Cote n° 142, pages 81–100

Cote n° 142 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

81la phrase qui ouvre la page vient de la page précédente, hors de ce lot ; la page porte, en haut, la suite des équations numérotées (34) et suivantes de l'auteur

[…] de façons équivalentes, par les $g^{\alpha}_{x,y}$ ($\in \hat{\Pi}_{\alpha}$), où $\alpha \in A$, $x, y \in I_{\alpha}$ (cf. plus haut). Ceci rappelé,

le passage qui suit, jusqu'à « commencé ! », est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche on peut espérer de trouver des « formules » explicites, dépendant bien sûr des propriétés arithmétiques précises des points particuliers $x$, et caractéristiques de $x$ (dans la situation Mordell–Weil–Néron), qui donnent $f_{\ell}(u)$ en termes des paramètres précédents fixant $u$. C'est là un travail fascinant en perspective, que je n'ai pratiquement pas encore commencé !

À vrai dire, la dimensionalité via Mordell–Weil […] d'un $x$ ⌜$\in X_K$⌝ […] correspond à une […] dans $H^1(\Gamma, \hat{\pi}_1(x_0))$), […] […] ⌜connaît⌝ seulement […] donc […] dans […] unicité $=$ […] l'élément correspondant dans \[ (34) \qquad (f_{x_0, x})_{\mathrm{ab}} \in H^1\bigl(\Gamma, \hat{\pi}_1(X, x_0)_{\mathrm{ab}}\bigr), \] et […] de déterminer, par des « formules explicites », les $(f_{\ell})_{\mathrm{ab}}$ correspondant aux chemins $x_0 \to x$. On en vient à regarder la […] question des […] par une VA […] cf. d'icelle

en biais dans la marge gauche, en face de (34) : C'est une question particulière, […] plus intéressante […] une formule […] […] […] en remplaçant $X$ par […]

82p. 9 de l'auteur par un tore — pratiquement, par une « jacobienne généralisée ») convenable de $X$. Mais il faut se rappeler que pour une telle variété (p. ex. une courbe elliptique, ou la variété $\mathbb{G}_m$ ($\mathbb{G}_m(\mathbb{C}) = \mathbb{C}^{*}$)), l'opération de $\Gamma$ sur le groupoïde $\Pi_1(X_{\bar K})$ n'est pas fidèle, donc pour « repérer » un $u \in \Gamma$, il ne suffit pas de connaître des invariants du type $g_{\ell}(u)$ relatifs à une seule même $X$. Il faudra donc […] introduire des « paramètres de repérage » pour $u$, en utilisant d'autres variétés algébriques que $X$ — la plus naturelle étant \[ (35) \qquad U_{0,3} = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\}. \]

Faisons maintenant varier $X$, en […] considérant un morphisme de $K$-schémas \[ (36) \qquad f : X \to Y ; \] il définit des morphismes de groupoïdes

83\[ (37) \qquad \Pi_1(X) \xrightarrow{\; f_{*} = \Pi_1(f) \;} \Pi_1(Y), \] \[ (38) \qquad \hat{\Pi}_1(X) \xrightarrow{\; \hat{f} = \hat{\Pi}_1(f) \;} \hat{\Pi}_1(Y), \] dont le deuxième peut être déduit du premier par voie de complétion profinie ; mais par contre sa définition […] […] en termes ⌜des morphismes⌝ […] schémas sur le corps alg. clos $\mathbb{C}$. Par […] schématique, […] $X \to Y$ sur le […] […]

[…] (38) commute aux actions : l'action de $\Gamma$, ⌜d'où⌝ \[ (39) \qquad \hat{f}({}^{u}\ell) = {}^{u}(\hat{f}\ell) \] et si on se borne aux sous-groupoïdes induits sur $X_{\bar K}$, $Y_{\bar K}$, $(\hat{\Pi}_1 Y_{\bar K})$, […] : l'action des […] $\Gamma = \mathrm{Gal}\, \bar{K}/K$. Si on se […] […] $X_K$, d'où […] de $f_{\ell}(u)$, $g_{\ell}(u)$ […] pour un chemin $\ell$ dans $X \to$ […] $Y$, il vient \[ (40) \qquad \begin{cases} \hat{f}\bigl(f_{\ell}(u)\bigr) = f_{\hat{f}(\ell)}(u) \\ \hat{f}\bigl(g_{\ell}(u)\bigr) = g_{\hat{f}(\ell)}(u) . \end{cases} \]

en biais dans la marge gauche : Analogue formule […] […] $+$ […] $T$ […] $(T \to \ill{}$ […] […] […]) : (40 bis) $g_{f(x), f(y)}(u) = \hat{f}\bigl(g_{x,y}(u)\bigr)$ […]

84p. 10 de l'auteur Un cas trivial extrême est celui où $f$ est un isomorphisme — et […] celui où $X = Y$, donc où $f$ fait partie d'un groupe $\mathfrak{G}$ de $K$-isomorphismes de $X$ — dont on peut considérer $\Pi_1(X)$ et $\Pi_1(X_{\bar K})$, $\Pi_1(X_K)$ comme des groupoïdes à opérateurs $\mathfrak{G}$, et $\hat{\Pi}_1(X)$ comme un groupoïde à opérateurs $\mathfrak{G} \times \Gamma$, $\hat{\Pi}_1(\bar{X}_{\bar K})$ comme un groupoïde […] analogue […] $\mathfrak{G} \times \Gamma$ opère. Cette fois-ci les groupes […] trivialement sur les sommets de $\Pi_1(X_K)$, l'opération de $\Gamma$ est triviale, mais pas nécessairement celle de $\mathfrak{G}$.

Si on se donne un pt base, et plus généralement un ensemble $I \subset X_K$ contenant $x_0$, l'opération de $\Gamma$ sur $\hat{\Pi}_1(X, I)$ est connue quand on connaît son opération sur $\hat{\pi}_1(X, x_0)$, et si de plus on connaît son opération sur les $\hat{\pi}_1(X, x_0)$-torseurs ! droits \[ (41) \qquad \boxed{\mathrm{Hom}_{\hat{\Pi}_1(X, I)}(x_0, x_i)}, \qquad i \in I, \] ou, ce qui revient au même,

85\[ (42) \qquad f_{\ell_i}(u), \qquad i \in I,\ u \in \Gamma, \] où pour tout $i \in I$, $\ell_i$ est un chemin de $\hat{\Pi}_1(X, I)$ de $x_0$ vers $x_i$, i.e. un élément de la partie « discrète » du torseur (41).

D'autre part, l'action de $\Gamma$ sur $\hat{\pi}_1(X, x_0)$ est connue quand on connaît son action sur des générateurs $\lambda_j$ ($j \in J$) de $\pi_1(X, x_0)$, i.e. si on connaît les \[ (43) \qquad f_{\lambda_j}(u) \ \text{ou}\ g_{\lambda_j}(u), \qquad j \in J,\ u \in \Gamma . \] […] Les données (42), (43) suffisent […] : déterminent l'action de $\Gamma$ sur $\Pi_1(X, I)$ — mais ces descriptions, et dis[…] ; il a […] d'un […] des […] […], à la dissymétrie des choix arbitraires, le choix d'un origine ⌜point-base⌝ $x_0$ […] nommément […] […] […] — ce qui semble artificiel, et à la longue je crois impraticable, et et tout particulièrement […] des situations […] un groupe de symétries $\mathfrak{G}$ […] […] […] […] puis $I$ stable sous $\mathfrak{G}$ —

en biais dans la marge gauche, en face de (43) : […] […] principe, […] […] dit p. 8'

86p. 11 de l'auteur alors que pratiquement jamais on ne peut trouver un $x \in X_K$ […] fixe sous $\mathfrak{G}$.

Avant de donner un principe d'approche pour des […] « symétriques », tenant compte de la présence d'un groupe $\mathfrak{G}$ (cas d'un groupe […] […] pratiques), je voudrais préciser la question de la relation entre $\Pi_1(X, I)$ ($I$ partie finie de $X_K$) et $\Pi_1(U_{0,3})$, […] dans l'optique des opérations de $\Gamma$. Pour fixer les idées pour simplifier, je prendrai le cas $X$ quasi-projective lisse géom. connexe. Utilisant des th. du type Lefschetz, plus le résultat de Biel Belyi, on […] doit pouvoir trouver un […] de schémas sur $K$ une insertion au-dessus de la ligne, peu lisible, semble ajouter « $K$ à $\Gamma$ finis » ; non retenue

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  C \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "f"'] & X \\
  U_{0,3} &
\end{tikzcd}

diagramme (44) de l'auteur ; au-dessus de $C$ il écrit $I$ avec le signe $\cap$, soit $I \subset C$

où $i$ induit un hom. surjectif sur les groupes fondamentaux, et où $f$ est

87un morphisme fini étale. Ainsi $\Pi_1(X, I)$ apparaît comme un groupoïde quotient de $\Pi_1(C, I)$, donc $\hat{\Pi}_1(X, I)$ quotient de $\hat{\Pi}_1(C, I)$, et où $\Pi_1(C, I)$ apparaît comme un […] fini de $\Pi_1(U_{0,3}, I)$ — plus précisément ⌜exactement⌝, prenant le saturé $I' = f^{-1}f(I) = f^{-1}(I_0)$ de $I$, $\Pi_1(U_{0,3}; I)$ est un sous-groupoïde ⌜plein⌝ de $\Pi_1(U_{0,3}; I')$, qui lui-même est un revêtement fini des groupoïdes de $\Pi_1(U_{0,3}; I_0)$ — et idem pour les complétés profinis. dans les deux dernières formules on attendrait $C$ plutôt que $U_{0,3}$ ; on transcrit ce que porte la page

Ainsi, l'opération de $\Gamma$ sur $\hat{\Pi}_1(X)$ est connue quand on connaît l'opération sur $\hat{\Pi}_1(C, \tilde{I})$, qui est un […] fini de $\hat{\Pi}_1(U_{0,3}; I_0)$. Si on connaît l'action de $\Gamma$ sur $\hat{\Pi}_1(U_{0,3}; I_0)$ lui-même, […] doit […] […]

88p. 12 de l'auteur $\hat{\Pi}_1(C, I')$ est déterminé ⌜via (39) et (40)⌝, […] l'homomorphisme […] : pour $x, y \in C$, l'application \[ \mathrm{Hom}_{\hat{\Pi}_1(C)}(x, y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\hat{\Pi}_1(U_{0,3})}(x, y) \] est injective !

J'ai été un peu vite dans ce qui précède ; car le saturé $I'$ ⌜dans $C$⌝ de $I$ n'est pas tous […] contenu dans $C_K$ — mais dans $C_{K'}$ […] : mais dès lors, rien ne oblige à remplacer $I$ par $I'$ […] pour faire […] : il reste vrai que la connaissance de l'action de $\Gamma$ sur $\hat{\Pi}_1(U_{0,3}, I_0)$ implique la connaissance de l'action de $\Gamma$ sur $\hat{\Pi}_1(X, I)$. Mais il n'est […] que l'étude des relations entre $\hat{\Pi}_1(C; I)$ et $\hat{\Pi}_1(U_{0,3}, I_0)$, en tant que groupoïdes à groupe d'opérateurs $\Gamma$, est formellement équivalente en remplaçant $I$ par son saturé $I'$, si celui-ci n'est pas $\subset C_K$. (Au besoin, si on est […] ⌜pas⌝ […] par des arguments qui […] ballottent […] l'action de $\Gamma$, il y a

89qui remplacerait $\Gamma$ par un sous-groupe ouvert convenable $\Gamma'$ …)

En même temps, on cherchera des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un automorphisme $\Theta$ des groupoïdes $\Pi_1(U_{0,3}; I_0)$, laissant fixes les sommets i.e. les pts de $I_0$, provienne d'un $u \in \Gamma$ : il faut que pour tout revêtement $C$ de $U_{0,3}$, défini sur $K$, […] ⌜posant⌝ $I = f^{-1}(I_0) \subset C_K$ et supposant ⌜$I \to I_0$ surj.⌝, l'action […] ⌜$\Theta$⌝ […] $\Theta_{I_0}$ ⌜laisse⌝ $\Pi_1(U_{0,3}, I_0)$ soit « compatible » […] d'un […] ⌜[…]⌝ à une action $\Theta_C$ de $\Pi_1(C, I)$ qui soit l'identité […] ⌜qui soit l'identité⌝ sur les sommets $I$ (on note $\Theta_C$ sur l'identité […] alors unique). On trouve ainsi une infinité de conditions, […] si $I \to I_0$ n'est pas surjectif) ; et dans […] […] pour $I_0 \subset U_{0,3}(K)$ (NB $C_0 = U_{0,3} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0, 1, \infty\}$). Pour les revêtements étales de $U_{0,3}$, on exige ⌜($n \geq 1$)⌝ quand […] […] il existe un $\Theta^{n}$ ⌜de $\Theta$⌝ satisfaisant aux conditions précédentes, pour $I = f^{-1}(I_0)$.

en biais dans la marge gauche, au bas de la page : Regarder des conditions qui […] […] […] $I_0$ …

90p. 13 de l'auteur Non seulement les conditions de […] « prolongeabilité » — il vaut mieux dire « d'irréductibilité » — sous la forme précisée, […] détaillée (où $\Theta$ remplacé par un $\Theta^{n}$), on trouve une condition ⌜de plus⌝, […] […] un morphisme \[ \hat{\Pi}_1(C, I) \longrightarrow \hat{\Pi}_1(X, I), \] que celle-ci passe au quotient — ce qui s'exprime très exactement par la condition que pour un […] $x_0 \in I$, l'action de $\Gamma$ sur \[ \hat{\pi}_1(C, x_0) \subset \hat{\pi}_1\bigl(U_{0,3}, f(x_0)\bigr) \] laisse stable le noyau de \[ \hat{\pi}_1(C, x_0) \longrightarrow \hat{\pi}_1(X, x_0) ; \] alors ce sera vrai également pour tous les autres $x_i \in I$.

Il faut exprimer la possibilité de relever l'action de $\Theta$ à $\Pi_1(C, I)$. Notons à ce propos

Lemme. Soit $\mathcal{C}' \to \mathcal{C}$ un hom. de groupoïdes connexes, qui soit injectif sur les $\pi_1$, (de sorte que $\mathcal{C}'$ est équivalent à un sous-groupoïde de $\mathcal{C}$, mais on ne suppose pas que $\mathcal{C}'$ soit lui-même un sous-groupoïde de $\mathcal{C}$, mais quand-même pas la phrase se poursuit page suivante

91p. 14 de l'auteur ; suite du lemme commencé page précédente l'homomorphisme commun que \[ (45) \qquad \mathcal{C}' \longrightarrow \tilde{\mathcal{C}}' \] à droite de la formule, en petit : « vrai revêtement de $\mathcal{C}$, dont les sommets sont les $\pi_0$ des fibres de $\mathcal{C}' \to \mathcal{C}$ » soit factorisé […] de sorte qu'on peut identifier $\mathcal{C}'$ : […] $\mathcal{C}' \to \mathcal{C}$ soit injectif, sous-groupoïde plein de $\tilde{\mathcal{C}}^{*}$, équivalent : $\tilde{\mathcal{C}}^{*}$ par l'inclusion, où $\tilde{\mathcal{C}}$ est un revêtement de $\mathcal{C}$.

Soit $x_0'$ un sommet de $\mathcal{C}'$, ⌜$x_0$⌝ son image dans $\tilde{\mathcal{C}}$. Soit $\Theta$ un automorphisme de $\mathcal{C}$ qui fixe $x_0$, alors s'il […] ⌜respecte […]⌝ […] […] donnée un automorphisme ⌜sommet⌝ de $\mathcal{C}$ […] $\pi_1(\mathcal{C}, x_0) \overset{\mathrm{def}}{=} \Pi_0$ […], et pour tout $x_i \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}$, $x_i \neq x_0$, un automorphisme des $\Pi_0(x_0)$-torseurs à droite $H_{x_i, x_0} = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x_0, x_i)$, compatible avec l'opération de $\Theta$ sur $\Pi_0$. Ceci posé, pour qu'on remonte en une action de $\tilde{\mathcal{C}}$ qui fixe $x_0'$, il faut et il suffit que le sous-groupe $\Pi_0'$ de $\Pi_0$, image de \[ \pi_1(\tilde{\mathcal{C}}, x_0') \hookrightarrow \pi_1(\mathcal{C}, x_0) = \Pi_0, \] soit stable par $\Theta$ — l'action de $\Theta$ sur les fibres $\tilde{\mathcal{C}}_{x_i}$ de $\tilde{\mathcal{C}}/\mathcal{C}$ est alors donnée par la formule \[ (45) \qquad \mathrm{Ob}\,\tilde{\mathcal{C}}_{x_i} = H_{x_i, x_0} \wedge^{\Pi_0} \Pi_0/\Pi_0' \] sous $\Pi_0/\Pi_0'$, en petit : « ensemble des classes à droite, sur lequel $\Pi_0$ opère à g. » ; l'auteur numérote (45) deux fois sur cette page par transport de structure : partie de […]

92p. 14 de l'auteur (le numéro 14 est répété en tête de cette page) action sur $H_{x_i, x_0}$ le système $(\Pi_0, H_{x_i, x_0}, \Pi_0/\Pi_0')$, où on fait opérer $\Theta$ sur $\Pi_0$, $H_{x_i, x_0}$ par […] ⌜la donnée⌝, et sur $\Pi_0/\Pi_0'$ via l'action sur $\Pi_0$, qui passe au quotient d'après la […] ⌜condition⌝ ⌜de stabilité de $\Pi_0'$ en $\Theta$⌝. L'action prolongeant est dite ainsi définie […] sur $\tilde{\mathcal{C}}$ est donc unique. Pour qu'il existe une action de $\Theta^{*}$ sur $\mathcal{C}'$ qui soit compatible […] $\mathcal{C}' \to \mathcal{C}$, il faut et il suffit que la condition précédente soit satisfaite, et que de plus $\mathrm{Ob}\,\mathcal{C}' \subset \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}$ soit stable sous […] l'action de $\tilde{\Theta}$.

Dans le cas où on ne suppose pas que l'on dispose d'⌜donne⌝ un $x_0' \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'$ dont on exige qu'il soit fixe par $\Theta$, on considère le […] $E_0 = \tilde{\mathcal{C}}_{x_0}$, qui est un $\Pi_0$-ensemble […] homogène, et on note que les façons de […] $\Theta$ en une action […] ⌜$\tilde{\Theta}$⌝ sur $\tilde{\mathcal{C}}$ correspondant […] […] façons de […] prolonger […] ex. […] en une action de $\tilde{\Theta}_0$ sur $E_0$, […] soit compatible avec l'action sur $\Pi_0$, i.e. satisfasse \[ (46) \qquad \tilde{\Theta}_0(g \cdot x') = \Theta(g)\, \tilde{\Theta}_0(x') \] — […] correspond une telle action est connue, […] […] […] […] connaît, pour un $x_0'$ fixé de $E_0 = \mathrm{Ob}\,\tilde{\mathcal{C}}_{x_0}$, son transformé par $\tilde{\Theta}_0$, la formule (46) […] ⌜$\tilde{\Theta}_0(x')$, $x' \in E_0$⌝ donnant tous les […] […] […]

en biais dans la marge gauche, en face de (46) : Ceci revient à dire que $\tilde{\mathcal{C}}$ est un revêtement […] mais les sous-groupes […] de $\Pi_0$ […] […] […] $\Pi_0$-conjugués, […] $\Pi_0$, […] […] […] […] […]

93de $\Pi_0$, $\Pi_0' = \mathrm{Im}\bigl(\pi_1(\tilde{\mathcal{C}}, x_0') \to \pi_1(\mathcal{C}, x_0)\bigr)$, de sorte que \[ (47) \qquad E_0 \simeq \Pi_0/\Pi_0' ; \] la condition d'existence de $\tilde{\Theta}_0$ revient à dire que $\Theta(\Pi_0')$ est conjugué à $\Pi_0'$ dans $\Pi_0$, et les choix possibles pour remonter $\Theta$ en $\tilde{\Theta}_0$, donc pour remonter $\Theta$ en $\tilde{\Theta}$, correspondent aux éléments $x''$ de $E_0$ tels que ⌜de la forme⌝ $g(x_0')$ où $g \in \Pi_0$ satisfait \[ (48) \qquad \mathrm{int}\, g\,(\Pi_0') = \Theta(\Pi_0'), \] i.e. tels que $g \in \mathrm{Transp}_{\Pi_0}\bigl(\Pi_0', \Theta(\Pi_0')\bigr)$. ⌜Cette condition ne dépend que de l'action sur $\Pi_0'$ définie par $\Theta$ sur $\Pi_0'$ — mais les façons de remonter $\Theta$ en $\tilde{\Theta}$, elles, en dépendent, au […] de […] […] près. […] $\Theta$ […]⌝

Donc les $\tilde{\Theta}$ possibles correspondant aux éléments de \[ (49) \qquad \mathrm{Transp}_{\Pi_0}\bigl(\Pi_0', \Theta(\Pi_0')\bigr)/\Pi_0' \] sous (49), en petit : « ensemble homogène à droite ($\Pi_0'$ opère à droite sur le transporteur, via $g \mapsto g\alpha$ pour $\alpha \in \Pi_0'$) »

Ainsi, on voit que dans le cas \[ \mathcal{C} = \hat{\Pi}_1(X_{\bar K}, I), \qquad I \subset X_K, \] […] quand $\mathcal{C}'$ […] provient est de la forme $\hat{\Pi}_1(X', I')$, où $X'$ est un revêtement étale (fini) de $X$, ⌜muni d'un⌝ $I' \to I$, ⌜la condition qu'un⌝ $\Theta$ se remonte ⌜à $\mathcal{C}'$⌝ […] que la condition […] sur action de $\mathcal{C}'$ est une condition algébrique des plus la phrase se poursuit page suivante

en biais dans la marge gauche, en haut : En effet, il faut que $\mathrm{Im}\bigl(\pi_1(\tilde{\mathcal{C}}, x_0') \to \pi_1(\mathcal{C}, x_0)\bigr)$ soit $\Theta(\Pi_0')$ […] $= \pi_1(\ldots)$, $g \in \Pi_0$, […] $x_1' = \tilde{\Theta}(x_0')$, si on […] $x_1' = g(x_0')$, cet […]

en biais dans la marge gauche, en bas, sous un long passage biffé illisible : Bien noter que […] […] […] $\Theta$ […] […] […] […] $\mathcal{C}' \subset \tilde{\mathcal{C}}$ […] $\Theta$ […] […] un passage marginal plus long, entre ces deux notes, est entièrement biffé de traits croisés et illisible ; on y distingue « (48) » et « $\Theta(\Pi_0')$ »

94p. 15 de l'auteur plus simple, que pour $I' = f^{-1}(I)$ ne dépend pas du choix de $I'$ mais de $I$. Si on veut que l'action remontée $\Theta'$ soit l'identité sur $I'$, on a unicité, et la condition supplémentaire signifie bien que $\tilde{\Theta}$ doit bien opérer trivialement sur $I'$.

Résumons : l'action de $\Gamma$ ⌜$= \mathrm{Gal}\,\bar{K}/K$⌝ sur un $\mathcal{C} = \hat{\Pi}_1(X, I)$ avec $I \subset X_K$, on trouve des ⌜conditions nécessaires qu'une⌝ condition […] ⌜satisfait sur […] […]⌝ action $\Theta$ de $\mathcal{C}$ ⌜provienne d'un⌝ $u \in \Gamma$ :

a)Pour tout revêtement fini ⌜étale⌝ $X'$ de $X$ ⌜(défini sur $K)$⌝, […] considérons il y a l'action de ⌜une action⌝ $\tilde{\Theta}$ ⌜de $\Theta$⌝ sur $\hat{\Pi}_1(X', I')$, où $I' = X' \mid I$, qui remonte $\Theta$, et qui ⌜soit⌝ l'identité sur $I' \cap X'_K$.
b)De plus, pour […] ⌜tout […] (défini sur $K$)⌝ $X' \xrightarrow{\;f\;} Y$, et tout $x' \in I' \cap X'_K$, le noyau de \[ (*) \qquad \hat{\pi}_1(X', x') \longrightarrow \hat{\pi}_1\bigl(Y, f(x')\bigr) \] ⌜(pour $\tilde{\Theta}$ convenable !)⌝ est stable sous $\tilde{\Theta}^{*}$ ⌜— plus généralement,⌝ sans supposer $x' \in X'_K$, mais choisissant $\nu \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $\Theta^{\nu} x' = x'$, il faut que […] le noyau de $(*)$ soit stable par $\Theta^{\nu}$.

dans (*), le premier argument de $\hat{\pi}_1$ au but est surchargé ; on lit $Y$

Ce sont là des conditions nécessaires. Je pense qu'on […] pas trop […],

en biais dans la marge gauche, séparé du texte par un trait vertical : Cas d'une action $\Theta$ […] sur $\mathcal{C}$ qui fixe […] $x_0 \in I$ […] […] […] […] condition […] […] […] […]. NB Ces conditions, […], […] […] […] […] […] […] […] […] définie […] de $\Gamma$ […] […]

95exagère en conjecturant que en général, ces conditions, ⌜nécessaires⌝, sont aussi […] suffisantes pour (même […] la considération des $\Theta^{\nu}$) […] […] pour que $\Theta$ provienne bien […] d'un $u \in \Gamma$, […] lorsque $X$ est (disons) une courbe algébrique anabélienne, avec $K$ extension de type fini de $\mathbb{Q}$. Bien […] la question de l'unicité de $u$ ne se pose pas ici — quand $K$ est une extension algébrique de $\mathbb{Q}$, on s'attend à une unicité de $u$. Quand $K$ est de degré de transcendance $> 0$, dès que […], je pense pouvoir s'attendre : l'unicité de $u$, il faut au moins supposer que le corps modulaire de $X$ a même degré de transcendance que $K$, i.e. que $K$ est une extension finie de ce corps modulaire. Je ne suis pas étonné qu'on ait unicité dans ce cas. « Bien » ouvre, après « $\mathbb{Q}$. », un passage que l'auteur entoure d'un trait anguleux

Je reviens sur la question de la relevabilité d'un automorphisme $\Theta$ d'un groupoïde connexe $\mathcal{C}$ : un revêtement $\tilde{\mathcal{C}}$, quand $\Theta$ fixe un sommet

en biais dans la marge gauche, en haut : Je ne vois pas très bien que les conditions a), b), […] […] […] […] […] dans […] […] […] […] de pro-[…] […] $\pi$ […] $\Theta$ […] […] […] […] […] […] […] […] […] CN […] […] […] […] […] […] […] $u \in \Gamma$ […]

en biais dans la marge gauche, plus bas, en partie encadré : Le […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] Belyi […] […] […] […] […] […] […] […] condition […] […] […] […] les deux notes marginales de cette page, écrites en biais et serrées, sont en grande partie illisibles

96p. 16 de l'auteur $x_0$ de $\mathcal{C}$, mais sans supposer maintenant $\tilde{\mathcal{C}}$ connexe. ([…] Revêtement […] à $\tilde{\mathcal{C}}$ proviendrait d'une situation géométrique $X' \to X$, avec $X$ connexe, et […] mais $X'$ […] seulement $K$-connexe i.e. connexe en tant que schéma sur $K$ — ce qui signifie qu'il peut se décrire en termes de $E_0 = X'_{x_0}$, sur lequel opèrent directement $\Gamma \cdot \Pi_0$ ($\Pi_0 = \pi_1(X, x_0) = \pi_1(\mathcal{C}, x_0)$) transitivement, mais sans que l'opération de $\Pi_0$ soit transitive.) Associons à tout $x' \in E_0$ son stabilisateur dans $\Pi_0$, on trouve une application \[ (50) \qquad \begin{aligned} E_0 &\longrightarrow \text{Ens.\ des s-groupes de } \Pi, \\ x' &\longmapsto \text{stabilisateur } \Pi_{x'}, \end{aligned} \] qui commute aux actions de $\Pi_0$ (cop. sur le 2^e membre par automorphismes intérieurs), d'où par passage aux quotients \[ (51) \qquad E_0/\Pi_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \pi_0(E_0) \longrightarrow \Sigma = \mathrm{Ssgr}(\Pi)/\Pi \] sous $\pi_0(E_0)$, en petit : « i.e. les $\pi_0$ des fibres des $\Pi$-ens. » ; à droite, un symbole surchargé, lu $\mathrm{Ssgr}$ (ensemble des sous-groupes)

D'autre part, $\Theta$ opère sur le 2^ième membre de (51) par transport de structure, via $\Pi$, et […] une condition nécessaire

97évidente pour que $\Theta$ se relève en un $\tilde{\Theta}$, c'est que l'image de l'application (51) soit stable sous l'action de $\Theta$ ; en fait, l'action $\tilde{\Theta}$ présumée, […] ⌜montrerait à $E_0$, doit donner⌝ ⌜On voit donc qu'un $\tilde{\Theta}$ […] deux pts de $\Sigma$ […]⌝ […] […] la compatibilité ⌜de cette action $\Theta$,⌝ se déduit de (52) […] ⌜(considéré […] […] […]) dont⌝ […] stabilité […] que $\Gamma$ vienne d'[…] signifie justement qu'il existe une […] ⌜bijection⌝ \[ (52) \qquad \pi_0(\tilde{\Theta}_0) : \pi_0(E_0) \xrightarrow{\;\sim\;} \pi_0(E_0) \] stable que qui soit compatible avec l'action de $\Theta$ sur le deuxième membre de (51). Ceci dit, pour toute telle relèvement, il existe […] ⌜[…]⌝ tel de relever $\tilde{\Theta}_0 : E_0 \to E_0$ ⌜compatible avec les actions de $\Pi$ et l'action de $\Theta$ sur $\Pi$ (cf. (46))⌝, si on connaît quand on lorsque $\tilde{\Theta}$ est […] […] connaît son […] valeurs $\tilde{\Theta}(x_i)$ […] pour un $x_i \in$ […] ⌜$E_0$⌝ dans chaque des ⌜composantes⌝ composantes connexes de $E_0$ … la page est très corrigée ; les ajouts interlinéaires s'enchevêtrent avec les biffures et l'ordre de lecture proposé ici est incertain

Pour les automorphismes $\Theta$ de l'un $\hat{\Pi}_1(X, I)$, $I \subset X_K$, pour provenir de $\Gamma$, j'ai […] cependant […] plus importantes des conditions nécessaires, […] […] […] […] : […] […] fibres […] […] […] ! la fin de cette page, d'une écriture très rapide, n'est lue qu'en partie

98p. 17 de l'auteur C'est la condition de compatibilité avec la « structure : bout » — dans le cas où $X$ est une courbe algébrique, disons (sinon, on sent bien qu'il faut introduire, dans les cas généraux, une « structure : l'infini » sur un groupoïde fondamental …). Cette compatibilité ⌜justement⌝ s'exprime de façon particulièrement […] et élégante dans le contexte des groupoïdes, […] […] […] compatibilité […] la notion d'une […] de […] (cf. (39)) […] solutions, […] […] […] […] solutions […] […] […], […] […] […] « […] » […] — […] […] […] sur ce point de vue plus bas.

Remarques. Revenant aux conditions a) b), il est clair d'emblée qu'elles sont inexplicitables (c.à.d. inexprimables) en termes $\pm$ directs, comme des conditions portant directement sur des « paramètres » […] ⌜tels que⌝ du type $g_{\ell}(u)$ (des paramètres $\alpha, \beta, \xi, \eta$ dont nous […] […] […] des automorphismes : l'action de $\Pi_{0,3}$ …) qui « repèrent » un $u \in \Gamma$ (ici $\Gamma = \mathrm{Gal}\,\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$). Probablement C'est pour cette raison que le la phrase se poursuit page suivante ; page d'une écriture rapide, nombreuses lectures douteuses

99[…] plus haut (cf. une remarque) sur les conditions des lacets, soit […] n'est pas bien intéressante, en […] pratique. Mais je […] que vu l'étude des $\mathbb{M} \Delta$ […] $M_{g,\nu}$ et des groupes de Teichmüller, je suis en train de […] […] […] une conjecture […] […] […] intéressante et plausible, en termes de propriétés […] des groupes profinis tels que $\hat{\Pi}_{0,3}$, […] par cohomologie […] (on […] […] par des conditions liées […] $M_{0,4}$, $M_{0,5}$ …).

Je pense en venir encore une fois, sous forme complétée, les conditions pour un automorphisme $\Theta$ ⌜d'un groupoïde⌝ $\hat{\Pi}_1(X, I)$, $I \subset X_{\bar K}$, ⌜$I \cap X_K \neq \emptyset$⌝ (je pense surtout, […] au cas $X = U_{0,3}$) provienne d'un $u \in \Gamma = \mathrm{Gal}\,\bar{K}/K$ :

1) Conditions des lacets (pour mémoire — c'est sûrement la plus importante de toutes, et de très loin !)

2) Condition de stabilité pour revêtements étales $X'$ de $X$ (définis sur $K$, bien sûr) : la phrase se poursuit au-delà de cette page

en biais dans la marge gauche, en haut : En […] […] […] […] conjecture […] […] […] […] […] $\mathrm{Gal}\,\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$, $I$ […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] $X$ […] […] la note marginale, écrite en biais et en partie barrée d'un trait, est presque entièrement illisible

100p. 18 de l'auteur ; suite de la condition 2) de la page précédente […] de $\Theta$ se relève en une action $\Theta'$ de $\Theta$ sur $\hat{\Pi}_1(X', I')$, où $I' = X' \mid I$. […] Si $I' \cap X'_K \neq \emptyset$, $X'$ étant connexe (il suffit que $\Gamma$ soit transitif sur $\pi_0(X')$ i.e. que $X'$ soit « $K$-connexe » i.e. connexe en tant que schéma sur $K$) donc l'action relevée est unique.

⌜La condition 2 s'explicite en pratique en une condition de stabilité de certains sous-groupes ouverts d'un $\pi_1(X, x)$ ($x \in X_K \cap I$) […] […] […] $\Theta$ […]⌝

3) Pour les […] homom. $f : X' \to Y$ et […] ⌜tout⌝ $x' \in X'_K \cap I'$, l'action la $\Theta'$ […] de telle action doit […] […] de $\hat{\pi}_1(X', x')$ qu'il […] stabilise laisse stable le noyau de \[ \hat{\pi}_1(X', x) \longrightarrow \hat{\pi}_1\bigl(Y, f(x)\bigr) . \] C'est encore une condition de stabilité pour certains sous-groupes, mais pour une deuxième fois […] $\pi_1(X, x)$ […] $\Theta$.

4) Soient $X'_1$, $X'_2$ deux rev. étales finis de $X$, et $f$ un morphisme $X'_1 \xrightarrow{\;f\;} X'_2$ (pas nécessairement un $X$-morphisme !), $I'_1 = X'_1 \mid I$, $I'_2 = X'_2 \mid I$ ; on suppose plus précisément que $I'_1 \cap f^{-1}(I'_2) \neq \emptyset$ ; pour $J \overset{\mathrm{def}}{=} I'_1 \cap f^{-1}(I'_2)$, alors […] le morphisme \[ \text{\struck{$I'_1 \cap f^{-1}(I'_2) \longrightarrow$}} \quad \hat{\Pi}_1(X'_1, J) \longrightarrow \hat{\Pi}_1(X'_2, I'_2) \] est compatible ⌜aux⌝ ⌜prolongements⌝ […] actions de $\Theta$ sur ces groupoïdes, s'il y […] (pour […] […] […] […] compatibilité, cf. 2.). l'argument se poursuit au-delà de ce lot

en biais dans la marge gauche, en haut : […] […] […] […] […] $I \cap X'_K$ […] […] […] $\Theta'$ […] $\Theta$ […] […] $X'_K \neq \emptyset$ […]

en biais dans la marge gauche, plus bas : […] […] […] […] $x' \in X'_K \cap I'$, […] […] […] $\Theta_{\nu}$ […] […] […] $\hat{\pi}_1(X', x')$ […] $\Theta_{\nu} x' = x'$ […] les deux notes marginales de cette page, serrées et en biais, sont presque entièrement illisibles