Fonds Grothendieck, cote n° 142, pages 1–20

Catégories de Galois-Teichmüller d'un corps alg. clos.

titre de sa main, seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 1), qui sert de chemise aux pages suivantes ; une mention au crayon « 19 pages » figure dans l'angle

p. 1 de sa main Soient X et Y deux surfaces topologiques (connexes pour simplifier) orientées « de type fini » (i.e. déduites de surfaces compactes en enlevant un ens. fini de points). On considère (1)\qquad \mathrm{Hom}_{\mathrm{isot}}(X,Y)=\text{ensemble des composantes connexes} par arcs de l'espace des applications finies étales de X dans Y ~~respectant l'orientation~~. Si f et g sont deux applications finies étales de X dans Y, sont isotopes i.e. alors f et g définissent la ~~même application~~ même flèche de X dans Y dans la cat. isotopique, ssi nous pouvons trouver une application continue homotopie ~~F de X\times I~~ (2)\qquad F\colon X\times I\longrightarrow Y\times I,\qquad I=[0,1] commutant aux projections sur I, et telle que (3)\qquad F(x,0)=(f(x),0),\qquad F(x,1)=(g(x),1)\qquad\forall x\in X . Comme le foncteur Y'\longmapsto Y'\times I des rev. finis étales de Y vers les rev. finis étales de Y\times I est pl. fidèle, on voit qu'il ~~existe~~ pour F donné, il doit exister un rev. fini étale Y' de Y, unique à isom. unique près, et un homéom. (4)\qquad \alpha\colon X\times I\xrightarrow{\ \sim\ }Y'\times I rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd} X\times I \arrow[rr, "\alpha\,\sim"] \arrow[dr, "F"'] & & Y'\times I \arrow[dl, "p\times\mathrm{id}_{I}"] \\ & Y\times I & \end{tikzcd}

diagramme (5) ; en marge : « où p\colon Y'\to Y est la projection »

En d'autres termes, on a f\overset{\text{isot.}}{\sim}g ssi il existe un rev. fini étale (unique à isom. unique près) Y' de Y, de telle façon que l'on ait (6)\qquad f=pf_{0},\qquad g=pg_{0}\qquad (p\colon Y'\to Y\ \text{la projection}), où (7)\qquad f_{0}\colon X\xrightarrow{\ \sim\ }Y',\qquad g_{0}\colon X\xrightarrow{\ \sim\ }Y' sont des homéomorphismes de X sur Y' qui sont isotopes, ou ce qui revient au même, tels que l'on ait (8)\qquad g_{0}=f_{0}\circ u, où (9)\qquad u\colon X\xrightarrow{\ \sim\ }X est un homéom. de X sur lui-même isot. à l'identité. On aura donc, par (6) et (8), g=pg_{0}=p(f_{0}\circ u)=(pf_{0})u=f\circ u . Donc on trouve

Proposition 1. Pour que deux ~~applications~~ morphismes finis étales f,g\colon X\to Y soient isotopes, il faut et suffit qu'ils soient conjugués sous le groupe des automorphismes de X isotopes à l'identité ; i.e. g=fu, avec u comme ci-dessus. les mots « de X isotopes : l'identité » sont répétés à la ligne suivante

Soit une ~~classe~~ d'morphismes finis X\to Y dans la catégorie isotopique (1), peut-on la la phrase se poursuit à la page 5 (« factoriser canoniquement »), non à la page 4

p. 2 de sa main (ce qui est toujours vrai, et ~~dans~~ la notion d'une sous-groupe de \gamma) on est ramené au cas précédent, en remplaçant simplement Y' par Y'\setminus S', où S' est l'ens. fini des pts de ramification pour l'action de \gamma. Si p. ex. Y'=\mathbb{C}^{*}, ou Y'=\mathbb{U}\times\mathbb{U} lecture de \mathbb{U}\times\mathbb{U} incertaine , alors les translations, par des points d'ordre fini, sont isotopes à l'identité, sans être nécessairement égales à l'identité ! Mais on a ceci :

Proposition 2. Soit Y' une surface orientée de t.f. connexe (compacte – un nb fini de pts) anabélienne, i.e. telle que pour toute comp. connexe Y'_{i} de Y', on ait \chi_{!}(Y'_{i})<0 (i.e. on ait 2g_{i}+\nu_{i}\geq 3, où g_{i} est le genre de Y'_{i} et \nu_{i} le nb de trous…). Alors tout automorphisme \gamma d'ordre fini de Y'_{i} qui est isotope à l'identité est l'identité.

Comme \gamma respecte les composantes connexes, on peut supposer Y' connexe. En fait, il suffit que \gamma opère trivialement sur les H_{1} (à coefficients dans \mathbb{Z}, ou dans \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} avec n\geq 3) pour

suite directe de la page 3 ; la page 4 (sa p. 2) fait suite à celle-ci factoriser canoniquement en (10)\qquad X\xrightarrow[\ \sim\ ]{\ f_{0}\ }Y'\xrightarrow{\ p\ }Y où Y' est un rev. étale fini de Y, défini à isom. unique près, et où X\xrightarrow{\sim}Y' est un isom. dans la cat. isotopique — i.e. une classe d'isotopie d'homéomorphismes ? Bien sûr, si on se borne à exiger l'existence seule, la factorisabilité (10) de f est triviale — il suffit de prendre un représentant quelconque de f. ~~Plus~~ Pour préciser la ~~question~~ condition d'unicité, on est amené à se poser la question si pour tout Y-automorphisme \gamma de Y' ~~le qui soit~~ — l'implication (11)\qquad (\gamma f_{0}\sim f_{0})\Longrightarrow\gamma=\mathrm{id}_{Y'}\ ? (Rappel : isot. près !)

Dans cette question, on peut bien sûr supposer f_{0}=\mathrm{id}, donc la question est si un automorphisme \gamma d'ordre fini d'une surface orientée Y' de type fini, qui est isotope à l'identité, est l'identité. La condition supplémentaire, que Y'\to Y est fini étale, signifie aussi, en outre, que \gamma opère via une opération libre de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} (où n est l'ordre de \gamma) — mais on admettant que si \gamma (automorphisme d'ordre fini) n'est pas l'identité, ses pts fixes sont isolés,

que \gamma soit l'identité. Pour le voir, on peut supposer que \gamma laisse invariante une structure de courbe algébrique (de type (g,\nu) anabélienne) sur X. Il suffit que l'on ait 2g+\nu\geq 2lecture du signe et de la borne incertaine, i.e. que X se plonge dans une jacobienne généralisée, ext. d'une VA par un tore, par l'hypothèse homologique que \gamma induit une translation sur cette jacobienne, d'ordre fini de la jacobienne homogène. Il faut donc voir que X plongé dans sa jacobienne n'est stable par aucune translation non nulle, dans le cas anabélien — c'est là un fait bien connu… [Sûrement, il ne doit pas être difficile de trouver une démonstr. directe purement topologique de la proposition précédente…]

Notons maintenant que si Y est une surface top. anabélienne, tout revêtement étale fini l'est aussi. On trouve donc le

Corollaire 1. ~~Proposition 3~~ Soient X, Y ~~deux~~ comme plus haut, Y anabélienne. Alors toute classe isotopique de morphismes finis étales de X dans Y est un torseur à droite sous le groupe A^{\circ}_{X} des automorphismes de X isotopes à l'identité.

Compte tenu de la proposition 1, il reste

pourvu que si f\colon X\to Y fait de X un rev. fini étale de Y et si u\in A^{\circ}_{X} est tel que f=f\circ u, i.e. u est un Y-morphisme, alors u=\mathrm{id}. Mais c'est ce qu'affirme la prop. 2.

Corollaire 2. Les composantes connexes de l'espace des morphismes finis étales X\to Y sont contractiles.

Corollaire 3. ~~L'ens. des \mathrm{Hom}_{\mathrm{ét}}(X,Y) est~~ L'opération à droite étale du groupe de Teichmüller (non orienté) T_{X}=A_{X}/A^{\circ}_{X} sur l'ens. \mathrm{Hom}_{\mathrm{ét}}(X,Y) des « morphismes étales » de X dans Y ~~a des~~ a des stabilisateurs finis : des sous-groupes finis de T_{X} ; plus précisément, le stabilisateur de f s'identifie au ~~groupe~~ groupe des Y-automorphismes du rev. fini étale Y'_{f} défini par f. L'ensemble des orbites de T_{X} opérant sur \mathrm{Hom}_{\mathrm{ét}}(X,Y) est en bij. avec ~~R_{X}(Y)~~ R_{X}(Y), l'ens. des classes d'isom. de revêtements finis étales de Y, homéomorphes à X. [L'ens. des orbites de T^{+}_{X} est en corr. biunivoque avec l'ens. R_{X}(Y)\times\{\pm1\}, le signe + correspondant aux classes de morphismes finis étales X\to Y NB T_{X} \mathrm{Out} \pi_{X} pour s'identifie !! ( profini vécu…) NB cet ens. d'orbites est fini les deux notes marginales sont écrites en biais dans la marge gauche ; la première est en grande partie illisible

p. 4 de sa main qui conservent resp. renversent l'orientation, i.e. \mathrm{Hom}^{+}_{\mathrm{ét}}(X,Y) et \mathrm{Hom}^{-}_{\mathrm{ét}}(X,Y).]

~~Supposons maintenant~~

Scholie. Par la composition induite sur les \mathrm{Hom}^{+}_{\mathrm{ét}}(X,Y), les surfaces topologiques orientées (compactes de t.f. et ) forment une catégorie, la « catégorie topologique orientée des ». ~~La catégorie est équivalente X et Y~~ catégorie-groupoïde des triplets (X,Y,f) des deux surfaces X, Y et de f\in\mathrm{Hom}^{+}_{\mathrm{ét}}(X,Y) et celle des quadruplets (X,Y,Y',f_{0}), où X et Y sont itou, Y' un rev. étale fini de Y, et f_{0} est une donnée d'isotopie entre orientés de X et Y', i.e. f_{0}\in\mathrm{Isom}^{+}_{\mathrm{ét}}(X,Y'). [ d'ailleurs \widehat{\mathrm{Hom}} est …]

Posons maintenant (12)\qquad \widehat{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ét}}(X,Y)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{ét}}(X,Y)\wedge^{T_{X}}\widehat{T}_{X} muni de la topologie d'espace compact compactifié profini Pour la suite, on laisse tomber le + dans les notations — tous les morphismes étales considérés conservant l'orientation. On définit une composition (13)\qquad \begin{cases} \widehat{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ét}}(X,Y)\times\widehat{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ét}}(Y,Z)\longrightarrow\widehat{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ét}}(X,Z)\\ \qquad (u,v)\longmapsto v\circ u \end{cases} continue

satisfaisant à la propriété d'associativité évidente, par prolongement par continuité à partir de l'associativité au niveau des \mathrm{Hom} ~~la construction dans~~ .

Version axiomatique. Mérite d'être fait avec plus de soin ! Une catégorie C est dite « ~~à \mathrm{Hom} profinis~~ : ~~les~~ à groupes d'automorphismes profinis » si pour tout X\in C, \mathrm{Aut}\,X est muni d'une structure de groupe profini, de telle façon que pour u\colon X\to Y dans C, les stabilisateurs dans \mathrm{Aut}_{C}(X)\times\mathrm{Aut}_{C}(Y) des u\in\mathrm{Hom}_{C}(X,Y) ~~opérant par \mathrm{Aut}_{C}(Y) (g,f) u\mapsto guf^{-1},~~ soient des sous-groupes fermés. On munit alors \mathrm{Hom}(X,Y) comme réunion d'orbites sous \mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y) , de la topologie profinie quotient sur les orbites, et de la topologie discrète sur l'ensemble des orbites, de sorte que \mathrm{Hom}(X,Y) devient un espace loc. compact. J' veux que l'application (14)\qquad \begin{cases} \mathrm{Hom}(X,Y)\times\mathrm{Hom}(Y,Z)\longrightarrow\mathrm{Hom}(X,Z)\\ \qquad (u,v)\longmapsto vu \end{cases} soit une application continue. Il suffit de le voir pour u, v fixés, sur le produit d'orbites, que l'application (g,f,g',f')\longmapsto (g'vf'^{-1})\circ(guf^{-1}), \mathrm{Aut}(Y)\times\mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Z)\times\mathrm{Aut}(Y)\longrightarrow\mathrm{Hom}(X,Z)

p. 5 de sa main est continue. Il revient au même que l'application (15)\qquad \mathrm{Aut}(Y)\longrightarrow\mathrm{Hom}(X,Z),\qquad \varphi\longmapsto v\varphi u soit continue.

Considérons ~~alors et~~ le stabilisateur G_{u} de u\in\mathrm{Hom}(X,Y) dans \mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y), G_{u}\subset\mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y),\qquad G_{u}=\{\psi,\varphi \mid \varphi u\psi^{-1}=u \text{ i.e. } \varphi u=u\psi\}, c'est un sous-groupe fermé de \mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y), et l'application composée G_{u}\xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{2}\ }\mathrm{Aut}(Y)\longrightarrow\mathrm{Hom}(X,Z) n'est autre que (\psi,\varphi)\mapsto v\varphi u=vu\psi, qui est donc continue, par construction de la top. de \mathrm{Hom}(X,Z). Donc l'application \mathrm{Aut}(Y)\to\mathrm{Hom}(X,Z) est continue sur l'image H_{u}\subset\mathrm{Aut}(Y) de G_{u} (car la top. de cette image est quotient de celle de G_{u}), donc aussi sur ses translatés \alpha_{i}H_{u} (\alpha_{i}\in\mathrm{Aut}(Y)), grâce à cette image, l'on aura v(\alpha_{i}\varphi)u=v\alpha_{i}u\psi . NB H_{u} est un sous-groupe fermé de \mathrm{Aut}(Y), donc il est ouvert ssi il est d'indice fini… La continuité de (15), donc de (14), est assurée, si on fait l'hypothèse :

(16) (*) Pour toute flèche u\colon X\to Y dans C, l'image dans \mathrm{Aut}_{C}(Y) du groupe G_{u} des couples fixant u est un sous-groupe d'indice fini de \mathrm{Aut}(Y). NB l'hypothèse (16) dit que dans \mathrm{Hom}(X,Y), ~~les~~ les orbites sous \mathrm{Aut}(X) sont ouvertes dans \mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y), et sont réunion finie d'orbites telles…

Soit maintenant C_{0} une catégorie (sans données topologiques préalables sur C_{0}), telle que la satisfasse la condition (*) (condition qui ne fait pas usage des données topologiques). Je dis qu'on peut alors trouver une solution au pb universel C_{0}, par un foncteur de C_{0} dans une catégorie C « essentiellement profinie » devrait suffire [i.e. où les \mathrm{Hom}(X,Y) sont des espaces loc. compacts, les compositions continues pour la topologie, les \mathrm{Aut}_{C}(X) munis de la topologie induite par \mathrm{Hom}(X,X)\times\mathrm{Hom}(X,X) — \mathrm{Aut}(X)\simeq\{(u,v)\mid uv=\mathrm{id},\ vu=\mathrm{id}\} — des groupes profinis, et les orbites des \mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y) dans \mathrm{Hom}_{C}(X,Y) sont ouvertes…], on prend pour \widehat{C}_{0} « complétion profinie » la catégorie ayant les objets de C_{0}, et en prenant (17)\qquad \mathrm{Hom}_{\widehat{C}_{0}}(X,Y)=\mathrm{Hom}_{C_{0}}(X,Y)\wedge^{\mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y)^{\circ}}\bigl(\widehat{\mathrm{Aut}}(X)\times\widehat{\mathrm{Aut}}(Y)\bigr) \simeq\ \mathrm{Hom}_{C_{0}}(X,Y)\wedge^{\mathrm{Aut}(X)}\widehat{\mathrm{Aut}}(X) avec la top. d'espace compact… le signe \simeq est écrit verticalement, sous \mathrm{Hom}_{\widehat{C}_{0}}, avec un « \mathrm{fl} » ou « \mathrm{r} » peu clair au-dessus d'après le composé des morphismes de \widehat{C}_{0} se définit ad hoc (de façon unique, d'ailleurs, en exigeant la continuité de la composition, et qu'elle prolonge celle donnée sur C_{0}). Par construction, tout \widehat{C}_{0}-morphisme

p. 6 de sa main Revenons au cas de la catégorie isotopique des surfaces orientées ~~de t.f.~~ anabéliennes, il lui est donc associé une catégorie « complétée profinie », ~~où les \mathrm{Hom}~~ définis par (12) — où les \widehat{\mathrm{Hom}} sont des esp. topologiques compacts totalement discontinus — en fait, ce sont des espaces loc. compacts dénombrables à l'infini, totalement discontinus, métrisables — toutes les qualités ! (Et pas un pt isolé, pas souvenir…)

Limitons-nous maintenant au cas de surfaces X qui sont munies d'une structure de courbe alg. complexe, compatible avec sa topologie. Alors les morphismes entre telles X, au sens de \widehat{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ét}}, et leur composition, définis ici ne utilisent en fait essentiellement que la topologie des corps des complexes \mathbb{C}. Considérant d' les courbes quasi-projectives sur \mathbb{C} des surfaces topologiques orientées (de t.f.), pouvant en dire des façons purement algébro-géométriques, indépendamment de cette topologie de \mathbb{C}. Par , ). Pour la

(18)\qquad \hat{f}\colon X\longrightarrow Y se factorise en (19)\qquad X\xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \hat{f}_{0}\ }Y'\xrightarrow{\ u\ }Y où u est un C_{0}-morphisme, et \hat{f}_{0} un \widehat{C}_{0}-isomorphisme (NB Y' est un objet C_{0}-isom. à X), et où u est un morphisme de C_{0}. Dans le cas où on sait que, pour toute flèche u\colon Y'\to Y dans C_{0}, \mathrm{Aut}_{Y}(Y')\longrightarrow\mathrm{Aut}(Y')\longrightarrow\mathrm{Aut}(Y')^{\wedge} est injectif, on voit que Y' est déterminé à Y-isomorphisme unique près . Il en résulte ~~plus, pour~~ composons deux morphismes \hat{f} et \hat{g} ainsi, \hat{f}=u\hat{f}_{0} et \hat{g}=v\hat{g}_{0}, (20)\qquad Y\xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \hat{g}_{0}\ }Z'\xrightarrow{\ v\ }Z, et la mettre sous la forme , on applique \hat{g}_{0}\colon Y\xrightarrow{\sim}Z' (un \widehat{C}_{0}-iso.) par \hat{w} NB La factorisation (19) canonique si (C_{0}\to\widehat{C}_{0} sur les \mathrm{Isom} …) Tout \hat{f}_{0} C_{0}-iso limite de \mathrm{Isom}_{\widehat{C}_{0}}(X,Y)\simeq\mathrm{Isom}_{C_{0}}(X,Y)\wedge^{\mathrm{Aut}_{C_{0}}(X)}\widehat{\mathrm{Aut}}_{C_{0}}(X), \mathrm{Aut}_{\widehat{C}_{0}}(X)\simeq\widehat{\mathrm{Aut}}_{C_{0}}(X)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & Y' \arrow[r, "u"] & Y \arrow[dr, "w"] & & \\ X \arrow[r, "\hat{f}_{0}\,\sim"] & Y' \arrow[r, "u"'] \arrow[ur, "\hat{\varphi}^{\prime}"] & Y \arrow[ur, "\hat{\varphi}"] \arrow[rr, "\hat{g}_{0}\,\sim"] & & Z' \arrow[r, "v"'] & Z \end{tikzcd}

diagramme (21) ; la flèche Y\to Z' de la ligne du haut porte une étiquette lue w (il écrit peut-être \hat{w})

(ce qui est possible, puisque \hat{H}_{u} est ouvert dans \widehat{\mathrm{Aut}}_{C_{0}}(Y)) avec \hat{g}_{0}=w\hat{\varphi},\qquad \hat{\varphi}\in\hat{H}_{u}\subset\widehat{\mathrm{Aut}}_{C_{0}}(Y) et en choisissant \hat{\varphi}'\in\widehat{\mathrm{Aut}}(Y') tel qu'on ait \hat{\varphi}u=u\hat{\varphi}', donc on aura (22)\qquad \hat{g}\hat{f}=(v\hat{g}_{0})(u\hat{f}_{0})=(vw\hat{\varphi})(u\hat{f}_{0})=\underbrace{(vwu)}_{\in\,\mathrm{Fl}\,C_{0}}\underbrace{(\hat{\varphi}'\hat{f}_{0})}_{\in\,\mathrm{Fl\,iso.}(\widehat{C}_{0})} NB Il faut expliciter \widehat{C}_{0} morphismes savoir relation de telle façon que — \hat{g}_{0}=w\hat{\varphi} signifie (\hat{\varphi}',\hat{\varphi})\in\hat{G}_{u}, G_{u}\subset\mathrm{Aut}(X)\times\mathrm{Aut}(Y) stabilisateur de u les deux notes marginales sont écrites en biais, serrées, et pour la plupart illisibles

p. 7 de sa main voir, on voit que la description (19) dans \widehat{C}_{0} d'un \widehat{C}_{0}-morphisme (18), Y' est un revêtement (topologique) étale fini, qui provient canoniquement d'un rev. étale fini algébrique, grâce à \hat{f}_{0}, ne prend l'intérieur des points (au « classe de domaines ») comme un « isomorphisme » entre des points à coefficients dans \mathbb{C} d'une multiplicité modulaire convenable, , au sens des groupoïdes fondamentaux de celle-ci. Il en résulte, la description (21), que la composition des morphismes dans \widehat{C}_{0} s'explicite en termes de compositions de morphismes, d'une part dans le groupoïde fondamental de la multiplicité modulaire, d'autre part pour les courbes , étales finis entre courbes pour ces morphismes. La construction de la catégorie « isotopique profinie » des courbes algébriques anabéliennes ad hoc de courbes alg. sur \mathbb{C} , peut d'ailleurs se faire sur un corps alg. clos corps alg. clos k quelconque (pas besoin qu'il soit de car. 0 !), et cette catégorie dépend fonctoriellement de k,

pour les homomorphismes de corps, par des foncteurs, de « changement de base » pour k\to k' ~~essentiellement pl. fidèles~~ des équivalences de cat. [mais ~~essentiellement~~ surjectifs]. (Cela provient d'ailleurs du fait que le groupoïde fondamental de la multiplicité modulaire pertinente, ou d'une courbe alg. sur un corps alg. clos k, ne change pas par extension k\to k' des corps de base, tant que k' alg. clos) ~~pour il y~~ ~~si k'\neq k, des courbes~~ . Mais cela ne signifie pas que tous les courbes alg. sur k' soient isom. à provenant de k !

En particulier, le groupe des automorphismes de k opère sur la catégorie précédente, que j'ai nommée d'ailleurs la catégorie de Teichmüller – Galois associée à k. Les ~~objets~~ classes d'iso. d'objets connexes de cette catégorie sont en corr. 1-1 avec les types (g, v) de courbes anabéliennes ; les groupes d'automorphismes d'un objet sont essentiellement (des compactifiés profinis des groupes des mixtes) des groupes de Teichmüller . la fin de la page, sous « groupes de Teichmüller », est peu lisible ; un mot écrit au-dessus de la ligne, entre « essentiellement » et « des compactifiés », n'a pas été lu

p. 8 de sa main Le fait d'avoir élargi le groupoïde de Teichmüller – Poincaré en la catégorie (qui n'est plus un groupoïde !) de Teichmüller – Galois précédente, est une façon naturelle pour relier entre eux des courbes alg. relatifs à des types numériques (g, v) différents. Une part essentielle du vaste « programme à l'horizon » est la détermination de façon complète cette catégorie par voie « algébrique » (ni transcendante, ni de géométrie algébrique !), avec les opérations de Galois – Teichmüller dessus, tout au moins dans le cas où k=\overline{\mathbb{Q}}, et aussi (dans une certaine mesure) lorsqu'on prend plus k=\overline{K}, K corps de type fini sur \mathbb{Q}, et qu'on se limite aux automorphismes de \overline{K} qui sont des K-automorphismes… (ou \mathbb{Q}). « algébrique » allant plus loin signifiant ici : par des techniques topologiques des surfaces et des groupes profinis… combinatoire (conditions) et de de théorie des des \mathrm{Aut}\,k la note marginale, écrite en biais dans la marge gauche, est très serrée ; sa lecture est en grande partie conjecturale

Dans tout ceci, il reste cependant un type important de ~~homo~~morphismes, entre surfaces top. / complexes entre relatives aux courbes, qui n'a pas été pris en ligne de compte — savoir les morphismes d'inclusion ouverte (23)\qquad X=Y\setminus T\hookrightarrow Y correspondants : une opération de bouchage de trous. Mais on est conséquent, pour élargir la catégorie en conséquence, pour pouvoir comprendre les en l'opération ensemble les morphismes étales finis, et d'inclusion ouverte (type « bouchage de trous ») à envisager des morphismes X\to Y qui s'insèrent dans un diagramme commutatif (24)\qquad \begin{array}{ccc} X & \hookrightarrow & \hat{X}\\ \downarrow & & \downarrow\\ Y & \hookrightarrow & \hat{Y} \end{array} avec \hat{X}\to\hat{Y} fini ramifié, X\to Y lui-même étale. Posant S=\hat{X}\setminus X, T=\hat{Y}\setminus Tsic : sans doute T=\hat{Y}\setminus Y, on sait que (25)\qquad S\supset\hat{X}\,|\,T \hat{X}\,|\,T désigne vraisemblablement l'image inverse de T dans \hat{X} les conditions techniques provenant du fait que l'on est obligé d'admettre que \hat{X}/\hat{Y} puisse avoir des points de ramification affectant non seulement une partie des pts de S qui sont les pts de \hat{X}\,|\,T, mais aussi un des pts de S qui ne sont pas dans \hat{X}\,|\,T. les deux dernières lignes de la page sont serrées et écrites l'une sur l'autre ; leur lecture est incertaine

p. 9 de sa main La notion d'isotopie raisonnable pour des tels morphismes (dans le contexte topologique), se trouve être équivalente : le groupe dans le groupe \mathrm{Aut}^{\circ}(X)\times\mathrm{Aut}^{\circ}(Y) (où \mathrm{Aut}^{\circ}(X) est interprété comme \mathrm{Aut}(\hat{X},S), et \mathrm{Aut}(Y) comme \mathrm{Aut}(\hat{Y},T)). L'ennui, c'est qu'il n'y a plus de factorisation canonique d'un tel morphisme d'isotopie possibles des morphismes X\to Y (dont les éléments (\subset transforment S_{1}=S\setminus S_{0}, où S_{0}=\hat{X}\,|\,T) en des parties variables de Y=\hat{Y}\setminus T) en une ~~suivie~~ classe d'isotopie d'inclusions isomorphisme isotopique ~~suivi~~ ou plutôt type « bouchage de trous » ; suivie d'un morphisme Y'\to Y, où Y' est un morphisme fini topologiquement maintenant non ramifié en dehors des pts de ramification, en dessous des points de Y qui ne sont pas déterminés par la classe seule). Pour cette raison, je ne vois plus comment interpréter une telle classe, ou son image dans un ~~« profini »~~ « complété profini » convenable, en termes de géométrie alg. « abstraite » sur \mathbb{C}, page très corrigée par des insertions interlinéaires ; l'ordre de lecture de la phrase centrale est conjectural

lorsque X et Y sont des courbes algébriques anabéliennes sur \mathbb{C}.

Pourtant, il ~~doit être~~ est possible (tout au moins, sur un corps alg. clos quelconque), de définir un foncteur qui va du groupoïde de Teichmüller des courbes de type (g, v), disons, muni d'un ensemble I de cardinal \nu'\leq\nu de pts marqués ~~dans~~ \to indexés par I, vers le groupoïde de Teichmüller des courbes de type (g,\nu-\nu'), par « bouchage des trous en I », ~~dit~~, si on veut une propriété de transitivité évidente, pour des bouchages de trous successifs. Mais je vois malaisément comment concilier l'inclusion dans une notion commune de « morphisme d'inclusion », qui pourrait se composer avec les morphismes étales dès présent déjà dans la catégorie (pas groupoïde !) de Galois – Teichmüller. À moins d'y la phrase se poursuit à la page 20, où s'achève ce développement

p. 10 de sa main aller comme une source et des définitions une catégorie plus grosse que la cat. de Galois – Teichmüller citée : une de flèches plus gros) par générateurs et relations convenables. Mais alors il devient problématique, quand le corps de base est le corps \mathbb{C} des complexes, d'interpréter cette catégorie de Galois – Teichmüller comme une « complétée profinie » de la catégorie isotopique envisagée plus haut. le développement s'arrête ici, au milieu de la page ; le reste du feuillet est blanc