Cote n° 144 · pages 1–183 · Lecture modernisée · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–182

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'a pas un argument unique : c'est une liasse de notes de travail, de plusieurs années et sur plusieurs papiers, réunies sous une chemise. Ses stations, dans l'ordre des feuillets :

• Conversations avec Deligne (pages 2 à 10). Onze points notés après deux entretiens (« 30.5 et 5.6 », vraisemblablement de 1981), puis une lettre de B. Mazur (pages 9 et 10), qu'on ne restitue pas.
• Les groupes fondamentaux des multiplicités modulaires (pages 12 à 27, 1982). Définitions et suites exactes ; torseurs attachés à une courbe pointée ; courbes sur un corps de type fini et sections ; « discrétifications ».
• Formulaires (pages 29 à 39). \(GL(2, \mathbb{Z})\) dans la version de 1982 (pages 29 et 30), son extension par \(\mathbb{Z}\) (31 et 32), la version de 1981 (33 et 34), les présentations du groupe des tresses (35 à 39, juin 1983).
• Point de vue transcendant pour \(M_{1,1}\) (pages 41 à 46).
• Rétrospection sur les cartes cellulaires (pages 49 à 100). Huit paragraphes numérotés de sa main, annoncés par une table (page 50).
• Calculs sur un revêtement double (pages 102 à 114), ses feuillets 11 à 16 ; puis la chemise « Calculs divers sur Teichmüller — Lettre Deligne sur groupes profinis » et deux lettres de Deligne (117 à 123), qu'on ne restitue pas.
• Diagrammes d'indices et le groupe \(\mathfrak{S}_{1,1}\) (pages 125 à 139).
• Le cylindre et le tore (pages 141 à 169).
• « Construction » (pages 172 à 176).
• Tours de groupes modulaires et courbes stables (pages 179 à 182).

Ce qui tient ces morceaux ensemble est la question posée aux pages 12 et 13 : le groupe de Galois \(\Gamma_{\mathbb{Q}} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) agit sur les groupes fondamentaux profinis des multiplicités modulaires, et l'on veut décrire ces groupes assez explicitement pour voir l'action. Les formulaires sont la description explicite du cas \((1,1)\) ; les cartes, celle du cas \((0,3)\) et de ses revêtements ; le cylindre et le tore, les briques dont on recolle les cas supérieurs ; les dernières pages, la combinatoire du bord. Les dossiers voisins du même ensemble ont été lus de la même façon : le groupe cartographique est esquissé aux pages 9 et 10 du dossier 141, et le dossier 145 (« Printemps 81 ») construit l'extension discrète \(\mathcal{E}\) de \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) par \(\pi_{0,3}\) et ses éléments \(\rho\), \(\sigma_i\), \(\varepsilon_i\), qui reviennent ici dans les formulaires.

Trois rédactions, trois conventions. Les formulaires de 1981, de 1982 et de juin 1983 ne nomment pas les mêmes matrices : \(\sigma_\infty\) de 1982 est l'inverse de celui de 1981, et les \(\tau_i\), les \(\varepsilon_i\) changent en conséquence. Grothendieck le dit lui-même (page 30, « Relations avec le formulaire 1981 »). Chaque formulaire est lu ici dans ses propres conventions, et l'on ne les fusionne pas. De même, la lettre \(\rho\) désigne à la fois la rotation d'ordre \(3\) (ou \(6\)) des formulaires et, avec un indice, les lacets \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty\) des cartes ; la distinction se lit à l'indice. La lettre bouclée \(\varrho_i\) du formulaire de 1982 est un troisième objet, le carré \(\varepsilon_i^2\).

Les conventions

Groupoïdes mixtes. Pour un groupe \(G\) opérant sur un espace \(X\), le groupoïde fondamental mixte \(\Pi_1(X, G)\) a pour objets les points de \(X\) ; une flèche \(x \to y\) est un couple \((\ell, g)\) formé de \(g \in G\) et d'une classe de chemins \(\ell : gx \to y\), et \[ (\ell', g')(\ell, g) = \bigl(\ell' \circ g'(\ell),\ g'g\bigr), \] les chemins se composant comme des fonctions (page 49). Le groupe \(\pi_1(X, G; x)\) des automorphismes de \(x\) est une extension de \(G\) par \(\pi_1(X, x)\) quand \(G\) est discret et opère proprement : c'est le groupe fondamental orbifold (ou équivariant) que le dossier 145 appelle « à la Malgoire »¹ . On écrit \(\mathrm{int}(g)(x) = g x g^{-1}\), souvent abrégé \(g(x)\) comme sur les pages, et \([x, y] = x y x^{-1} y^{-1}\).

Indices. Les indices \(i \in \{0, 1, \infty\}\) tournent circulairement, \(0 \mapsto 1 \mapsto \infty \mapsto 0\) ; \(i + 1\), \(i - 1\) s'entendent ainsi. \(\tau\) désigne la conjugaison complexe ; le module d'une courbe elliptique, que la page 41 note aussi \(\tau\), est écrit \(z\).

Groupes modulaires. Pour un type \((g, \nu)\), \(M_{g,\nu}\) est la multiplicité (le champ) des courbes lisses de genre \(g\) à \(\nu\) points marqués non ordonnés, \(\mathcal{X}_{g,\nu} \to M_{g,\nu}\) la courbe universelle privée des points marqués, \(X_{g,\nu}\) une fibre complexe. Avec les lettres de la page 12 : \[ \begin{gathered} \mathcal{T}^{+}_{g,\nu} = \pi_1(M^{\mathrm{an}}_{g,\nu}), \quad \mathfrak{S}^{+}_{g,\nu} = \pi_1(\mathcal{X}^{\mathrm{an}}_{g,\nu}), \quad \pi_{g,\nu} = \pi_1(X_{g,\nu}), \\ \mathcal{N}_{g,\nu} = \pi_1(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}}), \quad \mathcal{M}_{g,\nu} = \pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}}) . \end{gathered} \] \(\mathcal{T}^{+}_{g,\nu}\) est le groupe modulaire de Teichmüller (classes d'homéomorphismes directs permutant les \(\nu\) points) ; sans l'exposant \(+\), on admet les homéomorphismes qui renversent l'orientation. L'exposant \(!\) désigne la partie pure, celle qui ne permute pas les points marqués, comme au dossier 145. Les chapeaux désignent les complétés profinis. \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)\) est le groupe des automorphismes qui préservent les classes de conjugaison des sous-groupes d'inertie (les lacets autour des points marqués), aujourd'hui « préservant l'inertie »² , et \(\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}\) son quotient par les automorphismes intérieurs.

2–10

Conversations avec Deligne (pages 2 à 10)

Sous une chemise de sa main, « Discussion avec Deligne + lettre Barry Mazur », sept pages numérotent onze points notés après des « conversations avec Deligne du 30.5 et 5.6 ». Ce sont des notes d'écoute, souvent elliptiques ; on les restitue dans l'ordre.

1) et 2) Points fixes. Pour un groupe fini opérant sur une surface, la théorie de Smith (par les suites spectrales) montre que le lieu des points fixes est une variété homologique, donc localement connexe, donc connexe par arcs³ . En dimension \(3\), ce n'est plus vrai sans précaution : un exemple de Bing donne une involution dont le lieu fixe est sauvagement plongé (la sphère cornue d'Alexander)⁴ .

3) Actions sur les boules. Il doit exister des actions simpliciales de groupes finis sur \(B^n\) (pour \(n \geq 5\) ?) qui ne sont pas le cône d'une action sur la sphère bord ; cela tient à ce qu'une action d'un groupe fini sur une sphère, avec point fixe, n'est pas nécessairement conjuguée (topologiquement) à une action orthogonale. Il ajoute : « J'ai pas bien compris comment ».

4) Le groupe fondamental arithmétique d'une courbe. Pour décrire la structure « arithmétique » du groupe fondamental d'une courbe propre et lisse sur un corps algébriquement clos, il faudrait définir cohomologiquement les intersections de chemins ; la page dessine des chemins orientés entre points marqués qui se coupent.

5) Compactification. La compactification \(\widehat{M}_{g,\nu}\) des multiplicités modulaires classe les courbes \(X/S\) propres et plates, de présentation finie, à fibres géométriquement connexes et réduites n'ayant que des points doubles ordinaires, munies de \(\nu\) sections lisses, avec un groupe d'automorphismes fini — ce qui revient à demander que toute composante de genre \(0\) porte au moins trois points spéciaux (points marqués ou points d'intersection avec les autres composantes). C'est la compactification de Deligne et Mumford, qui reviendra aux pages 181 et 182. Il semble qu'on ait \(\pi_1(\widehat{M}_{g,\nu}) = 1\) pour \(g \geq 2\), et pour le genre \(1\) un groupe cyclique fini d'ordre divisant \(12\)⁵ . Les générateurs « twist » du groupe de Teichmüller sont les lacets autour des composantes irréductibles du bord.

6) Structure à l'infini. Pour un schéma lisse connexe \(X\) sur un corps algébriquement clos, plongé dans une compactification \(\widehat{X}\) de bord \(Y\), le noyau \(\pi_1^{\infty}(X)\) de \(\pi_1(X) \to \pi_1(\widehat{X})\) est le sous-groupe distingué fermé engendré par l'image du groupe fondamental du « voisinage épointé » de \(Y\) (le complété formel de \(\widehat{X}\) le long de \(Y\), privé de \(Y\)). Il faudrait expliciter ce groupe local et l'action de Galois dessus en termes combinatoires — en supposant \(Y\) à croisements normaux — et l'on doit pouvoir se ramener par récurrence à la dimension \(2\).

7) Points fixes dans l'espace de Teichmüller. On espère une métrique riemannienne intrinsèque sur l'espace de Teichmüller, qui permettrait, par l'existence et l'unicité des géodésiques, de prouver que tout groupe fini d'automorphismes a un point fixe ; Deligne pense que c'est vrai. Le dessin montre des orbites \(x_0, gx_0, \ldots, g^{N-1}x_0\) dont les polygones se resserrent vers un point fixe⁶ .

8) à 11). Mumford connaîtrait une présentation des groupes de Teichmüller par les générateurs habituels ; Bers établit la compactification par « chirurgie » des surfaces de Riemann. Le cône sur une variété compacte peut être une variété sans que la base soit une sphère : le groupe binaire de l'icosaèdre \(\Gamma \subset S^3\), d'ordre \(120\), a pour image \(\mathfrak{A}_5 \subset SO(3)\), et \(S^3/\Gamma \simeq SO(3)/\mathfrak{A}_5\) — l'espace des icosaèdres réguliers inscrits dans une sphère donnée — est une sphère d'homologie qui n'est pas une sphère ; sa suspension n'est pas une variété (aux deux pôles le groupe fondamental local est \(\Gamma\)), mais sa double suspension est une variété, homéomorphe à \(S^5\)⁷ . Pour donner des conditions locales sur un espace stratifié conique, il faudrait se placer dans le cadre PL plutôt que topologique. Les groupes d'automorphismes des « cartes » régulières simplement connexes, en toute dimension, sont des groupes de Coxeter ; d'après Deligne, ils figurent tous dans Bourbaki, les finis comme décompositions de sphères, les infinis — dans le cas où la forme invariante est hyperbolique — sur une composante de la sphère unité de la forme⁸ . Enfin, le lien entre l'icosaèdre et \(E_8\) : une forme quadratique de rang \(4\) sur l'anneau des entiers \(\mathbb{Z}[\alpha] = \mathbb{Z}[T]/(T^2 + T - 1)\) de \(\mathbb{Q}(\sqrt{5})\), composée avec la trace, donne la forme de \(E_8\), « mais attention : la ramification en \(5\) »⁹ .

Les pages 9 et 10 sont une lettre dactylographiée de Barry Mazur, avec un post-scriptum manuscrit ; la transcription la résume sans la transcrire. Selon cette notice, elle répond aux questions d'une lettre de Grothendieck — un contre-exemple de Deligne à une question sur les extensions de groupes finis, une involution de la boule à lieu fixe sauvage, les sous-groupes finis du groupe de Teichmüller — et fixe la date de sa visite ; le post-scriptum rapporte ce qu'en disent Siebenmann et Kravitz. On n'en dit pas davantage (RIGHTS.md).

12–27

Les groupes fondamentaux des multiplicités modulaires (pages 12 à 27)

12–13

Définitions et suites exactes (pages 12 et 13)

La page porte en marge « 1982 ». Soit \(\xi_0\) un point complexe de \(M_{g,\nu}\), c'est-à-dire une courbe complexe \(X_{g,\nu}\) de type \((g,\nu)\), et \(x_0\) un point de \(X_{g,\nu}\) ; ils définissent des points géométriques de \(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}}\) et de \(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}}\), et des points des espaces analytiques correspondants. Le groupe \(\mathfrak{S}^{+}_{g,\nu}\) s'identifie au groupe modulaire \(\mathcal{T}_{g,\nu+1,\nu}\) des surfaces à \(\nu + 1\) points dont \(\nu\) sont permutés et le dernier fixé — on a ajouté le point base de la fibre¹⁰ . On a les suites exactes \[ (2)\qquad 1 \to \pi_{g,\nu} \to \mathfrak{S}^{+}_{g,\nu} \to \mathcal{T}^{+}_{g,\nu} \to 1, \qquad (3)\qquad 1 \to \hat\pi_{g,\nu} \to \hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu} \to \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \to 1, \] la seconde complétée de la première, avec des flèches verticales vers \(1 \to \pi \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\pi) \to \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\pi)\). Dans le cas discret, ces flèches sont injectives¹¹ . Par les théorèmes de comparaison, \[ (4)\qquad \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \simeq \pi_1(M_{g,\nu\,\mathbb{C}}) \simeq \pi_1(M_{g,\nu\,\overline{\mathbb{Q}}}), \] et de même pour \(\hat{\mathfrak{S}}^{+}\) et \(\hat\pi\). La suite exacte d'homotopie pour \(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \to \operatorname{Spec}\mathbb{Q}\), dont les fibres géométriques sont connexes, donne le diagramme \[ (5)\qquad \begin{gathered} 1 \to \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \to \mathcal{N}_{g,\nu} \to \Gamma_{\mathbb{Q}} \to 1, \\ 1 \to \hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu} \to \mathcal{M}_{g,\nu} \to \Gamma_{\mathbb{Q}} \to 1, \end{gathered} \] où \(\mathcal{M}_{g,\nu} \to \mathcal{N}_{g,\nu}\) est surjectif de noyau \(\hat\pi_{g,\nu}\). Les groupes non pointés \(\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\), \(\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\) sont les images inverses de \(\{1, \tau\} \subset \Gamma_{\mathbb{Q}}\) : ce sont les groupes fondamentaux des multiplicités sur \(\mathbb{R}\), et ils contiennent les complétés des groupes modulaires étendus, qui admettent les renversements d'orientation. L'action sur les \(\nu\) points donne des morphismes vers \(\mathfrak{S}_\nu\), dont les noyaux sont les groupes purs \(\mathcal{T}^{+!}\), \(\mathcal{N}^{!}\), etc.

Comme \(\hat\pi_{g,\nu}\) est distingué dans \(\mathcal{M}_{g,\nu}\), l'action par conjugaison donne \[ (9)\qquad \mathcal{M}_{g,\nu} \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{g,\nu}), \qquad \mathcal{N}_{g,\nu} \to \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{g,\nu}), \] prolongeant (2) et (3). L'image \(\mathcal{M}'_{g,\nu}\) de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) normalise celle, \(\hat{\mathcal{T}}'_{g,\nu}\), du « Teichmüller profini », et le quotient \(\mathcal{M}'_{g,\nu}/\hat{\mathcal{T}}'_{g,\nu}\) est un quotient de \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\). Grothendieck note qu'on peut prouver que c'est \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\) lui-même pour \(g\) fixé et \(\nu\) grand, et pense que c'est toujours le cas. Pour \(g = 0\), le cas critique est \(\nu = 3\), et c'est le théorème de Belyi : \(\Gamma_{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{0,3})\). On a alors \[ \mathcal{N}_{0,3} \simeq \hat{\mathcal{T}}^{+}_{0,3} \times \mathcal{N}^{!}_{0,3}, \qquad \hat{\mathcal{T}}^{+}_{0,3} = \mathcal{T}^{+}_{0,3} = \mathfrak{S}_3, \qquad \mathcal{N}^{!}_{0,3} \simeq \Gamma_{\mathbb{Q}}, \] puisque \(M_{0,3}\) est le classifiant de \(\mathfrak{S}_3\) au-dessus de \(\mathbb{Q}\)¹² .

14–17

Une courbe pointée sur un corps algébriquement clos (pages 14 à 17)

Soit \(k\) une extension algébriquement close de \(\mathbb{Q}\), \(X\) une courbe de type \((g, \nu)\) sur \(k\), \(x \in X\). Ils définissent des points géométriques \(\xi\) de \(M_{g,\nu}\) et \(x\) de \(\mathcal{X}_{g,\nu}\), d'où des groupes \(\pi_{X,x}\), \(\mathfrak{S}_{X,x}\), \(\mathcal{T}_X\), \(\mathcal{M}_{X,x}\), \(\mathcal{N}_X\) (les mêmes que plus haut, avec ces points base) et un diagramme de suites exactes analogue à (5), où \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\) est remplacé par \(\Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\), \(\widetilde{\mathbb{Q}}\) désignant la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\)¹³ .

Un isomorphisme extérieur canonique \(\mathcal{M}_{X,x} \simeq \mathcal{M}_{g,\nu}\) (défini à automorphisme intérieur près) identifie les deux diagrammes ; il induit un isomorphisme \(\pi_{X,x} \simeq \hat\pi_{g,\nu}\) défini seulement modulo l'action de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\). C'est une structure supplémentaire sur le groupe profini \(\pi_{X,x}\) : une « arithmétisation », une réduction du groupe structural de \(\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)\) à l'image \(\mathcal{N}'_{g,\nu}\) de \(\mathcal{N}_{g,\nu}\). Plus finement, sans supposer \(\mathcal{N}_{g,\nu} \to \mathcal{N}'_{g,\nu}\) injectif, on a le torseur à droite sous \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) \[ (15)\qquad P_{X,x} = \mathrm{Isom}(x_0, x) \quad \text{dans le groupoïde fondamental de } \mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}}, \] et un morphisme \(P_{X,x} \to \mathrm{Isom}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{g,\nu}, \pi_{X,x})\) compatible à (9), d'où, en divisant par \(\hat\pi\), le torseur \(Q_X = P_{X,x}/\hat\pi \simeq \mathrm{Isom}(\xi_0, \xi)\) sous \(\mathcal{N}_{g,\nu}\) et \(Q_X \to \mathrm{Isomext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi, \pi_{X,x})\). Étendant le groupe structural de \(Q_X\) à \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\), on obtient un \(\Gamma_{\mathbb{Q}}\)-torseur canonique¹⁴ \[ (18)\text{--}(19)\qquad R_X = Q_X \wedge^{\mathcal{N}_{g,\nu}} \Gamma_{\mathbb{Q}} \simeq Q_X/\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \simeq \mathrm{Isom}(\overline{\mathbb{Q}}, \widetilde{\mathbb{Q}}) \simeq \{\text{plongements } \overline{\mathbb{Q}} \to k\}. \] Trivialiser \(R_X\) — réduire le groupe structural de \(Q_X\) à \(\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\), ou celui de \(P_{X,x}\) à \(\hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu}\) — revient donc à choisir un plongement \(\overline{\mathbb{Q}} \to k\).

Un plongement \(\varphi : k \hookrightarrow \mathbb{C}\) fait mieux : il réduit le groupe structural de \(P_{X,x}\) au groupe discret \(\mathfrak{S}^{+}_{g,\nu}\), et celui de \(Q_X\) à \(\mathcal{T}^{+}_{g,\nu}\) (on obtient des sous-torseurs \(P^{\varphi}_{X,x} \subset P_{X,x}\), \(Q^\varphi_X \subset Q_X\)) : c'est une « structure de discrétification » du groupe profini \(\pi_{X,x}\)¹⁵ . Leurs adhérences ne retiennent plus que la réduction à \(\hat{\mathfrak{S}}^{+}\), c'est-à-dire, par ce qui précède, le plongement \(\varphi|_{\widetilde{\mathbb{Q}}}\). Grothendieck pense pourtant que la connaissance des \(P^{\varphi}_{X,x}\) eux-mêmes, pour toutes les courbes \(X\) et tous les types, détermine \(\varphi\).

18–20

Récapitulation (pages 18 à 20)

Un feuillet « 4) Récapitulation (II) » reprend la même situation avec \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(0\) : le diagramme de suites exactes \[ 1 \subset \pi_{X,x} \subset \mathfrak{S}_{X,x} \subset \mathcal{M}_{X,x}, \qquad \mathfrak{S}_{X,x}/\pi_{X,x} = \mathcal{T}_X, \quad \mathcal{M}_{X,x}/\mathfrak{S}_{X,x} = \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}, \] s'obtient tout entier du diagramme de référence attaché à \((X_0, x_0)\) par produit contracté avec le torseur \(P_{X,x}\), sur lequel \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) opère par automorphismes intérieurs en respectant sa filtration : \[ \pi_{X,x} \simeq P_{X,x} \wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}} \hat\pi_{g,\nu}, \quad \mathfrak{S}_{X,x} \simeq P_{X,x} \wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}} \hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}, \quad \ldots, \quad \widetilde{\mathbb{Q}} \simeq P_{X,x} \wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}} \overline{\mathbb{Q}} . \] Mais la donnée du torseur ne permet pas de retrouver \(X\) : les automorphismes de \(P_{X,x}\) forment le groupe \(\mathcal{M}_{X,x}\), qui a la puissance du continu, alors que les automorphismes de \((X, x)\) induisant l'identité sur \(k\) forment un groupe fini. D'où l'idée d'utiliser que \(k\) est réunion filtrante de sous-corps \(K_i\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), et que \((X, x)\) est défini sur l'un d'eux.

21–25

Courbes définies sur un corps de type fini (pages 21 à 25)

Soit \(K \subset k\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\) sur lequel \((X, x)\) est défini, et \(\overline{K}\) sa clôture algébrique dans \(k\). Posons \(\mathcal{M}_{X,x,K} = \pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,K}, x)\), \(\mathcal{N}_{X,K} = \pi_1(M_{g,\nu\,K}, \xi)\) et \(\Gamma_{K} = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)\). On a les mêmes suites exactes, \(K\) remplaçant \(\mathbb{Q}\), et elles se déduisent des précédentes par changement de base le long de \(\Gamma_K \to \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) : \[ (12)\qquad \mathcal{M}_{X,x,K} \simeq \mathcal{M}_{X,x} \times_{\Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}} \Gamma_K, \qquad \mathcal{N}_{X,K} \simeq \mathcal{N}_{X} \times_{\Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}} \Gamma_K . \] Le point rationnel \(x \in \mathcal{X}_{g,\nu}(K)\) définit alors une section de \(\mathcal{M}_{X,x,K} \to \Gamma_K\), c'est-à-dire un relèvement \(\Gamma_K \to \mathcal{M}_{X,x}\) de \(\Gamma_K \to \Gamma_{\widetilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) (14) ; de même \(\xi \in M_{g,\nu}(K)\) définit un relèvement \(\Gamma_K \to \mathcal{N}_X\) (14'). « Je pense que ces données permettent de reconstituer \((K, \overline{K}, (X, x))\), resp. \((K, \overline{K}, X)\). » Elles impliquent des morphismes \[ (15)\qquad \Gamma_K \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\pi_{X,x}), \qquad (15')\qquad \Gamma_K \to \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}(\pi_{X,x}). \]¹⁶ La page 25, rapide et à demi lisible, esquisse comment ces données, avec une discrétification stable par \(\Gamma\), se traduisent en torseurs sous \(\mathcal{M}'_{g,\nu} \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi_{g,\nu})\) ou sous \(\mathcal{N}'_{g,\nu}\)¹⁷ .

26–27

Discrétifications (pages 26 et 27)

Soit \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\) et \(\overline{K}\) une clôture algébrique. Une \(D\)-structure (ou discrétification) sur \(\overline{K}\) est la donnée, pour toute courbe \(X\) de type \((g, \nu)\) sur \(\overline{K}\), d'une discrétification de \(\pi_1(X)\) ; elle est spéciale si elle provient d'un plongement \(\varphi : \overline{K} \to \mathbb{C}\), par le groupe fondamental topologique de \(X \otimes_\varphi \mathbb{C}\). Tout \(K\)-isomorphisme \(\overline{K} \to \overline{K}'\) transporte les \(D\)-structures ; en particulier \(\Gamma = \mathrm{Aut}_K(\overline{K})\) opère sur l'ensemble \(\mathrm{Discspec}(\overline{K})\) des discrétifications spéciales, et l'application \[ \mathrm{Hom}(\overline{K}, \mathbb{C}) \longrightarrow \mathrm{Discspec}(\overline{K}) \] est surjective et compatible aux actions de \(\Gamma\). La page énonce une proposition — deux clôtures munies de discrétifications spéciales sont \(K\)-isomorphes de façon compatible — et un corollaire — deux discrétifications spéciales sur \(\overline{K}\) sont conjuguées par \(\Gamma\), à un sous-groupe d'indice fini près —, sans preuve. La remarque qui suit en limite la portée : deux plongements \(\varphi, \varphi'\) sont conjugués par \(\Gamma\) si et seulement si \(\varphi|_K = \varphi'|_K\) et \(\varphi(\overline{K}) = \varphi'(\overline{K})\), « conditions des plus draconiennes » ; la marge restreint la transitivité au cas où \(K\) est algébrique sur \(\mathbb{Q}\)¹⁸ . D'où la question : l'application \(\mathrm{Hom}(\overline{K}, \mathbb{C}) \to \mathrm{Discspec}(\overline{K})\) peut-elle être injective¹⁹ ? Le feuillet s'achève sur deux mots-clés : la structure de Hodge mixte sur \(\pi_1\) et sur son abélianisé, \(\pi_{1,\mathrm{ab}} \otimes \mathbb{C}\), ou la structure complexe sur \(\pi_{1,\mathrm{ab}} \otimes \mathbb{R}\).

29–39

Formulaires pour \(GL(2, \mathbb{Z})\) et son extension (pages 29 à 39)

Une chemise de couleur, « Formulaire pour \(\pi_{0,3}\) etc. Pt de vue transcendant pour \(M_{1,1}\) », ouvre cette partie. Le groupe \(GL(2, \mathbb{Z})/\{\pm 1\}\) est le groupe fondamental mixte de la sphère privée de \(0, 1, \infty\) sous \(\mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}\) (pages 71 et 72 ci-dessous, et le groupe \(\mathcal{E}\) du dossier 145) ; c'est pourquoi un formulaire de matrices entières est un formulaire pour \(\pi_{0,3}\).

29–30

Le formulaire de 1982 (pages 29 et 30)

On pose \(\omega = -1\) et \[ \rho = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_\infty = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_1 = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \] de sorte que \(\rho^3 = \omega\), \(\rho^6 = 1\), \(\sigma_i^2 = \omega\) et \(\rho\sigma_i\rho^{-1} = \sigma_{i+1}\). Puis \[ \varepsilon_0 = \sigma_\infty^{-1}\rho = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \varepsilon_1 = \rho\sigma_\infty^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \varepsilon_\infty = \rho^2\sigma_\infty^{-1}\rho^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \] unipotents, avec \(\rho\varepsilon_i\rho^{-1} = \varepsilon_{i+1}\) et, en général, \(\varepsilon_i = \sigma_{i-1}^{-1}\rho = \rho\,\sigma_{i+1}^{-1}\)²⁰ . Les carrés \(\varrho_i = \varepsilon_i^2\) sont \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\bigl(\begin{smallmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{smallmatrix}\bigr)\), et \[ \varrho_\infty\varrho_1\varrho_0 = \omega, \qquad \varrho'_\infty\varrho'_1\varrho'_0 = 1 \quad (\varrho'_i = \omega\varrho_i), \qquad \sigma_i\sigma_{i+1} = \omega\rho\varrho_i = \omega\varrho_{i+1}\rho, \qquad \sigma_i(\rho) = \rho^{-1}\varrho'_{i-1} . \] Les \(\varrho'_i\) sont les images des trois lacets de \(\pi_{0,3}\) ; la marge note \(\varepsilon_i = 1 + N_i\), \(N_i\) nilpotente.

Les réflexions sont \[ \tau_\infty = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \tau_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \tau_1 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \tau_i^2 = 1, \quad \tau_i\tau_{i-1} = \varrho'_{i+1}, \] et \(\tau'_i = \sigma_i\tau_i = \omega\tau_i\sigma_i = \tau_i\sigma_i^{-1}\), d'ordre \(2\), avec \(\tau'_\infty = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\tau'_0\tau'_1 = \tau'_1\tau'_\infty = \tau'_\infty\tau'_0 = \omega\rho\) et \(\sigma_i = \tau'_i\tau_i = \omega\tau_i\tau'_i\). Les actions par conjugaison : \(\tau_i(\varepsilon_j) = \varepsilon_j^{-1}\) et \(\tau_i(\varrho_j) = \varrho_j^{-1}\) pour \(i \neq j\) ; \(\tau_i(\sigma_i) = \sigma_i^{-1}\) ; \(\tau'_i(\rho) = \rho^{-1}\) ; \(\tau_i(\rho) = \varrho_{i-1}'^{-1}\rho = \sigma_i(\rho^{-1})\) ; \(\sigma_i(\varepsilon_{i+1}) = \varepsilon_{i+2}\), \(\sigma_i(\varrho_{i+1}) = \varrho_{i+2}\), \(\sigma_i(\varrho_i) = \omega(\varrho_{i+1}\varrho_{i+2})^{-1} = \varrho_{i+1}(\varrho_i)\)²¹ .

Présentations. Posons \(\lambda_0 = \varepsilon_0\), \(\lambda_1 = \sigma_\infty\), \(\lambda_\infty = \rho^{-1}\) (donc \(\lambda_\infty\lambda_1\lambda_0 = 1\), \(\lambda_1^4 = \lambda_\infty^6 = 1\)) et \[ \begin{gathered} \Gamma_0 = \tau'_\infty = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma_1 = -\tau'_0 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Gamma_\infty = \tau_\infty, \\ \Gamma_\infty\Gamma_1 = \lambda_0, \quad \Gamma_0\Gamma_\infty = \lambda_1, \quad \Gamma_1\Gamma_0 = \lambda_\infty . \end{gathered} \] Le groupe \(\pi^{\tau}_{0,3}\), produit libre de trois groupes d'ordre \(2\) engendrés par des \(\tau_i\) (page 57 ci-dessous), s'envoie surjectivement sur \(GL(2, \mathbb{Z})\) par \(\tau_i \mapsto \Gamma_i\), et son sous-groupe d'indice \(2\), \(\pi_{0,3}\), sur \(SL(2, \mathbb{Z})\), les lacets allant sur les \(\lambda_i\). Et \[ SL(2, \mathbb{Z}) = \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2,\ \sigma^4 = 1 \rangle \simeq \mathbb{Z}/6 *_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4, \] \[ GL(2, \mathbb{Z}) = \langle \Gamma_0, \Gamma_1, \Gamma_\infty \mid \Gamma_i^2 = 1,\ (\Gamma_0\Gamma_\infty)^2 = (\Gamma_1\Gamma_0)^3 = (\Gamma_1\Gamma_0)^{-3} \rangle \simeq D_6 *_{D_2} D_4 , \] où \(D_m\) est le groupe diédral d'ordre \(2m\) ; l'élément \((\Gamma_0\Gamma_\infty)^2 = (\Gamma_1\Gamma_0)^3 = \omega\) est central, et le quotient par lui est le groupe de Coxeter de type \((2, 3, \infty)\), \(PGL(2, \mathbb{Z})\). Enfin \(\Gamma_0\) inverse \(\rho\) et \(\sigma = \sigma_\infty\), \(\Gamma_1 = \rho^{-1}\Gamma_0 = \Gamma_0\rho\) et \(\Gamma_\infty = \sigma^{-1}\Gamma_0 = \Gamma_0\sigma\)²² .

Relations avec le formulaire de 1981. Les \(\sigma_i\) sont devenus les \(\sigma_i^{-1}\) ; les carrés \(\varepsilon_i^2\), autrefois notés autrement, sont devenus les \(\varrho_i\), et \(\varrho'_i = \omega\varrho_i\) vérifie \(\varrho'_\infty\varrho'_1\varrho'_0 = 1\).

31–32

L'extension centrale par \(\mathbb{Z}\) et le groupe des tresses (pages 31 et 32)

La page 31, datée de 1982, introduit une extension \(1 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{k} GL(2, \mathbb{Z})^{\sim} \to GL(2, \mathbb{Z}) \to 1\), où \(GL(2, \mathbb{Z})\) opère sur \(\mathbb{Z}\) par le déterminant ; \(k(\mathbb{Z})\) est central dans \(SL(2, \mathbb{Z})^{\sim}\), image inverse de \(SL(2, \mathbb{Z})\), mais non dans \(GL(2, \mathbb{Z})^{\sim}\). C'est l'image inverse de \(SL(2, \mathbb{Z})\) dans le revêtement universel de \(SL(2, \mathbb{R})\) — le groupe \(ST_{1,1}\) des pages 41 à 46 —, prolongée par la conjugaison. On note \(\ell'_0 = k(1)\), et \(\tilde\rho\), \(\tilde\sigma\), \(\tilde\omega_0\) des relèvements de \(\rho\), \(\sigma\), \(\omega\) avec \[ \tilde\rho^{-3} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega_0, \qquad \tilde\omega_0^2 = \ell'_0 . \] Un relèvement \(\tilde\tau'\) de \(\tau'\) est « nécessairement » d'ordre \(2\) : c'est exact, car tous les relèvements ont même carré, élément de \(\mathbb{Z}\) que \(\tilde\tau'\) doit à la fois fixer et inverser²³ . Posant \(\tilde\varepsilon_0 = \tilde\sigma\tilde\rho\), \(\tilde\varepsilon_1 = \tilde\rho\tilde\sigma = \tilde\rho(\tilde\varepsilon_0)\), on trouve \(\tilde\varepsilon_1\tilde\varepsilon_0 = \tilde\rho^{-1}\) et \(\tilde\sigma = \tilde\varepsilon_0\tilde\varepsilon_1\tilde\varepsilon_0 = \tilde\varepsilon_1\tilde\varepsilon_0\tilde\varepsilon_1\), d'où \[ SL(2, \mathbb{Z})^{\sim} = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^3\tilde\sigma^2 = 1 \rangle = \langle \tilde\varepsilon_0, \tilde\varepsilon_1 \mid \tilde\varepsilon_0\tilde\varepsilon_1\tilde\varepsilon_0 = \tilde\varepsilon_1\tilde\varepsilon_0\tilde\varepsilon_1 \rangle . \] C'est le groupe des tresses à trois brins \(B_3\) ; \(\tilde\omega_0 = (\tilde\varepsilon_1\tilde\varepsilon_0)^3\) engendre son centre et \(\ell'_0 = \tilde\omega_0^2\) le noyau de \(B_3 \to SL(2, \mathbb{Z})\)²⁴ . Pour l'extension à \(GL\) : \[ \begin{gathered} GL(2, \mathbb{Z})^{\sim} = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma, \tilde\Gamma_0 \mid \tilde\Gamma_0^2 = \tilde\rho^3\tilde\sigma^2 = 1,\ \tilde\Gamma_0(\tilde\rho) = \tilde\rho^{-1},\ \tilde\Gamma_0(\tilde\sigma) = \tilde\sigma^{-1} \rangle \\ = \langle \tilde\Gamma_0, \tilde\Gamma_1, \tilde\Gamma_\infty \mid \tilde\Gamma_i^2 = (\tilde\Gamma_1\tilde\Gamma_0)^3(\tilde\Gamma_0\tilde\Gamma_\infty)^2 = 1 \rangle, \end{gathered} \] la seconde forme avec \(\tilde\Gamma_1 = \tilde\Gamma_0\tilde\rho\), \(\tilde\Gamma_\infty = \tilde\sigma\tilde\Gamma_0\) ; en termes des \(\tilde\varepsilon_i\), \(\tilde\Gamma_0\) échange \(\tilde\varepsilon_0\) et \(\tilde\varepsilon_1^{-1}\), ce qui est bien un automorphisme de \(B_3\). Avec \(\tilde\ell_i = \tilde\varepsilon_i^2\) et les relèvements \(\tilde\sigma_i\) conjugués de \(\tilde\sigma\) par les puissances de \(\tilde\rho\), on retrouve le formulaire relevé : \(\tilde\varepsilon_i = \tilde\sigma_{i-1}\tilde\rho = \tilde\rho\tilde\sigma_{i+1}\), \(\tilde\sigma_i\tilde\sigma_{i+1} = \tilde\omega_0\tilde\rho\tilde\ell_i = \tilde\omega_0\tilde\ell_{i+1}\tilde\rho\), \(\tilde\sigma_i(\tilde\rho) = \tilde\omega_0^{-1}\tilde\rho^{-1}\tilde\ell_{i-1}\), \(\tilde\ell_\infty\tilde\ell_1\tilde\ell_0 = \tilde\omega_0\).

La page 32 note que la suite des \(\tilde\rho^{\,n}(\tilde\tau'_\infty)\), \(n \in \mathbb{Z}\), parcourt une fois chacun les relèvements de \(\tau'_\infty, \tau'_0, \tau'_1\) (car \(\tilde\rho^3(\tilde\tau'_\infty) = \ell_0'^{-1}\tilde\tau'_\infty\)), et donne l'action des générateurs sur deux éléments \(\tilde u\), \(\tilde v\) : \[ \begin{gathered} \tilde\rho : \tilde u \mapsto \tilde v^{-1},\ \tilde v \mapsto \tilde v\tilde u ; \quad \tilde\sigma : \tilde u \mapsto \tilde u\tilde v\tilde u^{-1},\ \tilde v \mapsto \tilde u^{-1} ; \\ \tilde\varepsilon_0 : \tilde u \mapsto \tilde u,\ \tilde v \mapsto \tilde v\tilde u^{-1} ; \quad \tilde\varepsilon_1 : \tilde u \mapsto \tilde u\tilde v,\ \tilde v \mapsto \tilde v, \end{gathered} \] et \(\tilde\Gamma_0 : \tilde u \leftrightarrow \tilde v\), \(\tilde\Gamma_\infty : \tilde u \mapsto \tilde u^{-1},\ \tilde v \mapsto \tilde u\tilde v\tilde u^{-1}\), \(\tilde\Gamma_1 : \tilde u \mapsto \tilde u^{-1},\ \tilde v \mapsto \tilde u\tilde v\). Ce sont des automorphismes du groupe libre \(\langle \tilde u, \tilde v \rangle\), groupe fondamental du tore privé d'un point, et ces formules anticipent les pages 128 à 130²⁵ .

33–34

Le formulaire de 1981 (pages 33 et 34)

Le formulaire de 1981 est encadré par deux identifications, \(\mathfrak{S}_{0,3} \simeq GL(2, \mathbb{Z})'\) et \(\mathfrak{S}^{+}_{0,3} \simeq SL(2, \mathbb{Z})'\), où l'accent n'est pas défini²⁶ . Avec le même \(\rho\) et \(\sigma_\infty = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\sigma_0 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\sigma_1 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\bigr)\), on a \(\varepsilon_0 = \sigma_\infty\rho\), \(\varepsilon_1 = \rho\sigma_\infty\), \(\varepsilon_\infty = \rho^2\sigma_\infty\rho^{-1}\) (les mêmes matrices unipotentes qu'en 1982), \(\varepsilon_i = \sigma_{i-1}\rho = \rho\sigma_{i+1}\), \(\ell_i = \varepsilon_i^2\), \(\ell_\infty\ell_1\ell_0 = -1\), \(\lambda_i = -\ell_i\) de produit \(1\), \(\rho(\sigma_i) = \sigma_{i+1} = \ell_{i-1}\varepsilon_{i+1}\), \(\sigma_i(\rho) = \rho^{-1}\lambda_{i-1}\), et \(\sigma_i\sigma_{i+1} = -\rho\ell_i = -\ell_{i+1}\rho\)²⁷ .

Pour les réflexions, \(\tau_\infty = \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\) et ses conjugués \(\tau_{i+1} = \rho\tau_i\rho^{-1}\), qui sont les matrices \(\tau_0, \tau_1\) de 1982²⁸ . On a alors \(\tau_1\tau_0 = -\ell_\infty\), \(\tau_\infty\tau_1 = -\ell_0\), \(\tau_0\tau_\infty = -\ell_1\), soit \(\tau_{i+1}\tau_i = -\ell_{i+2}\)²⁹ ; \(\tau'_i = -\sigma_i\tau_i = \tau_i\sigma_i\), d'ordre \(2\), avec \(\tau'_0\tau'_1 = \tau'_1\tau'_\infty = \tau'_\infty\tau'_0 = -\rho\) et \(\tau'_i(\rho) = \rho^{-1}\) ; \(\tau_i = \sigma_i\tau'_i\) ; \(\sigma_i = -\tau'_i\tau_i = \tau_i\tau'_i\)³⁰ . La page vérifie aussi les actions \(\tau_i(\varepsilon_j) = \varepsilon_j^{-1}\) (\(i \neq j\)), \(\tau'_i(\varepsilon_{i+1}) = \varepsilon_{i-1}^{-1}\), \(\sigma_i(\varepsilon_{i+1}) = \varepsilon_{i-1}\), \(\sigma_i(\ell_i) = -(\ell_{i+1}\ell_{i-1})^{-1}\), \(\tau_i(\ell_i) = -\ell_{i+1}\ell_{i-1}\), toutes exactes. Elle reprend les deux présentations de \(SL\) et de \(GL\), et note, « attention aux signes ! », que \(\Gamma_\infty\Gamma_1 = \varepsilon_0\), \(\Gamma_0\Gamma_\infty = -\sigma_\infty\), \(\Gamma_1\Gamma_0 = \rho^{-1}\)³¹ .

La page 34 calcule, dans le même groupe, \[ [\ell_0, \ell_1] = [\lambda_0, \lambda_1] = \bigl(\sigma_\infty(\rho)\rho^{-1}\bigr)^3, \qquad \sigma_\infty(\rho)\rho^{-1} = \ell_0\rho = \rho\ell_\infty, \] \[ [\sigma_\infty, \ell_\infty] = \bigl(\sigma_\infty(\rho^{-1})\rho\bigr)^3 = \mathrm{int}\bigl(\sigma_\infty(\rho^{-1})\bigr)\bigl([\ell_0, \ell_1]^{-1}\bigr), \] de sorte que \([\lambda_0, \lambda_1] = 1\), \([\sigma_\infty, \ell_\infty] = 1\) et \((\ell_0\rho)^3 = 1\) sont équivalents³² .

35–39

Les présentations de \(ST_{1,1}\) (pages 35 à 39, juin 1983)

Daté de juin 1983, un nouveau cahier de cinq feuillets part de la seule relation : soit \(H\) engendré par \(\varepsilon_0, \varepsilon_1\) avec \[ (*)\qquad \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0 = \varepsilon_1\varepsilon_0\varepsilon_1, \] c'est-à-dire le groupe des tresses \(B_3 = ST_{1,1} = SL(2, \mathbb{Z})^{\sim}\)³³ . On pose \[ \sigma = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0, \quad \rho_0 = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1}, \quad \rho_1 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^{-1}, \quad \rho'_0 = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^2, \quad \rho'_1 = (\varepsilon_0\varepsilon_1)^2, \quad \omega = \sigma^2 . \] Alors (a) la conjugaison par \(\sigma\) échange \(\varepsilon_0\) et \(\varepsilon_1\), \(\rho_0\) et \(\rho_1\), \(\rho'_0\) et \(\rho'_1\)³⁴ ; \(\sigma^2\) est central et \(\mathrm{int}(\sigma) = \mathrm{int}(\sigma^{-1})\) ; (a') \(\rho_0(\varepsilon_0) = \rho'_0(\varepsilon_0) = \varepsilon_1\), \(\rho_1(\varepsilon_1) = \rho'_1(\varepsilon_1) = \varepsilon_0\), \(\varepsilon_0(\rho_0) = \rho_1\), \(\varepsilon_0(\rho'_0) = \rho'_1\), \(\varepsilon_1(\rho_1) = \rho_0\), \(\varepsilon_1(\rho'_1) = \rho'_0\) ; (b) \(\rho_0 = \sigma^{-1}\varepsilon_0 = \varepsilon_1\sigma^{-1}\), \(\rho'_0 = \sigma\varepsilon_0 = \varepsilon_1\sigma\), et symétriquement ; (c) \(\rho_0^{-3} = \rho_1^{-3} = \sigma^2 = \omega\) ; (d) \(\rho'_i = \rho_i^{-2} = \omega\rho_i\). Il note qu'il vaut mieux « au début ne pas introduire \(\rho'_0, \rho'_1\) », qui encombrent le formulaire.

Il écrit ensuite \(B_3\) en chacune des paires de générateurs, avec les autres éléments exprimés en fonction de la paire et la relation qui reste :

• (e) \([\varepsilon_0, \varepsilon_1]\) : la relation \((*)\) ;
• (f\(_0\)) \([\sigma, \varepsilon_0]\) : \((\sigma^{-1}\varepsilon_0)^3 = \sigma^{-2}\), dont \([\sigma^2, \varepsilon_0] = 1\), encadré avec elle, est conséquence ;
• (g\(_0\)) \([\sigma, \rho_0]\) : \(\rho_0^{-3} = \sigma^2\) ;
• (g\('_0\)) \([\sigma, \rho'_0]\) : \([\sigma^2, \rho'_0] = 1\) et \(\rho_0'^{\,3} = \sigma^4\) ;
• (h\(_0\)) \([\varepsilon_0, \rho_0]\) : \(\rho_0\varepsilon_0\rho_0^{-1}\varepsilon_0\rho_0 = 1\) ;
• (i\(_0\)) \([\varepsilon_0, \rho'_0]\) : \(\rho'_0 = \bigl(\rho'_0(\varepsilon_0)\varepsilon_0\bigr)^2\) et \([\rho_0'^{\,3}, \varepsilon_0] = 1\) ;
• (h\('_0\)) \([\varepsilon_0, \rho_1]\) : \(\rho_1\varepsilon_0\rho_1^{-1}\varepsilon_0\rho_1 = 1\), conjugué de (h\(_0\)) par \(\varepsilon_0\) ;
• (j\('_0\)) \([\varepsilon_0, \rho'_1]\) : \(\rho'_1 = \bigl(\rho'_1(\varepsilon_0)\varepsilon_0\bigr)^2\) et \([\rho_1'^{\,3}, \varepsilon_0] = 1\),

chaque cas ayant son symétrique par échange des indices \(0\) et \(1\). Toutes les expressions de la page sont exactes dans \(B_3\), et toutes ces paires présentent bien \(B_3\) avec les relations indiquées³⁵ . Dans le cas (i\(_0\)), la première relation suffit : si \(c = \rho'_0\varepsilon_0\rho_0'^{-1}\), elle s'écrit \(\rho'_0 = (c\varepsilon_0)^2\), et en reportant dans \(c\rho'_0 = \rho'_0\varepsilon_0\) on trouve \(c\varepsilon_0 c = \varepsilon_0 c\varepsilon_0\). En revanche, l'« équation abracadabrante » par laquelle la page propose de tout remplacer, \[ [\rho'_0\varepsilon_0\rho_0'^{-1}\varepsilon_0\rho'_0,\ \varepsilon_0] = 1, \] est vraie dans \(B_3\) mais ne la présente pas : étant un commutateur, elle laisse l'abélianisé égal à \(\mathbb{Z}^2\), alors que celui de \(B_3\) est \(\mathbb{Z}\)³⁶ .

Symétries. La présentation \((*)\) a deux symétries involutives évidentes : l'automorphisme \(\varepsilon_i \mapsto \varepsilon_i^{-1}\), qui envoie \(\sigma \mapsto \sigma^{-1}\), \(\rho_0 \mapsto \rho_1^{-1}\), \(\rho'_0 \mapsto \rho_1'^{-1}\)³⁷ ; et \(\mathrm{int}(\sigma)\), qui échange les indices \(0\) et \(1\). La symétrie est « binaire », centrée sur \(\sigma\) (\(\sigma^2\) central) ; centrée sur \(\rho = \rho_0\), elle devient « ternaire » (\(\rho^3\) central) : les éléments \(\varepsilon_0\), \(\varepsilon_1 = \rho(\varepsilon_0)\), \(\varepsilon_\infty = \rho^2(\varepsilon_0)\) sont permutés circulairement par \(\mathrm{int}(\rho)\), vérifient deux à deux la relation de tresse, et \[ \sigma_\infty = \varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_0, \quad \sigma_0 = \varepsilon_1\varepsilon_\infty\varepsilon_1, \quad \sigma_1 = \varepsilon_\infty\varepsilon_0\varepsilon_\infty, \quad \rho = (\varepsilon_1\varepsilon_0)^{-1} = (\varepsilon_\infty\varepsilon_1)^{-1} = (\varepsilon_0\varepsilon_\infty)^{-1}, \] tandis que les trois éléments \((\varepsilon_0\varepsilon_1)^{-1} = \sigma_\infty(\rho)\), \((\varepsilon_1\varepsilon_\infty)^{-1} = \sigma_0(\rho)\), \((\varepsilon_\infty\varepsilon_0)^{-1} = \sigma_1(\rho)\) sont distincts. Le dernier feuillet résume : les éléments essentiels sont \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \sigma, \rho\), et les « quatre systèmes de générateurs principaux » de \(ST_{1,1}\) sont \[ \begin{gathered} (\varepsilon_0, \varepsilon_1) \mid (*) ; \quad (\varepsilon_0, \sigma) \mid [\sigma^2, \varepsilon_0] = 1,\ (\sigma^{-1}\varepsilon_0)^3 = \sigma^{-2} ; \\ (\varepsilon_0, \rho) \mid \rho\varepsilon_0\rho^{-1}\varepsilon_0\rho = 1 ; \quad (\sigma, \rho) \mid \rho^{-3} = \sigma^2 . \end{gathered} \] Pour un formulaire plus complet, il faudrait introduire \(\varepsilon_\infty\) et les \(\ell_i = \varepsilon_i^2\), les réflexions \(\tau_i\) pour \(ST_{1,1}^{\pm}\), et la représentation dans \(GL(2, \mathbb{Z})\) (qui impose \(\omega^2 = 1\)).

41–46

Le point de vue transcendant pour \(M_{1,1}\) (pages 41 à 46)

Soit \(\mathcal{D} = \{z \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Im}\, z > 0\}\) et \(P\mathcal{D} \simeq \mathrm{Hom}^{+}(\mathbb{Z}^2, \mathbb{C})\) l'espace des couples \((z_1, z_2)\) de nombres complexes formant une base directe d'un réseau, avec \(z_1/z_2 \in \mathcal{D}\)³⁸ . Le groupe \(\mathbb{C}^* \times SL(2, \mathbb{Z})\) opère sur \(P\mathcal{D}\) par \((z_1, z_2) \mapsto \lambda(az_1 + bz_2, cz_1 + dz_2)\), d'où, sur \(P\mathcal{D}/\mathbb{C}^* \simeq \mathcal{D}\), l'action homographique \(z \mapsto (az+b)/(cz+d)\), induite par celle de \(SL(2, \mathbb{R})\), qui préserve \(\mathcal{D}\)³⁹ . Ainsi \[ M_{1,1}^{\mathrm{an}} \simeq (\mathcal{D}, SL(2, \mathbb{Z})), \qquad PM_{1,1}^{\mathrm{an}} \simeq (P\mathcal{D}, SL(2, \mathbb{Z})), \qquad \mathcal{T}_{1,1} \simeq SL(2, \mathbb{Z}), \qquad ST_{1,1} \simeq \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}), \] les multiplicités étant décrites par un espace et un groupe qui y opère ; \(PM_{1,1}\), quotient des réseaux munis d'une base, est le \(\mathbb{C}^*\)-fibré des courbes elliptiques munies d'une différentielle non nulle. Le groupe \(GL(2, \mathbb{Z})\) opère aussi, les éléments de déterminant \(-1\) agissant composés avec la conjugaison complexe, \(g \mapsto \tau^{\alpha(g)} g\) ; le couple \((\mathcal{D}, GL(2, \mathbb{Z}))\) décrit \(M_{1,1}\) avec sa structure réelle⁴⁰ .

La section \(z \mapsto (z, 1)\) trivialise \(P\mathcal{D} \simeq \mathcal{D} \times \mathbb{C}^*\), \([z, \lambda] = (\lambda z, \lambda)\), et dans ces coordonnées \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [z, \lambda] = \Bigl[\frac{az+b}{cz+d},\ \lambda(cz+d)\Bigr] ; \] le revêtement universel de \(P\mathcal{D}\) est \(\mathcal{D} \times \mathbb{C}\), \((z, w) \mapsto [z, e^{2i\pi w}]\), et le groupe \(ST_{1,1}\) des relèvements y contient \(\mathbb{Z}\), engendré par \(\omega^2\) opérant par \((z, w) \mapsto (z, w+1)\).

Points fixes. Les points fixes de \(z \mapsto (az+b)/(cz+d)\) sont racines de \(cz^2 + (d-a)z - b = 0\), de discriminant \((a+d)^2 - 4\) ; il y en a un dans \(\mathcal{D}\) si et seulement si \(|a + d| \leq 1\). Si \(a + d = 0\), ce sont \(z = (a \pm i)/c\) — pour \(\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\), le point \(i\)⁴¹ . Si \(a + d = 1\), par exemple pour \(\rho = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\), c'est \(z = \tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2} = e^{i\pi/3} = -j^2\)⁴² .

Conventions de signe (page 46). Avec \(\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\sigma^2 = \omega = -1\), \(\rho^3 = \omega\), les signes sont choisis pour que \(\rho\) engendre le groupe d'isotropie (d'ordre \(6\)) du point \(e^{i\pi/3}\), que \(\sigma\) soit la rotation d'angle \(-\pi/2\) de \(\mathbb{R}^2\) et \(\rho\) une rotation d'angle \(-2\pi/6\) pour une métrique invariante convenable : « la chose importante dans cette convention, c'est que pour \(\rho\) et \(\sigma\) le sens de rotation soit le même ». Le groupe des relèvements de l'action de \(SL(2, \mathbb{Z})\) au revêtement universel de \(P\mathcal{D}\) est l'extension centrale \(ST_{1,1}\) de \(\mathcal{T}_{1,1}\) par \(\mathbb{Z}\) ; la phrase qui introduit son générateur central reste en suspens au bas de la page.

49–100

Rétrospection sur les cartes cellulaires (pages 49 à 100)

Sous une chemise marquée « 2-cartes cellulaires », un texte suivi de 1982, paginé de sa main et divisé en paragraphes numérotés, reprend la théorie des cartes. La page 49 fixe la loi du groupoïde mixte (ci-dessus), la page 50 donne la table :

1. description combinatoire des cartes, via \(\mathfrak{G}_2\) et \(\mathfrak{G}_2^0\) ;
2. cartes triangulaires pondérées, et groupes \(\pi_{0,3}\), \(\tilde\pi_{0,3}\) ;
3. relation avec les revêtements de \(U_{0,3}\) et les courbes algébriques ;
4. conditions \(\rho_i^{\nu_i} = 1\) et groupes fondamentaux à signature ;
5. existence d'une pondération d'une carte triangulaire ;
6. carte associée à un polygone convexe, et groupes fondamentaux associés ;
7. relation aux cartes \(n\)-polygonales pondérées ;
8. introduction de \(P\Sigma^{\times}_{P_n}\) et du \(2\)-groupoïde fondamental⁴³ .

51–57

§1. Description combinatoire des cartes (pages 51 à 57)

Une carte (topologique, cellulaire) est une surface compacte \(X\), pas nécessairement orientable, munie d'un fermé \(K\) localement homéomorphe à une étoile (un \(1\)-complexe), sans composante homéomorphe à un cercle ni point isolé, dont le complémentaire est réunion de disques ouverts. On en fait une catégorie « isotopique », et l'on établit une équivalence \[ \begin{gathered} (1)\qquad \{\text{cartes finies, à isotopie près}\} \xrightarrow{\ \approx\ } \{\mathfrak{G}_2\text{-ensembles finis spéciaux}\}, \\ (2)\qquad \mathfrak{G}_2 = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_2 \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_2^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1 \rangle, \end{gathered} \] le groupe cartographique⁴⁴ , opérant sur l'ensemble \(\mathcal{R}(X)\) des repères (ou drapeaux) — les triangles de la subdivision barycentrique —, \(\tau_i\) changeant le sommet de type \(i\) du repère : type \(0\) pour les sommets, \(1\) pour les milieux d'arêtes, \(2\) (noté ensuite \(\infty\)) pour les centres de faces. « Spéciaux » signifie que les \(\tau_i\) et \(\tau_0\tau_2\) opèrent sans point fixe. Le noyau \(\mathfrak{G}^0_2\) de \(\mathfrak{G}_2 \to \mathbb{Z}/2\) (\(\tau_i \mapsto 1\)) est \[ (4)\text{--}(5)\qquad \mathfrak{G}^0_2 = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mid \rho_\infty\rho_1\rho_0 = \rho_1^2 = 1 \rangle, \qquad \rho_\infty = \tau_1\tau_0,\ \rho_1 = \tau_0\tau_\infty,\ \rho_0 = \tau_\infty\tau_1 . \] La carte duale a les mêmes repères, les types \(0\) et \(\infty\) échangés, et chaque repère y reçoit les orientations opposées. Une carte est orientée si l'on se donne une partition \(\mathcal{R} = \mathcal{R}^+ \sqcup \mathcal{R}^-\) que chaque \(\tau_i\) échange ; les \(\rho_i\) préservent alors chaque partie⁴⁵ , et \[ (8)\qquad \{\text{cartes orientées finies}\} \xrightarrow{\ \approx\ } \{\mathfrak{G}^0_2\text{-ensembles finis spéciaux}\}, \qquad X \mapsto \mathcal{R}^+(X) ; \] la carte duale orientée a \(\mathcal{R}^+(\check C) = \mathcal{R}^-(C)\). Une figure de dix repères autour d'un repère \(r\) montre les \(\tau_i r\) et les \(\tau_i\tau_j r\) ; il n'y en a que neuf, car \(\tau_0\tau_\infty = \tau_\infty\tau_0\).

En admettant des arêtes pliées — des arêtes dont une extrémité est un point-bord de \(K\), sur le modèle d'un Y épaissi dont une branche est repliée —, on supprime l'hypothèse que \(\rho_1\) opère sans point fixe : les points fixes de \(\rho_1\) correspondent exactement aux arêtes pliées, et ceux de \(\rho_0\) aux sommets marqués au bord. La condition que les \(\tau_i\) opèrent sans point fixe demeure « provisoirement ».

57–60

§2. Cartes triangulaires pondérées (pages 57 à 60)

Le rôle particulier de l'indice \(1\), dû à \(\rho_1^2 = 1\), disparaît si l'on pose \[ (12)\qquad \tilde\pi_{0,3} = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_\infty \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_\infty^2 = 1 \rangle, \qquad (13)\qquad \pi_{0,3} = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mid \rho_\infty\rho_1\rho_0 = 1 \rangle, \] le second d'indice \(2\) dans le premier (libre de rang \(2\)), avec les mêmes formules (14) ; alors \(\mathfrak{G}_2 \simeq \tilde\pi_{0,3}/\langle\langle\rho_1^2\rangle\rangle\) et \(\mathfrak{G}^0_2 \simeq \pi_{0,3}/\langle\langle\rho_1^2\rangle\rangle\). Le groupe \(\tilde\pi_{0,3}\) classe les cartes triangulaires pondérées : une carte dont l'ensemble \(S\) des sommets est muni d'une application \(S \to \{0, 1, \infty\}\) qui, pour chaque face, est une bijection de ses trois sommets sur \(\{0, 1, \infty\}\). Les repères sont alors les faces elles-mêmes, \(\tau_i\) envoyant une face sur sa voisine par le côté opposé au sommet de type \(i\) ; les ordres des sommets sont pairs, et l'ordre réduit d'un sommet est la moitié de son ordre. On obtient \[ \begin{gathered} (17)\qquad \{\text{cartes triangulaires pondérées}\} \simeq \\ \{\tilde\pi_{0,3}\text{-ensembles finis où les } \tau_i \text{ opèrent sans point fixe}\}, \end{gathered} \] \[ (18)\qquad \{\text{cartes triangulaires pondérées orientées}\} \simeq \{\pi_{0,3}\text{-ensembles finis}\}, \qquad X \mapsto \mathcal{R}^+(X), \] et la dualité est remplacée par l'action de \(\mathfrak{S}_3\) réindexant les poids, \(\mathcal{R}^+(X^g) = \mathcal{R}^{\mathrm{sg}(g)}(X)\). Par les isomorphismes ci-dessus, la catégorie des cartes (avec arêtes pliées) devient une sous-catégorie pleine de celle des cartes triangulaires pondérées, par la subdivision barycentrique. Enfin \[ (19)\text{--}(20)\qquad \pi_{0,3} \simeq \pi_1(U_{0,3}, P_+), \qquad U_{0,3} = \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{0, 1, \infty\}, \] \(P_+\) étant un point de l'hémisphère supérieur, commodément \(P_+ = e^{i\pi/3} = -\zeta^2\), \(\zeta = e^{2i\pi/3}\)⁴⁶ .

61–67

§3. Revêtements de \(U_{0,3}\) et courbes algébriques (pages 61 à 67)

Les cartes triangulaires pondérées orientées sont ainsi équivalentes aux revêtements finis de \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) ramifiés au plus au-dessus de \(0, 1, \infty\) — qui sont des courbes algébriques propres et lisses —, la carte étant l'image inverse de l'équateur \(\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\) : les sommets de type \(i\) sont les points au-dessus de \(i\), leurs ordres réduits les indices de ramification, et les arêtes les composantes des images inverses de \(]1, \infty[\), \(]\infty, 0[\), \(]0, 1[\). Les cartes ordinaires (celles où \(\rho_1^2 = 1\)) s'obtiennent en prenant l'image inverse du segment \([0, 1]\) : sommets au-dessus de \(0\), milieux d'arêtes au-dessus de \(1\), centres de faces au-dessus de \(\infty\)⁴⁷ . La carte universelle est \(\{0\} \subset [0, 1]\) : une seule face, la sphère fendue le long de \([0, 1]\), dont le bord est une boucle à un seul sommet \(0'\) et de milieu \(1'\) ; l'arête \([0, 1]\) est pliée.

La représentation conforme (pages 63 et 64). La face unique est conformément isomorphe au disque unité \(\mathbb{D}\), par l'unique isomorphisme \(g\) envoyant \(0\) sur le centre \(\infty\), \(1\) sur le sommet \(0'\), \(-1\) sur \(1'\), \(\pm i\) sur les deux bords du point \(\tfrac12\). On le trouve en voyant \(\mathbb{D}\) comme un hémisphère de la carte \(X_1\) à un sommet \(1\), une arête (l'équateur) et deux faces de centres \(0\) et \(\infty\), revêtement double de la carte universelle : \(g = \varphi \circ g' \circ \psi\) avec \(\psi(z) = (z-1)/(z+1)\), \(g'(z) = z^2\), \(\varphi(z) = z/(z-1)\), d'où \[ (23)\qquad g(z) = \frac{\psi(z)^2}{\psi(z)^2 - 1} = -\frac{(z-1)^2}{4z}, \] de degré \(2\)⁴⁸ , ramifié au-dessus de \(0\) (en \(1\)) et de \(1\) (en \(-1\)), non ramifié au-dessus de \(\infty\) ; il envoie le cercle unité sur \([0, 1]\) (\(g(e^{i\theta}) = (1 - \cos\theta)/2\)) et \(\mathbb{D}\) sur le complémentaire.

Le groupe à conjugaison (pages 64 à 67). Le groupe \(\tilde\pi_{0,3}\) — que la page note \(\Pi^{\tau}_{0,3}\) — est un groupe fondamental mixte : \[ (24)\qquad \Pi^{\tau}_{0,3} \simeq \pi_1(U_{0,3}, \{1, \tau\}; P_+), \qquad \tau_i = (\lambda_i, \tau), \] où \(\lambda_i\) est le demi-grand cercle de \(P_- = \tau(P_+)\) à \(P_+\) passant par le milieu \(Q_i\) de l'arc de l'équateur opposé à \(i\) (\(Q_0 = 2\), \(Q_1 = -1\), \(Q_\infty = \tfrac12\))⁴⁹ . Les cartes triangulaires pondérées non orientées sont donc équivalentes aux \(\{1, \tau\}\)-revêtements finis étales de \(U_{0,3}\) sur lesquels les \(\tau_i\) opèrent sans point fixe ; or les points fixes de \(\tau_i\) correspondent aux composantes de \(U'^{\tau}\) au-dessus de l'arc réel de centre \(Q_i\), et la condition s'écrit \(X'^{\tau} = \emptyset\), \(X'\) étant le revêtement ramifié complété. Un \(\{1, \tau\}\)-revêtement est une donnée de descente de \(\mathbb{C}\) à \(\mathbb{R}\) : on obtient un foncteur pleinement fidèle \[ \begin{gathered} (26)\qquad \{\text{cartes triangulaires pondérées finies}\} \hookrightarrow \\ \{\text{revêtements étales finis du schéma } \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \setminus \{0, 1, \infty\}\}, \end{gathered} \] d'image essentielle les revêtements sans point réel, \(X'(\mathbb{R}) = \emptyset\) (27). Le foncteur inverse prend l'image inverse de \(\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\) dans \(X'(\mathbb{C})\) et passe au quotient par la conjugaison ; sans la condition (27), le quotient \(X'(\mathbb{C})/\tau\) est une surface compacte à bord, et l'on pourrait étendre la notion de carte aux surfaces à bord pour faire de (26) une équivalence⁵⁰ . Dans ce dictionnaire, \(X'\) est le revêtement des orientations locales de la carte, et \(\tau\) l'automorphisme qui change l'orientation.

67–73

§4. Conditions \(\rho_i^{\nu_i} = 1\) et signatures (pages 67 à 73)

Pour \(\nu_i \in \overline{\mathbb{N}^*} = \mathbb{N}^* \cup \{\infty\}\), la condition \(\rho_i^{\nu_i} = 1\) dit que les sommets de type \(i\) ont un ordre réduit divisant \(\nu_i\) (\(\rho_i^{\infty} = 1\) par convention). Pour une carte ordinaire, \(\rho_0^{\nu_0} = 1\) borne l'ordre des sommets et \(\rho_\infty^{\nu_\infty} = 1\) celui des faces ; comme \(\rho_1^2 = 1\), une condition \(\rho_1^{\nu_1} = 1\) est automatique si \(\nu_1\) est pair, et force \(\rho_1 = 1\) si \(\nu_1\) est impair — ce qui ne laisse que les revêtements ramifiés en \(0\) et \(\infty\), \(z \mapsto z^n\), la carte « cyclotomique » à un sommet, une face et \(n\) arêtes, cas trivial. Les cartes vérifiant ces conditions sont classées par \[ (32)\text{--}(33)\qquad \pi_{0,3}/\langle\langle \rho_i^{\nu_i} \rangle\rangle \simeq \pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \nu_*; P_+) \qquad \text{(cas orienté)}, \] et par \(\Pi^{\tau}_{0,3}/\langle\langle \rho_i^{\nu_i} \rangle\rangle\), extension de \(\{1, \tau\}\) par le précédent, dans le cas non orienté. Le second membre est le groupe fondamental « à singularités » de la sphère, de signature \(\nu_* = \nu_0 R_0 + \nu_1 R_1 + \nu_\infty R_\infty\) : celui du topos \(\mathcal{X}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}, \nu_*)\) des surfaces ramifiées sur la sphère avec indices divisant \(\nu_i\) en \(R_i\) — une multiplicité topologique, localement une surface, canoniquement orientée ; avec \(\{1, \tau\}\), une multiplicité non orientable. C'est le groupe fondamental orbifold. En passant aux complétés, \[ (38)\qquad \widehat{\pi}_{0,3}/\langle\langle \rho_i^{\nu_i} \rangle\rangle \simeq \pi_1(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}}}, \nu_*; P_+), \qquad (39)\qquad \widehat{\Pi}^{\tau}_{0,3}/\langle\langle \rho_i^{\nu_i} \rangle\rangle \simeq \pi_1(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}} \cap \mathbb{R}}, \nu_*; P_+), \] et (38) montre que \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) opère extérieurement sur ces groupes, et sur \(\widehat{\pi}_{0,3}\) lui-même.

Trois cas sont distingués : (I) tous les \(\nu_i\) infinis, les cartes triangulaires pondérées ; (II) \(\nu_1 = 2\), les cartes ordinaires ; (III) \(\nu_0 = \infty\), \(\nu_1 = 2\), \(\nu_\infty = 3\), les cartes ordinaires triangulaires (non pondérées). Pour ces dernières on a \[ \begin{gathered} \Pi^{\tau}_{0,3}/\langle\langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle\rangle \simeq \pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}; P_+) = \Pi^{\mathbb{D}_3,\tau}_{0,3}, \\ \pi_{0,3}/\langle\langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle\rangle \simeq \pi_1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; P_+) = \Pi^{\mathbb{D}_3}_{0,3}, \end{gathered} \] le second donné par \(\rho \mapsto \rho_\infty^{-1}\), \(\sigma_\infty \mapsto \rho_1\), \(\varepsilon_0 = \sigma_\infty\rho \mapsto \rho_0\) (41), le premier par \(\tau_\infty \mapsto \tau_\infty\), \(\tau_0 = \rho(\tau_\infty) \mapsto \rho_\infty^{-1}\tau_\infty\rho_\infty\), \(\tau_1 \mapsto \rho_\infty\tau_\infty\rho_\infty^{-1}\) (42)⁵¹ . En remplaçant \(U_{0,3}\) par le demi-plan de Poincaré, on trouve les isomorphismes remarquables \[ \begin{gathered} (43)\qquad GL(2, \mathbb{Z})/\pm 1 \simeq \Pi^{\mathbb{D}_3,\tau}_{0,3} \simeq \Pi^{\tau}_{0,3}/\langle\langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle\rangle, \\ (44)\qquad SL(2, \mathbb{Z})/\pm 1 \simeq \Pi^{\mathbb{D}_3}_{0,3} \simeq \pi_{0,3}/\langle\langle \rho_1^2, \rho_\infty^3 \rangle\rangle, \end{gathered} \] qui permettent de lire les éléments remarquables \(\rho, \sigma_i, \tau_i, \varepsilon_i, \ldots\) comme des matrices, et de les relever canoniquement dans \(GL(2, \mathbb{Z})\) : d'où « un formulaire des plus sympathiques, que j'ai développé et utilisé intensivement dans mes notes de l'an dernier (1981) »⁵² . Pour généraliser aux groupes \(\Pi_{0,n}\) des polygones réguliers, il faudrait interpréter les analogues de \(SL(2, \mathbb{Z})/\pm 1\) comme sous-groupes discrets remarquables de \(GL(2, \mathbb{R})\).

73–76

§5. Pondérabilité d'une carte triangulaire (pages 73 à 76)

Les isomorphismes de (III) se lisent comme une équivalence entre les cartes triangulaires \(X\) (toutes les faces sont des triangles) et les cartes triangulaires pondérées \(X'\) munies d'une action de \(\mathfrak{S}_3\) qui permute les poids : à \(X'\) on associe \(X = X'/\mathfrak{S}_3\), et réciproquement \(X'\) est le revêtement principal ramifié de groupe \(\mathfrak{S}_3\) de \(X\) défini par les « couleurs » des drapeaux. Selon la page, dans le cas orienté, le revêtement \(X'\) de \(X\) n'est ramifié qu'aux sommets d'ordre impair ; une condition nécessaire de pondérabilité est donc que tous les sommets soient d'ordre pair, et l'existence d'un coloriage des faces en \(+\) et \(-\), deux faces adjacentes ayant des couleurs différentes. Un tel coloriage donné, on obtient un revêtement principal \(X'^{+} \to X\) de groupe \(\mathfrak{S}_3^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\), dont la classe \[ (43)\qquad \mathrm{cl}(X) \in H^1(X, \mathbb{Z}/3) \] est l'obstruction à l'existence d'une pondération : elle s'annule si et seulement si \(X\) est pondérable, et les pondérations dont les faces \(+\) sont les faces directes correspondent aux sections du torseur⁵³ .

77–91

§6. Le polygone régulier et ses groupes (pages 77 à 91)

Soit \(P = (S, A, R \subset S \times A)\) un polygone combinatoire à \(n \geq 3\) sommets, \(\mathbb{D} = \mathbb{D}_P\) son groupe d'automorphismes (diédral d'ordre \(2n\)), \(\mathbb{D}^+\) le sous-groupe des rotations. L'ensemble \(\underline{\omega}\) des orientations de \(P\) s'identifie aux deux générateurs privilégiés \(\omega, \omega' = \omega^{-1}\) de \(\mathbb{D}^+\). Il existe un plongement de \(S\) dans une sphère de Riemann \(\Sigma_P\), unique à isomorphisme unique près, tel que \(\mathbb{D}\) opère par automorphismes holomorphes ; les sommets et les arcs sont alors sur un grand cercle \(\Sigma_{\mathbb{R}}\), qui définit une structure réelle, et il y a une unique métrique homogène invariante par \(\mathbb{D}\). Les deux hémisphères correspondent aux deux orientations, et \[ (50)\qquad \Sigma^{\mathbb{D}^+} = \{P_\omega, P_{\omega'}\} \simeq \underline{\omega}, \] \(P_\omega\) étant le pôle où \(\omega\) opère sur l'espace tangent par la rotation d'angle \(+2\pi/n\)⁵⁴ . On note \(R_s\) (\(s \in S\)) les sommets sur l'équateur, \(Q_a\) les milieux des arêtes, \(\tau\) la conjugaison complexe qui fixe l'équateur et échange les pôles, et \(\Sigma^* = \Sigma \setminus S\). Le groupe \(\mathbb{D}_P \times \{1, \tau\}\), d'ordre \(4n\), opère sur \(\Sigma\) en respectant la carte cyclotomique, et l'on pose \[ \begin{gathered} \Pi = \Pi_{P,\omega} = \pi_1(\Sigma^*, P_\omega), \quad \Pi^{\tau} = \pi_1(\Sigma^*, \{1, \tau\}; P_\omega), \\ \Pi^{\mathbb{D}} = \pi_1(\Sigma^*, \mathbb{D}; P_\omega), \quad \Pi^{\mathbb{D},\tau} = \pi_1(\Sigma^*, \mathbb{D} \times \{1, \tau\}; P_\omega), \end{gathered} \] contenus les uns dans les autres en losange.

Générateurs. Soit \(\lambda_a\) le demi-grand cercle de \(P_{\omega'}\) à \(P_\omega\) par \(Q_a\), et, pour \(s \in S\), \(a = a(s)\) l'arête telle que \((s, a)\) soit un repère d'orientation \(\omega\). Les lacets \(\rho_s = \lambda_a\lambda_{\omega' a}^{-1}\) tournent autour de \(R_s\), et, avec un sommet origine \(s_0\) et \(\rho_i = \rho_{\omega^i s_0}\), \[ (59)\text{--}(60)\qquad \rho_{n-1}\cdots\rho_1\rho_0 = 1, \qquad \Pi \simeq \langle \rho_0, \ldots, \rho_{n-1} \mid \rho_{n-1}\cdots\rho_0 = 1 \rangle ; \] puis \(\tau_a = (\lambda_a, \tau)\) et, avec \(a_0 = a(s_0)\) et \(\tau_i = \tau_{\omega^i a_0}\), \[ (62)\text{--}(65)\qquad \Pi^{\tau} \simeq \langle \tau_0, \ldots, \tau_{n-1} \mid \tau_i^2 = 1 \rangle, \qquad \rho_i = \tau_i\tau_{i-1}, \] de sorte que (59) découle des \(\tau_i^2 = 1\)⁵⁵ . Le stabilisateur de \(P_\omega\) dans \(\mathbb{D} \times \{1, \tau\}\) est formé des \((g, \tau^{\alpha(g)})\), \(\alpha(g) = 0\) ou \(1\) selon que \(g\) est une rotation ou non ; il donne un homomorphisme \(g \mapsto \tilde g\) de \(\mathbb{D}\) dans \(\Pi^{\mathbb{D},\tau}\). On pose \(\rho = \tilde\omega\) (\(\rho^n = 1\)), \(\tilde\sigma_a\) l'image de la symétrie \(\sigma^0_a\) qui fixe l'arête \(a\) (\(\tilde\sigma_a^2 = 1\)), puis \[ (72)\qquad \sigma_a = \tilde\sigma_a\tau_a = \tau_a\tilde\sigma_a = (\lambda_a, \sigma^0_a) \in \Pi^{\mathbb{D}}, \qquad (74)\text{--}(76)\qquad \varepsilon_s = \sigma_a\rho, \quad \rho_s = \varepsilon_s^2 = \sigma_a\rho\sigma_a\rho, \] \(\sigma_a\) étant d'ordre \(2\). On en déduit \[ (77)\qquad \Pi^{\mathbb{D}}_P = \langle \rho, \sigma_{a_0} \mid \rho^n = \sigma_{a_0}^2 = 1 \rangle \simeq \mathbb{Z}/n * \mathbb{Z}/2, \] la relation (59) étant conséquence de \(\rho^n = \sigma_{a_0}^2 = 1\), et \(\rho(\varepsilon_s) = \varepsilon_{\rho(s)}\), \(\rho(\rho_s) = \rho_{\rho(s)}\).

Actions. Dans \(\Pi^{\tau}\) on calcule \[ \begin{gathered} (80)\qquad \tau_{a_0}(\rho_0) = \rho_0^{-1}, \quad \tau_{a_0}(\rho_1) = \rho_1^{-1}, \\ \tau_{a_0}(\rho_i) = \mathrm{int}\bigl((\rho_{i-1}\cdots\rho_1)^{-1}\bigr)(\rho_i^{-1}) \\ = \mathrm{int}(\rho_0\rho_{n-1}\cdots\rho_{i+1})(\rho_i^{-1}), \end{gathered} \]⁵⁶ et, plus généralement, \(\tilde g(\varepsilon_s) = \varepsilon_{g(s)}^{\mathrm{sg}(g)}\), \(\tilde g(\rho_s) = \rho_{g(s)}^{\mathrm{sg}(g)}\) — en particulier \(\tilde\sigma_{a_0}(\rho_i) = \rho_{1-i}^{-1}\) —, d'où \(\sigma_{a_0}(\rho_0) = \rho_1\), \(\sigma_{a_0}(\rho_1) = \rho_0\) et \(\sigma_{a_0}(\rho_i) = \tau_{a_0}(\rho_{n+1-i}^{-1}) = \mathrm{int}(\rho_0\rho_{n-1}\cdots\rho_{n+2-i})(\rho_{n+1-i})\) pour \(2 \leq i \leq n-1\)⁵⁷ . Le groupe total est \[ \begin{gathered} (86)\text{--}(87)\qquad \Pi^{\mathbb{D},\tau}_P = \Pi^{\mathbb{D}}_P \rtimes \{1, \tilde\sigma_{a_0}\}, \quad \tilde\sigma_{a_0}(\rho) = \rho^{-1},\ \tilde\sigma_{a_0}(\sigma_{a_0}) = \sigma_{a_0}, \\ \Pi^{\mathbb{D},\tau}_P \simeq D(\rho) *_{D_1} D(\sigma_{a_0}), \end{gathered} \] somme amalgamée du groupe diédral d'ordre \(2n\) engendré par \(\rho\) et \(\tilde\sigma_{a_0}\) et du groupe de Klein \(\{1, \sigma_{a_0}\} \times \{1, \tilde\sigma_{a_0}\}\) au-dessus de \(D_1 = \{1, \tilde\sigma_{a_0}\}\). La page écrit d'abord le produit semi-direct avec \(\tau_{a_0}\), en affirmant \(\tau_{a_0}(\rho) = \rho^{-1}\) ; son propre calcul donne \(\tau_{a_0}(\rho) = \sigma_{a_0}\rho^{-1}\sigma_{a_0}\), et elle se reprend aussitôt : « plus simplement », c'est \(\tilde\sigma_{a_0}\) qui inverse \(\rho\), ce qui est trivial puisque \(g \mapsto \tilde g\) est un homomorphisme⁵⁸ . Pour \(n = 3\), c'est \(\mathbb{D}_3 *_{\mathbb{Z}/2} (\mathbb{Z}/2)^2 \simeq PGL(2, \mathbb{Z})\), en accord avec (43).

La signature \((\infty, 2, n)\) (pages 85 à 91). Le quotient de \(\Sigma_P\) par \(\mathbb{D}_P\) est une droite projective, ramifiée d'ordre \(2\) en les images des \(R_s\) et des \(Q_a\), d'ordre \(n\) en celle des pôles ; en normalisant \(R_s \mapsto 0\), \(Q_a \mapsto 1\), \(P_\omega \mapsto \infty\), on obtient \[ (89)\qquad \Pi^{\mathbb{D}}_P \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_{0,3}/\langle\langle \rho_1^2, \rho_\infty^n \rangle\rangle = \pi_1\bigl(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}),\ \infty(0) + 2(1) + n(\infty);\ P_+\bigr). \] Pour le polygone épinglé \(S_0 = \mu_n(\mathbb{C})\) sur le cercle unité, \(\Sigma = \widehat{\mathbb{C}}\), \(\mathbb{D}^+ = \mu_n\) opérant par homothéties, \(\tau(z) = 1/\bar z\), l'application est explicite : \[ (92)\qquad g_n(z) = -\frac{(z^n - 1)^2}{4z^n} = g(z^n), \] composée de \(z \mapsto z^n\) et de l'application (23) : la carte cyclotomique \(X_n\) devient un revêtement galoisien de la carte universelle, de groupe \(\mathbb{D}_n\), ramifié d'ordres \(2, 2, n\) au-dessus de \(0, 1, \infty\). Pour en tirer un isomorphisme précis et non seulement extérieur, on prend le point base \(P\) dans le repère origine \(r_0 = (R_0, Q_{a_0}, P_\omega)\), envoyé sur \(P_+\), et l'on compte les traversées de la subdivision barycentrique : le chemin qui représente \(\rho\) franchit \((\infty, 0)\) puis \((\infty, 1)\), celui de \(\sigma_{a_0}\) franchit \((\infty, 1)\) puis \((0, 1)\). D'où \[ (98)\qquad g_n : \varepsilon_0 \mapsto \rho_0, \quad \sigma_{a_0} \mapsto \rho_1 = \rho_1^{-1}, \quad \rho \mapsto \rho_\infty^{-1}, \] en accord avec (41) pour \(n = 3\), et, pour la version à conjugaison, \[ (100)\qquad g_n(\tilde\sigma_{a_0}) = \tau_0, \qquad g_n(\tau_{a_0}) = \tau_0\rho_1 = \tau_\infty . \] « Pour se rassurer », la page vérifie que \(\tau_0\) inverse \(\rho_\infty\) et \(\rho_1\), comme \(\tilde\sigma_{a_0}\) inverse \(\rho\) et fixe \(\sigma_{a_0}\) (modulo \(\rho_1^2 = 1\)) ; c'est exact.

91–94

§7. Cartes \(P\)-pondérées (pages 91 à 94)

« Dans toutes ces considérations, on a un peu perdu de vue les cartes. » Le groupe \(\Pi^{\tau}_P\) est un groupe cartographique « pondéré polygonal » : ses ensembles finis où les involutions \(\tau_a\), indexées par les arêtes de \(P\), opèrent sans point fixe sont les ensembles de faces des cartes \(P\)-pondérées, cartes dont chaque face est un \(n\)-gone aux côtés numérotés circulairement, \(\tau_a\) envoyant une face sur sa voisine par le côté de type \(a\) : \[ \begin{gathered} (101)\qquad \{\text{cartes } P\text{-pondérées finies}\} \simeq \{\Pi^{\tau}_P\text{-ensembles finis spéciaux}\}, \\ (102)\qquad \{\text{cartes } P\text{-pondérées orientées}\} \simeq \{\Pi_P\text{-ensembles finis}\}. \end{gathered} \] Pour décrire \(\Pi^{\tau}_P\) et (101), on n'a besoin que de \(P\) ; pour \(\Pi_P\) et (102), il faut une orientation \(\omega\), bien qu'on puisse définir \(\Pi_P\) sans elle comme noyau de \(\Pi^{\tau}_P \to \{\pm 1\}\), \(\tau_a \mapsto -1\). Un quasi-inverse de (102) vient de la théorie de Galois des revêtements de \(\Sigma^*_P\) : l'image inverse de la carte canonique de \(\Sigma_P\), « carte \(P\)-pondérée orientée universelle », par un revêtement ramifié fini étale au-dessus de \(\Sigma^*_P\). Pour (101), on « tord » \(\mathbb{C}\) par l'orientation et l'on procède comme au §3. La généralisation du §5 aux cartes \(n\)-gonales est annoncée, « je ne vais pas détailler ce point ici ».

95–100

§8. Le fibré \(P\Sigma\) (pages 95 à 100)

Un nouveau paragraphe, à numérotation de formules propre, construit \(\Sigma\) autrement : on part d'un polygone régulier \(\tilde P_{2n}\) à \(2n\) côtés dans un plan vectoriel réel \(V\), revêtement double de \(P_n = \tilde P_{2n}/\pm 1\) (\(-1\) opérant par antipodie), et l'on pose \(\Sigma = \mathbb{P}(V)(\mathbb{C})\), les sommets de \(P_n\) allant sur les droites qu'engendrent ceux de \(\tilde P_{2n}\) ; tout se factorise par la droite projective réelle. L'action de \(D_{\tilde P_{2n}} \simeq \mathbb{D}_{2n}\) sur \(V\) passe à \(\Sigma\) en une action de \(D_{P_n} = D_{\tilde P_{2n}}/\pm 1\), qui est l'action naturelle.

Si \(n\) est impair, la suite \(1 \to \{\pm 1\} \to D_{\tilde P_{2n}} \to D_{P_n} \to 1\) est scindée — un scindage revient à choisir l'un des deux \(n\)-gones inscrits dans le \(2n\)-gone, comme les deux triangles d'un hexagone —, de sorte que l'action de \(D_{P_n}\) se relève linéairement, et \(\Sigma_{P_n} = \mathbb{P}(V_{P_n})\), l'application \(s \mapsto \mathbb{R}s\) étant injective sur les sommets. Si \(n\) est pair, la suite n'est pas scindée : déjà \(\mathbb{Z}/2n \to \mathbb{Z}/n\) ne l'est pas⁵⁹ . Comme l'extension est l'image réciproque de \(1 \to \{\pm 1\} \to SL^{\pm}(V) \to \mathrm{Aut}(\Sigma)\)⁶⁰ , l'action de \(D_{P_n}\) sur \(\Sigma_{P_n}\) ne se relève pas en une action linéaire, ni sur \((\Sigma_{P_n}, \mathcal{O}(1))\). Le \(\mathbb{C}^*\)-fibré principal \[ (12)\qquad P\Sigma_{P_n} = \check{\mathbb{V}}(\mathcal{O}_{\Sigma_{P_n}}(1))^* \] n'a donc pas d'action naturelle de \(D_{P_n}\), mais, le revêtement double \(\tilde P_{2n}\) choisi, il en a une de \(D_{\tilde P_{2n}}\). Grothendieck s'intéresse, \(n\) pair ou impair, au groupoïde fondamental de la restriction \(P\Sigma^*_{P_n}\) de ce fibré à \(\Sigma^*_{P_n}\), à l'action de \(D_{\tilde P_{2n}}\) et de \(D_{\tilde P_{2n}} \times \{1, \tau\}\) dessus, et aux groupes fondamentaux mixtes correspondants. Le texte s'interrompt sur le mot « Quand ».

102–123

Calculs sur un revêtement double (pages 102 à 123)

Ces feuillets, numérotés 11 à 16 de sa main (les feuillets 1 à 10 manquent au dossier), sont des calculs sans phrases ; on en restitue l'intention et ce qui se vérifie⁶¹ .

102–108

Le revêtement \(z \mapsto (2z-1)^2\) (pages 102 à 108)

L'involution \(\sigma_\infty : z \mapsto 1 - z\) de la sphère fixe \(\tfrac12\) et \(\infty\) et échange \(0\) et \(1\) ; le quotient est donné par \[ g(z) = (2z - 1)^2, \qquad \infty \mapsto \infty, \quad \tfrac12 \mapsto 0, \quad 0, 1 \mapsto 1, \] revêtement double ramifié au-dessus de \(0\) et \(\infty\). Soit \(l_0, l_1, l_\infty\) les lacets de la sphère privée de trois points (dans la variable \(w = g(z)\)), avec \(l_\infty l_1 l_0 = 1\), et \(\pi' \subset \Pi_{0,3}\) le sous-groupe d'indice \(2\), noyau du caractère \(l_0, l_\infty \mapsto -1\), \(l_1 \mapsto +1\) : c'est le groupe fondamental de la sphère privée de \(0, \tfrac12, 1, \infty\) (dans la variable \(z\)), engendré par \[ \lambda_0 = l_0^{-1} l_1 l_0, \quad \lambda_{1/2} = l_0^2, \quad \lambda_1 = l_1, \quad \lambda_\infty = l_\infty^2, \qquad \lambda_\infty\lambda_1\lambda_{1/2}\lambda_0 = 1, \] la relation se vérifiant à partir de \(l_\infty l_1 l_0 = 1\) ; la page 104 établit \(\lambda_0 = l_0^{-1}l_\infty^{-1} = (l_\infty l_0)^{-1} = \mathrm{int}(l_0^{-1})(l_1)\). En bouchant le point \(\tfrac12\), on obtient une surjection \(\pi' \to \Pi_{0,3}\) (\(\lambda_0 \mapsto l_0\), \(\lambda_{1/2} \mapsto 1\), \(\lambda_1 \mapsto l_1\), \(\lambda_\infty \mapsto l_\infty\)), qui se prolonge en \[ \hat\varphi_{1/2} : \widehat{\Pi}_{0,3} \longrightarrow \widehat{\Pi}_{0,3} \cdot \{1, \sigma_\infty\}, \qquad l_0 \mapsto \sigma_\infty, \quad l_1 \mapsto l_1, \quad l_\infty \mapsto \varepsilon_\infty, \] le second membre étant le groupe fondamental mixte de la sphère sous \(\sigma_\infty\), où \(\sigma_\infty\) et \(\varepsilon_\infty\) relèvent l'involution⁶² . La page 108 cherche ensuite comment un automorphisme à lacets \(u\) de \(\widehat{\Pi}_{0,3}\), \(u(l_i) = \mathrm{int}(g_i)(l_i^p)\), se transporte par \(\hat\varphi\) : la condition \(\hat\varphi(u(x)) = u(\hat\varphi(x))\) pour \(x = l_0\) force \(\hat\varphi(g_0)\) à commuter à \(\sigma_\infty\), d'où \(\hat\varphi_{1/2}(g_0) = \sigma_\infty^{\alpha}\) ; pour \(x = l_1\), on obtient \(\hat\varphi_{1/2}(\sigma_\infty(g_0)) = \sigma_\infty(g_0)\, l_1^{\beta}\), \(\beta\) ne dépendant que du choix de \(g_0\) ; le cas \(x = l_\infty\) reste inachevé.

110–114

Le revêtement d'ordre \(4\) (pages 110 à 114)

Le caractère \(\Pi_{0,3} \to \mathbb{Z}/4\) qui prolonge le précédent, avec \(\lambda_0, \lambda_{1/2}, \lambda_1, \lambda_\infty \mapsto 2\), est \[ l_0, l_\infty \mapsto 1, \qquad l_1 \mapsto 2 \pmod 4 \] (à l'automorphisme \(-1\) près) : de \(\alpha_1 = 2\) et \(2\alpha_0 \equiv 2\) on tire \(\alpha_0 \equiv \pm 1\), et \(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_\infty \equiv 0\) fixe \(\alpha_\infty\). Son noyau \(\pi''\) est le groupe d'un revêtement cyclique de degré \(4\), totalement ramifié au-dessus de \(0\) et \(\infty\), d'indice \(2\) au-dessus de \(1\) ; par Riemann–Hurwitz, c'est une courbe de genre \(1\) (privée de quatre points)⁶³ . La page 112 essaie un second prolongement (\(l_0 \mapsto \varepsilon_0\), \(l_1 \mapsto l_1\), \(l_\infty \mapsto \varepsilon_\infty\)), la page 114 un troisième \(\hat\varphi_\infty\) (\(l_0 \mapsto \varepsilon_\infty\), \(l_1 \mapsto l_0\), \(l_\infty \mapsto \sigma_\infty\)), puis note \(SL(2, \mathbb{Z}/12)' \simeq (SL(2, \mathbb{Z}/4) \times SL(2, \mathbb{Z}/3))/\pm 1\) et la surjection de \(SL(2, \widehat{\mathbb{Z}})'\) sur \(SL(2, \mathbb{Z}/2) \simeq \mathfrak{S}_3\), dont le noyau correspond aux revêtements « pairs »⁶⁴ .

116–123

Les lettres de Deligne (pages 116 à 123)

Une chemise porte, au crayon, « Calculs divers sur Teichmüller » et « Lettre Deligne sur groupes profinis ». Suivent deux lettres de P. Deligne à Grothendieck, que la transcription ne restitue pas ; selon ses notices, la première, datée du 27 mars 1981, porte sur les pro-groupes libres, les éléments d'ordre fini et centraux d'un complété profini de groupe libre, le centre des sous-groupes d'indice fini de \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) et les sous-groupes finis du groupe de Teichmüller (avec un renvoi à Kerckhoff) ; la seconde, sans date, résume la théorie du corps de classes et le théorème de Shimura–Taniyama sur la multiplication complexe. On n'en dit pas davantage (RIGHTS.md).

125–139

Diagrammes d'indices et le groupe \(\mathfrak{S}_{1,1}\) (pages 125 à 139)

125–125

Diagrammes d'indices (page 125)

Sur une feuille de papier kraft, sans phrases, des diagrammes d'inclusions entre sous-groupes de \(\mathcal{M}\) — un groupe de type \(\pi_1\) de multiplicité modulaire —, chaque arête portant son indice (\(2\), \(4\), \(6\), \(12\)), dessinés en cubes et en doubles pyramides, avec des quotients du type \(\mathcal{M} \to \mathfrak{S}_3 \times \mu \times \mu\), \(\mu = \{\pm 1\}\). On y lit l'ordre \(48\) de \(SL(2, \mathbb{Z}/4)\), son noyau d'ordre \(8\) vers \(SL(2, \mathbb{Z}/2)\), d'ordre \(6\), et la suite \(1 \to SL(2, \mathbb{Z}/4) \to GL(2, \mathbb{Z}/4) \to (\mathbb{Z}/4)^* \to 1\), toutes exactes. Ce sont des repères pour les pages 133 à 139.

128–130

Le groupe \(\mathfrak{S}_{1,1}\) (pages 128 à 130)

Le groupe \(\mathfrak{S}_{1,1}\) du tore marqué d'un point, groupe fondamental de la courbe universelle (avec la conjugaison), est identifié à \(\mathcal{T}^{!}_{1,2}\), le groupe modulaire étendu du tore à deux points fixés ; il contient \[ S\mathcal{T}_{1,1} \simeq GL(2, \mathbb{Z})^{\sim} = \mathrm{Norm}_{\mathfrak{S}_{1,1}}(L^!_0), \] \(L^!_0\) étant engendré par le lacet \(l^!_0\) autour du point base. Avec \([\tilde u, \tilde v] = l_0^{!\,-1}\), \(\tilde\rho^3 = \tilde\omega_0\), \(\tilde\sigma^2 = \tilde\omega_0^{-1}\), \(\tilde\omega_0^2 = l^!_0\), et des involutions \(\tilde r_0, \tilde r_1, \tilde r_\infty\) avec \(\tilde\rho = \tilde r_0\tilde r_1\), \(\tilde\sigma = \tilde r_\infty\tilde r_0\), \(\tilde r_1\tilde r_\infty = (\tilde\sigma\tilde\rho)^{-1} = \tilde\varepsilon_0^{-1}\), il obtient la présentation \[ \mathfrak{S}_{1,1} = \Bigl\langle \tilde r_0, \tilde r_1, \tilde r_\infty, \tilde u, \tilde v \Bigm| \begin{array}{l} \tilde r_i^2 = 1, \quad (\tilde r_0\tilde r_1)^3(\tilde r_\infty\tilde r_0)^2 = 1, \quad (\tilde r_0\tilde r_1)^6 = [\tilde u, \tilde v]^{-1}, \\ \tilde r_0 : \tilde u \leftrightarrow \tilde v, \quad \tilde r_\infty : \tilde u \mapsto \tilde u^{-1},\ \tilde v \mapsto \tilde u\tilde v\tilde u^{-1}, \quad \tilde r_1 : \tilde u \mapsto \tilde u^{-1},\ \tilde v \mapsto \tilde u\tilde v \end{array} \Bigr\rangle, \] les relations de la seconde ligne étant des relations de conjugaison \(\tilde r\tilde u\tilde r^{-1} = \ldots\)⁶⁵ . Les trois réflexions inversent le commutateur : \(\tilde r_i([\tilde u, \tilde v]) = [\tilde u, \tilde v]^{-1}\) pour \(i = 0, 1, \infty\), et \(\tilde\rho\), \(\tilde\sigma\) le fixent⁶⁶ . Ce groupe est, à isomorphisme près, \(\mathrm{Aut}(F_2)\) : le sous-groupe \(\langle \tilde u, \tilde v \rangle\) s'y plonge par les automorphismes intérieurs, et le quotient \(\mathrm{Out}(F_2) = GL(2, \mathbb{Z})\) est le groupe modulaire étendu du tore marqué⁶⁷ . La page 129, en marge d'une affiche du séminaire de géométrie algébrique de Montpellier (octobre 1980), écrit la loi d'associativité des couples \((\gamma, l)\) sur un diagramme de chemins.

133–139

Le cas \((0,3)\) : positions relatives (pages 133 à 139)

Pour le type \((0,3)\), le groupe \(\mathfrak{S} = \mathfrak{S}_{0,3}\) est présenté par \[ \mathfrak{S} = \langle \rho, \sigma, \tau' \mid \rho^6 = \sigma^4 = \tau'^2 = 1,\ \rho^3 = \sigma^2,\ \tau'(\rho) = \rho^{-1},\ \tau'(\sigma) = \sigma^{-1} \rangle \] — c'est \(GL(2, \mathbb{Z})\) (page 30) —, avec \(\tau = \sigma\tau' = \tau'\sigma^{-1}\) et \(\mathfrak{S}_{0,3}/\mathfrak{S}^{+!}_{0,3} \simeq \mathfrak{S}_3 \times \mu_\tau\). Le sous-groupe \(\Pi_0 = \langle \lambda_0, \lambda_1, \lambda_\infty \mid \lambda_\infty\lambda_1\lambda_0 = 1 \rangle\), \(\lambda_i = -l_i\), s'y plonge, et les quotients \[ \mathfrak{S}/\Pi_0 = \langle \rho, \sigma, \tau \mid \rho^6 = \sigma^4 = \tau^2 = 1,\ \rho^3 = \sigma^2,\ \tau(\sigma) = \sigma^{-1},\ \tau(\rho) = \rho,\ \sigma(\rho) = \rho^{-1} \rangle, \] d'ordre \(24\), et \(\mathfrak{S}^+/\Pi_0\), d'ordre \(12\), s'obtiennent en ajoutant \(\tau(\rho) = \rho\)⁶⁸ . Les grands diagrammes des pages 133 à 139 — (I) position relative des sous-groupes \(L_\rho\), \(L_\sigma\) engendrés par \(\rho\) et \(\sigma\) et de leurs normalisateurs diédraux \(D_\rho\), \(D_\sigma\) ; (II) le cube des groupes \(\Pi_0\), \(\Pi = \Pi_0 \times \mu\), \(\Pi' = \{1, \tau\} \cdot \Pi\), tous d'indice \(2\) les uns dans les autres ; (III) la place de \(\mathcal{M}(0)\) ; (IV) les centralisateurs \(Z_\rho\) et normalisateurs \(N_\rho\) — sont des treillis d'inclusions marqués de leurs indices (\(2\), \(3\), \(6\)), avec des arêtes \(\widehat{\mathbb{Z}}^*\) vers les groupes arithmétiques \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{M}^!\) ; on n'en restitue pas le détail, que la transcription décrit, et qui ne comporte pas d'énoncé. Une chemise annonce ensuite « \(S\mathcal{T}_{0,2}\), \(S\mathcal{T}_{1,1}\), \(S\mathcal{T}_{1,2}\) … ».

141–169

Le cylindre et le tore (pages 141 à 169)

141–148

Le groupe de Teichmüller spécial étendu du cylindre (pages 141 à 148)

Soit \(X = \mathbb{U} \times \mathbb{I}\), \(\mathbb{U} = \{|z| = 1\}\), \(\mathbb{I} = [-1, 1]\), de bord \(\mathbb{U}_{-1} \sqcup \mathbb{U}_1\). Le groupe diédral « torique » \(D_{\mathbb{U}} = \{1, \sigma\} \ltimes \mathbb{U} \simeq O(2, \mathbb{R})\), \(\sigma\) étant la conjugaison, a pour revêtement universel \(D_{\mathbb{R}} = \{1, \sigma\} \ltimes \mathbb{R}\), avec \(1 \to \mathbb{Z} \to D_{\mathbb{R}} \to D_{\mathbb{U}} \to 1\), opérant sur les revêtements \(\mathbb{R}_\varepsilon\) des composantes du bord par \((\sigma^\nu u)\cdot t = (-1)^\nu(t + u)\). Le sous-groupe \(D_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} = \{1, \sigma\} \ltimes (\mathbb{R} \times \mathbb{R})\) opère sur \(\widetilde{X} = \mathbb{R} \times \mathbb{I}\) par interpolation affine : pour \((u_{-1}, u_1)\), soit \(u_s = as + b\) l'application affine (\(a = (u_1 - u_{-1})/2\), \(b = (u_1 + u_{-1})/2\)) et \[ (15)\qquad f_{a,b}(t, s) = (t + as + b, s), \qquad \sigma(t, s) = (-t, s). \] Cette action est fidèle sur \(\widetilde{X}\) et même sur son bord ; deux éléments ont même effet sur \(X\) si et seulement si ils ont même composante \(\sigma^\nu\), même \(a\), et des \(b\) congrus modulo \(\mathbb{Z}\)⁶⁹ . Le groupe qui opère fidèlement sur \(X\) est donc \[ (21)\text{--}(22)\qquad D_{\mathbb{R}\times\mathbb{U}} = \{1, \sigma\} \ltimes (\mathbb{R} \times \mathbb{U}), \qquad g_{a,\theta}(z, s) = \bigl(z\, e^{2i\pi as}\,\theta,\ s\bigr), \quad \sigma(z, s) = (z^{-1}, s), \] \(\sigma\) opérant par \((u, \theta) \mapsto (-u, \theta^{-1})\). On y ajoute le retournement \(s \mapsto \varepsilon s\), \(\varepsilon = \pm 1\), qui change le signe de \(a\). Les éléments qui opèrent sur chaque composante du bord par des rotations d'ordre fini — \(\theta e^{\mp 2i\pi a} \in \mu_\infty(\mathbb{C})\) — sont ceux où \(\theta \in \mu_\infty\) et \(a \in \mathbb{Q}\) ; ils forment \[ (29)\text{--}(31)\qquad G = (\mu \times \mu) \ltimes (\mathbb{Q} \times \mu_\infty), \qquad \widetilde{G} = (\mu \times \mu) \ltimes (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}), \qquad 1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{G} \to G \to 1, \] avec \(\mu = \{\pm 1\}\), \(\mu_\infty \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), \(\sigma = (-1, -1)\), et l'action \[ (32)\text{--}(33)\qquad \bigl((\varepsilon, \varepsilon') f_{a,b}\bigr)(t, s) = \bigl(\varepsilon'(t + as + b),\ \varepsilon\varepsilon' s\bigr), \qquad \bigl((\varepsilon, \varepsilon') g_{a,\theta}\bigr)(z, s) = \bigl((z\theta e^{2i\pi as})^{\varepsilon'},\ \varepsilon\varepsilon' s\bigr). \] \(\varepsilon\) est le caractère d'orientation, \(\varepsilon\varepsilon'\) dit si les deux composantes du bord sont échangées. Le sous-groupe \(G_0\) des \(g_a(z, s) = (z e^{2i\pi as}, s)\) (\(\theta = 1\)) induit l'identité sur le bord si et seulement si \(a \in \mathbb{Z}\) : ce sont les puissances de la torsion de Dehn. La phrase suivante s'arrête.

149–149

L'invariant de torsion (page 149)

Un cylindre \(X\) porte trois ensembles à deux éléments : \(\varepsilon_0(X) = \pi_0(\partial X)\), l'ensemble \(\varepsilon_1(X)\) des deux générateurs de \(\pi_1(X) \simeq H_1(X)\), et l'ensemble \(\omega(X)\) de ses orientations, avec \(\omega(X) \simeq \varepsilon_0(X) \wedge \varepsilon_1(X)\) (une composante du bord et une orientation de celle-ci orientent \(X\)). Un automorphisme \(u\) de \(X\) induisant l'identité sur \(\partial X\) se relève de façon unique en \(\tilde u^{(S)}\) induisant l'identité au-dessus d'une composante \(S\) du bord ; au-dessus de l'autre, il opère par une translation \(n \in H_1(X)\), et échanger les rôles change \(n\) en \(-n\). L'invariant vit donc dans \[ H_1(X) \wedge_{\{\pm 1\}} \varepsilon_0(X) \simeq \mathbb{Z} \wedge_{\{\pm 1\}} \omega(X) : \] le nombre de torsions de Dehn est un entier dès que \(X\) est orienté, et son signe change avec l'orientation.

153–159

Le tore et ses générateurs (pages 153 à 159)

La page 153 se demande si \(\mathcal{T}^{!}_{1,2} \simeq GL(2, \mathbb{Z}) *_{D_\infty} GL(2, \mathbb{Z})\) : les éléments \(\tau'', \xi_0, \xi_1\) engendrent une copie de \(GL(2, \mathbb{Z})\), \(\tau'', \xi_2, \xi_1^{-1}\) une autre, \(\tau'', \xi_1\) un groupe diédral infini, et \(\tau\) échange les deux copies. La question reste ouverte dans le dossier⁷⁰ . Elle note aussi, pour le genre \(g\), un système de \(3g\) cylindres deux à deux en position standard ou disjoints, avec \(2g + g(g-1) = g(g+1)\) paires en position standard.

La page 155 dessine un tore traversé par deux cylindres ; \(\xi_0, \xi_1, \xi_2\) sont des torsions de Dehn, \(\tau, \tau', \tau''\) des involutions commutant deux à deux, et \[ \begin{gathered} \tau(\xi_0) = \xi_2, \quad \tau(\xi_1) = \xi_1^{-1}, \quad \tau'(\xi_i) = \tau''(\xi_i) = \xi_i^{-1}, \\ [\xi_0, \xi_2] = 1, \quad \xi_0\xi_1\xi_0 = \xi_1\xi_0\xi_1, \quad \xi_2\xi_1^{-1}\xi_2 = \xi_1^{-1}\xi_2\xi_1^{-1}, \end{gathered} \] d'où \((\xi_1\xi_0)^3 = (\xi_0\xi_1\xi_0)^2\)⁷¹ . La page 157 en tire les présentations \[ \begin{gathered} SL(2, \mathbb{Z}) = \langle \xi_0, \xi_1 \mid \xi_0\xi_1\xi_0 = \xi_1\xi_0\xi_1,\ (\xi_1\xi_0)^6 = 1 \rangle, \\ GL(2, \mathbb{Z}) = \langle r_0, \xi_0, \xi_1 \mid r_0^2 = 1,\ r_0(\xi_0) = \xi_1^{-1},\ r_0(\xi_1) = \xi_0^{-1}, \\ \ \xi_0\xi_1\xi_0 = \xi_1\xi_0\xi_1,\ (\xi_1\xi_0)^6 = 1 \rangle, \end{gathered} \] et, avec \(r_0, r_1, r_\infty\), celle des pages 30 et 33⁷² . Les relèvements \(\tilde\xi_0, \tilde\xi_1, \tilde r_0\) existent parce que les torsions fixent le point base au bord ; avec \(\tilde\rho = (\tilde\xi_1\tilde\xi_0)^{-1}\) et \(\tilde\sigma = \tilde\xi_0\tilde\rho^{-1} = \tilde\xi_0\tilde\xi_1\tilde\xi_0\), on a \(\tilde\sigma(\tilde\xi_0) = \tilde\rho(\tilde\xi_0) = \tilde\xi_1\) et \(\tilde\rho^{-3} = \tilde\sigma^2\) — « oui », écrit la marge ; c'est le groupe des tresses de la page 31, et l'on voudrait que \(\tilde\rho^{-6} = \tilde\sigma^4\) soit le générateur canonique du noyau vers \(\mathcal{T}_{1,1}\).

La page 159 réalise tout cela par des matrices dans une base \((e', e'')\) : les réflexions \(\tau' = \mathrm{diag}(1, -1)\), \(\tau'' = \mathrm{diag}(-1, 1)\), la rotation \(\sigma : e' \mapsto e'', e'' \mapsto -e'\), avec \(\tau'\tau'' = \sigma^2 = \omega_0 = -1\) ; la torsion \(\xi' : e' \mapsto e', e'' \mapsto e'' - e'\) et \(\xi'' = \sigma(\xi')\). Le dictionnaire \(\tau'' \mapsto \tau_\infty = r_\infty\), \(\sigma \mapsto \sigma_\infty\), \(\xi' \mapsto \xi_0\), \(\xi'' \mapsto \xi_1\), \(\sigma\tau' \mapsto r_0\) donne \(\xi_0 = \sigma\rho\), \(\xi_1 = \rho\sigma\), \(\xi_1\xi_0 = \rho\sigma^2\rho = -\rho^2 = \rho^{-1}\), avec le \(\rho\) des formulaires, et \(r_0(\rho) = \rho^{-1}\), \(r_0(\sigma) = \sigma^{-1}\), conformément à la relation de tresse.

161–169

Le groupe \(\Gamma_{1,1}\) et le cylindre (pages 161 à 169)

Un tore muni de deux cylindres \(X'\), \(X''\) se coupant en un carré : les ensembles \(\varepsilon_0, \varepsilon_1\) des deux cylindres s'échangent, \(\varepsilon_0(X') \simeq \varepsilon_1(X'')\), \(\varepsilon_1(X') \simeq \varepsilon_0(X'')\), et leurs orientations se correspondent, de façon « anticommutative ». \(\tau', \tau'', \sigma\) ne dépendent pas des orientations ; \(e', e''\) les fixent et définissent les torsions \(\rho', \rho''\) (\(\rho'(e'') = e' + e''\)). On a \[ \begin{gathered} \tau'^2 = \tau''^2 = \sigma^4 = 1, \quad \sigma^2 = \tau'\tau'', \\ \tau'(\rho') = \tau''(\rho') = \rho'^{-1}, \quad \tau'(\rho'') = \tau''(\rho'') = \rho''^{-1}, \quad \sigma(\rho') = \rho'', \end{gathered} \] et le dictionnaire \(\rho' \mapsto \varepsilon_0\), \(\rho'' \mapsto \varepsilon_1\), \(\tau'' \mapsto r_\infty\), \(\tau' \mapsto -r_\infty\), \(\sigma \mapsto \sigma_\infty\), d'où \(\sigma^{-1}\rho' \mapsto \rho\), \(\tau''\sigma \mapsto r_0\), \(\tau''\rho' \mapsto r_1\). La relation \((\sigma\rho')^3 = 1\) n'a pas lieu dans \(\Gamma^{+}_{1,1}\), mais dans un groupe « spécial »⁷³ . Les pages 163 et 165 décrivent l'ensemble des sommets du carré comme produit des ensembles \(\varepsilon\).

Les pages 165 à 167 réalisent le groupe diédral \(D_\sigma \simeq D_4\) sur un cylindre : \(\sigma(z, t) = (iz, -t)\), \(\sigma_1(z, t) = (\bar z, t)\), \(\sigma_2(z, t) = (-\bar z, t)\), avec \(\sigma^2 = \sigma_1\sigma_2\) et \(\sigma_1(\sigma) = \sigma_2(\sigma) = \sigma^{-1}\) (le point d'interrogation de la page peut être levé). Puis, avec une torsion \(\rho_1\) inversée par \(\sigma_1\) et commutant à \(\sigma^2\), le groupe \(\langle \sigma, \sigma_1, \rho_1 \mid \sigma^4 = \sigma_1^2 = 1,\ \sigma_1(\sigma) = \sigma^{-1},\ \sigma_1(\rho_1) = \rho_1^{-1},\ \sigma^2(\rho_1) = \rho_1 \rangle\), amalgame de \(D_\sigma\) et de \(D_{\rho_1} = \langle \rho_1, \sigma_1 \rangle\)⁷⁴ .

La page 169 fait opérer \(D_\infty \times \mu\) sur le cylindre \((z, s) \mapsto (\varepsilon z e^{2i\pi as}, \varepsilon' s)\) : avec \(\sigma_1(z, s) = (z^{-1}, s)\), \(\sigma_2(z, s) = (z, -s)\), la torsion \(\theta(z, s) = (z e^{2i\pi s}, s)\) et \(\mathbf{a}(z, s) = (-z, -s)\), on a \(\mathbf{a}^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = 1\), \(\sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1\), \(\mathbf{a}\sigma_1 = \sigma_1\mathbf{a}\), et \(\sigma_1, \sigma_2, \mathbf{a}\) inversent tous trois \(\theta\) ; toutes ces relations se vérifient sur les formules.

172–176

« Construction » (pages 172 à 176)

La page 172 rappelle la loi de composition dans une extension \(1 \to \pi \to E \to G \to 1\) décrite par des couples (voir les conventions), puis calcule, dans le complété du groupe des tresses, l'effet d'un automorphisme \(\tilde u\) sur les générateurs. La page 174 en donne le cadre : \[ (1)\text{--}(2)\qquad G = GL(2, \widehat{\mathbb{Z}}) \ltimes \widehat{\mathbb{Z}}, \qquad u \cdot \lambda = \det(u)\lambda, \] \(\mathfrak{z}(\lambda)\) désignant l'image de \(\lambda \in \widehat{\mathbb{Z}}\), et l'homomorphisme \[ \begin{gathered} (3)\qquad SL(2, \mathbb{Z})^{\sim} \to G, \\ \tilde\rho \mapsto \rho_0\,\mathfrak{z}(-2), \quad \tilde\sigma \mapsto \sigma_0\,\mathfrak{z}(3), \quad \tilde\omega_0 \mapsto \omega_0\,\mathfrak{z}(6), \quad \ell'_0 \mapsto \mathfrak{z}(12), \quad \tilde r_0 \mapsto r_0 . \end{gathered} \] Il est bien défini (\(\tilde\rho^{-3}\) et \(\tilde\sigma^2\) vont tous deux sur \(\omega_0\mathfrak{z}(6)\), puisque \(\rho_0^{-3} = \sigma_0^2 = -1\)) ; c'est le couple formé de la réduction \(B_3 \to SL(2, \mathbb{Z})\) et de l'abélianisation \(B_3 \to \mathbb{Z}\) (chaque \(\tilde\varepsilon_i\) va sur \(\mathfrak{z}(1)\)), qui est injectif sur \(B_3\), puisque le noyau \(\langle \ell'_0 \rangle\) de la première s'envoie isomorphiquement par la seconde⁷⁵ . Le sous-groupe \(SG = SL(2, \widehat{\mathbb{Z}}) \times \widehat{\mathbb{Z}}\) a pour centre \(\mu \times \widehat{\mathbb{Z}}\), de sorte que \(G\) opère sur \(SG\) par conjugaison à travers \(G/\widehat{\mathbb{Z}} \simeq GL(2, \widehat{\mathbb{Z}})\). Pour \(\beta = \mathbf{u}\, b^{-1} \in SL(2, \widehat{\mathbb{Z}})\), avec \(\mathbf{u} = \bigl(\begin{smallmatrix} \mu & \lambda \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\) et \(b = t\sigma + u\) dans le centralisateur de \(\sigma\), de déterminant \(t^2 + u^2 = \mu \in \widehat{\mathbb{Z}}^*\), on pose \(\tilde\eta = [\tilde\beta, \tilde\sigma] = \beta(\tilde\sigma)\tilde\sigma^{-1}\), inversé par \(\sigma\).

Les pages 173 et 176 cherchent alors un automorphisme \(\tilde u\) de multiplicateur \(\mu\) de la forme \[ \tilde u(\tilde\rho) = \lambda'\tilde\xi\tilde\rho, \qquad \tilde u(\tilde\sigma) = \lambda''\tilde\eta\tilde\sigma, \qquad \tilde u(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0^{\mu}, \qquad \tilde u(\tilde\varepsilon_0) \overset{?}{=} \tilde\varepsilon_0^{\mu}, \] avec des facteurs centraux \(\lambda', \lambda''\). Les conditions sur \(\tilde\rho^3\) et \(\tilde\sigma^2\) donnent \(\lambda' = \tilde\omega_0^{-(\mu - \varepsilon_3)/3}\) et \(\lambda'' = \tilde\omega_0^{(\mu - \varepsilon_2)/2}\), où \(\varepsilon_3, \varepsilon_2 \in \{\pm 1\}\) sont des signes de réduction de \(\mu\), d'où \(\lambda'\lambda'' = \tilde\omega_0^{(\mu - 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3)/6}\). La dernière condition, \(\tilde u(\tilde\varepsilon_0) = \tilde\varepsilon_0^{\mu}\), se ramène à une équation entre exposants, \(\nu' - \nu'' = 2\nu\), qui entraîne \(\nu_0 = 0\) quand \(\nu_2 = \nu_3 = 0\)⁷⁶ . Le calcul s'achève sur une égalité encadrée et interrogative, \(\lambda'\lambda'' \overset{?}{=} \tilde\xi^{-1}\tilde\eta\,\tilde l_1^{\nu}\). C'est, pour le type \((1,1)\), la recherche d'automorphismes « à lacets » du complété de \(B_3\) analogue à celle que le dossier 145 mène pour \(\widehat{\pi}_{0,3}\), et qui deviendra la théorie du groupe de Grothendieck–Teichmüller⁷⁷ .

179–182

Tours de groupes modulaires et courbes stables (pages 179 à 182)

179–179

Les tours \(\Gamma^{!+}_{g,\nu}\) (page 179)

Oublier un point donne des suites \(\Gamma^{!+}_{g,\nu} \to \Gamma^{!+}_{g,\nu-1}\), de noyau le groupe fondamental \(\Pi_{g,\nu-1}\) de la surface correspondante (suite exacte de Birman), et la page dessine les tours pour \(g = 0\), \(g = 1\), \(g \geq 2\), jusqu'à \(\Gamma^{!+}_{0,3} = 1\), \(\Gamma^{!+}_{1,1} \simeq SL(2, \mathbb{Z})\) et \(\Gamma^{!+}_{g,0}\)⁷⁸ . Dans chaque groupe, des sous-groupes canoniques commutatifs libres — engendrés par les torsions le long des cylindres d'une décomposition en pantalons — de rang \(\nu - 3\) pour \(g = 0\), \(\nu\) pour \(g = 1\), et \(3g - 3 + \nu\) en général⁷⁹ . Une ligne note le plongement \(k[x_1, \ldots, x_\nu] \subset k\{x_1\}\cdots\{x_\nu\}\) des séries itérées, qui servira à décrire les voisinages du bord.

181–182

Courbes stables et leur squelette (pages 181 et 182)

Les conditions qui définissent une courbe stable de type \((g, \nu)\) : \(X\) propre, connexe, de dimension \(1\), lisse sauf en des points doubles ordinaires (ensemble \(D\), de cardinal \(\mu\)) ; \(\chi(\mathcal{O}_X) = 1 - g\) ; \(S \subset X\) fini étale de rang \(\nu\) dans le lieu lisse ; toute composante dont la normalisée est de genre \(1\) rencontre \(D \cup S\) (sauf si \(X\) est lisse de genre \(1\) et \(S = \emptyset\)) ; toute composante de normalisée de genre \(0\) a au moins trois points au-dessus de \(D \cup S\). Si \(\widetilde{X}\) est la normalisée, de composantes de genres \(g_i\), \(s\) leur nombre, on a \[ g - 1 = \sum_i (g_i - 1) + \mu, \qquad g = \sum_i g_i + \mu + 1 - s, \qquad \mu + 1 - s \geq 0, \] la dernière inégalité par connexité⁸⁰ .

Le squelette \(\Sigma\) de \(X\) — aujourd'hui le graphe dual — est la donnée de l'ensemble \(\Delta = \pi_0(\widetilde{X})\) des composantes, de leurs genres \(g : \Delta \to \mathbb{N}\), et des applications \(\widetilde{D} \hookrightarrow \widetilde{D} \sqcup \widetilde{S} \xrightarrow{p} \Delta\), \(q : \widetilde{D} \to D\) de degré \(2\), avec : (a) \(D \sqcup_{\widetilde{D}} \Delta\) réduit à un point (connexité) ; (c) \(\sum_\delta (g(\delta) - 1) + \mathrm{card}\,D = g - 1\) ; (d) \(\mathrm{card}\,\widetilde{S} = \nu\) ; (e) et (f) les conditions de stabilité sur les composantes de genre \(1\) et \(0\). Avec \(\mu(\delta, \Sigma) = 3(g_\delta - 1) + \nu_\delta\), où \(\nu_\delta = \mathrm{card}\,p^{-1}(\delta)\), il calcule \[ \mu(\Sigma) = \sum_\delta \mu(\delta, \Sigma) = 3\sum_\delta (g_\delta - 1) + 2\mu + \nu = \bigl(3(g - 1) + \nu\bigr) - \mu = \mu(g, \nu) - \mu . \] C'est la dimension de la strate du bord de \(\widehat{M}_{g,\nu}\) formée des courbes de squelette \(\Sigma\) : la dimension \(3g - 3 + \nu\) de l'espace des modules, diminuée du nombre de points doubles, chacun imposant une condition⁸¹ . Le dossier s'arrête là.