. 13 de l'auteur. opération de $\mathfrak{S}_3$ sur la carte pondérée sous-jacent, « échangeant les pondérations », suivant l'action de $\mathfrak{S}_3$ sur l'ensemble pondérant $\{0, 1, \infty\}$ — équivalence tant dans la théorie orientée, que dans la théorie non orientée. On peut expliciter cette équivalence, ⌜dans le cas orienté pour fixer les idées,⌝ en disant que dans un sens : $X'$ on fait correspondre $X = X'/\mathfrak{S}_3$, avec la « triangulation » déduite de la triangulation (pondérée) de $X'$ en passant au quotient par $\mathfrak{S}_3$ — on trouve ⌜trouve une⌝ […] qui aux centres […] une ramification, […] plus, aux centres des faces (avec ramification divis. à 3), des centres d'arêtes (ramification divis. à 2), et aux sommets […] de la triangulation pondérée […] ordinaire, […] et dans les […] on considère la subdivision barycentrique, […] […] des […] de celle-ci, on obtient de l'un des sommets des triangles de l'orientation servi des […] : rejoindre […] ramification […] des carte […] […] […] orientables : la multiplicité est orientée […] […] triangulaire […] […] […] note marginale écrite en diagonale dans la marge gauche, en grande partie illisible. […] principal d'ordre du groupe $\mathfrak{S}_3$, défini […] par la « couleur » sur chaque […] défini entièrement par son voisin de la des pieces (qui en composent, comme un voisin des ⌜aux⌝ principe de la face qui le contient, par donné une pondération de ladite face…), et par le passage d'un drapeau ⌜aux⌝ drapeaux adjacents⌜$\tau_0(r), \tau_1(r), \tau_\infty(r)$⌝ (on trouve ainsi un […] $\tau_0, \tau_1, \tau_\infty$ revêtement ramifié principal ⌜$X'$⌝ de $X$, de groupe $\mathfrak{S}_3$, dont lequel l'image inverse de la triangulation de départ

75est naturellement pondérée, c'est $X'$. Si la ⌜« triangulaire »⌝ structure triangulaire $X$ est orientée (par des moyens d'orientés plus) dans la variante non […] $X'$ n'est ramifiée — plus que les sommets de façon générale […] […] il y a ramification en un sommet ⌜de $X$⌝ (ssi celui-ci est d'ordre impair. Comme toutes les ordres des sommets sont pairs, ⌜les⌝ on plus du fait que toutes les faces sont des triangles et qu'il y a pas d'arêtes ⌜multiples⌝ ⌜conditions⌝ plus (toutes) nécessaires pour que la structure ⌜de carte⌝ triangulaire sur $X$ soit pondérable), dans le revêtement $X'$ de $X$ est non ramifié. Les orientations, correspondant 1–1 aux pondérations de la structure triangulaire sur $X$, s'y trouvent.

On peut […] décrire encore un peu plus la situation, dans le cas orienté que nous intéressons ici, en disant qu'une condition nécessaire de pondérabilité est l'existence d'un « coloriage » en deux « couleurs » $+$ et $-$, des faces par deux, des faces adjacentes ayant des couleurs différentes. Les coloriages correspondent aux sections du fibré ⌜$X'/\mathfrak{S}_3^{+}$⌝ associé au fibré de groupe $\mathfrak{S}_3$, par $\mathfrak{S}_3 \xrightarrow{\ \mathrm{sg}\ } \pm 1$, dont un tordu[…] la phrase se poursuit sur la page suivante.

76p. 14 de l'auteur. au groupe alterné de $\mathfrak{S}_3$ : $\mathfrak{S}_3^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Quand toutes les conditions précédentes sont satisfaites, y compris la donnée d'un ⌜tel⌝ coloriage des […], on trouve un revêtement principal, canonique $X'^{+} \subset X$ […] de $X$, de $X$ \[ \text{(*)} \qquad X'^{+} \subset X' \] de groupe $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ — dont la classe d'isomorphie est un élément \[ \text{(43)} \qquad \mathrm{cl}(X) \in H^1(X, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \] qu'on peut considérer comme l'obstruction : l'existence d'une pondération, pour la carte triangulaire $X$ : la nullité est nécessaire et suffisante pour cette existence. De plus, les pondérations pour lesquelles les faces $+$ sont les faces directes (pour l'orientation donnée) sont en corr. 1–1 avec les sections du fibré torseur principal précédent de groupe $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. ce numéro (43) fait double emploi avec le (43) de la p. 72. Le reste de la page est blanc, barré d'un trait oblique.

77p. 15 de l'auteur. (6) Soit \[ \text{(44)} \qquad P = (S, A, R \subset S \times A) \] un polygone combinatoire fini d'ordre $n \geq 3$, \[ \text{(45)} \qquad \mathbb{D}_P = \mathbb{D} \] le groupe de ses automorphismes, $\mathbb{D}_P^{+} = \mathbb{D}^{+}$ le sous-groupe d'indice 2 des automorphismes conservant l'orientation, ou rotations, \[ \text{(46)} \qquad 1 \longrightarrow \mathbb{D}^{+} \longrightarrow \mathbb{D} \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow 1 . \] le numéro (46) se lit (45) sur la page, qui porte ainsi deux (45). On identifie l'ensemble $\underline{\omega}_P = \underline{\omega}$ des orientations de $P$ : l'ens. des deux générateurs privilégiés de $\mathbb{D}^{+}$, conservant l'orientation \[ \text{(47)} \qquad \underset{\{\omega, \omega'\}}{\underline{\omega}} \subset \mathbb{D}^{+} \] de sorte que pour $\omega \in \underline{\omega}$, et pour tout $s \in S$, $a \in A$, $\omega(s)$ est un sommet adjacent : $s$, $\omega a$ une arête adjacente : $a$. Il existe un plongement, unique : isom. unique […] près, de $P$ dans la sphère complexe $\Sigma = \Sigma_P$, de telle façon que les opérations de $\mathbb{D}$ se prolongent en antiautomorphismes […] complexes de $\Sigma_P$ : \[ \text{(48)} \qquad S = S_P \hookrightarrow \Sigma = \Sigma_P \] — l'unicité est déjà garantie en exigeant le prolongement des opérations de $\mathbb{D}^{+}$, qui implique celle des opérations de $\mathbb{D}$ tout entier. Alors le polygone $P$ est réalisé canoniquement par des points de $\Sigma$ et des arcs de ⌜grand⌝ cercle de $\Sigma$, […] derniers ⌜tous⌝ placés sur un même (grand) cercle, NB Cela revient : la donnée d'un […] corps […] des groupes […] […] […] d'un […] […] […] orienté […] […] […] […] […] — La démonstration se fait en […] […] […] puis […] $\mathbb{C}^{*}$ […] $0, \infty$ […] $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ […] automorphismes […] […] […] $\Sigma^{0} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ […] $\mathbb{D}_P^{+}$ […] […] […] (48) […] […] $\mathbb{D}_P^{+}$ […] points […] $R_{\infty}$ […] […] $P_\omega \mapsto \infty$ ? […] […] la longue note marginale, écrite en diagonale le long de la marge gauche et descendant jusqu'au bas de la page, est en très grande partie illisible ; on n'en donne que les fragments sûrs. En bas à gauche, une sphère au crayon : l'équateur tracé en ellipse, avec des points marqués dessus (le polygone $P$ plongé sur un grand cercle).

78dont ils forment une subdivision cellulaire — ce cercle définit une structure réelle canonique sur la droite projective complexe $\Sigma$, ⌜il est donc (cf. dimensions constantes près)⌝ […] de $\Sigma_{\mathbb{R}}$, notée $\Sigma(\mathbb{R})$. […] $\Sigma_{\mathbb{R}}$ De plus, il y a une métrique riemannienne homogène unique sur $\Sigma$ invariante par $\mathbb{D}$ (c'est pour elle que $\Sigma(\mathbb{R})$ est un grand cercle). $\Sigma_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ partage $\Sigma$ en deux hémisphères, […] en correspondance bijective canonique avec $\underline{\omega}$ par la correspondance de Stokes \[ \text{(49)} \qquad \pi_0(\Sigma \smallsetminus \Sigma_{\mathbb{R}}) \simeq \underline{\omega} . \] On a \[ \Sigma^{\mathbb{D}} = \Sigma^{\mathbb{D}^+} = \Sigma^{\underline{\omega}} = \Sigma^{\{\omega\}} \subset \Sigma \smallsetminus \Sigma_{\mathbb{R}} \qquad (\omega \in \underline{\omega}) \] et $\operatorname{card} \Sigma^{\mathbb{D}} = 2$, de façon précise, chacun des hémisphères ouverts contient un pt et un seul de $\Sigma^{\mathbb{D}}$, d'où \[ \text{(50)} \qquad \Sigma^{\mathbb{D}} \simeq \underline{\omega} , \] on désigne par $P_\omega$ le point de $\Sigma^{\mathbb{D}}$ qui correspond : $\omega \in \underline{\omega}$. Il est caractérisé par le fait que l'opération de $\omega$ dans l'espace tangent : $\Sigma$ en $P_\omega$ est une rotation d'angle $+2\pi/n$ (alors qu'en $P_{\omega'}$ elle est d'angle $-2\pi/n$). Pour $s \in S$, on désigne par $R_s$ le point correspondant de $\Sigma_{\mathbb{R}}$, pour $a \in A$ on désigne par $Q_a$ le centre de l'arête $a$.

79p. 16 de l'auteur. En haut à gauche, une sphère : $P_\omega$ au pôle nord, $P_{\omega'}$ au pôle sud ; sur l'équateur, alternativement des points $R_s$, $R_{\omega s}$, $R_{\omega' s}$ (gros points) et des centres d'arêtes $Q_a$, $Q_{\omega a}$, $Q_{\omega' a}$ (croix) ; des demi-méridiens en pointillé $\lambda_a$, $\lambda_{\omega a}$, $\lambda_{\omega' a}$ joignant $P_{\omega'}$ à $P_\omega$ en passant par les $Q$ ; une flèche $\tau_\omega$ autour de l'équateur. Sous la figure : « $(s, a) = r$ d'orientation $\omega$ ».

Je m'intéresse aux groupoïdes fondamentaux \[ \Pi_1(\underbrace{\Sigma_P \smallsetminus S_P}_{\Sigma_P^{*} \text{ ou } \Sigma^{*}}) , \] et je vais écrire d'abord le groupe fondamental en un $P_\omega$, correspondant en donnée de $\omega \in \underline{\omega}$, qu'on note \[ \text{(51)} \qquad \underset{\text{ou } \Pi_P \text{ ou } \Pi}{\Pi_{P,\omega}} = \Pi_1(\Sigma_P^{*}, P_\omega) . \] On considère aussi l'opération antiholomorphe unique qui fixe les pts de $\Sigma_{\mathbb{R}}$, et qui échange $P_\omega$ et $P_{\omega'}$, c'est la conjugaison complexe pour la structure réelle canonique de $\Sigma$, on la note $\tau$.

Ainsi, le groupe \[ \text{(52)} \qquad \mathbb{D}_P \times \{1, \tau\} \qquad \text{d'ordre } 4n \] le numéro se lit (52) ou (51) ; le suivant est (53). opère sur $\Sigma$, en respectant la « carte cyclotomique » sur $\Sigma$, le sous-groupe qui conserve l'orientation étant $\mathbb{D}_P$, alors qu'il induit l'identité sur $S$ (ou sur $P$) est $\{1, \tau\}$. On va aussi regarder les groupoïdes fondamentaux mixtes de $\Sigma^{*}$, pour l'action sur $\Sigma^{*}$ de $\{1, \tau\}$, de $\mathbb{D}_P$, ou de $\mathbb{D}_P \times \{1, \tau\}$. ⌜Les⌝ Les groupes fondamentaux ⌜posons⌝ \[ \text{(53)} \qquad \left\{ \begin{aligned} \Pi_{P,\omega}^{\tau} &= \Pi_1(\Sigma^{*}, \{1, \tau\}; P_\omega) \\ \Pi_{P,\omega}^{\mathbb{D}} &= \Pi_1(\Sigma^{*}, \mathbb{D}; P_\omega) \\ \Pi_{P,\omega}^{\mathbb{D},\tau} &= \Pi_1(\Sigma^{*}, \mathbb{D} \times \{1, \tau\}; P_\omega) \end{aligned} \right. \] dans la deuxième ligne, l'exposant porte une marque surchargée, peut-être $\mathbb{D}^{*}$. qu'on écrira aussi $\Pi^\tau, \Pi^{\mathbb{D}}, \Pi^{\mathbb{D},\tau}$ quand $P$ est sous-entendu. On a donc des une des groupes d'extensions de

80groupes fondamentaux (54) :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Pi \arrow[dl, hook] \arrow[dr, hook] & \\
 \Pi^{\mathbb{D}} \arrow[dr, hook] & & \Pi^{\tau} \arrow[dl, hook] \\
 & \Pi^{\mathbb{D},\tau} &
\end{tikzcd}

dans le losange (54), la flèche de $\Pi$ vers $\Pi^{\tau}$ porte le crochet d'inclusion du côté de $\Pi$ mais sa pointe n'est pas visible ; on la transcrit comme les trois autres.

Pour exprimer commodément des générateurs remarquables de ces groupes, on introduit des chemins ⌜[…]⌝ ⌜les⌝ […] indexés par $a \in A$, i.e. les arêtes du polygone) \[ \text{(55)} \qquad \lambda_a : P_{\omega'} \longrightarrow P_\omega \quad \text{arc de demi-grand cercle passant par } Q_a \] Dans la marge gauche, une sphère : $P_\omega$ en haut, $P_{\omega'}$ en bas, deux demi-méridiens en pointillé $\lambda$ passant par $Q_{\omega' a}$ et $Q_a$ sur l'équateur, avec $R_s$ entre eux.

Pour tout $s \in S$, soit \[ \left\{ \begin{array}{l} a(s, \omega) \text{ ou } a(s) \in A \text{ tel que } (s, a) \text{ soit un repère} \\ \text{d'orientation } \omega, \text{ i.e.\ } s = \mathrm{or}_\omega(a) \end{array} \right. \] après « i.e. », une première formule est biffée et illisible ; $s = \mathrm{or}_\omega(a)$ est ajouté au-dessus. on pose \[ \text{(56)} \qquad \rho_s = \lambda_a \lambda_{\omega' a}^{-1} , \qquad \text{où } a = a(s, \omega) ,\ \omega' = \omega^{-1} \] \[ \text{donc} \quad \omega'(a) = a(\omega'(s), \omega) , \] \[ \underset{\Pi_P = \Pi_1(\Sigma_P^{*}, P_\omega)}{\cap} \] le signe $\cap$ (« appartient ») est placé sous $\rho_s$, avec en dessous $\Pi_P = \Pi_1(\Sigma_P^{*}, P_\omega)$. On trouve alors, pour tout $s \in S$ \[ \text{(57)} \qquad \rho_{\omega^{n-1}s}\, \rho_{\omega^{n-2}s} \cdots \rho_{\omega s}\, \rho_s = 1 . \] Toutes ces ⌜$n$⌝ relations sont équivalentes entre elles. Si on choisit un sommet origine $s_0$ — ce qui, une fois choisi $\omega$, fait un repère de $r = (s_0, a(s_0, \omega))$ de $P$, donc aussi un repère de la carte cyclotomique associée), on pose aussi \[ \text{(58)} \qquad \rho_i = \rho_{\omega^i s_0} \qquad (i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] — les indices sont entiers le plus souvent $0, 1, \ldots, n-1$ — de sorte que (57), prenant la forme… la phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la page 81.