Fonds Grothendieck, cote n° 143, pages 1–20

Le groupe \mathcal{G}_{\overline{X}} et l'extension \Sigma_{\mathfrak{X}}

ce titre est de l'édition ; la page 1 ne porte pas de titre de sa main. Il numérote ses paragraphes par des chiffres cerclés et ses formules par (1), (2), …

p. 1 de l'auteur \textcircled{1} Soit \overline{\mathbb{Q}} la clôture algébrique de \mathbb{Q} dans \mathbb{C}. Si X \overline{X} est un schéma sur \overline{\mathbb{Q}}, on considère le groupe \mathcal{G}_{\overline{X}} des automorphismes de \overline{X} en tant que schéma absolu. On a une suite (1)\qquad 1 \to G_{\overline{X}} \longrightarrow \mathcal{G}_{\overline{X}} \longrightarrow \Gamma (2)\qquad \left\{ \begin{array}{l} \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \\ G_{\overline{X}} = \mathrm{Aut}(\overline{X}/\overline{\mathbb{Q}}) \end{array}\right. en marge gauche, au crayon, en oblique, à hauteur de (1) : « Question : d'indice fini ? vrai » en marge droite, au crayon, en oblique : \overline{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \Gamma(\mathfrak{X}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}}), \mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}} ; « il faut p. ex. \overline{\mathbb{Q}} de \Gamma_{\mathfrak{X}} »

(3) Les sous-extensions K de \overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q} correspondent aux sous-groupes fermés \Gamma_K de \Gamma (d'indice fini ssi K fini sur \mathbb{Q}). À une restriction du groupe de base \overline{\mathbb{Q}} de \overline{X} à K correspond un relèvement « groupe de base » est lu tel quel ; on attendrait « corps de base »

\begin{tikzcd}[column sep=large] (4)\quad \mathcal{G}_{\overline{X}} \arrow[r] & \Gamma \\ & \Gamma_K \arrow[ul] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

qui le définit si \overline{X} est réduit un « ? » cerclé, au crayon, sur « réduit » et loc. de t.f. sur \overline{\mathbb{Q}}. Cela montre que si \overline{X} est de t.f. sur \overline{\mathbb{Q}}, l'hom. \mathcal{G}_{\overline{X}} \to \Gamma a une image d'indice fini (puisqu'on peut toujours réduire le corps de base à une ext. finie K de \mathbb{Q}). en marge gauche, au crayon, en oblique, près de (4) : « grain de sel d'effectivité de projectivité »

\textcircled{2} Supposons \mathfrak{X} connexe \neq \emptyset, et ~~considérons un~~ revêtement universel \widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X} de \mathfrak{X}, et ~~considérons~~ posons (5)\qquad \Sigma(\mathfrak{X}, \widetilde{\mathfrak{X}}) \ \text{ou}\ \Sigma_{\mathfrak{X}} = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}} \,/\!/\, \mathfrak{X}) le signe entre \widetilde{\mathfrak{X}} et \mathfrak{X} est une barre oblique surchargée, rendue « /\!/ » sans préjuger de sa lecture. Le passage de \overline{X} à \mathfrak{X} (ronde) est de lui. La lettre rendue \Sigma, ici et dans tout le lot, hésite sur la page entre un E ronde et un sigma ; elle est rendue \Sigma comme dans le second lot (p. 21 sqq.)

On a donc une suite exacte (6)\qquad 1 \longrightarrow \pi_1(\mathfrak{X}) \longrightarrow \Sigma_{\mathfrak{X}} \longrightarrow \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \longrightarrow 1 , \qquad \pi_1(\mathfrak{X}) = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X}), \qquad \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \to \Gamma dans l'original, « =\mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X}) » est écrit sous \pi_1(\mathfrak{X}) avec un signe = vertical, et une flèche descend de \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} vers \Gamma

~~La donnée d'un point~~ Considérons un point \xi (7)\qquad \xi \in \mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}}) et soit \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi) \subset \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} le sous-groupe de \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} qui fixe \xi. (NB. Si interligne, souligné : « \mathfrak{X} est de t.f. /\overline{\mathbb{Q}} et » G_{\mathfrak{X}} est fini, \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} est profini et \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi) est un s-groupe ouvert…). On trouve alors, dès qu'on choisit pour \widetilde{\mathfrak{X}} le rev. universel interligne : \widetilde{\mathfrak{X}}(\xi) pointé au dessus de \xi, un splitting partiel de (6)

\begin{tikzcd} (8)\quad \Sigma_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & 1 \\ & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi) \arrow[ul] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

le trait vertical entre \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} et \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi) est rendu comme l'inclusion ; le sens du trait n'est pas net sur la page

Dans le cas où \widetilde{\mathfrak{X}} est quelconque, on trouve qu'un hom. mod. composition avec automorphisme intérieur provenant de \pi_1(\mathfrak{X}). ~~Si \mathfrak{X} est de t.f. et~~

p. 2 de l'auteur ~~s'envoie injectivement dans un groupe algébrique commutatif de rang unipotent nul (ext. cat. d'une VA par un tore) sous l'application \mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}}) \to J~~ ces lignes, qui continuent la phrase biffée au bas de la page 2, sont barrées de traits obliques

\textcircled{3} Supposons \mathfrak{X} de t.f. sur \overline{\mathbb{Q}}. Alors on a un « germe de relèvement » de \Gamma

\begin{tikzcd} (9)\quad \mathcal{G}_{\overline{X}} \arrow[r] & \Gamma \\ & \Gamma' \arrow[ul] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

sur un s-groupe ouvert (modulo la relation de coïncidence sur un s-groupe ouvert plus petit). Pour interligne : « \xi \in \mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}}) donné, et pour » \Gamma' assez petit, interligne : « de \xi » \Gamma' \to \mathcal{G}_{\overline{X}} se factorise par \mathcal{G}_{\overline{X}}(\xi), donc on trouve un interligne : « germe d' » hom. compatible \Gamma' \longrightarrow \Sigma_{\mathfrak{X}} ~~\Gamma' \to \Sigma_{\mathfrak{X}}~~ rendant commutatif en marge gauche, au crayon : \mathfrak{X} = \overline{X}

\begin{tikzcd} (10)\quad \Sigma_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & \Gamma \\ & & \Gamma' \arrow[ull, "\varphi_{\xi}"] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

— du moins si \widetilde{\mathfrak{X}} = \widetilde{\mathfrak{X}}(\xi) — d'ailleurs un hom. défini mod. composition par un automorphisme intérieur provenant de \pi_1(\mathfrak{X}). Scholie :

encore une fois que c'est le germe seulement de \varphi_{\xi} qui est défini (mod restriction à s-groupe d'indice fini). [Si \mathfrak{X} s'envoie injectivement dans une extension d'une VA par un tore, alors \xi est connu quand on connaît son germe (11)\qquad \varphi_{\xi} \in \varinjlim_{\Gamma' \subset \Gamma} \mathrm{Hom}(\Gamma', \Sigma_{\mathfrak{X}}) (\pi_1(\mathfrak{X}), \Sigma_{\mathfrak{X}}) sous la limite, un mot souligné en pointillé, sans doute « ouvert » ; après \mathrm{Hom}(\Gamma', \Sigma_{\mathfrak{X}}) un argument est noirci et barré, puis vient le groupe écrit ici, dont le signe qui le précède ne se lit pas [et à l'image de \varphi_{\xi} dans un H^1 convenable…]]

\textcircled{4} (12)\qquad \text{Soit } \boxed{D = \sum_{i \in I} D_i} interligne, au-dessus : « effectif » (un diviseur) sur \mathfrak{X}, (I l'ens. de ses comp. irréd.) sans comp. multiples, interligne : « i.e. lisse ) » supposons que \mathfrak{X} soit régulier en les pts génériques de chaque D_i. Soit ~~\mathfrak{X}_I~~ (13)\qquad \mathfrak{X}' = \mathfrak{X} - \operatorname{supp} D et considérons les sous-groupes \mathcal{G}_{\mathfrak{X};\mathfrak{X}'} souligné sous l'indice : « ouvert » de \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} qui invarie D. On les notera (ou, plus précisément, \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(I), abus de notation) \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}, (D

p. 3 de l'auteur (14)\qquad 1 \to \pi_1(\mathfrak{X}') \longrightarrow \Sigma_{\mathfrak{X}'} \longrightarrow \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \to 1 . et on a encore un germe de ~~hom~~ interligne : « relèvement » (circonstanciel mod comp. par autom. int. provenant de \pi_1(\mathfrak{X}'))

\begin{tikzcd} (15)\quad \Sigma_{\mathfrak{X}'} \arrow[r] & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \arrow[r] & \Gamma \\ & & \Gamma' \arrow[ull, "\varphi_{\xi}"] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

(si \xi \in \mathfrak{X}'(\overline{\mathbb{Q}})).

Notons qu'on a ici un hom (16)\qquad \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \longrightarrow \mathfrak{S}_I La théorie de Kummer nous fournit, pour tout i, un hom extérieur (17)\qquad T(\overline{\mathbb{Q}}) \xrightarrow{\ \varphi_i\ } \pi_1(\mathfrak{X}'), \qquad T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim \mu_n(\overline{\mathbb{Q}}), \qquad \varphi_i \in \mathrm{Homext}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) la flèche porte une barre verticale en travers ; l'égalité T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim \mu_n(\overline{\mathbb{Q}}) est écrite sous T(\overline{\mathbb{Q}}), et « \varphi_i \in \mathrm{Homext}(\ldots) » à droite, en marge. À gauche, une note au crayon de plusieurs lignes, où se lit « (17) », est hachurée de traits verticaux et ne se lit pas

Notons aussi un hom canonique (18)\qquad (\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \to)\ \Gamma \xrightarrow{\ \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(T(\overline{\mathbb{Q}})) faisant opérer \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} via \Gamma sur T(\overline{\mathbb{Q}}). Ceci dit, l'~~opération~~ opération extérieure de \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} sur \pi_1(\mathfrak{X}') est compatible avec la famille

des (\varphi_i) (« structure Kummérienne ») compte tenu des opérations interligne : « (16) et (18) » de \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} sur I et T(\overline{\mathbb{Q}}). On peut donc écrire (19)\qquad \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \longrightarrow \mathrm{Autext}\bigl(\pi_1(\mathfrak{X}'), T(\overline{\mathbb{Q}}), (\varphi_i)\bigr). le deuxième argument, T(\overline{\mathbb{Q}}), est surchargé et de lecture incertaine

~~Supposons \mathfrak{X}~~ Soit \widehat{\widetilde{\mathfrak{X}}}{}' le normalisé de \mathfrak{X} dans l'« extension » définie par \widetilde{\mathfrak{X}}', donc on a un morphisme profini \widehat{\widetilde{\mathfrak{X}}}{}' \longrightarrow \mathfrak{X} Soit \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) l'image inverse de l'ens. des pts ~~génériques~~ interligne : « maximaux » des D = \sum D_i. On a donc (20)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \longrightarrow I et une opération de \Sigma_{\mathfrak{X}'} sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) qui transporte la structure) compatible avec les opérations sur I et l'application (20). Pour i \in I, soit (21)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(i) \subset \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) sa fibre dans \widetilde{\mathfrak{X}}'(I), à droite de (21) : « (C'est un espace homogène sous \pi_1(\mathfrak{X}'). On ~~trouve~~ »

p. 4 de l'auteur une application (22)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(i) \xrightarrow{\ \Phi_i\ } \mathrm{Hom}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) compatible avec les opérations de \pi_1(\mathfrak{X}') de part et d'autre, et qui précise l'hom. extérieur \varphi_i de (17). Mieux encore, le système (\Phi_i)_{i \in I} = \Phi, (23)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \xrightarrow{\ \Phi\ } \mathrm{Hom}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) est compatible avec les \Sigma_{\mathfrak{X}'} de part et d'autre, en se rappelant, pour l'opération de \Sigma_{\mathfrak{X}'} sur le but de droite, de tenir compte aussi de l'opération de \Sigma_{\mathfrak{X}'} sur T(\overline{\mathbb{Q}}) (via \Gamma). en marge gauche, au crayon, une note de plusieurs lignes obliques, presque entièrement illisible : « ici il faudrait dire \mathfrak{X} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \Phi »

\textcircled{5} Soit enfin, par dessus le marché, une partie J \subset \mathfrak{X}'(\overline{\mathbb{Q}}). Soit \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) son image inverse dans \widetilde{\mathfrak{X}}'. Soit \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}(I,J) ou simplement \mathcal{G}' le sous-groupe de \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} qui invarie J. ~~D. Voici les structures~~ \mathcal{G}' opère sur J, sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) et sur (24)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \longrightarrow J « \mathcal{G}' » est écrit au-dessus de la ligne biffée

Enfin, on a une famille de scindages interligne : « partiels » (25)\qquad \Psi = (\Psi_j)_{j \in J} : \bigl(\widetilde{\mathfrak{X}}(j) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathcal{G}_j, \Sigma')\bigr) au-dessus de \Psi_j un petit mot biffé ; l'indice de \Sigma' est biffé (où cette fois \Sigma' désigne l'image inverse interligne : « et \mathcal{G}_j le stab. de j dans \mathcal{G}' » de \mathcal{G}' \subset \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} dans \Sigma_{\mathfrak{X}'}), compatible avec les opérations de \Sigma' de part et d'autre, ~~s'inscrivant dans une famille de scindages~~ ~~mod \pi_1~~ ~~(26)~~ ~~\Psi^{\mathrm{ext}} = (\Psi_j^{\mathrm{ext}})_{j \in J}~~ ~~(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J))~~ ~~\to \mathrm{Hom}(\mathcal{G}', \Sigma')/\mathrm{Int}(\pi_1, \Sigma')~~ ~~équivariante~~ ~~compatible avec op. de \Sigma'~~ ce passage est barré de deux longs traits horizontaux et de traits obliques

\textcircled{6} Récapitulons. On a donc ~~\mathfrak{X} schéma de t.f. sur \overline{\mathbb{Q}}, un diviseur~~ \mathrm{I}\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathfrak{X} \text{ de t.f.\ sur } \overline{\mathbb{Q}} \\ D = \sum_{i \in I} D_i \text{ diviseur effectif sur } \mathfrak{X} \text{ à comp.\ simples, } \mathfrak{X} \text{ lisse en les pts} \\ \qquad \text{maximaux de } \operatorname{supp} D \\ J \subset \mathfrak{X}'(\overline{\mathbb{Q}}), \text{ où } \mathfrak{X}' = \mathfrak{X} - D \end{array}\right. On pose \mathrm{II}\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{G}' = \text{groupe des autom.\ du schéma absolu } \mathfrak{X} \text{ qui invarie } D \text{ et } J \\ G' = \text{s-gp de } \mathcal{G}' \text{ formé des } \overline{\mathbb{Q}}\text{-autom.} \\ T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim_n \mu_n(\overline{\mathbb{Q}}) \\ \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \end{array}\right. « absolu » est ajouté au-dessus de la ligne ; sous le signe \subset de la dernière ligne de I, un petit mot souligné ne se lit pas

p. 5 de l'auteur. La numérotation des formules recommence ici à (1) d'où (1)\qquad 1 \longrightarrow G' \longrightarrow \mathcal{G}' \longrightarrow \Gamma et un germe de relèvement

\begin{tikzcd} (2)\quad \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \\ & \Gamma' \arrow[ul] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

(\Gamma' \subset \Gamma s-gp ouvert). en marge gauche, au crayon, en oblique, près de (2) : « pour mémoire : relation avec variétés … »

Choisissons (cf. normalisation plus bas)

\textcircled{III} un rev. universel \widetilde{\mathfrak{X}}' de \mathfrak{X}', d'où ~~posons~~ \pi_1(\mathfrak{X}') = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}'/\mathfrak{X}') On trouve alors (3)\qquad \text{str.\ d'extension}\quad 1 \to \pi_1(\mathfrak{X}') \longrightarrow \Sigma' \longrightarrow \mathcal{G}' \to 1 (4)\qquad \Sigma'\text{-ensembles}\quad \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \end{array}\right. (5)\qquad \text{Opérations de } \Sigma' \text{ sur } I, J \text{ via } \mathcal{G}', \text{ et } \Sigma'\text{-applications}\quad \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \to I \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \to J \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(J)/\pi_1 \end{array}\right. en marge gauche, au crayon, en oblique, près de (3) et (4) : « \mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}}) … »

dans (6), un mot biffé précède \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) (6)\qquad \text{application}\quad \Phi : \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) compatible avec op. de \Sigma', opérant sur le but de droite grâce à son op. sur T(\overline{\mathbb{Q}}) via (\mathcal{G}' via \Gamma) et sur \pi_1(\mathfrak{X}') [via autom. int. dans (3)] en marge gauche, au crayon, en oblique : « si \dim \mathfrak{X} = 1 sinon il faut revoir avec plus de soin la situation… » (7)\qquad \text{Syst.\ d'application}\quad \Psi = (\Psi_j)_{j \in J} : \bigl(\widetilde{\mathfrak{X}}'(j) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j / \mathcal{G}'_j)\bigr)_{j \in J} au-dessus de \Psi_j un petit signe biffé ; après la parenthèse un terme \mathrm{Int}(\pi_1, \Sigma') est biffé compatible avec opérations de \Sigma'_j (opérant sur le but de droite grâce aux autom. intérieurs ({}^{g}u)(\sigma) = g\, u(g_1^{-1} \sigma g_1)\, g^{-1} où \sigma \in \mathcal{G}'_j, u \in \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j / \mathcal{G}'_j), g \in \Sigma'_j, g_1 \in \mathcal{G}' l'image de g dans \mathcal{G}'). ~~(8)~~ ~~\Psi^{\mathrm{ext}} = (\Psi_j^{\mathrm{ext}}) :~~ ~~(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)~~ ~~\to \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j / \mathcal{G}'_j)/\ldots)_{j \in J}~~ la ligne (8) est biffée ; lecture incertaine dans son détail

(9) germe d'homomorphisme

\begin{tikzcd} \Sigma' \arrow[r] & \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \\ & & \Gamma' \arrow[ull] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

(\Gamma' s-groupe ouvert) en marge gauche, encadrée d'un trait, une note en oblique : « où \mathcal{G}'_j est le stabilisateur de j dans \mathcal{G}', \Sigma'_j son image inverse dans \Sigma' — (8) “relevant” (7) \mathcal{G}' et \Sigma'… »

p. 6 de l'auteur Programme des ~~paradigmes de théorie des~~ interligne : « gruppentheoretische » « Gleichnis » (paradigmes en termes de théorie des groupes) de ~~la théorie géométrique algébrique absolue (en car. 0)~~ interligne : « l'arithmétique » l'arithmétique : « Gleichnis » est en allemand, entre guillemets, dans l'original ; le mot qui le précède, ajouté au-dessus de la ligne, est également allemand et se lit mal

a) Donner une description « gruppentheoretisch » complète de \Gamma

b) Donner une description complète de tous les éléments de structure énumérés ci-dessus, dans des cas typiques (suivants pour (\mathfrak{X}, D, J)), dont nous indiquons quelques-uns plus bas. en marge gauche, au crayon, en oblique : « On tiendra de prendre \mathfrak{X} projectif, pour simplifier… »

NB Comme on a les éléments de structure énumérés pour (\mathfrak{X}, D, J), on les a aussi automatiquement pour interligne : « étale » tout rev. fini de \mathfrak{X}'… Il faudrait expliciter ce point avec soin, et expliciter également dans les équivalences explicites les fondements « bouclage de tresses ». On rajoute interligne : « certains » des D_i (qu'on avait enlevés) ou « fixage de tresses » sous la ligne : « si \dim \mathfrak{X} = 1 » (on enlève certains des \xi \in J). les guillemets de « bouclage de tresses » et de « fixage de tresses » sont de lui ; les deux lectures sont incertaines

RemB Soit \Gamma' un s-groupe ouvert de \Gamma, correspondant à une s-extension finie K/\mathbb{Q} de \overline{\mathbb{Q}}, et considérons une restriction de la situation (\mathfrak{X}, D, J) à K, donnant donc par un scindage partiel (cf. \textcircled{2}) \Gamma' \longrightarrow \mathcal{G}' d'où une extension (9)\qquad 1 \to \pi_1(\mathfrak{X}') \longrightarrow \Sigma'_{\Gamma'} \longrightarrow \Gamma' \to 1 Le groupe \Gamma' opère donc sur (\mathfrak{X}, D, J), donc sur interligne : « \mathfrak{X}', donc sur » la catégorie des rev. interligne : « étales » finis de \mathfrak{X}', ~~catégorie qui~~ qui s'identifie à la cat. \mathrm{Ens.f.}(\pi_1(\mathfrak{X}')). Pour tout \gamma \in \Gamma', soit \mathcal{B}_{\gamma} le \pi_1(\mathfrak{X}')-bitorseur image inverse de \gamma dans \Sigma'_{\Gamma'}, il ~~définit~~ interligne : « explicite » l'opération de \gamma sur \mathrm{Revét}(\mathfrak{X}') \simeq \mathrm{Ensf}(\pi_1) comme (10)\qquad E \longmapsto \mathcal{B}_{\gamma} \wedge^{\pi_1} E Si \mathcal{Y}' et {}^{\gamma}\mathcal{Y}' se correspondent, on a des isom. interligne : « canoniques » (11)\qquad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{Y}'(I) \simeq ({}^{\gamma}\mathcal{Y}')(I) \\ \mathcal{Y}'(J) = ({}^{\gamma}\mathcal{Y}')(J). \end{array}\right. « RemB » est souligné ; lecture douteuse. La première ligne de (11) porte \simeq, la seconde =, comme sur la page

p. 7 de l'auteur En fait, si \mathcal{Y}' \longleftrightarrow E, on a \begin{array}{l} \mathcal{Y}'(I) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} E \\ \mathcal{Y}'(J) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} E \end{array} et ~~les appl.~~ isomorphismes (11) reviennent à des isom. \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} E \simeq (\widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_{\gamma}) \wedge^{\pi_1} E \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} E \simeq (\widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} (\mathcal{B}_{\gamma})) \wedge^{\pi_1} E \end{array}\right. qui proviennent à droite d'isom. de \pi_1-ens. à droite \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_{\gamma} \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_{\gamma} \end{array}\right. lesquels reviennent à la donnée d'homs \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{B}_{\gamma} \longrightarrow \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)) = \mathrm{Bij}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I), \widetilde{\mathfrak{X}}'(I)) \\ \quad \text{et itou pour } \widetilde{\mathfrak{X}}'(J)) \end{array}\right. compatibles avec les op. de \pi_1 à g. et à dr. On a donc là des applications, pour \gamma \in \Gamma' variable, équivalant à la donnée d'~~une~~ applications \Sigma'_{\Gamma'} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \mathcal{B}_{\gamma} \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)), \qquad \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)) et celles qu'on cherche sont justement l'opération déduite par celles déjà envisagées de \Sigma' sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(I), \widetilde{\mathfrak{X}}'(J)… sous « Aut », sur la troisième accolade, un mot surchargé ; l'indice « ens » des deux derniers \mathrm{Aut} est lu d'après le trait souligné

\textcircled{7} Réconstructionsic des groupoïdes fondamentaux \Pi_1(\mathfrak{X}'; J) de \mathfrak{X}', et des opérations de \mathcal{G}' dessus, en termes de l'extension \Sigma' de \mathcal{G}' par \pi_1, et de l'opération de \Sigma' sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) et \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \to J [et des applications (7) (8) \begin{array}{l} \Psi^{\mathrm{ext}} : \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'/\mathcal{G}')/\pi_1 \\ \Psi_j : (\widetilde{\mathfrak{X}}'(j) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j/\mathcal{G}'_j)) \end{array} ]. en marge gauche, en oblique, séparée du texte par un trait : « inutiles dans ces , elles résultent des précédentes »

Ob \Pi_1 = J

~~\mathfrak{X}'_j, j \in J~~ NB Si \widetilde{\xi} \in \widetilde{\mathfrak{X}}'(J), \widetilde{\mathfrak{X}}'[j] (rev. universel de \mathfrak{X}' en j) s'identifie à \widetilde{\mathfrak{X}}' (puisque \widetilde{\xi} est un pt au-dessus de j) des \widetilde{\mathfrak{X}}' au dessus de j \widetilde{\mathfrak{X}}' \xrightarrow{\ \psi_{\widetilde{\xi}}\ } \widetilde{\mathfrak{X}}'[j] Si \gamma \in \pi_1, on aura \psi_{\gamma \cdot \widetilde{\xi}} = \psi_{\widetilde{\xi}} \circ \gamma_{\widetilde{\mathfrak{X}}'} donc on peut dire, indépendamment des choix d'un pt base \widetilde{\xi} \widetilde{\mathfrak{X}}'[j] \xleftarrow{\ \sim\ } \underbrace{\widetilde{\mathfrak{X}}'(j)}_{\text{torseur à dr.\ sous } \pi_1} \wedge^{\pi_1} \widetilde{\mathfrak{X}}'

p. 8 de l'auteur Ceci noté, on a donc, si j, j' \in J = \mathrm{Ob}\,\Pi_1 \begin{aligned} \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(j, j') &\overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Isom}(\widetilde{\mathfrak{X}}'[j], \widetilde{\mathfrak{X}}'[j']) \\ &\simeq \mathrm{Isom}_{\pi_1\text{-tors.\ à droite}} (\widetilde{\mathfrak{X}}'(j), \widetilde{\mathfrak{X}}'(j')) \end{aligned} la composition des chemins étant la composition des hom. de \pi_1-torseurs à droite. On a donc reconstruit interligne : « le groupoïde » \Pi_1 à l'aide de \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) et de l'opération libre (à droite) de \pi_1 sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(J). ~~[Les opérations~~ Comment reconstituer l'opération de \mathcal{G}' sur \Pi_1 ? L'opération sur \mathrm{Ob}\,\Pi_1 = J n'est autre que l'opération donnée de \mathcal{G}' sur J (factorisant celle de \Sigma'). Soit g \in \mathcal{G}', explicitons \begin{array}{ccc} \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(j, j') & \xrightarrow{\ g_{\Pi_1}\ } & \mathrm{Isom}(gj, gj') \\ \| & & \| \\ \mathrm{Isom}_{\pi_1}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(j), \widetilde{\mathfrak{X}}'(j')) & \overset{?}{\simeq} & \mathrm{Isom}_{\pi_1}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(gj), \widetilde{\mathfrak{X}}'(gj')) \end{array} Pour ceci, considérons le interligne : « \pi_1- » bitorseur \mathcal{B}_g \subset \Sigma'\quad \text{image inverse de } g \text{ par } \Sigma' \to \mathcal{G}' On note par l'hyp. [grâce à l'op. de \Sigma' sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(I)] \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(gj) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(j) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_g \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(gj') \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(j') \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_g \end{array} dans le crochet, il écrit \widetilde{\mathfrak{X}}'(I), là où le contexte appellerait \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) ; transcrit tel quel

d'où aussitôt la flèche envisagée.

Il faudrait encore expliciter comment (7) (8) résultent de la donnée de l'opération de \Sigma' sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(J), induisant une opération libre de \pi_1 \subset \Sigma' sur \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) (ayant J comme quotient)…

Reformulation

Considérons les systèmes \left\{ \begin{array}{ll} 1 \to \pi \longrightarrow \Sigma \longrightarrow G \to 1 & \text{ext.\ de groupes} \\ \mathfrak{Z}\ \ \Sigma\text{-ens.}, \neq \emptyset,\ \text{où } \pi \subset \Sigma \text{ opère librement} \end{array}\right. « \neq \emptyset » est ajouté au-dessus de la ligne. Le groupe noté ici G est écrit avec la même lettre ronde que \mathcal{G}' plus haut ; il est rendu G, comme au second lot Ils forment une catégorie C.

Considérons les systèmes (\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, g) : \Pi est un groupoïde interligne : « non vide » connexe, p : \widetilde{\Pi} \to \Pi un rev. universel de \Pi, et G un groupe opérant sur \Pi par automorphismes par g : G \to \mathrm{Aut}(\Pi). Ils forment une catégorie C'. On va définir des équivalences quasi-inverses l'une de l'autre C \mathrel{\substack{\xrightarrow{\ \alpha\ } \\ \xleftarrow[\ \beta\ ]{}}} C'

p. 9 de l'auteur Définition de \alpha. On va définir \alpha(\Sigma, G, \pi, \mathfrak{Z}\ldots) = (\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, \sim) \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Ob}\,\Pi = \mathfrak{Z}/\pi \quad (\text{soit } J) \\ \mathrm{Isom}(j, j') = \mathrm{Isom}_{\pi}(\mathfrak{Z}_j, \mathfrak{Z}_{j'}) \\ \text{composition des flèches évidente} \end{array}\right. \qquad \text{d'où groupoïde } \Pi ~~\widetilde{\Pi}_j = \mathfrak{Z}_j~~ \mathrm{Ob}\,\widetilde{\Pi} = \mathfrak{Z} \begin{array}{l} \mathrm{Isom}(z, z') = \{\mathrm{pt}\} \quad \forall z, z' \in \mathfrak{Z} \quad (\widetilde{\Pi} \text{ cat.\ discrète\ldots}) \\ \qquad\downarrow \\ \mathrm{Isom}(j, j') \simeq \mathrm{Isom}(\mathfrak{Z}_j, \mathfrak{Z}_{j'}) \quad (\text{si } j = \bar z,\ j' = \bar z') \end{array} à droite, séparé par un trait vertical : « \widetilde{\Pi} cat. discrète sur \Pi définie par un foncteur F : \Pi^{\circ} \to \mathrm{Ens}, F(j) = \mathfrak{Z}_j, …, \widetilde{\Pi} \simeq \Pi_{/F} » sous la parenthèse « (si j = \bar z, j' = \bar z') », une ligne biffée ne se lit pas \downarrow transforme l'unique pt de \mathrm{Isom}(z, z') en l'unique interligne : « \pi- » isom. \mathfrak{Z}_j \to \mathfrak{Z}_{j'} transformant z en z'…

Pour l'instant, on n'a pas utilisé \Sigma et l'op. de \Sigma sur \mathfrak{Z}. On va l'utiliser maintenant pour faire opérer G = \Sigma/\pi sur \Pi, et \Sigma sur \widetilde{\Pi}, de façon compatible. Comme \Sigma opère sur \mathfrak{Z} = \mathrm{Ob}(\widetilde{\Pi}), il opère sur \widetilde{\Pi}, cat. discrète associée, et \pi opère par \Pi-automorphismes, d'où l'opération de G sur \Pi par passage au quotient.

Définition de \beta. On définit \beta(\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, \sim) = (\Sigma, G, \pi, \mathfrak{Z}) \quad \text{ainsi :} \Sigma = groupe des couples (g, \bar g), avec g \in G, \bar g \in \mathrm{Aut}(\widetilde{\Pi}) compatible avec g \pi = \mathrm{Aut}(\widetilde{\Pi}/\Pi) \Sigma \to G par (g, \bar g) \mapsto g, d'où 1 \to \pi \longrightarrow \Sigma \longrightarrow G \to 1 \mathfrak{Z} = \mathrm{Ob}\,\widetilde{\Pi}, avec opération évidente de \Sigma sur \mathfrak{Z}…

Variantes profinies…

\textcircled{8} Considérons, avec notations de \textcircled{7}, (1 \to \pi \to \Sigma \to G \to 1 et \mathfrak{Z} \Sigma-ens. \neq \emptyset sur lequel \pi opère librement) \longleftrightarrow (\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, \sim). On va interpréter la donnée d'un triple (\mathcal{T}, T, \Phi), où \mathcal{T} est interligne : « \chi : » un \Sigma-ens., T un groupe (\simeq \widehat{\mathbb{Z}} ?), \chi : G \to \mathrm{Aut}(T) (\simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} ), et \Phi : \mathcal{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(T, \pi) compatible avec op. de \Sigma (opérant la lettre \mathfrak{Z} (une sorte de « 3 » à queue) désigne l'ensemble qui correspond, dans le récapitulatif de la page 8, à \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) ; la lettre \mathcal{T} (un T ronde barré), celui qui correspond à \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) et à l'application \Phi de (6), p. 10. Devant le premier \mathcal{T} du triple, un petit signe en exposant ne se lit pas

p. 10 de l'auteur sur \mathcal{T} par l'op. donnée, et sur \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(T, \pi) en considérant T, \pi comme des \Sigma-groupes grâce à \chi et à l'opération de \Sigma sur \pi par autom. intérieurs… Pour ~~ceci, introduisons~~ à partir d'ici et jusqu'au haut de la page 20, le texte est traversé par deux longs traits obliques parallèles, qui semblent le biffer ; il reste lisible et est transcrit J = \mathcal{T}/\pi sur lequel interligne : « et = … G » \Sigma/\pi opère par passage au quotient, \mathcal{T} \to J devenant donc un \Sigma-morphisme. Considérons alors le groupoïde \langle T, J \rangle défini par \begin{array}{l} \mathrm{Ob}\,\langle T, J \rangle = J \\ \mathrm{Isom}(j, j') = \left\{ \begin{array}{ll} \emptyset & \text{si } j \neq j' \\ T & \text{si } j = j' \end{array}\right. \end{array} composition des flèches étant celle de T. On a une opération de G sur \langle T, J \rangle via ses opérations sur T interligne : « (par \chi) » et sur J. On va définir un homomorphisme de groupoïdes \langle T, J \rangle \longrightarrow \Pi^{\wedge} où \Pi^{\wedge} est le groupoïde interligne : « 0-connexe » des rev. universels de \Pi, identifiable (via \widetilde{\Pi}, qui en est un \in \Pi^{\wedge}) au groupoïde des

\pi-torseurs. Pour j \in J, le \pi-torseur correspondant P_j s'envoie dans \mathcal{T}_j = fibre de j \in \mathcal{T}/\pi dans \mathcal{T}, ~~puis~~ la fibre de P_j en t \in \mathcal{T}_j étant le torseur sous le stabilisateur \pi_t de t dans \pi suivant : on considère \Phi(t) : T \longrightarrow \pi dont \pi_t centralise fin du passage traversé par les deux traits obliques

Considérons la restriction de l'opération de \Sigma sur \mathcal{T} à \pi, d'où un groupoïde \langle \mathcal{T}, \pi \rangle dont l'ens. des objets est \mathcal{T}, l'ens. des \mathrm{Isom}(t, t') étant \pi_{t \to t'} = \{\lambda \in \pi \mid \lambda t = t'\}. ~~La composition~~ . \pi_0 \langle \mathcal{T}, \pi \rangle = \mathcal{T}/\pi \overset{\mathrm{df}}{=} J \pi_1(\mathcal{T}, t) = \pi_t \quad (\text{stabilisateur de } t \text{ dans } \pi) et on trouve que \pi_t ~~centralise~~ \Phi(t)(T) \subset \pi : , supposons T commutatif et ~~\pi_t = \Phi_t(T)~~ \Phi_t : T \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_t du d'autres termes, on suppose donnée, en plus de \mathcal{T} \Sigma-ens. de \pi-ens., la phrase se poursuit au début du second lot (p. 21)