Fonds Grothendieck, cote n° 143, pages 21–33 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)143
Paradigmes des courbes algébriques (version provisoire) : notes manuscrites (s.d.)
Pages 21 à 33 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1980-1981]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/143.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Groupoïdes et opérations de \Sigma (suite)
titre de l'éditeur : la page 21 continue sans titre un développement
commencé dans le premier lot
p. 11 de l'auteur
… un syst. transitif d'isom. entre les \pi_t (t \in \mathcal{T}),
permettant de les identifier tous : T. Ainsi \langle \mathcal{T}, \pi
\rangle devient un T-groupoïde, i.e. un groupoïde (pas néc. connexe) où
les groupes fondamentaux des comp. connexes sont tous identifiés à T. De
plus, \Sigma opère sur ce T-groupoïde (en opérant trivialement sur T) via
ses opérations sur le système (\mathcal{T}, \pi) (\pi-prolongeant), en opérant sur \mathcal{T} par l'op. donnée et
sur \pi via ext. de \Sigma, enfin sur T via Gvia…
Si \Sigma opère sur \mathcal{T}, , et : \pi,
on trouve un groupoïde \langle \mathcal{T}, \pi \rangle sur lequel \Sigma
opère. Supposons un groupoïde , donné par une
famille de groupes (T_j)_{j \in J} indexée par J = \mathcal{T}/\pi,
sur laquelle opère \Sigma via \Sigma/\pi = G. Ceci dit, on suppose donnée
une trivialisation de cette famille (T_j) par T \simeq T_j, compatible
avec
G — lequel opère donc sur T. Ceci donne naissance automatiquement
: \mathcal{T} \to…
Ceci dit, on a un hom. du groupoïde \langle \mathcal{T}, \pi \rangle dans
le groupoïde des revêt. universels de \Pi, construits sur les ;
explic. : à valeurs \widetilde{\Pi} sur ceux-ci, dans l'ens.
des dans \pi — et pour t, t' \in \mathcal{T}, pour
\pi_{t,t'} \;\simeq\; \mathrm{Isom}_{\langle \mathcal{T}, \pi \rangle}(t, t')l'isomorphisme avec \mathrm{Isom} est ajouté au-dessus de la ligne et
rattaché par un trait
l'ens. des \lambda \in \pi tels que \lambda t = t', l'inclusion de
\pi_{t t'} dans \pi. Le foncteur
\langle \mathcal{T}, \pi \rangle \longrightarrow
\text{Cat des revêt.\ universels de } \Pi (\widetilde{\Pi} ; un seul objet et groupe
d'isom.\pi) …
\Sigma sur \Pi donné sur \pi … compatibles …
p. 12 de l'auteur
Inversement, donnons-nous un T-groupoïde \Lambda, (un
groupoïde T-fidèle), une opération de \Sigma sur
(T, \Lambda), et un hom. de groupoïdes
\Lambda \xrightarrow{\ \text{foncteur fidèle}\ } \text{groupoïde}« fidèle » est souligné deux fois
: un seul objet, dont les autom. sont \pi ; des revêt.
universels de \Pi égaux à \widetilde{\Pi} …, compatible avec les
opérations de \Sigma. Soit \mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda [lequel
\mathcal{T} est un \Sigma-ens.], et pour t, t' \in \mathcal{T}, on a un
hom. injectif\underbrace{\mathrm{Isom}_{\Lambda}(t, t')}_{\pi_{t,t'}} \hookrightarrow \pi
compatible avec la composition des Isom.
Ceci exprime la donnée d'un foncteur fidèle d'un groupoïde \Lambda dans
\langle \pi \rangleMais on [il faut en donner une famille de
groupes (\pi_t)_{t \in \mathcal{T}} de \pi et d'ensembles ces \pi_{t'}, \pi_t …] On va maintenant introduire les op. de
\pi sur \Lambda, compatibles avec ses op. sur \pi par automorph. int.
Pour ceci, on va exiger
\left\{
\begin{array}{l}
\forall t \in \mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda, \text{ la famille des }
\pi_{t,t'} \subset \pi \ (t' \in \mathcal{T} \text{ variable}) \text{ forme une}\\
\text{pseudo-partition de } \pi, \text{ i.e. } \forall \lambda \in \pi,\
\exists \text{ un unique } t' \text{ tel que } \lambda \in \pi_{t,t'},\\
\text{i.e. une unique flèche de } \Lambda \text{ au-dessus de } \lambda
\text{ qui soit d'origine } t.
\end{array}
\right.examinons condition \exists ! de remontée des glissements
: origines , de groupoïdes …note écrite dans la marge de gauche, à la hauteur de l'accolade
Ce qui donne l'opération de \pi sur \mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda, et
la vérification de
\Lambda \simeq \langle \mathcal{T}, \pi \rangle
et le foncteur \Lambda \to \langle \pi \rangle. de plus que les stabilisateurs\pi_t sont abéliens, d'où
une famille de groupes (T_j)_{j \in J = \mathcal{T}/\pi}, et opération de
\Sigma sur (T, \Lambda), de sorte que \Lambda \to \langle \pi \rangle
soit compatible avec op. de \Sigma …
Ce n'est pas bien éclairant — peut-être est-il plus agréable de
p. 13 de l'auteur
considérer que ensemble\mathcal{T} (discret) (qui
l'ensemble \pi) un foncteur
sur la flèche verticale, un début d'étiquette biffé, puis
« E \mapsto \widetilde{\Pi}{}^{0} \times_{\pi} E » ; la flèche courbe de
(\pi\text{-}\mathrm{Ens}) vers (\mathrm{Ens}) porte
« E \mapsto \mathcal{T}^{0} \wedge_{\pi} E »
[NB l'indice 0 indique qu'on a remplacé les faire opérer \pi : ) …]
Foncteur commutant aux \varinjlim quelconques. Ceci dit, on
veut que F (qui opère sur \mathrm{Rev}(\Pi) via ses opérations sur \Pi)
soit compatible avec les foncteurs F, i.e. qu'on ait des isom.
F({}^{\gamma}\Pi') \simeq F(\Pi') \qquad (\Pi' \in \ill{}\ \Pi)l'indice de \Pi' \in \ldots est surchargé et n'a pas été lu
fonctoriels en \Pi', et une transitivité pour \gamma variable. Cela
que l'opération de \pi sur \mathcal{T} soit prolongée en une opération de
\Sigma sur \mathcal{T}. Mais ceci ne donne pas d'interprétation
de la T-. Arrêtons …
(9) Les schémas et Topos fondamentaux dans la théorie …
titre de l'auteur, le 9 entouré ; la phrase s'interrompt sur des points
(A) Topos Topos modulaires
« Topos » récrit au-dessus du premier mot biffé
… (\mathcal{T}_{0,\nu})_{\overline{\mathbb{Q}}} pour les courbes de
genre 0 avec \nu points marqués, et famille des modulaires
sur \mathcal{T}_{0,\nu} …
Le Topos (\mathcal{T}_{0,\nu})_{\mathbb{Q}} pour \nu = 0, 1, 2existe [comme topos] étendues — car les schémas
d'hom. d'une X/S fibré projectif de genre 0 et de \nu sections
marquées (disjointes). Cela tient au fait que de lieu 3 - \nu > 0 (i.e. 0 \leqslant \nu \leqslant 2). Ce sont en
fait les topos
B_{\mathrm{PGL}(2)}, \quad B_{\mathrm{Aff}(1)}, \quad B_{\mathbb{G}_m},
(B_G = classifiant de )
p. 14 de l'auteur
groupes fondamentaux sont triviaux :
\pi_1(\mathcal{T}_{0,\nu}) = 0, \qquad 0 \leqslant \nu \leqslant 3 .le 3 est repassé sur un autre chiffre ; au-dessus de « triviaux »,
une addition de l'auteur, « connue »
Le Type \mathcal{T}_{0,\nu} (\nu \geqslant 4) correspond au
\to le topos schéma étale de des syst. de \nu - 3
points distincts (x_1, \ldots, x_{\nu-3}) dans
\mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\} = \mathbb{E}^1 \smallsetminus \{0, 1\} .la lettre de \mathbb{E}^1 est un E à double trait, lu tel quel
Son groupe fondamental est le complété profini d'un groupe de
tresses\Pi_{0,\nu}, lequel (« groupe ») dépend
contra-fonctoriellement de [1, \nu] pour les monomorphismes. Sur
(\mathcal{T}_{0,\nu})_{\mathbb{Q}} du (\mathcal{T}_{0,\nu})_{\overline{\mathbb{Q}}}
on fait opérer \mathfrak{S}_\nu, donc \mathfrak{S}_\nu \times \Gamma opère
sur \mathcal{T}_{0,\nu},
« du (\mathcal{T}_{0,\nu})_{\overline{\mathbb{Q}}} » est ajouté
au-dessus de la ligne ; le reste de la page est blanc
Une conjecture arithmético-géométrique
titre de l'auteur, souligné, précédé d'un chiffre entouré lu 9
p. 15 de l'auteur
Soient g, \nu \geqslant 0 deux entiers. On désigne par M_{g,\nu} le topos
modulaire (sur \mathbb{Q}) pour les courbes (relatives) lisses propres
relativement connexes de genre g, munies d'un \nu-uple ordonné
de \nu sections disjointes deux à deux fibre par fibre.
le M est écrit en surcharge sur une première lettre, qui semble être
un \mathcal{T} ; « sur \mathbb{Q} » et « relatives » sont ajoutés
au-dessus de la ligne
Sauf pour g = 0, \nu = 0, 1, 2 et g = 1, \nu = 0, ce topos est
associé : étendue algébrique, =.
On a un hom. naturel extérieur(*) \qquad \pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(\overline{X} \smallsetminus
\{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr)
où (X; x_1, \ldots, x_\nu) (sur \overline{\mathbb{Q}}) \to le pt
correspondant de genre gM_{g,\nu}(\overline{\mathbb{Q}}) … avec
\nu pts marqués associé à \xi (l'exposant\circ indique qu'on
se borne aux automorphismes du \pi_1 qui les classes
d'inertie aux x_i …). Notations(**) \qquad \pi_1(\overline{M}_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ\circ}\bigl(\pi_1(\overline{X} \smallsetminus
\{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr)
où le double \circ indique qu'on se borne aux pour des … strictement induisant l'identité sur
T = \mathrm{Tate}(\overline{\mathbb{Q}}).
(***) \qquad \pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ\circ}\,
\underbrace{\pi_1(X \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})}_{=\ \mathcal{T}_{g,\nu}\ (\text{Teichmüller})}
(théorie top.) qui induit un
il faut plus strict, et exiger la aux
— des définition \pi_1 ?? … g = 0,
\nu = 3 …note écrite en diagonale dans la marge inférieure gauche ; le signe
sous l'accolade de (***) est précédé d'un mot biffé illisible
isomorphisme, et dans ces cas on un .
On a ainsi un :
le diagramme suivant est numéroté (4) par l'auteur
la flèche verticale de gauche est marquée « \wr » avec un point
d'interrogation, et porte à droite une étiquette biffée, récrite
« \mathcal{T}_{g\nu} » ; le dernier terme de la seconde ligne est coupé par
le bord du feuillet et n'est lu qu'à moitié
sauf si g = 0, \nu = 0, 1, 2 ; g = 1, \nu = 0 ?en haut à gauche, entouré
… que \widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \to
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}(\ill{})injective
dans …
On aimerait que la flèche (1) (la flèche verticale centrale
de (5)) soit un iso. Cela donnerait une construction de \Gamma
comme
\underbrace{\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(X \smallsetminus
\{x_1, \ldots, x_\nu\})^{\wedge}\bigr)}_{\text{groupe \ill{} bien connu}}
\big/ \widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu}
« (1) » et « (5) » sont lus tels quels ; le diagramme ci-dessus est
numéroté (4)
Ex Pour g = 0, \nu = 3 cela donnerait l'expression déjà
envisagée de \Gamma comme
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(\mathbb{P}^1 \smallsetminus
\{0, 1, \infty\})\bigr).
Vérifier conjecture : \pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \simeq normalisateur de
\widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu} dans
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(X_\xi \smallsetminus \{x_1,
\ldots\})\bigr) … commutant et structure locale …p. ex. (g, \nu) … g = 0, \nu = 0, 1, 2 ; g = 1
… il conviendrait d'être l'exigence …deux notes écrites en diagonale dans la marge de gauche ; un bloc de la
seconde, encadré, est raturé en zigzag et n'a pas été lu
p. 16 de l'auteur
Si on considère le quotient N_{g,\nu} de M_{g,\nu} par \mathfrak{S}_\nu
(de sorte que M_{g,\nu} est un rev. de groupe \mathfrak{S}_\nu de
N_{g,\nu}) …
(5) \qquad 1 \to \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \longrightarrow
\pi_1(N_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow \mathfrak{S}_\nu \times \Gamma \to 1\pi_1(N_{g,\nu;\xi}) = \pi_1(\overline{N}_{g,\nu}, \Gamma; \xi) =
\pi_1(M_{g,\nu}; \mathfrak{S}_\nu, \xi) = \pi_1(\overline{M}_{g,\nu},
\mathfrak{S}_\nu \times \Gamma)les trois dernières écritures sont posées sous le terme du milieu,
reliées par des signes = verticaux
structure d'extension un peu plus riche que la première ligne de (4). La
conjecture fait équivalent : la suivante :
\pi_1(N_{g,\nu;\xi}) \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}\bigl(\pi_1(X_\xi \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr)
on en tire
\Gamma \simeq \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}\bigl(\pi_1(X_\xi \smallsetminus
\{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr) \big/ \widehat{\widetilde{\mathcal{T}}}_{g,\nu}
où
\widetilde{\mathcal{T}}_{g,\nu} \simeq
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{+}\bigl(\pi_1(X_\xi^{\mathrm{top}} \smallsetminus
\{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr).l'exposant de X_\xi dans la dernière formule est un petit signe
surmonté d'un trait, lu « top » sous réserve
{}^{*}NB Il faudrait déterminer le groupe des automorphismes
G_{g,\nu} (des topos modulaires géom. \overline{M}_{g,\nu}) (G_{g,\nu} = \mathrm{Im}\,\mathfrak{S}_\nu ?) sauf
\mathfrak{S}_\nupour fidèlement g = 0,
\nu \leqslant 4 …)
ce NB est d'une autre encre, plus claire, comme la question qui suit
feuillet de listing retourné, écrit en largeur ; les deux diagrammes
sont dessinés en perspective, chaque ligne décalée vers la droite, et sont
redessinés ici sur une grille
sous le premier \widehat{\pi}_{g,\nu}, une écriture biffée
(« \pi_1(\overline{X}) \ldots » ?) ; sous
\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}(\widehat{\pi}_{g,\nu})^{!} \to \Gamma,
un mot souligné d'une accolade, tresses ; la liaison entre les
deux \Gamma est un double trait. Les étiquettes \Sigma_{\nu+1} et
\Sigma_\nu sont écrites loin à droite des deux lignes
M'_{g,\nu}(k) \ni \xi, \qquad \mathcal{T}'_{g,\nu} \ni G_\xien bas à gauche du feuillet
\widehat{\widetilde{\Sigma}}_{g,\nu} = \overline{\Sigma}_{g,\nu}
\qquad\qquad \Sigma_{g,\nu}en bas, au milieu : le premier terme est précédé et surmonté de signes raturés, illisibles, et
le = est vertical, \overline{\Sigma}_{g,\nu} étant écrit sous
\widehat{\widetilde{\Sigma}}_{g,\nu}