Cote n° 142 · pages 1–121 · Lecture modernisée · Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–121

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier réunit cinq suites, chacune avec son titre de couverture ou son départ propre ; on les garde distinctes.

• I. Catégories de Galois–Teichmüller (pages 1 à 20, ses pages 1 à 10). La catégorie isotopique des surfaces trouées et des applications finies étales ; sa complétion profinie, d'abord pour les surfaces, puis pour une catégorie quelconque à groupes d'automorphismes profinis ; la catégorie de Teichmüller–Galois d'un corps algébriquement clos et le « programme » ; le problème du bouchage des trous, laissé ouvert. Les feuillets sont dans le désordre : le texte court de la page 3 à la page 5, puis à la page 4, puis à la page 6 ; et, plus loin, de la page 11 à la page 13, et de la page 12 à la page 14.
• II. Opérations de \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) sur \(\pi_1 M_{0,3}\) (pages 21 à 41, ses pages 5 à 23). Ses pages 1 à 4 manquent au dossier, et avec elles les conventions de départ. Sept groupoïdes \(\mathrm{I}\) à \(\mathrm{VII}\), chacun le groupoïde fondamental de la sphère privée de trois points sur un système symétrique de points base ; pour chacun, la description des automorphismes (du complété profini) qui fixent les sommets et commutent aux symétries ; la « relation des lacets ».
• III. La sphère à trois points marqués (pages 43 à 63, ses pages 1 à 12). La même sphère, reprise de façon invariante : géométrie euclidienne, éclatement réel, points base sur les bords, régions simplement connexes, isomorphismes d'« épinglage ».
• IV. Généralités sur les actions de groupes de Galois (pages 65 à 103, ses pages 1 à 18 et une suite). Le formalisme des cocycles \(f_l\), \(g_l\) ; les régions de base \(T\) ; Mordell–Weil ; la réduction à \(U_{0,3}\) par le théorème de Belyi ; un lemme de relèvement pour les revêtements de groupoïdes ; les conditions nécessaires pour qu'un automorphisme provienne de Galois.
• V. Groupoïde fondamental d'une carte trouée (pages 104 à 121). Des pages d'esquisses (105 à 112), puis une suite paginée de sa main de 1 à 7 (pages 113 à 121) : présentations du groupoïde fondamental d'une carte dont sommets, milieux d'arêtes et centres de faces sont percés, et le bouchage des trous.

L'ordre de rédaction de II et III n'est pas sûr. III installe des notations qui semblent préparer II (« je vais réparer cette négligence » en privilégiant les points \(R_i^{\omega}\) voisins des trous, que II utilise d'emblée), mais II a ses propres pages 1 à 4, perdues, et les lettres ne s'y accordent pas entièrement. Même nom, objets différents : en II, \(c_i\) va d'un point \(Q_i\) de l'équateur à un point voisin d'un trou et \(d_i\) d'un pôle à \(Q_i\) ; en III, \(c_i\) va d'un pôle à \(Q_i\) et \(d_i\) d'un pôle à un point \(S_i\) voisin du trou. Les \(\varphi\), \(\psi\) changent de rôle de même. En V, \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) et \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty\) sont les générateurs du groupe cartographique agissant sur les drapeaux d'une carte, sans rapport avec les automorphismes \(\tau_\infty\), \(\rho\) de \(\Pi_{0,3}\) de II et III. Et \(\varepsilon\) désigne en III à la fois un hémisphère (\(\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}\)) et, avec un indice, un élément de \(\widetilde\Pi_{0,3}\) (\(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty\)), comme sur les pages.

Les conventions

Chemins. Les chemins se composent comme des fonctions, de droite à gauche : pour \(l : x \to y\) et \(l' : y \to z\), le composé est \(l' l : x \to z\). Pour un chemin \(c : x \to y\), on note \(c(h) = c\,h\,c^{-1}\) le transport \(\pi(x) \to \pi(y)\) qu'il induit sur les groupes fondamentaux. C'est la convention des pages ; elle impose l'ordre de la relation ci-dessous.

Le groupe de la sphère à trois trous. \(U_{0,3} = \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{0, 1, \infty\}\), \[ \Pi_{0,3} = \pi_1(U_{0,3}) = \langle\, l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \,\rangle , \] libre sur \(l_0, l_1\) ; \(\widehat\Pi_{0,3}\) est son complété profini. C'est l'ordre de la seconde rédaction du dossier 145 (où ce groupe est noté \(\pi\), \(\widehat\pi\))¹ . Les pages 23 et 53–54 fixent un formulaire d'automorphismes de \(\Pi_{0,3}\) : \[ \rho : l_0 \mapsto l_1 \mapsto l_\infty \mapsto l_0, \qquad \sigma_\infty : l_0 \leftrightarrow l_1,\ l_\infty \mapsto l_1^{-1} l_0^{-1} = l_0\, l_\infty\, l_0^{-1}, \] \[ \tilde\sigma_\infty : l_0 \mapsto l_1^{-1},\ l_1 \mapsto l_0^{-1},\ l_\infty \mapsto l_\infty^{-1}, \qquad \tau_\infty = \sigma_\infty\tilde\sigma_\infty = \tilde\sigma_\infty\sigma_\infty : l_0 \mapsto l_0^{-1},\ l_1 \mapsto l_1^{-1},\ l_\infty \mapsto l_0\, l_1 . \] On a vérifié que chacune de ces règles définit bien un automorphisme (la relation \(l_\infty l_1 l_0 = 1\) est respectée) et que \(\sigma_\infty\) et \(\tilde\sigma_\infty\) commutent. \(\rho\) est d'ordre \(3\), \(\sigma_\infty\), \(\tilde\sigma_\infty\), \(\tau_\infty\) d'ordre \(2\). Géométriquement, \(\rho\) est la rotation d'un tiers de tour qui permute \(0 \to 1 \to \infty\), \(\sigma_\infty\) le demi-tour qui échange \(0\) et \(1\), \(\tau_\infty\) la conjugaison complexe et \(\tilde\sigma_\infty\) la réflexion qui échange \(0\) et \(1\), chacune accompagnée d'un chemin qui ramène le point base à lui-même.

Teichmüller. Pour une surface \(X\), \(A_X\) est le groupe de ses homéomorphismes, \(A^{\circ}_X\) le sous-groupe de ceux qui sont isotopes à l'identité, et \(T_X = A_X/A^{\circ}_X\) ce que les pages appellent le « groupe de Teichmüller (non orienté) » — aujourd'hui le groupe modulaire étendu, ou mapping class group étendu ; \(T^{+}_X\) est le sous-groupe d'indice \(2\) des classes qui respectent l'orientation² . Une surface est anabélienne si chacune de ses composantes, de genre \(g\) et à \(\nu\) trous, vérifie \(2g - 2 + \nu > 0\), c'est-à-dire \(\chi < 0\) — aujourd'hui : hyperbolique.

Galois. En IV, le groupe que la page note \(\Gamma\) est noté \(\Gamma_K = \mathrm{Aut}(\mathbb{C}/K)\), pour le distinguer du groupe des symétries de la sphère, noté \(\Gamma_{\Sigma,J}\) en III.

1–20

I. Catégories de Galois–Teichmüller d'un corps algébriquement clos (pages 1 à 20)

La page 1 est une couverture de sa main, qui donne ce titre, avec au crayon « 19 pages ». La suite, paginée de 1 à 10, est un seul essai.

2–8

La catégorie isotopique (pages 2 à 8)

Soient \(X\), \(Y\) deux surfaces topologiques orientées de type fini — des surfaces compactes privées d'un nombre fini de points —, connexes pour simplifier. Une application finie étale \(X \to Y\) est un revêtement fini. On pose \[ (1)\qquad \mathrm{Hom}_{\mathrm{isot}}(X, Y) = \pi_0\bigl(\text{espace des applications finies étales } X \to Y\bigr), \] l'ensemble des composantes connexes par arcs ; deux applications dans la même composante sont dites isotopes. Une isotopie entre \(f\) et \(g\) est une application \(F : X \times I \to Y \times I\) au-dessus de \(I = [0,1]\), finie étale, valant \(f\) en \(0\) et \(g\) en \(1\). Comme \(Y' \mapsto Y' \times I\) est une équivalence entre revêtements finis de \(Y\) et de \(Y \times I\), \(F\) se factorise par un homéomorphisme \(\alpha : X \times I \xrightarrow{\sim} Y' \times I\) suivi de \(p \times \mathrm{id}_I\), pour un revêtement \(p : Y' \to Y\) unique à isomorphisme unique près³ . En d'autres termes, \(f = p f_0\) et \(g = p g_0\) avec \(f_0, g_0 : X \to Y'\) deux homéomorphismes isotopes, donc \(g_0 = f_0 u\) avec \(u \in A^{\circ}_X\), et \(g = f u\). Réciproquement \(f u\) est isotope à \(f\) si \(u\) l'est à l'identité.

Proposition 1. Deux applications finies étales \(f, g : X \to Y\) sont isotopes si et seulement si \(g = f u\) avec \(u \in A^{\circ}_X\).

La page pose alors la question de l'unicité : toute classe d'isotopie se factorise trivialement en un homéomorphisme suivi d'un revêtement, \[ (10)\qquad X \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ f_0\ } Y' \xrightarrow{\ p\ } Y , \] mais cette factorisation est-elle canonique, \(Y'\) étant défini à \(Y\)-isomorphisme unique près ? Il faut pour cela que, pour tout \(Y\)-automorphisme \(\gamma\) de \(Y'\), \[ (11)\qquad \gamma f_0 \simeq f_0 \ (\text{isotopie}) \Longrightarrow \gamma = \mathrm{id}_{Y'} . \] Quitte à prendre \(f_0 = \mathrm{id}\), la question est de savoir si un automorphisme \(\gamma\) d'ordre fini, isotope à l'identité, est l'identité⁴ . Ce n'est pas toujours vrai : sur \(\mathbb{C}^{*}\), ou sur le tore \(S^1 \times S^1\), les translations par des points d'ordre fini sont isotopes à l'identité sans être l'identité⁵ . Mais :

Proposition 2. Soit \(Y'\) une surface orientée de type fini, anabélienne. Tout automorphisme d'ordre fini de \(Y'\) isotope à l'identité est l'identité.

La page indique la voie : on peut supposer \(Y'\) connexe ; il suffit que \(\gamma\) agisse trivialement sur \(H_1(Y', \mathbb{Z})\) ; on peut munir \(Y'\) d'une structure de courbe algébrique invariante par \(\gamma\) ; alors \(Y'\) se plonge dans sa jacobienne généralisée — extension d'une variété abélienne par un tore —, \(\gamma\) y induit une translation, et une courbe anabélienne n'est stable par aucune translation non nulle, « fait bien connu ». Voici un argument complet. Un homéomorphisme d'ordre fini d'une surface préserve une structure conforme (Kerékjártó, Eilenberg) ; on peut donc supposer \(\gamma\) holomorphe sur \(Y' = \overline{Y} \setminus D\), \(\overline{Y}\) compacte de genre \(g\), \(D\) de cardinal \(\nu\), et \(\gamma\) s'étend à \(\overline{Y}\). Isotope à l'identité, \(\gamma\) agit trivialement sur \(H_1(Y', \mathbb{Z})\). Si \(\nu \geq 2\), les classes des petits lacets autour des points de \(D\) sont non nulles et deux à deux distinctes (pour \(\nu = 2\), elles sont opposées), et \(\gamma\) les permute : il fixe donc chaque point de \(D\). Si \(\gamma \neq \mathrm{id}\), ses points fixes sur \(\overline{Y}\) sont isolés et d'indice \(+1\), et la formule de Lefschetz, \(\gamma\) agissant trivialement sur \(H_1(\overline{Y})\), donne \(2 - 2g = \#\mathrm{Fix}(\gamma) \geq \nu\), soit \(2g - 2 + \nu \leq 0\) ; pour \(\nu \leq 1\) elle donne de même \(g \leq 1\), avec \(g = 0\) si \(\nu = 1\). Dans tous les cas la surface n'est pas anabélienne : contradiction⁶ .

Un revêtement fini d'une surface anabélienne est anabélien. D'où :

Corollaire 1. Si \(Y\) est anabélienne, toute classe d'isotopie d'applications finies étales \(X \to Y\) est un torseur à droite sous \(A^{\circ}_X\).

En effet l'action \(f \mapsto f u\) est transitive par la proposition 1, et libre : si \(f u = f\), \(u\) est un automorphisme du revêtement \(X \to Y\), donc d'ordre fini, et isotope à l'identité, donc \(u = \mathrm{id}\) par la proposition 2 appliquée à \(X\).

Corollaire 2. Les composantes connexes de l'espace des applications finies étales \(X \to Y\) sont contractiles.

C'est le corollaire 1 joint à la contractilité de \(A^{\circ}_X\) pour une surface anabélienne⁷ .

Corollaire 3. Le groupe \(T_X\) agit à droite sur \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{ét}}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{isot}}(X, Y)\) avec des stabilisateurs finis : le stabilisateur de la classe de \(f\) s'identifie au groupe des automorphismes du revêtement \(X \to Y\) défini par \(f\). Les orbites sont en bijection avec l'ensemble \(R_X(Y)\) des classes d'isomorphisme de revêtements finis de \(Y\) homéomorphes à \(X\) ; les orbites de \(T^{+}_X\), avec \(R_X(Y) \times \{\pm 1\}\), le signe disant si l'application respecte ou renverse l'orientation. L'ensemble des orbites est fini, \(\pi_1(Y)\) étant de type fini et le degré étant fixé par \(\chi(X) = d\,\chi(Y)\)⁸ .

Scholie. Les surfaces orientées de type fini, avec pour flèches les classes d'isotopie d'applications finies étales qui respectent l'orientation, forment une catégorie. Une flèche équivaut à un triplet \((Y', p, f_0)\) : un revêtement fini \(p : Y' \to Y\) et une classe d'isotopie d'homéomorphismes orientés \(f_0 : X \to Y'\). À partir de là, tous les morphismes considérés respectent l'orientation, et l'on omet le signe \(+\).

8–13

Complétion profinie, et sa version axiomatique (pages 8 à 13)

On pose \[ (12)\qquad \widehat{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ét}}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{ét}}(X, Y) \times^{T_X} \widehat{T}_X , \] produit contracté par le complété profini \(\widehat{T}_X\) de \(T_X\). Comme \(T_X\) a un nombre fini d'orbites, à stabilisateurs finis, c'est une réunion finie d'espaces \(\widehat{T}_X/H\), \(H\) fini : un espace compact totalement discontinu, métrisable, sans point isolé⁹ . La composition s'étend par continuité et reste associative.

Version axiomatique. Une catégorie \(C\) est à groupes d'automorphismes profinis si chaque \(\mathrm{Aut}(X)\) est muni d'une structure de groupe profini, de sorte que, pour l'action \((\psi, \varphi) \cdot u = \varphi u \psi^{-1}\) de \(\mathrm{Aut}(X) \times \mathrm{Aut}(Y)\) sur \(\mathrm{Hom}(X, Y)\), les stabilisateurs soient fermés. On munit alors chaque orbite de la topologie quotient et l'ensemble des orbites de la topologie discrète : \(\mathrm{Hom}(X, Y)\) devient localement compact. On veut la composition \[ (14)\qquad \mathrm{Hom}(X, Y) \times \mathrm{Hom}(Y, Z) \longrightarrow \mathrm{Hom}(X, Z) \] continue, ce qui revient à la continuité, pour \(u\), \(v\) fixés, de \(\varphi \mapsto v \varphi u\) sur \(\mathrm{Aut}(Y)\). Soit \(G_u = \{(\psi, \varphi) \mid \varphi u = u \psi\}\) le stabilisateur de \(u\), et \(H_u\) son image dans \(\mathrm{Aut}(Y)\). Sur \(H_u\), \(v \varphi u = (v u)\psi\) est continue, la topologie de \(H_u\) étant quotient de celle de \(G_u\) ; donc aussi sur chaque translaté \(\alpha H_u\). D'où la condition :

\[ (16)\ (*)\qquad \text{pour toute flèche } u : X \to Y,\ H_u \text{ est d'indice fini dans } \mathrm{Aut}(Y). \]

Fermé d'indice fini, \(H_u\) est alors ouvert, ses translatés recouvrent \(\mathrm{Aut}(Y)\), et (14) est continue. La condition dit aussi que, dans \(\mathrm{Hom}(X, Y)\), chaque orbite sous \(\mathrm{Aut}(X) \times \mathrm{Aut}(Y)\) est réunion finie d'orbites ouvertes sous \(\mathrm{Aut}(X)\)¹⁰ .

Soit maintenant \(C_0\) une catégorie sans topologie, satisfaisant \((*)\) pour ses groupes d'automorphismes. La page en construit une « complétion profinie » \(\widehat{C}_0\), de mêmes objets, avec \[ (17)\qquad \mathrm{Hom}_{\widehat{C}_0}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{C_0}(X, Y) \times^{\mathrm{Aut}(X) \times \mathrm{Aut}(Y)} \bigl(\widehat{\mathrm{Aut}}(X) \times \widehat{\mathrm{Aut}}(Y)\bigr) \] et affirme que ce produit s'identifie à \(\mathrm{Hom}_{C_0}(X, Y) \times^{\mathrm{Aut}(X)} \widehat{\mathrm{Aut}}(X)\), la composition étant l'unique loi continue qui prolonge celle de \(C_0\)¹¹ . Tout \(\widehat{C}_0\)-morphisme se factorise \[ (19)\qquad \hat f : X \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \hat f_0\ } Y' \xrightarrow{\ u\ } Y , \] \(u\) morphisme de \(C_0\), \(\hat f_0\) isomorphisme de \(\widehat{C}_0\) ; si \(\mathrm{Aut}_Y(Y') \to \widehat{\mathrm{Aut}}(Y')\) est injectif pour toute \(u : Y' \to Y\), \(Y'\) est déterminé à \(Y\)-isomorphisme unique près. Pour composer \(\hat f = u \hat f_0\) et \(\hat g = v \hat g_0\), \(\hat g_0 : Y \xrightarrow{\sim} Z'\), on écrit \(\hat g_0 = w \hat\varphi\) avec \(w\) un isomorphisme de \(C_0\) et \(\hat\varphi \in \widehat{H}_u\) — c'est possible parce que \(\widehat{H}_u\) est ouvert —, on choisit \(\hat\varphi'\) avec \(\hat\varphi u = u \hat\varphi'\), et \[ (22)\qquad \hat g \hat f = (v w \hat\varphi)(u \hat f_0) = \underbrace{(v w u)}_{\text{flèche de } C_0}\ \underbrace{(\hat\varphi' \hat f_0)}_{\text{isomorphisme de } \widehat{C}_0} . \] Dans le cas des surfaces anabéliennes, \(C_0\) est la catégorie isotopique, la condition \((*)\) est satisfaite, et \(\widehat{C}_0\) est la catégorie définie par (12)¹² .

12–16

La catégorie de Teichmüller–Galois (pages 12, 14 à 16)

Limitons-nous aux surfaces qui sont des courbes algébriques complexes anabéliennes. Dans la factorisation (19), le revêtement \(u : Y' \to Y\) provient d'un revêtement fini étale algébrique, et l'isomorphisme \(\hat f_0\) s'interprète comme une flèche du groupoïde fondamental profini du champ des modules pertinent — la « multiplicité modulaire » \(M_{g,\nu}\) — entre les points définis par \(X\) et \(Y'\) : une classe d'isotopie d'homéomorphismes \(X \to Y'\) est exactement une classe de chemins de \([X]\) à \([Y']\) dans ce champ, dont l'espace de Teichmüller est le revêtement universel. La composition (22) s'explicite donc en compositions dans le groupoïde fondamental du champ des modules et dans la catégorie des courbes algébriques avec leurs revêtements. Tout devient algébrique, et la construction a un sens sur un corps algébriquement clos \(k\) quelconque ; elle est fonctorielle en \(k\), les foncteurs de changement de base \(k \to k'\) étant des équivalences, parce que le groupoïde fondamental du champ des modules ou d'une courbe ne change pas par extension de corps algébriquement clos¹³ .

En particulier \(\mathrm{Aut}(k)\) agit sur cette catégorie, qu'il nomme catégorie de Teichmüller–Galois associée à \(k\). Ses objets connexes à isomorphisme près correspondent aux types \((g, \nu)\) anabéliens ; le groupe des automorphismes d'un objet est le complété profini du groupe de Teichmüller, c'est-à-dire le groupe fondamental profini du champ \(M_{g,[\nu]}\) des courbes de genre \(g\) à \(\nu\) points non ordonnés¹⁴ . Élargir le groupoïde de Teichmüller en cette catégorie, qui n'est plus un groupoïde, est une façon de relier entre eux les types \((g, \nu)\) différents.

« Une part essentielle du vaste programme à l'horizon est la détermination complète de cette catégorie par voie “algébrique” (ni transcendante, ni de géométrie algébrique !), avec les opérations de Galois–Teichmüller dessus », au moins pour \(k = \overline{\mathbb{Q}}\), et dans une certaine mesure pour \(k = \overline{K}\), \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), en se limitant aux \(K\)-automorphismes. « Algébrique » veut dire ici, précise la marge, par des techniques combinatoires sur les surfaces et les groupes profinis¹⁵ .

17–20

Le bouchage des trous (pages 17 à 20)

Un type de morphismes manque : les inclusions ouvertes \[ (23)\qquad X = Y \setminus T \hookrightarrow Y , \] qui bouchent des trous. Pour les composer avec les morphismes finis étales, il faudrait admettre des morphismes \(X \to Y\) qui s'insèrent dans un carré \[ (24)\qquad \begin{array}{ccc} X & \hookrightarrow & \widehat{X}\\ \downarrow & & \downarrow\\ Y & \hookrightarrow & \widehat{Y} \end{array} \] avec \(\widehat{X} \to \widehat{Y}\) fini ramifié et \(X \to Y\) étale. Si \(S = \widehat{X} \setminus X\) et \(T = \widehat{Y} \setminus Y\), on a \(S \supset \widehat{X}|_T\), l'image inverse de \(T\)¹⁶ , et la difficulté vient de ce que \(\widehat{X} \to \widehat{Y}\) peut être ramifié non seulement en des points de \(\widehat{X}|_T\), mais en des points de \(S\) qui n'y sont pas — des trous de \(X\) au-dessus de points de \(Y\). La notion d'isotopie raisonnable existe (dans \(\mathrm{Aut}(\widehat{X}, S) \times \mathrm{Aut}(\widehat{Y}, T)\)), mais il n'y a plus de factorisation canonique d'une classe en un bouchage de trous suivi d'un revêtement : les points de \(S \setminus \widehat{X}|_T\) vont en des points de \(Y\) que la classe seule ne détermine pas. « Pour cette raison, je ne vois plus comment interpréter une telle classe […] en termes de géométrie algébrique “abstraite” »¹⁷ .

On peut pourtant définir, sur tout corps algébriquement clos, un foncteur du groupoïde de Teichmüller des courbes de type \((g, \nu)\) munies d'un ensemble \(I\) de \(\nu' \leq \nu\) trous marqués vers celui du type \((g, \nu - \nu')\), par « bouchage des trous en \(I\) », transitif pour des bouchages successifs¹⁸ . Ce qu'il ne voit pas, c'est comment loger ces inclusions dans une même catégorie que les morphismes étales — sinon en définissant par générateurs et relations une catégorie plus grosse, au prix de ne plus pouvoir l'interpréter, sur \(\mathbb{C}\), comme complétée profinie de la catégorie isotopique. Le développement s'arrête là, au milieu de la page 20. La suite V du dossier (pages 120 et 121) traitera le bouchage des trous sur les présentations combinatoires, où il devient trivial.

21–41

II. Opérations de \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) sur \(\pi_1 M_{0,3}\) (pages 21 à 41)

La page 21 est une couverture qui porte ce titre ; la page 22 n'a qu'un décompte au crayon. Le texte commence à sa page 5, les formules repartant de (1) : ses pages 1 à 4, qui fixaient les conventions, manquent. Les calculs de cette suite sont donc rapportés tels que les pages les donnent ; seules les implications entre équations qui ne dépendent pas de ces conventions ont été vérifiées, et on le signale¹⁹ .

Le cadre. Sur la sphère, les trois points marqués \(R_0, R_1, R_\infty\) sont sur l'équateur ; \(\underline{\omega}\) est l'ensemble à deux éléments des ordres cycliques de \(J = \{0, 1, \infty\}\) (les deux sens de parcours de l'équateur), et pour \(\omega \in \underline{\omega}\) on note \(\omega i\) l'image de \(i\) par la permutation circulaire correspondante, \(\omega'\) l'autre élément. Le groupe \(\mathfrak{S}_J\) agit sur la sphère par rotations — le tiers de tour autour de l'axe des pôles, les demi-tours autour des axes qui passent par un \(R_i\) —, et \(\tau\) est la réflexion par rapport au plan de l'équateur²⁰ . On cherche les automorphismes \(u\) du complété profini de divers groupoïdes fondamentaux de la sphère trouée, qui fixent les sommets et commutent à \(\mathfrak{S}_J\) : ce sont les candidats à l'action d'un élément de Galois, qui fixe les points réels et commute aux symétries définies sur \(\mathbb{Q}\).

23–24

Le groupoïde \(\mathrm{I}_J\) (pages 23 et 24)

Autour de chaque trou \(R_i\), un petit cercle porte deux sommets \(R_i^{\omega}\), \(\omega \in \underline{\omega}\), reliés par deux arcs \(a_i^{\omega} : R_i^{\omega} \to R_i^{\omega'}\) ; le long de l'équateur, des flèches \(b_i^{\omega} : R^{\omega}_{\omega i} \to R^{\omega'}_{\omega' i}\) relient les sommets voisins de deux trous différents. Le groupoïde \(\mathrm{I}_J\) a ces six sommets, ces douze flèches, et les relations \[ (2)\qquad \text{a)}\ b_i^{\omega} b_i^{\omega'} = 1, \qquad \text{b)}\ \text{une relation d'hexagone par hémisphère}, \] soit trois relations effectives en a) et deux en b)²¹ . Le lacet complet \(\lambda_i^{\omega} = a_i^{\omega'} a_i^{\omega}\) autour de \(R_i\) est l'image de \(l_0\) par un isomorphisme \(\varphi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\sim} \pi(R_i^{\omega})\), les six \(\varphi_i^{\omega}\) étant permutés simplement transitivement par \(\mathfrak{S}_J\) ; \(\tau\) agit par \(\tau_\infty\) (5). Les arcs transportent ces repères selon \[ (6)\qquad a_i^{\omega}\bigl(\varphi_i^{\omega}(g)\bigr) = \varphi_i^{\omega'}\bigl(\varepsilon_0(g)\bigr), \qquad b_i^{\omega}\bigl(\varphi^{\omega}_{\omega i}(g)\bigr) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}\bigl(\sigma_\infty(g)\bigr), \qquad \varepsilon_0^2 = l_0 , \] où \(\varepsilon_0\) est la « racine carrée » de \(l_0\) de la page 54 : faire le demi-tour d'un trou, c'est appliquer \(\varepsilon_0\) ; le tour complet, deux demi-tours, c'est conjuguer par \(l_0\)²² . Avec \(\tilde b_i^{\omega} = a^{\omega'}_{\omega' i} b_i^{\omega}\), la relation (2 b) devient \[ (8)\qquad \tilde b^{\omega}_{\omega^2 i}\, \tilde b^{\omega}_{\omega i}\, \tilde b_i^{\omega} = 1 , \] et \(\tilde b\) transporte par \(\rho^{-1}\) (9).

Un automorphisme \(u\) du complété \(\widehat{\mathrm{I}}_J\) commutant à \(\mathfrak{S}_J\), fixant les sommets et respectant les sous-groupoïdes engendrés par chaque petit cercle, s'écrit \[ u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega}\, \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}), \qquad u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega}\, \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta), \qquad \gamma = \frac{p - 1}{2} \in \widehat{\mathbb{Z}},\ p \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*},\ \beta \in \widehat\Pi_{0,3} ; \] alors \(u(\lambda_i^{\omega}) = (\lambda_i^{\omega})^{p}\) : \(p\) est le multiplicateur, l'exposant par lequel \(u\) élève les lacets autour des trous. Les relations (2) donnent, sur \((p, \beta)\), \[ (12)\qquad \beta\, \sigma_\infty(\beta) = 1, \qquad \alpha\, \rho^{-1}(\alpha)\, \rho^{-2}(\alpha) = 1 \quad \text{où } \alpha = l_1^{\gamma}\, \beta = \sigma_\infty(l_0^{\gamma})\,\beta . \] La marge remarque qu'en passant aux inverses on retrouve « les équations habituelles » \(\alpha'\rho(\alpha')\rho^{2}(\alpha') = 1\), \(\alpha' = \alpha^{-1}\) (c'est exact : on applique \(\rho^{2}\) à l'inverse de la relation). Le passage de \(u\) à \(\tau u \tau^{-1}\) change \(\beta\) en \(\tau_\infty(\beta)\), et il faudrait, dit-il, vérifier directement que (12) est stable par ce changement.

Le nom d'aujourd'hui. Ces deux équations ont exactement la forme des deux premières relations par lesquelles Drinfeld (1990) définit le groupe de Grothendieck–Teichmüller \(\widehat{GT}\) : pour \((\lambda, f) \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \times \widehat{F}_2\), \(f(x, y) f(y, x) = 1\) et \(f(z, x) z^{m} f(y, z) y^{m} f(x, y) x^{m} = 1\) avec \(xyz = 1\) et \(m = (\lambda - 1)/2\). Ici \(\sigma_\infty\) échange \(l_0\) et \(l_1\), \(\rho\) les permute circulairement, et le multiplicateur \(p\) entre par \(\gamma = (p - 1)/2\) comme \(\lambda\) par \(m\)²³ .

25–28

Les groupoïdes \(\mathrm{II}_J\) et \(\mathrm{III}_J\) (pages 25 à 28)

On ajoute sur l'équateur les trois sommets \(Q_i\), opposés aux trous, et des arcs \(c_i^{\omega} : Q_i \to R^{\omega'}_{\omega' i}\). Alors \(b_i^{\omega} = c_i^{\omega}(c_i^{\omega'})^{-1}\) (13), les \(b\) deviennent superflus, (2 a) est automatique, et avec \[ (14)\qquad \tilde a_i^{\omega} = (c^{\omega}_{\omega i})^{-1}\, a_i^{\omega}\, c^{\omega'}_{\omega' i} : Q_{\omega i} \to Q_{\omega' i}, \qquad \tau(\tilde a_i^{\omega}) = (\tilde a_i^{\omega'})^{-1}, \] (2 b) devient \(\tilde a^{\omega}_{\omega^2 i}\, \tilde a^{\omega}_{\omega i}\, \tilde a_i^{\omega} = 1\) (16). On repère \(\pi(Q_i)\) par \(\psi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\sim} \pi(Q_i)\), déduit de \(\varphi^{\omega'}_{\omega' i}\) par transport le long de \(c_i^{\omega}\).

Un automorphisme \(u\) de \(\widehat{\mathrm{II}}_J\) du type considéré est donné par \(u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega}\varphi_i^{\omega}(\lambda)\) et \(u(c_i^{\omega}) = c_i^{\omega}\psi_i^{\omega}(\eta)\), \(\lambda, \eta \in \widehat\Pi_{0,3}\) — la marge observe qu'il est inutile d'exiger d'emblée \(\lambda = l_0^{\gamma}\). Alors \(u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega}\varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta)\) avec \[ (23)\qquad \beta = \sigma_\infty(\eta)\, \eta^{-1}, \] qui entraîne la première relation (12), \(\beta\sigma_\infty(\beta) = 1\) (\(\sigma_\infty\) étant involutif) ; il reste la seconde, (24). Sur les \(\tilde a\), \(u\) agit par \[ (27)\qquad \tilde\alpha = \eta^{-1}\, \varepsilon_0(\lambda\eta), \qquad \text{soit } \eta^{-1} l_0^{\gamma}\, \varepsilon_0(\eta) \text{ si } \lambda = l_0^{\gamma}, \] et (24) équivaut à la même équation en \(\tilde\alpha\) : \[ (26)\qquad \tilde\alpha\, \rho^{-1}(\tilde\alpha)\, \rho^{-2}(\tilde\alpha) = 1 . \] Le groupoïde \(\mathrm{III}_J\) induit sur les trois \(Q_i\) (six arcs \(\tilde a_i^{\omega}\), relations (16)) a donc pour automorphismes du type considéré les \(\tilde\alpha \in \widehat\Pi_{0,3}\) solutions de (26). Sur le lacet \(\tilde\lambda_i^{\omega} = \tilde a_i^{\omega'}\tilde a_i^{\omega}\), identifié à \(l_0\), \[ (30)\qquad u(l_0) = \tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha)\, l_0 = \eta^{-1}\, l_0^{p}\, \eta \qquad (p = 2\gamma + 1) : \] \(u\) envoie le lacet autour d'un trou sur un conjugué de sa puissance \(p\)-ième — c'est la propriété qui définit les automorphismes « à lacets » du dossier 145, ceux qu'on dit aujourd'hui préserver l'inertie²⁴ .

Le passage de \(u\) à \(\tau u \tau^{-1}\) change \(\tilde\alpha\) en \(\varepsilon_0\tau_\infty(\tilde\alpha^{-1})\). La page en tire une remarque générale, juste : le groupe \(\widetilde{\mathfrak{S}}_3\) engendré par \(\rho\) et les \(\tilde\sigma_i\), qui contient \(\{1, \rho, \rho^2\}\) avec indice \(2\), agit sur l'ensemble des solutions \(x\) de \(x\,\rho^{-1}(x)\,\rho^{-2}(x) = 1\) par \[ (32)\qquad \Theta_g(x) = g\bigl(x^{\chi(g)}\bigr), \qquad \chi(g) = \pm 1 \text{ la signature}, \] et \(\tau\) agit par \(\Theta_{\tilde\sigma_0}\) (33)²⁵ .

29–31

Les groupoïdes \(\mathrm{IV}_J\) et \(\mathrm{V}_J\) : les pôles (pages 29 à 31)

On ajoute les deux pôles \(P^{\omega}\) et les six méridiens \(d_i^{\omega} : P^{\omega} \to Q_i\), avec \(\tau(P^{\omega}) = P^{\omega'}\), \(\tau(d_i^{\omega}) = d_i^{\omega'}\). Le groupoïde \(\mathrm{IV}_J\) (sommets \(Q_i\), \(P^{\omega}\) ; arcs \(\tilde a\), \(d\) ; relations (35)) est équivalent à \(\mathrm{III}_J\), et ses automorphismes du type considéré sont donnés par \(\tilde\alpha\) et \(\zeta \in \widehat\Pi_{0,3}\), liés par \[ (37)\qquad \tilde\alpha = \zeta\, \rho^{-1}(\zeta^{-1}) . \] Il n'y a plus de condition sur \(\zeta\) : toute \(\zeta\) convient, et (37) entraîne (26) parce que \(\rho\) est d'ordre trois²⁶ . C'est le gain des pôles : ce sont les points fixes de la rotation \(\rho\), et pris pour points base ils « résolvent » l'équation d'ordre trois. La marge note que les arcs \(\tilde a_i^{\omega}\) deviennent superflus.

Le groupoïde \(\mathrm{V}_J\) induit sur les deux pôles est libre, engendré par trois arêtes \(\tilde d_i^{\omega} = (d_i^{\omega'})^{-1} d_i^{\omega} : P^{\omega} \to P^{\omega'}\) ; ses automorphismes sont donnés par un \(\tilde\beta \in \widehat\Pi_{0,3}\) soumis à la seule relation \[ (47)\qquad \tilde\beta\, \sigma_\infty(\tilde\beta) = 1 , \] et \(\tilde\beta = \zeta\sigma_\infty(\zeta)^{-1}\) quand \(u\) vient de \(\mathrm{IV}_J\).

31–36

Le groupoïde \(\mathrm{VI}\) et la relation des lacets (pages 31 à 36)

Le groupoïde induit sur les onze sommets \(R_i^{\omega}\), \(Q_i\), \(P^{\omega}\) est engendré par les arcs \(a\), \(c\), \(d\) — trois paquets homogènes sous \(\mathfrak{S}_J\) — avec six relations (48). Un automorphisme est donné par \[ (54)\qquad u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega}\varphi_i^{\omega}(\lambda), \qquad u(c_i^{\omega}) = c_i^{\omega}\psi_i^{\omega}(\eta), \qquad u(d_i^{\omega}) = d_i^{\omega}\tilde\psi_i^{\omega}(\zeta), \] et, au lieu de refaire le calcul, il observe que \(\mathrm{VI}\) est la réunion de \(\mathrm{II}\) et de \(\mathrm{IV}\), d'intersection \(\mathrm{III}\) : un automorphisme de \(\mathrm{VI}\) est un couple d'automorphismes de \(\mathrm{II}\) et de \(\mathrm{IV}\) qui se recollent sur \(\mathrm{III}\), c'est-à-dire tels que les deux expressions de \(\tilde\alpha\) coïncident : \[ (56)\qquad \eta^{-1}\varepsilon_0(\lambda\eta) = \zeta\, \rho^{-1}(\zeta)^{-1} . \] C'est la seule relation entre \(\lambda, \eta, \zeta\) : celle de \(\mathrm{II}\) est conséquence de celle de \(\mathrm{IV}\). Pour la mettre « sous une forme plus familière pour moi », il passe aux inverses, \(\beta' = \beta^{-1}\), \(\alpha' = \alpha^{-1}\), \(\tilde\alpha' = \tilde\alpha^{-1}\), et pose \(\zeta' = \eta\zeta\). En résumé :

Les automorphismes de \(\widehat{\mathrm{VI}}_J\) qui fixent les sommets et commutent à \(\mathfrak{S}_J\) correspondent aux triplets \((\lambda, \eta, \zeta') \in \widehat\Pi_{0,3}^{\,3}\) satisfaisant la relation des lacets \[ (63)\qquad \boxed{\ \beta' = \alpha'\, \sigma_\infty(\lambda), \qquad \alpha' = \zeta'\, \rho(\zeta')^{-1}, \qquad \beta' = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1}\ } \] avec \(\sigma_\infty(\lambda) = l_1^{\gamma}\) quand \(\lambda = l_0^{\gamma}\), dans la forme qu'on retient ici²⁷ .

Les quantités \(\alpha', \beta', \zeta'\) ont été introduites « par le pur calcul », comme donnant les formules les plus sympathiques ; il leur donne ensuite un sens géométrique, en renversant les flèches \(b\), \(\tilde b\), \(\tilde a\) (64)–(65) et en introduisant les chemins \(\tilde d_i'^{\omega} = c^{\omega}_{\omega i}\, d^{\omega}_{\omega i} : P^{\omega} \to R_i^{\omega'}\), du pôle au voisinage du trou, sur lesquels \[ (67)\qquad u(\tilde d_i'^{\omega}) = \varphi_i^{\omega'}(\zeta')\, \tilde d_i'^{\omega} : \] \(\zeta'\) mesure ce que \(u\) fait au chemin direct d'un pôle à un trou.

37–41

Le groupoïde \(\mathrm{VII}\), et le diagramme des sept groupoïdes (pages 37 à 41)

Deux cas restent : le groupoïde \(\mathrm{VII}\) induit sur les huit sommets \(R_i^{\omega}\), \(P^{\omega}\), et celui induit sur les \(Q_i\), \(P^{\omega}\), qui n'est autre que \(\mathrm{IV}\) présenté par les seuls méridiens (les \(\tilde a\) y sont inutiles par (35)). Les sept groupoïdes s'emboîtent selon le diagramme (68)²⁸ :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& & \mathrm{III} \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & & \\
\mathrm{I} \arrow[r, hook] \arrow[dr, hook] & \mathrm{II} \arrow[dr, hook] & & \mathrm{IV} \arrow[dl, hook'] & \mathrm{V} \arrow[l, hook'] \\
& \mathrm{VII} \arrow[r, hook] & \mathrm{VI} & &
\end{tikzcd}

Pour \(\mathrm{VII}\), le calcul prédit que ses automorphismes correspondent aux couples \((\lambda, \zeta')\) — \(\beta'\) s'en déduit, d'où la marge « donc \(\beta'\) inutile ! » — soumis à \[ (70)\qquad \beta' = \alpha'\sigma_\infty(\lambda),\quad \alpha' = \zeta'\rho(\zeta')^{-1}, \qquad \beta'\sigma_\infty(\beta') = 1, \ \text{soit}\ \alpha'\,\sigma_\infty(\lambda)\,\sigma_\infty(\alpha')\,\lambda = 1 , \] tandis que ceux de \(\mathrm{II}\) correspondent aux \((\lambda, \eta)\) — « donc \(\alpha'\) inutile ! » — avec \(\beta' = \eta\sigma_\infty(\eta)^{-1} = \alpha'\sigma_\infty(\lambda)\) et \(\alpha'\rho(\alpha')\rho^2(\alpha') = 1\) (70\('\))²⁹ . Les pages 39 à 41 explicitent le cas de \(\mathrm{VII}\), présenté par les chemins \(\tilde d_i^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega}\), \(\tilde d_i'^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega'}\) et les \(a_i^{\omega}\), avec deux familles de relations (72), dont trois seulement sont indépendantes. On y pose \(u(\tilde d) = \varphi(\zeta_1)\tilde d\), \(u(\tilde d') = \varphi(\zeta')\tilde d'\), \(u(a) = a\varphi(\lambda)\) ; la première relation donne \(\zeta' = \varepsilon_0(\lambda\zeta_1)\) (74), la seconde équivaut à \(\beta'\sigma_\infty(\beta') = 1\) avec \(\beta' = \alpha'\sigma_\infty(\lambda)\), \(\alpha' = \zeta'\rho(\zeta')^{-1}\) (78), et la page 41 conclut sur l'égalité des diverses expressions de \(\beta'\), « ce qui donne la formulation la plus simple »³⁰ .

43–63

III. La sphère à trois points marqués (pages 43 à 63)

Une nouvelle suite, paginée de 1 à 12, reprend la même sphère, cette fois sans rien choisir : chaque objet est construit de façon que les symétries le transportent sur un objet du même type. Il l'annonce comme « exercice préliminaire de syntaxe galoisienne », avant des configurations plus riches en symétries sur la sphère ou sur d'autres surfaces, « en vue des applications au calcul des groupoïdes de Teichmüller ».

43–45

La géométrie (pages 43 à 45)

Soit \(\Sigma\) une sphère conforme avec une partie \(J = \{R_i\}\) à trois éléments. Son groupe d'automorphismes conformes ou anticonformes respectant \(J\) est \[ \Gamma_{\Sigma, J} \simeq \mathfrak{S}_J \times \{1, \tau\}, \] \(\tau\) l'unique antiautomorphisme fixant les \(R_i\) — la conjugaison complexe quand \(J = \{0, 1, \infty\}\)³¹ . Une métrique riemannienne invariante, unique à scalaire près, identifie \(\Sigma\) à la sphère unité d'un espace euclidien \(E\) de dimension \(3\). Le plan \(V\) engendré par les \(R_j\) coupe \(\Sigma\) selon un grand cercle \(\Sigma_{\mathbb{R}}\), sur lequel les \(R_j\) forment un triangle équilatéral : \(\sum R_j = 0\), et \[ (5),(7)\qquad V \simeq V_J(\mathbb{R}) = \ker\bigl(\mathbb{R}^J \xrightarrow{\ \Sigma\ } \mathbb{R}\bigr), \qquad E \simeq V_J(\mathbb{R}) \oplus \Delta , \] la forme quadratique sur \(V_J(\mathbb{R})\) étant celle qui rend les \(R_j\) unitaires — \(x^2 - xy + y^2\) dans la base \((R_i, R_j)\), où \(R_k = (-1, -1)\) — et \(\Delta = V^{\perp}\) l'axe polaire. Trois ensembles à deux éléments apparaissent : \[ (3)\qquad \boldsymbol{\varpi} = \text{orientations de } \Sigma \text{ (ou de } E), \qquad \boldsymbol{\omega} = \text{orientations de } \Sigma_{\mathbb{R}} \text{ (ordres cycliques de } J), \] \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}}) \text{ (hémisphères)}, \] liés par \(\boldsymbol{\varpi} \simeq \boldsymbol{\omega} \wedge \boldsymbol{\varepsilon}\) : une orientation de l'équateur et le choix d'un hémisphère orientent la sphère. \(\Delta\) est la droite réelle tordue par \(\boldsymbol{\varepsilon}\), ses deux demi-droites étant indexées par les hémisphères. \(\mathfrak{S}_J\) agit sur \(E\) par l'action tautologique sur \(V_J(\mathbb{R})\) et par la signature sur \(\Delta\) (8) — une transposition, qui renverse le plan, doit renverser l'axe pour rester une rotation —, et \(\tau = \mathrm{id} \oplus (-\mathrm{id}_\Delta)\) (9)³² .

45–48

L'éclatement réel, et la représentation fictive (pages 45 à 48)

On s'intéresse au groupoïde fondamental de \(\Sigma^{*} = \Sigma \setminus J\). Pour disposer de points base « proches » de chaque \(R_i\), on compactifie : soit \(\Sigma'\) l'éclaté réel de \(\Sigma\) en \(J\), où chaque \(R_i\) est remplacé par la droite projective réelle \(P(T_{\Sigma, R_i})\) de ses directions tangentes. C'est la sphère où trois disques sont remplacés par des rubans de Möbius, une surface non orientable de caractéristique d'Euler \(2 - 3 = -1\), à trois bonnets croisés³³ . En la découpant le long des trois cercles, on obtient une surface compacte à bord \(\widetilde\Sigma\) — une sphère à trois trous —, dont le bord \[ (12)\qquad \partial\widetilde\Sigma \simeq \coprod_{i \in J} U_i , \qquad U_i = \text{cercle des directions tangentes unitaires en } R_i , \] revêt doublement les droites projectives : c'est l'éclatement réel orienté. L'intérieur de \(\widetilde\Sigma\) est \(\Sigma^{*}\), et l'inclusion donne une équivalence entre revêtements étales, d'où une équivalence de groupoïdes fondamentaux \[ (14),(15)\qquad \Pi_1(\widetilde\Sigma) \xrightarrow{\ \approx\ } \Pi_1(\Sigma^{*}), \qquad \Pi_1\Bigl(\coprod U_i\Bigr) \longrightarrow \Pi_1(\Sigma^{*}) . \] Les points de \(U_i\) sont ce qu'on appelle aujourd'hui des points base tangentiels³⁴ . On dessine \(\widetilde\Sigma\) dans \(\Sigma^{*}\) comme si l'on avait ôté trois disques « infiniment petits » autour des trous, et l'on travaille avec des points de \(\widetilde\Sigma\) ou avec des parties simplement connexes de \(\widetilde\Sigma\). Le groupe \(\Gamma_{\Sigma,J}\) agit sur toute la situation, et « un aspect essentiel du travail à faire est de garder cette opération constamment présente à l'esprit, et d'introduire des notations et des constructions qui soient invariantes ».

49–53

Points, chemins et régions de base (pages 49 à 53)

On introduit \[ (16)\qquad Q_i = -R_i, \qquad R_i^{\omega} \in U_i\ (\omega \in \boldsymbol{\omega}), \qquad P_\varepsilon\ (\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}), \qquad S_i^{\varepsilon} \in U_i , \] \(Q_i\) le point opposé au trou, \(P_\varepsilon\) le pôle de l'hémisphère \(\varepsilon\), \(R_i^{\omega}\) la direction de l'équateur orientée par \(\omega\) en \(R_i\), \(S_i^{\varepsilon}\) la direction du méridien de \(R_i\) vers l'hémisphère \(\varepsilon\). Puis des chemins simples, par paquets \[ (20)\qquad a_i^{\omega,\varepsilon}\ (12), \qquad b_i^{\omega}\ (6), \qquad c_i^{\varepsilon}\ (6), \qquad d_i^{\varepsilon}\ (6) : \] \(a_i^{\omega\varepsilon} : S_i^{\varepsilon} \to R_i^{\omega}\) le quart de tour sur \(U_i\) ; \(b_i^{\omega} : Q_i \to R^{\omega'}_{\omega' i}\) le long de l'équateur, dans la direction \(\omega\) ; \(c_i^{\varepsilon} : P_\varepsilon \to Q_i\) et \(d_i^{\varepsilon} : P_\varepsilon \to S_i^{\varepsilon}\) le long de méridiens³⁵ . Les paquets \(b\), \(c\), \(d\) sont des torseurs sous \(\mathfrak{S}_J\), le paquet \(a\) sous \(\Gamma_{\Sigma,J}\) ; \(\tau\) échange les exposants \(\varepsilon\) et fixe les \(b\) (22).

Régions de base. On découpe ensuite \(\widetilde\Sigma\) par des « incisions » qui relient les trois trous, de façon à obtenir des ouverts simplement connexes aussi grands que possible : \[ (27)\qquad \widetilde\Sigma_\varepsilon = \widetilde\Sigma \setminus \bigcup_{i} \operatorname{supp} d_i^{\varepsilon'}, \qquad \widetilde\Sigma_i = \widetilde\Sigma \setminus \bigcup_{j \neq i} b_j , \] \(b_j\) étant l'arc d'équateur qui passe par \(Q_j\) entre les deux trous voisins³⁶ . Ces régions, de « centres » \(P_\varepsilon\) et \(Q_i\), sont connexes et simplement connexes, et l'on pose \[ (28)\qquad \Pi_\varepsilon = \pi_1(\widetilde\Sigma; \widetilde\Sigma_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, P_\varepsilon), \qquad \Pi_i = \pi_1(\widetilde\Sigma; \widetilde\Sigma_i) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, Q_i) : \] le groupe fondamental basé en une région simplement connexe, canoniquement isomorphe au groupe basé en n'importe lequel de ses points par des « isomorphismes de transition » \(\varphi\) (29). Les méridiens \(c_i^{\varepsilon}\) donnent des isomorphismes \(\Pi_\varepsilon \rightleftarrows \Pi_i\) (30), qui relient ces cinq groupes de façon transitive, mais pas par un système transitif : le long des cycles du graphe de l'octaèdre (deux pôles, trois \(Q_i\)), on obtient des automorphismes intérieurs, et on les obtient tous³⁷ . On note \(\varphi_i\), \(\varphi_\varepsilon\) les repérages aux points \(R_i^{\omega}\), \(S_i^{\varepsilon}\) (31), le point base ne faisant pas de doute dans les calculs.

53–59

Le groupe standard, et les épinglages (pages 53 à 59)

On repère tout par le groupe standard \[ (32)\qquad \Pi_{0,3} = \pi_1\bigl(U_{0,3}(\mathbb{C}), P^{+}\bigr) \subset \widetilde\Pi_{0,3} = \pi_1\bigl(U_{0,3}(\mathbb{C}), \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}; P^{+}\bigr) \] — le groupe fondamental équivariant, formé des couples d'une symétrie et d'un chemin de \(P^{+}\) à son image, celui de la page 14 du dossier 141 —, avec \[ \widetilde\Pi_{0,3} = \langle\, \rho, \sigma_\infty, \tilde\sigma_\infty \mid \rho^3 = \sigma_\infty^2 = \tilde\sigma_\infty^2 = 1,\ \sigma_\infty\rho\,\sigma_\infty^{-1} = \rho^{-1},\ (\sigma_\infty\tilde\sigma_\infty)^2 = 1 \,\rangle \] \[ \simeq GL(2, \mathbb{Z})/\{\pm 1\} = PGL_2(\mathbb{Z}) . \] La présentation est bien celle de \(PGL_2(\mathbb{Z})\), produit amalgamé d'un groupe diédral d'ordre \(6\) et d'un groupe de Klein le long d'un \(\mathbb{Z}/2\), et l'identification est écrite ici de sa main³⁸ . Le « formulaire familier » (33) : \[ \varepsilon_0 = \sigma_\infty\rho, \quad \varepsilon_1 = \rho(\varepsilon_0), \quad \varepsilon_\infty = \rho^2(\varepsilon_0), \qquad l_i = \varepsilon_i^2, \qquad l_\infty l_1 l_0 = 1, \qquad \rho(l_i) = l_{\rho(i)}, \] avec les valeurs de \(\sigma_\infty\), \(\tilde\sigma_\infty\), \(\tau_\infty\) sur les \(l_i\) données dans les conventions³⁹ .

Épinglages. Un repère de la situation est un élément \(r = (i, \omega, \varpi) \in J \times \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\varpi}\), qui définit \(\varepsilon = \omega \wedge \varpi\). À chaque repère correspond l'unique isomorphisme (conforme ou anticonforme) \(u_r : (U_{0,3}(\mathbb{C}), P^{+}) \to (\Sigma^{*}, P_\varepsilon)\) qui envoie le repère standard sur \(r\), et l'isomorphisme d'épinglage \[ (34),(36)\qquad \psi_r = \psi_\varepsilon^{i,\omega} = \pi_1(u_r; P^{+}) : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\varepsilon , \] et de même \(\psi_i^{\omega,\varepsilon} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\sim} \Pi_i\), compatibles par les isomorphismes (30). Pour \(P_\varepsilon\) fixé il y a six épinglages, pour \(Q_i\) fixé quatre ; trois et deux si \(\Sigma\) est orientée⁴⁰ . Le stabilisateur de \(P_\varepsilon\) dans \(\Gamma_{\Sigma,J}\), \[ \Gamma_{P_\varepsilon} = \{(g, \tau^{\alpha}) \mid \alpha = 0 \text{ si } g \text{ est pair},\ \alpha = 1 \text{ sinon}\}, \] le relèvement canonique de \(\mathfrak{S}_3\) que le dossier 145 note \(\Gamma_P\) (sa page 20), agit simplement transitivement sur les repères de même \(\varepsilon\), et \[ (39)\qquad \psi_{r g_0} = \psi_r \circ \pi_1(g_0; P^{+}), \qquad \psi_\varepsilon^{\omega i, \omega} = \psi_\varepsilon^{i,\omega} \circ \rho, \qquad \psi_\varepsilon^{\omega' i, \omega'} = \psi_\varepsilon^{i,\omega} \circ \tilde\sigma_\infty , \] \(\rho\) s'interprétant comme la rotation d'un tiers de tour autour de l'axe polaire, \(\tilde\sigma_i\) comme la symétrie par rapport au méridien de \(Q_i\). En \(Q_i\), le stabilisateur de \(Q_0\) dans le groupe standard est un groupe de Klein engendré par \(\sigma_\infty\) et \(\tau\), et (pages 58–59) \[ \psi_i^{\omega,\varepsilon'} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \tau_\infty, \qquad \psi_i^{\omega',\varepsilon'} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \sigma_\infty, \qquad \psi_i^{\omega',\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \tilde\sigma_\infty , \] la troisième relation étant composée des deux premières (\(\tilde\sigma_\infty = \sigma_\infty\tau_\infty\))⁴¹ .

59–63

Les régions-drapeaux, et les points proches des trous (pages 59 à 63)

« Dans tous ces calculs, suivant sans doute d'anciennes habitudes, j'ai privilégié les \(P_\varepsilon\) et les \(Q_i\) comme points base — alors que pour le travail que j'ai en vue, ce sont les points \(R_i^{\omega}\) qui sont les plus cruciaux », parce que les calculs en ces points expriment directement la monodromie autour des trous. Il introduit donc, pour chaque repère \(r\), une région associée au triangle-drapeau \(D_r = P_\varepsilon Q_i R_{\omega i}\) de la subdivision barycentrique de la sphère par l'équateur et les trois trous — douze triangles —, tronqué sur \(\widetilde\Sigma\) en un quadrilatère \(\widetilde D_r\), et sa réunion avec trois de ses symétriques⁴² : \[ (41)\qquad \widetilde\Sigma_r = \widetilde D_r \cup \tau(\widetilde D_r) \cup \tilde\sigma_i(\widetilde D_r) \cup \tilde\sigma_{\omega i}(\widetilde D_r) . \] Ces douze régions sont simplement connexes et permutées simplement transitivement par \(\Gamma_{\Sigma,J}\) ; d'où des groupes \(\Pi_r = \pi_1(\widetilde\Sigma; \widetilde\Sigma_r)\) reliés par un système transitif d'isomorphismes, et des épinglages \(\Psi_r : \Pi_{0,3} \to \Pi_r\) (42). Un point \(R_i^{\omega}\) est intérieur à exactement deux régions \(\widetilde\Sigma_r\) ; si \(\Sigma\) est orientée par \(\varpi_+\), l'une est privilégiée, et l'on obtient \[ (43)\qquad \Psi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde\Sigma, R_i^{\omega}) , \] compatible aux repérages en \(Q_i\) et \(P_\omega\) par les chemins \(b\) et \(c\) (44). Le passage d'un côté à l'autre du trou, par le chemin \(\tilde b_i^{\omega}\) qui passe par \(Q_i\), s'écrit \[ (45)\qquad \tilde b_i^{\omega}\bigl(\Psi_i^{\omega}(x)\bigr) = \Psi_i^{\omega'}\bigl(\sigma_\infty(x)\bigr) , \] la forme même des formules de transport de la suite II (comparer (6) et (42) de la page 30). La suite s'arrête là, au haut de la page 63.

65–103

IV. Généralités sur les actions de groupes de Galois sur les complétés profinis de groupoïdes fondamentaux (pages 65 à 103)

La page 65 est une couverture de sa main, avec au crayon « (38 pages) » ; la suite est paginée de 1 à 18, puis continue.

66–69

Le cadre (pages 66 à 69)

Soit \(K\) un sous-corps de \(\mathbb{C}\) — surtout de type fini sur \(\mathbb{Q}\), la clôture algébrique \(\overline{\mathbb{Q}}\) en étant un cas limite, « pour ne pas être gêné par les racines de 1 » —, et \(X\) un schéma de type fini sur \(K\), qu'on regarde comme l'espace \(X(\mathbb{C})\) muni d'une structure supplémentaire ; on traite les homéomorphismes universels comme des isomorphismes. Le groupoïde fondamental topologique \(\Pi_1(X)\) se plonge dans son complété profini \(\widehat\Pi_1(X)\), bijectivement sur les objets, et \[ (3)\qquad \pi_1(X_{\mathrm{sch}}, x) \simeq \widehat\pi_1(X, x) \] (théorème d'existence de Riemann, SGA 1, exposé XII) ; les ensembles de flèches \(\mathrm{Hom}_{\widehat\Pi_1}(x, y)\) sont les bitorseurs déduits de ceux de \(\Pi_1\) par extension des groupes. Comme \(\widehat\Pi_1\) a une définition purement schématique, le groupe \[ (5)\qquad \Gamma_K = \mathrm{Aut}(\mathbb{C}/K) \] agit sur lui, par \({}^{u}\lambda : {}^{u}x \to {}^{u}y\) pour \(\lambda : x \to y\), de façon compatible à la composition (6) ; une flèche de \(\Pi_1\) n'a en général qu'une image dans \(\widehat\Pi_1\). Sur le sous-groupoïde induit sur les points algébriques \(X(\overline{K})\), l'action se fait à travers \(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)\) (7)⁴³ .

Pour des points rationnels \(x, y \in X(K)\), fixés par \(\Gamma_K\), et un chemin \(l : x \to y\) de \(\Pi_1\), on écrit \[ (8),(9)\qquad {}^{u}l = g_l(u)\, l = l\, f_l(u), \] \[ f_l(u) = l^{-1}\,{}^{u}l \in \widehat\pi_1(X, x), \quad g_l(u) = {}^{u}l\, l^{-1} = l\bigl(f_l(u)\bigr) \in \widehat\pi_1(X, y), \] et l'on décrit l'action de \(u\) par les \(f_l(u)\), ou les \(g_l(u)\), pour \(l\) parcourant des générateurs — en nombre fini sur une partie finie \(I\) de \(X(K)\) : un \(x_0 \in I\), un chemin de \(x_0\) à chaque autre point, des générateurs de \(\pi_1(X, x_0)\). Il présume que pour une courbe anabélienne la connaissance de l'action de \(u\) sur \(\widehat\Pi_1(X, I)\) détermine \(u\).

70–77

Multiplicativité, régions de base, cocycles (pages 70 à 77)

Pour \(x \xrightarrow{l'} y \xrightarrow{l} z\), \[ (10)\qquad g_{ll'}(u) = g_l(u)\, l\bigl(g_{l'}(u)\bigr), \qquad (11)\qquad f_{ll'}(u) = l'^{-1}\bigl(f_l(u)\bigr)\, f_{l'}(u) , \] et (12) itère (10)⁴⁴ . Ces formules « d'allure peu sympathique » se simplifient si l'on remplace les chemins par des régions de base : soit \(p : T \to X\) continue, \(T\) simplement connexe, et \(\pi = \pi_1(X; T)\), qui s'identifie à chaque \(\pi_1(X, p(x))\) par \(\varphi_x\) (15) ; deux points \(x, y \in T\) donnent une flèche canonique \(l_{y,x} : p(x) \to p(y)\) (16). Pour \(x, y \in T_K = p^{-1}(X(K))\), \(f\) et \(g\) deviennent un même élément de \(\widehat\pi\), \[ (17)\qquad g^{T}_{y,x}(u) = \varphi_y^{-1}\bigl(g_{l_{y,x}}(u)\bigr) = \varphi_x^{-1}\bigl(f_{l_{y,x}}(u)\bigr), \] et (10), (11) se réduisent à la relation de Chasles \[ (18)\qquad g^{T}_{z,y}(u)\, g^{T}_{y,x}(u) = g^{T}_{z,x}(u) \qquad (x, y, z \in T_K) ; \] « quant aux formules de passage (9), elles disparaissent ! »⁴⁵ . Les invariants \(f_l\), \(g_l\) sont le cas \(T = [0, 1]\) (20), et, pour \(T \to T'\) au-dessus de \(X\), \(g^{T'} = \pi_1(f)(g^{T})\) (23).

Soit alors \(X = \bigcup_\alpha T_\alpha\), les \(T_\alpha\) simplement connexes, d'intérieurs recouvrant \(X\), ordonnés par inclusion de sorte que \(T_\alpha \cap T_\beta = \bigcup_{\gamma \leq \alpha, \beta} T_\gamma\) (28), avec les groupes \(\pi_\alpha = \pi_1(X, T_\alpha)\) et, pour \(T_\alpha \subset T_\beta\), l'isomorphisme \(\varphi_{\beta\alpha} : \pi_\alpha \to \pi_\beta\), de sorte que \(g^{\beta}_{y,x} = \varphi_{\beta\alpha}(g^{\alpha}_{y,x})\) (27)⁴⁶ . La connaissance des \(g^{\alpha}_{y,x}(u)\) détermine-t-elle tous les \(g_l(u)\) ? L'argument de la page subdivise un chemin en petits chemins entre points « voisins » ; il suppose des points \(K\)-rationnels partout, ce qui n'est pas le cas en général. L'énoncé juste est celui que la page donne ensuite, « un peu plus général, et peut-être plus intéressant » : soit \(I \subset X(K)\) fini, \(I_\alpha = I \cap T_\alpha\) ; si \(I\) rencontre chaque composante connexe par arcs de chaque intersection finie des \(T_\alpha\), le théorème de van Kampen pour les groupoïdes montre que \(\Pi_1(X, I)\) est engendré par les flèches \(l^{\alpha}_{y,x}\), \(x, y \in I_\alpha\), avec pour relations les identifications le long des inclusions ; la connaissance des \(g^{\alpha}_{y,x}(u)\) pour \(x, y \in I_\alpha\) détermine alors tous les \(g_l(u)\), \(l\) chemin de \(\Pi_1(X, I)\)⁴⁷ .

Variation de \(u\). De \({}^{uv}l = {}^{u}({}^{v}l)\) (28) on tire \[ (29),(30)\qquad g_l(uv) = {}^{u}g_l(v)\, g_l(u), \qquad f_l(uv) = f_l(u)\, {}^{u}f_l(v) : \] pour \(l\) fixé, \(f_l\) et \(g_l^{-1}\) sont des 1-cocycles (homomorphismes croisés) de \(\Gamma_K\) à valeurs dans \(\widehat\pi_1(X, x)\), resp. \(\widehat\pi_1(X, y)\), déduits l'un de l'autre par le transport le long de \(l\) ; ce sont les cocycles du torseur \(\mathrm{Hom}_{\widehat\Pi_1}(x, y)\), dont \(l\) est un « élément origine »⁴⁸ .

78–82

Classes de cohomologie, et Mordell–Weil (pages 78 à 82)

Si l'on remplace \(l\) par \(l' = la = bl\), \[ (31)\qquad f_{l'}(u) = a^{-1}\, f_l(u)\, {}^{u}a, \qquad g_{l'}(u) = {}^{u}b\, g_l(u)\, b^{-1} : \] les cocycles changent en des cocycles cohomologues⁴⁹ . Deux points rationnels \(x, y\) définissent donc des classes \[ (32)\qquad f_{y,x} \in H^1\bigl(\Gamma_K, \widehat\pi_1(X, x)\bigr), \qquad g_{y,x} \in H^1\bigl(\Gamma_K, \widehat\pi_1(X, y)\bigr) \] dans les ensembles de cohomologie non abélienne, qui se déterminent mutuellement, de même que \(f_{x,y}\) et \(f_{y,x}\) (\(g_{l^{-1}} = f_l^{-1}\), (34))⁵⁰ . Toute cette structure se décrit par le bitorseur \(\mathrm{Hom}_{\widehat\Pi_1}(x, y)\) et l'action de Galois sur « tout ce fourbi ».

Quand \(X\) se plonge dans une extension d'une variété abélienne par un tore — par exemple une courbe anabélienne dans sa jacobienne généralisée — et que \(K\) est de type fini sur \(\mathbb{Q}\), le théorème de Mordell–Weil entraîne qu'un point \(x \in X(K)\) est entièrement déterminé par la classe \(f_{x_0,x}\), \(x_0\) fixé, et même par son image abélianisée \[ (34)\qquad (f_{x_0, x})_{\mathrm{ab}} \in H^1\bigl(\Gamma_K, \widehat\pi_1(X, x_0)_{\mathrm{ab}}\bigr) . \] L'énoncé est juste⁵¹ .

Déterminer « explicitement » un tel cocycle, en termes des propriétés arithmétiques du point, « c'est là un travail fascinant en perspective, que je n'ai pratiquement pas encore commencé ! ». Mais que veut dire « explicitement », le groupe \(\Gamma_K\) étant lui-même loin d'être connu ? Il faut repérer \(u\) par des invariants \(f_{l_j}(u)\) attachés à des générateurs d'un groupoïde \(\Pi_1(X, I)\). Or pour une courbe elliptique, ou pour \(\mathbb{G}_m\), l'action de \(\Gamma_K\) sur \(\widehat\Pi_1(X_{\overline{K}})\) n'est pas fidèle : il faut des paramètres de repérage pris sur d'autres variétés, la plus naturelle étant \[ (35)\qquad U_{0,3} = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, 1, \infty\} . \]

82–89

Fonctorialité, symétries, réduction à \(U_{0,3}\) (pages 82 à 89)

Un morphisme \(f : X \to Y\) de \(K\)-schémas donne \(\widehat f : \widehat\Pi_1(X) \to \widehat\Pi_1(Y)\), qui commute à l'action de Galois (39), d'où \(\widehat f(f_l(u)) = f_{\widehat f(l)}(u)\) et de même pour \(g\) (40). Le cas extrême est celui d'un groupe \(\mathfrak{G}\) de \(K\)-automorphismes de \(X\) : \(\widehat\Pi_1(X)\) devient un groupoïde à opérateurs \(\mathfrak{G} \times \Gamma_K\). Avec un point base \(x_0\), l'action de \(\Gamma_K\) sur \(\widehat\Pi_1(X, I)\) est connue par son action sur \(\widehat\pi_1(X, x_0)\) et sur les torseurs \(\mathrm{Hom}(x_0, x_i)\), soit par les données (42), (43) ; mais le choix d'un point base introduit une dissymétrie « qui semble artificielle, et à la longue je crois impraticable », surtout en présence de \(\mathfrak{G}\), « alors que pratiquement jamais on ne peut trouver un \(x \in X(K)\) fixe sous \(\mathfrak{G}\) ». C'est exactement la difficulté que les suites II et III contournaient par des systèmes symétriques de points et de régions de base.

Réduction à \(U_{0,3}\). Soit \(X\) quasi-projective lisse géométriquement connexe. Par un théorème de type Lefschetz, \(X\) contient une courbe \(C\) dont l'inclusion est surjective sur les groupes fondamentaux ; par le théorème de Belyi, un ouvert de \(C\) est un revêtement fini étale de \(U_{0,3}\) : \[ (44)\qquad \begin{array}{ccc} C & \overset{i}{\hookrightarrow} & X\\ {\scriptstyle f}\downarrow & & \\ U_{0,3} & & \end{array} \qquad i \text{ surjectif sur les } \pi_1,\quad f \text{ fini étale},\quad I \subset C . \] Alors \(\widehat\Pi_1(X, I)\) est un quotient de \(\widehat\Pi_1(C, I)\), et \(\widehat\Pi_1(C, I) \to \widehat\Pi_1(U_{0,3}, f(I))\) est fidèle, « injective » sur les ensembles de flèches. Les deux flèches commutant à Galois, l'action de \(\Gamma_K\) sur \(\widehat\Pi_1(U_{0,3}, I_0)\), \(I_0 = f(I)\), détermine son action sur \(\widehat\Pi_1(X, I)\)⁵² .

Inversement, on cherchera des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un automorphisme \(\Theta\) de \(\widehat\Pi_1(U_{0,3}; I_0)\) fixant les sommets provienne d'un \(u \in \Gamma_K\). Première condition : pour tout revêtement \(f : C \to U_{0,3}\) défini sur \(K\), avec \(I = f^{-1}(I_0) \subset C(K)\), \(\Theta\) doit se relever en une action sur \(\widehat\Pi_1(C, I)\) qui soit l'identité sur les sommets ; quand \(I \to I_0\) n'est pas surjectif, ou les points de \(I\) pas rationnels, on demande la même chose pour une puissance \(\Theta^n\) convenable.

90–97

Un lemme de relèvement (pages 90 à 97)

À ces conditions de « prolongeabilité » s'en ajoute une : pour un morphisme \(C \to X\), que l'action passe au quotient, c'est-à-dire que l'action sur \(\widehat\pi_1(C, x_0)\) stabilise le noyau de \(\widehat\pi_1(C, x_0) \to \widehat\pi_1(X, x_0)\). Pour exprimer le relèvement, la page énonce :

Lemme. Soit \(\widetilde{\mathcal{C}} \to \mathcal{C}\) un revêtement de groupoïdes, \(\mathcal{C}\) connexe, \(x_0\) un sommet de \(\mathcal{C}\), \(x'_0\) un sommet au-dessus, \(\Pi_0 = \pi_1(\mathcal{C}, x_0)\) et \(\Pi'_0 \subset \Pi_0\) l'image de \(\pi_1(\widetilde{\mathcal{C}}, x'_0)\). Soit \(\Theta\) un automorphisme de \(\mathcal{C}\) fixant \(x_0\). Alors \(\Theta\) se relève en un automorphisme de \(\widetilde{\mathcal{C}}\) fixant \(x'_0\) si et seulement si \(\Theta(\Pi'_0) = \Pi'_0\) ; le relèvement est alors unique, et sur les fibres il est donné par transport de structure à partir de \[ (45)\qquad \mathrm{Ob}\,\widetilde{\mathcal{C}}_{x_i} = H_{x_i, x_0} \times^{\Pi_0} \Pi_0/\Pi'_0, \qquad H_{x_i, x_0} = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x_0, x_i) . \] Sans exiger que \(x'_0\) soit fixe, \(\Theta\) se relève si et seulement si \(\Theta(\Pi'_0)\) est conjugué de \(\Pi'_0\) dans \(\Pi_0\), et les relèvements correspondent aux éléments de \[ (49)\qquad \mathrm{Transp}_{\Pi_0}\bigl(\Pi'_0, \Theta(\Pi'_0)\bigr)/\Pi'_0, \qquad \mathrm{Transp} = \{g \in \Pi_0 \mid g\,\Pi'_0\,g^{-1} = \Theta(\Pi'_0)\} . \] Pour un sous-groupoïde plein \(\mathcal{C}' \subset \widetilde{\mathcal{C}}\), équivalent à un revêtement de \(\mathcal{C}\), il faut de plus que \(\mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\) soit stable par le relèvement.

En effet un relèvement sur la fibre \(E_0 = \Pi_0/\Pi'_0\) est une bijection \(\widetilde\Theta_0\) vérifiant \(\widetilde\Theta_0(g x') = \Theta(g)\widetilde\Theta_0(x')\) (46) ; elle est déterminée par l'image \(g\Pi'_0\) du point base, et la compatibilité des stabilisateurs impose \(\Theta(\Pi'_0) = g\Pi'_0 g^{-1}\) ; \(g\) et \(g\alpha\), \(\alpha \in \Pi'_0\), donnent le même relèvement⁵³ .

Résumé (page 94) : pour qu'un automorphisme \(\Theta\) de \(\widehat\Pi_1(X, I)\), \(I \subset X(K)\), provienne d'un \(u \in \Gamma_K\), il faut que

• a)pour tout revêtement fini étale \(X'\) de \(X\) défini sur \(K\), \(\Theta\) se relève en une action sur \(\widehat\Pi_1(X', I')\), \(I' = X'|_I\), qui soit l'identité sur \(I' \cap X'(K)\) ;
• b)pour tout morphisme \(f : X' \to Y\) défini sur \(K\) et tout \(x' \in I' \cap X'(K)\), le noyau de \(\widehat\pi_1(X', x') \to \widehat\pi_1(Y, f(x'))\) soit stable par le relèvement — et, sans supposer \(x'\) rationnel, par \(\Theta^{\nu}\) pour \(\nu\) tel que \(\Theta^{\nu}x' = x'\).

« Je ne pense pas trop exagérer en conjecturant » que ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes, quand \(X\) est une courbe anabélienne et \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\). Quant à l'unicité de \(u\), il l'attend quand \(K\) est algébrique sur \(\mathbb{Q}\), et, en degré de transcendance positif, quand \(K\) est fini sur le corps des modules de \(X\)⁵⁴ .

Pages 96–97 : le cas d'un revêtement \(\widetilde{\mathcal{C}}\) non connexe, venant d'un \(X' \to X\) seulement \(K\)-connexe : sur la fibre \(E_0\), le groupe engendré par \(\Gamma_K\) et \(\Pi_0\) agit transitivement, sans que \(\Pi_0\) le fasse. L'application qui à \(x' \in E_0\) associe son stabilisateur induit \[ (51)\qquad \pi_0(E_0) = E_0/\Pi_0 \longrightarrow \mathrm{Ssgr}(\Pi_0)/\Pi_0 \] vers les classes de conjugaison de sous-groupes, et une condition nécessaire évidente est que l'image soit stable par \(\Theta\) ; un relèvement est alors déterminé par une bijection de \(\pi_0(E_0)\) compatible à (51) et par l'image d'un point dans chaque composante⁵⁵ .

98–103

La condition des lacets, et les conditions de stabilité (pages 98 à 103)

Il reste une condition, « plus importante » : la compatibilité avec la « structure à l'infini » — pour une courbe, la donnée des classes de conjugaison des sous-groupes d'inertie aux trous — qui s'exprime « particulièrement élégamment » dans le langage des groupoïdes. Les conditions a), b), au contraire, ne s'expriment pas directement sur les paramètres (\(\alpha, \beta, \zeta, \eta, \ldots\)) qui repèrent un \(u \in \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) par son action sur \(\Pi_{0,3}\). Il annonce, à propos des \(M_{g,\nu}\) et des groupes de Teichmüller, une conjecture « intéressante et plausible » en termes de propriétés des groupes profinis tels que \(\widehat\Pi_{0,3}\), liées à \(M_{0,4}\), \(M_{0,5}\)⁵⁶ . Puis il récapitule, pour un automorphisme \(\Theta\) de \(\widehat\Pi_1(X, I)\), \(I \subset X(\overline{K})\), \(I \cap X(K) \neq \emptyset\) — surtout pour \(X = U_{0,3}\) :

• 1)la condition des lacets, « pour mémoire — c'est sûrement la plus importante de toutes, et de très loin ! » : \(\Theta\) envoie chaque lacet autour d'un trou sur un conjugué de sa puissance \(p\)-ième, avec un même multiplicateur \(p\) ;
• 2)la stabilité pour les revêtements étales \(X'\) de \(X\) définis sur \(K\) : \(\Theta\) se relève à \(\widehat\Pi_1(X', I')\), de façon unique si \(X'\) est \(K\)-connexe et \(I' \cap X'(K) \neq \emptyset\) — ce qui s'explicite en une condition de stabilité de certains sous-groupes ouverts de \(\pi_1(X, x)\) ;
• 3)pour les morphismes \(f : X' \to Y\) et \(x' \in X'(K) \cap I'\), la stabilité du noyau de \(\widehat\pi_1(X', x') \to \widehat\pi_1(Y, f(x'))\) ;
• 4)pour deux revêtements \(X'_1\), \(X'_2\) de \(X\) et un morphisme \(f : X'_1 \to X'_2\), pas nécessairement au-dessus de \(X\), la compatibilité de \(\widehat\Pi_1(X'_1, J) \to \widehat\Pi_1(X'_2, I'_2)\), \(J = I'_1 \cap f^{-1}(I'_2)\), aux relèvements de \(\Theta\).

Une condition 5° réunissant 3° et 4° serait facile à écrire, dit la page 101, mais il ne sait pas s'il en aura besoin⁵⁷ .

Adjacence (pages 102–103). Soit \(T \subset X(\mathbb{C})\) localement fermée, simplement connexe, et \(X' \to X\) fini étale au voisinage de \(T\) ; \(X'|_T\) est réunion de copies de \(T\), et deux points au-dessus de \(T\) sont \(T\)-adjacents s'ils sont sur la même copie. Galois respecte l'adjacence, et l'on définit \(g^T_{x',y'}(u)\) par \({}^{u}l^T_{y',x'} = g^T(u)\, l^T_{u(y'),u(x')}\) (53), avec \(\widehat f(g^T_{y',x'}(u)) = g^T_{y,x}(u)\) (54). D'où une condition nécessaire : \[ g^{T}_{y,x}(u) \in \bigcap_{\alpha \in \pi_0(X'|_T)} \mathrm{Im}\,\widehat\varphi_\alpha \qquad \text{pour tout } u , \] \(\widehat\varphi_\alpha : \widehat\pi_1(X', T_\alpha) \hookrightarrow \widehat\pi_1(X, T)\) les inclusions des composantes \(T_\alpha\), dont les images sont des conjugués d'un même sous-groupe, sous la seule hypothèse — plus faible que la rationalité — que \(u(x'_\alpha)\) et \(u(y'_\alpha)\) restent \(T\)-adjacents⁵⁸ . La suite s'arrête là.

104–121

V. Groupoïde fondamental d'une carte trouée (pages 104 à 121)

La page 104 est une feuille de garde de sa main, avec ce titre — sous-titré « préliminaires à l'action de Galois » — et « (14 pages) ». Le titre reprend la « carte trouée » dont la page 10 du dossier 141 commençait la définition : une carte dont les sommets, les milieux d'arêtes et les centres des faces sont percés.

105–112

Esquisses (pages 105 à 112)

Présentations de \(\Pi_1(U_{0,3})\) (page 105). Quatre figures présentent le groupoïde fondamental de la sphère privée de \(0, 1, \infty\) sur divers ensembles de points base, choisis sur de petits cercles autour des trous : « 6 sommets, 9 flèches, 2 relations » ; « 4 sommets, 6 flèches, 1 relation » (trois cas) ; « 2 sommets, trois flèches, 0 relation » (trois cas) ; « 1 sommet, 2 flèches, 0 relation » (trois cas). Dans chaque cas le nombre \(\text{flèches} - \text{sommets} + 1 - \text{relations}\) vaut \(2\), le rang du groupe libre \(\Pi_{0,3}\)⁵⁹ .

La sphère à quatre trous (page 107). Les points \(0, \infty\) aux pôles, \(1, -1\) (et \(\pm i\)) sur l'équateur ; les symétries \(z \mapsto -z\), \(z \mapsto 1/z\), qui engendrent un groupe de Klein \(\mathbb{F}_2^{\,2}\) ; la suite exacte \(1 \to \mathbb{F}_2^{\,2} \to \mathfrak{A}_4 \to \mathbb{Z}/3 \to 1\) ; la relation \(l_\infty\, l_1\, l_0\, l_{-1} = 1\) entre les quatre lacets⁶⁰ .

Le modèle algébrique (page 110). La sphère de III se réalise comme \(\Sigma_J = \mathbb{P}(V(J))\), \(V(J) = \ker(\mathcal{O}^J \to \mathcal{O})\) ; le fibré tangent est \(\mathcal{O}(2)\) tordu par le \(\mathbb{Z}/2\)-torseur \(\boldsymbol{\omega}\) des orientations (« attention signe ! »), les trous \(R_i\), les points \(Q_i\), \(Q_i^{\omega}\) et les pôles \(P_\omega\) — ceux-ci définis à l'aide d'une racine cubique primitive de l'unité \(\zeta\), comme droites propres de la permutation circulaire — étant donnés par des vecteurs explicites de \(V(J)\)⁶¹ .

Cartes régulières et quotients diédraux (page 111). Le polygone régulier à \(n\) côtés, dessiné sur l'équateur de la sphère, troué en ses sommets, ses milieux d'arêtes et ses deux centres de faces, donne une surface \(\Sigma_n^{**}\) et une tour \[ \Sigma_n^{**} \xrightarrow{\ \deg n\ } \Sigma_1^{**} = \mathbb{P}^1 \setminus \{0, \infty, 1, -1\} \xrightarrow{\ \deg 2\ } U_{0,3}, \] la première flèche étant \(z \mapsto z^{n}\), la seconde le quotient par \(z \mapsto 1/z\) ; le composé est un revêtement galoisien de \(U_{0,3}\), de groupe le groupe diédral \(D_n^{+}\) des rotations de la sphère qui préservent la carte⁶² . La page 112 dessine les douze points \(\pm R_i^{\omega}\), \(\pm R_i^{\omega'}\) et les douze valeurs de \(P_i^{\omega,\zeta}\).

113–116

Le groupoïde fondamental d'une carte trouée (pages 113 à 116)

Soit \(\mathcal{X}\) une carte finie, non nécessairement orientée, \(\mathcal{R}\) l'ensemble de ses repères (drapeaux), \(S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty\) l'ensemble de ses sommets, arêtes et faces, identifiés à leurs centres \(R_\varphi\). Un repère \(r = (s, a, f)\) s'identifie au triangle de la subdivision barycentrique de sommets \(R_s, R_a, R_f\), d'indices \(0, 1, \infty\), orienté dans le sens \(0, 1, \infty\). Les repères adjacents \(\tau_0(r)\), \(\tau_1(r)\), \(\tau_\infty(r)\) sont ceux qui partagent avec \(r\) le côté opposé au sommet d'indice correspondant, et \[ (1)\text{–}(5)\qquad \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_\infty^2 = (\tau_0\tau_\infty)^2 = 1, \] \[ \rho_\infty = \tau_1\tau_0,\ \rho_0 = \tau_\infty\tau_1,\ \rho_1 = \tau_0\tau_\infty, \qquad \rho_\infty\rho_1\rho_0 = 1 , \] \(\rho_\infty\) tournant d'un cran autour de la face, \(\rho_0\) autour du sommet, \(\rho_1\) autour du milieu de l'arête. C'est le groupe cartographique de la page 9 du dossier 141, \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) y étant notés \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\)⁶³ .

Sur chaque côté du triangle \(r\), près de chacune de ses extrémités, on place un sommet : \(R^{i,j}_r\) est voisin du sommet d'indice \(i\), sur le côté qui le joint au sommet d'indice \(j\) (6), avec les seules identifications \(R^{i,j}_r = R^{i,j}_{\tau_k(r)}\), \(k \notin \{i, j\}\) (7) — les deux triangles partagent ce côté. Les arcs sont \[ (8)\qquad \lambda^i_r : R^{i,i+1}_r \longrightarrow R^{i,i+2}_r, \qquad (9)\qquad a^i_r : R^{i+1,i+2}_r \longrightarrow R^{i+2,i+1}_r , \] où \(i + 1\), \(i + 2\) sont les successeurs de \(i\) dans l'ordre circulaire \((0, 1, \infty)\) : \(\lambda^i_r\) est la portion, intérieure à \(r\), du petit cercle autour du sommet d'indice \(i\), et \(a^i_r\) longe le côté opposé à ce sommet, de sorte que \(a^i_r = a^i_{\tau_i(r)}\) (10)⁶⁴ . Le triangle tronqué est un hexagone, dont le bord donne la relation \[ (12)\qquad \underbrace{(\lambda^0_r)^{-1} a^1_r}_{b^\infty_r}\ \underbrace{(\lambda^\infty_r)^{-1} a^0_r}_{b^1_r}\ \underbrace{(\lambda^1_r)^{-1} a^\infty_r}_{b^0_r} = 1 , \] lacet basé en \(R^{0,1}_r\)⁶⁵ .

Les sommets \(R^{ij}_r\), les flèches \(\lambda^i_r\) et \(a^i_r\), avec les relations (7), (10), (12), présentent le groupoïde fondamental \(\Pi_1(\widetilde{X}^{**}, \{R^{ij}_r\})\), où \(\widetilde{X}^{**}\) est la surface à bord obtenue en éclatant réellement la carte en tous les points de \(S\), d'intérieur \(X^{**} = X \setminus \{R_\varphi\}\)⁶⁶ . Les notations gardent un sens pour toute carte triangulaire « partielle » de type \(\{0, 1, \infty\}\) ; la relation \((\tau_0\tau_\infty)^2 = 1\), qui dit que les sommets de type \(1\) sont de valence \(4\), est la seule qui la fasse venir de la subdivision barycentrique d'une carte. On introduit les « rotations d'un double cran » \[ (13)\qquad \Lambda^i_r = (\lambda^i_{\tau_{i+1}(r)})^{-1}\lambda^i_r : R^{i,i+1}_r \to R^{i,i+1}_{\tau_{i+1}(r)}, \qquad \Lambda'^i_r = \lambda^i_{\tau_{i-1}(r)}(\lambda^i_r)^{-1} : R^{i,i-1}_r \to R^{i,i-1}_{\tau_{i-1}(r)}, \] qui font le tour du sommet d'indice \(i\) à travers deux triangles, et satisfont \(\Lambda^i_r\Lambda^i_{\tau_{i+1}(r)} = 1\), \(\Lambda'^i_r\Lambda'^i_{\tau_{i-1}(r)} = 1\) (14) — des relations de redondance⁶⁷ .

117–120

Présentations réduites (pages 117 à 120)

En éliminant les sommets sur les côtés de type \(1\) (joignant un sommet et un centre de face) et les arcs \(a^1_r\) qui les joignent, on garde les \(R^{ij}_r\) avec \(1 \in \{i, j\}\), les arcs \(\lambda^1_r\), \(\Lambda^0_r\), \(\Lambda^\infty_r\), \(a^0_r\), \(a^\infty_r\), les relations de redondance (14), et une relation par quadrilatère \(r \cup \tau_1(r)\) : \[ (16)\qquad \Lambda'^\infty_{\tau_1(r)}\,(\beta^1_{\tau_1(r)})^{-1}\,\Lambda^0_r\,(\beta^1_r)^{-1} = 1, \qquad \beta^1_r = a^0_r(\lambda^1_r)^{-1}a^\infty_r , \] stable par \(r \mapsto \tau_1(r)\), de sorte qu'on peut se borner, si \(X\) est orientable, aux repères d'une orientation⁶⁸ .

En ne gardant que les arcs \(a^\infty_r\) et les sommets \(R^{0,1}_r\), \(R^{1,0}_r\) qu'ils joignent, avec les doubles crans autour des sommets de type \(0\) et \(1\), \[ (18)\qquad a^\infty_r : R^{0,1}_r \to R^{1,0}_r, \qquad \Lambda^0_r : R^{0,1}_r \to R^{0,1}_{\tau_1(r)}, \qquad \Lambda'^1_r : R^{1,0}_r \to R^{1,0}_{\tau_0(r)}, \] les seules relations sont de redondance (19) : le groupoïde est libre. En effet le graphe correspondant — de petits cercles autour des sommets de type \(0\) et \(1\), reliés le long des demi-arêtes — a pour complémentaire des disques épointés, et la surface se rétracte sur lui. Cela fait trois présentations, sur \(S \setminus S_i\), \(i = \infty, 0, 1\). Enfin, en ne gardant que les \(R^{0,1}_r\), on obtient un groupoïde libre engendré par \[ (21)\qquad A^{0,1}_r = (a^\infty_{\tau_0(r)})^{-1}\,\Lambda'^1_r\,a^\infty_r : R^{0,1}_r \to R^{0,1}_{\tau_0(r)}, \qquad \Lambda^0_r : R^{0,1}_r \to R^{0,1}_{\tau_1(r)}, \] avec les seules relations de redondance \(\Lambda^0_r\Lambda^0_{\tau_1(r)} = 1\), \(A^{0,1}_r A^{0,1}_{\tau_0(r)} = 1\) (22)⁶⁹ . Au total, \(10 = 1 + 3 + 3 + 3\) présentations, selon les ensembles de sommets retenus.

120–121

Le bouchage des trous (pages 120 et 121)

« Dans chacun des cas envisagés, le “bouchage” d'un trou \(R_\varphi\) se fait de façon essentiellement triviale » : il suffit d'exprimer, en termes des flèches génératrices choisies, le « lacet » autour de \(R_\varphi\) — pour un sommet de type \(0\), le produit des doubles crans \(\Lambda^0\) qui en font le tour —, « puis d'exprimer que ce lacet est \(\simeq 1\) »⁷⁰ . Le groupoïde fondamental de la carte dont on a bouché ce trou est le quotient par cette relation, par le théorème de van Kampen.

C'est la réponse, au niveau combinatoire et pour une carte donnée, à la difficulté laissée en suspens aux pages 17 à 20 : là, le bouchage des trous ne trouvait pas de place, à côté des revêtements, dans une catégorie dont on pût interpréter la complétion profinie ; ici, sur des présentations explicites, il n'est qu'une relation de plus. Le dossier s'arrête sur ce constat.