Fonds Grothendieck, cote n° 144, pages 21–40

la page commence au milieu d'une phrase, ouverte avant le lot. « défini sur K, pour assez grand ». Choisissons K = K., et conjuguons d'exprimer les conjugaisons des types « galoisiens » que l'exprime. Soit \overline{K} la clôture alg. de K dans k. Considérons les signes K = K de la deuxième ligne sont lus tels quels ; le mot qui les précède n'est pas lu.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathfrak{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \arrow[d] & \mathfrak{X}_{g,\nu\,K} \arrow[l] \arrow[d] & \mathfrak{X}_{g,\nu\,\overline{K}} \arrow[l, no head] \arrow[d] & \mathfrak{X}_{g,\nu\,k} \arrow[l, no head] \arrow[d] \\ M_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \arrow[d] & M_{g,\nu\,K} \arrow[l] \arrow[d] \arrow[u, dashed, bend right=40] & M_{g,\nu\,\overline{K}} \arrow[l, no head] \arrow[d] & M_{g,\nu\,k} \arrow[l, no head] \arrow[d] \\ \mathbb{Q} \arrow[r, no head] & K \arrow[r, no head] \arrow[u, dashed, bend left=40] & \overline{K} \arrow[r, no head] & k \end{tikzcd}

diagramme numéroté (7). Les deux flèches pointillées partent de K (sections) ; leurs têtes et leurs points d'attache sont lus sur un croquis serré. Les traits horizontaux sans tête sont ceux de la page. accolade sous \overline{K} \;—\; k : au pt de vue homotopique, cette extension est de nature triviale

(X,x) provient d'une section (tributaire x) de ~~\mathfrak{D}~~\mathfrak{X}_{g,\nu\,K} sur K, définissant une section (fonction \xi) de M_{g,\nu\,K} sur K, \{ les sections x, \xi sur k, (dont se déduisent par changement des corps de base).

Posons (8)\quad \begin{cases} \mathcal{M}_{X,x,K} = \pi_1(\mathfrak{X}_{g,\nu\,K}, x) \\ \mathcal{N}_{X,x,K} = \pi_1(M_{g,\nu\,K}, \xi) \\ \Gamma_{\overline{K}|K} = \mathrm{Gal}(\overline{K}|K) = \pi_1(\operatorname{Spec} K, \overline{k}) \end{cases} dans la première ligne, le premier argument de \pi_1 est écrit sur un M biffé, et le point de base x sur un signe biffé ; le numéro (8) est lu avec doute.

on a cette fois-ci, comme (1) , K remplaçant \mathbb{Q} :

p. 6) de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & & \\ & \pi_{X,x} \arrow[r, no head, "="] \arrow[d] & \pi_{X,x} \arrow[d] & & \\ 1 \arrow[r] & \mathfrak{G}_{X,x} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{M}_{X,x,K} \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma_{\overline{K}|K} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \mathcal{T}_{X} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{N}_{X,x,K} \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma_{\overline{K}|K} \arrow[r] & 1 \\ & 1 & 1 & & \end{tikzcd}

diagramme numéroté (9). La lettre \mathfrak{G} rend une majuscule bouclée qu'il emploie dans tout le lot ; \mathcal{T} rend une majuscule cursive (groupe de Teichmüller) ; l'indice de \mathcal{T} est lu X ou x.

correspondant : (10)\qquad \overbrace{\pi_{X,x} \subset \underbrace{\mathfrak{G}_{X,x} \subset \mathcal{M}_{X,x,K}}_{\Gamma_{\overline{K}|K}}}^{\mathcal{N}_{X,K}} sur la page, une accolade sous \pi_{X,x} \subset \mathfrak{G}_{X,x} porte \mathcal{T}_X, une autre sous \mathfrak{G}_{X,x} \subset \mathcal{M}_{X,x,K} porte \Gamma_{\overline{K}|K}, et l'accolade du dessus, marquée \mathcal{N}_{X,K}, couvre \mathfrak{G}_{X,x} \subset \mathcal{M}_{X,x,K} ; la mise en forme ci-dessus ne rend pas exactement l'emboîtement.

\{NB On n'a pas encore utilisé que (X,x) est défini sur K, i.e. que x (provienne \in \mathfrak{X}_{g,\nu}(K) dans K …). À vrai dire, la situation (9) — (10) se déduit de la situation « absolue » (i.e. sur \mathbb{Q}) (1), par la image inverse des structures d'extension (de \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} par \mathfrak{G}_{X,x} \supset \pi_{X,x}) : l'inclusion de l'hom. des (11)\qquad \Gamma_{\overline{K}|K} \longrightarrow \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}

par (12)\quad \begin{cases} \mathcal{M}_{X,x,K} \simeq \mathcal{M}_{X,x} \times_{\Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}} \Gamma_{\overline{K}/K} \\ \mathcal{N}_{X,x,K} \simeq \mathcal{N}_{X,x} \times_{\Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}} \Gamma_{\overline{K}/K} \end{cases} ~~d'où~~

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & \mathfrak{G}_{X,x} \arrow[r] & \mathcal{M}_{X,x} \arrow[r] & \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \mathfrak{G}_{X,x} \arrow[r] \arrow[u, no head, "\parallel"] & \mathcal{M}_{X,x,K} \arrow[r] \arrow[u, "\mathrm{cart}"'] & \Gamma_{\overline{K}/K} \arrow[r] \arrow[u] & 1 \end{tikzcd}

diagramme numéroté (13). La lettre \mathfrak{G} de la ligne du haut est tracée sur une autre, biffée.

et de même

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & \mathcal{T}_{X,x} \arrow[r] & \mathcal{N}_{X,x} \arrow[r] & \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \\ 1 \arrow[r] & \mathcal{T}_{X,x} \arrow[r] \arrow[u, no head, "\parallel"] & \mathcal{N}_{X,x,K} \arrow[r] \arrow[u, "\mathrm{cart}"'] & \Gamma_{\overline{K}/K} \arrow[u] \end{tikzcd}

diagramme numéroté (13'). Le \mathcal{T} du haut est écrit sur une lettre biffée ; le \mathcal{N}_{X,x,K} du bas est écrit sur un \mathcal{M}.

(déduit des précédents en divisant par \pi_{X,x} \subset \mathfrak{G}_{X,x})

Ceci posé, la donnée de la section x de M\mathfrak{X}_{g,\nu\,K} sur K définissant x sur k (i.e. de la restriction des corps de base de k à K : K dans (X,x)) s'exprime par un scindage () de l'ext. \mathcal{M}_{X,x,K},

p. 8) de l'auteur. donc par un relèvement

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathcal{M}_{X,x} \arrow[r] & \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \\ & \Gamma_{\overline{K}/K} \arrow[u] \arrow[ul, dashed] \end{tikzcd}

diagramme numéroté (14).

et de = pour \xi, correspondant à une restriction du corps de définition de X à K, ici correspondant :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathcal{N}_{X,x} \arrow[r, two heads] & \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \\ & \Gamma_{\overline{K}/K} \arrow[u] \arrow[ul, dashed] \end{tikzcd}

diagramme numéroté (14').

~~On trouve donc, puisque~~

trois traits verticaux dans la marge Je pense que ces données permettent de reconstituer (K,\overline{K},(X,x)) resp. (K,\overline{K},X) resp. (14') [au-dessus de (14) :] (14).

J'ai envie d'exprimer la structure plus simples, en notant que (14) resp. (14') implique (15)\qquad \Gamma_{\overline{K}|K} \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathrm{lac}} \pi_{X,x} \qquad \text{resp.} (15')\qquad \Gamma_{\overline{K}/K} \longrightarrow \operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\pi_{X,x}) l'indice de \operatorname{Aut} et de \operatorname{Autext} est un petit mot lu « lac » sans aucune certitude ; il revient p. 25.

J'ai envie d'abord de montrer comment ces données, ~~à partir des données près~~ (d'une \Gamma = \Gamma_{\overline{K}/K}, ouvert dans \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \simeq \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}), \Gamma opérant sur un gr. profini : le cas des \pi_{X,x}) permet, à près, de reconstituer les ~~Notons que~~ Il faut de plus des des \pi_{X,x}, ~~l'image de \Gamma_{\overline{K}/K}~~ de stable par l'action de \Gamma, i.e. un des discrétisations en un torseur sous \mathcal{M}_{g,\nu}' \subset \operatorname{Aut}_{\mathrm{lac}}(\hat{\pi}_{g,\nu}). Cela donne un en torseurs sous \mathcal{M}_{g,\nu}' (voire sous \mathcal{M}_{g,\nu}), ou (dans le cas (5')) en torseurs sous \mathcal{N}_{g,\nu}' — qui sont des quotients de \mathcal{M}_{g,\nu} resp. \mathcal{N}_{g,\nu}. page rapide, à demi lisible ; les formules et les mots « torseur », « discrétisations », « stable par l'action de \Gamma » sont sûrs, la prose qui les relie ne l'est pas.

K corps de t.f. sur \mathbb{Q}

\overline{K} clôture algébrique

D-structure sur \overline{K} : a) \overline{\mathbb{Q}} \subset \overline{K} ; b) pour toute courbe alg. X sur \overline{K} de type g,\nu, la donnée d'une discrétification de \pi_1(X).

D structure spéciale : définissable par plongement \varphi : \overline{K} \to \mathbb{C}

~~Prop. Soient \Theta, \Theta' deux~~

Soient \overline{K}, \overline{K}' deux clôtures alg. Pour tout K-isom (plus gén., pour tout K-isom) \overline{K} \to \overline{K}', par transport de structure des D structures (resp. spéciales) sur \overline{K} en définit une sur \overline{K}'. En particulier, \Gamma = \operatorname{Aut}(\overline{K}/K) opère sur l'ens. des discrétifications (resp. spéciales) sur \overline{K}.

Prop Soient \overline{K}, \overline{K}' deux clôtures algébriques de K, munies de discrét. spéciales \Theta, \Theta'. Alors il existe un K-isom \overline{K} \to \overline{K}' compatible avec \Theta, \Theta'.

Cor Deux discrétifications spéciales sur \overline{K} sont isomorphes par un élément de \Gamma = \operatorname{Aut}_K(\overline{K}) ( d'un sous-gr. d'indice fini dans \Gamma)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \operatorname{Isom}_{*}(\overline{K},\overline{K}') \times \operatorname{Disc}(\overline{K}) \arrow[r] & \operatorname{Disc}(\overline{K}') \\ \operatorname{Isom}_{*}(\overline{K},\overline{K}') \times \operatorname{Hom}(\overline{K},\mathbb{C}) \arrow[r] \arrow[u] & \operatorname{Hom}(\overline{K}',\mathbb{C}) \arrow[u] \end{tikzcd}

« ! » et trois traits verticaux dans la marge est commutatif si \overline{K} = \overline{K}', à la limite. \operatorname{Isom}_K(\overline{K},\overline{K}') = \Gamma — \Gamma équivariant. l'indice * de \operatorname{Isom} est une étoile appuyée, lue aussi K dans la dernière ligne.

\operatorname{Hom}(\overline{K},\mathbb{C}) \xrightarrow{\ \text{surj}\ } \operatorname{Discspec}(\overline{K}) compatible avec les op. naturelles de \Gamma

NB \Gamma est transitif^{*}, i.e. ~~droite~~ … transitif : \varphi (pour que \varphi, \varphi' : \overline{K} \rightrightarrows \mathbb{C} soient conjugués par \Gamma, il f. et il s. a) \varphi|K = \varphi'|K et b) \varphi(\overline{K}) = \varphi'(\overline{K}), conditions qui sont des plus draconiennes ….

en biais, au coin supérieur gauche : « Soit » coché, « alors Soit » ; puis, renvoyé par l'astérisque : ^{*} si \overline{K} = \overline{\mathbb{Q}} i.e. pour K alg. sur \mathbb{Q} ; plus bas : donc explicitons d'injectif

Autour d'une discrétification sur \overline{K} : « le cas » transcendant d'intéressant pas des « le cas » transcendants, sur K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C},

Est-il possible que \operatorname{Hom}(\overline{K},\mathbb{C}) \to \operatorname{Discspec}(\overline{K}) soit injectif (i.e. bijectif) ? ~~\overline{K} \subset \mathbb{C}~~ i.e. des (K, \varphi_K : K \to \mathbb{C}), équivalent : elles rigidifications, et des (K,\overline{K},\Theta), \Theta = \Theta_{\varphi_{\overline{K}}} similaire dans le cas où \overline{K} alg. sur \mathbb{Q}. passage enchevêtré : des traits courbes relient les morceaux de la phrase et un long trait barre une ligne entière ; l'ordre de lecture retenu est conjectural.

\pi_1, \pi_{1,\mathrm{ab}} structure de Hodge mixte \pi_{1,\mathrm{ab}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} ou encore structure complexe sur \widetilde{\pi}_{1,\mathrm{ab}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}

Formulaire pour \pi_{0,3} etc. Pt de vue transcendant pour M_{1,1}

titre de sa main, seul inscrit sur un feuillet de couleur (p. 28), qui sert de couverture à ce qui suit.

\mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) (Formulaire 2e version) (1982) la date « (1982) » est d'une autre encre, plus pâle.

\boxed{\rho = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}, \quad \rho^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \rho^3 = \rho^{-3} = \omega \quad \text{donc } \rho^2 = \omega\rho^{-1}, \quad \rho^6 = 1 \omega = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad (\text{donc } \omega g = -g) \qquad \omega^2 = 1 une flèche courbe relie \omega à \rho dans la marge gauche.

\begin{cases} \boxed{\sigma_\infty = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}} \qquad \sigma_\infty^{-1} = \omega\sigma_\infty = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\[4pt] \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \qquad \rho(\sigma_i) = \sigma_{i+1} \\[4pt] \sigma_1 = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{cases} \sigma^2 = \sigma^{-2} = \omega, \quad \sigma^{-1} = \omega\sigma \qquad\qquad \sigma_i^2 = \omega, \quad \sigma_i^{-1} = \omega\sigma_i l'indice de \sigma_1 est écrit sur un autre, empâté.

\begin{cases} \boxed{\varepsilon_0 = \sigma_\infty^{-1}\rho = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} \quad (\text{unipotent \& régulier}) \\[4pt] \boxed{\varepsilon_1 = \rho\sigma_\infty^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} \\[4pt] \varepsilon_\infty = \rho^2\sigma_\infty^{-1}\rho^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{cases} \qquad \begin{cases} \varrho_0 = \varepsilon_0^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\[4pt] \varrho_1 = \varepsilon_1^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\[4pt] \varrho_\infty = \varepsilon_\infty^2 = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{cases} la lettre bouclée qu'il distingue de \rho est rendue ici \varrho. Dans la boîte de \varepsilon_1, la formule \rho\sigma_\infty^{-1} est écrite en surcharge ; le \rho est empâté. dans la marge gauche : N_0 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, N_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, N_\infty = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

\varepsilon_i = \sigma_i^{-1}\rho, \qquad \rho(\varepsilon_i) = \varepsilon_{i+1}, \qquad \rho(\varrho_i) = \varrho_{i+1} \varrho_\infty\varrho_1\varrho_0 = \omega, \qquad \varrho'_\infty\varrho'_1\varrho'_0 = 1 \quad \text{où } \varrho'_i = \omega\varrho_i \begin{cases} \sigma_i\sigma_{i+1} = \omega\rho\varrho_i = \omega\varrho_{i+1}\rho \\ \rho(\sigma_i) = \sigma_{i+1} = \omega\varrho_{i-1}\varepsilon_{i+1} \\ \sigma_i(\rho) = \rho^{-1}\varrho'_{i-1} \end{cases}

\begin{cases} \boxed{\tau_\infty = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & +1 \end{pmatrix}} \\[4pt] \tau_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \\[4pt] \tau_1 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{cases} \qquad \tau_i^2 = 1 \qquad \rho(\tau_i) = \tau_{i+1} \tau_i\tau_{i-1} = \underbrace{\omega\varrho_{i+1}}_{\varrho'_{i+1}} \quad \text{i.e.} \quad \begin{cases} \tau_1\tau_0 = \varrho'_\infty \\ \tau_\infty\tau_1 = \varrho'_0 \\ \tau_0\tau_\infty = \varrho'_1 \end{cases} dans l'accolade de droite, un \omega biffé précède chaque \varrho'.

\begin{cases} \boxed{\tau'_\infty = \sigma_\infty\tau_\infty = \omega\tau_\infty\sigma_\infty = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} \\[4pt] \tau'_0 = \sigma_0\tau_0 = \omega\tau_0\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\[4pt] \tau'_1 = \sigma_1\tau_1 = \omega\tau_1\sigma_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{cases} \tau_i'^{\,2} = 1 \qquad \rho(\tau'_i) = \tau'_{i+1} \tau'_0\tau'_1 = \tau'_1\tau'_\infty = \tau'_\infty\tau'_0 = \omega\rho, \qquad \tau'_1\tau'_0 = \tau'_\infty\tau'_1 = \tau'_0\tau'_\infty = \omega\rho^{-1} \tau'_i = \sigma_i\tau_i = \omega\tau_i\sigma_i = \tau_i\sigma_i^{-1}, \qquad \tau_i = \tau'_i\sigma_i = \omega\sigma_i\tau'_i = \sigma_i^{-1}\tau'_i, \sigma_i = \tau'_i\tau_i = \omega\tau_i\tau'_i devant \tau_i'^{\,2} = 1, une surcharge biffée. Dans \tau'_0\tau'_1 = \dots = \omega\rho, le \omega est écrit sur une autre lettre. La dernière ligne est coupée par le bord du feuillet et lue avec doute.

\left. \begin{aligned} \tau_i(\varepsilon_j) &= \varepsilon_j^{-1} \\ \tau_i(\varrho_j) &= \varrho_j^{-1} \\ \tau_i(\varrho'_j) &= \varrho_j'^{\,-1} \end{aligned} \right| \ \text{si } i \neq j \begin{cases} \tau_i(\sigma_i) = \sigma_i^{-1} = \omega\sigma_i \qquad \text{[au-dessus :] } \tau'_i(\sigma_i) = \\ \tau'_i(\rho) = \rho^{-1} \\ \tau_i(\rho) = \varrho_{i-1}'^{\,-1}\rho = \sigma_i(\rho^{-1}) \end{cases} une grande accolade, dans la marge gauche, embrasse les deux groupes de formules ci-dessus.

\begin{aligned} &\tau_\infty(\varepsilon_0) = \varepsilon_0^{-1} &\qquad& \tau_\infty(\varrho_0) = \varrho_0^{-1} \\ &\tau_\infty(\varepsilon_1) = \varepsilon_1^{-1} && \tau_\infty(\varrho_1) = \varrho_1^{-1} \\ &\tau_\infty(\varepsilon_\infty) = \varrho_0(\varepsilon_\infty^{-1}) && \tau_\infty(\varrho_\infty) = \varrho_0\varrho_1\omega \\ &\phantom{\tau_\infty(\varepsilon_\infty)} = \varrho_1^{-1}(\varepsilon_\infty^{-1}) && \phantom{\tau_\infty(\varrho_\infty)} = \varrho_1^{-1}(\varrho_\infty^{-1}) \\ & && \phantom{\tau_\infty(\varrho_\infty)} = \varrho_0^{-1}(\varrho_\infty^{-1}) \end{aligned} dans \varrho_0(\varepsilon_\infty^{-1}), un exposant -1 est ajouté sous \varrho_0 ; l'exposant de la dernière ligne et la fin de ligne, empâtée au bord, sont lus avec doute.

\begin{aligned} &\sigma_i(\varrho_{i+1}) = \varrho_{i+2} &\qquad& \sigma_i(\varepsilon_{i+1}) = \varepsilon_{i+2} \\ &\sigma_i(\varrho_{i+2}) = \varrho_{i+1} && \sigma_i(\varepsilon_{i+2}) = \varepsilon_{i+1}) \\ &\sigma_i(\varrho_i) = \omega\underbrace{(\varrho_{i+1}\varrho_{i+2})^{-1}}_{\omega\varrho_{i+2}^{-1}\varrho_{i+1}^{-1}} = \varrho_{i+1}(\varrho_i) && \\ & \phantom{\sigma_i(\varrho_i)} = \varrho_{i+2}^{-1}(\varrho_i) && \end{aligned} les indices de cette colonne sont serrés et lus en partie d'après la symétrie des formules.

— — —

\begin{cases} \lambda_0 = \varepsilon_0, \ \lambda_1 = \sigma_\infty, \ \lambda_\infty = \rho^{-1} \\ \lambda_\infty\lambda_1\lambda_0 = 1 \qquad \lambda_1^4 = \lambda_\infty^6 = 1 \end{cases} \qquad \overbrace{\Gamma_0 = \tau'_\infty}^{= \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)}, \ \overbrace{\Gamma_1 = -\tau'_0}^{= \left(\begin{smallmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}, \ \overbrace{\Gamma_\infty = \tau_\infty}^{= \left(\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)} devant \lambda_0, une lettre biffée. La lettre \Gamma_i rend une majuscule gamma qu'il trace comme un petit r anguleux ; on pourrait aussi lire r_i. \Gamma_\infty\Gamma_1 = \lambda_0, \qquad \Gamma_0\Gamma_\infty = \lambda_1, \qquad \Gamma_1\Gamma_0 = \lambda_\infty

Donc on a

\begin{tikzcd} \pi^{\tau}_{0,3} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d] & \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) \arrow[d] \\ \pi_{0,3} \arrow[r, "\varphi^{0}"] & \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}) \end{tikzcd}

\varphi, \varphi^{0} surj. \varphi(\varrho_i) = \lambda_i, \varphi(\tau_i) = \Gamma_i les flèches verticales du carré sont tracées comme des crochets ; leur sens n'est pas marqué d'une tête. La lettre sur le \mathrm{Gl} du haut est écrite sur une autre.

\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}) = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \rho^{-3} = \sigma^2 \ (= \sigma^{-2})\} = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} *_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \begin{aligned} \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) &= \{\rho, \sigma, \tau' \mid \rho^3 = \rho^{-3} = \sigma^2 \ (= \sigma^{-2}),\ \tau'(\rho) = \rho^{-1},\ \tau'(\sigma) = \sigma^{-1}\} \\ &= \{\Gamma_0, \Gamma_1, \Gamma_\infty \mid \Gamma_0^2 = \Gamma_1^2 = \Gamma_\infty^2 = 1,\ (\Gamma_0\Gamma_\infty)^2 = (\Gamma_1\Gamma_0)^3 = (\Gamma_1\Gamma_0)^{-3}\} \\ &= D_6 *_{D_2} D_4 \end{aligned} dans la marge gauche : \sigma = \sigma_\infty, \tau' = \tau'_\infty dans la présentation de \mathrm{Gl}, le générateur \tau' est écrit sur un \tau'_\infty empâté ; le premier générateur de la deuxième ligne est écrit \tau_0 sur la page. \begin{cases} \text{NB } \tau' = \Gamma_0, \quad \Gamma_0(\rho) = \rho^{-1}, \ \Gamma_0(\sigma) = \sigma^{-1} \\ \Gamma_1 = \rho^{-1}\Gamma_0 = \Gamma_0\rho \\ \Gamma_\infty = \sigma\Gamma_0 = \Gamma_0\sigma^{-1} \end{cases} deux biffures empâtées dans cette accolade.

Relations avec le formulaire 1981

Les \sigma_i sont devenus transformés en \sigma_i^{-1}, donc \varepsilon_0 = \sigma_i^{-1}\rho au lieu de \varepsilon_0 = \sigma_i\rho. Les autres quantités pas changées, mais noté \varrho_i = \varepsilon_i^2 au lieu de h_i, et \varrho'_i = \omega\varepsilon_i^2 = \omega\varrho_i au lieu de \lambda_i (\varrho'_\infty\varrho'_1\varrho'_0 = 1, \varrho_\infty\varrho_1\varrho_0 = \omega), où \omega = -\mathrm{id}. Les \lambda'_i sont devenus \lambda_i. les deux lettres que la version 1981 employait (« h_i », « \lambda_i ») sont lues avec doute.

(1982) date d'une autre encre, au coin supérieur gauche. 1 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ k\ } \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} \to \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) \to 1 k(\mathbb{Z}) central dans \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} mais non dans \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})^{\sim}.

\mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) opère sur \mathbb{Z} par l'intermédiaire du dét u, par multiplication par dét u \in \{\pm 1\}.

k(1) \overset{\mathrm{def}}{=} \ell'_0 \left. \begin{aligned} &\tilde{\rho} \text{ au dessus de } \rho, & \tilde{\rho}^{6} &= \ell_0'^{\,-1} \\ &\tilde{\sigma} \text{ — — } \sigma, & \tilde{\sigma}^{4} &= \ell'_0 \\ &\tilde{\omega}_0 \text{ — — } \omega_0 = -1, & \tilde{\omega}^{2} &= \ell'_0 \end{aligned} \right| \ \text{conditions sur } \tilde{\rho}, \tilde{\sigma}, \tilde{\omega}_0 \text{ donc :} \ \left|\ \tilde{\rho}^{-3} = \tilde{\sigma}^{2} = \tilde{\omega}_0 \right. dans un coin encadré à droite : \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) opère sur \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} (mais non sur \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})^{\sim})

\tilde{\tau}' au dessus de \tau', on aura nécessairement \begin{cases} \tilde{\tau}'(\tilde{\rho}) = \tilde{\rho}^{-1}, \quad \tilde{\tau}'(\tilde{\sigma}) = \tilde{\sigma}^{-1}, \quad \tilde{\tau}'^{\,2} = 1 \\ \tilde{\tau}'(\tilde{\omega}_0) = \tilde{\omega}_0^{-1}, \quad \tilde{\tau}'(\ell'_0) = \ell_0'^{\,-1} \end{cases} à droite, après un trait : NB on peut faire

~~On posera~~

On pose \tilde{\varepsilon}_0 = \tilde{\sigma}\tilde{\rho}, \qquad \tilde{\varepsilon}_1 = \tilde{\rho}(\tilde{\varepsilon}_0) = \tilde{\sigma}^{-1}(\varepsilon_0) = \tilde{\sigma}(\varepsilon_0) = \tilde{\rho}\tilde{\sigma} de sorte qu'on a \tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0 = \tilde{\rho}\tilde{\sigma}^2\tilde{\rho} = \tilde{\rho}^{-1} \qquad (\text{car } \tilde{\sigma}^2 = \tilde{\rho}^{-3}), \ \text{donc} \tilde{\rho} = (\tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0)^{-1} = \tilde{\varepsilon}_0^{-1}\tilde{\varepsilon}_1^{-1}, \qquad \tilde{\sigma} = \tilde{\rho}^{-1}\tilde{\varepsilon}_1 = \tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1 = \tilde{\varepsilon}_0\tilde{\rho}^{-1} = \tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0

\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} \ \left|\ \begin{aligned} &\tilde{\rho}, \tilde{\sigma} : && \tilde{\rho}^3\tilde{\sigma}^2 = 1 \\ &\tilde{\varepsilon}_0, \tilde{\varepsilon}_1 : && \boxed{\tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0 = \tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1} \end{aligned} \right. avant la relation encadrée, une première forme, (\dots)^3 = (\tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1) ou approchant, est biffée de hachures.

\mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} \ \left|\ \begin{aligned} &\tilde{\rho}, \tilde{\sigma}, \tilde{\tau}' = \tilde{\Gamma}_0 && \tilde{\Gamma}_0^{2} = \tilde{\rho}^3\tilde{\sigma}^2 = 1, \ \tilde{\Gamma}_0(\tilde{\rho}) = \tilde{\rho}^{-1}, \ \tilde{\Gamma}_0(\tilde{\sigma}) = \tilde{\sigma}^{-1} \\ &\tilde{\varepsilon}_0, \tilde{\varepsilon}_1, \tilde{\Gamma}_0 && \tilde{\Gamma}_0^{2} = 1, \ \tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0 = \tilde{\varepsilon}_1\tilde{\varepsilon}_0\tilde{\varepsilon}_1, \\ & && \tilde{\Gamma}_0(\tilde{\varepsilon}_0) = \tilde{\varepsilon}_1^{-1}, \ \tilde{\Gamma}_0(\tilde{\varepsilon}_1) = \tilde{\varepsilon}_0^{-1} \\ &\tilde{\Gamma}_0, \tilde{\Gamma}_1, \tilde{\Gamma}_\infty && \tilde{\Gamma}_0^2 = \tilde{\Gamma}_1^2 = \tilde{\Gamma}_\infty^2 = (\Gamma_1\Gamma_0)^3(\Gamma_0\Gamma_\infty)^{2} = 1 \end{aligned} \right. le « 2 » de \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})^{\sim} est écrit sur un autre chiffre ; devant la première relation, une surcharge biffée. L'exposant de (\Gamma_0\Gamma_\infty) est lu 2 (peut-être -2).

\begin{aligned} &\tilde{\varepsilon}_i \ (i \in \{0,1,\infty\}) \quad \rho(\tilde{\varepsilon}_i) = \tilde{\varepsilon}_{i+1} &\quad& \tilde{\ell}_i = \tilde{\varepsilon}_i^{\,2}, \ \rho(\tilde{\ell}_i) = \tilde{\ell}_{i+1} \\ &\tilde{\sigma}_i \ (i \in \{0,1,\infty\}) \quad \rho(\tilde{\sigma}_i) = \tilde{\sigma}_{i+1} = \tilde{\ell}_{i-1}\tilde{\varepsilon}_{i+1} && \tilde{\sigma}_i^{\,2} = \tilde{\rho}^{-3} = \tilde{\omega}_0, \quad \tilde{\sigma}_i^{\,4} = \tilde{\rho}^{-6} = \ell'_0 \end{aligned} \tilde{\varepsilon}_i = \tilde{\sigma}_{i-1}\tilde{\rho} = \tilde{\rho}\tilde{\sigma}_{i+1} \tilde{\sigma}_i\tilde{\sigma}_{i+1} = \tilde{\omega}_0\tilde{\rho}\tilde{\ell}_i = \tilde{\omega}_0\tilde{\ell}_{i+1}\tilde{\rho} \qquad \tilde{\sigma}_i(\tilde{\rho}) = \tilde{\rho}^{-1}\tilde{\lambda}_{i-1} = \tilde{\omega}_0^{-1}\tilde{\rho}^{-1}\tilde{\ell}_{i-1} \tilde{\ell}_\infty\tilde{\ell}_1\tilde{\ell}_0 = \tilde{\omega}_0 \quad \text{i.e.} \quad \tilde{\lambda}_\infty\tilde{\lambda}_1\tilde{\lambda}_0 = \tilde{\omega}_0^{-2} = \ell_0'^{\,-1} \quad (\text{où } \tilde{\lambda}_i = \tilde{\omega}_0^{-1}\tilde{\ell}_i) \text{i.e.} \quad \tilde{\lambda}_0^{-1}\tilde{\lambda}_1^{-1}\tilde{\lambda}_\infty^{-1} = \ell'_0 les tildes de cette page sont posés de façon irrégulière ; on les restitue là où la page les porte nettement. Les lettres \ell, \lambda des dernières lignes sont mal distinctes, et une lettre biffée sépare \tilde{\rho}^{-1} de \tilde{\lambda}_{i-1}.

\tilde{\rho}^{3}(\tilde{\tau}'_\infty) = \text{\struck{\ill{}}}\,, \qquad \tilde{\omega}_0^{-1}(\tilde{\tau}'_\infty) = \ell_0'^{\,-1} \cdot \tilde{\tau}'_\infty La suite bi-infinie des \tilde{\rho}^{n}(\tilde{\tau}'_\infty) (n \in \mathbb{Z}) prennent injectivement l'une des relevés de \{\tau'_\infty, \tau'_0, \tau'_1\}. Idem pour (\tau_\infty, \tau_0, \tau_1).

\begin{cases} \tilde{\Gamma}_0(\tilde{u}) = \tilde{v} \\ \tilde{\Gamma}_0(\tilde{v}) = \tilde{u} \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{\Gamma}_\infty(\tilde{u}) = \tilde{u}^{-1} \\ \tilde{\Gamma}_\infty(\tilde{v}) = \tilde{u}(\tilde{v}) \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{\Gamma}_1(\tilde{u}) = \tilde{u}^{-1} \\ \tilde{\Gamma}_1(\tilde{v}) = \tilde{u}\tilde{v} \end{cases} \begin{cases} \tilde{\rho}(\tilde{u}) = \tilde{v}^{-1} \\ \tilde{\rho}(\tilde{v}) = \tilde{v}\tilde{u} \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{\varepsilon}_0(\tilde{u}) = \tilde{u} \\ \tilde{\varepsilon}_0(\tilde{v}) = \tilde{v}\tilde{u}^{-1} \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{\sigma}(\tilde{u}) = \tilde{u}(\tilde{v}) \\ \tilde{\sigma}(\tilde{v}) = \tilde{u}^{-1} \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{\varepsilon}_1(\tilde{u}) = \tilde{u}\tilde{v} \\ \tilde{\varepsilon}_1(\tilde{v}) = \tilde{v} \end{cases} le reste de la page est blanc. Le sens de « \tilde{u}(\tilde{v}) » (action, ou produit avec parenthèse) n'est pas fixé par la page.

\boxed{\mathfrak{S}_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Gl}(2,\hat{\mathbb{Z}})'} \qquad \boxed{\mathfrak{S}^{+}_{0,3} \simeq \mathrm{Sl}(2,\hat{\mathbb{Z}})'} \qquad \text{formulaire (1981)} la lettre \mathfrak{S} rend une majuscule gothique ; le chapeau de \hat{\mathbb{Z}} est clair dans le premier encadré, moins dans le second. Les astérisques en marge de certaines lignes sont de lui.

\begin{aligned} &{*}\ \rho = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \rho^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &\quad& \rho^3 = -1 \ \text{i.e.}\ \rho^2 = -\rho^{-1} \qquad \rho^6 = 1 \\ &{*}\ \sigma_\infty = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} && \sigma_i^2 = -1 \ \text{i.e.}\ \sigma_i^{-1} = -\sigma_i \qquad \sigma_i^4 = 1 \\ &\phantom{*}\ \sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \\ &\phantom{*}\ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} && \rho\sigma_i\rho^{-1} = \sigma_{i+1} \qquad \sigma_i\sigma_{i+1} = \rho\ell_i = -\ell_{i+1}\rho \end{aligned} \begin{cases} \rho(\sigma_i) = \sigma_{i+1} = \ell_{i-1}\varepsilon_{i+1} \\ \sigma_i(\rho) = \rho^{-1}\lambda_{i-1} \end{cases} dans \rho = \dots, une flèche est biffée avant le signe = ; dans \sigma_i^2 = -1, le signe est écrit sur un autre. L'accolade ci-dessus est d'une encre plus foncée, ajoutée.

\left| \begin{aligned} &{*}\ \varepsilon_0 = \sigma_\infty\rho = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 + N_0 &\quad& \ell_0 = \varepsilon_0^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &{*}\ \varepsilon_1 = \rho\sigma_\infty = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 + N_1 && \ell_1 = \varepsilon_1^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ &\phantom{*}\ \varepsilon_\infty = \rho^2\sigma_\infty\rho^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 1 + N_\infty && \ell_\infty = \varepsilon_\infty^2 = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} \right. dans la marge gauche, d'une autre encre : N_0 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, N_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, N_\infty = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \rho\varepsilon_i\rho^{-1} = \varepsilon_{i+1}, \qquad \rho\ell_i\rho^{-1} = \ell_{i+1} \ell_\infty\ell_1\ell_0 = -1 \quad \text{i.e.} \quad \lambda_\infty\lambda_1\lambda_0 = 1 \quad (\lambda_i = -\ell_i), \qquad \varepsilon_i = \sigma_{i-1}\rho = \rho\sigma_{i+1}

\begin{aligned} &{*}\ \tau_\infty = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & +1 \end{pmatrix} &\quad& \tau_i^2 = 1 \\ &\phantom{*}\ \tau_0 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} && \tau_i\tau_{i+1} = -\ell_{i+2} \ \text{i.e.} \ \begin{cases} \tau_1\tau_0 = -\ell_\infty \\ \tau_\infty\tau_1 = -\ell_0 \\ \tau_0\tau_\infty = -\ell_1 \end{cases} \\ &\phantom{*}\ \tau_1 = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} && \rho\tau_i\rho^{-1} = \tau_{i+1} \end{aligned} les matrices de \tau_0 et \tau_1 sont lues telles qu'écrites (\tau_0 : -1, 0 / -2, -1 ; \tau_1 : -1, -2 / 0, -1) ; elles ne sont pas d'ordre 2, et ne s'accordent pas avec la version de 1982 (p. 29). Dans \tau_i\tau_{i+1} = -\ell_{i+2} l'indice est lu d'après les trois relations explicites ; une première colonne des mêmes relations est biffée de hachures.

\begin{aligned} &{*}\ \tau'_\infty = \text{\struck{\ill{}}}\,\sigma_\infty\tau_\infty = +\tau_\infty\sigma_\infty = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &{*}\ \tau'_0 = -\sigma_0\tau_0 = +\tau_0\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &\phantom{*}\ \tau'_1 = -\sigma_1\tau_1 = +\tau_1\sigma_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \qquad \begin{cases} \tau_i'^{\,2} = 1 \\ \rho\tau'_i\rho^{-1} = \tau'_{i+1} \\ \tau'_0\tau'_1 = \tau'_1\tau'_\infty = \tau'_\infty\tau'_0 = -\rho \\ \tau'_i(\rho) = \rho^{-1} \quad \tau'_i(\sigma_i) = \tau_i(\sigma_i) = \sigma_i^{-1} = -\sigma_i \end{cases} , \tau_i(\varepsilon_j) = \varepsilon_j^{-1} si i \neq j \left. \begin{aligned} \tau_i(\sigma_i) &= \sigma_i^{-1} = -\sigma_i \\ \tau_i(\rho) &= -\ell_{i-1}^{-1}\rho = \sigma_i(\rho^{-1}) \end{aligned} \right| \quad \begin{cases} \tau'_i = -\sigma_i\tau_i = +\tau_i\sigma_i \\ \tau_i = \tau'_i\sigma_i = +\sigma_i\tau'_i \\ \sigma_i = -\tau'_i\tau_i = +\tau_i\tau'_i \end{cases} dans la deuxième ligne de droite, des signes sont surchargés et biffés ; la lecture retenue est conjecturale.

\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}) présenté par (NB \sigma = \sigma_\infty) \boxed{\begin{cases} \sigma^4 = \rho^6 = 1 \\ \sigma^2 = \rho^3 \end{cases}} \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}) présenté par \boxed{\begin{cases} \Gamma_0^2 = \Gamma_1^2 = \Gamma_\infty^2 = 1 \\ (\Gamma_0\Gamma_\infty)^4 = (\Gamma_1\Gamma_0)^6 = 1 \\ (\Gamma_0\Gamma_\infty)^2 = (\Gamma_1\Gamma_0)^3 \end{cases}} \qquad \simeq \ D_6 \amalg_{D_2} D_4 les indices des \Gamma dans l'encadré sont repassés à l'encre foncée sur d'autres.

\begin{cases} \Gamma_0(\sigma_\infty) = \sigma_\infty^{-1} \\ \Gamma_0(\rho) = \rho^{-1} \\ \Gamma_1 = \rho^{-1}\Gamma_0 = \Gamma_0\rho \\ \Gamma_\infty = \sigma\Gamma_0 = \Gamma_0\sigma^{-1} \end{cases}

NB \begin{cases} \ell'_0 = \varepsilon_0, \ \ell'_1 = (-\sigma_\infty), \ \ell'_\infty = \rho^{-1} \\ \ell'_\infty\ell'_1\ell'_0 = 1 \end{cases} \qquad \Gamma_0 = \tau'_\infty, \ \Gamma_1 = -\tau'_0, \ \Gamma_\infty = \tau_\infty \begin{cases} \tau_\infty\tau'_0 = \varepsilon_0 \\ \tau'_\infty\tau_\infty = -\sigma_\infty \\ (-\tau'_0)\tau'_\infty = \rho^{-1} \end{cases} \ \text{i.e.} \ \begin{cases} \Gamma_\infty\Gamma_1 = \ell'_0 \\ \Gamma_0\Gamma_\infty = \ell'_1 \\ \Gamma_1\Gamma_0 = \ell'_\infty \end{cases} d'une encre pâle, avec une flèche vers ces lignes : « attention aux signes ! » (-\sigma_\infty) est écrit au-dessus d'une valeur biffée ; dans la troisième ligne de gauche, la valeur biffée avant \rho^{-1} est illisible. Un mot biffé suit l'accolade.

\begin{cases} \tau_i(\varepsilon_j) = \varepsilon_j^{-1} \ \text{si } i \neq j \\ \tau'_i(\varepsilon_{i+1}) = \varepsilon_{i-1}^{-1} \\ \sigma_i(\varepsilon_{i+1}) = \varepsilon_{i-1} \end{cases} \qquad \begin{cases} \sigma_i(\ell_{i+1}) = \ell_{i-1} \\ \sigma_i(\ell_{i-1}) = \ell_{i+1} \end{cases} \sigma_i(\ell_i) = -(\ell_{i+1}\ell_{i-1})^{-1} \ (\text{attention aux signes !}) \begin{cases} \tau'_i(\ell_{i-1}) = \ell_{i+1}^{-1} \\ \tau'_i(\ell_{i+1}) = \ell_{i-1}^{-1} \end{cases} \ \tau'_i(\ell_i) = \ell_i^{-1} \qquad \begin{cases} \tau_i(\ell_{i-1}) = \ell_{i-1}^{-1} \\ \tau_i(\ell_{i+1}) = \ell_{i+1}^{-1} \end{cases} \ \tau_i(\ell_i) = -(\ell_{i-1}^{-1}\ell_{i+1}^{-1})^{-1} = -\ell_{i+1}\ell_{i-1} en bas à droite, encre pâle : « attention aux signes ! » les deux dernières lignes sont d'une encre pâle, très serrées ; les indices sont lus en partie par symétrie.

[\ell_0, \ell_1] = [\lambda_0, \lambda_1] = (\sigma_\infty(\rho)\rho^{-1})^3 \qquad \sigma_\infty(\rho)\rho^{-1} = \ell_0\rho = \rho\ell_\infty [\sigma_\infty, \ell_\infty] = [\sigma_\infty, \lambda_\infty] = (\sigma_\infty(\rho^{-1})\rho)^3 = \mathrm{int}(\sigma)(\rho^{-1}) \cdot \underbrace{[\ell_0, \ell_1]}_{[\lambda_0, \lambda_1]} donc [\lambda_0, \lambda_1] = 1 \iff [\sigma_\infty, \ell_\infty] = 1 \iff (\underbrace{\sigma_\infty(\rho)\rho^{-1}}_{\ell_0\rho = \rho\ell_\infty})^3 = 1 le reste de la page est blanc. La lettre lue \rho dans « \sigma_\infty(\rho) » est tracée comme un \varphi ; la lecture suit la formule de la p. 33 (\sigma_i(\rho) = \rho^{-1}\lambda_{i-1}).

(1) \varepsilon_0, \varepsilon_1 \in H (gén. du groupe H) tels que \boxed{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1} \quad (*) après (*), une formule biffée, dont on lit la fin \dots\varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1.

On pose \begin{cases} \sigma = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 \ (= \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1) \\ \rho'_0 = \sigma\varepsilon_0 = \dots = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^2 \\ \rho'_1 = \sigma\varepsilon_1 = \varepsilon_0\sigma = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^2 \\ \rho_0 = \sigma^{-1}\varepsilon_0 = \varepsilon_1\sigma^{-1} \ (= \varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1^{-1} = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1}) \\ \rho_1 = \varepsilon_0\sigma^{-1} = \sigma^{-1}\varepsilon_1 \ (= \varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1} = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^{-1}) \end{cases} dans les lignes de \rho'_0 et \rho'_1, des égalités intermédiaires sont biffées de hachures ; on garde ce qui reste lisible. Le premier membre de \varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1^{-1} est suivi d'un signe empâté. La première lettre, \rho_0, est tracée en boucle, comme le \varrho de la p. 29 ; on la rend \rho ici, la page n'opposant plus deux lettres. Dans le crochet qui suit, la relation \rho_0 = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1} et la définition \rho_0 = \sigma^{-1}\varepsilon_0 ne s'accordent que si \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 = \sigma, ce qui est (*).

[donc \sigma(\varepsilon_0) = \varepsilon_1, \sigma(\varepsilon_1) = \varepsilon_0, \sigma^2 \in \operatorname{Centre}(H), \operatorname{int}(\sigma) = \operatorname{int}(\sigma^{-1})] à droite, un petit schéma : \rho_0, \rho'_0 \rho_1, \rho'_1 ; au-dessous \sigma ; au-dessous \varepsilon_0 \varepsilon_1

Alors ~~\sigma = \varepsilon_0\rho_0~~

\text{(a)} \quad \begin{cases} \boxed{\begin{aligned} &\sigma(\varepsilon_0) = \varepsilon_1, \quad \sigma(\varepsilon_1) = \varepsilon_0 \\ &\sigma(\rho_0) = \rho_1, \quad \sigma(\rho_1) = \rho_0 \end{aligned}} \\ \sigma(\rho'_0) = \rho'_1, \quad \sigma(\rho'_1) = \rho'_1 \end{cases} en biais devant l'accolade : « conj. par \sigma » la dernière égalité porte bien \sigma(\rho'_1) = \rho'_1 sur la page ; on attendrait \rho'_0.

(NB la première des cinq relations équivaut à (*), et elles impliquent [la seconde ] \sigma^2 commute : \varepsilon_0, \varepsilon_1, donc au groupe engendré donc à H engendré par \varepsilon_0, \varepsilon_1) \forall h \in H, on a aussi \sigma(h) = \sigma^{-1}(h) la reconstitution de cette parenthèse, à deux insertions croisées, est conjecturale.

\text{(a')} \quad \begin{cases} \rho_0(\varepsilon_0) = \rho'_0(\varepsilon_0) = \varepsilon_1 \\ \rho_1(\varepsilon_1) = \rho'_1(\varepsilon_1) = \varepsilon_0 \\[4pt] \varepsilon_0(\rho_0) = \rho_1, \quad \varepsilon_0(\rho'_0) = \rho'_1 \\ \varepsilon_1(\rho_1) = \rho_0, \quad \varepsilon_1(\rho'_1) = \rho'_0 \end{cases} en biais devant l'accolade : « conj. par \rho_i, \rho'_i » et « conj. par \varepsilon_i »

\text{(b)} \quad \begin{aligned} &\rho_0 = \sigma^{-1}\varepsilon_0 = \varepsilon_1\sigma^{-1}, \quad \rho_1 = \sigma^{-1}\varepsilon_1 = \varepsilon_0\sigma^{-1} \\ &\rho'_0 = \sigma\varepsilon_0 = \varepsilon_1\sigma, \quad \rho'_1 = \sigma\varepsilon_1 = \varepsilon_0\sigma \end{aligned} \ \left|\ \text{$\rho_i, \rho'_i$ en termes de $\sigma$, $\varepsilon$.}\right.

~~(c) \rho'_0 = \rho_0^{-2}, \rho'_1 = \rho_1^{-2} \rho_0'^{\,-1}\rho_0 = \rho_0^3 : \varepsilon_0 \rho_1'^{\,-1}\rho_1 = \rho_1^3 \varepsilon_1)~~ \text{(c)} \quad \rho_0^{-3} = \rho_1^{-3} = \sigma^{2} \ \Big(\overset{\mathrm{def}}{=} \omega \in Z(H)\Big) \text{(d)} \quad \rho'_0 = \rho_0^{-2} = \omega\rho_0, \quad \rho'_1 = \rho_1^{-2} = \omega\rho_1 \qquad [\text{donc } \operatorname{int}(\rho_i) = \operatorname{int}(\rho'_i) = \operatorname{int}(\rho_i)^{-2}] \text{d'où} \quad \rho_0 = \omega^{-1}\rho'_0 \ (= \rho'_0\omega^{-1}), \quad \rho_1 = \omega^{-1}\rho'_1 = \rho'_1\omega^{-1} dans (c), l'exposant de \sigma est un 2 appuyé sur un autre chiffre, et le \omega est écrit sur une lettre biffée. Dans (d), un signe est empâté avant \rho_0^{-2}, et une amorce biffée suit la ligne.

NB Il vaut mieux au début ne pas introduire \rho'_0, \rho'_1, qu'on a : ce qui fera des données un formulaire complémentaire très encombrant

(Juin 1983)

feuillet numéroté (2) par l'auteur, à la suite de la p. 35 (numérotée (1)).

(e) [\varepsilon_0, \varepsilon_1] \sigma = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1, \quad \rho_0 = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1}, \ \rho_1 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^{-1}, \quad \rho'_0 = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^2, \ \rho'_1 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^2 relation fondamentale \boxed{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \quad \text{ou} \quad \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1^{-1}\varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1^{-1} = 1}

(f_0) [\sigma, \varepsilon_0] \varepsilon_1 = \sigma(\varepsilon_0) = \sigma\varepsilon_0\sigma^{-1}, \quad \boxed{\begin{aligned} \rho_0 &= \sigma^{-1}\varepsilon_0 \\ \rho_1 &= \varepsilon_0\sigma^{-1} \end{aligned}}, \ \begin{aligned} \rho'_0 &= \sigma\varepsilon_0 \\ \rho'_1 &= \varepsilon_0\sigma \end{aligned} \qquad \boxed{\begin{aligned} &[\sigma^2, \varepsilon_0] = 1 \\ &(\sigma^{-1}\varepsilon_0)^3 = \sigma^{-2} \end{aligned}} l'exposant -2 du dernier \sigma est écrit sur un autre chiffre.

Symétriques pour expressions en \sigma, \varepsilon_1 (relations f_1)

(g_0) [\sigma, \rho_0] \varepsilon_0 = \sigma\rho_0, \ \varepsilon_1 = \rho_0\sigma, \quad \rho'_0 = \rho_0^{-2}, \quad \rho_1 = \sigma(\rho_0) = \sigma\rho_0\sigma^{-1}, \rho'_1 = \sigma(\rho_0^{-2}) = \sigma\rho_0^{-2}\sigma^{-1} \qquad \boxed{\rho_0^{-3} = \underbrace{\sigma^{2}}_{\omega}} élément nécessairement central l'accolade marquée \omega est sous \rho_0^{-3} sur la page ; un mot biffé suit \rho_0^{-2}.

Symétriques pour expressions en \sigma/\rho_1 (relations g_1)

(g'_0) [\sigma, \rho'_0] \varepsilon_0 = \sigma^{-1}\rho'_0, \ \varepsilon_1 = \rho'_0\sigma^{-1}, \quad \rho_0 = \sigma^{-2}\rho'_0, \quad \rho_1 = \sigma^{-1}\rho'_0\sigma^{-1} =, \quad \rho'_1 = \sigma\rho'_0\sigma^{-1} \qquad \boxed{\begin{aligned} &[\sigma^2, \rho'_0] = 1 \ \text{et} \\ &\rho_0'^{\,3} = \sigma^4 \end{aligned}}

Symétriques pour expressions en \sigma, \rho'_1 (relations g'_1)

(h_0) [\varepsilon_0, \rho_0] \varepsilon_1 = \rho_0(\varepsilon_0) = \rho_0\varepsilon_0\rho_0^{-1}, \quad \sigma = \varepsilon_0\rho_0^{-1}, \quad \rho'_0 = \rho_0^{-2}, \rho_1 = \varepsilon_0(\rho_0) = \varepsilon_0\rho_0\varepsilon_0^{-1}, \quad \rho'_1 = \varepsilon_0(\rho_0^{-2}) = \varepsilon_0\rho_0^{-2}\varepsilon_0^{-1} \boxed{\rho_0\varepsilon_0\rho_0^{-1}\varepsilon_0\rho_0 = 1} l'encadré est doublé d'un cadre en pointillés, comme provisoire. Les crochets [\dots] rendent les paires de générateurs qu'il inscrit dans la marge gauche, en regard de chaque cas.

Symétriques pour expressions en \varepsilon_1, \rho_1 (relations h_1) (à suivre !)

feuillet numéroté 3 par l'auteur. Une longue flèche, dans la marge, remonte du cas (h'_0) vers le cas (i_0), qui ouvre la page.

(i_0) [\varepsilon_0, \rho'_0] \varepsilon_1 = \rho'_0(\varepsilon_0) = \rho'_0\varepsilon_0\rho_0'^{\,-1}, \quad \sigma = \rho'_0\varepsilon_0^{-1}, \quad \rho_0 = \varepsilon_0\rho_0'^{\,-1}\varepsilon_0, \quad \rho_1 = \varepsilon_0^2\rho_0'^{\,-1}, \quad \rho'_1 = \varepsilon_0\rho'_0\varepsilon_0^{-1} \boxed{\begin{aligned} &\rho'_0 = (\rho'_0(\varepsilon_0)\varepsilon_0)^2 \\ &\quad \text{i.e.} \ \rho'_0 = (\rho'_0\varepsilon_0\rho_0'^{\,-1}\varepsilon_0)^2 \\ &\text{et} \ [\rho_0'^{\,3}, \varepsilon_0] = 1 \end{aligned}} dans le crochet de la dernière ligne, un premier signe et un groupe après \rho_0'^{\,3} sont biffés de hachures. L'indice du cas, cerclé, est écrit sur une lettre empâtée.

NB On peut se borner à la seule équation abracadabrante : \underbrace{\rho'_0\varepsilon_0\rho_0'^{\,-1}\varepsilon_0\rho'_0}\varepsilon_0\underbrace{\rho_0'^{\,-1}\varepsilon_0^{-1}\rho'_0\varepsilon_0^{-1}\rho_0'^{\,-1}}\varepsilon_0^{-1} = 1 i.e. [\underbrace{\rho'_0\varepsilon_0\rho_0'^{\,-1}\varepsilon_0\rho'_0}, \varepsilon_0] = 1 qui implique \rho'_0 = (\rho'_0(\varepsilon_0)\varepsilon_0)^2 donc (\rho'_0(\varepsilon_0)\varepsilon_0)^3 une flèche marquée « = » va de l'accolade du crochet vers (\rho'_0(\varepsilon_0)\varepsilon_0)^3 ; le premier symbole de l'équation, devant \rho'_0, est biffé. L'exposant de \rho'_0 dans « qui implique » est écrit sur un autre.

Sym. pour expressions en \varepsilon_1, \rho'_1 (relations (j_1))

(h'_0) [\varepsilon_0, \rho_1] \varepsilon_1 = \rho_1^{-1}(\varepsilon_0) = \rho_1^{-1}\varepsilon_0\rho_1, \quad \sigma = \rho_1^{-1}\varepsilon_0, \quad \rho_0 = \varepsilon_0^{-1}(\rho_1) = \varepsilon_0^{-1}\rho_1\varepsilon_0, \rho'_0 = \text{\struck{\ill{}}} = \varepsilon_0^{-1}(\rho_1^{-2}) = \varepsilon_0^{-1}\rho_1^{-2}\varepsilon_0, \quad \rho'_1 = \rho_1^{-2} \qquad \boxed{\rho_1\varepsilon_0\rho_1^{-1}\varepsilon_0\rho_1 = 1} en biais dans la marge gauche : (Le cas (h'_0) se déduit de (h_0) par conjugaison par \varepsilon_0) ; NB Il vaut mieux prendre \varepsilon_1, \rho_0 l'étiquette du cas, cerclée, est écrite à côté d'une autre biffée ; dans la première formule, l'indice de \varepsilon est corrigé (1 en 0 ?). L'encadré est doublé de pointillés.

Symétriques pour expressions en (\varepsilon_1, \rho_0) (relations h'_1)

(j'_0) [\varepsilon_0, \rho'_1] \varepsilon_1 = \rho_1'^{\,-1}(\varepsilon_0) = \rho_1'^{\,-1}\varepsilon_0\rho'_1, \quad \sigma = \varepsilon_0^{-1}\rho'_1, \quad \rho_1 = \varepsilon_0\rho_1'^{\,-1}\varepsilon_0, \rho'_0 = \varepsilon_0^{-1}(\rho'_1) = \varepsilon_0^{-1}\rho'_1\varepsilon_0, \quad \rho_0 = \rho_1'^{\,-1}\varepsilon_0^2 \boxed{\begin{aligned} &\rho'_1 = (\rho'_1(\varepsilon_0)\varepsilon_0)^2 \\ &\quad \text{i.e.} \ \rho'_1 = (\rho'_1\varepsilon_0\rho_1'^{\,-1}\varepsilon_0)^2 \\ &\text{et} \ [\rho_1'^{\,3}, \varepsilon_0] = 1 \end{aligned}}

Symétriques pour expressions en (\varepsilon_1, \rho'_0) (relations i'_0) l'étiquette de ce cas est lue « j'_0 » ; la page annonce pourtant, au bas, les relations « i'_0 » pour la paire symétrique, et le cas du haut est désigné « i_0 » dans le cercle mais « j_1 » dans son renvoi. On transcrit les étiquettes telles qu'elles sont lues.

feuillet numéroté 4 par l'auteur.

NB Dans cette présentation, symétrie évidente par deux aut. involutifs de H \begin{aligned} &1^\circ)\ g \mapsto \check{g} \ (\text{antiaut.}) &\ \Big|\ & \varepsilon_0 \mapsto \varepsilon_0^{-1}, \ \varepsilon_1 \mapsto \varepsilon_1^{-1}, \quad \sigma \mapsto \sigma^{-1}, \\ & & & \rho_0 \mapsto \rho_1^{-1}, \ \rho_1 \mapsto \rho_0^{-1}, \quad \rho'_0 \mapsto \rho_1'^{\,-1}, \ \rho'_1 \mapsto \rho_0'^{\,-1} \\ &2^\circ)\ g \mapsto g^{*} = \operatorname{int}(\sigma) &\ \Big|\ & \varepsilon_0 \mapsto \varepsilon_1, \ \varepsilon_1 \mapsto \varepsilon_0, \quad \sigma \mapsto \sigma, \\ & & & \rho_0 \mapsto \rho_1, \ \rho_1 \mapsto \rho_0, \quad \rho'_0 \mapsto \rho'_1, \ \rho'_1 \mapsto \rho'_0 \end{aligned} « antiaut. » est souligné deux fois sur la page.

Sa symétrie centrée sur \sigma ou (\varepsilon_0, \varepsilon_1), symétrie binaire (\sigma^2 \in \operatorname{Cent}(H)), devient si on centre la symétrie sur \rho \overset{\mathrm{def}}{=} \rho_0, on trouve une symétrie ternaire (\rho^3 \in \operatorname{Cent}(H)), avec \varepsilon_0, \quad \varepsilon_1 = \rho(\varepsilon_0), \quad \varepsilon_\infty = \rho(\varepsilon_1) = \rho^2(\varepsilon_0) éléments circulairement permutés par \operatorname{int}(\rho),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large] & \varepsilon_\infty \arrow[dl, no head, "\sigma_1"'] & \\ \varepsilon_0 \arrow[rr, "\sigma_\infty"'] & & \varepsilon_1 \arrow[ul, "\sigma_0"'] \end{tikzcd}

\begin{aligned} \sigma_1 &= \varepsilon_\infty\varepsilon_0\varepsilon_\infty = \varepsilon_0\varepsilon_\infty\varepsilon_0, \qquad \sigma_0 = \varepsilon_1\varepsilon_\infty\varepsilon_1 = \varepsilon_\infty\varepsilon_1\varepsilon_\infty, \\ \sigma_\infty &= \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \ (= \sigma) \end{aligned} \rho = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1} = (\varepsilon_\infty\varepsilon_1)^{-1} = (\varepsilon_0\varepsilon_\infty)^{-1} les formules des \sigma_i sont écrites le long des côtés du triangle ; sur la page, le côté \varepsilon_0\varepsilon_1 porte une tête vers \varepsilon_1, le côté droit une tête vers \varepsilon_\infty, le côté gauche aucune. Sous \rho = \dots, un ensemble de formules est biffé d'un gribouillis.

NB Mais les éléments \rho_1 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^{-1} = \sigma_\infty(\rho), \quad (\varepsilon_1\varepsilon_\infty)^{-1} = \sigma_0(\rho) = \rho(\rho_1), \quad (\varepsilon_\infty\varepsilon_0)^{-1} = \sigma_1(\rho) = \rho^2(\rho_1) sont distincts

Les éléments essentiels du point de vue engendrement de ST_{11} semblent être finalement \varepsilon_0, \ \varepsilon_1, \ \sigma, \ \rho \ (= \rho_0) \qquad \left|\ \begin{aligned} &(\varepsilon_0, \varepsilon_1) \\ &(\varepsilon_0, \sigma) \leftrightarrow (\varepsilon_1, \sigma) \\ &(\varepsilon_0, \rho) \leftrightarrow (\varepsilon_1, \rho) \\ &(\sigma, \rho) \end{aligned} \right. plus l'élément \omega = \rho^{-3} = \sigma^2 (qu'ils engendrent) en biais à droite des couples : les quatre systèmes de gén. principaux de ST_{11} la lecture « ST_{11} » est sûre pour les lettres ; ce que le sigle désigne n'est pas expliqué sur ces pages. Dans le dernier mot de la marge, un mot est biffé.

feuillet numéroté 5 par l'auteur ; en haut à droite, une date entre parenthèses lue (1983), le premier chiffre empâté.

\begin{aligned} &(1)\ (\varepsilon_0, \varepsilon_1), &&\boxed{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1} &&\begin{cases} \sigma = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \\ \rho = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1} \end{cases} \\ &(2)\ (\varepsilon_0, \sigma), &&\boxed{[\sigma^2, \varepsilon_0] = 1, \ (\sigma^{-1}\varepsilon_0)^3 = \sigma^{-2}} &&\begin{cases} \varepsilon_1 = \sigma(\varepsilon_0) = \sigma\varepsilon_0\sigma^{-1} \\ \rho = \sigma^{-1}\varepsilon_0 \end{cases} \\ &(3)\ (\varepsilon_0, \rho) &&\boxed{\rho\varepsilon_0\rho^{-1}\varepsilon_0\rho = 1} &&\begin{cases} \varepsilon_1 = \rho(\varepsilon_0) = \rho\varepsilon_0\rho^{-1} \\ \sigma = \varepsilon_0\rho^{-1} \end{cases} \\ &(4)\ (\sigma, \rho) &&\boxed{\rho^{-3} = \sigma^2} &&\begin{cases} \varepsilon_0 = \sigma\rho \\ \varepsilon_1 = \rho\sigma \end{cases} \end{aligned} à droite de (2) : [sym. \varepsilon_0 = \sigma(\varepsilon_1) = \sigma\varepsilon_1\sigma^{-1}, \rho = \varepsilon_1\sigma^{-1}] ; à droite de (3) : [sym. \varepsilon_0 = \rho^{-1}(\varepsilon_1) = \rho^{-1}\varepsilon_1\rho, \sigma = \rho^{-1}\varepsilon_1] les encadrés de (1), (3), (4) sont doubles. Dans (3), \sigma = \varepsilon_0\rho^{-1} : l'indice de \rho est écrit sur une autre lettre.

tableau récapitulatif, encadré, séparé du haut de la page par un double trait : \left[\varepsilon_0, \varepsilon_1, \sigma, \rho\right] \quad \begin{array}{|l|l|} \hline \begin{aligned} &\varepsilon_0 = \sigma\rho, \quad \sigma = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \\ &\varepsilon_1 = \rho\sigma, \quad \rho = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1} = \varepsilon_0^{-1}\varepsilon_1^{-1} \\ &\sigma(\varepsilon_0) = \rho(\varepsilon_0) = \varepsilon_1 \\ &\sigma(\varepsilon_1) = \rho^{-1}(\varepsilon_1) = \varepsilon_0 \end{aligned} & \begin{aligned} &\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1 \\ &\rho^{-3} = \sigma^2 \ (\overset{\mathrm{def}}{=} \omega) \ \text{central} \\ &\rho\varepsilon_0\rho^{-1}\varepsilon_0\rho = 1 \end{aligned} \\ \hline \end{array} dans la marge du tableau, après \rho, un mot biffé. Dans \sigma(\varepsilon_1) = \rho^{-1}(\varepsilon_1), l'indice du second \varepsilon est écrit sur un autre.

Pour un formulaire plus complet, il faudrait a) Introduire aussi \varepsilon_\infty, les \ell_i = \varepsilon_i^2 (i \in \{0, 1, \infty\})

b) Introduire aussi les \tau_i (i \in \{0, 1, \infty\}) pour ST_{11}^{\pm}

c) Donner (pour la relation suppl. \omega^2 = 1) la représentation naturelle dans \mathrm{Gl}(2, \mathbb{Z}) l'exposant de ST_{11} dans b) est lu \pm ; il pourrait être \mathrm{I}.