Fonds Grothendieck, cote n° 142, pages 61–80

la page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient de la page précédente, hors de ce lot ; les numéros de formules (41)–(45) et les notations \widetilde{\Sigma}, \Pi_{0,3}, \Psi, \varphi_r y renvoient

En haut à gauche, une sphère : pôle nord P_+, pôle sud P_- ; sur l'équateur, de gauche à droite, Q_1, R_0^-, R_0^+, Q_\infty, R_1^- ; deux petits cercles sur l'équateur, l'un entre R_0^- et R_0^+ (avec S_0^+ au-dessus, S_0^- au-dessous), l'autre près de R_1^- (avec S_1^+) ; des méridiens joignent P_+ à P_- ; un fuseau hachuré sous P_+, marqué d'une flèche circulaire d'orientation.

correspondant, sur la sphère standard, à la région circulaire, délimitée par le contour P_+\,Q_1\,R_0^-\,S_0^+\,R_0^+\,S_0^-\,P_-\,Q_\infty\,R_1^-\,S_1^+\,P_+ . le S_0^+ du contour est écrit sur une autre lettre Les régions \widetilde{\Sigma}_r sont permutées de façon simplement transitive par \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times (1,\tau). Elles sont simplement connexes, et permettent donc de définir des \Pi_r = \Pi_i^{\omega,\varepsilon} = \pi_1(\widetilde{\Sigma};\widetilde{\Sigma}_r) = \pi_1(\Sigma^{*};\Sigma^{*}_r) numéro de formule surchargé devant cette ligne, illisible ; l'exposant \omega,\varepsilon pourrait aussi se lire \omega,i, comme en (42) ~~et des iso~~ ~~groupes~~ mais qui sont reliés par un syst. transitif d'iso. à l'aide des opérations de \Gamma, de sorte qu'on peut identifier tous ces groupes entre eux. En fait, on trouve des isom. d'épinglage \text{(42)}\qquad \Psi_r : \Pi_{0,3} \longrightarrow \Pi_r = \Pi_i^{\omega,i} = \pi_1(\widetilde{\Sigma};\widetilde{\Sigma}_r) (\Psi_r ) ~~en identi~~ en composant

\begin{tikzcd} \Pi_{0,3} \arrow[r, "\Psi_r = \Psi_\varepsilon^{\omega,i}"] & \pi_1(\widetilde{\Sigma},P_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*},P_\varepsilon) \arrow[r, leftrightarrow, "\varphi_r^{-1}"] & \Pi_r \end{tikzcd}

la flèche \varphi_r^{-1} porte une pointe à chaque bout ; l'isomorphisme \simeq \pi_1(\Sigma^{*},P_\varepsilon) est écrit sous le terme du milieu

où ~~\varphi~~ \varphi_r : \Pi_r \to \Pi_\varepsilon = \pi_1(\widetilde{\Sigma},P_\varepsilon) est la l'isomorphisme de transition « correspondant » à la région 1-connexe \Sigma_r, et au point P_\varepsilon de \Sigma_r.

p. 12 de l'auteur La donnée d'un R_i^{\omega}les indices de ce premier R sont surchargés ; lu d'après la suite, qu'on va écrire R^{\omega}_{\omega i}, équivalant à celle d'une région (r \neq (i,\omega)) de J, etla relation r \neq (i,\omega), écrite au-dessus de la ligne, est douteuse définit deux ~~triang~~ régions \widetilde{D}_r qui le contiennent, correspondant aux deux régions de (J, ) qui prolongent r — et il y a donc deux régions correspondantes \widetilde{\Sigma}_r, qui sont les seules qui contiennent R_i^{\omega} comme point intérieur (NB. dans la région \widetilde{\Sigma}_r standard, les deux autres points R : par R_0^+, qui est intérieur, sont R_0^- et R_1^-, qui ne le sont pas). Mais si la sphère \Sigma est orientée i.e. si on s'est donné un élément marqué \varpi_+ de \underline{\varpi} = \underline{\omega} \wedge \underline{\varepsilon}, on aura un isom \underline{\omega} \simeq \underline{\varepsilon}, donc le point R_i^{\omega} détermine un \varepsilon \in \underline{\varepsilon} privilégié, par la condition que \varepsilon corresponde à \omega par \underline{\omega} \simeq \underline{\varepsilon}, ou encore que \omega \wedge \varepsilon = \varpi_+, ce qui signifie aussi que l'orientation P_+S_0^+R_0^+Q_\infty P_+ de la région ~~\widetilde{\Sigma}~~ \widetilde{D}_r est \varpi_+. Donc on peut alors identifier canoniquement, via \Psi_r, \pi_1(\widetilde{\Sigma},R_i^{\omega}) à \Pi_{0,3}, par un iso (qui dépend du choix de l'orientation \varpi_+ de \Sigma) \text{(43)}\qquad \Psi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma},R_i^{\omega})

de sorte qu'on aura ~~compatibilité~~ une compatibilité des

\text{(44)}

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \Pi_{0,3} \arrow[dl, "\Psi_i^{\omega}"'] \arrow[d, "\Psi_i^{\omega}"] \arrow[dr, "\Psi_\omega^{i}"] & \\ \pi_1(\widetilde{\Sigma},R^{\omega}_{\omega i}) \arrow[r, leftrightarrow, "b_i^{\omega'}(\cdot)"'] & \pi_1(\widetilde{\Sigma},Q_i) \arrow[r, leftrightarrow, "\varphi_{i\omega} = c_i^{\omega}(\cdot)"'] & \pi_1(\widetilde{\Sigma},P_\omega) \\ & = \Pi_i & = \Pi_\omega \end{tikzcd}

la flèche de gauche est tracée deux fois, sur un \Pi_{0,3} biffé ; l'indice de l'étiquette de la flèche verticale est corrigé en i

où on a écrit P_\omega au lieu de P_\varepsilon (en identifiant \underline{\omega} et \underline{\varepsilon} grâce à \varpi_+) et \Psi_i^{\omega} au lieu de \Psi_i^{\omega,\omega}, \Psi_\omega^{i} au lieu de \Psi_\omega^{i,\omega}.

Le passage à expliciter est celui de ~~R_{\omega i}~~ \Pi_i^{\omega} = \pi_1(\widetilde{\Sigma},R^{\omega}_{\omega i}) \quad\text{à}\quad \Pi_i^{\omega'} = \pi_1(\widetilde{\Sigma},R^{\omega'}_{\omega' i}), chacun identifié à \Pi_{0,3} par \Psi_i^{\omega}, resp. \Psi_i^{\omega'}écrit sous chaque terme : une flèche verticale \uparrow\wr marquée \Psi_i^{\omega}, resp. \Psi_i^{\omega'}, issue de \Pi_{0,3}, via \widetilde{b}_{i\omega}. On trouve par la commutativité (44) et par la deuxième formule (39) qu'on a

En marge gauche : deux petits cercles, aux points R^{\omega}_{\omega i} et R^{\omega'}_{\omega' i}, joints par un chemin fléché \widetilde{b}_i^{\omega} qui passe par Q_i.

\text{(45)}\qquad \widetilde{b}_i^{\omega}\bigl(\Psi_i^{\omega}(x)\bigr) = \Psi_i^{\omega'}\bigl(\sigma_\infty(x)\bigr) . devant (45), un \widetilde{b}_{\omega i} biffé

Généralités sur les actions de groupes de Galois sur les compactifiés profinis de groupoïdes fondamentaux de variétés alg. complexes

titre de sa main, sur le feuillet de couverture (p. 65), avec au crayon « (38 pages) »

p. 1 de l'auteur Soit K un sous-corps du corps des complexes \mathbb{C} — des cas intéressants seront celui où K = \mathbb{Q}, ou K extension finie de \mathbb{Q}, ou K = \widetilde{\mathbb{Q}} extension algébrique maximale de \mathbb{Q} dans \mathbb{C} — je serai intéressé en tous cas avant tout dans cas où K est de t.f. sur \mathbb{Q}. (Le cas de \widetilde{\mathbb{Q}} est un cas « limite » de tels cas, pour ne pas être gêné par les racines de 1…).

On s'intéresse aux schémas X de t.f. sur K, et aux espaces analytiques X(\mathbb{C}) correspondants. Comme on s'intéresse aux invariants « topologiques » de X, X(\mathbb{C}), on traitera les morphismes X' \to X qui sont des homéomorphismes universels comme des iso — en particulier les éléments nilpotents ne comptent pas — une immersion fermée surjective sera traitée comme un iso.

Un langage commode est de considérer X comme donné par l'espace analytique (ou même seulement topologique) X(\mathbb{C}), plus une structure supplémentaire dessus : la structure de « var. alg. sur K » ; à savoir la top. de Zariski, le faisceau des fonctions K-polynomiales etc. On écrira par la suite X au lieu de X(\mathbb{C}).

On distingue sur X le groupoïde fondamental \Pi_1(X) au sens topologique, et son compactifié profini \widehat{\Pi}_1(X), qui ~~est aussi~~ peut aussi être défini directement en termes du \mathbb{C}-schéma X. On a un foncteur « d'inclusion »

\text{(1)}\qquad \Pi_1(X) \longrightarrow \widehat{\Pi}_1(X) qui induit une bijection sur les ensembles des objets (ou « sommets ») — s'identifiant à X = X(\mathbb{C}) — et qui ~~défi~~ pour tout x \in X = X(\mathbb{C}), donne l'homom de groupes \text{(2)}\qquad \underbrace{\operatorname{Aut}_{\Pi_1(X)}(x)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \pi_1(X,x)} \longrightarrow \underbrace{\operatorname{Aut}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \widehat{\pi}_1(X_{\mathrm{sch}},x)} permettant d'identifier le \pi_1 schématique au compactifié profini du \pi_1 « topologique » ou « transcendant » : \text{(3)}\qquad \pi_1(X_{\mathrm{sch}},x) \simeq \widehat{\pi}_1(X,x) . De même, grâce à (3), pour x,y \in X, l'application \operatorname{Hom}_{\Pi_1(X)}(x,y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y) permet d'identifier le deuxième ens, en tant que bitorseur sous \bigl(\widehat{\pi}_1(X,y),\widehat{\pi}_1(X,x)\bigr), au bitorseur déduit ~~Hom~~ du premier ens par extension des groupes d'opérateurs par \pi_1(X,y) \to \widehat{\pi}_1(X,y), \qquad \pi_1(X,x) \to \widehat{\pi}_1(X,x) ( compte d'homomorphismes satisfaisant à la condition bien connue requise pour que cette extension ait un sens…).

— note écrite en oblique dans la marge gauche, près de la formule (3) ; on y lit « On identifiera… », \Pi_1, (x,y), (9) — seconde note oblique en bas de la marge gauche, avec une flèche vers le texte ; on y lit (G,H), (G',H'), G \to G', H \to H'

Soit \text{(5)}\qquad \Gamma = \Gamma_K \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Aut}_{K\text{-cat}}(\mathbb{C}), l'indice d'un premier \Gamma est biffé ; aucune formule (4) n'est numérotée sur la page

p. 2 de l'auteur dont \Gamma opère non seulement sur X l'ens. X, mais aussi sur le groupoïde \widehat{\Pi}_1(X), à cause du fait que celui-ci admet une définition purement schématique, ne faisant pas intervenir la topologie de \mathbb{C}. Bien entendu, si \lambda : x \to y dans \Pi_1, alors pour u \in \Gamma, u(\lambda) n'est pas en général une flèche de \Pi_1 (de u(x) vers u(y)) mais seulement de \widehat{\Pi}_1.

~~Notation~~ Notations {}^{u}x (x \in X, u \in \Gamma) et {}^{u}\lambda : {}^{u}x \longrightarrow {}^{u}y \quad\text{si}\quad \lambda : x \to y \ \ (\text{dans } \widehat{\Pi}_1(X)) . On a \text{(6)}\qquad \begin{cases} u(\mathrm{id}_x) = \mathrm{id}_{{}^{u}x} & (x \in X)\\ u(\mu\lambda) = {}^{u}\mu\,{}^{u}\lambda & \Bigl(\begin{array}{l} x \xrightarrow{\lambda} y \xrightarrow{\mu} z \\ {}^{u}x \xrightarrow{{}^{u}\lambda} {}^{u}y \xrightarrow{{}^{u}\mu} {}^{u}z \end{array}\Bigr) \end{cases}

Notre objet est d'essayer de « déterminer » autant que faire se peut cette action de \Gamma. À vrai dire, si \overline{K} est la clôture algébrique de K dans \mathbb{C}, on s'intéressera surtout aux sous-groupoïdes de \Pi_1(X) et \widehat{\Pi}_1(X) induits sur l'ens d'objets X_{\overline{K}}, qu'on désignera par \Pi_1(X_{\overline{K}}), \widehat{\Pi}_1(X_{\overline{K}}) — le deuxième est stable par l'action de \Gamma, et si on pose \text{(7)}\qquad \overline{\Gamma} = \operatorname{Aut}_{K\text{-cat}}(\overline{K}) = \operatorname{Gal}_{\overline{K}/K} , de sorte que \overline{\Gamma} est un quotient de \Gamma, l'action de \Gamma sur \Pi_1(X_{\overline{K}}) se fait à travers \overline{\Gamma}. la barre sur le \Gamma de (7) et sur celui de la dernière ligne est peu marquée ; l'action porte sur \widehat{\Pi}_1(X_{\overline{K}}) d'après ce qui précède, mais la page écrit ici \Pi_1(X_{\overline{K}}) sans chapeau

Pour décrire les actions d'un u \in \overline{\Gamma} (resp. u \in \Gamma) sur \widehat{\Pi}_1(X) (resp. ~~\Pi~~ \widehat{\Pi}_1(X_{\overline{K}})), on prendra comme « générateurs » du groupoïde \widehat{\Pi}_1 des chemins provenant de \Pi_1. On aura, pour l : x \to y dans \Pi_1, {}^{u}l : {}^{u}x \to {}^{u}y. Si par la suite, pour simplifier, on se borne à des points x, y, \ldots rationnels sur K — i.e. qu'on travaille dans le sous-groupoïde \widehat{\Pi}_1(X_K) formé des objets qui sont invariants sous \Gamma — alors on aura \text{(*)}\qquad {}^{u}l : {}^{u}x = x \longrightarrow {}^{u}y = y , et on peut écrire, … \text{(8)}\qquad \begin{cases} {}^{u}l = g_l(u)\circ l = l \circ f_l(u) \\ g_l(u) \in \widehat{\pi}_1(X,y) \\ f_l(u) \in \widehat{\pi}_1(X,x) \end{cases} à droite de la première ligne, un « g_l(u) = {}^{u}l \circ l^{-1} » est biffé où f_l(u), g_l(u), {}^{u}l se déterminent mutuellement, ~~f_l et g_l~~ par les formules (8) et \text{(9)}\qquad \begin{cases} f_l(u) = l^{-1}\cdot{}^{u}l , & g_l(u) = {}^{u}l\cdot l^{-1} \\ g_l(u) = l\bigl(f_l(u)\bigr) , & f_l(u) = l^{-1}\bigl(g_l(u)\bigr) \end{cases}

On écrira aussi g_u(l), f_u(l) au lieu de g_l(u), f_l(u) — note oblique dans la marge gauche, en face de (8), lecture incertaine

On décrira l'action d'un u \in \Gamma sur un sous-groupoïde plein de \Pi_1(X) à l'aide des éléments f_l(u), ou g_l(u), où l parcourt un syst. de générateurs convenable du groupoïde plein correspondant de \Pi_1(X). Dans le cas d'un seul la phrase se poursuit sur la page suivante

p. 3 de l'auteur sous-groupoïde induit sur une partie finie I de X_K, on pourra trouver un ens fini de tels générateurs — il suffit p.ex. de choisir un x_0 \in I, de choisir pour tout x \in I \setminus x_0 un chemin l_x de x_0 à x, et de plus un syst. fini de générateurs l_i de \pi_1(X,x_0).

trait vertical double dans la marge, le long du paragraphe qui suit Je présume que sous des conditions assez générales (p.ex. si X est une courbe alg. anabélienne) la connaissance de l'opération u sur \widehat{\Pi}_1(X_K, I) pour un (u \in \Gamma) ~~suffit à~~ détermine u — et la question se pose alors de voir comment la connaissance des invariants f_{l_\alpha}(u) (pour un syst. générateur de flèches l_\alpha de \Pi_1(X, I)) dis permet de retrouver les invariants f_l(u) associés à d'autres K-schémas Y…

Quand il s'agit du même schéma X, et qu'on s'intéresse à d'autres chemins l : x \to y (x, y \in I) que les générateurs choisis là, la formule (6) donne en principe un moyen de reconstituer tous les g_l(u) pour tout l, puisqu'il permet de retrouver les {}^{u}l, et que {}^{u}l est multiplicatif en l. En termes des g_l(u), ~~f_l(u),~~ la formule de multiplicativité (6) s'écrit, ~~pour~~ une situation x \xrightarrow{\ l'\ } y \xrightarrow{\ l\ } z \text{(10)}\qquad g_{ll'}(u) = g_l(u)\cdot l\bigl(g_{l'}(u)\bigr) \quad\text{soit}\quad g_u(ll') = g_u(l)\cdot l\bigl(g_u(l')\bigr) le premier membre de (10) est surchargé ; la flèche y \to z est marquée d'un l écrit sur un autre signe

NB pour la , on ne s'intéressera qu'aux x \in X_K qui sont dans I, syst. finis de (6) — note oblique dans la marge gauche, lecture très incertaine

et en termes des f la formule, essent. identique mais d'allure un peu moins sympathique \text{(11)}\qquad f_{ll'}(u) = l'^{-1}\bigl(f_l(u)\bigr)\cdot f_{l'}(u) \quad\text{i.e.}\quad f_u(ll') = l'^{-1}f_u(l)\cdot f_u(l') le second membre de droite porte l^{-1} ou l'^{-1} : l'apostrophe n'est pas sûre

le paragraphe qui suit, jusqu'à « par composition », est barré de trois longs traits obliques ~~La formule (10) peut s'exprimer en disant que pour l fixé, u \in \Gamma variable,~~ \text{(12)}\qquad \text{\struck{$g_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_1(X,y)$}} ~~est un 1-cocycle sur \Gamma, à valeurs dans \widehat{\pi}_1(X,y), relativement à l'action naturelle de \Gamma sur \widehat{\pi}_1(X,y). Bien entendu, les \widehat{\pi}_1(X,y)-torseurs à gauche,~~ ~~sous \Gamma,~~ ~~correspondant à ces 1-cocycles, n'est autre que \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y), sur lequel \widehat{\pi}_1(X,y) = \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(y,y) opère par composition.~~

Pour un composé d'un ~~fini~~ nombre fini composable de chemins x_0 \xrightarrow{\ l_1\ } x_1 \xrightarrow{\ l_2\ } \cdots \; x_{n-1} \xrightarrow{\ l_n\ } x_n la formule (10) prend la forme \text{(12)}\qquad g_{l_n l_{n-1}\cdots l_1}(u) = g_{l_n}(u)\cdot l_n\bigl(g_{l_{n-1}}(u)\bigr)\cdot l_n l_{n-1}\bigl(g_{l_{n-2}}(u)\bigr)\cdots \cdots (l_n\cdots l_2)\,g_{l_1}(u) . le numéro (12) est surchargé — il a pu être corrigé depuis (13) une fois le (12) du passage barré abandonné ; le dernier facteur est ajouté au-dessus de la ligne

Formules les plus ~~évidentes~~ simples possibles assurément de celles qu'on pourrait imaginer qui ont un sens. On ne ~~développera~~ voit comment retrouver que ~~même~~ d'écrire cette formule, ainsi que ~~(11)~~, la formule analogue en f et les formules la phrase se poursuit sur la page suivante

p. 4 de l'auteur (9) de passage de f à g, sous une forme considérablement plus simple.

Soit T un espace topologique ~~simplement~~ 1-connexe, et \text{(13)}\qquad p : T \longrightarrow X une application continue (la conjugaison sera la plus intéressante). Soit T_K = p^{-1}(X_K). ~~Considérons x, y \in T_K~~ ~~\Pi_1(T),~~ les numéros de formules (13) à (17) de cette page sont tous surchargés — il semble qu'il ait renuméroté d'une unité \text{(14)}\qquad \text{\struck{$\Pi_1(X;$}}\ \pi_1(X;T) = \pi alors pour tout x \in T on a un isom canonique \text{(15)}\qquad \varphi_x : \pi \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1\bigl(X,p(x)\bigr) de sorte que les \pi_1(X,p(x)) sont munis d'un syst. transitif d'isom et pour x, y \in T, l'unique flèche de \operatorname{Hom} ou de x à y dans \Pi_1(T) donne une flèche canonique \text{(16)}\qquad l_{y,x} : p(x) \longrightarrow p(y) \quad\text{dans } \Pi_1(X) (NB cette flèche dépend du choix de x, y au-dessus de px, py — mais seulement si p non injective).

On dira que T pour (15), — note oblique dans la marge gauche, en face de (15)

Moyennant les iso (15), on peut considérer dès lors les f_{l_{y,x}}(u) et g_{l_{y,x}}(u) (si x, y \in T_K i.e. p(x), p(y) \in X_K) comme des éléments du même groupe \widehat{\pi} (\widehat{\phantom{x}}), et en fait ces deux éléments sont égaux au et au même élément, soit \text{(17)}\qquad g^{T/X}_{y,x}(u) = g^{p}_{y,x}(u) = \varphi_y^{-1}\bigl(g_{l_{y,x}}(u)\bigr) = \varphi_x^{-1}\bigl(f_{l_{y,x}}(u)\bigr) \qquad \bigl(\in \widehat{\pi},\ \pi = \pi_1(X;T)\bigr) . sous le premier membre de (17), un \cap suivi de « \pi = \pi_1(X;T) » : lu comme l'appartenance à \widehat{\pi}

Les formules (10) (11) se réduisent alors à la formule \text{(18)}\qquad g_{zy}(u)\,g_{yx}(u) = g_{zx}(u) \qquad x,y,z \in T_K le numéro (18) est surchargé ; dans (18)–(20), l'exposant T des g est sous-entendu On a ainsi l'exposant T : g^{T/X}_{yx}, qui est si T \neq … — note oblique dans la marge gauche, en face de (18) la formule (12) à la formule itérée de celle-ci \text{(19)}\qquad g_{x_n,x_0} = g_{x_n,x_{n-1}}\,g_{x_{n-1},x_{n-2}}\cdots g_{x_1,x_0} — quant aux formules de passage (9), elles disparaissent !

Bien entendu, les invariants g_l(u) ou f_l(u) ~~peuvent~~ être considérés comme déduits par des invariants précédents du type g^{T}_{y,x}, en prenant p.ex. T = [0,1], p une application [0,1] \to X ~~définissant~~ définissant un un chemin l (plutôt, à homotopie près de chemins…) de sorte qu'on aura \text{(20)}\qquad f_l(u) = \varphi_x\bigl(g^{T}_{y_0,x_0}(u)\bigr), \qquad g_l(u) = \varphi_y\bigl(g^{T}_{y_0,x_0}(u)\bigr) \text{\struck{$x_0 = 0 \in T$, $y_0$}} \quad x_0 = 0,\ y_0 = 1 \in T = [0,1] . Autre exemple « illuminant » : x_0 \in X_K fixé, et T « l'espace des chemins » d'origine x_0 (\ill{} les y \in X_K, \ill{} « x_0 \to y », \gamma_{y_0} \in \Pi_1(X;x_0)) — note oblique dans la marge gauche, en face de (20), lecture incertaine

~~La relation des 1-cocycles~~ ~~Bien entendu~~ ~~De fait~~ Pour comparer les invariants g^{T}_{x,y} associés à différents espaces 1-connexes au-dessus de X, il suffit de regarder le cas où on a un diag. commut.

\text{(21)}

\begin{tikzcd}[column sep=small] T \arrow[rr, "f"] \arrow[dr, "p"'] & & T' \arrow[dl, "p'"] \\ & X & \end{tikzcd}

d'où f_K : T_K \longrightarrow T'_K , la phrase se poursuit sur la page suivante

p. 5 de l'auteur et un homomorphisme \text{(22)}\qquad \pi = \pi_1(X;T/X) \xrightarrow{\ \psi = \pi_1(f)\ } \pi' = \pi_1(X,T'/X) Ceci dit, si x, y \in T_K, d'où x' = f(x), y' = f(y) \in T'_K, on aura \text{(23)}\qquad g^{T'}_{y',x'}(u) = \psi\bigl(g^{T}_{y,x}(u)\bigr) \bigl(x' = f(x),\ y' = f(y),\ \psi = \pi_1(f)\bigr) Conséquence pratique : supposons X = \bigcup_{\alpha \in A} T_\alpha, les T_\alpha 1-connexes, d'où des ~~fonctions~~ groupes \text{\struck{$g^{\alpha} : T_{\alpha K} \times T_{\alpha K} \to$}} \text{(24)}\qquad \pi_\alpha \overset{\text{déf}}{=} \pi_1(X, T_\alpha) et des fonctions \text{(25)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} T_{\alpha K} \times T_{\alpha K} \times \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_\alpha \\ (x,y,u) \longmapsto g^{T_\alpha}_{y,x}(u) \overset{\text{déf}}{=} g^{\alpha}_{y,x}(u) \end{array} \right. le but de (25) est écrit \pi_\alpha sans chapeau satisfaisant la formule de multiplicativité (19). Pour relier les fonctions entre elles, ~~il faut~~ on ~~considère~~ note que pour T_\alpha \subset T_\beta, on a \text{(26)}\qquad \text{\struck{$\ill{}$}}\ \ \varphi_{\beta\alpha} : \pi_\beta \longrightarrow \pi_\alpha et les relations \text{(27)}\qquad g^{\beta}_{y,x}(u) = \varphi_{\beta\alpha}\bigl(g^{\alpha}_{y,x}(u)\bigr) \qquad x, y \in T_{\alpha K},\ u \in \Gamma \varphi_{\beta\alpha} est écrit \pi_\beta \to \pi_\alpha en (26) mais appliqué à g^{\alpha} pour donner g^{\beta} en (27) : le sens de la flèche ne s'accorde pas, la page le laisse ainsi

Supposons que l'ens d'indices I, muni de la relation d'ordre induite par l'inclusion T_\alpha \subset T_\beta, soit tel que ~~\pi_0(I) \to \pi_0(X) soit bijectif~~ \text{(28)}\qquad \forall \alpha, \beta \in I,\ \ T_\alpha \cap T_\beta = \bigcup_{\gamma \leq \alpha,\beta} T_\gamma sous (28), un « \pi_0(I) \xrightarrow{\sim} \pi_0(X) » est biffé ; la phrase se poursuit sur la page suivante

le haut de la page, jusqu'à « Supposons de plus », est barré de trois traits obliques ~~(cela assure la surjectivité ) que, si T_\alpha, T_\beta sont dans une même comp. connexe de X, il existe une « chaîne » d'~~ \text{\struck{$i_0 = i,\ i_1, \ldots, i_n = j$}} ~~telle que pour deux indices consécutifs k = i_\nu, k' = i_{\nu+1}, on ait T_k \subset T_{k'} ou T_{k'} \subset T_k.~~ Supposons de plus que les intérieurs des T_i recouvrent X, () que les T_i soient je dis que la connaissance des g^{\alpha}_{y,x}(u) \in \widehat{\pi}_\alpha \qquad (\alpha \in A,\ y, x \in T_\alpha) (pour u fixé) permet de retrouver tous les invariants g_l(u) (ou f_l(u)). En effet, il suffit de voir que les flèches l^{\alpha}_{y,x} = p_\alpha(l_{y,x}) (\alpha \in I, x, y \in T_\alpha, p_\alpha : T_\alpha \hookrightarrow X l'inclusion) forment un syst. de générateurs du groupoïde \Pi_1(X_K) — tous les objets seulement sont obtenus en tous cas, et on trouve une application bijective sur les \pi_0 (du groupoïde engendré par les gén. l^{\alpha}_{y,x} (\alpha \in I, x, y \in T_{\alpha K}) et les relations l^{\beta}_{y,x} = \varphi_{\beta\alpha}(l^{\alpha}_{y,x}), et de \Pi_1(X_K)), il faut voir qu'on a une application surjective sur les \pi_1. Quand les intérieurs des ~~T_\alpha~~ T_i recouvrent X, il suffit de noter que la connaissance des g^{\alpha}_{y,x}(u) nous donne les g_{y,x}(u) (sans exposant \alpha !) pour x, y points « voisins » sur X, la phrase se poursuit sur la page suivante

Supposons de plus que les intérieurs des T_\alpha recouvrent X, et que les T_\alpha soient ( A fini). Alors \pi_0(A) \xrightarrow{\sim} \pi_0(X). Mieux — note oblique dans la marge gauche, en haut de page, lecture incertaine

p. 6 de l'auteur et tout chemin effectif x \to y (donné par une appl continue [0,1] \to X) se décompose en composé de chemins « directs » x_0 = x \to x_1 \to x_2 \to \cdots \to x_n = y entre points « proches ». Dans le cas ~~général~~ où les X_\alpha sont fermés, un argument de descente (commode à ignorer dans la première hypothèse) donne le résultat énoncé.

Cette dernière démonstration — l'avantage entre autres de rendre également plausible le résultat un peu plus général, et peut-être plus intéressant dans les pratiques où pour tout \alpha on se donne non vides I_\alpha \subset T_\alpha \quad \text{partie de } T_\alpha \ (\text{\uncertain{non vide}, \uncertain{finie}}), partie finie) de telle façon que pour T_\alpha \subset T_\beta on ait I_\alpha \subset I_\beta (ou plutôt, on peut définir I \subset X_K convenable et poser I_\alpha = I \cap T_\alpha, donc I = \bigcup I_\alpha), on se borne aux g^{\alpha}_{y,x} pour x, y \in I_\alpha : leur connaissance permet de retrouver tous g_l(u), l un chemin quelconque dans

Jusqu'à présent, on a maintenu X, u fixés, on a fait varier l, resp. (T/X, x, y). Si on regarde ce qui se passe pour u \in \Gamma variable, la formule la phrase interrompue (« dans… ») reste en suspens ; un trait horizontal la sépare du paragraphe suivant, qui se poursuit sur la page suivante

note dense en oblique dans la marge gauche, sur la moitié inférieure de la page ; on y lit « \Gamma », « \pi_1(X,I) », « quelque soit », « g_l(u) », « f_l(u) », « x, y \in I », « T_\alpha \cap I », « chemin » ; le reste

essentielle triviale, qui fait pendant à (6), est \text{(28)}\qquad {}^{uv}l = {}^{u}({}^{v}l) \qquad u, v \in \Gamma,\ l : x \to y \ \text{chemin dans } \Pi_1(X) le numéro (28) est surchargé ; il redouble celui de la page précédente ~~d'où~~, si l est chemin de \Pi_1(X), d'où {}^{v}l = g_l(v)\cdot l ~~grâce à (6)~~ d'où on tire par (8) {}^{u}({}^{v}l) = {}^{u}\{g_l(v)\}\cdot\underbrace{{}^{u}l}_{g_l(u)\cdot l} = {}^{u}g_l(v)\,g_l(u)\cdot l d'où on tire \text{(29)}\qquad \left|\begin{array}{l} g_l(uv) = {}^{u}g_l(v)\cdot g_l(u) \quad\text{soit}\\ g_l^{-1}(uv) = g_l^{-1}(u)\cdot{}^{u}g_l^{-1}(v) \end{array}\right. et de même \text{(30)}\qquad f_l(uv) = f_l(u)\cdot{}^{u}f_l(v) i.e. f_l et g_l^{-1} sont, pour l fixé, u variable, des 1-cocycles sur \Gamma à valeurs dans \widehat{\pi}_1(X,x) resp. \widehat{\pi}_1(X,y) (groupes sur lesquels \Gamma opère), d'ailleurs déduits l'un de l'autre par l'isomorphisme \widehat{\pi}_1(X,x) \xrightarrow{\ \pi_1(l)\ } \widehat{\pi}_1(X,y) \quad \text{induit par } l \ldots Ici, c'est la formule pour f_l qui a une gueule plus sympathique que celle pour g_l (pour (10) (11) c'était l'inverse — « multiplicativité en l »). Les 1-cocycles obtenus (à f des 1-cocycles droits, g des 1-cocycles à gauche) correspondent à des \Gamma-torseurs à droite resp. à gauche sous \widehat{\pi}_1(X,x) resp. \widehat{\pi}_1(X,y), qui bien sûr n'est autre que \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y) la phrase se poursuit sur la page suivante

On pourrait expliquer les deux (f_l, g_l) « bicocycle » \Gamma à valeurs dans \bigl(\widehat{\pi}_1(X,y), \widehat{\pi}_1(X,x)\bigr) — note oblique dans la marge gauche, en face de (30), lecture incertaine

p. 7 de l'auteur dont l est justement un élément jouant le rôle d'un « élément origine », pour en déduire des 1-cocycles…

le paragraphe qui suit, jusqu'à « pour x_0 fixé », est barré de quatre traits obliques ~~Le théorème de Mordell-Weil implique que si K est un corps de type fini sur \mathbb{Q}, et si X peut se plonger dans un~~ ~~VA,~~ ~~groupes algébriques ext. d'une VA par un tore, alors pour x_0 fixé,~~

Si on garde x, y, et qu'on remplace l par un l' : x \to y, alors ~~les~~ on aura l' = la = bl \qquad a \in \pi_1(X,x),\ b \in \pi_1(X,y) et on aura, en vertu de (10) (11) \text{(31)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} f_{l'}(u) = \operatorname{int}(a^{-1})\,f_l(u)\,\underbrace{f_a(u)}_{a^{-1}\cdot{}^{u}a} = a^{-1}\cdot f_l(u)\cdot{}^{u}a \\[1ex] g_{l'}(u) = \underbrace{g_b(u)}_{{}^{u}b\cdot b^{-1}}\,\operatorname{int}(b)\,g_l(u) = {}^{u}b\,g_l(u)\,b^{-1} \end{array} \right. \bigl(\text{i.e.}\ \ g^{-1}_{l'}(u) = b\,g^{-1}_l(u)\,{}^{u}b^{-1}\bigr) sous le g_l(u) de la deuxième ligne, une accolade avec une expression biffée i.e. f_{l'} est un 1-cocycle à droite homologue à f_l, g_{l'} un 1-cocycle homologue à g_l. Ainsi, pour x, y \in X_K, on trouve des éléments \text{(32)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} g_{y,x} \in H^1\bigl(\Gamma, \widehat{\pi}_1(X,y)\bigr) \\ f_{y,x} \in H^1_{\mathrm{dr}}\bigl(\Gamma, \widehat{\pi}_1(X,x)\bigr) \end{array} \right. le numéro (32) se lit dans la note marginale, non devant la formule ; sous le H^1 de la première ligne, un signe effacé qui sont « associés » en un sens convenable, via les bijections canoniques \widehat{\pi}_1(X,x) \xrightarrow[\text{ext}]{\ \text{isom}\ } \widehat{\pi}_1(Y,y) on lit \widehat{\pi}_1(Y,y) ; on attendrait \widehat{\pi}_1(X,y)

Les f_l(u), g_l(u) se déduisent l' \widehat{\Pi}_1 x, y \in X_K de la formule (31) \widehat{\pi}_1(X). définition des classes de (32) de — longue note oblique dans la marge gauche, sur la moitié inférieure de la page ; presque tout

toute la structure étant décrite commodément en termes du bitorseur \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y) sous \bigl(\widehat{\pi}_1(X,y), \widehat{\pi}_1(X,x)\bigr) et l'opération de \Gamma sur tout ce fourbis. On se rappellera seulement que f_{y,x} et g_{y,x} se déterminent mutuellement, et qu'ils sont déterminés par la connaissance d'un seul ~~f_l : \Gamma \to \widehat{\pi}_1(X,x)~~ ~~(i.e. f_l(u)~~ f_l, ou g_l \text{(33)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} f_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_1(X,x) \\ g_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_1(Y,y) \end{array} \right. \qquad l : x \to y \ \ (\text{dans } \Pi_1(X)) (si on a un un T^{\alpha} 1-connexe \subset X, contenant x, y) ils sont connus quand on connaît seulement g^{T^{\alpha}}_{x,y}.

NB f_{x,y} et f_{y,x}, et g_{x,y} et g_{y,x}, se déterminent mutuellement, p.ex. l^{-1} (34) g_{l^{-1}}(u) = f_l(u)^{-1}, f_{l^{-1}}(u) = g_l(u)^{-1} — note oblique dans la marge gauche, lecture incertaine

Quand X se plonge dans une VA, ou plus généralement s'il se plonge dans une extension d'une VA par un tore (p.ex. X courbe alg. « anabélienne »), alors le th. de Mordell-Weil implique que pour un x_0 \in X_K fixé ( — mais en x_0 varié pour une bien !) la fin de la page est mal lisible ; la phrase principale se poursuit sur la page suivante (« un point x \in X_K est entièrement déterminé… »)

p. 8 de l'auteur un point x \in X_K est entièrement déterminé par la connaissance de f_{x_0,x} f_{x_0,x} \in H^1_{\mathrm{dr}}\bigl(\Gamma, \underbrace{\widehat{\pi}_1(X,x_0)}_{\widehat{\pi}(x_0)}\bigr), et a fortiori par la connaissance du 1-cocycle f_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}(x_0) pour un seul l : x_0 \to x — ou ce qui revient au même, par la connaissance de g^{-1}_{l^{-1}} \in H^1_g\bigl(\Gamma, \widehat{\pi}_1(x_0)\bigr), où l^{-1} : x \to x_0. f_l = (g_{l^{-1}})^{-1} dans f_l : \Gamma \to \widehat{\pi}(x_0), un indice est surchargé sur le \pi ; dans g^{-1}_{l^{-1}}, l'indice est écrit sur un autre

La détermination « explicite » d'une f_l — ~~d'une g_l^{-1}~~ (qui caractérise donc x dans le cas envisagé) est un pb très intéressant, et sûrement profond. Comme le groupe \Gamma lui-même est loin d'être connu et à la main, il faut préciser d'ailleurs ce qu'on peut bien prendre pour une « détermination » (tout à fait explicite !) de f_l. Pour ceci, il faut sûrement considérer que u \in \Gamma est repéré par les invariants f_{l_j}(u) \in \widehat{\pi}_1(x_j) ou g_{l_j}(u) \in \widehat{\pi}_1(y_j), associés aux lacets l_j : x_j \to y_j d'un système fini de générateurs du groupoïde \Pi_1(X, I) (j \in J, un indice pour les flèches génératrices, x_j, y_j \in I), la phrase, et l'argument, se poursuivent au-delà de ce lot