Cote n° 143 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Paradigmes des courbes algébriques (version provisoire) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1980-1981]
Édition de démonstration

Le groupe \(\mathcal{G}_{\overline{X}}\) et l'extension \(\Sigma_{\mathfrak{X}}\)

ce titre est de l'édition ; la page 1 ne porte pas de titre de sa main. Il numérote ses paragraphes par des chiffres cerclés et ses formules par (1), (2), …

1p. 1 de l'auteur \textcircled{1} Soit \(\overline{\mathbb{Q}}\) la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\). Si \(X\) \(\overline{X}\) est un schéma sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), on considère le groupe \(\mathcal{G}_{\overline{X}}\) des automorphismes de \(\overline{X}\) en tant que schéma absolu. On a une suite \[ (1)\qquad 1 \to G_{\overline{X}} \longrightarrow \mathcal{G}_{\overline{X}} \longrightarrow \Gamma \] \[ (2)\qquad \left\{ \begin{array}{l} \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \\ G_{\overline{X}} = \mathrm{Aut}(\overline{X}/\overline{\mathbb{Q}}) \end{array}\right. \] en marge gauche, au crayon, en oblique, à hauteur de (1) : « Question : […] d'indice fini ? […] vrai » en marge droite, au crayon, en oblique : \(\overline{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \Gamma(\mathfrak{X}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}})\), \(\mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}}\) ; « il faut […] p. ex. […] \(\overline{\mathbb{Q}}\) […] de \(\Gamma_{\mathfrak{X}}\) »

(3) Les sous-extensions \(K\) de \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) correspondent aux sous-groupes fermés \(\Gamma_K\) de \(\Gamma\) (d'indice fini ssi \(K\) fini sur \(\mathbb{Q}\)). À une restriction du groupe de base \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(\overline{X}\) à \(K\) correspond un relèvement « groupe de base » est lu tel quel ; on attendrait « corps de base »

\begin{tikzcd}[column sep=large]
(4)\quad \mathcal{G}_{\overline{X}} \arrow[r] & \Gamma \\
 & \Gamma_K \arrow[ul] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

qui le définit si \(\overline{X}\) est réduit un « ? » cerclé, au crayon, sur « réduit » et loc. de t.f. sur \(\overline{\mathbb{Q}}\). Cela montre que si \(\overline{X}\) est de t.f. […] sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), l'hom. \(\mathcal{G}_{\overline{X}} \to \Gamma\) a une image d'indice fini (puisqu'on peut toujours réduire le corps de base à une ext. finie \(K\) de \(\mathbb{Q}\)). en marge gauche, au crayon, en oblique, près de (4) : « grain de sel d'effectivité […] de projectivité […] »

\textcircled{2} Supposons \(\mathfrak{X}\) connexe \(\neq \emptyset\), [et] considérons un revêtement universel \(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}\) de \(\mathfrak{X}\), et considérons posons \[ (5)\qquad \Sigma(\mathfrak{X}, \widetilde{\mathfrak{X}}) \ \text{ou}\ \Sigma_{\mathfrak{X}} = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}} \,/\!/\, \mathfrak{X}) \] le signe entre \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) et \(\mathfrak{X}\) est une barre oblique surchargée, rendue « \(/\!/\) » sans préjuger de sa lecture. Le passage de \(\overline{X}\) à \(\mathfrak{X}\) (ronde) est de lui. La lettre rendue \(\Sigma\), ici et dans tout le lot, hésite sur la page entre un E ronde et un sigma ; elle est rendue \(\Sigma\) comme dans le second lot (p. 21 sqq.)

2On a donc une suite exacte \[ (6)\qquad 1 \longrightarrow \pi_1(\mathfrak{X}) \longrightarrow \Sigma_{\mathfrak{X}} \longrightarrow \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \longrightarrow 1 , \qquad \pi_1(\mathfrak{X}) = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X}), \qquad \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \to \Gamma \] dans l'original, « \(=\mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X})\) » est écrit sous \(\pi_1(\mathfrak{X})\) avec un signe \(=\) vertical, et une flèche descend de \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}\) vers \(\Gamma\)

La donnée d'un point Considérons un point \(\xi\) \[ (7)\qquad \xi \in \mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}}) \] et soit \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi) \subset \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}\) le sous-groupe de \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}\) qui fixe \(\xi\). (NB. Si interligne, souligné : « \(\mathfrak{X}\) est de t.f. \(/\overline{\mathbb{Q}}\) et » \(G_{\mathfrak{X}}\) est fini, \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}\) est profini et \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi)\) est un s-groupe ouvert…). On trouve alors, dès qu'on choisit pour \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) le rev. universel interligne : \(\widetilde{\mathfrak{X}}(\xi)\) pointé au dessus de \(\xi\), un splitting partiel de (6)

\begin{tikzcd}
(8)\quad \Sigma_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & 1 \\
 & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi) \arrow[ul] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

le trait vertical entre \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}\) et \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(\xi)\) est rendu comme l'inclusion ; le sens du trait n'est pas net sur la page

Dans le cas où \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) est quelconque, on trouve qu'un hom. mod. composition avec automorphisme intérieur provenant de \(\pi_1(\mathfrak{X})\). Si \(\mathfrak{X}\) est de t.f. et

3p. 2 de l'auteur s'envoie injectivement dans un groupe algébrique commutatif de rang unipotent nul (ext. cat. d'une VA par un tore) sous l'application \(\mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}}) \to J\) ces lignes, qui continuent la phrase biffée au bas de la page 2, sont barrées de traits obliques

\textcircled{3} Supposons \(\mathfrak{X}\) de t.f. sur \(\overline{\mathbb{Q}}\). Alors on a un « germe de relèvement » de \(\Gamma\)

\begin{tikzcd}
(9)\quad \mathcal{G}_{\overline{X}} \arrow[r] & \Gamma \\
 & \Gamma' \arrow[ul] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

sur un s-groupe ouvert (modulo la relation de coïncidence sur un s-groupe ouvert plus petit). Pour interligne : « \(\xi \in \mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}})\) donné, et pour » \(\Gamma'\) assez petit, interligne : « de \(\xi\) » \(\Gamma' \to \mathcal{G}_{\overline{X}}\) se factorise par \(\mathcal{G}_{\overline{X}}(\xi)\), donc on trouve un interligne : « germe d' » hom. compatible \[ \Gamma' \longrightarrow \Sigma_{\mathfrak{X}} \] \(\Gamma' \to \Sigma_{\mathfrak{X}}\) rendant commutatif en marge gauche, au crayon : \(\mathfrak{X} = \overline{X}\)

\begin{tikzcd}
(10)\quad \Sigma_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}} \arrow[r] & \Gamma \\
 & & \Gamma' \arrow[ull, "\varphi_{\xi}"] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

— du moins si \(\widetilde{\mathfrak{X}} = \widetilde{\mathfrak{X}}(\xi)\) — d'ailleurs un hom. défini mod. composition par un automorphisme intérieur provenant de \(\pi_1(\mathfrak{X})\). Scholie : […]

4encore une fois que c'est le germe seulement de \(\varphi_{\xi}\) qui est défini (mod restriction à s-groupe d'indice fini). [Si \(\mathfrak{X}\) s'envoie injectivement dans une extension d'une VA par un tore, alors \(\xi\) est connu quand on connaît son germe \[ (11)\qquad \varphi_{\xi} \in \varinjlim_{\Gamma' \subset \Gamma} \mathrm{Hom}(\Gamma', \Sigma_{\mathfrak{X}}) \] […] \((\pi_1(\mathfrak{X}), \Sigma_{\mathfrak{X}})\) sous la limite, un mot souligné en pointillé, sans doute « ouvert » ; après \(\mathrm{Hom}(\Gamma', \Sigma_{\mathfrak{X}})\) un argument est noirci et barré, puis vient le groupe écrit ici, dont le signe qui le précède ne se lit pas [et à l'image de \(\varphi_{\xi}\) dans un \(H^1\) convenable…]]

\textcircled{4} \[ (12)\qquad \text{Soit } \boxed{D = \sum_{i \in I} D_i} \] interligne, au-dessus : « effectif » (un diviseur) sur \(\mathfrak{X}\), (\(I\) l'ens. de ses comp. irréd.) sans comp. multiples, interligne : « i.e. lisse ) » supposons que \(\mathfrak{X}\) soit régulier en les pts génériques de chaque \(D_i\). Soit \(\mathfrak{X}_I\) \[ (13)\qquad \mathfrak{X}' = \mathfrak{X} - \operatorname{supp} D \] et considérons les sous-groupes \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X};\mathfrak{X}'}\) souligné sous l'indice : « ouvert » de \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}\) qui invarie \(D\). On les notera (ou, plus précisément, \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}}(I)\), abus de notation) \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}\), (D […]

5p. 3 de l'auteur \[ (14)\qquad 1 \to \pi_1(\mathfrak{X}') \longrightarrow \Sigma_{\mathfrak{X}'} \longrightarrow \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \to 1 . \] et on a encore un germe de hom interligne : « relèvement » (circonstanciel mod comp. par autom. int. provenant de \(\pi_1(\mathfrak{X}')\))

\begin{tikzcd}
(15)\quad \Sigma_{\mathfrak{X}'} \arrow[r] & \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \arrow[r] & \Gamma \\
 & & \Gamma' \arrow[ull, "\varphi_{\xi}"] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

(si \(\xi \in \mathfrak{X}'(\overline{\mathbb{Q}})\)).

Notons qu'on a ici un hom \[ (16)\qquad \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \longrightarrow \mathfrak{S}_I \] La théorie de Kummer nous fournit, pour tout \(i\), un hom extérieur \[ (17)\qquad T(\overline{\mathbb{Q}}) \xrightarrow{\ \varphi_i\ } \pi_1(\mathfrak{X}'), \qquad T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim \mu_n(\overline{\mathbb{Q}}), \qquad \varphi_i \in \mathrm{Homext}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) \] la flèche porte une barre verticale en travers ; l'égalité \(T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim \mu_n(\overline{\mathbb{Q}})\) est écrite sous \(T(\overline{\mathbb{Q}})\), et « \(\varphi_i \in \mathrm{Homext}(\ldots)\) » à droite, en marge. À gauche, une note au crayon de plusieurs lignes, où se lit « (17) », est hachurée de traits verticaux et ne se lit pas

Notons aussi un hom canonique \[ (18)\qquad (\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \to)\ \Gamma \xrightarrow{\ \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(T(\overline{\mathbb{Q}})) \] faisant opérer \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}\) via \(\Gamma\) sur \(T(\overline{\mathbb{Q}})\). Ceci dit, l'opération opération extérieure de \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}\) sur \(\pi_1(\mathfrak{X}')\) est compatible avec la famille

6des \((\varphi_i)\) (« structure Kummérienne ») compte tenu des opérations interligne : « (16) et (18) » de \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}\) sur \(I\) et \(T(\overline{\mathbb{Q}})\). On peut donc écrire \[ (19)\qquad \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'} \longrightarrow \mathrm{Autext}\bigl(\pi_1(\mathfrak{X}'), T(\overline{\mathbb{Q}}), (\varphi_i)\bigr). \] le deuxième argument, \(T(\overline{\mathbb{Q}})\), est surchargé et de lecture incertaine

Supposons \(\mathfrak{X}\) Soit \(\widehat{\widetilde{\mathfrak{X}}}{}'\) le normalisé de \(\mathfrak{X}\) […] dans l'« extension » définie par \(\widetilde{\mathfrak{X}}'\), donc on a un morphisme profini \[ \widehat{\widetilde{\mathfrak{X}}}{}' \longrightarrow \mathfrak{X} \] Soit \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\) l'image inverse de l'ens. des pts génériques interligne : « maximaux » des \(D = \sum D_i\). On a donc \[ (20)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \longrightarrow I \] et une opération de […] \(\Sigma_{\mathfrak{X}'}\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\) qui transporte la structure) compatible avec les opérations sur \(I\) et l'application (20). Pour \(i \in I\), soit \[ (21)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(i) \subset \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \] sa fibre dans \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\), […] à droite de (21) : « (C'est un espace homogène sous \(\pi_1(\mathfrak{X}')\). On trouve […] »

7p. 4 de l'auteur une application \[ (22)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(i) \xrightarrow{\ \Phi_i\ } \mathrm{Hom}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) \] compatible avec les opérations de \(\pi_1(\mathfrak{X}')\) de part et d'autre, et qui précise l'hom. extérieur \(\varphi_i\) de (17). Mieux encore, le système \((\Phi_i)_{i \in I} = \Phi\), \[ (23)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \xrightarrow{\ \Phi\ } \mathrm{Hom}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) \] est compatible avec les \(\Sigma_{\mathfrak{X}'}\) de part et d'autre, en se rappelant, pour l'opération de \(\Sigma_{\mathfrak{X}'}\) sur le but de droite, de tenir compte aussi de l'opération de \(\Sigma_{\mathfrak{X}'}\) sur \(T(\overline{\mathbb{Q}})\) (via \(\Gamma\)). en marge gauche, au crayon, une note de plusieurs lignes obliques, presque entièrement illisible : « ici il faudrait […] dire […] \(\mathfrak{X}\) […] \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\) […] \(\Phi\) […] »

\textcircled{5} Soit enfin, par dessus le marché, une partie \(J \subset \mathfrak{X}'(\overline{\mathbb{Q}})\). Soit \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) son image inverse dans \(\widetilde{\mathfrak{X}}'\). Soit \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}(I,J)\) ou simplement \(\mathcal{G}'\) le sous-groupe de \(\mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}\) qui invarie \(J\). D. Voici les structures \(\mathcal{G}'\) opère sur \(J\), sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) et sur \[ (24)\qquad \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \longrightarrow J \] « \(\mathcal{G}'\) » est écrit au-dessus de la ligne biffée

8Enfin, on a une famille de scindages interligne : « partiels » \[ (25)\qquad \Psi = (\Psi_j)_{j \in J} : \bigl(\widetilde{\mathfrak{X}}(j) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathcal{G}_j, \Sigma')\bigr) \] au-dessus de \(\Psi_j\) un petit mot biffé ; l'indice de \(\Sigma'\) est biffé (où cette fois \(\Sigma'\) désigne l'image inverse interligne : « et \(\mathcal{G}_j\) le stab. de \(j\) dans \(\mathcal{G}'\) » de \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}_{\mathfrak{X}'}\) dans \(\Sigma_{\mathfrak{X}'}\)), compatible avec les opérations de \(\Sigma'\) de part et d'autre, s'inscrivant dans une famille de scindages […] mod \(\pi_1\) (26) \(\Psi^{\mathrm{ext}} = (\Psi_j^{\mathrm{ext}})_{j \in J}\) […] \((\widetilde{\mathfrak{X}}'(J))\) \(\to \mathrm{Hom}(\mathcal{G}', \Sigma')/\mathrm{Int}(\pi_1, \Sigma')\) équivariante compatible avec op. de \(\Sigma'\) ce passage est barré de deux longs traits horizontaux et de traits obliques

\textcircled{6} Récapitulons. On a donc \(\mathfrak{X}\) schéma de t.f. sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), un diviseur \[ \mathrm{I}\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathfrak{X} \text{ de t.f.\ sur } \overline{\mathbb{Q}} \\ D = \sum_{i \in I} D_i \text{ diviseur effectif sur } \mathfrak{X} \text{ à comp.\ simples, } \mathfrak{X} \text{ lisse en les pts} \\ \qquad \text{maximaux de } \operatorname{supp} D \\ J \subset \mathfrak{X}'(\overline{\mathbb{Q}}), \text{ où } \mathfrak{X}' = \mathfrak{X} - D \end{array}\right. \] On pose \[ \mathrm{II}\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{G}' = \text{groupe des autom.\ du schéma absolu } \mathfrak{X} \text{ qui invarie } D \text{ et } J \\ G' = \text{s-gp de } \mathcal{G}' \text{ formé des } \overline{\mathbb{Q}}\text{-autom.} \\ T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim_n \mu_n(\overline{\mathbb{Q}}) \\ \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \end{array}\right. \] « absolu » est ajouté au-dessus de la ligne ; sous le signe \(\subset\) de la dernière ligne de I, un petit mot souligné ne se lit pas

9p. 5 de l'auteur. La numérotation des formules recommence ici à (1) d'où \[ (1)\qquad 1 \longrightarrow G' \longrightarrow \mathcal{G}' \longrightarrow \Gamma \] et un germe de relèvement

\begin{tikzcd}
(2)\quad \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \\
 & \Gamma' \arrow[ul] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\noindent(\(\Gamma' \subset \Gamma\) s-gp ouvert). en marge gauche, au crayon, en oblique, près de (2) : « pour mémoire : relation avec variétés […] […] […]… »

Choisissons (cf. normalisation plus bas)

\textcircled{III} un rev. universel \(\widetilde{\mathfrak{X}}'\) de \(\mathfrak{X}'\), d'où posons \[ \pi_1(\mathfrak{X}') = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}'/\mathfrak{X}') \] On trouve alors \[ (3)\qquad \text{str.\ d'extension}\quad 1 \to \pi_1(\mathfrak{X}') \longrightarrow \Sigma' \longrightarrow \mathcal{G}' \to 1 \] \[ (4)\qquad \Sigma'\text{-ensembles}\quad \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \end{array}\right. \] \[ (5)\qquad \text{Opérations de } \Sigma' \text{ sur } I, J \text{ via } \mathcal{G}', \text{ et } \Sigma'\text{-applications}\quad \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \to I \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \to J \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(J)/\pi_1 \end{array}\right. \] en marge gauche, au crayon, en oblique, près de (3) et (4) : « […] […] \(\mathfrak{X}(\overline{\mathbb{Q}})\) […] […]… »

10dans (6), un mot biffé précède \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\) \[ (6)\qquad \text{application}\quad \Phi : \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(\overline{\mathbb{Q}}), \pi_1(\mathfrak{X}')) \] compatible avec op. de \(\Sigma'\), opérant sur le but de droite grâce à son op. sur \(T(\overline{\mathbb{Q}})\) via (\(\mathcal{G}'\) via \(\Gamma\)) et sur \(\pi_1(\mathfrak{X}')\) [via autom. int. dans (3)] en marge gauche, au crayon, en oblique : « si \(\dim \mathfrak{X} = 1\) sinon il faut revoir avec plus de soin la situation… » \[ (7)\qquad \text{Syst.\ d'application}\quad \Psi = (\Psi_j)_{j \in J} : \bigl(\widetilde{\mathfrak{X}}'(j) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j / \mathcal{G}'_j)\bigr)_{j \in J} \] au-dessus de \(\Psi_j\) un petit signe biffé ; après la parenthèse un terme \(\mathrm{Int}(\pi_1, \Sigma')\) est biffé compatible avec opérations de \(\Sigma'_j\) (opérant sur le but de droite grâce aux autom. intérieurs \[ ({}^{g}u)(\sigma) = g\, u(g_1^{-1} \sigma g_1)\, g^{-1} \] où \(\sigma \in \mathcal{G}'_j\), \(u \in \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j / \mathcal{G}'_j)\), \(g \in \Sigma'_j\), \(g_1 \in \mathcal{G}'\) l'image de \(g\) dans \(\mathcal{G}'\)). (8) \(\Psi^{\mathrm{ext}} = (\Psi_j^{\mathrm{ext}})\) : \((\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) \(\to \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j / \mathcal{G}'_j)/\ldots)_{j \in J}\) la ligne (8) est biffée ; lecture incertaine dans son détail

(9) germe d'homomorphisme

\begin{tikzcd}
\Sigma' \arrow[r] & \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \\
 & & \Gamma' \arrow[ull] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\noindent(\(\Gamma'\) s-groupe ouvert) en marge gauche, encadrée d'un trait, une note en oblique : « où \(\mathcal{G}'_j\) est le stabilisateur de \(j\) dans \(\mathcal{G}'\), \(\Sigma'_j\) son image inverse dans \(\Sigma'\) — (8) […] “relevant” (7) […] \(\mathcal{G}'\) […] et […] […] \(\Sigma'\)… »

11p. 6 de l'auteur Programme des paradigmes de théorie des interligne : « gruppentheoretische » « Gleichnis » (paradigmes en termes de théorie des groupes) de la théorie géométrique algébrique absolue (en car. 0) interligne : « l'arithmétique » l'arithmétique : « Gleichnis » est en allemand, entre guillemets, dans l'original ; le mot qui le précède, ajouté au-dessus de la ligne, est également allemand et se lit mal

a) Donner une description « gruppentheoretisch » complète de \(\Gamma\)

b) Donner une description complète de tous les éléments de structure énumérés […] ci-dessus, dans des cas typiques (suivants pour \((\mathfrak{X}, D, J)\)), dont nous indiquons quelques-uns plus bas. en marge gauche, au crayon, en oblique : « On tiendra […] de prendre \(\mathfrak{X}\) projectif, […] pour simplifier… »

\underline{NB} Comme on a les éléments de structure énumérés pour \((\mathfrak{X}, D, J)\), on les a aussi automatiquement pour interligne : « étale » tout rev. fini de \(\mathfrak{X}'\)… Il faudrait expliciter ce point avec soin, et expliciter également dans les équivalences explicites les fondements « bouclage de tresses ». On rajoute interligne : « certains » des \(D_i\) (qu'on avait enlevés) ou « fixage de tresses » sous la ligne : « si \(\dim \mathfrak{X} = 1\) » (on enlève certains des \(\xi \in J\)). les guillemets de « bouclage de tresses » et de « fixage de tresses » sont de lui ; les deux lectures sont incertaines

12\underline{RemB} Soit \(\Gamma'\) un s-groupe ouvert de \(\Gamma\), correspondant à une s-extension finie \(K/\mathbb{Q}\) de \(\overline{\mathbb{Q}}\), et considérons une restriction de la situation \((\mathfrak{X}, D, J)\) à \(K\), donnant donc par un scindage partiel (cf. \textcircled{2}) \[ \Gamma' \longrightarrow \mathcal{G}' \] d'où une extension \[ (9)\qquad 1 \to \pi_1(\mathfrak{X}') \longrightarrow \Sigma'_{\Gamma'} \longrightarrow \Gamma' \to 1 \] Le groupe \(\Gamma'\) opère donc sur \((\mathfrak{X}, D, J)\), donc sur interligne : « \(\mathfrak{X}'\), donc sur » la catégorie des rev. interligne : « étales » finis de \(\mathfrak{X}'\), catégorie qui qui s'identifie à la cat. \(\mathrm{Ens.f.}(\pi_1(\mathfrak{X}'))\). Pour tout \(\gamma \in \Gamma'\), soit \(\mathcal{B}_{\gamma}\) le \(\pi_1(\mathfrak{X}')\)-bitorseur image inverse de \(\gamma\) dans \(\Sigma'_{\Gamma'}\), il définit interligne : « explicite » l'opération de \(\gamma\) sur \(\mathrm{Revét}(\mathfrak{X}') \simeq \mathrm{Ensf}(\pi_1)\) comme \[ (10)\qquad E \longmapsto \mathcal{B}_{\gamma} \wedge^{\pi_1} E \] Si \(\mathcal{Y}'\) et \({}^{\gamma}\mathcal{Y}'\) se correspondent, on a des isom. […] interligne : « canoniques » \[ (11)\qquad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{Y}'(I) \simeq ({}^{\gamma}\mathcal{Y}')(I) \\ \mathcal{Y}'(J) = ({}^{\gamma}\mathcal{Y}')(J). \end{array}\right. \] « RemB » est souligné ; lecture douteuse. La première ligne de (11) porte \(\simeq\), la seconde \(=\), comme sur la page

13p. 7 de l'auteur En fait, si \(\mathcal{Y}' \longleftrightarrow E\), on a \[ \begin{array}{l} \mathcal{Y}'(I) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} E \\ \mathcal{Y}'(J) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} E \end{array} \] et les appl. isomorphismes (11) reviennent à des isom. \[ \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} E \simeq (\widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_{\gamma}) \wedge^{\pi_1} E \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} E \simeq (\widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} (\mathcal{B}_{\gamma})) \wedge^{\pi_1} E \end{array}\right. \] qui proviennent à droite d'isom. de \(\pi_1\)-ens. à droite \[ \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(I) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_{\gamma} \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_{\gamma} \end{array}\right. \] lesquels reviennent à la donnée d'homs \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{B}_{\gamma} \longrightarrow \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)) = \mathrm{Bij}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I), \widetilde{\mathfrak{X}}'(I)) \\ \quad \text{et itou pour } \widetilde{\mathfrak{X}}'(J)) \end{array}\right. \] compatibles avec les op. de \(\pi_1\) à g. et à dr. On a donc là des applications, pour \(\gamma \in \Gamma'\) variable, équivalant […] à la donnée d'une applications \[ \Sigma'_{\Gamma'} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \mathcal{B}_{\gamma} \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)), \qquad \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)) \] et celles qu'on cherche sont justement l'opération déduite par celles déjà envisagées de \(\Sigma'\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\), \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\)… sous « Aut », sur la troisième accolade, un mot surchargé ; l'indice « ens » des deux derniers \(\mathrm{Aut}\) est lu d'après le trait souligné

14\textcircled{7} Réconstructionsic des groupoïdes fondamentaux \(\Pi_1(\mathfrak{X}'; J)\) de \(\mathfrak{X}'\), et des opérations de \(\mathcal{G}'\) dessus, en termes de l'extension \(\Sigma'\) de \(\mathcal{G}'\) par \(\pi_1\), et de l'opération de \(\Sigma'\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) et \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \to J\) [et des applications (7) (8) \[ \begin{array}{l} \Psi^{\mathrm{ext}} : \widetilde{\mathfrak{X}}'(J) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'/\mathcal{G}')/\pi_1 \\ \Psi_j : (\widetilde{\mathfrak{X}}'(j) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j/\mathcal{G}'_j)) \end{array} \] ]. en marge gauche, en oblique, séparée du texte par un trait : « inutiles dans ces […], elles résultent des précédentes »

Ob \(\Pi_1 = J\)

\(\mathfrak{X}'_j\), \(j \in J\) \underline{NB} Si \(\widetilde{\xi} \in \widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\), \(\widetilde{\mathfrak{X}}'[j]\) (rev. universel de \(\mathfrak{X}'\) en \(j\)) s'identifie à \(\widetilde{\mathfrak{X}}'\) (puisque \(\widetilde{\xi}\) est un pt au-dessus de \(j\)) […] des \(\widetilde{\mathfrak{X}}'\) au dessus de \(j\) \[ \widetilde{\mathfrak{X}}' \xrightarrow{\ \psi_{\widetilde{\xi}}\ } \widetilde{\mathfrak{X}}'[j] \] Si \(\gamma \in \pi_1\), on aura \[ \psi_{\gamma \cdot \widetilde{\xi}} = \psi_{\widetilde{\xi}} \circ \gamma_{\widetilde{\mathfrak{X}}'} \] donc on peut dire, indépendamment des choix d'un pt base \(\widetilde{\xi}\) \[ \widetilde{\mathfrak{X}}'[j] \xleftarrow{\ \sim\ } \underbrace{\widetilde{\mathfrak{X}}'(j)}_{\text{torseur à dr.\ sous } \pi_1} \wedge^{\pi_1} \widetilde{\mathfrak{X}}' \]

15p. 8 de l'auteur Ceci noté, on a donc, si \(j, j' \in J = \mathrm{Ob}\,\Pi_1\) \[ \begin{aligned} \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(j, j') &\overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Isom}(\widetilde{\mathfrak{X}}'[j], \widetilde{\mathfrak{X}}'[j']) \\ &\simeq \mathrm{Isom}_{\pi_1\text{-tors.\ à droite}} (\widetilde{\mathfrak{X}}'(j), \widetilde{\mathfrak{X}}'(j')) \end{aligned} \] la composition des chemins étant la composition des hom. de \(\pi_1\)-torseurs à droite. […] On a donc reconstruit interligne : « le groupoïde » \(\Pi_1\) à l'aide de \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) et de l'opération libre (à droite) de \(\pi_1\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\). [Les opérations Comment reconstituer l'opération de \(\mathcal{G}'\) sur \(\Pi_1\) ? L'opération sur \(\mathrm{Ob}\,\Pi_1 = J\) n'est autre que l'opération donnée de \(\mathcal{G}'\) sur \(J\) (factorisant celle de \(\Sigma'\)). Soit \(g \in \mathcal{G}'\), explicitons \[ \begin{array}{ccc} \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(j, j') & \xrightarrow{\ g_{\Pi_1}\ } & \mathrm{Isom}(gj, gj') \\ \| & & \| \\ \mathrm{Isom}_{\pi_1}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(j), \widetilde{\mathfrak{X}}'(j')) & \overset{?}{\simeq} & \mathrm{Isom}_{\pi_1}(\widetilde{\mathfrak{X}}'(gj), \widetilde{\mathfrak{X}}'(gj')) \end{array} \] Pour ceci, considérons le interligne : « \(\pi_1\)- » bitorseur \[ \mathcal{B}_g \subset \Sigma'\quad \text{image inverse de } g \text{ par } \Sigma' \to \mathcal{G}' \] On note par l'hyp. [grâce à l'op. de \(\Sigma'\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\)] \[ \begin{array}{l} \widetilde{\mathfrak{X}}'(gj) \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(j) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_g \\ \widetilde{\mathfrak{X}}'(gj') \simeq \widetilde{\mathfrak{X}}'(j') \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_g \end{array} \] dans le crochet, il écrit \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\), là où le contexte appellerait \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) ; transcrit tel quel

16d'où aussitôt la flèche envisagée.

Il faudrait encore expliciter comment (7) (8) résultent de la donnée de l'opération de \(\Sigma'\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\), induisant une opération \underline{libre} de \(\pi_1 \subset \Sigma'\) sur \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) (ayant \(J\) comme quotient)…

\underline{Reformulation}

Considérons les systèmes \[ \left\{ \begin{array}{ll} 1 \to \pi \longrightarrow \Sigma \longrightarrow G \to 1 & \text{ext.\ de groupes} \\ \mathfrak{Z}\ \ \Sigma\text{-ens.}, \neq \emptyset,\ \text{où } \pi \subset \Sigma \text{ opère librement} \end{array}\right. \] « \(\neq \emptyset\) » est ajouté au-dessus de la ligne. Le groupe noté ici \(G\) est écrit avec la même lettre ronde que \(\mathcal{G}'\) plus haut ; il est rendu \(G\), comme au second lot Ils forment une \underline{catégorie} \(C\).

Considérons les systèmes \((\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, g)\) : \(\Pi\) est un groupoïde interligne : « non vide » connexe, \(p : \widetilde{\Pi} \to \Pi\) un rev. universel de \(\Pi\), et \(G\) un groupe opérant […] sur \(\Pi\) par automorphismes par \(g : G \to \mathrm{Aut}(\Pi)\). Ils forment une catégorie \(C'\). On va définir des équivalences quasi-inverses l'une de l'autre \[ C \mathrel{\substack{\xrightarrow{\ \alpha\ } \\ \xleftarrow[\ \beta\ ]{}}} C' \]

17p. 9 de l'auteur \underline{Définition de \(\alpha\)}. On va définir \[ \alpha(\Sigma, G, \pi, \mathfrak{Z}\ldots) = (\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, \sim) \] \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Ob}\,\Pi = \mathfrak{Z}/\pi \quad (\text{soit } J) \\ \mathrm{Isom}(j, j') = \mathrm{Isom}_{\pi}(\mathfrak{Z}_j, \mathfrak{Z}_{j'}) \\ \text{composition des flèches évidente} \end{array}\right. \qquad \text{d'où groupoïde } \Pi \] \(\widetilde{\Pi}_j = \mathfrak{Z}_j\) \(\mathrm{Ob}\,\widetilde{\Pi} = \mathfrak{Z}\) \[ \begin{array}{l} \mathrm{Isom}(z, z') = \{\mathrm{pt}\} \quad \forall z, z' \in \mathfrak{Z} \quad (\widetilde{\Pi} \text{ cat.\ discrète\ldots}) \\ \qquad\downarrow \\ \mathrm{Isom}(j, j') \simeq \mathrm{Isom}(\mathfrak{Z}_j, \mathfrak{Z}_{j'}) \quad (\text{si } j = \bar z,\ j' = \bar z') \end{array} \] à droite, séparé par un trait vertical : « \(\widetilde{\Pi}\) cat. \underline{discrète} sur \(\Pi\) définie par […] un foncteur \(F : \Pi^{\circ} \to \mathrm{Ens}\), \(F(j) = \mathfrak{Z}_j\), …, \(\widetilde{\Pi} \simeq \Pi_{/F}\) » sous la parenthèse « (si \(j = \bar z\), \(j' = \bar z'\)) », une ligne biffée ne se lit pas \(\downarrow\) transforme l'unique pt de \(\mathrm{Isom}(z, z')\) en l'unique interligne : « \(\pi\)- » isom. \(\mathfrak{Z}_j \to \mathfrak{Z}_{j'}\) transformant \(z\) en \(z'\)…

Pour l'instant, on n'a pas utilisé \(\Sigma\) et l'op. de \(\Sigma\) sur \(\mathfrak{Z}\). On va l'utiliser maintenant pour faire opérer \(G = \Sigma/\pi\) sur \(\Pi\), et \(\Sigma\) sur \(\widetilde{\Pi}\), de façon compatible. Comme \(\Sigma\) opère sur \(\mathfrak{Z} = \mathrm{Ob}(\widetilde{\Pi})\), il opère […] sur \(\widetilde{\Pi}\), cat. discrète associée, […] et […] \(\pi\) opère par \(\Pi\)-automorphismes, d'où l'opération de \(G\) sur \(\Pi\) par passage au quotient.

18\underline{Définition de \(\beta\)}. On définit \[ \beta(\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, \sim) = (\Sigma, G, \pi, \mathfrak{Z}) \quad \text{ainsi :} \] \(\Sigma\) = groupe des couples \((g, \bar g)\), avec \(g \in G\), \(\bar g \in \mathrm{Aut}(\widetilde{\Pi})\) compatible avec \(g\) \[ \pi = \mathrm{Aut}(\widetilde{\Pi}/\Pi) \] \(\Sigma \to G\) par \((g, \bar g) \mapsto g\), d'où \[ 1 \to \pi \longrightarrow \Sigma \longrightarrow G \to 1 \] \(\mathfrak{Z} = \mathrm{Ob}\,\widetilde{\Pi}\), avec opération évidente de \(\Sigma\) sur \(\mathfrak{Z}\)…

Variantes profinies…

\textcircled{8} Considérons, avec notations de \textcircled{7}, (\(1 \to \pi \to \Sigma \to G \to 1\) et \(\mathfrak{Z}\) \(\Sigma\)-ens. \(\neq \emptyset\) sur lequel \(\pi\) opère librement) \(\longleftrightarrow (\Pi, \widetilde{\Pi}, p, G, \sim)\). On va interpréter la donnée d'un triple \((\mathcal{T}, T, \Phi)\), où \(\mathcal{T}\) est interligne : « \(\chi\) : » un \(\Sigma\)-ens., \(T\) […] un groupe […] (\(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}\) ?), \(\chi : G \to \mathrm{Aut}(T)\) (\(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) […]), et \[ \Phi : \mathcal{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(T, \pi) \] compatible avec op. de \(\Sigma\) (opérant la lettre \(\mathfrak{Z}\) (une sorte de « 3 » à queue) désigne l'ensemble qui correspond, dans le récapitulatif de la page 8, à \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(J)\) ; la lettre \(\mathcal{T}\) (un T ronde barré), celui qui correspond à \(\widetilde{\mathfrak{X}}'(I)\) et à l'application \(\Phi\) de (6), p. 10. Devant le premier \(\mathcal{T}\) du triple, un petit signe en exposant ne se lit pas

19p. 10 de l'auteur sur \(\mathcal{T}\) par l'op. donnée, et sur \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(T, \pi)\) en considérant \(T\), \(\pi\) comme des \(\Sigma\)-groupes grâce à \(\chi\) et à l'opération de \(\Sigma\) sur \(\pi\) par autom. intérieurs… Pour ceci, introduisons à partir d'ici et jusqu'au haut de la page 20, le texte est traversé par deux longs traits obliques parallèles, qui semblent le biffer ; il reste lisible et est transcrit \[ J = \mathcal{T}/\pi \] sur lequel interligne : « et \(=\) … \(G\) » \(\Sigma/\pi\) opère par passage au quotient, \(\mathcal{T} \to J\) devenant donc un \(\Sigma\)-morphisme. Considérons alors le groupoïde \(\langle T, J \rangle\) défini par \[ \begin{array}{l} \mathrm{Ob}\,\langle T, J \rangle = J \\ \mathrm{Isom}(j, j') = \left\{ \begin{array}{ll} \emptyset & \text{si } j \neq j' \\ T & \text{si } j = j' \end{array}\right. \end{array} \] composition des flèches étant celle de \(T\). On a une opération de \(G\) sur \(\langle T, J \rangle\) via ses opérations sur \(T\) interligne : « (par \(\chi\)) » et sur \(J\). On va définir un homomorphisme de groupoïdes \[ \langle T, J \rangle \longrightarrow \Pi^{\wedge} \] où \(\Pi^{\wedge}\) est le groupoïde interligne : « 0-connexe » des rev. universels de \(\Pi\), identifiable (via \(\widetilde{\Pi}\), qui en est un \(\in \Pi^{\wedge}\)) au groupoïde des

20\(\pi\)-torseurs. Pour \(j \in J\), le \(\pi\)-torseur correspondant \(P_j\) s'envoie dans \(\mathcal{T}_j\) = fibre de \(j \in \mathcal{T}/\pi\) dans \(\mathcal{T}\), puis la fibre de \(P_j\) en \(t \in \mathcal{T}_j\) étant le torseur sous le stabilisateur \(\pi_t\) de \(t\) dans \(\pi\) suivant : on considère \[ \Phi(t) : T \longrightarrow \pi \] dont \(\pi_t\) centralise fin du passage traversé par les deux traits obliques

Considérons la restriction de l'opération de \(\Sigma\) sur \(\mathcal{T}\) à \(\pi\), d'où un groupoïde \(\langle \mathcal{T}, \pi \rangle\) dont l'ens. des objets est \(\mathcal{T}\), l'ens. des \(\mathrm{Isom}(t, t')\) étant \(\pi_{t \to t'} = \{\lambda \in \pi \mid \lambda t = t'\}\). La composition […]. \[ \pi_0 \langle \mathcal{T}, \pi \rangle = \mathcal{T}/\pi \overset{\mathrm{df}}{=} J \] \[ \pi_1(\mathcal{T}, t) = \pi_t \quad (\text{stabilisateur de } t \text{ dans } \pi) \] et on trouve que \(\pi_t\) centralise \(\Phi(t)(T) \subset \pi\) : […], supposons \underline{\(T\) commutatif} et \(\pi_t = \Phi_t(T)\) \[ \Phi_t : T \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_t \] du d'autres termes, on suppose donnée, en plus de \(\mathcal{T}\) \(\Sigma\)-ens. de \(\pi\)-ens., la phrase se poursuit au début du second lot (p. 21)