Cote n° 142, pages 61–80

Cote n° 142 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

61la page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient de la page précédente, hors de ce lot ; les numéros de formules (41)–(45) et les notations $\widetilde{\Sigma}$, $\Pi_{0,3}$, $\Psi$, $\varphi_r$ y renvoient

En haut à gauche, une sphère : pôle nord $P_+$, pôle sud $P_-$ ; sur l'équateur, de gauche à droite, $Q_1$, $R_0^-$, $R_0^+$, $Q_\infty$, $R_1^-$ ; deux petits cercles sur l'équateur, l'un entre $R_0^-$ et $R_0^+$ (avec $S_0^+$ au-dessus, $S_0^-$ au-dessous), l'autre près de $R_1^-$ (avec $S_1^+$) ; des méridiens joignent $P_+$ à $P_-$ ; un fuseau hachuré sous $P_+$, marqué d'une flèche circulaire d'orientation.

correspondant, sur la sphère standard, à la région circulaire, délimitée par le contour \[ P_+\,Q_1\,R_0^-\,S_0^+\,R_0^+\,S_0^-\,P_-\,Q_\infty\,R_1^-\,S_1^+\,P_+ . \] le $S_0^+$ du contour est écrit sur une autre lettre Les régions $\widetilde{\Sigma}_r$ sont permutées de façon simplement transitive par $\Gamma = \mathfrak{S}_3 \times (1,\tau)$. Elles sont simplement connexes, et permettent donc de définir des \[ \Pi_r = \Pi_i^{\omega,\varepsilon} = \pi_1(\widetilde{\Sigma};\widetilde{\Sigma}_r) = \pi_1(\Sigma^{*};\Sigma^{*}_r) \] numéro de formule surchargé devant cette ligne, illisible ; l'exposant $\omega,\varepsilon$ pourrait aussi se lire $\omega,i$, comme en (42) et des iso groupes mais qui sont reliés par un syst. transitif d'iso. à l'aide des opérations de $\Gamma$, de sorte qu'on peut identifier tous ces groupes entre eux. En fait, on trouve des isom. d'épinglage \[ \text{(42)}\qquad \Psi_r : \Pi_{0,3} \longrightarrow \Pi_r = \Pi_i^{\omega,i} = \pi_1(\widetilde{\Sigma};\widetilde{\Sigma}_r) \] ($\Psi_r$ […]) en identi en composant

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\begin{tikzcd}
\Pi_{0,3} \arrow[r, "\Psi_r = \Psi_\varepsilon^{\omega,i}"] & \pi_1(\widetilde{\Sigma},P_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*},P_\varepsilon) \arrow[r, leftrightarrow, "\varphi_r^{-1}"] & \Pi_r
\end{tikzcd}

la flèche $\varphi_r^{-1}$ porte une pointe à chaque bout ; l'isomorphisme $\simeq \pi_1(\Sigma^{*},P_\varepsilon)$ est écrit sous le terme du milieu

où $\varphi$ $\varphi_r : \Pi_r \to \Pi_\varepsilon = \pi_1(\widetilde{\Sigma},P_\varepsilon)$ est la l'isomorphisme de transition « correspondant » à la région 1-connexe $\Sigma_r$, et au point $P_\varepsilon$ de $\Sigma_r$.

62p. 12 de l'auteur La donnée d'un $R_i^{\omega}$les indices de ce premier $R$ sont surchargés ; lu d'après la suite, ⌜qu'on va écrire $R^{\omega}_{\omega i}$, équivalant à⌝ celle d'une région ⌜($r \neq (i,\omega)$)⌝ de $J$, etla relation $r \neq (i,\omega)$, écrite au-dessus de la ligne, est douteuse définit deux triang régions $\widetilde{D}_r$ qui le contiennent, correspondant aux deux régions de ($J$, […]) qui prolongent $r$ — et il y a donc deux régions correspondantes $\widetilde{\Sigma}_r$, qui sont les seules qui contiennent $R_i^{\omega}$ comme point intérieur (NB. dans la région $\widetilde{\Sigma}_r$ standard, les deux autres points $R$ : par $R_0^+$, qui est intérieur, sont $R_0^-$ et $R_1^-$, qui ne le sont pas). Mais si la sphère $\Sigma$ est orientée i.e. si on s'est donné un élément marqué ⌜$\varpi_+$⌝ de $\underline{\varpi} = \underline{\omega} \wedge \underline{\varepsilon}$, on aura un isom $\underline{\omega} \simeq \underline{\varepsilon}$, donc le point $R_i^{\omega}$ détermine un $\varepsilon$ ⌜$\in \underline{\varepsilon}$⌝ privilégié, par la condition que $\varepsilon$ corresponde à $\omega$ par $\underline{\omega} \simeq \underline{\varepsilon}$, ou encore que $\omega \wedge \varepsilon = \varpi_+$, ce qui signifie aussi que l'orientation $P_+S_0^+R_0^+Q_\infty P_+$ de la région $\widetilde{\Sigma}$ $\widetilde{D}_r$ est […] $\varpi_+$. Donc on peut alors identifier canoniquement, via $\Psi_r$, $\pi_1(\widetilde{\Sigma},R_i^{\omega})$ à $\Pi_{0,3}$, par un iso (qui dépend du choix de l'orientation $\varpi_+$ de $\Sigma$) \[ \text{(43)}\qquad \Psi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma},R_i^{\omega}) \]

63de sorte qu'on aura compatibilité ⌜une compatibilité⌝ des

\[\text{(44)}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
& \Pi_{0,3} \arrow[dl, "\Psi_i^{\omega}"'] \arrow[d, "\Psi_i^{\omega}"] \arrow[dr, "\Psi_\omega^{i}"] & \\
\pi_1(\widetilde{\Sigma},R^{\omega}_{\omega i}) \arrow[r, leftrightarrow, "b_i^{\omega'}(\cdot)"'] & \pi_1(\widetilde{\Sigma},Q_i) \arrow[r, leftrightarrow, "\varphi_{i\omega} = c_i^{\omega}(\cdot)"'] & \pi_1(\widetilde{\Sigma},P_\omega) \\
& = \Pi_i & = \Pi_\omega
\end{tikzcd}

la flèche de gauche est tracée deux fois, sur un $\Pi_{0,3}$ biffé ; l'indice de l'étiquette de la flèche verticale est corrigé en $i$

où on a écrit $P_\omega$ au lieu de $P_\varepsilon$ (en identifiant $\underline{\omega}$ et $\underline{\varepsilon}$ grâce à $\varpi_+$) et $\Psi_i^{\omega}$ au lieu de $\Psi_i^{\omega,\omega}$, $\Psi_\omega^{i}$ au lieu de $\Psi_\omega^{i,\omega}$.

Le passage à expliciter est celui de $R_{\omega i}$ \[ \Pi_i^{\omega} = \pi_1(\widetilde{\Sigma},R^{\omega}_{\omega i}) \quad\text{à}\quad \Pi_i^{\omega'} = \pi_1(\widetilde{\Sigma},R^{\omega'}_{\omega' i}), \] chacun identifié à $\Pi_{0,3}$ par $\Psi_i^{\omega}$, resp. $\Psi_i^{\omega'}$écrit sous chaque terme : une flèche verticale $\uparrow\wr$ marquée $\Psi_i^{\omega}$, resp. $\Psi_i^{\omega'}$, issue de $\Pi_{0,3}$, ⌜via $\widetilde{b}_{i\omega}$.⌝ On trouve par la commutativité (44) et par la deuxième formule (39) qu'on a

En marge gauche : deux petits cercles, aux points $R^{\omega}_{\omega i}$ et $R^{\omega'}_{\omega' i}$, joints par un chemin fléché $\widetilde{b}_i^{\omega}$ qui passe par $Q_i$.

\[ \text{(45)}\qquad \widetilde{b}_i^{\omega}\bigl(\Psi_i^{\omega}(x)\bigr) = \Psi_i^{\omega'}\bigl(\sigma_\infty(x)\bigr) . \] devant (45), un $\widetilde{b}_{\omega i}$ biffé

Généralités sur les actions de groupes de Galois sur les compactifiés profinis de groupoïdes fondamentaux de variétés alg. complexes

titre de sa main, sur le feuillet de couverture (p. 65), avec au crayon « (38 pages) »

66p. 1 de l'auteur Soit $K$ un sous-corps du corps des complexes $\mathbb{C}$ — des cas intéressants seront celui où $K = \mathbb{Q}$, ou $K$ extension finie de $\mathbb{Q}$, ou $K = \widetilde{\mathbb{Q}}$ extension algébrique maximale de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{C}$ — je serai intéressé en tous cas avant tout dans cas où $K$ est de t.f. sur $\mathbb{Q}$. (Le cas de $\widetilde{\mathbb{Q}}$ est un cas « limite » de tels cas, pour ne pas être gêné par les racines de 1…).

On s'intéresse aux schémas $X$ de t.f. sur $K$, et aux espaces ⌜analytiques⌝ $X(\mathbb{C})$ correspondants. Comme on s'intéresse aux invariants « topologiques » de $X$, $X(\mathbb{C})$, on traitera les morphismes $X' \to X$ qui sont des homéomorphismes universels comme des iso — en particulier les éléments nilpotents ne comptent pas — une immersion fermée surjective sera traitée comme un iso.

Un langage commode est de considérer $X$ comme donné par l'espace analytique (ou même seulement topologique) $X(\mathbb{C})$, plus une structure supplémentaire dessus : la structure de « var. alg. sur $K$ » ; à savoir la top. de Zariski, le faisceau des fonctions $K$-polynomiales etc. On écrira par la suite $X$ au lieu de $X(\mathbb{C})$.

On distingue sur $X$ le groupoïde fondamental $\Pi_1(X)$ au sens topologique, et son compactifié profini $\widehat{\Pi}_1(X)$, qui est aussi ⌜peut⌝ aussi être défini directement en termes du $\mathbb{C}$-schéma $X$. On a un foncteur « d'inclusion »

67\[ \text{(1)}\qquad \Pi_1(X) \longrightarrow \widehat{\Pi}_1(X) \] qui induit une bijection sur les ensembles des objets ⌜(ou « sommets »)⌝ — s'identifiant à $X = X(\mathbb{C})$ — et qui défi pour tout $x \in X = X(\mathbb{C})$, donne l'homom de groupes \[ \text{(2)}\qquad \underbrace{\operatorname{Aut}_{\Pi_1(X)}(x)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \pi_1(X,x)} \longrightarrow \underbrace{\operatorname{Aut}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \widehat{\pi}_1(X_{\mathrm{sch}},x)} \] permettant d'identifier le $\pi_1$ schématique au compactifié profini du $\pi_1$ « topologique » ou « transcendant » : \[ \text{(3)}\qquad \pi_1(X_{\mathrm{sch}},x) \simeq \widehat{\pi}_1(X,x) . \] De même, ⌜grâce à (3)⌝, pour $x,y \in X$, l'application \[ \operatorname{Hom}_{\Pi_1(X)}(x,y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y) \] permet d'identifier le deuxième ens, en tant que bitorseur sous $\bigl(\widehat{\pi}_1(X,y),\widehat{\pi}_1(X,x)\bigr)$, au bitorseur déduit Hom du premier ens par extension des groupes d'opérateurs par \[ \pi_1(X,y) \to \widehat{\pi}_1(X,y), \qquad \pi_1(X,x) \to \widehat{\pi}_1(X,x) \] ([…] compte d'homomorphismes satisfaisant à la condition ⌜bien⌝ connue requise pour que cette extension ait un sens…).

[…] — note écrite en oblique dans la marge gauche, près de la formule (3) ; on y lit « On identifiera… », $\Pi_1$, $(x,y)$, (9) […] — seconde note oblique en bas de la marge gauche, avec une flèche vers le texte ; on y lit $(G,H)$, $(G',H')$, $G \to G'$, $H \to H'$

Soit \[ \text{(5)}\qquad \Gamma = \Gamma_K \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Aut}_{K\text{-cat}}(\mathbb{C}), \] l'indice d'un premier $\Gamma$ est biffé ; aucune formule (4) n'est numérotée sur la page

68p. 2 de l'auteur dont $\Gamma$ opère non seulement sur $X$ l'ens. $X$, mais aussi sur le groupoïde $\widehat{\Pi}_1(X)$, à cause du fait que celui-ci admet une définition purement schématique, ne faisant pas intervenir la topologie de $\mathbb{C}$. Bien entendu, si $\lambda : x \to y$ dans $\Pi_1$, alors pour $u \in \Gamma$, $u(\lambda)$ n'est pas en général une flèche de $\Pi_1$ (de $u(x)$ vers $u(y)$) mais seulement de $\widehat{\Pi}_1$.

Notation Notations ${}^{u}x$ ($x \in X$, $u \in \Gamma$) et \[ {}^{u}\lambda : {}^{u}x \longrightarrow {}^{u}y \quad\text{si}\quad \lambda : x \to y \ \ (\text{dans } \widehat{\Pi}_1(X)) . \] On a \[ \text{(6)}\qquad \begin{cases} u(\mathrm{id}_x) = \mathrm{id}_{{}^{u}x} & (x \in X)\\ u(\mu\lambda) = {}^{u}\mu\,{}^{u}\lambda & \Bigl(\begin{array}{l} x \xrightarrow{\lambda} y \xrightarrow{\mu} z \\ {}^{u}x \xrightarrow{{}^{u}\lambda} {}^{u}y \xrightarrow{{}^{u}\mu} {}^{u}z \end{array}\Bigr) \end{cases} \]

Notre objet est d'essayer de « déterminer » autant que faire se peut cette action de $\Gamma$. À vrai dire, si $\overline{K}$ est la clôture algébrique de $K$ dans $\mathbb{C}$, on s'intéressera surtout aux sous-groupoïdes de $\Pi_1(X)$ et $\widehat{\Pi}_1(X)$ induits sur l'ens d'objets $X_{\overline{K}}$, qu'on désignera par $\Pi_1(X_{\overline{K}})$, $\widehat{\Pi}_1(X_{\overline{K}})$ — le deuxième est stable par l'action de $\Gamma$, et si on pose \[ \text{(7)}\qquad \overline{\Gamma} = \operatorname{Aut}_{K\text{-cat}}(\overline{K}) = \operatorname{Gal}_{\overline{K}/K} , \] de sorte que $\overline{\Gamma}$ est un quotient de $\Gamma$, l'action de $\Gamma$ sur $\Pi_1(X_{\overline{K}})$ se fait à travers $\overline{\Gamma}$. la barre sur le $\Gamma$ de (7) et sur celui de la dernière ligne est peu marquée ; l'action porte sur $\widehat{\Pi}_1(X_{\overline{K}})$ d'après ce qui précède, mais la page écrit ici $\Pi_1(X_{\overline{K}})$ sans chapeau

69Pour décrire les actions d'un $u \in \overline{\Gamma}$ (resp. $u \in \Gamma$) sur $\widehat{\Pi}_1(X)$ (resp. $\Pi$ $\widehat{\Pi}_1(X_{\overline{K}})$), on prendra comme « générateurs » du groupoïde $\widehat{\Pi}_1$ des chemins provenant de $\Pi_1$. On aura, pour $l : x \to y$ dans $\Pi_1$, ${}^{u}l : {}^{u}x \to {}^{u}y$. Si […] par la suite, pour simplifier, on se borne à des points $x, y, \ldots$ rationnels sur $K$ — i.e. qu'on travaille dans le sous-groupoïde $\widehat{\Pi}_1(X_K)$ formé des objets qui sont invariants sous $\Gamma$ — alors on aura \[ \text{(*)}\qquad {}^{u}l : {}^{u}x = x \longrightarrow {}^{u}y = y , \] et on peut écrire, […]… \[ \text{(8)}\qquad \begin{cases} {}^{u}l = g_l(u)\circ l = l \circ f_l(u) \\ g_l(u) \in \widehat{\pi}_1(X,y) \\ f_l(u) \in \widehat{\pi}_1(X,x) \end{cases} \] à droite de la première ligne, un « $g_l(u) = {}^{u}l \circ l^{-1}$ » est biffé où $f_l(u)$, $g_l(u)$, ${}^{u}l$ se déterminent mutuellement, $f_l$ et $g_l$ par les formules (8) et \[ \text{(9)}\qquad \begin{cases} f_l(u) = l^{-1}\cdot{}^{u}l , & g_l(u) = {}^{u}l\cdot l^{-1} \\ g_l(u) = l\bigl(f_l(u)\bigr) , & f_l(u) = l^{-1}\bigl(g_l(u)\bigr) \end{cases} \]

On écrira aussi $g_u(l)$, $f_u(l)$ au lieu de $g_l(u)$, $f_l(u)$ — note oblique dans la marge gauche, en face de (8), lecture incertaine

On décrira l'action d'un $u \in \Gamma$ ⌜sur un sous-groupoïde plein de $\Pi_1(X)$⌝ à l'aide des éléments $f_l(u)$, ou $g_l(u)$, ⌜où $l$⌝ parcourt un syst. de générateurs convenable du groupoïde plein correspondant de $\Pi_1(X)$. Dans le cas d'un seul la phrase se poursuit sur la page suivante

70p. 3 de l'auteur sous-groupoïde induit sur une partie finie ⌜$I$⌝ de $X_K$, on pourra trouver un ens fini de tels générateurs — il suffit p.ex. de choisir un […] $x_0 \in I$, de choisir pour tout $x \in I \setminus x_0$ un chemin $l_x$ de $x_0$ à $x$, et de plus un syst. ⌜fini⌝ de générateurs $l_i$ de $\pi_1(X,x_0)$.

trait vertical double dans la marge, le long du paragraphe qui suit Je présume que sous des conditions assez générales (p.ex. si $X$ est une courbe alg. anabélienne) la connaissance de l'opération $u$ sur $\widehat{\Pi}_1(X_K, I)$ ⌜pour un⌝ ($u \in \Gamma$) suffit à détermine $u$ — et la question se pose alors de voir comment la connaissance des invariants $f_{l_\alpha}(u)$ (pour un syst. générateur de flèches $l_\alpha$ de $\Pi_1(X, I)$) ⌜dis⌝ permet de retrouver les invariants $f_l(u)$ associés à d'autres $K$-schémas $Y$…

Quand il s'agit du même schéma $X$, et qu'on s'intéresse à d'autres chemins $l : x \to y$ ($x, y \in I$) que les générateurs choisis là, la formule (6) donne en principe un moyen de reconstituer tous les $g_l(u)$ pour tout $l$, puisqu'il permet de retrouver les ${}^{u}l$, et que ${}^{u}l$ est multiplicatif en $l$. En termes des $g_l(u)$, $f_l(u)$, la formule de multiplicativité (6) s'écrit, pour une situation \[ x \xrightarrow{\ l'\ } y \xrightarrow{\ l\ } z \] \[ \text{(10)}\qquad g_{ll'}(u) = g_l(u)\cdot l\bigl(g_{l'}(u)\bigr) \quad\text{soit}\quad g_u(ll') = g_u(l)\cdot l\bigl(g_u(l')\bigr) \] le premier membre de (10) est surchargé ; la flèche $y \to z$ est marquée d'un $l$ écrit sur un autre signe

NB pour la […], on ne s'intéressera qu'aux $x \in X_K$ qui sont dans $I$, […] syst. […] finis de […] (6) — note oblique dans la marge gauche, lecture très incertaine

71et en termes des $f$ […] la formule, essent. identique mais d'allure un peu moins sympathique \[ \text{(11)}\qquad f_{ll'}(u) = l'^{-1}\bigl(f_l(u)\bigr)\cdot f_{l'}(u) \quad\text{i.e.}\quad f_u(ll') = l'^{-1}f_u(l)\cdot f_u(l') \] le second membre de droite porte $l^{-1}$ ou $l'^{-1}$ : l'apostrophe n'est pas sûre

le paragraphe qui suit, jusqu'à « par composition », est barré de trois longs traits obliques La formule (10) peut s'exprimer en disant que pour $l$ fixé, $u \in \Gamma$ variable, \[ \text{(12)}\qquad \text{\struck{$g_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_1(X,y)$}} \] est un 1-cocycle sur $\Gamma$, à valeurs dans $\widehat{\pi}_1(X,y)$, relativement à l'action naturelle de $\Gamma$ sur $\widehat{\pi}_1(X,y)$. Bien entendu, les $\widehat{\pi}_1(X,y)$-torseurs à gauche, ⌜sous $\Gamma$,⌝ correspondant à ces 1-cocycles, n'est autre que $\operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y)$, sur lequel $\widehat{\pi}_1(X,y) = \operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(y,y)$ opère par composition.

Pour un composé d'un fini nombre fini composable de chemins \[ x_0 \xrightarrow{\ l_1\ } x_1 \xrightarrow{\ l_2\ } \cdots \; x_{n-1} \xrightarrow{\ l_n\ } x_n \] la formule (10) prend la forme \[ \text{(12)}\qquad g_{l_n l_{n-1}\cdots l_1}(u) = g_{l_n}(u)\cdot l_n\bigl(g_{l_{n-1}}(u)\bigr)\cdot l_n l_{n-1}\bigl(g_{l_{n-2}}(u)\bigr)\cdots \] \[ \cdots (l_n\cdots l_2)\,g_{l_1}(u) . \] le numéro (12) est surchargé — il a pu être corrigé depuis (13) une fois le (12) du passage barré abandonné ; le dernier facteur est ajouté au-dessus de la ligne

Formules les plus évidentes ⌜simples⌝ possibles assurément de celles qu'on pourrait imaginer qui ont un sens. On ne développera ⌜voit⌝ comment retrouver que même d'écrire cette formule, ainsi que (11), la formule analogue en $f$ et les formules la phrase se poursuit sur la page suivante

72p. 4 de l'auteur (9) de passage de $f$ à $g$, sous une forme considérablement plus simple.

Soit $T$ un espace topologique simplement 1-connexe, et \[ \text{(13)}\qquad p : T \longrightarrow X \] une application continue ⌜(la conjugaison sera la plus intéressante)⌝. Soit $T_K = p^{-1}(X_K)$. Considérons $x, y \in T_K$ $\Pi_1(T)$, […] les numéros de formules (13) à (17) de cette page sont tous surchargés — il semble qu'il ait renuméroté d'une unité \[ \text{(14)}\qquad \text{\struck{$\Pi_1(X;$}}\ \pi_1(X;T) = \pi \] alors pour tout $x \in T$ on a un isom canonique \[ \text{(15)}\qquad \varphi_x : \pi \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1\bigl(X,p(x)\bigr) \] ⌜de sorte que les $\pi_1(X,p(x))$ sont munis d'un syst. transitif d'isom⌝ et pour $x, y \in T$, l'unique […] ⌜flèche⌝ de $\operatorname{Hom}$ ⌜ou […]⌝ de $x$ à $y$ dans $\Pi_1(T)$ donne une flèche canonique \[ \text{(16)}\qquad l_{y,x} : p(x) \longrightarrow p(y) \quad\text{dans } \Pi_1(X) \] (NB cette flèche dépend du choix de $x, y$ au-dessus de $px$, $py$ — mais seulement si $p$ non injective).

On dira que $T$ […] pour […] (15), […] — note oblique dans la marge gauche, en face de (15)

Moyennant les iso (15), on peut considérer ⌜dès lors⌝ les $f_{l_{y,x}}(u)$ et $g_{l_{y,x}}(u)$ (si $x, y \in T_K$ i.e. $p(x), p(y) \in X_K$) comme des éléments du même groupe $\widehat{\pi}$ ⌜($\widehat{\phantom{x}}$)⌝, […] et en fait ces deux éléments sont égaux au […] et au même élément, soit \[ \text{(17)}\qquad g^{T/X}_{y,x}(u) = g^{p}_{y,x}(u) = \varphi_y^{-1}\bigl(g_{l_{y,x}}(u)\bigr) = \varphi_x^{-1}\bigl(f_{l_{y,x}}(u)\bigr) \qquad \bigl(\in \widehat{\pi},\ \pi = \pi_1(X;T)\bigr) . \] sous le premier membre de (17), un $\cap$ suivi de « $\pi = \pi_1(X;T)$ » : lu comme l'appartenance à $\widehat{\pi}$

73Les formules (10) (11) se réduisent alors à la formule \[ \text{(18)}\qquad g_{zy}(u)\,g_{yx}(u) = g_{zx}(u) \qquad x,y,z \in T_K \] le numéro (18) est surchargé ; dans (18)–(20), l'exposant $T$ des $g$ est sous-entendu On a ainsi […] l'exposant $T$ : $g^{T/X}_{yx}$, qui est […] si $T \neq$ […]… — note oblique dans la marge gauche, en face de (18) la formule (12) à la formule itérée de celle-ci \[ \text{(19)}\qquad g_{x_n,x_0} = g_{x_n,x_{n-1}}\,g_{x_{n-1},x_{n-2}}\cdots g_{x_1,x_0} \] — quant aux formules de passage (9), elles […] disparaissent !

Bien entendu, les invariants $g_l(u)$ ou $f_l(u)$ peuvent être considérés comme déduits par des invariants précédents du type $g^{T}_{y,x}$, en prenant p.ex. $T = [0,1]$, $p$ une application $[0,1] \to X$ définissant ⌜définissant⌝ un un chemin $l$ (plutôt, à homotopie près de chemins…) de sorte qu'on aura \[ \text{(20)}\qquad f_l(u) = \varphi_x\bigl(g^{T}_{y_0,x_0}(u)\bigr), \qquad g_l(u) = \varphi_y\bigl(g^{T}_{y_0,x_0}(u)\bigr) \] \[ \text{\struck{$x_0 = 0 \in T$, $y_0$}} \quad x_0 = 0,\ y_0 = 1 \in T = [0,1] . \] Autre exemple « illuminant » : $x_0 \in X_K$ fixé, et $T$ « l'espace des chemins » d'origine $x_0$ ($\ill{}$ les $y \in X_K$, $\ill{}$ « $x_0 \to y$ », […] $\gamma_{y_0} \in \Pi_1(X;x_0)$) — note oblique dans la marge gauche, en face de (20), lecture incertaine

La relation des 1-cocycles Bien entendu De fait Pour comparer les invariants $g^{T}_{x,y}$ associés à différents espaces 1-connexes au-dessus de $X$, il suffit de regarder le cas où on a un diag. commut.

\[\text{(21)}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
T \arrow[rr, "f"] \arrow[dr, "p"'] & & T' \arrow[dl, "p'"] \\
& X &
\end{tikzcd}

d'où \[ f_K : T_K \longrightarrow T'_K , \] la phrase se poursuit sur la page suivante

74p. 5 de l'auteur et un homomorphisme \[ \text{(22)}\qquad \pi = \pi_1(X;T/X) \xrightarrow{\ \psi = \pi_1(f)\ } \pi' = \pi_1(X,T'/X) \] Ceci dit, si $x, y \in T_K$, d'où $x' = f(x)$, $y' = f(y) \in T'_K$, on aura \[ \text{(23)}\qquad g^{T'}_{y',x'}(u) = \psi\bigl(g^{T}_{y,x}(u)\bigr) \] \[ \bigl(x' = f(x),\ y' = f(y),\ \psi = \pi_1(f)\bigr) \] Conséquence pratique : supposons $X = \bigcup_{\alpha \in A} T_\alpha$, les $T_\alpha$ 1-connexes, d'où des fonctions ⌜groupes⌝ \[ \text{\struck{$g^{\alpha} : T_{\alpha K} \times T_{\alpha K} \to$}} \] \[ \text{(24)}\qquad \pi_\alpha \overset{\text{déf}}{=} \pi_1(X, T_\alpha) \] et des fonctions \[ \text{(25)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} T_{\alpha K} \times T_{\alpha K} \times \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_\alpha \\ (x,y,u) \longmapsto g^{T_\alpha}_{y,x}(u) \overset{\text{déf}}{=} g^{\alpha}_{y,x}(u) \end{array} \right. \] le but de (25) est écrit $\pi_\alpha$ sans chapeau satisfaisant la formule de multiplicativité (19). Pour relier les fonctions entre elles, il faut on considère ⌜note que⌝ […] pour $T_\alpha \subset T_\beta$, on a \[ \text{(26)}\qquad \text{\struck{$\ill{}$}}\ \ \varphi_{\beta\alpha} : \pi_\beta \longrightarrow \pi_\alpha \] et les relations \[ \text{(27)}\qquad g^{\beta}_{y,x}(u) = \varphi_{\beta\alpha}\bigl(g^{\alpha}_{y,x}(u)\bigr) \qquad x, y \in T_{\alpha K},\ u \in \Gamma \] $\varphi_{\beta\alpha}$ est écrit $\pi_\beta \to \pi_\alpha$ en (26) mais appliqué à $g^{\alpha}$ pour donner $g^{\beta}$ en (27) : le sens de la flèche ne s'accorde pas, la page le laisse ainsi

Supposons que l'ens d'indices $I$, muni de la relation d'ordre induite par l'inclusion $T_\alpha \subset T_\beta$, soit tel que $\pi_0(I) \to \pi_0(X)$ soit bijectif \[ \text{(28)}\qquad \forall \alpha, \beta \in I,\ \ T_\alpha \cap T_\beta = \bigcup_{\gamma \leq \alpha,\beta} T_\gamma \] sous (28), un « $\pi_0(I) \xrightarrow{\sim} \pi_0(X)$ » est biffé ; la phrase se poursuit sur la page suivante

75le haut de la page, jusqu'à « Supposons de plus », est barré de trois traits obliques (cela assure la surjectivité […]) que, si $T_\alpha$, $T_\beta$ sont dans une même comp. connexe de $X$, il existe une « chaîne » d'[…] \[ \text{\struck{$i_0 = i,\ i_1, \ldots, i_n = j$}} \] telle que pour deux indices consécutifs $k = i_\nu$, $k' = i_{\nu+1}$, on ait $T_k \subset T_{k'}$ ou $T_{k'} \subset T_k$. Supposons de plus que les intérieurs des $T_i$ recouvrent $X$, ([…]) ⌜que les $T_i$ soient […]⌝ […] je dis que la connaissance des \[ g^{\alpha}_{y,x}(u) \in \widehat{\pi}_\alpha \qquad (\alpha \in A,\ y, x \in T_\alpha) \] ⌜[…]⌝ (pour $u$ fixé) permet de retrouver tous les invariants $g_l(u)$ (ou $f_l(u)$). En effet, il suffit de voir que les flèches $l^{\alpha}_{y,x} = p_\alpha(l_{y,x})$ ($\alpha \in I$, $x, y \in T_\alpha$, $p_\alpha : T_\alpha \hookrightarrow X$ l'inclusion) […] forment un syst. de générateurs du groupoïde $\Pi_1(X_K)$ — ⌜tous⌝ les objets seulement sont obtenus […] en tous cas, et on trouve une application bijective sur les $\pi_0$ (du groupoïde engendré par les gén. $l^{\alpha}_{y,x}$ ⌜($\alpha \in I$, $x, y \in T_{\alpha K}$)⌝ et les relations $l^{\beta}_{y,x} = \varphi_{\beta\alpha}(l^{\alpha}_{y,x})$, et de $\Pi_1(X_K)$), il faut voir qu'on a une application surjective sur les $\pi_1$. Quand les intérieurs des $T_\alpha$ ⌜$T_i$⌝ recouvrent $X$, il suffit de noter que la connaissance des $g^{\alpha}_{y,x}(u)$ nous donne les $g_{y,x}(u)$ (sans exposant $\alpha$ !) pour $x, y$ points « voisins » sur $X$, la phrase se poursuit sur la page suivante

Supposons de plus que les intérieurs des $T_\alpha$ recouvrent $X$, et que les $T_\alpha$ soient […] ([…] $A$ fini). Alors $\pi_0(A) \xrightarrow{\sim} \pi_0(X)$. Mieux — note oblique dans la marge gauche, en haut de page, lecture incertaine

76p. 6 de l'auteur et tout chemin effectif $x \to y$ (donné par une appl continue $[0,1] \to X$) se décompose en ⌜composé de⌝ chemins ⌜« directs »⌝ $x_0 = x \to x_1 \to x_2 \to \cdots \to x_n = y$ entre […] ⌜points⌝ « proches ». Dans le cas général ⌜où les $X_\alpha$ sont fermés⌝, un argument de descente (commode à ignorer dans la première hypothèse) donne le résultat énoncé.

Cette dernière démonstration — l'avantage ⌜entre autres⌝ de rendre également plausible le résultat un peu plus général, et peut-être plus intéressant dans les pratiques où pour tout $\alpha$ on se donne ⌜non vides⌝ \[ I_\alpha \subset T_\alpha \quad \text{partie de } T_\alpha \ (\text{\uncertain{non vide}, \uncertain{finie}}), \] partie finie) de telle façon que pour $T_\alpha \subset T_\beta$ on ait $I_\alpha \subset I_\beta$ (ou plutôt, on peut définir $I \subset X_K$ convenable et ⌜poser⌝ $I_\alpha = I \cap T_\alpha$, donc $I = \bigcup I_\alpha$), on se borne aux $g^{\alpha}_{y,x}$ pour $x, y \in I_\alpha$ : leur connaissance permet de retrouver tous […] $g_l(u)$, $l$ un chemin quelconque dans

Jusqu'à présent, on a maintenu $X$, $u$ fixés, on a fait varier $l$, resp. $(T/X, x, y)$. Si on regarde ce qui se passe pour $u \in \Gamma$ variable, la formule la phrase interrompue (« dans… ») reste en suspens ; un trait horizontal la sépare du paragraphe suivant, qui se poursuit sur la page suivante

note dense en oblique dans la marge gauche, sur la moitié inférieure de la page ; on y lit « $\Gamma$ », « $\pi_1(X,I)$ », « quelque soit », « $g_l(u)$ », « $f_l(u)$ », « $x, y \in I$ », « $T_\alpha \cap I$ », « chemin » ; le reste […]

77essentielle triviale, qui fait pendant à (6), est \[ \text{(28)}\qquad {}^{uv}l = {}^{u}({}^{v}l) \qquad u, v \in \Gamma,\ l : x \to y \ \text{chemin dans } \Pi_1(X) \] le numéro (28) est surchargé ; il redouble celui de la page précédente d'où, si $l$ est chemin de $\Pi_1(X)$, d'où \[ {}^{v}l = g_l(v)\cdot l \] grâce à (6) d'où on tire par (8) \[ {}^{u}({}^{v}l) = {}^{u}\{g_l(v)\}\cdot\underbrace{{}^{u}l}_{g_l(u)\cdot l} = {}^{u}g_l(v)\,g_l(u)\cdot l \] d'où on tire \[ \text{(29)}\qquad \left|\begin{array}{l} g_l(uv) = {}^{u}g_l(v)\cdot g_l(u) \quad\text{soit}\\ g_l^{-1}(uv) = g_l^{-1}(u)\cdot{}^{u}g_l^{-1}(v) \end{array}\right. \] et de même \[ \text{(30)}\qquad f_l(uv) = f_l(u)\cdot{}^{u}f_l(v) \] i.e. $f_l$ et $g_l^{-1}$ sont, pour $l$ fixé, $u$ variable, des 1-cocycles ⌜sur $\Gamma$⌝ à valeurs dans $\widehat{\pi}_1(X,x)$ resp. $\widehat{\pi}_1(X,y)$ (groupes sur lesquels $\Gamma$ opère), d'ailleurs déduits l'un de l'autre par l'isomorphisme \[ \widehat{\pi}_1(X,x) \xrightarrow{\ \pi_1(l)\ } \widehat{\pi}_1(X,y) \quad \text{induit par } l \ldots \] Ici, c'est la formule pour $f_l$ qui a une gueule plus sympathique que celle pour $g_l$ (pour (10) (11) c'était l'inverse — […] ⌜« multiplicativité en $l$ »⌝). Les 1-cocycles obtenus (à […] ⌜$f$⌝ des 1-cocycles ⌜droits⌝, $g$ des 1-cocycles à gauche) correspondent à des $\Gamma$-torseurs à droite resp. à gauche sous $\widehat{\pi}_1(X,x)$ resp. $\widehat{\pi}_1(X,y)$, qui bien sûr n'est autre que $\operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y)$ la phrase se poursuit sur la page suivante

On pourrait expliquer […] les deux […] $(f_l, g_l)$ […] « bicocycle » […] $\Gamma$ à valeurs dans $\bigl(\widehat{\pi}_1(X,y), \widehat{\pi}_1(X,x)\bigr)$ — note oblique dans la marge gauche, en face de (30), lecture incertaine

78p. 7 de l'auteur dont $l$ est justement un élément jouant le rôle d'un « élément origine », pour en déduire des 1-cocycles…

le paragraphe qui suit, jusqu'à « pour $x_0$ fixé », est barré de quatre traits obliques Le théorème de Mordell-Weil implique que si $K$ est un corps de type fini sur $\mathbb{Q}$, et si $X$ peut se plonger dans un […] ⌜VA, […]⌝ groupes algébriques ext. d'une VA par un tore, alors pour $x_0$ fixé,

Si on garde $x, y$, et qu'on remplace $l$ par un $l' : x \to y$, alors les on aura \[ l' = la = bl \qquad a \in \pi_1(X,x),\ b \in \pi_1(X,y) \] et on aura, en vertu de (10) (11) \[ \text{(31)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} f_{l'}(u) = \operatorname{int}(a^{-1})\,f_l(u)\,\underbrace{f_a(u)}_{a^{-1}\cdot{}^{u}a} = a^{-1}\cdot f_l(u)\cdot{}^{u}a \\[1ex] g_{l'}(u) = \underbrace{g_b(u)}_{{}^{u}b\cdot b^{-1}}\,\operatorname{int}(b)\,g_l(u) = {}^{u}b\,g_l(u)\,b^{-1} \end{array} \right. \] \[ \bigl(\text{i.e.}\ \ g^{-1}_{l'}(u) = b\,g^{-1}_l(u)\,{}^{u}b^{-1}\bigr) \] sous le $g_l(u)$ de la deuxième ligne, une accolade avec une expression biffée i.e. $f_{l'}$ est un 1-cocycle ⌜à droite⌝ homologue à $f_l$, $g_{l'}$ un 1-cocycle homologue à $g_l$. Ainsi, pour $x, y \in X_K$, on trouve des éléments \[ \text{(32)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} g_{y,x} \in H^1\bigl(\Gamma, \widehat{\pi}_1(X,y)\bigr) \\ f_{y,x} \in H^1_{\mathrm{dr}}\bigl(\Gamma, \widehat{\pi}_1(X,x)\bigr) \end{array} \right. \] le numéro (32) se lit dans la note marginale, non devant la formule ; sous le $H^1$ de la première ligne, un signe effacé […] qui sont « associés » en un sens convenable, via les bijections canoniques \[ \widehat{\pi}_1(X,x) \xrightarrow[\text{ext}]{\ \text{isom}\ } \widehat{\pi}_1(Y,y) \] on lit $\widehat{\pi}_1(Y,y)$ ; on attendrait $\widehat{\pi}_1(X,y)$

Les $f_l(u)$, $g_l(u)$ se déduisent […] […] […] $l'$ […] $\widehat{\Pi}_1$ […] $x, y \in X_K$ […] de la formule (31) […] $\widehat{\pi}_1(X)$. […] définition des classes de […] (32) […] de […] — longue note oblique dans la marge gauche, sur la moitié inférieure de la page ; presque tout […]

79toute la structure étant décrite commodément en termes du bitorseur $\operatorname{Hom}_{\widehat{\Pi}_1(X)}(x,y)$ sous $\bigl(\widehat{\pi}_1(X,y), \widehat{\pi}_1(X,x)\bigr)$ et l'opération de $\Gamma$ sur tout ce fourbis. On se rappellera seulement que $f_{y,x}$ et $g_{y,x}$ se déterminent mutuellement, et qu'ils sont déterminés par la connaissance d'un seul $f_l$ : $\Gamma \to \widehat{\pi}_1(X,x)$ (i.e. $f_l(u)$ $f_l$, ou $g_l$ \[ \text{(33)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} f_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_1(X,x) \\ g_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}_1(Y,y) \end{array} \right. \qquad l : x \to y \ \ (\text{dans } \Pi_1(X)) \] (si on a un un $T^{\alpha}$ 1-connexe $\subset X$, contenant $x, y$) ils sont connus quand on connaît seulement $g^{T^{\alpha}}_{x,y}$.

NB $f_{x,y}$ et $f_{y,x}$, et $g_{x,y}$ et $g_{y,x}$, se déterminent mutuellement, p.ex. […] $l^{-1}$ […] (34) $g_{l^{-1}}(u) = f_l(u)^{-1}$, $f_{l^{-1}}(u) = g_l(u)^{-1}$ — note oblique dans la marge gauche, lecture incertaine

Quand $X$ se plonge dans une VA, ou plus généralement s'il se plonge dans une extension d'une VA par un tore (p.ex. $X$ courbe alg. « anabélienne »), alors le th. de Mordell-Weil implique que pour un $x_0 \in X_K$ fixé ([…] — mais en $x_0$ varié pour une […] bien !) la fin de la page est mal lisible ; la phrase principale se poursuit sur la page suivante (« un point $x \in X_K$ est entièrement déterminé… »)

80p. 8 de l'auteur un point $x \in X_K$ est entièrement déterminé par la connaissance de $f_{x_0,x}$ \[ f_{x_0,x} \in H^1_{\mathrm{dr}}\bigl(\Gamma, \underbrace{\widehat{\pi}_1(X,x_0)}_{\widehat{\pi}(x_0)}\bigr), \] et a fortiori par la connaissance du ⌜1-cocycle⌝ \[ f_l : \Gamma \longrightarrow \widehat{\pi}(x_0) \] pour un seul $l : x_0 \to x$ — ou ce qui revient au même, par la connaissance de $g^{-1}_{l^{-1}} \in H^1_g\bigl(\Gamma, \widehat{\pi}_1(x_0)\bigr)$, où $l^{-1} : x \to x_0$. $f_l = (g_{l^{-1}})^{-1}$ dans $f_l : \Gamma \to \widehat{\pi}(x_0)$, un indice est surchargé sur le $\pi$ ; dans $g^{-1}_{l^{-1}}$, l'indice est écrit sur un autre

La détermination « explicite » d'une $f_l$ — d'une $g_l^{-1}$ (qui caractérise donc $x$ dans le cas envisagé) est un pb très intéressant, et sûrement profond. Comme […] le groupe $\Gamma$ lui-même est loin d'être connu et à la main, il faut préciser d'ailleurs ce qu'on peut bien prendre pour une « détermination » (tout à fait explicite !) de $f_l$. Pour ceci, il faut sûrement considérer que $u \in \Gamma$ est repéré par les invariants $f_{l_j}(u) \in \widehat{\pi}_1(x_j)$ ou $g_{l_j}(u) \in \widehat{\pi}_1(y_j)$, associés ⌜aux lacets $l_j : x_j \to y_j$⌝ ⌜d'un⌝ système ⌜fini⌝ de générateurs du groupoïde $\Pi_1(X, I)$ ($j \in J$, un indice pour les flèches génératrices, $x_j, y_j \in I$), la phrase, et l'argument, se poursuivent au-delà de ce lot