Cote n° 143 · pages 1–33 · Lecture modernisée · Paradigmes des courbes algébriques (version provisoire) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1980-1981]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–33

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier est une seule rédaction, paginée de sa main de 1 à 16 (sur les rectos, les versos courant sans numéro), suivie de deux feuillets isolés. Il numérote ses paragraphes de ① à ⑧, puis deux fois ⑨.

• Les données d'un paradigme (pages 1 à 10, ses pages 1 à 5) : le groupe \(\mathcal{G}\) des automorphismes absolus d'un schéma \(X\) sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), l'extension \(\Sigma\) de \(\mathcal{G}\) par \(\pi_1(X)\), le germe de relèvement attaché à un point, la structure kummérienne attachée à un diviseur \(D\), les pointes \(\widetilde X'(I)\) et l'application \(\Phi\), les points marqués \(\widetilde X'(J)\) et les scindages \(\Psi\) ; puis la récapitulation en trois groupes I, II, III et neuf éléments de structure.
• Le programme (page 11) : décrire \(\Gamma\) et toute cette structure « en termes de théorie des groupes ».
• Descente et bitorseurs (pages 12 et 13) : comment la donnée précédente contient l'action de \(\Gamma'\) sur les revêtements.
• Le groupoïde fondamental (pages 14 à 18) : \(\Pi_1(X'; J)\) reconstruit à partir de \(\widetilde X'(J)\), puis la « Reformulation » : extensions munies d'un ensemble, ou groupoïdes munis d'un revêtement universel.
• Les pointes en termes de groupoïdes (pages 18 à 26) : plusieurs essais pour dire la structure \(\Phi\) dans ce langage ; le dernier est abandonné.
• Topos modulaires de genre \(0\) (pages 26 et 27).
• Une conjecture arithmético-géométrique (pages 28 à 31) : l'action de \(\pi_1(M_{g,\nu})\) sur le groupe fondamental de la courbe universelle serait un isomorphisme sur le groupe des automorphismes extérieurs « à lacets ».
• La fibration d'oubli d'un point (page 32), deux diagrammes sur un listing d'ordinateur. La page 33 est un listing qui ne porte rien de lui.

Le dossier n'établit pas de lien explicite entre la première moitié et la seconde. Il y en a un, que nous signalons comme nôtre là où il sert : les données des pages 1 à 13, écrites pour une courbe \(X'\), sont induites, pour la courbe \(X_\xi\) correspondant à un point \(\xi\) de l'espace des modules, par la fibration de la page 32 ; et le groupe \(\pi_1(N_{g,\nu})\) de la page 30 est l'extension \(\Sigma\) des pages 1 et 2, écrite pour l'espace des modules.

Les conventions

Schémas et groupes fondamentaux. \(X\) désigne un schéma de type fini sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), connexe et non vide¹ . \(\pi_1\) est le groupe fondamental étale, profini, et \(\widetilde X \to X\) un revêtement universel, c'est-à-dire un pro-revêtement étale galoisien de groupe \(\pi_1(X) = \mathrm{Aut}(\widetilde X/X)\). Le groupe \(\pi_1\) agit à gauche ; un \(\pi_1\)-ensemble à gauche \(E\) devient à droite par \(x\cdot\lambda = \lambda^{-1}x\), et \(A \wedge^{\pi_1} E\) est le produit contracté, quotient de \(A \times E\) par \((a\lambda, e) \sim (a, \lambda e)\) — les conventions du dossier 141.

Galois. \(\Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) ; \(\Gamma'\) désigne un sous-groupe ouvert, celui d'un corps de nombres \(K\). \(T = T(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim_n \mu_n(\overline{\mathbb{Q}})\), qu'on écrit aujourd'hui \(\widehat{\mathbb{Z}}(1)\), et \(\chi : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} = \mathrm{Aut}(T)\) le caractère cyclotomique.

Automorphismes extérieurs. On écrit \(\mathrm{Out}\) pour son « \(\mathrm{Autext}\) », comme dans la lecture du dossier 145, et \(\mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}\) pour les automorphismes extérieurs « à lacets » (on dit aujourd'hui : qui préservent l'inertie) — ceux qui envoient chaque classe de conjugaison de sous-groupes d'inertie des trous sur une telle classe, avec un même multiplicateur dans \(\widehat{\mathbb{Z}}^{*}\). L'exposant \({}^{\circ}\) de la page 28 impose de fixer chaque classe, ce que le dossier 145 note \({}^{!}\) ; l'exposant \({}^{\circ\circ}\) impose en outre le multiplicateur \(1\).

Le modèle abstrait. À partir de la page 16, \(1 \to \pi \to \Sigma \to G \to 1\) est une extension abstraite de groupes ; \(\mathfrak{Z}\) est un \(\Sigma\)-ensemble qui modèle \(\widetilde X'(J)\), \(\mathcal{T}\) un \(\Sigma\)-ensemble qui modèle \(\widetilde X'(I)\). Les pages appellent \(J\) à la fois \(\mathfrak{Z}/\pi\) et \(\mathcal{T}/\pi\) ; le second correspond, dans le dictionnaire de la page 8, à l'ensemble \(I\) des composantes de \(D\), et on l'écrit \(I\)² .

Espaces de modules. \(M_{g,\nu}\) est le champ (le « topos modulaire ») des courbes lisses propres de genre \(g\) munies de \(\nu\) sections ordonnées deux à deux disjointes, sur \(\mathbb{Q}\) ; \(\overline{M}_{g,\nu}\) est \(M_{g,\nu} \otimes \overline{\mathbb{Q}}\) — la barre est l'extension des scalaires, non la compactification. \(T_{g,\nu}\) est ce qu'il appelle le « groupe de Teichmüller », le groupe modulaire (mapping class group) pur de la surface de genre \(g\) à \(\nu\) trous, et \(\widehat T_{g,\nu}\) son complété profini ; \(\widehat\pi_{g,\nu}\) est le complété profini du groupe fondamental de cette surface.

1–1

Le groupe des automorphismes absolus (page 1)

Soit \(X\) comme ci-dessus et \(\mathcal{G} = \mathcal{G}_X\) le groupe des automorphismes de \(X\) en tant que schéma absolu, c'est-à-dire sans exiger qu'ils respectent la structure de \(\overline{\mathbb{Q}}\)-schéma. Un tel automorphisme \(u\) agit sur l'anneau \(\mathcal{O}(X)\) des fonctions, et préserve le sous-anneau des éléments annulés par un polynôme séparable à coefficients rationnels ; comme \(X\) est connexe, ce sous-anneau est exactement \(\overline{\mathbb{Q}}\) (une telle fonction prend ses valeurs parmi les racines distinctes d'un polynôme, et chaque valeur découpe une partie ouverte et fermée). D'où une suite exacte \[ (1)\qquad 1 \longrightarrow G \longrightarrow \mathcal{G} \longrightarrow \Gamma, \qquad G = \mathrm{Aut}(X/\overline{\mathbb{Q}}), \] où \(u\) s'envoie sur l'élément \(\gamma\) tel que \(u^{*}\) agisse sur \(\overline{\mathbb{Q}}\) par \(\gamma^{-1}\)³ .

L'image est d'indice fini. Les sous-extensions \(K\) de \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) correspondent aux sous-groupes fermés \(\Gamma_K\), d'indice fini si et seulement si \(K\) est fini sur \(\mathbb{Q}\). Comme \(X\) est de type fini, ses équations n'ont qu'un nombre fini de coefficients : \(X\) provient d'un \(K\)-schéma \(X_K\) pour un corps de nombres \(K\), et \(\gamma \mapsto \mathrm{id}_{X_K} \times \mathrm{Spec}(\gamma^{-1})\) est un relèvement \[ (4)\qquad \Gamma_K \longrightarrow \mathcal{G} \] de l'inclusion \(\Gamma_K \subset \Gamma\). L'image de \(\mathcal{G} \to \Gamma\) contient donc le sous-groupe ouvert \(\Gamma_K\) : elle est ouverte, d'indice fini⁴ .

Le relèvement (4) détermine la \(K\)-structure : les fonctions de \(X_K\) sont les fonctions de \(X\) invariantes par \(\Gamma_K\), et cela sans hypothèse de réduction⁵ . Inversement, un relèvement \(\Gamma_K \to \mathcal{G}\) ne vient d'une \(K\)-forme que s'il est continu (chaque fonction a une orbite finie), et, même alors, la donnée de descente n'est effective que sous une hypothèse comme « \(X\) quasi-projectif » : c'est le « grain de sel d'effectivité … de projectivité » de la note marginale⁶ .

1–4

L'extension \(\Sigma\), les points et leurs germes (pages 1 à 4)

1–2

L'extension \(\Sigma_X\)

Soit \(\widetilde X \to X\) un revêtement universel, et \[ (5)\qquad \Sigma_X = \Sigma(X, \widetilde X) = \mathrm{Aut}(\widetilde X /\!/ X) \] le groupe des automorphismes du schéma absolu \(\widetilde X\) qui recouvrent un élément de \(\mathcal{G}\)⁷ . Si \(u \in \mathcal{G}\), le composé \(\widetilde X \to X \xrightarrow{u} X\) est encore un revêtement universel, donc \(u\) se relève, et les relèvements forment un torseur sous \(\pi_1(X) = \mathrm{Aut}(\widetilde X/X)\) : \[ (6)\qquad 1 \longrightarrow \pi_1(X) \longrightarrow \Sigma_X \longrightarrow \mathcal{G} \longrightarrow 1 . \] La conjugaison dans \(\Sigma_X\) fait agir \(\mathcal{G}\) sur \(\pi_1(X)\) par automorphismes extérieurs. Au-dessus de \(\Gamma_K\) (par (4)), \(\Sigma_X\) n'est autre que le groupe fondamental du \(K\)-schéma \(X_K\), dans la suite exacte fondamentale \(1 \to \pi_1(X) \to \pi_1(X_K) \to \Gamma_K \to 1\) (c'est ce que reprend la page 12). C'est la même construction que le groupe \(\pi_1(X, \Gamma, a)\) de la page 14 du dossier 141 et que l'extension \(\mathcal{E} = \pi_1(U, \Gamma; P)\) « à la Malgoire » des pages 15 et 16 du dossier 145, en version étale et pour le groupe \(\mathcal{G}\) tout entier⁸ .

Un point. Soit \(\xi \in X(\overline{\mathbb{Q}})\) et \(\mathcal{G}(\xi)\) son stabilisateur dans \(\mathcal{G}\). Si \(G\) est fini, \(\mathcal{G}\) est profini et \(\mathcal{G}(\xi)\) est un sous-groupe ouvert : \(\mathcal{G}\) est alors extension d'un sous-groupe ouvert de \(\Gamma\) par un groupe fini, et \(\mathcal{G}(\xi)\) contient l'image de \(\Gamma_{K'}\) dès que \(\xi\) est rationnel sur \(K'\)⁹ . Choisissons \(\widetilde X\) pointé, c'est-à-dire un point \(\tilde\xi\) de \(\widetilde X\) au-dessus de \(\xi\). Pour \(u \in \mathcal{G}(\xi)\), les relèvements de \(u\) permutent simplement transitivement la fibre de \(\widetilde X\) en \(\xi\) ; un seul fixe \(\tilde\xi\). D'où un scindage partiel de (6), qui est un homomorphisme : \[ (8)\qquad \mathcal{G}(\xi) \longrightarrow \Sigma_X, \qquad u \longmapsto \text{l'unique relèvement de } u \text{ fixant } \tilde\xi . \] Changer \(\tilde\xi\) le compose avec un automorphisme intérieur provenant de \(\pi_1(X)\) : sans point choisi, (8) n'est défini qu'à cette conjugaison près¹⁰ .

3–4

Le germe de relèvement, et ce qu'il dit du point (pages 3 et 4)

Deux \(K\)-formes de \(X\) deviennent égales sur une extension finie \(K'\) de \(K\) : l'identité de \(X\) est définie sur un corps de nombres. Les relèvements (4) qu'elles définissent coïncident donc sur \(\Gamma_{K'}\). Ce qui est canonique est ainsi un germe de relèvement \[ (9)\qquad \Gamma' \longrightarrow \mathcal{G}, \qquad \Gamma' \subset \Gamma \text{ ouvert}, \] défini modulo la relation « coïncider sur un sous-groupe ouvert plus petit ». Pour \(\Gamma'\) assez petit, il se factorise par \(\mathcal{G}(\xi)\), et le composé avec (8) donne un germe \[ (10)\qquad \varphi_\xi : \Gamma' \longrightarrow \Sigma_X, \qquad \varphi_\xi \in \varinjlim_{\Gamma' \subset \Gamma \text{ ouvert}} \mathrm{Hom}(\Gamma', \Sigma_X), \] relevant l'inclusion de \(\Gamma'\), défini à conjugaison près par \(\pi_1(X)\) si le point \(\tilde\xi\) n'est pas fixé. « Scholie : … encore une fois que c'est le germe seulement de \(\varphi_\xi\) qui est défini »¹¹ . En termes d'aujourd'hui : si \(\xi\) est rationnel sur \(K'\), \(\varphi_\xi\) est la section de la suite exacte fondamentale \(1 \to \pi_1(X) \to \pi_1(X_{K'}) \to \Gamma_{K'} \to 1\) associée au point rationnel \(\xi\), bien définie à conjugaison près.

La page ajoute entre crochets : si \(X\) s'envoie injectivement dans une extension d'une variété abélienne par un tore, \(\xi\) est connu quand on connaît son germe — et l'image de \(\varphi_\xi\) dans un \(H^1\) convenable suffit. C'est vrai, et voici pourquoi. Soit \(\iota : X \hookrightarrow A\) un tel plongement dans une variété semi-abélienne, \(\xi, \xi'\) deux points rationnels sur \(K'\) dont les germes coïncident à conjugaison près sur un \(\Gamma_{K''}\). Poussées dans \(\pi_1(A_{K''})\), les deux sections diffèrent d'une classe de \(H^1(K'', \widehat{T}(A))\), où \(\widehat{T}(A) = \pi_1(A)\) est le module de Tate total, et cette classe est l'image de \(\iota(\xi) - \iota(\xi')\) par l'application de Kummer \(A(K'') \to H^1(K'', \widehat{T}(A))\). Elle est nulle ; or le noyau de l'application de Kummer est la partie infiniment divisible de \(A(K'')\), et elle est triviale sur un corps de nombres : l'image d'un tel élément dans la variété abélienne quotient est nulle par le théorème de Mordell–Weil, et l'on se ramène au tore, où le groupe multiplicatif d'un corps de nombres n'a pas d'élément infiniment divisible autre que \(1\). Donc \(\iota(\xi) = \iota(\xi')\), et \(\xi = \xi'\)¹² .

4–7

Un diviseur : structure kummérienne et pointes (pages 4 à 7)

4–6

L'extension \(\Sigma_{X'}\) et les homomorphismes de Kummer

Soit \(D = \sum_{i \in I} D_i\) un diviseur effectif réduit sur \(X\), \(I\) l'ensemble de ses composantes irréductibles, et supposons \(X\) régulier aux points génériques \(\eta_i\) des \(D_i\). Posons \[ (13)\qquad X' = X \setminus \operatorname{supp} D, \] et soit \(\mathcal{G}_{X'}\) le sous-groupe de \(\mathcal{G}_X\) qui préserve \(D\)¹³ . Avec un revêtement universel \(\widetilde X'\) de \(X'\), la construction précédente donne \[ (14)\qquad 1 \longrightarrow \pi_1(X') \longrightarrow \Sigma_{X'} \longrightarrow \mathcal{G}_{X'} \longrightarrow 1, \] et, pour \(\xi \in X'(\overline{\mathbb{Q}})\), un germe \(\varphi_\xi : \Gamma' \to \Sigma_{X'}\) (15). Le groupe \(\mathcal{G}_{X'}\) permute les composantes de \(D\) : \[ (16)\qquad \mathcal{G}_{X'} \longrightarrow \mathfrak{S}_I . \]

La structure kummérienne. L'anneau local \(\mathcal{O}_{X,\eta_i}\) est un anneau de valuation discrète, de corps résiduel de caractéristique \(0\). Son hensélisé strict a pour corps des fractions un corps dont toutes les extensions finies sont kummériennes, de groupe de Galois \(\varprojlim_n \mu_n = T\) : c'est la situation de la page 1 du dossier 141, corps des fractions d'un anneau de valuation discrète hensélien à corps résiduel algébriquement clos de caractéristique nulle¹⁴ . Le choix d'un point de \(\widetilde X'\) « au-dessus de \(\eta_i\) » donne un homomorphisme de ce groupe d'inertie dans \(\pi_1(X')\) ; sans ce choix, on a un homomorphisme extérieur \[ (17)\qquad \varphi_i : T \longrightarrow \pi_1(X'), \qquad \varphi_i \in \mathrm{Homext}(T, \pi_1(X')) = \mathrm{Hom}(T, \pi_1(X'))/\mathrm{Int}(\pi_1(X')), \] la classe du lacet qui fait le tour de \(D_i\)¹⁵ . Le groupe \(\mathcal{G}_{X'}\) agit sur \(T\) à travers \(\Gamma\) et le caractère cyclotomique : \[ (18)\qquad \mathcal{G}_{X'} \longrightarrow \Gamma \xrightarrow{\ \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} = \mathrm{Aut}(T). \] L'action extérieure de \(\mathcal{G}_{X'}\) sur \(\pi_1(X')\) est compatible avec la famille \((\varphi_i)\) — la « structure kummérienne » — compte tenu des actions (16) et (18) : pour \(u \in \mathcal{G}_{X'}\), on a \(u_* \circ \varphi_i \equiv \varphi_{u(i)} \circ \chi(u)^{\pm 1}\) modulo automorphismes intérieurs, le signe dépendant de la convention de (1). On peut donc écrire \[ (19)\qquad \mathcal{G}_{X'} \longrightarrow \mathrm{Out}\bigl(\pi_1(X'); T, (\varphi_i)\bigr), \] où le but est le groupe des triplets \((a, s, c) \in \mathrm{Out}(\pi_1(X')) \times \mathfrak{S}_I \times \mathrm{Aut}(T)\) tels que \(a \circ \varphi_i \equiv \varphi_{s(i)} \circ c\) pour tout \(i\)¹⁶ .

6–7

Les pointes, et l'application \(\Phi\) (pages 6 et 7)

Soit \(\widehat{\widetilde X}{}' \to X\) le normalisé de \(X\) dans le pro-revêtement \(\widetilde X'\) de \(X'\), morphisme profini, et \(\widetilde X'(I)\) l'image inverse de l'ensemble des points maximaux de \(D\), c'est-à-dire des \(\eta_i\)¹⁷ . Pour une courbe, ce sont les pointes du revêtement universel. On a une application \[ (20)\qquad \widetilde X'(I) \longrightarrow I, \] sur laquelle \(\Sigma_{X'}\) agit, compatiblement avec (16) : un élément de \(\Sigma_{X'}\) préserve \(D\) et s'étend donc au normalisé. La fibre \(\widetilde X'(i)\) en \(i\) est un espace homogène sous \(\pi_1(X')\), puisque le groupe d'un revêtement galoisien permute transitivement les points au-dessus d'un point donné¹⁸ . À un point \(\tilde\eta\) de \(\widetilde X'(i)\), associons l'homomorphisme d'inertie de \(T\) dans son stabilisateur, vu dans \(\pi_1(X')\) : \[ (22)\qquad \Phi_i : \widetilde X'(i) \longrightarrow \mathrm{Hom}(T, \pi_1(X')). \] Il est compatible avec \(\pi_1(X')\) des deux côtés — \(\Phi_i(\lambda\tilde\eta) = \mathrm{int}(\lambda) \circ \Phi_i(\tilde\eta)\) — et précise l'homomorphisme extérieur \(\varphi_i\) de (17), qui en est la classe. Mieux, le système \[ (23)\qquad \Phi = (\Phi_i)_{i \in I} : \widetilde X'(I) \longrightarrow \mathrm{Hom}(T, \pi_1(X')) \] est compatible avec \(\Sigma_{X'}\) des deux côtés, \(\Sigma_{X'}\) agissant sur le but par conjugaison sur \(\pi_1(X')\) et par (18) sur \(T\) : \(\Phi(\sigma\tilde\eta) = \mathrm{int}(\sigma) \circ \Phi(\tilde\eta) \circ \chi(\sigma)^{\mp 1}\)¹⁹ .

L'homomorphisme \(\Phi(\tilde\eta)\) n'est pas injectif en général — il est nul pour \(X' = \mathbb{A}^1\) —, et son image n'est pas tout le stabilisateur de \(\tilde\eta\) dès que \(\dim X > 1\), le corps résiduel de \(\eta_i\) ayant alors lui-même un groupe de Galois. Pour une courbe, il en va autrement, et c'est ce qui servira page 20.

7–8

Des points marqués (pages 7 et 8)

Soit enfin, « par dessus le marché », une partie \(J \subset X'(\overline{\mathbb{Q}})\), \(\widetilde X'(J)\) son image inverse dans \(\widetilde X'\), et \(\mathcal{G}' = \mathcal{G}_{X'}(I, J)\) le sous-groupe de \(\mathcal{G}_{X'}\) qui préserve \(J\). Il agit sur \(J\), sur \(\widetilde X'(J)\) et sur \[ (24)\qquad \widetilde X'(J) \longrightarrow J . \] Notons \(\Sigma'\) l'image inverse de \(\mathcal{G}'\) dans \(\Sigma_{X'}\) et, pour \(j \in J\), \(\mathcal{G}'_j\) le stabilisateur de \(j\) et \(\Sigma'_j\) son image inverse. Le scindage (8) de la page 2 donne une famille d'applications \[ (25)\qquad \Psi = (\Psi_j)_{j \in J}, \qquad \Psi_j : \widetilde X'(j) \longrightarrow \mathrm{Splitt}(\Sigma'_j/\mathcal{G}'_j), \] où \(\mathrm{Splitt}(\Sigma'_j/\mathcal{G}'_j)\) est l'ensemble des sections homomorphes de \(\Sigma'_j \to \mathcal{G}'_j\), et \(\Psi_j(\tilde\jmath)(\sigma)\) l'unique relèvement de \(\sigma\) qui fixe \(\tilde\jmath\)²⁰ . Elle est compatible avec \(\Sigma'_j\), qui agit sur le but par \[ ({}^{g}u)(\sigma) = g\, u(g_1^{-1}\sigma g_1)\, g^{-1}, \qquad g \in \Sigma'_j,\ g_1 \text{ son image dans } \mathcal{G}', \] formule de la page 10, qu'on vérifie aussitôt : \(g\,\Psi_j(\tilde\jmath)(g_1^{-1} \sigma g_1)\,g^{-1}\) relève \(\sigma\) et fixe \(g\tilde\jmath\), c'est donc \(\Psi_j(g\tilde\jmath)(\sigma)\).

8–10

« Récapitulons » (pages 8 à 10)

La page 8 range tout ce qui précède en trois groupes, et la numérotation des formules repart à (1).

I. Les données. \(X\) de type fini sur \(\overline{\mathbb{Q}}\) ; \(D = \sum_{i \in I} D_i\) diviseur effectif à composantes simples, \(X\) lisse aux points maximaux de \(\operatorname{supp} D\) ; \(J \subset X'(\overline{\mathbb{Q}})\), \(X' = X \setminus D\)²¹ .

II. Ce qui s'en déduit. \(\mathcal{G}'\), le groupe des automorphismes du schéma absolu \(X\) qui préservent \(D\) et \(J\) ; \(G' \subset \mathcal{G}'\), ceux qui sont \(\overline{\mathbb{Q}}\)-linéaires ; \(T\) ; \(\Gamma\). D'où \[ (1)\qquad 1 \to G' \to \mathcal{G}' \to \Gamma, \qquad (2)\qquad \text{un germe de relèvement } \Gamma' \to \mathcal{G}'. \]

III. Un choix : un revêtement universel \(\widetilde X'\) de \(X'\), d'où \(\pi_1(X') = \mathrm{Aut}(\widetilde X'/X')\). On trouve alors :

1. (3)la structure d'extension \(1 \to \pi_1(X') \to \Sigma' \to \mathcal{G}' \to 1\) ;
2. (4)les \(\Sigma'\)-ensembles \(\widetilde X'(I)\) et \(\widetilde X'(J)\) ;
3. (5)les actions de \(\Sigma'\) sur \(I\) et \(J\) à travers \(\mathcal{G}'\), et les \(\Sigma'\)-applications \(\widetilde X'(I) \to I\) et \(\widetilde X'(J) \to J \simeq \widetilde X'(J)/\pi_1\) ;
4. (6)l'application \(\Phi : \widetilde X'(I) \to \mathrm{Hom}(T, \pi_1(X'))\), compatible avec \(\Sigma'\) ;
5. (7)le système \(\Psi = (\Psi_j)_{j \in J}\) ;
6. (9)un germe d'homomorphisme \(\Gamma' \to \Sigma'\) relevant l'inclusion.

L'élément (8), une variante « extérieure » de (7), est biffé. Deux remarques. Le germe (9) n'est pas canonique : c'est le \(\varphi_\xi\) de (15), et il dépend du point \(\xi\) choisi — pour \(\xi \in J\), il se déduit de (2) et de (7)²² . Et la marge de (6) prévient : « si \(\dim X = 1\) ; sinon il faut revoir avec plus de soin la situation… » — c'est la réserve qu'on a faite à la fin de la page 7.

11–11

Le programme des « Gleichnis » (page 11)

Programme des « gruppentheoretische Gleichnis » — paradigmes en termes de théorie des groupes — de l'arithmétique²³ :

1. a)donner une description « gruppentheoretisch » complète de \(\Gamma\) ;
2. b)donner une description complète de tous les éléments de structure énumérés ci-dessus, dans des cas typiques de \((X, D, J)\), « dont nous indiquons quelques-uns plus bas ».

Les cas typiques ne viennent pas, sinon, peut-être, sous la forme des espaces de modules des pages 26 à 32. Une note marginale propose de prendre \(X\) projectif pour simplifier.

NB. La structure donnée pour \((X, D, J)\) donne automatiquement la même pour tout revêtement fini étale de \(X'\) ; il faudrait l'expliciter avec soin. Le reste de la note, d'une lecture incertaine, nomme deux opérations : rajouter certaines des composantes \(D_i\) qu'on avait enlevées (« bouclage de tresses »), ou, si \(\dim X = 1\), enlever certains des points de \(J\) (« fixage de tresses »)²⁴ . Ce sont les deux manières de passer d'une courbe trouée à une autre : boucher un trou, ce qui quotiente \(\pi_1(X')\) par le sous-groupe distingué engendré par l'inertie en ce trou ; ou percer en un point marqué, ce qui en fait un trou de plus. La seconde est celle que la fibration de la page 32 réalise sur l'espace des modules.

C'est, sous le nom de « Gleichnis », le programme qu'il appellera dans l'Esquisse d'un programme (1984) et dans sa lettre à Faltings (1983) géométrie anabélienne : l'arithmétique d'une courbe « anabélienne » serait entièrement codée par son groupe fondamental arithmétique et les structures qui l'accompagnent²⁵ .

12–13

Descente à un corps de nombres, et bitorseurs (pages 12 et 13)

« RemB »²⁶ . Soit \(\Gamma' = \Gamma_K\) pour un corps de nombres \(K\), et une forme de \((X, D, J)\) sur \(K\) ; elle donne un scindage partiel \(\Gamma' \to \mathcal{G}'\) et, par image inverse, une extension \[ (9)\qquad 1 \longrightarrow \pi_1(X') \longrightarrow \Sigma'_{\Gamma'} \longrightarrow \Gamma' \longrightarrow 1, \] qui est le groupe fondamental de \(X'_K\). Le groupe \(\Gamma'\) agit sur \(X'\), donc sur la catégorie \(\mathrm{Rev}(X')\) des revêtements finis étales de \(X'\), qui s'identifie à celle, \(\mathrm{Ens}_f(\pi_1)\), des \(\pi_1(X')\)-ensembles finis continus. Pour \(\gamma \in \Gamma'\), la fibre \(\mathcal{B}_\gamma\) de \(\Sigma'_{\Gamma'}\) au-dessus de \(\gamma\) est un \(\pi_1(X')\)-bitorseur, par multiplication à gauche et à droite, et l'action de \(\gamma\) sur \(\mathrm{Rev}(X') \simeq \mathrm{Ens}_f(\pi_1)\) s'écrit \[ (10)\qquad E \longmapsto \mathcal{B}_\gamma \wedge^{\pi_1} E \] — à la convention de signe près sur l'action de \(\gamma\) sur les revêtements, l'autre convention remplaçant \(\mathcal{B}_\gamma\) par \(\mathcal{B}_{\gamma^{-1}}\). C'est exactement le Corollaire des pages 11 et 12 du dossier 141 : les auto-équivalences de \(\mathrm{Ens}(\pi)\) sont les produits contractés par les bitorseurs²⁷ .

Si le revêtement \(Y'\) et son transporté \({}^{\gamma}Y'\) se correspondent, le transport de structure, qui préserve \(D\) et \(J\), donne des bijections canoniques \[ (11)\qquad Y'(I) \simeq ({}^{\gamma}Y')(I), \qquad Y'(J) = ({}^{\gamma}Y')(J), \] où \(Y'(I)\) désigne les points du normalisé de \(X\) dans \(Y'\) au-dessus des \(\eta_i\). La page 13 les analyse. Si \(Y'\) correspond au \(\pi_1\)-ensemble \(E\), on a \(Y'(I) \simeq \widetilde X'(I) \wedge^{\pi_1} E\) et \(Y'(J) \simeq \widetilde X'(J) \wedge^{\pi_1} E\), et les bijections (11) proviennent d'isomorphismes de \(\pi_1\)-ensembles à droite \[ \widetilde X'(I) \simeq \widetilde X'(I) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_\gamma, \qquad \widetilde X'(J) \simeq \widetilde X'(J) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_\gamma, \] lesquels reviennent à des applications \(\mathcal{B}_\gamma \to \mathrm{Bij}(\widetilde X'(I))\) (et de même pour \(J\)), compatibles aux actions de \(\pi_1\) à gauche et à droite. Pour \(\gamma\) variable, c'est une application \[ \Sigma'_{\Gamma'} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \mathcal{B}_\gamma \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}(\widetilde X'(I)), \qquad \text{et de même pour } \widetilde X'(J), \] et c'est précisément l'action de \(\Sigma'\) déjà considérée. Autrement dit, les \(\Sigma'\)-ensembles \(\widetilde X'(I)\) et \(\widetilde X'(J)\) de la récapitulation sont la même chose qu'un prolongement cohérent, aux pointes et aux points marqués de tous les revêtements, de l'action de \(\Gamma'\) sur les revêtements²⁸ .

14–16

Le groupoïde fondamental sur les points marqués (pages 14 à 16)

⑦ Il s'agit de reconstruire le groupoïde fondamental \(\Pi_1(X'; J)\) de \(X'\), dont les objets sont les points de \(J\), et l'action de \(\mathcal{G}'\) sur lui, à partir de l'extension \(\Sigma'\) et de l'action de \(\Sigma'\) sur \(\widetilde X'(J) \to J\) seulement. Les scindages (7) et (8) sont superflus, dit une note marginale : « elles résultent des précédentes »²⁹ .

Pour \(j \in J\), notons \(\widetilde X'[j]\) le revêtement universel pointé en \(j\). Un point \(\tilde\xi \in \widetilde X'(j)\) l'identifie à \(\widetilde X'\) : \(\psi_{\tilde\xi} : \widetilde X' \xrightarrow{\sim} \widetilde X'[j]\), avec \(\psi_{\lambda\tilde\xi} = \psi_{\tilde\xi} \circ \lambda\) pour \(\lambda \in \pi_1\). Les choix se recollent donc en un isomorphisme canonique \[ \widetilde X'[j] \xleftarrow{\ \sim\ } \widetilde X'(j) \wedge^{\pi_1} \widetilde X', \] où \(\widetilde X'(j)\) est un \(\pi_1\)-torseur à droite. On pose \[ \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(j, j') = \mathrm{Isom}(\widetilde X'[j], \widetilde X'[j']) \simeq \mathrm{Isom}_{\pi_1\text{-tors.}}\bigl(\widetilde X'(j), \widetilde X'(j')\bigr), \] la composition des chemins étant celle des isomorphismes de torseurs³⁰ . Le groupoïde \(\Pi_1(X'; J)\) est donc reconstruit à partir de \(\widetilde X'(J)\) et de l'action libre de \(\pi_1\) sur lui : c'est ce qu'on appelle aujourd'hui le groupoïde de jauge (ou d'Ehresmann) du « fibré principal » \(\widetilde X'(J) \to J\), de groupe \(\pi_1\)³¹ .

L'action de \(\mathcal{G}'\). Sur les objets, c'est l'action donnée sur \(J\). Pour \(g \in \mathcal{G}'\), soit \(\mathcal{B}_g \subset \Sigma'\) la fibre au-dessus de \(g\), un \(\pi_1\)-bitorseur. L'action de \(\Sigma'\) sur \(\widetilde X'(J)\) donne \(\widetilde X'(gj) \simeq \widetilde X'(j) \wedge^{\pi_1} \mathcal{B}_g\)³² , d'où la flèche \[ \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(j, j') \longrightarrow \mathrm{Isom}_{\Pi_1}(gj, gj'), \qquad f \longmapsto b \circ f \circ b^{-1} \quad (b \in \mathcal{B}_g), \] indépendante de \(b\) : remplacer \(b\) par \(b\lambda\) ne change rien, car \(f\), étant un morphisme de torseurs à droite, commute à l'action à gauche de \(\pi_1\)³³ .

16–18

Reformulation : extensions et groupoïdes (pages 16 à 18)

Considérons d'une part les systèmes \[ \bigl(1 \to \pi \to \Sigma \to G \to 1,\ \ \mathfrak{Z}\bigr), \] une extension de groupes et un \(\Sigma\)-ensemble non vide \(\mathfrak{Z}\) sur lequel \(\pi\) agit librement : ils forment une catégorie \(C\). D'autre part les systèmes \((\Pi, \widetilde\Pi, p, G, g)\), où \(\Pi\) est un groupoïde connexe non vide, \(p : \widetilde\Pi \to \Pi\) un revêtement universel de \(\Pi\), et \(g : G \to \mathrm{Aut}(\Pi)\) une action d'un groupe \(G\) : ils forment une catégorie \(C'\). On définit des foncteurs quasi-inverses \(\alpha : C \to C'\) et \(\beta : C' \to C\)³⁴ .

Définition de \(\alpha\). \(\mathrm{Ob}\,\Pi = \mathfrak{Z}/\pi\), qu'on note \(J\), et \(\mathrm{Isom}_\Pi(j, j') = \mathrm{Isom}_\pi(\mathfrak{Z}_j, \mathfrak{Z}_{j'})\), où \(\mathfrak{Z}_j\) est l'orbite \(j\), un \(\pi\)-torseur ; \(\Pi\) est connexe puisque ces ensembles sont non vides. Le revêtement universel \(\widetilde\Pi\) a pour objets les éléments de \(\mathfrak{Z}\), et un seul morphisme entre deux objets quelconques ; \(p\) envoie l'unique flèche \(z \to z'\) sur l'unique \(\pi\)-isomorphisme \(\mathfrak{Z}_j \to \mathfrak{Z}_{j'}\) qui envoie \(z\) sur \(z'\). Le groupoïde \(\widetilde\Pi\) est donc le groupoïde grossier (indiscret) sur \(\mathfrak{Z}\), simplement connexe, et \(p\) est une fibration discrète : \(\widetilde\Pi\) est la catégorie des éléments du foncteur \(j \mapsto \mathfrak{Z}_j\)³⁵ . On n'a pas encore utilisé \(\Sigma\). Un élément \(\sigma \in \Sigma\) agit sur \(\mathfrak{Z}\), donc sur le groupoïde grossier \(\widetilde\Pi\), et sur \(\Pi\) par \[ \bigl(f : \mathfrak{Z}_j \to \mathfrak{Z}_{j'}\bigr) \longmapsto \sigma \circ f \circ \sigma^{-1} : \mathfrak{Z}_{\sigma j} \to \mathfrak{Z}_{\sigma j'}, \] qui est encore \(\pi\)-équivariant parce que \(\pi\) est distingué. Les éléments de \(\pi\) agissent sur \(\widetilde\Pi\) par automorphismes de revêtement, et trivialement sur \(\Pi\) ; d'où l'action de \(G = \Sigma/\pi\) sur \(\Pi\) par passage au quotient. C'est la construction de la page 15 rendue abstraite : \(\Pi_1(X'; J) = \alpha(\pi_1(X'), \Sigma', \mathcal{G}', \widetilde X'(J))\).

Définition de \(\beta\). \(\Sigma\) est le groupe des couples \((g, \bar g)\) formés de \(g \in G\) et d'un automorphisme \(\bar g\) de \(\widetilde\Pi\) qui le recouvre, \(\pi = \mathrm{Aut}(\widetilde\Pi/\Pi)\), \(\Sigma \to G\) la projection, et \(\mathfrak{Z} = \mathrm{Ob}\,\widetilde\Pi\) avec l'action évidente. La suite \(1 \to \pi \to \Sigma \to G \to 1\) est exacte parce que tout automorphisme de \(\Pi\) se relève au revêtement universel, et \(\pi\) agit librement sur \(\mathfrak{Z}\)³⁶ .

« Variantes profinies… » : le cas des pages précédentes est profini, et la page s'en tient à cette mention ; l'énoncé vaut pour un groupe profini \(\pi\), des \(\pi\)-ensembles profinis à action continue et des groupoïdes dont les ensembles de flèches sont profinis, mais le dossier ne l'écrit pas.

18–26

Les pointes en termes de groupoïdes (pages 18 à 26)

18–20

Le triple \((\mathcal{T}, T, \Phi)\)

⑧ Avec les notations de ⑦, la page se propose d'interpréter de même la donnée d'un triple \((\mathcal{T}, T, \Phi)\) : \(\mathcal{T}\) un \(\Sigma\)-ensemble, \(T\) un groupe — « \(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}\) ? » — muni d'une action \(\chi : G \to \mathrm{Aut}(T)\), et \[ \Phi : \mathcal{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(T, \pi) \] compatible avec \(\Sigma\), qui agit sur le but par \(\chi\) et par conjugaison sur \(\pi\). C'est l'abstraction de \(\widetilde X'(I)\) et de l'application (6) de la page 10.

Une première tentative, que deux longs traits obliques traversent de la page 19 au haut de la page 20, considère le quotient \(I = \mathcal{T}/\pi\) et le groupoïde \(\langle T, I\rangle\) d'objets \(I\) où chaque objet a \(T\) pour groupe d'automorphismes et où deux objets distincts ne sont pas liés, et cherche un morphisme de ce groupoïde vers le groupoïde des revêtements universels de \(\Pi\), identifié à celui des \(\pi\)-torseurs. Elle est abandonnée au milieu d'une phrase³⁷ .

La seconde tentative restreint à \(\pi\) l'action de \(\Sigma\) sur \(\mathcal{T}\) et forme le groupoïde d'action \(\langle \mathcal{T}, \pi\rangle\) : ses objets sont les éléments de \(\mathcal{T}\), et \(\mathrm{Isom}(t, t') = \pi_{t,t'} = \{\lambda \in \pi \mid \lambda t = t'\}\). On a \[ \pi_0\langle \mathcal{T}, \pi\rangle = \mathcal{T}/\pi = I, \qquad \pi_1(\langle \mathcal{T}, \pi\rangle, t) = \pi_t, \] le stabilisateur de \(t\) dans \(\pi\). Et \(\pi_t\) centralise \(\Phi(t)(T)\) : pour \(\lambda \in \pi_t\), la compatibilité de \(\Phi\) donne \(\Phi(t) = \Phi(\lambda t) = \mathrm{int}(\lambda) \circ \Phi(t)\), \(\lambda\) agissant trivialement sur \(T\) puisqu'il est d'image \(1\) dans \(G\)³⁸ . On suppose alors que \(\Phi(t)\) est un isomorphisme \[ \Phi_t : T \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_t . \] Cela force \(T\) commutatif — \(\pi_t\) centralise alors \(\pi_t\) —, ce que la page suppose à part (« supposons \(T\) commutatif »). Dans le cas géométrique, c'est la propriété des pointes d'une courbe : si \(X'\) est une courbe lisse de genre \(g\) privée de \(\nu \geq 1\) points, hors du cas \((g, \nu) = (0, 1)\), le stabilisateur d'une pointe dans \(\pi_1(X')\) est son groupe d'inertie, isomorphe à \(T\) — le corps résiduel est \(\overline{\mathbb{Q}}\), la décomposition se réduit à l'inertie — ; en dimension supérieure, il est plus gros (page 7).

21–24

\(T\)-groupoïdes et pseudo-partitions (pages 21 à 24)

Les isomorphismes \(\Phi_t\) forment un système transitif d'identifications de tous les \(\pi_t\) à \(T\) : pour \(\lambda \in \pi_{t,t'}\), la conjugaison par \(\lambda\) envoie \(\pi_t\) sur \(\pi_{t'}\), et \(\Phi_{t'} = \mathrm{int}(\lambda) \circ \Phi_t\) ; comme \(T\) est commutatif, l'identification ne dépend pas du chemin. Le groupoïde \(\langle \mathcal{T}, \pi\rangle\) devient ainsi un \(T\)-groupoïde — un groupoïde, pas nécessairement connexe, dont tous les groupes d'automorphismes sont identifiés à \(T\) de manière compatible. On dit aujourd'hui une gerbe liée par le groupe abélien \(T\) au-dessus de l'ensemble discret \(I\) ; ici, à équivalence près, une réunion disjointe de copies du groupe \(T\) vu comme groupoïde à un objet³⁹ . Le groupe \(\Sigma\) opère sur ce \(T\)-groupoïde, par son action sur \(\mathcal{T}\), par conjugaison sur \(\pi\) et par \(\chi\) sur \(T\) ; et l'on a un foncteur fidèle \[ \langle \mathcal{T}, \pi\rangle \longrightarrow \langle \pi\rangle, \qquad t \longmapsto \ast, \quad \lambda \in \pi_{t,t'} \longmapsto \lambda, \] vers le groupoïde à un objet de groupe \(\pi\), qui est, à équivalence près, le groupoïde des revêtements universels de \(\Pi\).

Réciproquement (pages 23 et 24), donnons-nous un \(T\)-groupoïde \(\Lambda\), une action de \(\Sigma\) sur \((T, \Lambda)\) et un foncteur fidèle \(\Lambda \to \langle \pi\rangle\) compatible avec \(\Sigma\) ; posons \(\mathcal{T} = \mathrm{Ob}\,\Lambda\), et notons \(\pi_{t,t'} \subset \pi\) l'image de \(\mathrm{Isom}_\Lambda(t, t')\). Pour retrouver une action de \(\pi\) sur \(\mathcal{T}\), la page exige \[ \forall t \in \mathcal{T}, \quad \text{la famille } (\pi_{t,t'})_{t' \in \mathcal{T}} \text{ est une pseudo-partition de } \pi, \] c'est-à-dire que tout \(\lambda \in \pi\) est dans un et un seul \(\pi_{t,t'}\) : il y a une et une seule flèche de \(\Lambda\) d'origine \(t\) au-dessus de \(\lambda\). C'est la condition de relèvement unique des chemins — la marge dit « condition \(\exists!\) de remontée » — qui fait de \(\Lambda \to \langle\pi\rangle\) un revêtement de groupoïdes. On pose alors \(\lambda t\) = le but de ce relèvement, et l'on vérifie \(\Lambda \simeq \langle \mathcal{T}, \pi\rangle\) : c'est l'équivalence classique entre revêtements du groupoïde \(\langle\pi\rangle\) et \(\pi\)-ensembles⁴⁰ . Si de plus les stabilisateurs \(\pi_t\) sont abéliens, on retrouve une famille de groupes indexée par \(I = \mathcal{T}/\pi\), et l'action de \(\Sigma\).

« Ce n'est pas bien éclairant. »

24–26

Un foncteur sur les revêtements, et l'arrêt (pages 24 à 26)

« … peut-être est-il plus agréable » de considérer \(\mathcal{T}\) comme un foncteur. Les revêtements de \(\Pi\) forment une catégorie \(\mathrm{Rev}(\Pi)\) équivalente à celle des \(\pi\)-ensembles, par \(E \mapsto \widetilde\Pi^{0} \times_\pi E\), et l'on considère \[ F : (\pi\text{-}\mathrm{Ens}) \simeq \mathrm{Rev}(\Pi) \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \qquad E \longmapsto \mathcal{T}^{0} \wedge_\pi E, \] où l'indice \({}^{0}\) marque, semble-t-il, que l'action à gauche de \(\pi\) est changée en action à droite⁴¹ . C'est un foncteur qui commute aux limites inductives quelconques, et tout tel foncteur est de cette forme : c'est la proposition des pages 11 et 12 du dossier 141, où un foncteur \(\mathrm{Ens}(\pi) \to \mathcal{C}\) commutant aux limites inductives équivaut à un \(\pi\)-objet à droite de \(\mathcal{C}\). On veut ensuite que \(F\) soit compatible avec l'action de \(\Sigma\) sur \(\mathrm{Rev}(\Pi)\), c'est-à-dire des isomorphismes \(F({}^{\gamma} \Pi') \simeq F(\Pi')\), fonctoriels en \(\Pi'\) et transitifs en \(\gamma\) ; par le calcul de la page 13 (les bitorseurs \(\mathcal{B}_\gamma\)), cela revient à prolonger l'action de \(\pi\) sur \(\mathcal{T}\) en une action de \(\Sigma\).

« Mais ceci ne donne pas d'interprétation … de la \(T\)-[structure]. Arrêtons … » : l'application \(\Phi\), qui est la vraie donnée kummérienne, reste hors de cette formulation, et le dossier ne la reprend pas⁴² .

26–27

Topos modulaires de genre \(0\) (pages 26 et 27)

« ⑨ Les schémas et Topos fondamentaux dans la théorie… », et, en sous-titre, « (A) Topos modulaires ». Le topos modulaire \(\mathcal{T}_{0,\nu}\) — on dit aujourd'hui le champ \(M_{0,\nu}\) — classe les courbes de genre \(0\) munies de \(\nu\) points marqués distincts.

Pour \(\nu = 0, 1, 2\), c'est le topos classifiant d'un groupe algébrique : \[ M_{0,0} = B\,\mathrm{PGL}(2), \qquad M_{0,1} = B\,\mathrm{Aff}(1), \qquad M_{0,2} = B\,\mathbb{G}_m, \] parce que toutes les courbes de genre \(0\) à \(\nu\) points marqués sont localement isomorphes à \((\mathbb{P}^1; \infty)\), \((\mathbb{P}^1; 0, \infty)\), etc., et que le groupe de leurs automorphismes est de dimension \(3 - \nu > 0\). Ce ne sont donc pas des champs de Deligne–Mumford — ce que la page 28 dit en les excluant⁴³ . Leurs groupes fondamentaux géométriques, comme celui de \(M_{0,3} = \mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}\), sont triviaux : \[ \pi_1(\overline{M}_{0,\nu}) = 1, \qquad 0 \leq \nu \leq 3, \] le groupe fondamental du classifiant d'un groupe connexe étant trivial⁴⁴ .

Pour \(\nu \geq 4\), en envoyant les trois premiers points sur \(0, 1, \infty\), \(M_{0,\nu}\) devient le schéma des systèmes \((x_1, \ldots, x_{\nu-3})\) de \(\nu - 3\) points distincts de \(\mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}\). Son groupe fondamental géométrique est le complété profini d'un groupe de tresses \(\Pi_{0,\nu}\) : précisément, du groupe modulaire pur de la sphère à \(\nu\) trous, qui est le groupe des tresses pures à \(\nu - 1\) brins quotienté par son centre⁴⁵ . Il dépend contravariamment de \([1, \nu]\) pour les injections : une injection \([1, \nu'] \hookrightarrow [1, \nu]\) définit l'oubli \(M_{0,\nu} \to M_{0,\nu'}\) des autres points, et le morphisme induit sur les \(\pi_1\). Le groupe \(\mathfrak{S}_\nu\) agit sur \(\overline{M}_{0,\nu}\) en permutant les points, par des automorphismes définis sur \(\mathbb{Q}\) ; donc \(\mathfrak{S}_\nu \times \Gamma\) agit sur \(\overline{M}_{0,\nu}\) comme schéma absolu. La page s'arrête là, au tiers.

28–31

Une conjecture arithmético-géométrique (pages 28 à 31)

28–29

La conjecture (pages 28 et 29)

Soient \(g, \nu \geq 0\) et \(M_{g,\nu}\) le topos modulaire sur \(\mathbb{Q}\) des courbes lisses propres, géométriquement connexes, de genre \(g\), munies de \(\nu\) sections ordonnées deux à deux disjointes. Sauf pour \((g, \nu) = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0)\), c'est une « étendue algébrique » — un champ de Deligne–Mumford : ce sont exactement les cas \(2g - 2 + \nu > 0\), où les automorphismes d'une courbe marquée sont en nombre fini⁴⁶ . On suppose désormais \(2g - 2 + \nu > 0\).

Soit \(\xi\) un point géométrique de \(M_{g,\nu}\), \((X; x_1, \ldots, x_\nu)\) la courbe marquée sur \(\overline{\mathbb{Q}}\) correspondante, et \(\widehat\pi_{g,\nu} = \pi_1(X \setminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\). La courbe universelle, privée de ses \(\nu\) sections, est une fibration au-dessus de \(M_{g,\nu}\) de fibre \(X \setminus \{x_i\}\) en \(\xi\) ; l'action de monodromie donne des homomorphismes naturels \[ (*)\qquad \pi_1(M_{g,\nu}; \xi) \longrightarrow \mathrm{Out}^{\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu}), \qquad (**)\qquad \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}; \xi) \longrightarrow \mathrm{Out}^{\circ\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu}), \] où \({}^{\circ}\) restreint aux automorphismes extérieurs qui préservent chacune des classes d'inertie aux \(x_i\) — à multiplicateur près —, et \({}^{\circ\circ}\) à ceux qui induisent de plus l'identité sur \(T\)⁴⁷ . C'est, pour la courbe marquée universelle, la flèche (19) de la page 6. En théorie topologique, l'analogue \[ (***)\qquad \pi_1^{\mathrm{orb}}\bigl(M_{g,\nu}(\mathbb{C})\bigr) \longrightarrow \mathrm{Out}^{\circ\circ}_{\mathrm{lac}}\bigl(\pi_1(X \setminus \{x_1, \ldots, x_\nu\})\bigr) = T_{g,\nu} \] est un isomorphisme : l'espace de Teichmüller étant contractile, le premier groupe est le groupe modulaire pur \(T_{g,\nu}\), et le théorème de Dehn–Nielsen–Baer l'identifie au groupe des automorphismes extérieurs du groupe de surface qui préservent chaque classe de lacet périphérique et l'orientation⁴⁸ . Par comparaison, \(\pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \simeq \widehat T_{g,\nu}\), d'où le diagramme (4) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"'] &
\pi_1(M_{g,\nu}) \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma \arrow[r] \arrow[d, "\chi"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \widehat T_{g,\nu} \arrow[r] &
\mathrm{Out}^{\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu}) \arrow[r] &
\widehat{\mathbb{Z}}^{*} &
\end{tikzcd}

où la flèche de droite de la seconde ligne est le multiplicateur⁴⁹ . La seconde ligne n'est exacte en son milieu que si \(\widehat T_{g,\nu} \to \mathrm{Out}^{\circ\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu})\) est surjective, et à gauche que si elle est injective : la page note « … que \(\widehat T_{g,\nu} \to \mathrm{Out}^{\circ}_{\mathrm{lac}}\) injective … ». Cette injectivité est ce qu'on appelle aujourd'hui le problème des sous-groupes de congruence pour les groupes modulaires ; elle est établie pour \(g \leq 2\), et ouverte en général à notre connaissance⁵⁰ .

La conjecture. « On aimerait » que la flèche verticale du milieu soit un isomorphisme. Cela donnerait une construction de \(\Gamma\) comme \[ \Gamma \simeq \mathrm{Out}^{\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu}) \big/ \widehat T_{g,\nu} \] pour tout \((g, \nu)\), à partir d'un groupe « bien connu ». Exemple : pour \(g = 0\), \(\nu = 3\), \(\widehat T_{0,3} = 1\), et l'on obtient l'expression « déjà envisagée » \[ \Gamma \simeq \mathrm{Out}^{\circ}_{\mathrm{lac}}\bigl(\widehat\pi_1(\mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\})\bigr), \] le groupe des automorphismes extérieurs à lacets purs du groupe libre profini de rang \(2\) — celui qu'étudie le dossier 145, où il est noté \(\mathrm{Out}^{!}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi)\)⁵¹ . L'injectivité de \(\Gamma\) dans ce groupe est le théorème de Belyi (1979). Que l'image soit tout le groupe n'est pas démontré, et ce n'est pas la forme sous laquelle la question a été poursuivie : Drinfeld (1990) et Ihara (1991) ont défini le groupe de Grothendieck–Teichmüller \(\widehat{GT}\), intermédiaire, par des relations issues de \(M_{0,4}\) et \(M_{0,5}\), et l'égalité \(\Gamma = \widehat{GT}\) est ouverte⁵² .

30–31

L'action des permutations, et deux questions (pages 30 et 31)

Soit \(N_{g,\nu} = M_{g,\nu}/\mathfrak{S}_\nu\) le champ des courbes munies de \(\nu\) points non ordonnés ; \(M_{g,\nu} \to N_{g,\nu}\) est un revêtement étale galoisien de groupe \(\mathfrak{S}_\nu\), d'où \[ (5)\qquad 1 \longrightarrow \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \longrightarrow \pi_1(N_{g,\nu}; \xi) \longrightarrow \mathfrak{S}_\nu \times \Gamma \longrightarrow 1, \] où le groupe du milieu s'écrit aussi \(\pi_1(\overline{M}_{g,\nu}, \mathfrak{S}_\nu \times \Gamma)\) : c'est l'extension \(\Sigma\) de la page 2, pour le schéma (ou le champ) \(\overline{M}_{g,\nu}\) et le groupe \(\mathfrak{S}_\nu \times \Gamma\) d'automorphismes absolus de la page 27⁵³ . La conjecture équivaut à \[ \pi_1(N_{g,\nu}; \xi) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu}), \] où l'on permet maintenant de permuter les classes d'inertie : les deux groupes sont extensions de \(\mathfrak{S}_\nu\) par les deux membres de \((*)\), et toute permutation des trous est réalisée par un élément du groupe modulaire. On en tirerait \(\Gamma \simeq \mathrm{Out}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu})/\widehat{\widetilde T}_{g,\nu}\), où \(\widetilde T_{g,\nu} = \mathrm{Out}^{+}_{\mathrm{lac}}(\pi_1(X^{\mathrm{top}} \setminus \{x_i\}))\) est le groupe modulaire complet, qui permute les trous⁵⁴ .

NB, d'une autre encre : il faudrait déterminer le groupe \(G_{g,\nu}\) des automorphismes du topos modulaire géométrique \(\overline{M}_{g,\nu}\) — est-ce l'image de \(\mathfrak{S}_\nu\) ? —, sauf que \(\mathfrak{S}_\nu\) n'agit pas fidèlement pour \(g = 0\), \(\nu \leq 4\). C'est juste pour \(\nu = 4\) : \(M_{0,4} = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}\), et \(\mathfrak{S}_4\) y agit à travers \(\mathfrak{S}_3\), le groupe anharmonique des six transformations du dossier 145, avec pour noyau le groupe de Klein ; et pour \(\nu = 3\), \(\overline{M}_{0,3}\) est un point⁵⁵ .

Question : \[ \Gamma \longrightarrow \mathrm{Out}(\widehat T_{g,\nu}) = \mathrm{Out}\bigl(\pi_1(\overline{M}_{g,\nu})\bigr) \quad \text{est-il injectif ? bijectif ?} \] « Sans doute il faut ajouter [une] condition, cf. NB. » Pour \((g, \nu) = (0, 4)\), \(\widehat T_{0,4}\) est le groupe libre profini de rang \(2\) : l'injectivité est le théorème de Belyi, et la bijectivité est fausse, car un automorphisme extérieur qui ne préserve pas les classes d'inertie — \(x \mapsto xy\), \(y \mapsto y\) — n'est pas dans l'image. La condition à ajouter est donc bien du type « à lacets »⁵⁶ .

Question (page 31, seule ligne de la page) : \(\mathrm{Out}(T_{g,\nu}) = 1\) ? Pour le groupe discret, la réponse est non : la conjugaison par une classe renversant l'orientation est un automorphisme extérieur non trivial, et pour \(g \geq 3\), \(\nu = 0\), c'est le seul — \(\mathrm{Out}(T_g) = \mathbb{Z}/2\) (Ivanov, McCarthy, 1986–1988, après ces pages) ; pour le groupe pur, la conjugaison par les classes qui permutent les trous en fournit en général d'autres⁵⁷ .

32–33

La fibration d'oubli d'un point (page 32)

Sur un listing d'ordinateur retourné, en largeur, deux diagrammes « en perspective ». Le premier est celui de l'oubli du dernier point, \(M_{g,\nu+1} \to M_{g,\nu}\), qui est la courbe universelle privée de ses \(\nu\) sections ; sa fibre en \(\xi\) est \(X_\xi \setminus S_\nu\), \(S_\nu = \{x_1, \ldots, x_\nu\}\). Pour \(2g - 2 + \nu > 0\), le groupe fondamental de la fibre est de centre trivial, et l'on a un diagramme à lignes et colonnes exactes :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & & \\
& \pi_1(\overline{X}_\xi \setminus S_\nu) \arrow[r, "="] \arrow[d] &
\pi_1(\overline{X}_\xi \setminus S_\nu) \arrow[d] & & \\
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{M}_{g,\nu+1}) \arrow[r] \arrow[d] &
\pi_1(M_{g,\nu+1}) \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma \arrow[r] \arrow[d, "="] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{M}_{g,\nu}) \arrow[r] \arrow[d] &
\pi_1(M_{g,\nu}) \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma \arrow[r] & 1 \\
& 1 & 1 & &
\end{tikzcd}

Sa colonne de gauche est la version profinie de la suite exacte de Birman (1969)⁵⁸ .

Le second diagramme lui fait face du côté des groupes d'automorphismes : la colonne \(1 \to \widehat\pi_{g,\nu} \to \widehat T_{g,\nu+1} \to \widehat T_{g,\nu} \to 1\), et, au milieu, \(1 \to \widehat\pi_{g,\nu} \to \mathrm{Aut}^{\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu})^{!} \to \mathrm{Out}^{\circ}_{\mathrm{lac}}(\widehat\pi_{g,\nu})^{!} \to 1\), les automorphismes intérieurs formant le noyau parce que \(\widehat\pi_{g,\nu}\) est de centre trivial ; les deux lignes horizontales se terminent sur \(\Gamma\), reliées par un double trait, et portent loin à droite les étiquettes \(\Sigma_{\nu+1}\) et \(\Sigma_\nu\)⁵⁹ . Ce que le dessin exprime, et qui est vrai : la fibre ayant un point base naturel — le \((\nu + 1)\)-ième point —, la monodromie de \(M_{g,\nu+1}\) tombe dans \(\mathrm{Aut}\), non seulement dans \(\mathrm{Out}\), et \(\pi_1(M_{g,\nu+1})\) est le produit fibré de \(\pi_1(M_{g,\nu})\) et de \(\mathrm{Aut}(\widehat\pi_{g,\nu})\) au-dessus de \(\mathrm{Out}(\widehat\pi_{g,\nu})\) : c'est la conséquence formelle de la trivialité du centre.

C'est aussi, sans que la page le dise, ce qui rattache la fin du dossier à son début. Un point \(\xi \in M_{g,\nu}(K)\) donne un germe de section \(\Gamma_K \to \pi_1(M_{g,\nu})\), le \(\varphi_\xi\) de la page 3 ; l'image inverse par ce germe de la ligne du milieu est l'extension \(\Sigma'_{\Gamma'}\) de la page 12 pour la courbe \(X' = X_\xi \setminus S_\nu\) ; et ses \(\nu\) sections fournissent les pointes de la page 6. Les données du paradigme d'une courbe sont celles de la courbe universelle, ramenées en un point⁶⁰ .

Au bas du feuillet, deux fragments : \(M'_{g,\nu}(k) \ni \xi\), \(\mathcal{T}'_{g,\nu} \ni G_\xi\), et \(\widehat{\widetilde\Sigma}_{g,\nu} = \overline{\Sigma}_{g,\nu}\) à côté de \(\Sigma_{g,\nu}\), précédés de signes raturés ; on n'en tire rien. La page 33 est un listing de nombres, sans écriture de lui sinon deux sommes numériques étrangères au sujet.