Cote n° 143, pages 21–33

Cote n° 143 · batch 2 · pages 21–33 · Transcription · Paradigmes des courbes algébriques (version provisoire) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1980-1981]
Édition de démonstration

Groupoïdes et opérations de \(\Sigma\) (suite)

titre de l'éditeur : la page 21 continue sans titre un développement commencé dans le premier lot

21p. 11 de l'auteur

… un syst. transitif d'isom. entre les \(\pi_t\) (\(t \in \mathcal{T}\)), permettant de les identifier tous : […] \(T\). Ainsi \(\langle \mathcal{T}, \pi \rangle\) devient un \(T\)-groupoïde, i.e. un groupoïde (pas néc. connexe) où les groupes fondamentaux des comp. connexes sont tous identifiés à \(T\). De plus, \(\Sigma\) opère sur ce \(T\)-groupoïde (en opérant trivialement sur \(T\)) via ses opérations sur le système \((\mathcal{T}, \pi)\) (\(\pi\)-[…] prolongeant), en opérant sur \(\mathcal{T}\) par l'op. donnée et sur \(\pi\) via […] […] ext. de \(\Sigma\), enfin sur \(T\) via \(G\) via […]…

Si \(\Sigma\) opère sur \(\mathcal{T}\), […] […], et […] : \(\pi\) […], on trouve un groupoïde \(\langle \mathcal{T}, \pi \rangle\) sur lequel \(\Sigma\) opère. Supposons […] un groupoïde […], […] donné par une famille de groupes […] \((T_j)_{j \in J}\) indexée par \(J = \mathcal{T}/\pi\), sur laquelle opère \(\Sigma\) via \(\Sigma/\pi = G\). Ceci dit, on suppose donnée une trivialisation de cette famille \((T_j)\) par \(T \simeq T_j\), compatible avec […] […]

22\(G\) — lequel opère donc sur \(T\). Ceci donne naissance automatiquement […] : […] \(\mathcal{T} \to\) […]…

Ceci dit, on a un hom. du groupoïde \(\langle \mathcal{T}, \pi \rangle\) dans le groupoïde des revêt. universels de \(\Pi\), construits sur les […] ; explic. : […] à valeurs \(\widetilde{\Pi}\) sur ceux-ci, […] dans l'ens. des […] dans \(\pi\) — et pour \(t, t' \in \mathcal{T}\), pour \[ \pi_{t,t'} \;\simeq\; \mathrm{Isom}_{\langle \mathcal{T}, \pi \rangle}(t, t') \] l'isomorphisme avec \(\mathrm{Isom}\) est ajouté au-dessus de la ligne et rattaché par un trait l'ens. des \(\lambda \in \pi\) tels que \(\lambda t = t'\), […] l'inclusion de \(\pi_{t t'}\) dans \(\pi\). Le foncteur \[ \langle \mathcal{T}, \pi \rangle \longrightarrow \text{Cat des revêt.\ universels de } \Pi \] […] (\(\widetilde{\Pi}\) ; un seul objet et groupe d'isom. \(\pi\)) …

[…] \(\Sigma\) sur \(\Pi\) […] donné sur \(\pi\) … compatibles […] […] …

23p. 12 de l'auteur

Inversement, donnons-nous un \(T\)-groupoïde […] \(\Lambda\), (un groupoïde \(T\)-fidèle), une opération de \(\Sigma\) sur \((T, \Lambda)\), et un hom. de groupoïdes \[ \Lambda \xrightarrow{\ \text{foncteur fidèle}\ } \text{groupoïde} \] « fidèle » est souligné deux fois : un seul objet, dont les autom. sont \(\pi\) ; des revêt. universels de \(\Pi\) égaux à \(\widetilde{\Pi}\) …, compatible avec les opérations de \(\Sigma\). Soit \(\mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda\) [lequel \(\mathcal{T}\) est un \(\Sigma\)-ens.], et pour \(t, t' \in \mathcal{T}\), on a un hom. injectif \[ \underbrace{\mathrm{Isom}_{\Lambda}(t, t')}_{\pi_{t,t'}} \hookrightarrow \pi \] compatible avec la composition des Isom.

Ceci exprime la donnée d'un foncteur fidèle d'un groupoïde \(\Lambda\) dans \(\langle \pi \rangle\) Mais on [il faut en donner une famille de […] groupes \((\pi_t)_{t \in \mathcal{T}}\) de \(\pi\) et d'ensembles […] […] ces \(\pi_{t'}\), \(\pi_t\) …] On va maintenant introduire les op. de

24\(\pi\) sur \(\Lambda\), compatibles avec ses op. sur \(\pi\) par automorph. int. Pour ceci, on va exiger \[ \left\{ \begin{array}{l} \forall t \in \mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda, \text{ la famille des } \pi_{t,t'} \subset \pi \ (t' \in \mathcal{T} \text{ variable}) \text{ forme une}\\ \text{pseudo-partition de } \pi, \text{ i.e. } \forall \lambda \in \pi,\ \exists \text{ un unique } t' \text{ tel que } \lambda \in \pi_{t,t'},\\ \text{i.e. une unique flèche de } \Lambda \text{ au-dessus de } \lambda \text{ qui soit d'origine } t. \end{array} \right. \] examinons […] condition \(\exists !\) de remontée des glissements : origines […], […] […] de groupoïdes … note écrite dans la marge de gauche, à la hauteur de l'accolade

Ce qui donne l'opération de \(\pi\) sur \(\mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda\), et la vérification de \[ \Lambda \simeq \langle \mathcal{T}, \pi \rangle \] et le foncteur \(\Lambda \to \langle \pi \rangle\). […] […] […] de plus que les stabilisateurs \(\pi_t\) sont abéliens, d'où une famille de groupes \((T_j)_{j \in J = \mathcal{T}/\pi}\), et opération de \(\Sigma\) sur \((T, \Lambda)\), de sorte que \(\Lambda \to \langle \pi \rangle\) soit compatible avec op. de \(\Sigma\) …

Ce n'est pas bien éclairant — peut-être est-il plus agréable de

25p. 13 de l'auteur

considérer que ensemble \(\mathcal{T}\) (discret) (qui […] l'ensemble \(\pi\)) […] un foncteur

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
    \mathrm{Rev}(\Pi) \arrow[r, "F"] & (\mathrm{Ens}) \\
    (\pi\text{-}\mathrm{Ens}) \arrow[u, "\simeq"] \arrow[ur, bend right=20] &
  \end{tikzcd}

sur la flèche verticale, un début d'étiquette biffé, puis « \(E \mapsto \widetilde{\Pi}{}^{0} \times_{\pi} E\) » ; la flèche courbe de \((\pi\text{-}\mathrm{Ens})\) vers \((\mathrm{Ens})\) porte « \(E \mapsto \mathcal{T}^{0} \wedge_{\pi} E\) »

[NB l'indice \(0\) indique qu'on a remplacé les […] […] […] […] faire opérer \(\pi\) : […]) …]

Foncteur […] […] commutant aux \(\varinjlim\) quelconques. Ceci dit, on veut que \(F\) (qui opère sur \(\mathrm{Rev}(\Pi)\) via ses opérations sur \(\Pi\)) soit compatible avec les foncteurs \(F\), i.e. qu'on ait des isom. \[ F({}^{\gamma}\Pi') \simeq F(\Pi') \qquad (\Pi' \in \ill{}\ \Pi) \] l'indice de \(\Pi' \in \ldots\) est surchargé et n'a pas été lu fonctoriels en \(\Pi'\), et une transitivité pour \(\gamma\) variable. Cela […] […] […]

26que l'opération de \(\pi\) sur \(\mathcal{T}\) soit prolongée en une opération de \(\Sigma\) sur \(\mathcal{T}\). Mais ceci ne donne pas d'interprétation […] de la \(T\)-[…]. Arrêtons …

(9) Les schémas et Topos fondamentaux dans la théorie …

titre de l'auteur, le 9 entouré ; la phrase s'interrompt sur des points

(A) Topos […] Topos modulaires

« Topos » récrit au-dessus du premier mot biffé

… \((\mathcal{T}_{0,\nu})_{\overline{\mathbb{Q}}}\) pour les courbes de genre \(0\) avec \(\nu\) points marqués, et famille des modulaires […] […] sur \(\mathcal{T}_{0,\nu}\) …

Le Topos \((\mathcal{T}_{0,\nu})_{\mathbb{Q}}\) pour \(\nu = 0, 1, 2\) existe [comme topos] étendues — car les schémas […] d'hom. d'une \(X/S\) fibré projectif de genre \(0\) et de \(\nu\) sections marquées […] (disjointes). Cela tient au fait que […] de lieu […] \(3 - \nu > 0\) (i.e. \(0 \leqslant \nu \leqslant 2\)). […] Ce sont en fait les topos \[ B_{\mathrm{PGL}(2)}, \quad B_{\mathrm{Aff}(1)}, \quad B_{\mathbb{G}_m}, \] (\(B_G\) = classifiant de […])

27p. 14 de l'auteur

groupes fondamentaux sont triviaux : \[ \pi_1(\mathcal{T}_{0,\nu}) = 0, \qquad 0 \leqslant \nu \leqslant 3 . \] le \(3\) est repassé sur un autre chiffre ; au-dessus de « triviaux », une addition de l'auteur, « […] connue »

Le Type \(\mathcal{T}_{0,\nu}\) (\(\nu \geqslant 4\)) correspond au \(\to\) le topos […] schéma étale de des syst. de \(\nu - 3\) points distincts \((x_1, \ldots, x_{\nu-3})\) dans \[ \mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\} = \mathbb{E}^1 \smallsetminus \{0, 1\} . \] la lettre de \(\mathbb{E}^1\) est un E à double trait, lu tel quel

Son groupe fondamental est le complété profini d'un groupe de tresses \(\Pi_{0,\nu}\), lequel (« groupe […] ») dépend contra-fonctoriellement de \([1, \nu]\) pour les monomorphismes. Sur \((\mathcal{T}_{0,\nu})_{\mathbb{Q}}\) du \((\mathcal{T}_{0,\nu})_{\overline{\mathbb{Q}}}\) on fait opérer \(\mathfrak{S}_\nu\), donc \(\mathfrak{S}_\nu \times \Gamma\) opère sur \(\mathcal{T}_{0,\nu}\),

« du \((\mathcal{T}_{0,\nu})_{\overline{\mathbb{Q}}}\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; le reste de la page est blanc

Une conjecture arithmético-géométrique

titre de l'auteur, souligné, précédé d'un chiffre entouré lu 9

28p. 15 de l'auteur

Soient \(g, \nu \geqslant 0\) deux entiers. On désigne par \(M_{g,\nu}\) le topos modulaire (sur \(\mathbb{Q}\)) pour les courbes (relatives) lisses propres relativement connexes de genre \(g\), munies d'un \(\nu\)-uple ordonné de \(\nu\) sections disjointes deux à deux fibre par fibre. le \(M\) est écrit en surcharge sur une première lettre, qui semble être un \(\mathcal{T}\) ; « sur \(\mathbb{Q}\) » et « relatives » sont ajoutés au-dessus de la ligne

Sauf pour \(g = 0\), \(\nu = 0, 1, 2\) et \(g = 1\), \(\nu = 0\), ce topos est associé : […] étendue algébrique, […] \(=\) […].

On a un hom. naturel extérieur \[ (*) \qquad \pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(\overline{X} \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr) \] où \((X; x_1, \ldots, x_\nu)\) (sur \(\overline{\mathbb{Q}}\)) \(\to\) le pt correspondant de genre \(g\) […] \(M_{g,\nu}(\overline{\mathbb{Q}})\) … avec \(\nu\) pts marqués associé à \(\xi\) (l'exposant \(\circ\) indique qu'on se borne aux automorphismes du \(\pi_1\) qui […] les classes d'inertie aux \(x_i\) …). Notations […] \[ (**) \qquad \pi_1(\overline{M}_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ\circ}\bigl(\pi_1(\overline{X} \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr) \] où le double \(\circ\) indique qu'on se borne aux […] pour des […] … strictement […] induisant l'identité sur \(T = \mathrm{Tate}(\overline{\mathbb{Q}})\). \[ (***) \qquad \pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ\circ}\, \underbrace{\pi_1(X \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})}_{=\ \mathcal{T}_{g,\nu}\ (\text{Teichmüller})} \] (théorie top.) qui induit un

il faut […] plus strict, et exiger la […] aux […] — des […] […] définition […] \(\pi_1\) ?? … \(g = 0\), \(\nu = 3\) … note écrite en diagonale dans la marge inférieure gauche ; le signe sous l'accolade de \((***)\) est précédé d'un mot biffé illisible

29isomorphisme, et dans ces cas on […] […] un […] […]. On a ainsi un […] :

le diagramme suivant est numéroté (4) par l'auteur

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
    1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{M}_{g,\nu;\xi}) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"'] &
      \pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma \arrow[r] \arrow[drr] & 1 & \\
    1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \arrow[r] &
      \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(X \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr)
      \arrow[rrr] & & & \mathrm{Out}\ldots \arrow[d] \\
    & & & & & 1
  \end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est marquée « \(\wr\) » avec un point d'interrogation, et porte à droite une étiquette biffée, récrite « \(\mathcal{T}_{g\nu}\) » ; le dernier terme de la seconde ligne est coupé par le bord du feuillet et n'est lu qu'à moitié

sauf si \(g = 0\), \(\nu = 0, 1, 2\) ; \(g = 1\), \(\nu = 0\) ? en haut à gauche, entouré

… que \(\widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \to \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}(\ill{})\) injective […] dans …

On aimerait […] que la flèche (1) (la flèche verticale centrale de (5)) soit un iso. Cela donnerait une construction de \(\Gamma\) comme \[ \underbrace{\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(X \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})^{\wedge}\bigr)}_{\text{groupe \ill{} bien connu}} \big/ \widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \]

« (1) » et « (5) » sont lus tels quels ; le diagramme ci-dessus est numéroté (4)

Ex Pour \(g = 0\), \(\nu = 3\) cela donnerait l'expression déjà envisagée de \(\Gamma\) comme \[ \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(\mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\})\bigr). \]

Vérifier conjecture : \(\pi_1(M_{g,\nu;\xi}) \simeq\) normalisateur de \(\widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\) dans \(\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}\bigl(\pi_1(X_\xi \smallsetminus \{x_1, \ldots\})\bigr)\) … commutant […] et structure […] locale … p. ex. \((g, \nu)\) … \(g = 0\), \(\nu = 0, 1, 2\) ; \(g = 1\) … il conviendrait d'être […] l'exigence […] … deux notes écrites en diagonale dans la marge de gauche ; un bloc de la seconde, encadré, est raturé en zigzag et n'a pas été lu

30p. 16 de l'auteur

Si on considère le quotient \(N_{g,\nu}\) de \(M_{g,\nu}\) par \(\mathfrak{S}_\nu\) (de sorte que \(M_{g,\nu}\) est un rev. de groupe \(\mathfrak{S}_\nu\) de \(N_{g,\nu}\)) … \[ (5) \qquad 1 \to \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \longrightarrow \pi_1(N_{g,\nu;\xi}) \longrightarrow \mathfrak{S}_\nu \times \Gamma \to 1 \] \[ \pi_1(N_{g,\nu;\xi}) = \pi_1(\overline{N}_{g,\nu}, \Gamma; \xi) = \pi_1(M_{g,\nu}; \mathfrak{S}_\nu, \xi) = \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}, \mathfrak{S}_\nu \times \Gamma) \] les trois dernières écritures sont posées sous le terme du milieu, reliées par des signes \(=\) verticaux

structure d'extension un peu plus riche que la première ligne de (4). La conjecture fait équivalent : la suivante : \[ \pi_1(N_{g,\nu;\xi}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}\bigl(\pi_1(X_\xi \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr) \] on en tire \[ \Gamma \simeq \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}\bigl(\pi_1(X_\xi \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr) \big/ \widehat{\widetilde{\mathcal{T}}}_{g,\nu} \] où \[ \widetilde{\mathcal{T}}_{g,\nu} \simeq \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{+}\bigl(\pi_1(X_\xi^{\mathrm{top}} \smallsetminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr). \] l'exposant de \(X_\xi\) dans la dernière formule est un petit signe surmonté d'un trait, lu « top » sous réserve

\({}^{*}\)NB Il faudrait déterminer le groupe des automorphismes \(G_{g,\nu}\) (des topos modulaires géom. \(\overline{M}_{g,\nu}\) […]) (\(G_{g,\nu} = \mathrm{Im}\,\mathfrak{S}_\nu\) ?) sauf […] \(\mathfrak{S}_\nu\) pour fidèlement […] \(g = 0\), \(\nu \leqslant 4\) …)

ce NB est d'une autre encre, plus claire, comme la question qui suit

Question \[ \Gamma \longrightarrow \mathrm{Autext}\bigl(\underbrace{\widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu}}_{\pi_1(\overline{M}_{g,\nu})}\bigr) \quad \left\{\begin{array}{l} \text{injectif} \\ \text{bijectif} \end{array}\right\} ? \] (Sans doute il faut ajouter […] condition […], cf. NB.)

31Question \(\mathrm{Autext}(\mathcal{T}_{g,\nu}) = 1\) ?

la page ne porte que cette ligne

32feuillet de listing retourné, écrit en largeur ; les deux diagrammes sont dessinés en perspective, chaque ligne décalée vers la droite, et sont redessinés ici sur une grille

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\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
    1 \arrow[dr] & & 1 \arrow[dr] & & & & & & \\
    1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{X}_\xi \smallsetminus S_\nu) \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \pi_1(\overline{X}_\xi \smallsetminus S_\nu) \arrow[rr] \arrow[dr] & & 1 \arrow[dr] & & & \\
    & 1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{M}_{g,\nu+1}) \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \pi_1(M_{g,\nu+1}) \arrow[rr] \arrow[dr] & & \Gamma \arrow[r] \arrow[dr] & 1 & \\
    & & 1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \pi_1(M_{g,\nu}) \arrow[rr] \arrow[dr] & & \Gamma \arrow[r] \arrow[dr] & 1 \\
    & & & & 1 & & 1 & & 1
  \end{tikzcd}

le trait sur le second \(X_\xi\) de la première ligne n'est pas sûr

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\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
    1 \arrow[dr] & & 1 \arrow[dr] & & & & & & \\
    1 \arrow[r] & \widehat{\pi}_{g,\nu} \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr] & &
      \widehat{\pi}_{g,\nu} \arrow[rr] \arrow[dr] & & 1 \arrow[dr] & & & \\
    & 1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu+1} \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \mathrm{Aut}_{\mathrm{lac}}^{\circ}(\widehat{\pi}_{g,\nu})^{!} \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \Gamma \arrow[r] \arrow[dr, no head, "=" description] & 1 & \Sigma_{\nu+1} \\
    & & 1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}(\widehat{\pi}_{g,\nu})^{!} \arrow[rr] \arrow[dr] & &
      \Gamma \arrow[r] & 1 \quad \Sigma_\nu \\
    & & & & 1 & & 1 & &
  \end{tikzcd}

sous le premier \(\widehat{\pi}_{g,\nu}\), une écriture biffée (« \(\pi_1(\overline{X}) \ldots\) » ?) ; sous \(\mathrm{Autext}_{\mathrm{lac}}^{\circ}(\widehat{\pi}_{g,\nu})^{!} \to \Gamma\), un mot souligné d'une accolade, tresses ; la liaison entre les deux \(\Gamma\) est un double trait. Les étiquettes \(\Sigma_{\nu+1}\) et \(\Sigma_\nu\) sont écrites loin à droite des deux lignes

\[ M'_{g,\nu}(k) \ni \xi, \qquad \mathcal{T}'_{g,\nu} \ni G_\xi \] en bas à gauche du feuillet

\[ \widehat{\widetilde{\Sigma}}_{g,\nu} = \overline{\Sigma}_{g,\nu} \qquad\qquad \Sigma_{g,\nu} \] en bas, au milieu : le premier terme est précédé et surmonté de signes raturés, illisibles, et le \(=\) est vertical, \(\overline{\Sigma}_{g,\nu}\) étant écrit sous \(\widehat{\widetilde{\Sigma}}_{g,\nu}\)