Cote n° 144, pages 41–60

Cote n° 144 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

41p. 1 de l'auteur.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  PM_{1,1} \arrow[d] & P\mathcal{D} \arrow[l] \arrow[d, "{(z_{1},z_{2}) \mapsto z_{2}/z_{1}}"] \\
  M_{1,1} & \mathcal{D} \arrow[l, "{\text{gal.\ groupe } \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})}"']
\end{tikzcd}

entre les deux flèches verticales, un mot abrégé lu cart. \[ P\mathcal{D} \simeq \{z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \mid z_{2}/z_{1} \in \mathcal{D}\} \simeq \mathrm{Hom}^{+}(\mathbb{Z}^{2}, \mathbb{C}) \] au-dessous, une formule biffée et surchargée, où se lisent $\mathcal{D} \times \mathbb{C}^{*}$ ; l'exposant de $\mathrm{Hom}$ est lui-même récrit. \[ \mathcal{D} \simeq \widetilde{M}_{1,1} \qquad \mathcal{D} = \{z \in \mathbb{C} \mid \Im z > 0\} \] (rigidification de Torelli stricte, i.e. avec $\varphi(e_{1}, e_{2}) = +1$, $e_{2}/e_{1} = \tau \in \mathcal{D}$)

Deux vecteurs issus d'un même point : $z_{1}$ (surchargé) vers le haut, $z_{2}$ vers la droite, avec une flèche courbe indiquant le sens de rotation.

avant $\mathbb{Z}^{2}$, un symbole biffé illisible. \[ \mathbb{Z}^{2} \to \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(z) = \text{\struck{$\frac{dz + c}{bz + a}$}}\ \frac{az + b}{cz + d} \]

$\mathbb{C}^{*} \times \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ opère sur $P\mathcal{D}$ par $(z_{1}, z_{2}) \mapsto \lambda(az_{1} + bz_{2}, cz_{1} + dz_{2})$, […] par passage au quotient, $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ opère sur $P\mathcal{D}/\mathbb{C}^{*} \simeq \mathcal{D}$, c'est induit par l'opération naturelle de $\mathrm{Gl}(2, \mathbb{R})$ sur $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{R})$ invariant $\mathcal{D}$ (et même $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{R}) \simeq \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}(\mathcal{D})$), $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{R}) \supset \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$.

encadré par l'auteur : \[\begin{align*} M_{1,1}^{\mathrm{an}} &\simeq (\mathcal{D}, \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})) \\ PM_{11}^{\mathrm{an}} &\simeq (P\mathcal{D}, \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})) \end{align*}\] après $M_{1,1}^{\mathrm{an}}$ et $PM_{11}^{\mathrm{an}}$, un indice biffé. \[\begin{align*} M_{11}^{\mathrm{an}} &\simeq (\mathcal{D}, \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})) \\ PM_{11}^{\mathrm{an}} &\simeq (P\mathcal{D}, \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z})) \end{align*}\] \[\begin{align*} T_{11} &\simeq \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z}) \\ ST_{11} &\simeq \widetilde{\mathrm{Sl}}(2, \mathbb{Z}) \end{align*}\]

$\mathrm{Gl}^{\pm 1}(2, \mathbb{R})$ opère sur $P\mathcal{D}$ par \[ (z_{1}, z_{2}) \mapsto (a\tau^{\alpha}z_{1} + b\tau^{\alpha}z_{2},\ c\tau^{\alpha}z_{1} + d\tau^{\alpha}z_{2}) \] \[ u_{g} = \tau^{\alpha(g)} \cdot g \qquad \begin{cases} \alpha(g) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \alpha(g) = 0 & \text{si } \det g = 1 \\ \phantom{\alpha(g)} = 1 & \text{si } \det g = -1 \end{cases} \] ici $\tau$ désigne sans doute la conjugaison complexe, non le $\tau \in \mathcal{D}$ plus haut ; les exposants $\alpha$ sont surchargés.

42p. 2 de l'auteur. Section $\tau \mapsto (\tau, 1)$ de $P\mathcal{D}$ sur $\mathcal{D}$, d'où iso au-dessus, une formule biffée commençant par $P\mathcal{D}$. \[\begin{align*} \mathcal{D} \times \mathbb{C}^{*} &\to P\mathcal{D} \\ (\tau, \lambda) &\mapsto \lambda(\tau, 1) = (\lambda\tau, \lambda) \overset{\text{déf}}{=} [\tau, \lambda] \end{align*}\] on trouve \[ \begin{cases} \lambda'[\tau, \lambda] = [\tau, \lambda'\lambda] \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}([\tau, \lambda]) = \left[\dfrac{a\tau + b}{c\tau + d},\ \lambda(c\tau + d)\right] \end{cases} \] \[\begin{align*} \widetilde{PM}_{11}^{\mathrm{an}} \simeq \mathcal{D} \times \mathbb{C} &\to P\mathcal{D} \\ (\tau, z) &\mapsto (\exp 2\pi i z)(\tau, 1) = [\tau, \exp 2i\pi z] \end{align*}\] \[ \overset{\omega^{2}}{\mathbb{Z}} \subset \widetilde{\mathrm{Sl}}(2, \mathbb{Z}) \] au-dessus, un mot biffé. opère sur $\mathcal{D} \times \mathbb{C}$ de façon compatible avec l'action sur $P\mathcal{D}$ et $\omega^{2} \in \mathbb{Z}$ opérant par \[ (\tau, z) \mapsto (\tau, z + 1) \]

Pts fixes de $z \mapsto \dfrac{az + b}{cz + d}$ donnés par \[ cz^{2} + (d - a)z - b = 0 \qquad \Delta = (d - a)^{2} + 4bc = (a + d)^{2} - 4 \quad \text{car } bc = ad - 1 \] Ici $a, b, c, d \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$, on a des […] conditions […] $\exists$ $z$ pt fixe $\in \mathcal{D}$ i.e. $z \notin \mathbb{R}$ i.e. on […] […] $\Delta < 0$ i.e. $|a + d| \leq 1$ un morceau d'étiquette imprimée (« GP », « THEMATIQUE ») est collé sur le bas de la page et cache une partie de la ligne.

Deux cas $a + d$ 1°) $a + d = 0$, $d = -a$, $d - a = -2a$ \[ z \mapsto \frac{az + b}{cz - a} \qquad -a^{2} - bc = 1, \quad bc = -1 - a^{2} \] \[ cz^{2} - 2az - b = 0 \qquad z = \frac{a \pm 2i}{2c} \qquad \text{On trouve (4)} \] pour $a = 0$, […] $d = 0$, $b = -1$, $c = 1$, $z = i$ $z = \frac{a \pm 2i}{2c}$ est lu tel quel ; le discriminant donne $z = \frac{a \pm i}{c}$.

44p. 3 de l'auteur. 2°) $a + d = 1$ i.e. $d = 1 - a$, par ex. $a = 0$, $d = 1$, $bc = -1$, $b = 1$, $c = -1$ \[ \rho = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \exp\frac{2i\pi}{6} = -j \] le dernier membre, lu $-j$, est douteux.

46p. 4 de l'auteur. Le demi-plan supérieur : axe réel, axe imaginaire, demi-cercle unité ; la bande verticale hachurée au-dessus de l'arc qui va de $i$ au point marqué $j$ (domaine fondamental). \[ \rho = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \rho^{3} = \omega = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] \[ \sigma = \begin{pmatrix} 0 & +1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma^{2} = \omega, \quad \sigma^{-1} = \omega\sigma \]

On a choisi les signes de telle façon que a) $\rho^{3} = -1$ i.e. $\rho$ d'ordre $6$ i.e. il engendre le groupe d'isotropie ⌜de $j$⌝ (mais cela laisse le choix entre $\rho$ et $\rho^{-1}$) b) $\sigma$ soit la rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ (pour la structure euclidienne habituelle) et que $\rho$ soit une rotation d'angle $-2\pi/6$ (pour une métrique invariante convenable) — la chose importante dans cette convention, c'est que pour $\rho$ et $\sigma$, le sens de rotation (ici, négatif) soit le même. Quand on interprète par les matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ comme opérant sur des […] ⌜couples⌝ $(z_{1}, z_{2})$ de vecteurs de $\mathbb{C}$, engendrant un sous-groupe discret de $\mathbb{C}$ (avec $z_{1}/z_{2} \in \mathcal{D}$), alors l'action de $\rho$ et de $\sigma$ sur $z_{1}, z_{2}$ est « positive », en ce sens que $(z_{1}, u(z_{1}))$ et $(z_{2}, u(z_{2}))$ forment des $\mathbb{R}$-bases directes de $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^{2}$.

Voyons le groupe des relèvements de $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ opérant sur $P\mathcal{D}$ sur $\widetilde{P\mathcal{D}}$, qui est donc une extension centrale de $T_{11} = \mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ par $\mathbb{Z}$, […] ⌜[…]⌝ ⌜extension⌝ qu'on va écrire $ST_{11}$ $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$. Je désignerai par […] $\varpi$ l'élément de $\mathrm{Sl}(2, \mathbb{Z})$ $ST_{11}$ défini par le générateur de $\mathbb{Z}$, opérant sur $P\mathcal{D}$ par $(\tau, z) \mapsto (\tau, z + 1)$ la phrase reste en suspens au bas de la page ; la suite n'est pas dans ce lot.

Rétrospection sur les cartes cellulaires

la page 48, une chemise par ailleurs vierge, porte de sa main, au crayon : « 2-cartes cellulaires ». Le titre de section est celui qu'il écrit en tête de la page 49.

49\[ (X, G) = \Pi_{1}(X, G) \] \[ \mathop{\mathrm{Hom}}_{(X,G)}(x, y) = \{(\ell, g) \mid \ell : gx \to y,\ g \in G\} \] sous la flèche $gx \to y$ : $\in \mathrm{FC}\,\Pi_{1}X$ (lecture douteuse).

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  gx \arrow[r, "\ell"] & y & \\
  & g'y \arrow[r, "\ell'"] & z
\end{tikzcd}

encadré par l'auteur : \[ (\ell', g')(\ell, g) = (\ell' \circ g'(\ell),\ g'g) \]

50table des matières de la « Rétrospection », avec les renvois aux pages de l'auteur.

Description combinatoire des cartes, via $\mathfrak{G}_{2}$ et $\mathfrak{G}_{2}^{0}$ — p. 1
Cartes triangulaires pondérées, et groupes $\pi_{03}$, $\tilde\pi_{03}$ — p. 4
Relation avec revêtements de $U_{0,3}$ et courbes algébriques — p. 5'
Conditions $\rho_{i}^{\nu_{i}} = 1$ et groupes fondamentaux à signature — p. 9'
Sur l'existence d'une pondération d'une carte triangulaire — p. 12'
Carte associée à un polygone convexe, et groupes fondamentaux associés — p. 15
Relation aux cartes $n$-polygonales pondérées — p. 22
Introduction de $P\Sigma_{p_{n}}^{\times}$ et du $2$-groupoïde fondamental — p. 29

51p. 1 de l'auteur ; c'est le début de la « Rétrospection » annoncée par la table de la page 50. Rétrospection sur les cartes (finies)

(1) Définition initiale ⌜d'une carte (topologique) cellulaire⌝ : surface compacte (pas nécessairement orientable) $X$, avec […] fermée $K$, loc. homéom. à une étoile (« 1-complexe topologique »), plus hypothèses « cellulaires » : a) $K$ n'a pas de composantes connexes homéom. à $S^{1}$ ou vide ⌜ni de point isolé⌝ b) les comp. connexes de $X \setminus K$ sont des disques ouverts i.e. homéom. à $\mathring{\mathbb{D}} = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1\}$. On en fait une « catégorie isotopique », et à l'aide de la notion de biarc (p.ex.), on établit une équivalence de catégories \[ (1)\qquad \text{Cartes isot.} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathfrak{G}_{2}\text{-ensembles finis spéciaux} \] devant « Cartes isot. », un premier départ biffé (Catisot) ; « finis » est ajouté par lui au-dessus de la ligne, et « spéciaux » est entre guillemets. où \[ (2)\qquad \mathfrak{G}_{2} \simeq \{\tau_{0}, \tau_{1}, \tau_{2} \mid \tau_{0}^{2} = \tau_{1}^{2} = \tau_{2}^{2} = (\tau_{0}\tau_{2})^{2} = 1\} \] sous $\tau_{2}$, de sa main : « ou $\tau_{\infty}$ ». (NB Par la suite, on notera $\tau_{\infty}$ au lieu de $\tau_{2}$, notation […] mieux appropriée pour les relations avec la Géom. Alg. La notation $\tau_{2}$ est plus appropriée pour les généralisations en dim. supérieure …), et où les $\mathfrak{G}$-ens « spéciaux » sont ceux où les involutions \[ \tau_{0}, \tau_{1}, \tau_{2} \quad \text{et} \quad \sigma = \tau_{0}\tau_{2} \] opèrent sans points fixes. (NB. Par la suite, on posera $\rho_{1} = \tau_{0}\tau_{\infty}$, en même temps qu'on écrit $\tau_{\infty}$ pour $\tau_{2}$)

On introduit \[ (3)\qquad \mathfrak{G}_{2}^{0} = \mathrm{Ker}\,(\mathfrak{G}_{2} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}), \quad \tau_{i} \mapsto 1 \bmod 2 \] et on a \[ (4)\qquad \mathfrak{G}_{2}^{0} = \{\rho_{0}, \rho_{1}, \rho_{\infty} \mid \rho_{\infty}\rho_{1}\rho_{0} = \rho_{1}^{2} = 1\} \] entre les deux signes $=$, un symbole biffé.

b) i.e. que $K$ […] […] […] […] […] il y a […] $x_{0}$ […] $X$ […] […] […] […] […] […]

La notation $\sigma_{2}$ est plus commode […] […] […] […] […] $\sigma_{i}$ […] […] […] […] […] […] […] deux notes marginales écrites en diagonale le long du bord gauche ; seuls quelques mots se laissent lire.

52avec \[ (5)\qquad \rho_{\infty} = \tau_{1}\tau_{0}, \quad \rho_{1} = \tau_{0}\tau_{\infty}, \quad \rho_{0} = \tau_{\infty}\tau_{1} \]

La relation avec les « repères », en tant que simplexes topologiques de la subdivision barycentrique, est la suivante :

Un morceau de carte trivalente (traits gras) et, en traits fins au crayon, sa subdivision barycentrique. Au sommet $s$ de la carte, le long de l'arête $a$ (flèche $\to a$) et dans la face $f$, le triangle hachuré de sommets $s$, $\tilde a$ (centre de $a$) et $\tilde f$ (centre de $f$) est le repère $r$ ; une flèche courbe indique le sens de rotation du repère, une flèche verticale l'orientation normale.

Le biarc ⌜associé au repère $r$⌝ donne comme orientations tangentielles celle qui sort des sommets, comme orientation normale celle qui entre dans la face $f$ (« on sort des sommets pour entrer dans la face $f$, en passant par l'arête $a$ »). Les trois sommets de $r$ sont le sommet $s = \tilde s$, le « centre » $\tilde a$ de $a$, et le « centre » $\tilde f$ de $f$, l'orientation de $r$ est celle qui tourne autour de $r$ dans le sens $s\,\tilde a\,\tilde f$ (comme le dit la localisation imagée plus haut). C'est aussi celle pour laquelle l'[…] orientation ⌜de l'arête $a$⌝ […] […] autour des sommets, […] orientations tangentielles […], indique le sens de rotation « […] » de $a$ pour l'orientation […] et pour laquelle l'orientation tangentielle indique le sens de rotation autour de $f$ (« face extrémité » de $a$ pour l'orientation normale du biarc). Les sens de rotation « dérivés » (par l'orientation définie par $r$) autour des trois sommets de $r$ sont indiqués sur la figure. Sur les positions formées par $r$, […] les trois sommets, le triangle ⌜simplexe⌝ topologique $r$, […] sur la figure le sens de l'orientation […] des arêtes ⌜$\tilde s\tilde a$, $\tilde a\tilde f$, $\tilde f\tilde s$⌝ […] à leur sens, […] des positions le long des […] qui tournent autour des sommets.

53p. 2 de l'auteur. La complexe ⌜carte⌝ duale d'une carte ([…] combinatoirement) a le même ensemble de repères « triangulés » par les mêmes repères, mais le rôle des sommets de type $0$ et $\infty$ échangés : les sommets de $C$ deviennent ⌜et inversement⌝ les […] les faces de $\check C$, les faces de $C$ correspondent aux sommets de $\check C$, enfin les arêtes de $C$ et celles de $\check C$ se correspondent (avec relation d'incidence). On notera que le repère commun $r$, […] quand il est regardé comme repère pour $\check C$ ⌜au lieu de⌝ […] $C$, reçoit des orientations « opposées », tant dans les orientations opposées sur les arêtes et pour les sens de rotation autour des sommets.

Une carte $X$ est orientée si la surface sous-jacente est orientée, ce qui revient à ce que, sur l'ensemble $\mathcal{R}(X)$ des repères de $X$, on se donne une subdivision en deux parties complémentaires \[ (5)\qquad \mathcal{R}(X) = \mathcal{R}^{+}(X) \amalg \mathcal{R}^{-}(X) \] telles que l'on ait \[ (6)\qquad \sigma_{i}(\mathcal{R}^{+}(X)) \subset \mathcal{R}^{-}(X) \quad \text{pour } i \in \{0, 1, \infty\} \] (6 bis) […] égalité, ce qui implique \[\begin{align*} (7)&\qquad \sigma_{i}(\mathcal{R}^{+}(X)) = \mathcal{R}^{+}(X), \quad \sigma_{i}(\mathcal{R}^{-}(X)) = \mathcal{R}^{-}(X) \quad i \in \{0, 1, \infty\} \\ (7\text{ bis})&\qquad \rho_{i}(\mathcal{R}^{+}(X)) = \mathcal{R}^{+}(X), \quad \rho_{i}(\mathcal{R}^{-}(X)) = \mathcal{R}^{-}(X) \quad i \in \{0, 1, \infty\} \end{align*}\] la ligne (7) est lue telle qu'elle paraît, mais elle contredit (6), dont elle devrait être la forme forte ($\sigma_{i}$ échangeant $\mathcal{R}^{+}$ et $\mathcal{R}^{-}$) ; les exposants de la première ligne sont douteux. Sur ces pages les involutions sont écrites tantôt $\tau_{i}$, tantôt $\sigma_{i}$ ; la transcription suit la page.

Alors aussi $\mathcal{R}^{+}(X)$ est un $\mathfrak{G}_{2}^{+}$-ensemble : […], et $X \mapsto \mathcal{R}^{+}(X)$ donne une équivalence de catégories \[ (8)\qquad \text{Cartes isot.\ or.} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathfrak{G}_{2}^{0}\text{-ens.\ spéciaux finis} \] « spéciaux » : lecture douteuse.

NB On utilise une notion de « morphisme » de cartes qui n'est pas tellement triviale ([…] […] pour les […]).

54Une figure à l'encre et au crayon : le complexe trivalent $K$ en traits gras (sommets marqués $0$), sa subdivision barycentrique en traits fins (sommets marqués $0$, $1$, $\infty$), et dix triangles-repères étiquetés $r$ (hachuré), $\tau_{0}r$, $\tau_{1}r$, $\tau_{\infty}r$, $\tau_{0}\tau_{1}r = \rho_{\infty}r$, $\tau_{1}\tau_{0}r = \rho_{\infty}r$, $\tau_{\infty}\tau_{1}r = \rho_{0}r$, $\tau_{0}\tau_{\infty}r = \rho_{0}^{-1}r$, $\tau_{0}\tau_{\infty}r = \tau_{\infty}\tau_{0}r = \rho_{1}r$, avec les sens de rotation et les flèches d'orientation des arêtes.

le complexe topologique $K$ est un graphe tracé en traits gras

NB $\sigma_{i}$ change le sommet de type $i$ de $r$, et fixe les deux autres sommets

Les opérations $\tau_{0}, \tau_{1}, \tau_{\infty}$ sont marquées sur la figure, ce sont les « symétries » p.r. aux côtés du triangle $r$ opposés aux sommets $s = S^{0}_{r}$, $\tilde a = S^{1}_{r}$, $\tilde f = S^{\infty}_{r}$ de $r$ (sommets dits de type $0$ (ou « type-sommet »), type $1$ (ou « type arête »), type $\infty$ (ou $2$) (ou « type-face »)). On notera que les orientations induites par deux repères « adjacents » le long de l'arête commune (ce qui capture par les ⌜deux⌝ orientations de la surface ambiante, au voisinage de celle-ci, définies par $r$ et $r'$ respectivement), sont toujours dans les sens « opposés ». Par contre, les ⌜sens de rotation⌝ orientations autour des sommets communs définis […] respectivement par deux repères adjacents, sont opposés. La figure montre dix repères, savoir $r$ et ceux qui s'en déduisent […] les opérations $\tau_{i}$ ($i \in \{0, 1, \infty\}$), et en ⌜recomposant⌝ […] une fois \[\begin{align*} & r \qquad \tau_{0}r, \tau_{1}r, \tau_{\infty}r \qquad \tau_{1}\tau_{0}r = \rho_{\infty}r, \ \tau_{0}\tau_{1}r = \rho_{\infty}^{-1}r \\ & \phantom{r \qquad \tau_{0}r, \tau_{1}r, \tau_{\infty}r \qquad} \tau_{0}\tau_{\infty}r = \rho_{1}r = \tau_{\infty}\tau_{0}r = \rho_{1}^{-1}r \\ & \phantom{r \qquad \tau_{0}r, \tau_{1}r, \tau_{\infty}r \qquad} \tau_{\infty}\tau_{1}r = \rho_{0}r, = \tau_{1}\tau_{\infty}r = \rho_{0}^{-1}r \end{align*}\] les signes $=$ entre $\rho_{1}r$ et $\tau_{\infty}\tau_{0}r$, et entre $\rho_{0}r$ et $\tau_{1}\tau_{\infty}r$, semblent récrits ou barrés à l'encre : la page n'affirme sans doute pas ces égalités ; les indices des troisièmes et quatrièmes termes sont eux aussi surchargés.

(il y aurait $10$ repères, au lieu de $9 = 1 + 3 + (2 + 1 + 2)$, s'il n'y avait ici la relation \[ \tau_{0}\tau_{\infty} = \tau_{\infty}\tau_{0} \quad \text{i.e.} \quad \rho_{1} = \rho_{1}^{-1} \quad \text{i.e.} \quad \rho_{1}^{2} = 1 . \]

55p. 3 de l'auteur. […] maintenant « spéciaux » signifie que $\rho_{1} = \tau_{0}\tau_{\infty}$ opère sans points fixes.

Si on a une carte orientée, on considère la carte duale munie de la même orientation de la surface sous-jacente commune, est appelée la carte orientée duale. On a alors \[ (9)\qquad \mathcal{R}^{+}(\check C) = \mathcal{R}^{-}(C), \quad \mathcal{R}^{-}(\check C) = \mathcal{R}^{+}(C) \] i.e. les repères directs pour l'une des deux cartes sont ceux qui sont inverses pour l'autre.

On se libère de la condition de restriction aux $\mathfrak{G}_{2}^{0}$-ensembles finis spéciaux, en introduisant une notion un peu plus générale de carte cellulaire, en admettant ⌜en introduisant⌝ la notion […] d'arête pliée — Techniquement, […], on se donne, outre $K$, une partie finie $V$ (ens. des sommets) $S \subset K$, qui contient tous les sommets topologiques, sauf éventuellement certains sommets d'ordre $1$ ou points-bords de $K$.

Un graphe (arbre) en traits gras épaissis, entouré d'un contour fin qui en dessine le voisinage (le disque $D(X/K)$) ; sommets marqués en gras, quelques points sur le bord. Une flèche désigne une extrémité : « arête repliée », avec le petit croquis d'un « modèle intuitif » (un Y épaissi dont une branche est repliée sur elle-même).

$\leftarrow$ arête repliée (sur le modèle intuitif ci-contre)

les sommets marqués sont marqués en gras, le contour du disque $D(X/K)$ en trait fin, les sommets sur le bord de le disquesic sont traits figurés […]

On reformule directement les axiomes en termes de $S \subset K \subset X$. Du point de vue des repères le long d'une arête pliée il y a deux repères (au lieu de quatre dans le cas précédemment étudié)

56Un arbre trivalent dont les sommets portent les types $0$ et $1$ ; à droite une arête repliée qui aboutit en un sommet de type $\infty$, avec les deux repères $r$ et $r'$ de part et d'autre (sens de rotation opposés) dans un contour fin ; en bas une région hachurée autour d'un sommet $\infty$ où figurent $\sigma_{\infty}r_{1}$, $\sigma_{0}r_{1}$, $\sigma_{1}r_{1}$ et $r_{1}$.

\[ (10)\qquad \begin{cases} r' = \tau_{\infty}r = \tau_{0}r \\ \text{i.e.}\quad \tau_{0}\tau_{\infty}r = r \quad \text{i.e.}\quad \rho_{1}r = r \end{cases} \]

Les arêtes repliées correspondent $1$-$1$ aux « sommets de type $1$ » (de la subdivision barycentrique) qui sont topologiques (univ. d'ordre $1$) de $K$. Et elles correspondent $1$-$1$ aux points fixes de $\rho_{1} = \sigma_{0}\sigma_{\infty}$ opérant sur $\mathcal{R}$.

Pour un pt. bord de $K$ qui est un sommet marqué de $K$ (i.e. un sommet de type $1$ de la subdivision barycentrique) […] la situation ci-contre

Un sommet marqué $0$ au bord de $K$, d'où partent des arêtes vers des sommets $0$ et $\infty$ ; trois boucles fines emboîtées autour de l'arête qui aboutit en ce sommet, étiquetées $\tau_{0}r$, $r$ et $\tau_{\infty}\tau_{0}r = \tau_{1}\tau_{0}r$ (lecture douteuse), avec flèches de rotation.

, il y a bien 4 repères distincts adjacents à l'arête qui aboutit en ce sommet — si on prend l'un des deux qui combinent ⌜[…]⌝ « ⌜pli⌝ » « pli » sommet […], on aura \[ (11)\qquad \tau_{1}r = \tau_{\infty}r \quad \text{i.e.} \quad \rho_{0}r = r \] ce qui caractérise les sommets envisagés ([…] […]), en corr. biunivoque avec les paires de repères $\{r, r'\}$ telles que $r' = \tau_{1}r = \tau_{\infty}r$, d'où $r = \tau_{1}r' = \tau_{\infty}r'$. Condition La condition (11) n'impliquerait pas que

57p. 4 de l'auteur. La phrase continue celle de la page précédente. puisse avoir […] lieu \[ \tau_{1}r = \tau_{\infty}r = \tau_{0}r \] i.e. qu'on soit dans le cas (10) (qui me semble […] : qu. les $\sigma_{i}$ opèrent sans pts fixes) cela signifie que le point de type 1 du repère […] est un pli (le point de type $0$ ne pourrait l'être, par définition).

Grâce à l'introduction des arêtes pliées, dans la équivalencesic de catégories (8), il n'est plus nécessaire d'introduire l'hypothèse que $\rho_{1}$ opère sans pt fixe — et dans l'équivalence (1), il n'y a plus lieu de supposer que $\rho_{1}$ (disons $\sigma$) opère sans pt fixe — par contre la condition que les $\sigma_{i}$ opèrent sans points fixes demeure provisoirement (mais il serait facile maintenant de s'en affranchir aussi cf plus bas …)).

(2) On a dans ces considérations un rôle particulier pour l'indice $1 \in \{0, 1, \infty\}$, du fait que l'on a \[ \rho_{1}^{2} = 1 , \] on peut s'en défaire, en introduisant \[ (12)\qquad \tilde\pi_{03} = \{\tau_{0}, \tau_{1}, \tau_{\infty} \mid \tau_{0}^{2} = \tau_{1}^{2} = \tau_{\infty}^{2} = 1\} \] (sans condition $(\tau_{0}\tau_{\infty})^{2} = 1$ !), et le sous-groupe d'indice $2$ \[ (13)\qquad \pi_{03} = \{\rho_{0}, \rho_{1}, \rho_{\infty} \mid \rho_{\infty}\rho_{1}\rho_{0} = 1\} \]

$\pi_{03} = \mathrm{Ker}\,(\tilde\pi_{03} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, $\sigma_{i} \mapsto 1 \bmod 2$ (« Ker » : lecture douteuse)

58en prenant encore, comme dans (5) \[ (14)\qquad \rho_{\infty} = \tau_{1}\tau_{0}, \quad \rho_{1} = \tau_{0}\tau_{\infty}, \quad \rho_{0} = \tau_{\infty}\tau_{1} . \] On a donc \[ (15)\qquad \mathfrak{G}_{2} \simeq \tilde\pi_{03}/\langle\rho_{1}^{2}\rangle, \qquad \mathfrak{G}_{2}^{0} \simeq \pi_{03}/\langle\rho_{1}^{2}\rangle \]

Cette fois ⌜Ici⌝ […] $\tilde\pi_{03}$ apparaît comme le groupe « classifiant » pour la structure de « carte triangulaire pondérée » (par $\{0, 1, \infty\}$), i.e. une carte $\mathcal{C} = (X, K)$ l'ensemble avec une application \[ (16)\qquad S \longrightarrow \{0, 1, \infty\} \] sous $S$, en petit : « ens. des sommets (ordinaires) de la carte (vue d'une subd. barycentrique !) ». ayant la propriété que pour toute face $f$, l'application (16) induit une bijection de l'ensemble des sommets de $f$ avec $\{0, 1, \infty\}$. L'ensemble des repères (au sens de la théorie ⌜triangulaire⌝ pondérée, au cas de possibilité […] […] […] « repères pondérés ») de $X$ est par définition l'ensemble de ses faces, et $\tau_{i}$ ($i \in \{0, 1, \infty\}$) est le […] repère symétrique p.r. au […] côté du repère opposé au sommet de type $i$. L'ordre des sommets est pair […], […] ordre réduit d'un sommet le quotient de l'ordre par deux.

59p. 5 de l'auteur. Une figure de dix triangles autour d'un triangle central $r$ (sommets étiquetés $0$, $1$, $\infty$ de manière à alterner), chacun marqué du repère qu'il représente et de son sens de rotation : $\tau_{0}r$, $\tau_{1}r$, $\tau_{\infty}r$, $\tau_{1}\tau_{\infty}r = \rho_{0}^{-1}r$, $\tau_{\infty}\tau_{1}r = \rho_{0}r$, $\tau_{0}\tau_{1}r = \rho_{\infty}^{-1}r$, $\tau_{1}\tau_{0}r = \rho_{\infty}r$, $\tau_{0}\tau_{\infty}r = \rho_{1}r$, $\tau_{\infty}\tau_{0}r = \rho_{1}^{-1}r$ ; les arêtes portent des flèches d'orientation.

Les propriétés d'orientation de la figure sont les mêmes que celles explicitées p. 2', la figure est plus jolie ou du moins plus symétrique. Néanmoins, dans des cas particuliers certains des $10$ […] repères de la figure peuvent coïncider (ex : octaèdre, ou exemple plus dégénéré encore, le cas « orienté universel »

Une sphère dont l'équateur porte les trois points $0$, $1$, $\infty$.

). Ici l'équivalence de catégories ad hoc \[ (17)\qquad \text{cartes isot.\ triangulaires pondérées} \xrightarrow{\ \approx\ } \tilde\pi_{03}\text{-ensembles finis spéciaux} \] « spéciaux » : lecture douteuse. est en termes des ens. finis $\mathcal{R}$ : […] involutifs $\tau_{i}$ ($i \in \{0, 1, \infty\}$) sans points fixes, sans plus.

Définissons les cartes triangulaires pondérées orientées comme des cartes ordinaires, par une orientation de la surface top. sous-jacente, on voit que cette notion se définit encore combinatoirement par la donnée d'un sous-ens. $\mathcal{R}^{+}(X)$ de l'ens. $\mathcal{R}(\alpha)$ des repères pondérés de $X$, satisfaisant (6 bis), i.e. ⌜(7 bis)⌝ (7) […] […] (6). On a alors \[ \mathcal{R}^{-}(X) = \mathcal{R}(X) \setminus \mathcal{R}^{+}(X) . \]

60\[ (18)\qquad \text{Cartes (isotop.) triangulaires pondérées orientées} \xrightarrow{\ \approx\ } (\pi_{03}\text{-Ens}) . \] au-dessus de la flèche : $X \longmapsto \mathcal{R}^{+}(X)$.

NB […] […] […] $\mathcal{R}$ […] […] $\pi_{03}$ […]

La notion de « carte duale » se remplace ici par la notion de transformée d'une carte par une « réindexation » des sommets, via un \[ g \in \mathfrak{S}_{3} \overset{\text{déf}}{=} \mathfrak{S}_{\{0, 1, \infty\}} \] — […] induits […] […], cela est trivial, […] […] […] la formule \[ (18)\qquad \mathcal{R}^{+}(X^{g}) = \mathcal{R}^{\mathrm{sg}(g)}(X) \qquad g \in \mathfrak{S}_{3} \] à droite : « $\mathrm{sg}\,g$ la signature de $g$ ». Le numéro (18) est donné deux fois sur la page.

(3) Par les considérations précédentes, et notamment par les isom. (15) \[\begin{align*} \mathfrak{G}_{2} &\simeq \tilde\pi_{03}/\langle\rho_{1}^{2}\rangle \\ \mathfrak{G}_{2}^{+} &\simeq \pi_{03}/\langle\rho_{1}^{2}\rangle , \end{align*}\] la cat. ⌜isotopique⌝ des cartes finies (avec arêtes pliées) apparaît comme équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie ⌜isotopique⌝ des cartes finies triangulaires pondérées, et […] itou pour la version orientée. D'autre part, on a \[ (19)\qquad \pi_{03} \simeq \pi_{1}(U_{0,3}, P_{+}^{*}) \] l'exposant de $P_{+}$ est d'une lecture douteuse. où \[ (20)\qquad U_{0,3} = \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) \setminus \{0, 1, \infty\} \] $P_{+}$ et $P_{+}$ étant un pt quel de l'hémisphère supérieur — il est commode de prendre \[ P_{+} = -\zeta, \qquad \zeta = \exp 2i\pi/3 . \] l'argument continue au-delà de la fin du lot.