Fonds Grothendieck, cote n° 142, pages 81–100

la phrase qui ouvre la page vient de la page précédente, hors de ce lot ; la page porte, en haut, la suite des équations numérotées (34) et suivantes de l'auteur

de façons équivalentes, par les g^{\alpha}_{x,y} (\in \hat{\Pi}_{\alpha}), où \alpha \in A, x, y \in I_{\alpha} (cf. plus haut). Ceci rappelé,

le passage qui suit, jusqu'à « commencé ! », est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche on peut espérer de trouver des « formules » explicites, dépendant ~~bien~~ sûr des propriétés arithmétiques précises des points particuliers x, et caractéristiques de x (dans la situation Mordell–Weil–Néron), qui donnent f_{\ell}(u) en termes des paramètres précédents fixant u. C'est là un travail fascinant en perspective, que je n'ai pratiquement pas encore commencé !

À vrai dire, la dimensionalité via Mordell–Weil d'un x \in X_K correspond à une dans H^1(\Gamma, \hat{\pi}_1(x_0))), connaît seulement donc dans unicité = l'élément correspondant dans (34) \qquad (f_{x_0, x})_{\mathrm{ab}} \in H^1\bigl(\Gamma, \hat{\pi}_1(X, x_0)_{\mathrm{ab}}\bigr), et de déterminer, par des « formules explicites », les (f_{\ell})_{\mathrm{ab}} correspondant aux chemins x_0 \to x. On en vient à regarder la question des par une VA cf. d'icelle

en biais dans la marge gauche, en face de (34) : C'est une question particulière, plus intéressante une formule en remplaçant X par

p. 9 de l'auteur par un tore — pratiquement, par une « jacobienne généralisée ») convenable de X. Mais il faut se rappeler que pour une telle variété (p. ex. une courbe elliptique, ou la variété \mathbb{G}_m (\mathbb{G}_m(\mathbb{C}) = \mathbb{C}^{*})), l'opération de \Gamma sur le groupoïde \Pi_1(X_{\bar K}) n'est pas fidèle, donc pour « repérer » un u \in \Gamma, il ne suffit pas de connaître des invariants du type g_{\ell}(u) relatifs à une seule ~~même~~ X. Il faudra donc introduire des « paramètres de repérage » pour u, en utilisant d'autres variétés algébriques que X — la plus naturelle étant (35) \qquad U_{0,3} = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}.

Faisons maintenant varier X, en considérant un morphisme de K-schémas (36) \qquad f : X \to Y ; il définit des morphismes de groupoïdes

(37) \qquad \Pi_1(X) \xrightarrow{\; f_{*} = \Pi_1(f) \;} \Pi_1(Y), (38) \qquad \hat{\Pi}_1(X) \xrightarrow{\; \hat{f} = \hat{\Pi}_1(f) \;} \hat{\Pi}_1(Y), dont le deuxième peut être déduit du premier par voie de complétion profinie ; mais par contre sa définition en termes des morphismes schémas sur le corps alg. clos \mathbb{C}. Par schématique, X \to Y sur le

(38) commute aux actions : l'action de \Gamma, d'où (39) \qquad \hat{f}({}^{u}\ell) = {}^{u}(\hat{f}\ell) et si on se borne aux sous-groupoïdes induits sur X_{\bar K}, Y_{\bar K}, (\hat{\Pi}_1 Y_{\bar K}), : l'action des \Gamma = \mathrm{Gal}\, \bar{K}/K. Si on se X_K, d'où de f_{\ell}(u), g_{\ell}(u) pour un chemin \ell dans X \to Y, il vient (40) \qquad \begin{cases} \hat{f}\bigl(f_{\ell}(u)\bigr) = f_{\hat{f}(\ell)}(u) \\ \hat{f}\bigl(g_{\ell}(u)\bigr) = g_{\hat{f}(\ell)}(u) . \end{cases}

en biais dans la marge gauche : Analogue formule + T (T \to \ill{} ) : (40 bis) g_{f(x), f(y)}(u) = \hat{f}\bigl(g_{x,y}(u)\bigr)

p. 10 de l'auteur Un cas trivial extrême est celui où f est un isomorphisme — et celui où X = Y, donc où f fait partie d'un groupe \mathfrak{G} de K-isomorphismes de X — dont on peut considérer \Pi_1(X) et \Pi_1(X_{\bar K}), \Pi_1(X_K) comme des groupoïdes à opérateurs \mathfrak{G}, et \hat{\Pi}_1(X) comme un groupoïde à opérateurs \mathfrak{G} \times \Gamma, \hat{\Pi}_1(\bar{X}_{\bar K}) comme un groupoïde analogue \mathfrak{G} \times \Gamma opère. Cette fois-ci les groupes trivialement sur les sommets de \Pi_1(X_K), l'opération de \Gamma est triviale, mais pas nécessairement celle de \mathfrak{G}.

Si on se donne un pt base, et plus généralement un ensemble I \subset X_K contenant x_0, l'opération de \Gamma sur \hat{\Pi}_1(X, I) est connue quand on connaît son opération sur \hat{\pi}_1(X, x_0), et si de plus on connaît son opération sur les \hat{\pi}_1(X, x_0)-torseurs ! droits (41) \qquad \boxed{\mathrm{Hom}_{\hat{\Pi}_1(X, I)}(x_0, x_i)}, \qquad i \in I, ou, ce qui revient au même,

(42) \qquad f_{\ell_i}(u), \qquad i \in I,\ u \in \Gamma, où pour tout i \in I, \ell_i est un chemin de \hat{\Pi}_1(X, I) de x_0 vers x_i, i.e. un élément de la partie « discrète » du torseur (41).

D'autre part, l'action de \Gamma sur \hat{\pi}_1(X, x_0) est connue quand on connaît son action sur des générateurs \lambda_j (j \in J) de \pi_1(X, x_0), i.e. si on connaît les (43) \qquad f_{\lambda_j}(u) \ \text{ou}\ g_{\lambda_j}(u), \qquad j \in J,\ u \in \Gamma . Les données (42), (43) suffisent : déterminent l'action de \Gamma sur \Pi_1(X, I) — mais ces descriptions, et ~~dis~~ ; il a d'un des , à la dissymétrie des choix arbitraires, le choix d'un ~~origine~~ point-base x_0 nommément — ce qui semble artificiel, et à la longue je crois impraticable, et et tout particulièrement des situations un groupe de symétries \mathfrak{G} puis I stable sous \mathfrak{G} —

en biais dans la marge gauche, en face de (43) : principe, dit p. 8'

p. 11 de l'auteur alors que pratiquement jamais on ne peut trouver un x \in X_K fixe sous \mathfrak{G}.

Avant de donner un principe d'approche pour des « symétriques », tenant compte de la présence d'un groupe \mathfrak{G} (cas d'un groupe pratiques), je voudrais préciser la question de la relation entre \Pi_1(X, I) (I partie finie de X_K) et \Pi_1(U_{0,3}), dans l'optique des opérations de \Gamma. Pour ~~fixer les~~ idées pour simplifier, je prendrai le cas X quasi-projective lisse géom. connexe. Utilisant des th. du type Lefschetz, plus le résultat de ~~Biel~~ Belyi, on doit pouvoir trouver un de schémas sur K une insertion au-dessus de la ligne, peu lisible, semble ajouter « K à \Gamma finis » ; non retenue

\begin{tikzcd} C \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "f"'] & X \\ U_{0,3} & \end{tikzcd}

diagramme (44) de l'auteur ; au-dessus de C il écrit I avec le signe \cap, soit I \subset C

où i induit un hom. surjectif sur les groupes fondamentaux, et où f est

un morphisme fini étale. Ainsi \Pi_1(X, I) apparaît comme un groupoïde quotient de \Pi_1(C, I), donc \hat{\Pi}_1(X, I) quotient de \hat{\Pi}_1(C, I), et où \Pi_1(C, I) apparaît comme un fini de \Pi_1(U_{0,3}, I) — plus ~~précisément~~ exactement, prenant le saturé I' = f^{-1}f(I) = f^{-1}(I_0) de I, \Pi_1(U_{0,3}; I) est un sous-groupoïde plein de \Pi_1(U_{0,3}; I'), qui lui-même est un revêtement fini des groupoïdes de \Pi_1(U_{0,3}; I_0) — et idem pour les complétés profinis. dans les deux dernières formules on attendrait C plutôt que U_{0,3} ; on transcrit ce que porte la page

Ainsi, l'opération de \Gamma sur \hat{\Pi}_1(X) est connue quand on connaît l'opération sur \hat{\Pi}_1(C, \tilde{I}), qui est un fini de \hat{\Pi}_1(U_{0,3}; I_0). Si on connaît l'action de \Gamma sur \hat{\Pi}_1(U_{0,3}; I_0) lui-même, ~~doit~~

p. 12 de l'auteur \hat{\Pi}_1(C, I') est déterminé via (39) et (40), l'homomorphisme : pour x, y \in C, l'application \mathrm{Hom}_{\hat{\Pi}_1(C)}(x, y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\hat{\Pi}_1(U_{0,3})}(x, y) est injective !

J'ai été un peu vite dans ce qui précède ; car le saturé I' dans C de I n'est pas tous contenu dans C_K — mais dans C_{K'} : mais dès lors, rien ne oblige à remplacer I par I' pour faire : il reste vrai que la connaissance de l'action de \Gamma sur \hat{\Pi}_1(U_{0,3}, I_0) implique la connaissance de l'action de \Gamma sur \hat{\Pi}_1(X, I). Mais il n'est que l'étude des relations entre \hat{\Pi}_1(C; I) et \hat{\Pi}_1(U_{0,3}, I_0), en tant que groupoïdes à groupe d'opérateurs \Gamma, est formellement équivalente en remplaçant I par son saturé I', si celui-ci n'est pas \subset C_K. (Au besoin, si on est pas par des arguments qui ballottent l'action de \Gamma, il y a

qui remplacerait \Gamma par un sous-groupe ouvert convenable \Gamma' …)

En même temps, on cherchera des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un automorphisme \Theta des groupoïdes \Pi_1(U_{0,3}; I_0), laissant fixes les sommets i.e. les pts de I_0, provienne d'un u \in \Gamma : il faut que pour tout revêtement C de U_{0,3}, défini sur K, posant I = f^{-1}(I_0) \subset C_K et ~~supposant~~ I \to I_0 surj., ~~l'action~~ \Theta ~~\Theta_{I_0}~~ laisse \Pi_1(U_{0,3}, I_0) soit « compatible » ~~d'un~~ à une action \Theta_C de \Pi_1(C, I) ~~qui soit l'identité~~ qui soit l'identité sur les sommets I (on note \Theta_C sur ~~l'identité~~ alors unique). On trouve ainsi une infinité de conditions, si I \to I_0 n'est pas surjectif) ; et dans pour I_0 \subset U_{0,3}(K) (NB C_0 = U_{0,3} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0, 1, \infty\}). Pour les revêtements étales de U_{0,3}, on exige (n \geq 1) quand il existe un \Theta^{n} de \Theta satisfaisant aux conditions précédentes, pour I = f^{-1}(I_0).

en biais dans la marge gauche, au bas de la page : Regarder des conditions qui I_0 …

p. 13 de l'auteur Non seulement les conditions de « prolongeabilité » — il vaut mieux dire « d'irréductibilité » — sous la forme précisée, détaillée (où \Theta remplacé par un \Theta^{n}), on trouve une condition de plus, un morphisme \hat{\Pi}_1(C, I) \longrightarrow \hat{\Pi}_1(X, I), que celle-ci passe au quotient — ce qui s'exprime très exactement par la condition que pour un x_0 \in I, l'action de \Gamma sur \hat{\pi}_1(C, x_0) \subset \hat{\pi}_1\bigl(U_{0,3}, f(x_0)\bigr) laisse stable le noyau de \hat{\pi}_1(C, x_0) \longrightarrow \hat{\pi}_1(X, x_0) ; alors ce sera vrai également pour tous les autres x_i \in I.

Il faut exprimer la possibilité de relever l'action de \Theta à \Pi_1(C, I). Notons à ce propos

Lemme. Soit \mathcal{C}' \to \mathcal{C} un hom. de groupoïdes connexes, qui soit injectif sur les \pi_1, (de sorte que \mathcal{C}' est équivalent à un sous-groupoïde de \mathcal{C}, mais on ne suppose pas que \mathcal{C}' soit lui-même un sous-groupoïde de \mathcal{C}, mais quand-même pas la phrase se poursuit page suivante

p. 14 de l'auteur ; suite du lemme commencé page précédente l'homomorphisme commun que (45) \qquad \mathcal{C}' \longrightarrow \tilde{\mathcal{C}}' à droite de la formule, en petit : « vrai revêtement de \mathcal{C}, dont les sommets sont les \pi_0 des fibres de \mathcal{C}' \to \mathcal{C} » soit factorisé de sorte qu'on peut identifier \mathcal{C}' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C} soit injectif, sous-groupoïde plein de \tilde{\mathcal{C}}^{*}, équivalent : \tilde{\mathcal{C}}^{*} par l'inclusion, où \tilde{\mathcal{C}} est un revêtement de \mathcal{C}.

Soit x_0' un sommet de \mathcal{C}', x_0 son image dans \tilde{\mathcal{C}}. Soit \Theta un automorphisme de \mathcal{C} qui fixe x_0, ~~alors~~ s'il respecte donnée un automorphisme sommet de \mathcal{C} \pi_1(\mathcal{C}, x_0) \overset{\mathrm{def}}{=} \Pi_0 , et pour tout x_i \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}, x_i \neq x_0, un automorphisme des \Pi_0(x_0)-torseurs à droite H_{x_i, x_0} = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x_0, x_i), compatible avec l'opération de \Theta sur \Pi_0. Ceci posé, pour qu'on remonte en une action de \tilde{\mathcal{C}} qui fixe x_0', il faut et il suffit que le sous-groupe \Pi_0' de \Pi_0, image de \pi_1(\tilde{\mathcal{C}}, x_0') \hookrightarrow \pi_1(\mathcal{C}, x_0) = \Pi_0, soit stable par \Theta — l'action de \Theta sur les fibres \tilde{\mathcal{C}}_{x_i} de \tilde{\mathcal{C}}/\mathcal{C} est alors donnée par la formule (45) \qquad \mathrm{Ob}\,\tilde{\mathcal{C}}_{x_i} = H_{x_i, x_0} \wedge^{\Pi_0} \Pi_0/\Pi_0' sous \Pi_0/\Pi_0', en petit : « ensemble des classes à droite, sur lequel \Pi_0 opère à g. » ; l'auteur numérote (45) deux fois sur cette page par transport de structure : partie de

p. 14 de l'auteur (le numéro 14 est répété en tête de cette page) action sur H_{x_i, x_0} le système (\Pi_0, H_{x_i, x_0}, \Pi_0/\Pi_0'), où on fait opérer \Theta sur \Pi_0, H_{x_i, x_0} par la donnée, et sur \Pi_0/\Pi_0' via l'action sur \Pi_0, qui passe au quotient d'après la condition de stabilité de \Pi_0' en \Theta. L'action prolongeant ~~est~~ ~~dite~~ ainsi définie sur \tilde{\mathcal{C}} est donc unique. Pour qu'il existe une action de \Theta^{*} sur \mathcal{C}' qui soit compatible \mathcal{C}' \to \mathcal{C}, il faut et il suffit que la condition précédente soit satisfaite, et que de plus \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}' \subset \mathrm{Ob}\,\mathcal{C} soit stable sous l'action de \tilde{\Theta}.

Dans le cas où on ne suppose pas que l'on ~~dispose d'~~donne un x_0' \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}' dont on exige qu'il soit fixe par \Theta, on considère le E_0 = \tilde{\mathcal{C}}_{x_0}, qui est un \Pi_0-ensemble homogène, et on note que les façons de \Theta en une action \tilde{\Theta} sur \tilde{\mathcal{C}} correspondant façons de prolonger ex. en une action de \tilde{\Theta}_0 sur E_0, soit compatible avec l'action sur \Pi_0, i.e. satisfasse (46) \qquad \tilde{\Theta}_0(g \cdot x') = \Theta(g)\, \tilde{\Theta}_0(x') — ~~correspond~~ une telle action est connue, connaît, pour un x_0' fixé de E_0 = \mathrm{Ob}\,\tilde{\mathcal{C}}_{x_0}, son transformé par \tilde{\Theta}_0, la formule (46) \tilde{\Theta}_0(x'), x' \in E_0 donnant tous les

en biais dans la marge gauche, en face de (46) : Ceci revient à dire que \tilde{\mathcal{C}} est un revêtement mais les sous-groupes de \Pi_0 \Pi_0-conjugués, \Pi_0,

de \Pi_0, \Pi_0' = \mathrm{Im}\bigl(\pi_1(\tilde{\mathcal{C}}, x_0') \to \pi_1(\mathcal{C}, x_0)\bigr), de sorte que (47) \qquad E_0 \simeq \Pi_0/\Pi_0' ; la condition d'existence de \tilde{\Theta}_0 revient à dire que \Theta(\Pi_0') est conjugué à \Pi_0' dans \Pi_0, et les choix possibles pour remonter \Theta en \tilde{\Theta}_0, donc pour remonter \Theta en \tilde{\Theta}, correspondent aux éléments x'' de E_0 ~~tels que~~ de la forme g(x_0') où g \in \Pi_0 satisfait (48) \qquad \mathrm{int}\, g\,(\Pi_0') = \Theta(\Pi_0'), i.e. tels que g \in \mathrm{Transp}_{\Pi_0}\bigl(\Pi_0', \Theta(\Pi_0')\bigr). Cette condition ne dépend que de l'action sur \Pi_0' définie par \Theta sur \Pi_0' — mais les façons de remonter \Theta en \tilde{\Theta}, elles, en dépendent, au de près. \Theta

Donc les \tilde{\Theta} possibles correspondant aux éléments de (49) \qquad \mathrm{Transp}_{\Pi_0}\bigl(\Pi_0', \Theta(\Pi_0')\bigr)/\Pi_0' sous (49), en petit : « ensemble homogène à droite (\Pi_0' opère à droite sur le transporteur, via g \mapsto g\alpha pour \alpha \in \Pi_0') »

Ainsi, on voit que dans le cas \mathcal{C} = \hat{\Pi}_1(X_{\bar K}, I), \qquad I \subset X_K, quand \mathcal{C}' ~~provient~~ est de la forme \hat{\Pi}_1(X', I'), où X' est un revêtement étale (fini) de X, muni d'un I' \to I, la condition qu'un \Theta se remonte à \mathcal{C}' que la condition sur action de \mathcal{C}' est une condition algébrique des plus la phrase se poursuit page suivante

en biais dans la marge gauche, en haut : En effet, il faut que \mathrm{Im}\bigl(\pi_1(\tilde{\mathcal{C}}, x_0') \to \pi_1(\mathcal{C}, x_0)\bigr) soit \Theta(\Pi_0') = \pi_1(\ldots), g \in \Pi_0, x_1' = \tilde{\Theta}(x_0'), si on x_1' = g(x_0'), cet

en biais dans la marge gauche, en bas, sous un long passage biffé illisible : Bien noter que \Theta \mathcal{C}' \subset \tilde{\mathcal{C}} \Theta un passage marginal plus long, entre ces deux notes, est entièrement biffé de traits croisés et illisible ; on y distingue « (48) » et « \Theta(\Pi_0') »

p. 15 de l'auteur ~~plus~~ simple, que pour I' = f^{-1}(I) ne dépend pas du choix de I' mais de I. Si on veut que l'action remontée \Theta' soit l'identité sur I', on a unicité, et la condition supplémentaire signifie bien que \tilde{\Theta} doit bien opérer trivialement sur I'.

Résumons : l'action de \Gamma = \mathrm{Gal}\,\bar{K}/K sur un \mathcal{C} = \hat{\Pi}_1(X, I) avec I \subset X_K, on trouve des conditions nécessaires qu'une condition satisfait sur action \Theta de \mathcal{C} provienne d'un u \in \Gamma :

a)Pour tout revêtement fini étale X' de X (défini sur K), ~~considérons~~ ~~il y a l'action de~~ une action \tilde{\Theta} de \Theta sur \hat{\Pi}_1(X', I'), où I' = X' \mid I, qui remonte \Theta, et qui soit l'identité sur I' \cap X'_K. b)De plus, pour tout (défini sur K) X' \xrightarrow{\;f\;} Y, et tout x' \in I' \cap X'_K, le noyau de (*) \qquad \hat{\pi}_1(X', x') \longrightarrow \hat{\pi}_1\bigl(Y, f(x')\bigr) (pour \tilde{\Theta} convenable !) est stable sous \tilde{\Theta}^{*} — plus généralement, sans supposer x' \in X'_K, mais choisissant \nu \in \mathbb{N}^{*} tel que \Theta^{\nu} x' = x', il faut que le noyau de (*) soit stable par \Theta^{\nu}.

dans (*), le premier argument de \hat{\pi}_1 au but est surchargé ; on lit Y

Ce sont là des conditions nécessaires. Je pense qu'on pas trop ,

en biais dans la marge gauche, séparé du texte par un trait vertical : Cas d'une action \Theta sur \mathcal{C} qui fixe x_0 \in I condition . NB Ces conditions, , définie de \Gamma

exagère en conjecturant que en général, ces conditions, nécessaires, sont aussi suffisantes ~~pour~~ (même la considération des \Theta^{\nu}) pour que \Theta provienne bien d'un u \in \Gamma, lorsque X est (disons) une courbe algébrique anabélienne, avec K extension de type fini de \mathbb{Q}. Bien la question de l'unicité de u ne se pose pas ici — quand K est une extension algébrique de \mathbb{Q}, on s'attend à une unicité de u. Quand K est de degré de transcendance > 0, dès que , je pense pouvoir s'attendre : l'unicité de u, il faut au moins supposer que le corps modulaire de X a même degré de transcendance que K, i.e. que K est une extension finie de ce corps modulaire. Je ne suis pas étonné qu'on ait unicité dans ce cas. « Bien » ouvre, après « \mathbb{Q}. », un passage que l'auteur entoure d'un trait anguleux

Je reviens sur la question de la relevabilité d'un automorphisme \Theta d'un groupoïde connexe \mathcal{C} : un revêtement \tilde{\mathcal{C}}, quand \Theta fixe un sommet

en biais dans la marge gauche, en haut : Je ne vois pas très bien que les conditions a), b), dans de pro- \pi \Theta CN u \in \Gamma

en biais dans la marge gauche, plus bas, en partie encadré : Le Belyi condition les deux notes marginales de cette page, écrites en biais et serrées, sont en grande partie illisibles

p. 16 de l'auteur x_0 de \mathcal{C}, mais sans supposer maintenant \tilde{\mathcal{C}} connexe. ( Revêtement à \tilde{\mathcal{C}} proviendrait d'une situation géométrique X' \to X, avec X connexe, et mais X' seulement K-connexe i.e. connexe en tant que schéma sur K — ce qui signifie qu'il peut se décrire en termes de E_0 = X'_{x_0}, sur lequel opèrent directement \Gamma \cdot \Pi_0 (\Pi_0 = \pi_1(X, x_0) = \pi_1(\mathcal{C}, x_0)) transitivement, mais sans que l'opération de \Pi_0 soit transitive.) Associons à tout x' \in E_0 son stabilisateur dans \Pi_0, on trouve une application (50) \qquad \begin{aligned} E_0 &\longrightarrow \text{Ens.\ des s-groupes de } \Pi, \\ x' &\longmapsto \text{stabilisateur } \Pi_{x'}, \end{aligned} qui commute aux actions de \Pi_0 (cop. sur le 2e membre par automorphismes intérieurs), d'où par passage aux quotients (51) \qquad E_0/\Pi_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \pi_0(E_0) \longrightarrow \Sigma = \mathrm{Ssgr}(\Pi)/\Pi sous \pi_0(E_0), en petit : « i.e. les \pi_0 des fibres des \Pi-ens. » ; à droite, un symbole surchargé, lu \mathrm{Ssgr} (ensemble des sous-groupes)

D'autre part, \Theta opère sur le 2ième membre de (51) par transport de structure, via \Pi, et une condition nécessaire

évidente pour que \Theta se relève en un \tilde{\Theta}, c'est que l'image de l'application (51) soit stable sous l'action de \Theta ; en fait, l'action \tilde{\Theta} présumée, montrerait à E_0, doit donner On voit donc qu'un \tilde{\Theta} deux pts de \Sigma la compatibilité de cette action \Theta, se déduit de (52) (considéré ) dont ~~stabilité~~ que \Gamma vienne d' signifie justement qu'il existe une bijection (52) \qquad \pi_0(\tilde{\Theta}_0) : \pi_0(E_0) \xrightarrow{\;\sim\;} \pi_0(E_0) ~~stable que~~ qui soit compatible avec l'action de \Theta sur le deuxième membre de (51). Ceci dit, pour toute telle relèvement, il existe tel de relever \tilde{\Theta}_0 : E_0 \to E_0 compatible avec les actions de \Pi et l'action de \Theta sur \Pi (cf. (46)), si on connaît quand on lorsque \tilde{\Theta} est connaît son valeurs \tilde{\Theta}(x_i) pour un x_i \in E_0 dans chaque des composantes composantes connexes de E_0 … la page est très corrigée ; les ajouts interlinéaires s'enchevêtrent avec les biffures et l'ordre de lecture proposé ici est incertain

Pour les automorphismes \Theta de l'un \hat{\Pi}_1(X, I), I \subset X_K, pour provenir de \Gamma, j'ai cependant plus importantes des conditions nécessaires, : fibres ! la fin de cette page, d'une écriture très rapide, n'est lue qu'en partie

p. 17 de l'auteur C'est la condition de compatibilité avec la « structure : bout » — dans le cas où X est une courbe algébrique, disons (sinon, on sent bien qu'il faut introduire, dans les cas généraux, une « structure : l'infini » sur un groupoïde fondamental …). Cette compatibilité justement s'exprime de façon particulièrement et élégante dans le contexte des groupoïdes, compatibilité la notion d'une de (cf. (39)) solutions, solutions , « » — sur ce point de vue plus bas.

~~Remarques.~~ Revenant aux conditions a) b), il est clair d'emblée qu'elles sont inexplicitables (c.à.d. inexprimables) en termes \pm directs, comme des conditions portant directement sur des « paramètres » tels que du type g_{\ell}(u) (des paramètres \alpha, \beta, \xi, \eta dont nous des automorphismes : l'action de \Pi_{0,3} …) qui « repèrent » un u \in \Gamma (ici \Gamma = \mathrm{Gal}\,\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}). ~~Probablement~~ C'est pour cette raison que le la phrase se poursuit page suivante ; page d'une écriture rapide, nombreuses lectures douteuses

plus haut (cf. une remarque) sur les conditions des lacets, soit n'est pas bien intéressante, en pratique. Mais je que vu l'étude des \mathbb{M} \Delta M_{g,\nu} et des groupes de Teichmüller, je suis en train de une conjecture intéressante et plausible, en termes de propriétés des groupes profinis tels que \hat{\Pi}_{0,3}, par cohomologie (on par des conditions liées M_{0,4}, M_{0,5} …).

Je pense en venir encore une fois, sous forme complétée, les conditions pour un automorphisme \Theta d'un groupoïde \hat{\Pi}_1(X, I), I \subset X_{\bar K}, I \cap X_K \neq \emptyset (je pense surtout, au cas X = U_{0,3}) provienne d'un u \in \Gamma = \mathrm{Gal}\,\bar{K}/K :

1) Conditions des lacets (pour mémoire — c'est sûrement la plus importante de toutes, et de très loin !)

2) Condition de stabilité pour revêtements étales X' de X (définis sur K, bien sûr) : la phrase se poursuit au-delà de cette page

en biais dans la marge gauche, en haut : En conjecture \mathrm{Gal}\,\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}, I X la note marginale, écrite en biais et en partie barrée d'un trait, est presque entièrement illisible

p. 18 de l'auteur ; suite de la condition 2) de la page précédente de \Theta se relève en une action \Theta' de \Theta sur \hat{\Pi}_1(X', I'), où I' = X' \mid I. Si I' \cap X'_K \neq \emptyset, X' étant connexe (il suffit que \Gamma soit transitif sur \pi_0(X') i.e. que X' soit « K-connexe » i.e. connexe en tant que schéma sur K) donc l'action relevée est unique.

La condition 2 s'explicite en pratique en une condition de stabilité de certains sous-groupes ouverts d'un \pi_1(X, x) (x \in X_K \cap I) \Theta

3) Pour les homom. f : X' \to Y et tout x' \in X'_K \cap I', ~~l'action~~ la \Theta' de telle action doit de \hat{\pi}_1(X', x') qu'il stabilise laisse stable le noyau de \hat{\pi}_1(X', x) \longrightarrow \hat{\pi}_1\bigl(Y, f(x)\bigr) . C'est encore une condition de stabilité pour certains sous-groupes, mais pour une deuxième fois \pi_1(X, x) \Theta.

4) Soient X'_1, X'_2 deux rev. étales finis de X, et f un morphisme X'_1 \xrightarrow{\;f\;} X'_2 (pas nécessairement un X-morphisme !), I'_1 = X'_1 \mid I, I'_2 = X'_2 \mid I ; on suppose ~~plus précisément que~~ I'_1 \cap f^{-1}(I'_2) \neq \emptyset ; pour J \overset{\mathrm{def}}{=} I'_1 \cap f^{-1}(I'_2), alors le morphisme \text{\struck{$I'_1 \cap f^{-1}(I'_2) \longrightarrow$}} \quad \hat{\Pi}_1(X'_1, J) \longrightarrow \hat{\Pi}_1(X'_2, I'_2) est compatible aux prolongements actions de \Theta sur ces groupoïdes, s'il y (pour compatibilité, cf. 2.). l'argument se poursuit au-delà de ce lot

en biais dans la marge gauche, en haut : I \cap X'_K \Theta' \Theta X'_K \neq \emptyset

en biais dans la marge gauche, plus bas : x' \in X'_K \cap I', \Theta_{\nu} \hat{\pi}_1(X', x') \Theta_{\nu} x' = x' les deux notes marginales de cette page, serrées et en biais, sont presque entièrement illisibles